四川省南充高中2013届高三上学期第三次月考 数学文
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（2） ∵ x ∈
π 2π π⎞ ⎡π π⎤ ， π ⎛ ， ⎥ ∴ ≤ 2 x − ≤ ，即 2 ≤1 + 2sin ⎜ 2 x − ⎟ ≤ 3 ， ⎢ 6 3 3 3⎠ ⎣4 2⎦ ⎝ ………………………………12 分 ∴ f ( x) max = 3，f ( x) min = 2 ．
18. （本小题满分 12 分） 解： （Ⅰ）由余弦定理及已知条件得， a 2 + b 2 − ab = 4 ， 又因为 △ ABC 的面积等于 联立方程组 ⎨
16．设函数 f ( x ) 是定义域为 R 的函数，有下列命题： ①对任意 x ∈ R ， f ( x + 1) = f (1 − x) 成立，那么函数 f ( x ) 的图像关于直线 x = 1 对称；
·2·
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②对任意 x ∈ R ， f ( x) + f (1 − x ) = 2 成立，那么函数 f ( x ) 的图像关于点（1，1）对称； ③对任意 x ∈ R ， f ( x) + f ( x +1) = 0 成立，那么函数 f ( x ) 是周期为 2 的周期函数； ④对任意 x ∈ R ， f (1 - x) + f ( x − 1) = 0 成立，那么函数 f ( x) 是奇函数. 其中正确的命题的序号是 三、解答题（74 分） 17． （本小题满分 12 分） 已知已知函数 f ( x ) = 2sin 2 ⎜ （Ⅰ）求 f ( x ) 的最小正周期及单调递减区间； （Ⅱ）当 x ∈ . （把你认为正确的命题的序号都填上）
⎛π ⎞ + x ⎟ − 3 cos 2 x ， ⎝4 ⎠
⎡ π π ⎤ 时，求 ， f (x) 的最大值和最小值． ⎢ ⎣4 2⎥ ⎦
18． （本小题满分 12 分）在 △ ABC 中，内角 A，B，C 对边的边长分别是 a，b，c ，已知 c = 2 ，
C=
π ． 3 3 ，求 a，b ；
（Ⅰ）若 △ ABC 的面积等于
（Ⅱ）若 sin C + sin( B − A) = 2sin 2 A ，求 △ ABC 的面积．
19． （本小题满分 12 分）已知数列 {a n }的各项均为正数， Sn 为其前 n 项和，对于任意 n ∈ N * ，满足 关系 S n = 2a n − 2 . （Ⅰ）证明： {a n }是等比数列； （Ⅱ）令 bn
ln 2 2 ln 3 2 ln n 2 2 n 2 - n -1 （ n Î N ,n ³ 2 ）. + + ⋯ + < 22 32 n2 2( n +1)
·4·
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南充高中 2010 级高三（上）第三次月考 数学参考答案(文科)
（Ⅰ）若 M 为 PA 中点，求证： AC // 平面 MDE ； （Ⅱ）求平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角的余弦值.
P
E
M
D
·3·
C
A
B
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x2 y2 21． （本小题满分 12 分） 椭圆 C： 2 ＋ 2 ＝1(a>b>0)的两个焦点为 F1 、 F 2， 点 P 在椭圆 C 上， 且 PF1⊥F 1F 2， a b 1 且|PF1 |＝ ，|F 1F 2|＝2 3. 2 （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）以此椭圆的上顶点 B 为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形 ABC，这样的直角三角形是 否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由．
3 ，所以
1 ab sin C = 3 ，得 ab = 4 ．···························· 4 分 2
解得 a = 2 ， b = 2 ．········································································ 6分 ab = 4 ， ⎩ （Ⅱ）由题意得 sin( B + A) + sin( B − A) = 4sin Acos A ， 即 sin B cos A = 2sin Acos A ，················································································································· 8分 π π 4 3 2 3 当 cos A = 0 时， A = ， B = ， a = ，b = ， 2 6 3 3 当 cos A ≠ 0 时，得 sin B = 2 sin A ，由正弦定理得 b = 2a ， ⎧ a 2 + b 2 − ab = 4， 2 3 4 3 联立方程组 ⎨ 解得 a = ，b = ． 3 3 b = 2 a ， ⎩
11. 已 知 函 数 f ( x ) = ax 2 + (b + 1) x + b − 1 ， 且 a ∈ (0, 4) ， 则 对 于 任 意 的 b ∈ R ， 函 数
F ( x) = f ( x) − x 总有两个不同的零点的概率是（
A．
）
1 2 3 C． D． 4 3 4 ⎧sin π x (0 ≤ x ≤ 1) 12．已知函数 f ( x ) = ⎨ ，若 a , b , c 互不相等，且 f (a ) = f (b ) = f (c ) ， ⎩ log 2013 x ( x > 1)
3 sin 2x ≤ 3 ，则（ 3 sin 2x ≤ 3 3 sin 2x > 3 3 sin 2x ≤ 3 3 sin 2x > 3
）
A． p 是假命题； ¬ p : ∃x ∈ R ， f ( x ) = 2 cos2 x + B ． p 是假命题； ¬ p : ∃x ∈ R ， f ( x ) = 2 cos2 x + C ． p 是真命题； ¬ p : ∃x ∈ R ， f ( x ) = 2 cos2 x + D． p 是真命题； ¬ p : ∃x ∈ R ， f ( x ) = 2 cos2 x +
x 14．曲线 C ： f ( x) = sin x + e + 2 在 x
= 0 处的切线方程为
.
