32、现代数学发展简介-160页

• 康托尔的集合论思考与研究是从他的三角 级数的研究 中产生的. 1871年给出了集合 的定义，定义了集合的 交与并等.他在 1872年利用有理数的「基本序列」概 念定 义了无理数，把实数的理论严格起来，并
建立了点集 论.1874年康托尔发表第一篇 关于无穷集合的文章， 对超越数的存在且
远远「多」于代数数作出了集合论的证明，
• 魏尔斯特拉斯首先给出严密的实数理论, 第一个明 确地使用ε-δ语言, 引进 有界集、无界集、集的内点、 外点、极限点、连通性等概念，特别是运用一致收
敛的概念得出 极限交换的定理.
• 魏尔斯特拉斯终身未娶, 他的两个妹妹也未出嫁, 她 们一起照顾魏尔斯特拉斯 的生活, 共度人生.
★戴德金(J.W.R.
内克等人.1867年获博士学位.
康托尔的集合论富有革命性，其理论很
难被立即接受 ，以致遭受一些数学家的反
对，但他的理论无疑是对十九世纪末、二
十世纪初的数学基础的研究产生了深远的
影响 ，集合论已渗透到各数学分支, 甚至渗 入中小学的数学课本, 成为分析理论、测度 论、 拓扑学及数理科学中必不可缺之理论.
3. 有理数域上的代数几何学:1901年的一篇论 文开创了代数方程有理数解的研究, 成为代 数数论的一项开创性工作.
拉格朗日(J. Lagrange, 1736~1813); 拉普拉斯(P.M. Laplace, 1749~1827);
勒让德(A. Legendre, 蒙日(G. Monge,
1752~1833
1746~1818)
2. 十九世纪的数学发展
• 十九世纪是法国与德国在数学上争雄的时代.
• 1794年诞生的法国综合技术学校成为19世纪 初的世界数学中心, 以当时的两大数学家傅 里叶(J.B. Fourier, 1768~1830)、柯西（A. Cauchy, 1789~1857)为首的调和分析和分析 学方向是其中的代表, 他们的影响一直持续 的现在.
• 1884年康托尔患上忧郁症, 经常发病, 到 1899年,集合论的悖论在他头脑里萦绕, 旧 病再次复发, 住进医院, 以后一二十年中他 断断续续在哈雷大学精神病院中度过. 1918年在那里去世.
4. 法国数学领袖---庞加莱
★ 庞加莱
(J.H. Poincare, 1854-1912)
法国数学家,物理学 家,天文学家
数学方面: 非欧 几何,不变理论,分 析力学,概率论
• 十九世纪前期的法国, 柯西是无可争辩的领 袖.1857年柯西去世之后, 世界的数学中心渐 渐向德国转移, 当然这也与社会经济相关.
• 在世纪之交世界数学是法德争雄的格局, 法 国数学有着许多骄人的成果, 其代表人物有:
★埃尔米特(C. Hermite, 1822-1901): 毕业于
条封闭的曲线都能收缩成一点，这个空
间一定是一个圆球. 庞加莱的仅仅两行 字，成为数学界100多年未能证明的难 题.关于庞加莱猜想的证明是2006年基 本完成 . 美国《科学》杂志2006年12月 21日公布了该刊评选出的2006年度十大 科学进展，其中科学家证明庞加莱猜想
被列为头号科学进展.
由庞加莱开创新领域有:
• Hilbert称赞康托尔的
超越数理论是“数学精 神最令人惊羡的花朵, 人类智力活动最精美的
成果.”… “没有人能 把我们从康托所创 造的天国中赶走!”
• 康托尔（G.Cantor, 1845~1918） 德国数学 家.1845年生于俄国圣彼得堡，卒于哈雷， 是丹麦犹太商人之子.集合论的创始人，受 教于数学家库默尔、外尔斯特拉斯和克罗
• 克莱因是当然的领袖.
• 十九世纪后期, 除格丁根大学之外,柏林大学也是 当然的数学中心, 狄利克雷(G.P.L. Dirichlet, 18051859)在此校工作了27年, 为柏林大学赢得很高的 数学声誉, 1854年他去格丁根大学接替去世的高斯; 柏林大学的数学教授库默尔(E.E.Kummer, 18011893)长期担任柏林大学校长, “理想数”的工作成 为现代代数数论的先驱;
是世人瞩目的. 德国在数 学上提出了明确的目标, 要谋求世界领先的地位. 而执行这一使命的是数
学大师 克莱因(C.F. Klein, 1849-1925).
