方差分析模型

2
xij xi xi x 2 xij xi xi x
ni i 1 j 1 i 1 j 1 i 1 j 1
2
ST 可验证交叉项为零 , 故得分解式
其中
S E xij xi
2
2
SE SA
2
s
ni


2
素对结果的影响显著。 在各种统计分析软件中则是采用另一种方案：
2 F SA 算出：与 2 成正比的 值； SE F H0 给出：如果 成立， 值能有如此大的概率 ( 称显著性水平，符号是： Sig)； 2
2
对结果的解读是：如果 Sig 值很小（譬如小于 0.05）,则拒绝 果的影响显著。
H0
,认为该因素对结
方差分析模型
方差分析用于鉴别某个（些）因素对结果有无显著影响， 以及影响大小的方法。 影响试验结果的因素大致上分为两类： 一类是可以人为加以控制或测定的，称为可控制因素； 另一类是人无法定量控制或直接观测的， 成为随机因素。 方差分析鉴别的主要是可控制因素对结果的影响。
要鉴别某个可控因素A 对结果的影响大小可在其他所有可控因素都保持不变 的情况下，只让因素 A 变化，并观测其结果的变化。 例、某灯泡厂用四种不同材料的灯丝生产了四批灯泡。除灯丝材料外，其它可 控制的生产条件和测试条件完全相同。今从每批灯泡中随机抽取若干只灯泡，通 过试验测得寿命（单位：小时）数据如下表所示。
灯丝 灯泡 1 2 3 4 5 6 7 8 1600 1610 1650 1680 1700 1700 1780 1500 1640 1400 1700 1750 1640 1550 1600 1620 1640 1600 1740 1800 1510 1520 1530 1570 1640 1680 A1 A1 A1 A1
Between Groups Within Groups Total
Spss软件实现
1．灯丝材料的方差分析：spss 数据 ：灯丝材料方差分析数据 关注：数据格式、结果解读 2．工资收入的方差分析：spss 数据 ：09-03 3．不同年龄段健康状况的方差分析：spss 数据 ：13-02
平方和 39776.4 178089 217865.4 自由度 3 22 25 均方 13258.8 8095 比值 1.638
A 因素
填写方差分析表：
方差来源 因素A 的影响 随机因素的影响 显著性 对结果无显 著影响
ANOVA VAR00002 Sum of Squares 39776.46 178088.9 217865.4 df 3 22 25 Mean Square 13258.819 8094.951 F 1.638 Sig. .209
源自文库
i 1 j 1
n 刻画了全部 次试验中纯粹由随机因素所引起的变差
平方和，称为组内平方和。为误差平方和。
S A n x x 2 i i 反映了不同水平下数据均值间的差异，主要刻划了因
i 1
2
s
素 A 水平的差异对数据离散性的作用，称
SA
2
为组间平方和，或因素平方和。
S 比值 A 2 能够间接地度量因素水平的差异对结果影响的大小，比值越大，这种影 SE S 响越显著。为此需确定一个合理的界限值 C，以便当 A 2 大于这个界限值时就认为该因 SE
试问：灯丝的寿命是否因灯丝材料的不同而有显著差异？
在因素A 的每个水平上都做了若干次观察,这些观察结果不全相同， 并且即使在 同一水平上的那些结果仍然有差异，这种差异显然只能归咎为随机因素造成的，是 随机波动。 而随机波动总是可以合理的认为其服从正态分布，只是在不同的水平下，它们 可能以不同的值为中心进行着具有同样离散性（也就是假定其方差相等，称方差齐 性）的波动。 Ai 下灯泡的寿命，则方差分析的数学模型为： 用 X i 表示水平
例 1 、计算如下： n ni 7 5 8 6 26 ,
i 1
4
S T 217865 .4 ， S A 39776 .4 ，S E 178089
2
2
2
S A 13258.8 ， S E 8095
2 2
F
SA SE
2 2

13258.8 1.638 8095
1 定义 xi ni
2 T
xij i 1,2, , s
i 1
2 T
ni
Ai 称为水平
2 s ni
时的样本平均值。
S 考虑 S 的如下分解：
s ni 2 s
xij x xij xi xi x
s ni i 1 j 1 i 1 j 1 s ni
0
共有 n1 n 2 n s n 个试验数据。 定义数据总平均
1 s ni x xij n i 1 j 1
2 T
定义数据总变差平方和S 在由
ST2
x
s ni i 1 j 1
ij x
2
刻划的离散性中，既有随机因素所引起的，也可能
有因素 A 水平的差异所引起的，下面设法将这两者合理地 区分开来。
X i ~ N u i ,
2
i 1,2,3,4
，
鉴别因素 A 水平的差异是否对试验结果产生显著影响的问题就转化为检验假设
H 0 : u1 u 2 u s
是否成立。
xij
i 1,2, , s, j 1,2, , n 的离散性着手 .
j
为了对H 成立与否进行检验，我们从分析试验数据