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现代数学的发展趋势
现代数学的发展趋势一、现代数学发展的特点1．更高的抽象性在纯粹数学领域中，集合论观点的渗透和公理化方法的运用极大地推动了纯粹数学向更高的抽象化发展。
20世纪初，康托尔创立的集合论在数学中的作用越来越明显，集合概念本身被抽象化了，例如，它可以是任意性质的元素集合，诸如函数的集合、曲线的集合等．集合论作为一种语言被应用于数学的不同领域，同时引起了数学中基本概念的深刻变革，从而导致新的数学分支的建立，实变函数和泛函分析即是明显的例子。
法国数学家勒贝格(H．Lebesgue)利用以集合论为基础的“测度”概念而建立了与柯西和黎曼积分不同的“勒贝格积分”．在勒贝格积分的基础上，进一步推广导数等微积分基本概念，进而重建了如微积分基本定理等微积分中的基本事实，从而形成了新的数学分支——实变函数论；受集合论的影响，空间和函数这两个基本概念发生了进一步的变革，空间被理解为某种约束某类元素关系的空间结构的集合，即空间是某种结构的集合，而函数的概念则被推广为两个空间(包括一个空间到它自身)之间的元素的对应(映射)关系，其中将函数映为实数(或复数)的对应关系就是通常所称的“泛函”。
实变函数和泛函分析成为现代分析学的两大支柱。
在20世纪公理化方法向各个数学领域渗透。
抽象代数是应用公理化方法把代数理论进行抽象化的杰出成就．代数学中公理化方法的系统运用是在希尔伯特关于几何基础的工作出现之后，受希尔伯特的直接影响，诺特(EmmyNoether，1882～1935)及其学派确立了公理化方法在代数领域中的地位，诺特在一篇论文中用公理化方法发展了一般理想论，奠定了抽象交换环的理论基础，它是现代抽象代数开始的标志．抽象代数使代数结构成为代数学研究的中心，代数结构的研究对现代数学的发展影响深远。
2．更深入的基础探讨随着集合论在数学各领域中的渗透和应用，它逐渐成为数学理论的坚实基础，但随后罗素悖论(通俗的形式即所谓的“理发师悖论”)的出现打破了人们对集合论作为数学基础的信任，引起了关于数学基础的一系列问题。
数学的起源和发展
一般认为，从远古到现在，数学经历了五个历史阶段：数学萌芽时期(公元6世纪以前)初等数学时期(从公元前5世纪到公元17世纪)变量数学时期(17世纪上半叶-19世纪20年代)近代数学时期(19世纪20年代-20世纪40年代)现代数学时期(20世纪40年代以来)一、数学萌芽时期(公元6世纪以前)在人类历史上，这是原始社会和奴隶社会的初期。
这个时期数学的成就以巴比伦、埃及和中国的数学为代表。
古巴比伦是位于幼发拉底河和底格里斯河两河流域的一个文明古国。
巴比伦王国形成于约公元前19世纪，从出土的古巴比伦的泥板上的楔形文字中发现，古巴比伦人具有算术和代数方面的知识，建立了60进位制的记数系统，掌握了自然数的四则运算，广泛使用了分数，能进行平方、立方和简单的开平方、开立方运算。
他们迈出了代数的第一步，能用一些特别的术语和符号代表未知数，能解特殊的几种一元一次、二元一次方程和一元二次方程，甚至某些三次、四次(可化为二次的)和个别指数方程，并且能够把它们应用于天文学和商业等实际问题中去。
几何方面掌握了简单平面图形的面积和简单立体体积的计算方法。
二、初等数学时期(从公元前5世纪到公元17世纪)在人类历史上，这是发达的奴隶社会和整个封建社会时期。
这个时期外国数学发展的中心先在古希腊，后在印度和阿拉伯国家，之后又转到西欧诸国。
这时期的中国数学独立发展，在许多方面居世界领先地位。
在数学内容上，2世纪以前是几何优先发展阶段，2世纪以后是代数优先发展阶段。
如果说古希腊的几何证明的较突出，则中国和印度的代数计算可与其媲美。
这个时期的数学发生了本质的变化，数学(主要是几何学)由具体的、实用阶段发展到抽象的、理论阶段；从以实验和观察为依据的经验学科过渡到演绎的科学，并形成了自己的体系，初等几何、算术、初等代数和三角学都已成为独立的学科。
这个时期的研究内容是常量和不变的图形，因此又称为常量数学。
从公元前6世纪到公元前3世纪是希腊数学的古典时期。
数学发展史简介
一大批新的数学分支， 如：级数论、函数论、
变分学、微分方程等。
主要代表人物 费尔马(Fermat 1601-1665 法国) 著有《平 主要思想： 面与立体轨迹引论》。 方程可以描述 曲线， 并可以通过对方程的研究推断曲线的性质
解析 笛卡儿(Descartes 1596-1650 法国) 几何的创始人。 牛顿(Newton 1643-1727 英国) 微积分的创 始人之一。 莱布尼茨(Leibniz 1646-1716 德国) 微积分 的创始人之一。
还未形成独立的学科。 主要以记数为主， 中国，古巴 这一时期贡献最大的国家有： 比伦，埃及，印度。 主要贡献：十进制记数法， 记数符号， 三 角形、梯形和圆的面积的计算， 立方体和柱体 的体积， 截棱锥体的体积公式等。