★克莱因---著名的几何学家:
• 1865年进入波恩大学,开始研究几何学. 1869 年 到格丁根大学工作, 并周游欧洲诸国.
• 1872年任埃尔郎根大学正教授发表了《新近 几何学 研究的比较考察》的演讲, 用运动群 下的不变量对几何学进行分类, 这就是著名 的埃尔郎根纲领. 这一几何学上划时代的工作, 在此后的50年内一直处于几何研究的中心 地 位.
轰动当时世界数学界.1878年引进了无穷集 的「 势」和提出「连续性」的问题.1883 年给出了超限基 数的定义等.
• 康托尔的集合论富有革命性，其理论很难 被立即接受 以致遭受一些数学家的反对，
例如大数学权威克罗内克对“小人物”康
托尔的批判, 阻止康托尔到柏林工作, 散布 对超越数的怀疑, 对康托尔是毁灭性的打 击.
• 应用数学取得伟大成就
• 1846年英国的亚当斯(J.C. Adams, 1819-1892)和法 国的勒威耶(U.J.J.Le Verrier, 1811-1877)分别独立 的用数学方法计算出海王星的轨道;
• 高斯在大地测量中发现了微分几何学;
• 傅里叶分析推动了热力学和振动理论的进一步发 展;
• 克莱因晚年关注应用数学和数学教育,
• 开创了世界第一流数学家关心中小学数学教 育改革的先例, 影响深远.
• 1886年春, 克莱因就任格丁根大学教授, 虽然继 续从事数学研究, 但更多的进行行政组织、数 学教育、国际交流等方面的活动，目标是把格
丁根大学建成世界第一流的数学中心.
• 十年左右努力终有成效. 1895年初, 大数学家 希尔伯特(David Hilbert, 1862-1943) 到格丁根 大学任教, 克莱因被授予枢密顾问官职务,格丁 根大学的学术地位陡然升高. 1902年, 闵科夫斯 基(H.Minkowski,1864-1909)也来到格丁根大学. 这三驾马车终于把格丁根大学建成20世纪初期 的世界数学中心.
起.
★达布(J.G. Darboux, 1842-1917): 毕业于巴黎高等
师范学院, 并在该校工作, 他主要研究领域是微分几 何.他详细研究曲面理论、曲线坐标、曲线和曲面的 变形等基本问题. 同样达布的影响不限几何,他在积 分论中研究黎曼可积的充分必要条件时给出的现在
称为达布上和下和上积分下积分等概念已经成为经
罗巴切夫斯基(Lobatchevski, 1792- 1856) 鲍耶(Bolyai, 1802-1860) 高斯(Gauss, 1777-1855) ---非欧几何学 • 数论------解析数论 • 分析: 严格化, 复变函数理论 Cauchy, Weierstrass, Dedekind, Cantor
现代数学发展简介
一.十九世纪的数学概况
1. 十七---十八世纪的数学成就
• 十七世纪数学的最大成就是牛顿(I. Newton, 1642~1727)微积分思想诞生在英国.
• 十八世纪资本主义的生产方式带来了法国的大革 命, 数学的中心也移到了法国, 当时的一代数学权 威有: 拉格朗日(J. Lagrange, 1736~1813); 拉普拉斯(P.M. Laplace, 1749~1827); 勒让德(A. Legendre, 1752~1833) 蒙日(G. Monge, 1746~1818) 等等
Dedekind, 1831-1916)
• 以有理数的连续性的 “分割”定义实数,对实 数的连续性给出了严密 而直观的叙述,为数学分 析严密化作出了重要贡 献; 同时他也奠定了 代 数数论的系统理论.
• 戴德金也是终身未娶.
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★康托(Cantor, 1845~1918)
集合论创始人,集合 的势创始人
论的重要文章, 被破格授予 哥尼斯堡大学名誉博士学位.
• 魏尔斯特拉斯1856年到柏林皇家综合工科学校任数 学教授, 1857年任柏林大学副教授, 1864年升任正教 授, 1873年出任柏林大学校长, 成为左右德国数学界 的一位领袖人物.
