2020-2021学年浙江省宁波市李惠利中学等六校高二(上)期中数学试卷 (解析版)

2020-2021学年浙江省宁波市李惠利中学等六校高二（上）期中

数学试卷

一、选择题（共10小题）.

1．在平面直角坐标系中，一条直线的斜率等于，则此直线的倾斜角等于（）A．30°B．60°C．120°D．150°

2．已知直线l1：x+ay+2＝0，l2：ax+（a+2）y+4＝0，若l1∥l2，则实数a的值是（）A．2或﹣1B．2C．﹣1D．﹣2或1

3．已知直线m⊄平面α，直线n⊂平面α，且点A∈直线m，点A∈平面α，则直线m，n的位置关系不可能是（）

A．垂直B．相交C．异面D．平行

4．如图，用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）

A．2+B．1+C．1+D．+

5．已知a，b为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若a⊂α，b⊂β，α⊥β，则a⊥b

B．若a⊂α，b⊂β，α，β不平行，则a，b为异面直线

C．若a⊥b，b⊥α，则a∥α

D．若a∥α，b⊥β，α∥β，则a⊥b

6．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）

A．30°B．45°C．60°D．90°

7．已知m，n，a，b∈R，且满足3m+4n＝16，3a+4b＝1，则的最小值为（）

A．3B．C．1D．

8．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣a）2＝1（a＞0）与直线y＝2x相交于P、Q两点，则当△CPQ 的面积为时，实数a的值为（）

A．B．C．D．

9．在三棱锥A﹣BCD中，△BCD是边长为的等边三角形，∠BAC＝，二面角A﹣BC ﹣D的大小为θ，且cosθ＝，则三棱锥A﹣BCD体积的最大值为（）

A．B．C．D．

10．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为，M，N为体对角线BD1的三等分点，动点P在三角形ACB1内，且三角形PMN的面积，则点P的轨迹长度为（）

A．πB．C．D．

二、填空题（共7小题，其中11-14题每空3分，15-17题每空4分，共36分）

11．（6分）空间直角坐标系O﹣xyz中，点M（1，﹣1，1）关于x轴的对称点坐标是；

|OM|＝．

12．（3分）已知圆C1：x2+y2﹣2x+10y﹣24＝0和圆C2：x2+y2+2x+2y﹣8＝0相交于A、B 两点，则线段AB的长度为．

13．（6分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），B（﹣2，0），C （1，0），分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF与ACGH，则点H的坐标为，直线FH的一般式方程为．

14．（6分）设M＝，N＝

，则M∩N≠∅时，实数a的最大值是，最小值是．

15．（3分）已知＝（2，﹣1，3），＝（﹣1，4，﹣2），＝（7，5，λ），若，，三向量共面，则λ＝．

16．设直线l：x﹣y+m＝0上存在点P到点A（3，0），O（0，0）的距离之比为2，则实数m的取值范围为

17．（8分）斜线OA与平面α成15°角，斜足为O，A′为A在α内的射影，B为OA的中点，l是α内过点O的动直线．若l上存在点P1，P2使∠AP1B＝∠AP2B＝30°，则的最大值是，此时二面角A﹣P1P2﹣A′平面角的正弦值是．三、解答题（共5小题，共74分，其中18题14分，19-22题每题15分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

18．（14分）如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，求：

（1）该几何体的体积．

（2）截面ABC的面积．

19．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．

（Ⅰ）求证：PE⊥BC；

（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD；

（Ⅲ）求证：EF∥平面PCD．

20．（15分）在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，1）且互相垂直的两条直线分别与圆O：x2+y2＝4交于点A，B，与圆M：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1交于点C，D．

（1）若，求CD的长；

（2）若CD中点为E，求△ABE面积的取值范围．

21．（15分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE．

（1）证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；

（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值．

22．（15分）如图，四边形ABCD关于直线AC对称，∠A＝60°，∠C＝90°，CD＝2，把△ABD沿BD折起．

（Ⅰ）若二面角A﹣BD﹣C的余弦值为，求证：AC⊥平面BCD；

（Ⅱ）若AB与面ACD所成的线面角为30°时，求AC长．

参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．在平面直角坐标系中，一条直线的斜率等于，则此直线的倾斜角等于（）A．30°B．60°C．120°D．150°

解：设此直线的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°），

∵tanθ＝，

∴θ＝60°．

故选：B．

2．已知直线l1：x+ay+2＝0，l2：ax+（a+2）y+4＝0，若l1∥l2，则实数a的值是（）A．2或﹣1B．2C．﹣1D．﹣2或1

解：由a2﹣（a+2）＝0，解得a＝2或﹣1．

经过验证a＝2时两条直线重合，舍去．

∴a＝﹣1时，l1∥l2．

故选：C．

3．已知直线m⊄平面α，直线n⊂平面α，且点A∈直线m，点A∈平面α，则直线m，n的位置关系不可能是（）

A．垂直B．相交C．异面D．平行

解：∵直线m⊄平面α，直线n⊂平面α，且点A∈直线m，点A∈平面α，

∴m∩α＝A，

∴直线m，n的位置关系不可能是平行直线．

故选：D．

4．如图，用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）