二、常量数学时期
这一时期又称为初等数学时期， 主要发展 了算术、初等代数、初等几何（平面几何和立
体几何）、平面三角等。这一时期又可 Nhomakorabea为三个阶段：
1.希腊时期（公元前六世纪-公元二世纪） 主要研究几何学， 不仅将几何形成了系统 的理论体系， 即 而且创立了研究数学的方法， 坚持用演绎法证明， 使 重视抽象而非具体问题， 对数的认识从感性提高到理性阶段。 主要代表人物 毕达哥拉斯（Bythagoras）发现三角形内 角和等于两个直角和； 用几何作图法解代数二 次方程； 建立了毕达哥拉斯定理（勾股定理）。
的重心、转动惯量等。
牛顿与莱布尼兹当时建立的微积分概念与演算 是以直观为基础的，概念并不准确，推导公式有 明显的逻辑矛盾，在微积分广泛应用的17—18世 纪，人们没顾得及（也许是还不可能）解决这些 问题，至19世纪，矛盾已积累到非解决不可的程 度。
经过柯西和魏尔斯特拉斯等人的工作， 19世纪， 给微积分奠定了严格的理论基础， 从而兴起了
中国现代数学的发展
中国现代数学的发展中国现代数学的发展中国传统数学在宋元时期达到高峰，以后渐走下坡路。
20世纪重登世界数学舞台的中国现代数学，主要是在西方数学影响下进行的。
西方数学比较完整地传入中国，当以徐光启(1562—1633)和利玛窦(Mattao Ricci，1552—1610)翻译出版《几何原本》前六卷为肇始，时在1607年。
清朝初年的康熙帝玄烨(1654—1722)，曾相当重视数学，邀请西方传教士进宫讲解几何学、测量术和历法，但只是昙花一现。
鸦片战争之后，中国门户洞开，再次大规模吸收西方数学，其主要代表人物是李善兰(1811—1882)．他熟悉中国古代算学，又善于汲取西方数学的思想。
1859年，李善兰和英国教士伟烈亚力(Alexander Wylie，1815—1887)合译美国数学家鲁米斯(Elias Loomis，1811—1889)所著的《代微积拾级》(Elements of AnalyticalGeometry and of the Differenfial and Integral Calculus)，使微积分学思想首次在中国传播，并影响日本。
李善兰在组合数学方面很有成就。
著称于世的有李善兰恒等式。
1866年，北京同文馆增设天文算学馆，聘李善兰为第一位数学教习。
由于清廷政治腐败，数学发展十分缓慢。
反观日本，则是后来居上。
日本在1870年代还向中国学习算学，《代微积拾级》是当时日本所能找到的最好的微积分著作。
但到1894年的甲午战争之后，中日数学实力发生逆转。
1898年，中国向日本大量派遣留学生，其中也包括数学方面的留学生。
1911年辛亥革命之前，有三位留学国外的数学家最负盛名．第一位是冯祖荀(1880—1940)，浙江杭县人．1904年去日本京都第一高等学校就读，然后升入京都帝国大学研修数学．回国后曾在北京大学长期担任数学系系主任。
第二位是秦汾(1887—1971)，江苏嘉定人。
1907年和1909年在哈佛大学获学士和硕士学位。
数学发展史简介
数学发展史
数学发展史 大致可以分为四个阶段：
1、数学起源时期 2、初等数学时期
3、近代数学时期
4、现代数学时期
数学起源时期: （ 远古——公元前5世纪 ）
在四个“河谷文明”地域，当对数的认识(计数)变得越来越明 这一时期：建立自然数的概念；认识简单的几何图形； 确时，人们感到有必要以某种方式来表达事物的这一属性， 算术与几何尚未分开。数学起源于四个“河谷文明”地域： 于是导致了记数。人类现在主要采用十进制，与“人的手指 共有十个”有关。而记数也是伴随着计数的发展而发展的。 •非洲的 尼罗河； 四个“河谷文明”地域的记数归纳如下： 这个区域主要是埃及王国：采用10进制，只有加法。 • 西亚的 底格里斯河与幼发拉底河； •刻痕记数是人类最早的数学活动，考古发现有 3万年前的狼 埃及的主要数学贡献：定义了基本的四则运算，并推广 骨上的刻痕。古埃及的象形数字出现在约公元前 3400年； 这个区域主要是巴比伦：采用 60进 到了分数；给出了求近似平方根的方法； 他们的几何知 •中南亚的 印度河与恒河； 10进制，并发明了 •巴比伦的楔形数字出现在约公元前 2400年； 制。巴比伦王国的主要数学贡献可以归结为以下三点：度 识主要是平面图形和立体图形的求积法。 •中国的甲骨文数字出现在约公元前 1600年。 量矩形，直角三角形和等腰三角形的面积，以及圆柱体等 •东亚的 黄河与长江; •古埃及的纸草书和羊皮书及巴比伦的泥板文书记载了早期数 柱体的体积；计数上，没有“零”的概念；天文学上，总 学的内容，年代可以追溯到公元前 2000年，其中甚至有“整 结出很多天文学周期，但绝对不是科学。 勾股数”及二次方程求解的记录。
现代数学及其发展
现代数学及其发展现代数学时期是指由19世纪20年代至今，这一时期数学主要研究的是最一般的数量关系和空间形式，数和量仅仅是它的极特殊的情形，通常的一维、二维、三维空间的几何形象也仅仅是特殊情形。