• 他获得这些荣誉重要是他的学术 风格,他是19世纪 末分析严格化进程的代表, 反映了那个时代和20世 纪整个数学严谨性的潮流.
学校的学生, 一直以工程师的身份研究数学, 同时在 巴黎综合工科学校和法兰西学院任教. 1881年年成 为法兰西科学院院士. 他在伽罗瓦的群论等方面作 了系统研究, 在群和群表示理论上的开创性工作是 后来代数发展的 起点.
今天约当的名字更多的和分析学中约当曲线、矩
阵中的约当标准型、积分论中的约当容量联系在一
确定系统的人，并为现代混沌理论打下了基础，
甚至在相对论研究上，他第一篇论文的发表也
比爱因斯坦的论文早了一个多月.庞加莱一生发 表的科学论文约500篇、科学著作约30部，几乎 涉及到数学的所有领域以及理论物理、天体物
理等的许多重要领域.主要著作有《科学与假 设》、《科学的价值》、《科学的方法》等.
• 1904年，亨利·庞加莱提出了这样一个 猜想：在一个封闭的三维空间，假如每
• 进入19世纪, 德国的格丁根大学的崛起, 数学 王子高斯(C.F. Gauss, 1777~1855)称雄世界, 黎曼(G.F.B. Riemann, 1826~1866)为人类留 下了无数的数学珍宝.
• 十九世纪上半叶的数学思想和成果 • 纯粹数学方面:
• 代数:伽罗瓦(Galois,1811-1832) ---新动力 • 几何:
1. 自守函数论:自守函数是通常的三角函数、 椭圆函数的推广.它的引入使得微分方程、 代数几何、 代数数论找到了新的立足点. 如果说18世纪是微分学的世纪，那么19世 纪则是函数论的世纪.庞加莱是因发明自守 函数而使函数论的世纪大放异彩的，他本
人也因此在数学界崭露头角.
2. 整函数的“亏理论”: 他第一个研究整函数 “亏数”和函数增长的关系, 为整函数和 亚纯函数理 论的研究打开了道路.
★魏尔斯特拉斯(Karl T.W. Weierstrass,1815-1897).
出身于一个政府官员家庭, 父亲送他到柏林大学攻读
法学博士学位, 由于他不 喜欢, 未到毕业就离开了, 后来在一所神学哲学院读
数学, 通过中学教师资格 的国家考试后, 曾任中学 (体育)教师达15年之久. 在这期间他发表了椭圆函数
典的理论.
• 19世纪末期法国更着重于经典问题 的刻画, 注意几何、分析上的严密 化, 解决 一些悬而未决的问题.
• 而德国学派更注意新方向和新思想 的开拓, 这样法国数学的发展似乎 过分拘谨了.
• 然而庞加莱的出现, 使法国数学出 现了新的转机.
1854年4月29日，法国数学家亨利·庞加莱 生于南锡. 他是一位博学家，在数学、数学物理、 天体力学和哲学方面都有很深的造诣.他一生的 主要研究成就是方法论，他是第一个发现混沌
• 克罗内特(L.K. Kronecker, 1815-1891)在代数学、 数论、椭圆函数论方面成就显著,并有非常广泛的 社会和学术关系, 被称为德国数学的无冕之王;
• 而对后世影响更大是魏尔斯特拉斯(Karl T.W. Weierstrass,1815-1897).
3. 对近代数学影响的德国的三位数学家
巴黎综合工科学校, 1862年进入该校任讲师, 1867年升任教授, 分析学家. 早年工作涉及椭 圆函数论, 著名工作是证明e的超越性.
对后来影响最大的是他的复二次型的工
作, 在物理学、几何学、算子理论中, 埃尔米 特已成为复共轭、复对称的代名词.
★若尔当(C. Jordan, 1838-1922): 也是巴黎综合工科
• 英国的传统的应用数学大放异彩,
• 哈密顿的最小作用原理给了力学一崭新的面貌;
• 麦克斯韦(J.C. Maxwell, 1831-1879)于1864年发表 的电磁学方程更是人类运用数学研究自然规律的 又一里程碑.
• 十九世纪后半叶的数 学成果十分丰富
• 进入十九世纪后期, 德国 的国家实力陡增, 高斯、 黎曼等数学家的工作也