fxd1-4相图方法

dy dx


2 0
x y
0
1 2
y
2

1 2
02x
2

E
1 相图方法
一般情况
一个非线性微分方程：
d 2x
dx
dt 2
f
(x , ) dt
引进变数 y 后有
dx dt
y
dy dt
f (x , y )
或更一般的形式
dx
dt dy

P(x
,
y
)


Q(x , y )
• 根据稳定性定义，周期运动满足稳定性条件，中心点是稳定平衡点。
2 平衡点的类型及其稳定性
p,q 平面上奇点分布
p,q 平面 在平面下半部分， q 0 ,这个区域内的奇点是鞍点 平面上半部，由抛物线 p 2 4q 分为四个区.
第一象限由抛物线划分成不稳 定的结点 (p2>4q) 与不稳定的焦 点 (p2<4q) 两个区； 第二象限由抛物线划分成稳定 的 结 点 (p2<4q) 与 稳 定 的 焦 点 (p2>4q) 两个区； 在正q 轴上, p = 0, l是纯虚数,平 衡点是中心点,附近是椭圆轨线。
l2 0 l1
l1 0 l2
2 平衡点的类型及其稳定性
平衡点类型
• ⑵ 结点 q 0
•
特征根式 l1,2
1 2
p
p 2 4q

的根号中
p 2 4q
，则解
l1, l2 为两个同号实根，
其平衡点称为结点。结点有稳定与不稳定之分，由p的正负决定。
0 el2 t
X Y
q AD BC
特征方程解：
p A D
l1,2

1 2
p
p 2 4q
由特征方程得：
X

J1el1t

J
el2t
2
Y

J
el1t
3

J
el2
4
t
参数l取值不同,给出不同类型平衡点.
在新坐标中有：
d dt
l1
d dt

l2
x0 ,y0
Q y
(y y 0) 高阶项
x0 ,y0
引进新变数：
X x x0
Y y y0
得新方程：
dX A X BY 高阶项 dt dY C X DY 高阶项 dt
式中
A P x x0 ,y0
C Q x x0 ,y0
P
B
y x0 ,y0
根号中
p2

4q
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，解 l1, l2
为两个虚根。
l1,2 i p / 2
i p2 4q / 2
如阻尼单摆那样，相轨线是对数螺旋线，系统的平衡点为焦点。
• 当实部为负值时，与阻尼单摆相同，平衡点是螺旋线簇的渐近点（p为 负）。
• 当实部为正值时，相轨线从平衡点发散开来，焦点是不稳定的（p为正）。
代入
BY dX A X dt
dY C X DY dt
d 2X dt 2
A dX dt
BC X
BDY
得二阶线性方程：
d 2X dt 2
(A D ) dX dt
(AD
BC )X
0
通过求解这方程得各种平衡点类型
BY dX A X dt
2 平衡点的类型及其稳定性
0 el1 t
如果 l1,l2 0，结点为稳定的（p为负）。 如果l1, l2 0，结点为不稳定（p为正）。
l1, l2 0
l1, l2 0
l1 l2
2 平衡点的类型及其稳定性
平衡点类型
⑶ 焦点 q 0
特征根式 l1,2

1 2
p
p 2 4q

2 平衡点的类型及其稳定性
平衡点附近的轨线方程
对平衡点的邻域进行泰勒展开
P
P (x , y ) P (x 0, y 0) x
(x
x0 ,y0
x0)
P y
(y y 0) 高阶项
x0 ,y0
Q
Q (x , y ) Q (x 0, y 0) x
(x x0)
2 平衡点的类型及其稳定性
平衡点类型
⑴ 鞍点 q 0
特征根式
l1,2

1 2
p
p 2 4q

，解
l1, l2
为异号实根。相轨线为双曲线，奇点
为不稳定的鞍点。有四条流线通过鞍点，其两条流向鞍点是稳定的，另外
流离鞍点的两条是不稳定的。
“鞍点”源于对该点特性形象描述，指马鞍中心点，是沿马脊梁的最低点。 流向鞍点是两条稳定流线，但任何微小偏离将使其沿马背的左或右边滑走
D Q y
x0 ,y0
研究平衡点的邻域的相轨线，可以忽 略高阶项，得线性方程组
dX A X BY dt dY C X DY dt
2 平衡点的类型及其稳定性
平衡点附近的轨线方程
研究平衡点的邻域线性方程组
dX A X BY dt
微分
d 2X dt 2
A dX dt
BdY dt
dt

得相轨线方程： dy Q(x , y ) dx P(x , y )
2 平衡点的类型及其稳定性
系统的平衡点
系统的平衡点从下面推出：
dx
dt dy
P (x , y ) 0
Q(x , y ) 0
dt

一般的形式平衡点坐标：
x x 0( const) y y 0( const)
第一章 基础知识和基础理论
第四节 相图方法
1.相轨线 2.平衡点的类型及其稳定性
1 相图方法
单摆
由单摆基本方程
d 2x dt 2
02x
0
引进变数y：一个二阶方程改用两个一阶微分方程来描写：
y

dx , dy dt dt
02 x

0
利用第二式可得单摆相轨线方程
积分得单摆的椭圆轨线方程：
平衡点附近的轨线方程
方程
d 2X dt 2
(A D ) dX dt
(AD
BC )X
0
代入 X Jelt
特征方程
l2 (A D )l (AD BC ) 0
引入符号
特征方程解的简化： 由于每个变量 X ,Y 中包含了两个 参数 l ，看不清平衡点的性质， 于是进行坐标变换： X ,Y ,
0
0
2 平衡点的类型及其稳定性
平衡点类型
⑷ 中心点 q 0
l1,2 i
如果 p 2 4q ，且两个虚根的实部 0 等于零（p=0,q>0)。螺旋线矢径
不随时间变化，围绕平衡点是封闭曲线族。平衡点是轨线族的中心，称为
“中心点”。
• 封闭椭圆曲线代表作周期运动。根据虚部的正负不同，相轨线上的相点可 以是顺时或逆时方向转动。
其解分别只与一个参数有关：
0 el1 t
0 el2 t
2 平衡点的类型及其稳定性
p,q 平面上奇点分布
p,q 平面 在平面下半部分， q 0 ,这个区域内的奇点是鞍点 平面上半部，由抛物线 p 2 4q 分为四个区.
第一象限由抛物线划分成不稳 定的结点 (p2>4q) 与不稳定的焦 点 (p2<4q) 两个区； 第二象限由抛物线划分成稳定 的 结 点 (p2<4q) 与 稳 定 的 焦 点 (p2>4q) 两个区； 在正q 轴上, p = 0, l是纯虚数,平 衡点是中心点,附近是椭圆轨线。