抽象代数、拓扑学、泛函分析是整个现代数学科学的主体部分。
它们是大学数学专业的课程，非数学专业也要具备其中某些知识。
变量数学时期新兴起的许多学科，蓬勃地向前发展，内容和方法不断地充实、扩大和深入。
18、19世纪之交，数学已经达到丰沛茂密的境地，似乎数学的宝藏已经挖掘殆尽，再没有多大的发展余地了。
然而，这只是暴风雨前夕的宁静。
19世纪20年代，数学革命的狂飙终于来临了，数学开始了一连串本质的变化，从此数学又迈入了一个新的时期——现代数学时期。
19世纪前半叶，数学上出现两项革命性的发现——非欧几何与不可交换代数。
大约在1826年，人们发现了与通常的欧几里得几何不同的、但也是正确的几何——非欧几何。
这是由罗巴契夫斯基和里耶首先提出的。
非欧几何的出现，改变了人们认为欧氏几何唯一地存在是天经地义的观点。
它的革命思想不仅为新几何学开辟了道路，而且是20世纪相对论产生的前奏和准备。
后来证明，非欧几何所导致的思想解放对现代数学和现代科学有着极为重要的意义，因为人类终于开始突破感官的局限而深入到自然的更深刻的本质。
从这个意义上说，为确立和发展非欧几何贡献了一生的罗巴契夫斯基不愧为现代科学的先驱者。
1854年，黎曼推广了空间的概念，开创了几何学一片更广阔的领域——黎曼几何学。
非欧几何学的发现还促进了公理方法的深入探讨，研究可以作为基础的概念和原则，分析公理的完全性、相容性和独立性等问题。
1899年，希尔伯特对此作了重大贡献。
在1843年，哈密顿发现了一种乘法交换律不成立的代数——四元数代数。
不可交换代数的出现，改变了人们认为存在与一般的算术代数不同的代数是不可思议的观点。
它的革命思想打开了近代代数的大门。
另一方面，由于一元方程根式求解条件的探究，引进了群的概念。
数学发展简史
数学发展简史数学发展史可以分为四个阶段。
第一阶段是数学形成时期，大约在公元前5世纪左右。
在这个时期，人们开始建立自然数的概念，创造简单的计算法，并认识了一些简单的几何图形。
算术和几何尚未分开。
第二阶段是常量数学时期，也称为初等数学时期，大约从前5世纪持续到公元17世纪。
在这个时期，形成了初等数学的主要分支：算术、几何、代数和三角。
这个时期的基本成果构成了中学数学的主要内容。
在古希腊时期，XXX提出了“万物皆数”的观点，XXX写出了《几何原本》，XXX研究了面积和体积，XXX写出了《圆锥曲线论》，XXX研究了三角学，丢番图研究了不定方程。
在东方，中国的XXX和XXX提出了出入相补原理和割圆术，还算出了π的近似值；宋元四大家XXX、XXX、XXX、XXX提出了天元术、正负开方术和大衍总数术；印度的XXX开创了弧度制度量，XXX提出了代数成就可贵的修正体系和XXX，婆什迦罗研究了算术、代数和组合学。
阿拉伯国家在吸收、融汇、保存古希腊、印度和中国数学成果的基础上，又有他们自己的创造，使阿拉伯数学对欧洲文艺复兴时期数学的崛起，作了很好的学术准备。
第三阶段是变量数学时期，大约从公元17世纪持续到19世纪。
在这个时期，家庭手工业、作坊转变为工场手工业，最终演变为机器大工业，对运动和变化的研究成了自然科学的中心。
第四阶段是现代数学时期，从19世纪末开始至今。
在这个时期，数学的发展呈现出高度多样化和高度专业化的趋势，涉及到各种领域，如数学物理学、数学生物学、数学金融学等等。
1.XXX的坐标系（1637年的《几何学》）XXX曾说：“数学中的转折点是XXX的变数。
有了变数，运动进入了数学。
有了变数，辩证法也进入了数学。
有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。
”XXX的坐标系是数学发展史上的一个重要里程碑，它为数学的发展带来了新的思维方式。
2.XXX和莱布尼兹的微积分（17世纪后半期）17世纪后半期，XXX和XXX分别发明了微积分，这是数学发展史上的又一个重要里程碑。
现代数学简介
Sergei Lvovich Sobolev (Russian, 6 October 1908 – 3 January 1989)
Charles Bradfield Morrey (23 July 1907 – 29 April 1984)
Johann Carl Friedrich Gauss (30 April 1777 – 23 February 1855)
非欧几何
1826年，罗巴契夫斯基和里耶首先提出的。非欧 几何的出现，改变了人们认为欧氏几何唯一地存 在是天经地义的观点。它的革命思想不仅为新几 何学开辟了道路，而且是20世纪相对论产生的前 奏和准备。
1854年，黎曼推广了空间的概念，开创了几何学 一片更广阔的领域——黎曼几何学。非欧几何学 的发现还促进了公理方法的深入探讨，研究可以 作为基础的概念和原则，分析公理的完全性、相 容性和独立性等问题。
邱成桐
Hilbert的23个问题