15．已知 A 船在灯塔 C 北偏东 80� 处，且 A 船到灯塔 C 的距离为 2km， B 船在灯塔 C 北偏西 40� 处，
A 、 B 两船间的距离为 3km，则 B 船到灯塔 C 的距离为____________km.
·5·
⎧ a 2 + b 2 − ab = 4，
a b
C． 2 ） B ．必要不充分条件
D． −2
1 ⎞ ⎛ 1⎞ 4． “ log 3 a > log 3 b ”是“ ⎛ ⎜ ⎟ < ⎜ ⎟ ”的（ ⎝2⎠ ⎝ 2⎠
A ．充分不必要条件 C ．充要条件 5．命题 p : ∀x ∈ R ，函数 f ( x ) = 2 cos2 x +
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D．既不充分也不必要条件
3 2
B ． −3
D． −
3 2
2．已知全集 U = { 0,1, 2,3, 4} ，集合 A = {1, 2,3} , B = {2, 4} ，则 (CU A) ∪ B 为（ A． {1, 2, 4} B ． { 2, 3, 4} C ． {0, 2, 4}
）
D． {0, 2,3, 4} ）
3．若纯虚数 z 满足 (2 − i ) z = 4 − bi ， （ i 是虚数单位， b 是实数） ，则 b = （ A ．8 B ． −8
⎡
⎣ π⎞ ⎛ = 1 + 2sin ⎜ 2 x − ⎟ 3⎠ ⎝
π ⎞⎤ + 2 x ⎟ ⎥ − 3 cos 2 x = 1 + sin 2 x − 3 cos 2 x ⎝2 ⎠⎦
………………………………4 分
所以最小正周期 T = π
………………………………5 分
π π 3π 由 +2 kπ ≤ 2 x − ≤ + 2 kπ ， k ∈ Z 2 3 2 5π 11π 得 + kπ ≤ x ≤ + k π，k ∈ Z 12 12 11 π ⎡ 5π ⎤ ∴ 单调递减区间为 ⎢ + kπ , + kπ ⎥ , k ∈ Z ………………………8 分 12 ⎣ 12 ⎦
22． （本小题满分 14 分） 设函数 f ( x ) = ln x + x 2 + ax . 1 （Ⅰ）若 x＝ 时， f ( x ) 取得极值，求 a 的值； 2 （Ⅱ）若 f ( x ) 在其定义域内为增函数，求 a 的取值范围； （Ⅲ）设 g ( x) = f ( x) - x2 +1 ，当 a =－1 时，证明 g ( x) £ 0 在其定义域内恒成立， 并证明
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南充高中 2010 级高三（上）第三次月考
数 学试 题 （ 文科 ）
命题：尹怀前
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1．若 tan α = A． 3
1 π ，则 tan(α + ) 等于（ 2 4
审题：赵兴俊
） C．
·1·
）
D． 12
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9．右图是函数 y＝Asin(ωx ＋φ)(x∈R)在区间
－π，5π 6 6 上的
图象，为了得到这个函数的图象，只要将 y＝sin x(x ∈R) 的图象上所有的点（ ）
π A．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩 6 1 短到原来的 ，纵坐标不变 2 π B ．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 3 π 1 C ．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变 3 2 π D．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 6 10． 过双曲线
= log 2 a n , 求数列 ⎧ ⎨
1 ⎫ ⎬ 的前 n 项和 Tn ． ⎩b n bn+1 ⎭
20． （本小题满分 12 分）如图 PDCE 为矩形， ABCD 为梯形，平面 PDCE ^ 平面 ABCD ，
1 ÐBAD =Ð ADC = 90° ， AB = AD = CD = a ， PD = 2a . 2
B． 则 a + b + c 的取值范围是（ A． (1, 2013) ） C． （2, 2013 ） D． (2, 2014) B ． (1, 2014)
1 3
二、填空题（每小题 4 分，共 16 分） 13．已知函数 f ( x ) = ⎨
2x ( x < 3) ，则 f (2012) = _____________. ⎩ f ( x − 3) ( x ≥ 3) ⎧
