功和能习题解答

大物上册第三章习题答案

习题

3-1 在下列几种情况中，机械能守恒的系统是： （1）当物体在空气中下落时，以物体和地球为系统。

（2）当地球表面物体匀速上升时，以物体和地球为系统（不计空气阻力）。 （3）子弹水平射入放在光滑水平桌面上的木块内，以子弹和木块为系统。 （4）当一球沿光滑的固定斜面向下滑动时，以小球和地球为系统。

答案：(1)机械能不守恒，因为并没有说忽略空气阻力的作用，而空气阻力为非保守力;

（2）物体匀速上升，一定有合外力克服重力做功，所以机械能不守恒; （3）机械能不守恒，子弹射入木块时，受到的摩擦力为非保守力; （4）机械能守恒. 3-2 质量为2m kg =的物体沿

x

轴做直线运动，所受合外力

2106()F x SI =+。如果在00=x 处时的速度00=v ，试求该物体运动到

04x m =处时速度的大小。

解：根据动能定理可得

22

01122

t A Fdx mv mv ==-⎰

初始条件为00=x ，00=v ，代入求解得

4

4

2

300

106102168

x dx x x

⎡⎤+=+=⎣⎦⎰（

）t v 12.96m/s ∴==

3-3 倔强系数为k 、原长为l 的弹簧，一端固定在圆周上的A 点，圆周的半径

R l =，弹簧的另一端从距A 点2l 的B 点沿圆周移动4

1

周长到C 点，如附图所

解：弹簧的弹性力为保守力，整个过程中，只有弹性力做功，所以机械能守恒。

(

)

)

(

)

)

222

2

22

A ()1122112221

12121pC pB pB pC B C E E E E kx kx k l l k l kl kl =--=-=

-=---⎡⎤

=--+⎣⎦=

-弹

3-4 在光滑的水平桌面上，平放有如附图所示的固定半圆形屏障。质量为m 的滑块以初速度0v 沿切线方向进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦系数为μ。证明

当滑块从屏障另一端滑出时，摩擦力所做的功为

2201(1)2

A mv e πμ

-=-。

分析：求解摩擦力做功的定理只有动能定理和功能原理，即

21

k k 21A E E A A E E =-+=-外外非保内

对运动过程进行受力分析可知，滑块受重力、桌面对其的支持力，这两个力在运动中不做功。滑块还受屏障对其支持力N （方向始终指向屏障的圆心）以及与屏障之间的摩擦力（摩擦力方向始终与速度v 方向相反）。

根据功能原理，在滑块和固定的屏障（相当于地球）构成系统中，该系统不受外力，而两者之间的摩擦力为非保守内力，所以

22

010()0

2

k p f t A A E E A m v v +=∆+∆+=-+外力非保守内力

或者根据动能定理可知，对于滑块而言只有摩擦力做功，屏障对其支持力N 不做

功，则22

01122

f t A mv mv =-

即该题就是要求解2v 和1v 。

因为运动轨迹为半圆，考虑用自然坐标系及角量。 摩擦力方向始终与速度方向相反，为

t dv dv ds

f ma m m dt ds dt

dv ds dv m mv

Rd dt Rd θθ

===⋅

=⋅=

其中θ为滑块在运动过程中的角位移。支持力N 为 2

n v N ma m R

==，所

以

2v dv f N m mv

R Rd μμθ

=-=-=

滑块刚进入屏障时角位移为0，从另一端滑出屏障时的角位移为π，则计算可知

01

t

v v t

t d dv v

v e v v v e π

μπμπ

μθ---===⎰⎰

在整个过程中，只有摩擦力做功，则

)1(2

12121A 22

0202-=-=-μπe mv mv mv f f

3-5 设

(76)F i j N

=-合。1)当一质点从原点运动到

(3416)r i j k m =-++时，求F 所做的功。(2)如果质点到r 处时需，试求平均

功率。（3）如果质点的质量为1kg ，试求动能的变化。

解：

()()

A 763416212445F r i j i j k J

=⋅=-⋅-++=--=-v v

合

（2）

45750.6

A P W t ===∆v （3）45k

E A J ∆==-

3-6 （1）试计算月球和地球对质量为m 的物体的引力相抵消的一点P ，距月球表面的距离是多少地球质量×2410kg,地球中心到月球中心的距离×810m,月球质量×2210kg,月球半径×610m 。

（2）如果一个1kg 的物体在距地球和月球均为无限远处的是能为零，那么它在P 点的势能为多少

解：（1）设p 点距离月球表面为x m ，则

()

()

2

2

r GmM GmM d x x =

-+地球

月球

月球，解得

m x 7

106757.3⨯=

(2)

()

()

62

2

1.2810r p M M E G

G

J

d x x =--=-⨯-+地球

月球

月球

（本题书后答案少一个负号） 3-7 一物体在介质中按规律3ct x

=做直线运动，c 为一常量.设介质对物体

的阻力正比于速度的平方。试求物体由00=x 运动到l x =时，阻力所做的功（已知阻力系数为k ）。 解：

2

0l

l

f A fdx kv dx =-=⎰

⎰;3

2()3dx d ct v ct dt dt

=

== 12427

222233333

00027

(3)(3(()))97

l

l

l f x A k ct dx k c dx kc x dx kc l c =-=-=-=-⎰⎰⎰3-8 以质量为m 的地球卫星，沿半径为E R 3的圆轨道运动，E R 为地球的半径。 已知地球的质量为E m 。求：

（1）卫星的动能； （2）卫星的引力势能；