伟大的数学家Hilbert 希尔伯特（Hilbert D.,1862.1.23～1943.2.14）是二十世纪上半叶德 国乃至全世界最伟大的数学家之一。他在横跨两个世纪的六十年 的研究生涯中，几乎走遍了现代数学所有前沿阵地，从而把他的 思想深深地渗透进了整个现代数学。希尔伯特是哥廷根数学学派 的核心，他以其勤奋的工作和真诚的个人品质吸引了来自世界各 地的年青学者，使哥廷根的传统在世界产生影响。希尔伯特去世 时，德国《自然》杂志发表过这样的观点：现在世界上难得有一 位数学家的工作不是以某种途径导源于希尔伯特的工作。他像是 数学世界的亚历山大，在整个数学版图上，留下了他那显赫的名 字。 1900年，希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了23个最重要的 问题供二十世纪的数学家们去研究，这就是著名的"希尔伯特23个 问题"。
现代数学发展史
现代数学发展史一、古代数学的起源和发展古代数学的起源可追溯至古埃及、古巴比伦和古印度等古代文明。
古埃及人通过观察尼罗河的水位变化，开始运用简单的计数法和几何知识。
古巴比伦人则在商业交易中使用了计算、度量和计数的方法，他们首次使用了零的概念。
古印度人在《吠陀》中提出了一些算术和几何问题，并发展了一些计算方法。
二、古希腊数学的兴起和发展古希腊数学的发展是古代数学史上的一个重要里程碑。
古希腊数学家毕达哥拉斯提出了著名的毕达哥拉斯定理，开创了几何学的研究。
欧多克斯则提出了求圆面积的方法，被称为欧多克斯定理。
亚历山大的欧几里得在《几何原本》中系统总结了古希腊几何学的成果，确立了公理化的几何学基础，被誉为几何学之父。
三、中世纪数学的发展和停滞在中世纪，由于宗教和政治的压抑，数学的发展受到了限制。
不过，在伊斯兰世界中，数学得到了保留和发展。
伊斯兰数学家阿拉伯人穆罕默德·本·穆萨·卡瓦里兹米在他的著作《算术的完美》中介绍了印度数字系统，为十进制数的运算提供了基础。
他还发现了二次方程的解法，对代数学的发展起到了重要作用。
四、文艺复兴时期的数学革新文艺复兴时期，数学得到了重新的发展。
意大利数学家斐波那契在其著作《算盘书》中介绍了阿拉伯数字系统，将其引入欧洲。
这一数字系统的推广，极大地促进了商业和科学的发展。
同时，数学家卡尔达诺在代数学领域的研究中发现了三次方程的解法，为代数学的进一步发展奠定了基础。
五、十六至十七世纪的数学革命十六至十七世纪是数学史上的重要时期，这一时期发生了许多重大的数学革命。
著名的数学家笛卡尔通过引入坐标系，将几何学与代数学结合起来，创立了解析几何学，开创了代数几何学的研究。
伽利略通过实验和观察，提出了物理学中的运动定律，为数学和物理学的交叉研究奠定了基础。
牛顿和莱布尼兹分别独立地发现了微积分的基本原理，为微积分学的建立作出了重要贡献。
六、十八至十九世纪的数学发展十八至十九世纪是数学发展的黄金时期。
中国现代数学发展概况
进入20世纪90年代， 在数学家大会上作报告 的有在大陆本土工作的 数学家和张恭庆、马志 明等。
许多来自大陆留学 美国的数学家，如 田刚、林芳华、夏 志宏等，都取得了 世界一流的研究成 果，更多的华人学 者应邀在大会上做 分组演讲。
其中著名 的有...
姜立 夫在 南开 大学
教育有一个大发展。 陈建功和 到国外一般大学 何鲁 20世纪20年代，大学 苏步青在 在四 数学系如雨后春笋般 的本科水平。 浙江大学 兴办起来，尽管规模 川大 设立的数 都不大。 学 学系
1930—— 1949年： 中国现代数 学在某些领 域已具国际 先进水平
1956年，华罗庚以多元复变函数 论研究、吴文俊以拓扑学研究荣 在学习苏联的号召下，中国数学 获国家自然科学奖一等奖（另一 也深受苏联数学学派的影响。中国 项是钱学森的《工程控制论》）。
数学界的风气因此而趋于基础扎实、 在南方，苏步青、陈建功领导的 推理严谨。通过派遣留学生和邀请 复旦大学数学系，研究成果累累。 苏联专家讲学，一些对国计民生有 较年轻的谷超豪、胡和生、夏道 巨大关系的学科，如微分方程、计 行等脱颖而出，在微分几何、函 算数学、概率统计等都得到优先发 数论诸方面取得国际水平的成 展。 果。
• 陈省身推动建立南开数学所，并首任所长。 频繁而密切的国际交往，是20世纪 • 80年代以来中国数学的重要特点。 应用数学大家林家翘，帮助创立“工业与 一些著名的旅居国外的数学家，对 应用数学学会”，创立清华“应用数学研 中国数学的发展，倾注了巨大的热 究所”。 情。
• 1982年费尔兹奖获得者丘成 桐，倡议建立“晨星数学基 金会”，召开华人数学家大 会，力争使华人数学家在世 界上取得重要的、能与国际 数学名家进行独立平等交流 的地位。
数学发展简史
数学发展简史数学发展简史数学发展史⼤致可以分为四个阶段：1. 数学起源时期2. 初等数学时期3. 近代数学时期4. 现代数学时期⼀、数学起源时期（远古 —— 公元前5世纪）这⼀时期：建⽴⾃然数的概念；认识简单的⼏何图形；算术与⼏何尚未分开。