6．若 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和，且 S8 − S3 = 20 ，则 S11 的值为（ A ．22 B ．44 C ． 220 3
） D．88 ）
7．函数 y = a x , y = sin ax （a>0 且 a≠1）在同一个直角坐标系中的图象可以是（
8．平面向量 A． 3
a
与 b 的夹角为 60° ， a = (2, 0),| b |= 1，则 | a + 2b | 等于（ B． 2 3 C ．4
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 题号 答案 1 A 2 C 3 B 4 A 5 D 6 B 7 D 8 B 9 C 10 C 11 B 12 D
二、填空题（每小题 4 分，共 16 分） 13. 4 14. y = 2 x + 3 15. 6 − 1 16. ①③④ 三. 解答题：本大题共 6 个小题 .共 74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17. （本小题满分 12 分） 解： （Ⅰ） ∵ f ( x) = ⎢1 − cos ⎛ ⎜
x2 y2 切点为 E ， 延长 FE − = 1(b > a > 0) 的左焦点 F (−c, 0)(c > 0) 作圆 x 2 + y 2 = a 2 的切线， a2 b2 ��� � 1 ���� ��� � 交双曲线的右支于点 P ，若 OE = (OF + OP ) ，则双曲线的离心率为（ ） 2 A． 2 B． 3 C． 5 D． 6
π 2π π⎞ ⎡π π⎤ ， π ⎛ ， ⎥ ∴ ≤ 2 x − ≤ ，即 2 ≤1 + 2sin ⎜ 2 x − ⎟ ≤ 3 ， ⎢ 6 3 3 3⎠ ⎣4 2⎦ ⎝ ………………………………12 分 ∴ f ( x) max = 3，f ( x) min = 2 ．
18. （本小题满分 12 分） 解： （Ⅰ）由余弦定理及已知条件得， a 2 + b 2 − ab = 4 ， 又因为 △ ABC 的面积等于 联立方程组 ⎨
16．设函数 f ( x ) 是定义域为 R 的函数，有下列命题： ①对任意 x ∈ R ， f ( x + 1) = f (1 − x) 成立，那么函数 f ( x ) 的图像关于直线 x = 1 对称；
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②对任意 x ∈ R ， f ( x) + f (1 − x ) = 2 成立，那么函数 f ( x ) 的图像关于点（1，1）对称； ③对任意 x ∈ R ， f ( x) + f ( x +1) = 0 成立，那么函数 f ( x ) 是周期为 2 的周期函数； ④对任意 x ∈ R ， f (1 - x) + f ( x − 1) = 0 成立，那么函数 f ( x) 是奇函数. 其中正确的命题的序号是 三、解答题（74 分） 17． （本小题满分 12 分） 已知已知函数 f ( x ) = 2sin 2 ⎜ （Ⅰ）求 f ( x ) 的最小正周期及单调递减区间； （Ⅱ）当 x ∈ . （把你认为正确的命题的序号都填上）
⎛π ⎞ + x ⎟ − 3 cos 2 x ， ⎝4 ⎠
⎡ π π ⎤ 时，求 ， f (x) 的最大值和最小值． ⎢ ⎣4 2⎥ ⎦
18． （本小题满分 12 分）在 △ ABC 中，内角 A，B，C 对边的边长分别是 a，b，c ，已知 c = 2 ，
C=
π ． 3 3 ，求 a，b ；
（Ⅰ）若 △ ABC 的面积等于
（Ⅱ）若 sin C + sin( B − A) = 2sin 2 A ，求 △ ABC 的面积．
19． （本小题满分 12 分）已知数列 {a n }的各项均为正数， Sn 为其前 n 项和，对于任意 n ∈ N * ，满足 关系 S n = 2a n − 2 . （Ⅰ）证明： {a n }是等比数列； （Ⅱ）令 bn
ln 2 2 ln 3 2 ln n 2 2 n 2 - n -1 （ n Î N ,n ³ 2 ）. + + ⋯ + < 22 32 n2 2( n +1)
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南充高中 2010 级高三（上）第三次月考 数学参考答案(文科)
（Ⅰ）若 M 为 PA 中点，求证： AC // 平面 MDE ； （Ⅱ）求平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角的余弦值.