¡ 数学起源于四个“河⾕⽂明”地域：⾮洲的尼罗河；西亚的底格⾥斯河与幼发拉底河；中南亚的印度河与恒河；东亚的黄河与长江¡ 当对数的认识(计数)变得越来越明确时，⼈们感到有必要以某种⽅式来表达事物的这⼀属性，于是导致了记数。
⼈类现在主要采⽤⼗进制，与“⼈的⼿指共有⼗个”有关。
⽽记数也是伴随着计数的发展⽽发展的。
打开今⽇头条，查看更多精彩图⽚江西遂川：⾼⼭梯⽥美如画记数：刻痕记数是⼈类最早的数学活动，考古发现有3万年前的狼⾻上的刻痕。
¡ 古埃及的象形数字出现在约公元前3400年；¡ 巴⽐伦的楔形数字出现在约公元前2400年；¡ 中国的甲⾻⽂数字出现在约公元前1600年。
¡ 古埃及的纸草书和⽺⽪书及巴⽐伦的泥板⽂书记载了早期数学的内容，年代可以追溯到公元前2000年，其中甚⾄有“整勾股数”及⼆次⽅程求解的记录。
¡ 捷克摩拉维亚狼⾻（约三万年前）¡ 莫斯科纸草书¡ 2 0世纪在两河流域有约50万块泥版⽂书出⼟，其中300多块与数学有关西安半坡遗址：中国西安半坡遗址反映的是约公元前6000年的⼈类活动，那⾥出⼟的彩陶上有多种⼏何图形，包括平⾏线、三⾓形、圆、长⽅形、菱形等。
¡ 埃及⾦字塔：建于约公元前2900年的埃及法⽼胡夫的⾦字塔，塔基每边长约230⽶，塔基的正⽅程度与⽔平程度的平均误差不超过万分之⼀。
¡ 中国的《周髀算经》（公元前200年成书）：宋刻本《周髀算经》（西周，前1100年）《周髀算经》中关于勾股定理的记载⼆、初等数学时期（前6世纪——公元16世纪）也称常量数学时期，这期间逐渐形成了初等数学的主要分⽀：算术、⼏何、代数、三⾓。
数学的三个发展时期——现代数学时期
数学的三个发展时期——现代数学时期三、现代数学时期现代数学时期是指由19世纪20年代至今，这一时期数学主要研究的是最一般的数量关系和空间形式，数和量仅仅是它的极特殊的情形，通常的一维、二维、三维空间的几何形象也仅仅是特殊情形。
抽象代数、拓扑学、泛函分析是整个现代数学科学的主体部分。
它们是大学数学专业的课程，非数学专业也要具备其中某些知识。
变量数学时期新兴起的许多学科，蓬勃地向前发展，内容和方法不断地充实、扩大和深入。
18、19世纪之交，数学已经达到丰沛茂密的境地，似乎数学的宝藏已经挖掘殆尽，再没有多大的发展余地了。
然而，这只是暴风雨前夕的宁静。
19世纪20年代，数学革命的狂飙终于来临了，数学开始了一连串本质的变化，从此数学又迈入了一个新的时期——现代数学时期。
19世纪前半叶，数学上出现两项革命性的发现——非欧几何与不可交换代数。
大约在1826年，人们发现了与通常的欧几里得几何不同的、但也是正确的几何——非欧几何。
这是由罗巴契夫斯基和里耶首先提出的。
非欧几何的出现，改变了人们认为欧氏几何唯一地存在是天经地义的观点。
它的革命思想不仅为新几何学开辟了道路，而且是20世纪相对论产生的前奏和准备。
后来证明，非欧几何所导致的思想解放对现代数学和现代科学有着极为重要的意义，因为人类终于开始突破感官的局限而深入到自然的更深刻的本质。
从这个意义上说，为确立和发展非欧几何贡献了一生的罗巴契夫斯基不愧为现代科学的先驱者。
1854年，黎曼推广了空间的概念，开创了几何学一片更广阔的领域——黎曼几何学。
非欧几何学的发现还促进了公理方法的深入探讨，研究可以作为基础的概念和原则，分析公理的完全性、相容性和独立性等问题。
1899年，希尔伯特对此作了重大贡献。
在1843年，哈密顿发现了一种乘法交换律不成立的代数——四元数代数。
不可交换代数的出现，改变了人们认为存在与一般的算术代数不同的代数是不可思议的观点。
它的革命思想打开了近代代数的大门。
数学教育的现代发展
数学教育的现代发展数学教育在当今社会发展中起着重要的作用。
随着科技的不断进步和社会竞争的日益激烈，数学教育的现代发展至关重要。
本文将从教育模式的创新、教学资源的丰富和教师角色的转变三个方面来探讨数学教育的现代发展。
教育模式的创新现代数学教育已经逐渐摆脱了传统的“死记硬背”的教学模式，开始注重培养学生的实际应用能力和逻辑思维能力。
现代数学教育更加强调学生的探究和自主学习，通过启发式和探索性学习的方法，培养学生的创新意识和问题解决能力。
此外，现代数学教育还注重培养学生的团队合作能力和信息技术运用能力，通过小组合作和网络学习等方式激发学生的学习兴趣和潜能。
教学资源的丰富现代数学教育的发展离不开教学资源的丰富化与多样化。
随着信息时代的到来，数学教育借助现代科技手段，如计算机软件、多媒体课件和网络教学平台等，使学习内容更加生动有趣、形象直观。
通过使用虚拟实验室和数学建模软件等工具，学生可以进行更多实践操作，提高数学知识的实际运用能力。
同时，数字化教材的使用也为教师和学生提供了更多选择和便利，实现了教学资源的共享和互动。
教师角色的转变在现代数学教育中，教师的角色正在发生转变。
传统的数学教师主要以知识传授者和讲解者的身份存在，而在现代数学教育中，教师更应该成为学生学习的引导者和指导者。
教师应该注重培养学生的自主学习能力和合作精神，引导学生发现问题、探索解决问题的方法，并及时给予有效的反馈和指导。
教师还应不断提升自身的专业素养和教育技能，掌握最新的数学知识和教学方法，以适应数学教育的发展需求。
总结数学教育的现代发展已经取得了显著的成果。
教育模式的创新、教学资源的丰富和教师角色的转变为数学教育的发展提供了坚实的基础。
然而，数学教育的现代发展还面临一些挑战，如教育资源的不平衡、教师培训的不足等。
只有持续创新和改进，才能进一步推动数学教育的发展，培养更多具有数学素养和创新能力的人才，为社会发展做出更大贡献。
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今天约当的名字更多的和分析学中约当曲线、矩
阵中的约当标准型、积分论中的约当容量联系在一
确定系统的人，并为现代混沌理论打下了基础，
甚至在相对论研究上，他第一篇论文的发表也
比爱因斯坦的论文早了一个多月.庞加莱一生发 表的科学论文约500篇、科学著作约30部，几乎 涉及到数学的所有领域以及理论物理、天体物
理等的许多重要领域.主要著作有《科学与假 设》、《科学的价值》、《科学的方法》等.
• 1904年，亨利·庞加莱提出了这样一个 猜想：在一个封闭的三维空间，假如每
• 克罗内特(L.K. Kronecker, 1815-1891)在代数学、 数论、椭圆函数论方面成就显著,并有非常广泛的 社会和学术关系, 被称为德国数学的无冕之王;
• 而对后世影响更大是魏尔斯特拉斯(Karl T.W. Weierstrass,1815-1897).
3. 对近代数学影响的德国的三位数学家
3. 有理数域上的代数几何学:1901年的一篇论 文开创了代数方程有理数解的研究, 成为代 数数论的一项开创性工作.
• 克莱因是当然的领袖.
• 十九世纪后期, 除格丁根大学之外,柏林大学也是 当然的数学中心, 狄利克雷(G.P.L. Dirichlet, 18051859)在此校工作了27年, 为柏林大学赢得很高的 数学声誉, 1854年他去格丁根大学接替去世的高斯; 柏林大学的数学教授库默尔(E.E.Kummer, 18011893)长期担任柏林大学校长, “理想数”的工作成 为现代代数数论的先驱;
现代数学的发展趋势
第四章现代数学的发展趋势一、现代数学的发展趋势内容概括与古典数学相比，现代数学的发展从思想方法的角度看具有一些新的特征，本章内容通过数学的统一性、数学在自然科学和社会科学中的广泛应用、数学机械化的产生与发展及其意义、计算机促进计算数学的发展、计算机促进数学中新学科的发展这些方面来认识和理解现代数学的发展趋势。
下面从以下几个方面来分析：● 数学的统一性● 数学应用的广泛性● 计算机与数学发展1．数学的统一性所谓统一性，就是部分与部分、部分与整体之间的协调一致。
客观世界具有统一性，数学作为描述客观世界的语言必然也具有统一性。
数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现。
它表现为数学的各个分支相互渗透和相互结合的趋势。
● 数学的统一性发展的三个阶段（1）数学从经验积累到严格的演绎体系建立，其特征逐步明显，在中世纪时，从研究对象和方法来看，初等数学有了一定的统一性。
特别是17世纪解析几何的诞生，使数学中的代数与几何统一起来，说明统一性是数学的特征。
生了变革，结果是数学分支愈来愈多，数学表现的更加多样化。
因此，需要重新认识数学的统一性。
为此，数学家们作了很多努力，到20世纪30年代，法国的布尔巴基（Bourbaki）学派提出，利用数学内在联系和公理化方法从数学各个分支中提炼出各种数学结构。
他们认为数学的发展无非是各种结构的建立和发展，“数学好比一座大城市。
城市中心有些巨大的建筑物，就好比是一个个已经建成的数学理论体系。
城市的郊区正在不断地并且多少有点杂乱无章地向外伸展，他们就好像是一些尚未发育成型的正在成长着的数学新分支。
与此同时，市中心又在时时重建，每次都是根据构思更加清晰的计划和更加合理的布局，在拆毁掉旧的迷宫似的断街小巷的同时，将修筑起新的更直、更宽、更加方便的林荫大道通向四方，……。
”(2)布尔巴基学派在集合论的基础上建立了三个基本结构（即代数结构、序结构和拓扑结构），然后根据不同的条件，由这三个基本结构交叉产生新的结构，如分析结构、布尔代数结构等等。
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出身于一个政府官员家庭, 父亲送他到柏林大学攻读
法学博士学位, 由于他不 喜欢, 未到毕业就离开了, 后来在一所神学哲学院读
数学, 通过中学教师资格 的国家考试后, 曾任中学 (体育)教师达15年之久. 在这期间他发表了椭圆函数
轰动当时世界数学界.1878年引进了无穷集 的「 势」和提出「连续性」的问题.1883 年给出了超限基 数的定义等.