P
E
M
D
·3·
C
A
B
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x2 y2 21． （本小题满分 12 分） 椭圆 C： 2 ＋ 2 ＝1(a>b>0)的两个焦点为 F1 、 F 2， 点 P 在椭圆 C 上， 且 PF1⊥F 1F 2， a b 1 且|PF1 |＝ ，|F 1F 2|＝2 3. 2 （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）以此椭圆的上顶点 B 为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形 ABC，这样的直角三角形是 否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由．
3 ，所以
1 ab sin C = 3 ，得 ab = 4 ．···························· 4 分 2
解得 a = 2 ， b = 2 ．········································································ 6分 ab = 4 ， ⎩ （Ⅱ）由题意得 sin( B + A) + sin( B − A) = 4sin Acos A ， 即 sin B cos A = 2sin Acos A ，················································································································· 8分 π π 4 3 2 3 当 cos A = 0 时， A = ， B = ， a = ，b = ， 2 6 3 3 当 cos A ≠ 0 时，得 sin B = 2 sin A ，由正弦定理得 b = 2a ， ⎧ a 2 + b 2 − ab = 4， 2 3 4 3 联立方程组 ⎨ 解得 a = ，b = ． 3 3 b = 2 a ， ⎩
11. 已 知 函 数 f ( x ) = ax 2 + (b + 1) x + b − 1 ， 且 a ∈ (0, 4) ， 则 对 于 任 意 的 b ∈ R ， 函 数
F ( x) = f ( x) − x 总有两个不同的零点的概率是（
A．
）
1 2 3 C． D． 4 3 4 ⎧sin π x (0 ≤ x ≤ 1) 12．已知函数 f ( x ) = ⎨ ，若 a , b , c 互不相等，且 f (a ) = f (b ) = f (c ) ， ⎩ log 2013 x ( x > 1)
3 sin 2x ≤ 3 ，则（ 3 sin 2x ≤ 3 3 sin 2x > 3 3 sin 2x ≤ 3 3 sin 2x > 3
）
A． p 是假命题； ¬ p : ∃x ∈ R ， f ( x ) = 2 cos2 x + B ． p 是假命题； ¬ p : ∃x ∈ R ， f ( x ) = 2 cos2 x + C ． p 是真命题； ¬ p : ∃x ∈ R ， f ( x ) = 2 cos2 x + D． p 是真命题； ¬ p : ∃x ∈ R ， f ( x ) = 2 cos2 x +
x 14．曲线 C ： f ( x) = sin x + e + 2 在 x
= 0 处的切线方程为
.
15．已知 A 船在灯塔 C 北偏东 80� 处，且 A 船到灯塔 C 的距离为 2km， B 船在灯塔 C 北偏西 40� 处，
A 、 B 两船间的距离为 3km，则 B 船到灯塔 C 的距离为____________km.