• 康托尔的集合论富有革命性，其理论很难 被立即接受 以致遭受一些数学家的反对，
例如大数学权威克罗内克对“小人物”康
托尔的批判, 阻止康托尔到柏林工作, 散布 对超越数的怀疑, 对康托尔是毁灭性的打 击.
条封闭的曲线都能收缩成一点，这个空
间一定是一个圆球. 庞加莱的仅仅两行 字，成为数学界100多年未能证明的难 题.关于庞加莱猜想的证明是2006年基 本完成 . 美国《科学》杂志2006年12月 21日公布了该刊评选出的2006年度十大 科学进展，其中科学家证明庞加莱猜想
被列为头号科学进展.
由庞加莱开创新领域有:
起.
★达布(J.G. Darboux, 1842-1917): 毕业于巴黎高等
师范学院, 并在该校工作, 他主要研究领域是微分几 何.他详细研究曲面理论、曲线坐标、曲线和曲面的 变形等基本问题. 同样达布的影响不限几何,他在积 分论中研究黎曼可积的充分必要条件时给出的现在
称为达布上和下和上积分下积分等概念已经成为经
1. 自守函数论:自守函数是通常的三角函数、 椭圆函数的推广.它的引入使得微分方程、 代数几何、 代数数论找到了新的立足点. 如果说18世纪是微分学的世纪，那么19世 纪则是函数论的世纪.庞加莱是因发明自守 函数而使函数论的世纪大放异彩的，他本
人也因此在数学界崭露头角.
2. 整函数的“亏理论”: 他第一个研究整函数 “亏数”和函数增长的关系, 为整函数和 亚纯函数理 论的研究打开了道路.
学校的学生, 一直以工程师的身份研究数学, 同时在 巴黎综合工科学校和法兰西学院任教. 1881年年成 为法兰西科学院院士. 他在伽罗瓦的群论等方面作 了系统研究, 在群和群表示理论上的开创性工作是 后来代数发展的 起点.
今天约当的名字更多的和分析学中约当曲线、矩
阵中的约当标准型、积分论中的约当容量联系在一
• 1884年康托尔患上忧郁症, 经常发病, 到 1899年,集合论的悖论在他头脑里萦绕, 旧 病再次复发, 住进医院, 以后一二十年中他 断断续续在哈雷大学精神病院中度过. 1918年在那里去世.
4. 法国数学领袖---庞加莱
★ 庞加莱
(J.H. Poincare, 1854-1912)
法国数学家,物理学 家,天文学家
典的理论.
• 19世纪末期法国更着重于经典问题 的刻画, 注意几何、分析上的严密 化, 解决 一些悬而未决的问题.
• 而德国学派更注意新方向和新思想 的开拓, 这样法国数学的发展似乎 过分拘谨了.
• 然而庞加莱的出现, 使法国数学出 现了新的转机.
1854年4月29日，法国数学家亨利·庞加莱 生于南锡. 他是一位博学家，在数学、数学物理、 天体力学和哲学方面都有很深的造诣.他一生的 主要研究成就是方法论，他是第一个发现混沌
• 克罗内特(L.K. Kronecker, 1815-1891)在代数学、 数论、椭圆函数论方面成就显著,并有非常广泛的 社会和学术关系, 被称为德国数学的无冕之王;
• 而对后世影响更大是魏尔斯特拉斯(Karl T.W. Weierstrass,1815-1897).
3. 对近代数学影响的德国的三位数学家
• 应用数学取得伟大成就
• 1846年英国的亚当斯(J.C. Adams, 1819-1892)和法 国的勒威耶(U.J.J.Le Verrier, 1811-1877)分别独立 的用数学方法计算出海王星的轨道;
• 高斯在大地振动理论的进一步发 展;
• Hilbert称赞康托尔的
超越数理论是“数学精 神最令人惊羡的花朵, 人类智力活动最精美的
成果.”… “没有人能 把我们从康托所创 造的天国中赶走!”
• 康托尔（G.Cantor, 1845~1918） 德国数学 家.1845年生于俄国圣彼得堡，卒于哈雷， 是丹麦犹太商人之子.集合论的创始人，受 教于数学家库默尔、外尔斯特拉斯和克罗
• 进入19世纪, 德国的格丁根大学的崛起, 数学 王子高斯(C.F. Gauss, 1777~1855)称雄世界, 黎曼(G.F.B. Riemann, 1826~1866)为人类留 下了无数的数学珍宝.
• 十九世纪上半叶的数学思想和成果 • 纯粹数学方面:
• 代数:伽罗瓦(Galois,1811-1832) ---新动力 • 几何:
• 克莱因晚年关注应用数学和数学教育,
• 开创了世界第一流数学家关心中小学数学教 育改革的先例, 影响深远.
• 1886年春, 克莱因就任格丁根大学教授, 虽然继 续从事数学研究, 但更多的进行行政组织、数 学教育、国际交流等方面的活动，目标是把格
丁根大学建成世界第一流的数学中心.
• 十年左右努力终有成效. 1895年初, 大数学家 希尔伯特(David Hilbert, 1862-1943) 到格丁根 大学任教, 克莱因被授予枢密顾问官职务,格丁 根大学的学术地位陡然升高. 1902年, 闵科夫斯 基(H.Minkowski,1864-1909)也来到格丁根大学. 这三驾马车终于把格丁根大学建成20世纪初期 的世界数学中心.
罗巴切夫斯基(Lobatchevski, 1792- 1856) 鲍耶(Bolyai, 1802-1860) 高斯(Gauss, 1777-1855) ---非欧几何学 • 数论------解析数论 • 分析: 严格化, 复变函数理论 Cauchy, Weierstrass, Dedekind, Cantor
现代数学发展简介
一.十九世纪的数学概况
1. 十七---十八世纪的数学成就
• 十七世纪数学的最大成就是牛顿(I. Newton, 1642~1727)微积分思想诞生在英国.
• 十八世纪资本主义的生产方式带来了法国的大革 命, 数学的中心也移到了法国, 当时的一代数学权 威有: 拉格朗日(J. Lagrange, 1736~1813); 拉普拉斯(P.M. Laplace, 1749~1827); 勒让德(A. Legendre, 1752~1833) 蒙日(G. Monge, 1746~1818) 等等
数学方面: 非欧 几何,不变理论,分 析力学,概率论
• 十九世纪前期的法国, 柯西是无可争辩的领 袖.1857年柯西去世之后, 世界的数学中心渐 渐向德国转移, 当然这也与社会经济相关.
• 在世纪之交世界数学是法德争雄的格局, 法 国数学有着许多骄人的成果, 其代表人物有:
★埃尔米特(C. Hermite, 1822-1901): 毕业于
• 康托尔的集合论思考与研究是从他的三角 级数的研究 中产生的. 1871年给出了集合 的定义，定义了集合的 交与并等.他在 1872年利用有理数的「基本序列」概 念定 义了无理数，把实数的理论严格起来，并
建立了点集 论.1874年康托尔发表第一篇 关于无穷集合的文章， 对超越数的存在且
远远「多」于代数数作出了集合论的证明，
确定系统的人，并为现代混沌理论打下了基础，
甚至在相对论研究上，他第一篇论文的发表也
比爱因斯坦的论文早了一个多月.庞加莱一生发 表的科学论文约500篇、科学著作约30部，几乎 涉及到数学的所有领域以及理论物理、天体物
理等的许多重要领域.主要著作有《科学与假 设》、《科学的价值》、《科学的方法》等.
• 1904年，亨利·庞加莱提出了这样一个 猜想：在一个封闭的三维空间，假如每
是世人瞩目的. 德国在数 学上提出了明确的目标, 要谋求世界领先的地位. 而执行这一使命的是数
学大师 克莱因(C.F. Klein, 1849-1925).
★克莱因---著名的几何学家:
• 1865年进入波恩大学,开始研究几何学. 1869 年 到格丁根大学工作, 并周游欧洲诸国.
• 1872年任埃尔郎根大学正教授发表了《新近 几何学 研究的比较考察》的演讲, 用运动群 下的不变量对几何学进行分类, 这就是著名 的埃尔郎根纲领. 这一几何学上划时代的工作, 在此后的50年内一直处于几何研究的中心 地 位.
拉格朗日(J. Lagrange, 1736~1813); 拉普拉斯(P.M. Laplace, 1749~1827);
勒让德(A. Legendre, 蒙日(G. Monge,
1752~1833
1746~1818)
2. 十九世纪的数学发展
• 十九世纪是法国与德国在数学上争雄的时代.
• 1794年诞生的法国综合技术学校成为19世纪 初的世界数学中心, 以当时的两大数学家傅 里叶(J.B. Fourier, 1768~1830)、柯西（A. Cauchy, 1789~1857)为首的调和分析和分析 学方向是其中的代表, 他们的影响一直持续 的现在.
论的重要文章, 被破格授予 哥尼斯堡大学名誉博士学位.
• 魏尔斯特拉斯1856年到柏林皇家综合工科学校任数 学教授, 1857年任柏林大学副教授, 1864年升任正教 授, 1873年出任柏林大学校长, 成为左右德国数学界 的一位领袖人物.
• 他获得这些荣誉重要是他的学术 风格,他是19世纪 末分析严格化进程的代表, 反映了那个时代和20世 纪整个数学严谨性的潮流.
• 克莱因是当然的领袖.
• 十九世纪后期, 除格丁根大学之外,柏林大学也是 当然的数学中心, 狄利克雷(G.P.L. Dirichlet, 18051859)在此校工作了27年, 为柏林大学赢得很高的 数学声誉, 1854年他去格丁根大学接替去世的高斯; 柏林大学的数学教授库默尔(E.E.Kummer, 18011893)长期担任柏林大学校长, “理想数”的工作成 为现代代数数论的先驱;