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⎧ a 2 + b 2 − ab = 4，
a b
C． 2 ） B ．必要不充分条件
D． −2
1 ⎞ ⎛ 1⎞ 4． “ log 3 a > log 3 b ”是“ ⎛ ⎜ ⎟ < ⎜ ⎟ ”的（ ⎝2⎠ ⎝ 2⎠
A ．充分不必要条件 C ．充要条件 5．命题 p : ∀x ∈ R ，函数 f ( x ) = 2 cos2 x +
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D．既不充分也不必要条件
3 2
B ． −3
D． −
3 2
2．已知全集 U = { 0,1, 2,3, 4} ，集合 A = {1, 2,3} , B = {2, 4} ，则 (CU A) ∪ B 为（ A． {1, 2, 4} B ． { 2, 3, 4} C ． {0, 2, 4}
）
D． {0, 2,3, 4} ）
3．若纯虚数 z 满足 (2 − i ) z = 4 − bi ， （ i 是虚数单位， b 是实数） ，则 b = （ A ．8 B ． −8
⎡
⎣ π⎞ ⎛ = 1 + 2sin ⎜ 2 x − ⎟ 3⎠ ⎝
π ⎞⎤ + 2 x ⎟ ⎥ − 3 cos 2 x = 1 + sin 2 x − 3 cos 2 x ⎝2 ⎠⎦
………………………………4 分
所以最小正周期 T = π
………………………………5 分
π π 3π 由 +2 kπ ≤ 2 x − ≤ + 2 kπ ， k ∈ Z 2 3 2 5π 11π 得 + kπ ≤ x ≤ + k π，k ∈ Z 12 12 11 π ⎡ 5π ⎤ ∴ 单调递减区间为 ⎢ + kπ , + kπ ⎥ , k ∈ Z ………………………8 分 12 ⎣ 12 ⎦
22． （本小题满分 14 分） 设函数 f ( x ) = ln x + x 2 + ax . 1 （Ⅰ）若 x＝ 时， f ( x ) 取得极值，求 a 的值； 2 （Ⅱ）若 f ( x ) 在其定义域内为增函数，求 a 的取值范围； （Ⅲ）设 g ( x) = f ( x) - x2 +1 ，当 a =－1 时，证明 g ( x) £ 0 在其定义域内恒成立， 并证明
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数 学试 题 （ 文科 ）
命题：尹怀前
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1．若 tan α = A． 3
1 π ，则 tan(α + ) 等于（ 2 4
审题：赵兴俊
） C．
·1·
）
D． 12
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9．右图是函数 y＝Asin(ωx ＋φ)(x∈R)在区间
－π，5π 6 6 上的
图象，为了得到这个函数的图象，只要将 y＝sin x(x ∈R) 的图象上所有的点（ ）
π A．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩 6 1 短到原来的 ，纵坐标不变 2 π B ．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 3 π 1 C ．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变 3 2 π D．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 6 10． 过双曲线
= log 2 a n , 求数列 ⎧ ⎨
1 ⎫ ⎬ 的前 n 项和 Tn ． ⎩b n bn+1 ⎭
20． （本小题满分 12 分）如图 PDCE 为矩形， ABCD 为梯形，平面 PDCE ^ 平面 ABCD ，
1 ÐBAD =Ð ADC = 90° ， AB = AD = CD = a ， PD = 2a . 2
B． 则 a + b + c 的取值范围是（ A． (1, 2013) ） C． （2, 2013 ） D． (2, 2014) B ． (1, 2014)
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二、填空题（每小题 4 分，共 16 分） 13．已知函数 f ( x ) = ⎨
2x ( x < 3) ，则 f (2012) = _____________. ⎩ f ( x − 3) ( x ≥ 3) ⎧
6．若 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和，且 S8 − S3 = 20 ，则 S11 的值为（ A ．22 B ．44 C ． 220 3
） D．88 ）
7．函数 y = a x , y = sin ax （a>0 且 a≠1）在同一个直角坐标系中的图象可以是（
8．平面向量 A． 3
a
与 b 的夹角为 60° ， a = (2, 0),| b |= 1，则 | a + 2b | 等于（ B． 2 3 C ．4
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 题号 答案 1 A 2 C 3 B 4 A 5 D 6 B 7 D 8 B 9 C 10 C 11 B 12 D
二、填空题（每小题 4 分，共 16 分） 13. 4 14. y = 2 x + 3 15. 6 − 1 16. ①③④ 三. 解答题：本大题共 6 个小题 .共 74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17. （本小题满分 12 分） 解： （Ⅰ） ∵ f ( x) = ⎢1 − cos ⎛ ⎜
x2 y2 切点为 E ， 延长 FE − = 1(b > a > 0) 的左焦点 F (−c, 0)(c > 0) 作圆 x 2 + y 2 = a 2 的切线， a2 b2 ��� � 1 ���� ��� � 交双曲线的右支于点 P ，若 OE = (OF + OP ) ，则双曲线的离心率为（ ） 2 A． 2 B． 3 C． 5 D． 6