数的整除性规律
小学奥数关于数的整除规律
数的整除规律1、一个数的个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。
2、一个数的数字之和能被3或9整除，这个数就能被3或9整除。
3、这一个数的末两位如果能被4或者25整除，这个数就能被4或者25整除。
4、个位上是0或5的数都能被5整除。
5.这个数的末位数与末三位以前的数字所组成的数之差能被7,11或13整除，则原数能被7,11或13整除。
6.这个数的末三位如果能被8或者125整除，这个数就一定能被8或者125整除。
7.若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征性质1：如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差(a－b)也能被c整除。
性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。
能被2整除的数，个位上的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除能被4整除的数，个位和十位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能被4整除能被5整除的数，个位上为0或5的数都能被5整除，那么这个数能被5整除能被6整除的数，各数位上的数字和能被3整除的偶数，如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除能被7整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
能被8整除的数，一个整数的末3位若能被8整除，则该数一定能被8整除。
整除的规律
整除的规律整除规则第一条（1）：任何数都能被1整除。
整除规则第二条（2）：个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。
整除规则第三条（3）：每一位上数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除。
整除规则第四条（4）：最后两位能被4整除的数，这个数就能被4整除。
整除规则第五条（5）：个位上是0或5的数都能被5整除。
整除规则第六条（6）：一个数只要能同时被2和3整除，那么这个数就能被6整除。
整除规则第七条（7）：把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，差是7的倍数，则原数能被7整除。
整除规则第八条（8）：最后三位能被8整除的数，这个数就能被8整除。
整除规则第九条（9）：每一位上数字之和能被9整除，那么这个数就能被9整除。
整除规则第十条（10）：若一个整数的末位是0，则这个数能被1 0整除整除规则第十一条（11）：若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！整除规则第十二条（12）：若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
整除规则第十三条（13）：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。
如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
整除规则第十四条（14）：a 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
b 若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。
整除规则第十五条（15)：a 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。
整除的数有哪些特征
整除的数有哪些特征？整除的性质：（1）如果a能被c整除，b也能被c整除，那么a+b和a-b也都能被c整除。
（2）如果a能被b整除，那么ac也能被bc所整除。
（3）如果a能被b整除，b能被c整除，那么a也能被c所整除。
（4）如果a能被b，c所整除，且（b,c）=1，那么a也能被b×c整除。
（5）如果a、b、c两两互质，且a、b、c都能整除m，那么abc能整除m。
能被1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、13、14、15、16、17、18、19整除的数有哪些特征？1：所有整数2：所有偶数3：各个数位和为3的倍数4：偶数中4的倍数，后两位能被4整除5：个位为0或5的6：是3的倍数的偶数7：后三位与前几位的差能被7整除8：偶数中8的倍数，后三位能被8整除9：各个数位和为9的倍数10：末位为011：奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差为11的倍数13：末三位与前几位的差能被13整除14：7的倍数中的偶数15：3的倍数中末位为0或5的16：偶数中16的倍数，后四位能被16整除的17：末三位与前几位的差能被17整除18：9的倍数中的偶数19：19的倍数（7和13的可能不对，这都是小学的知识，现在都快忘了，除了那几个常用的，绝大部分应该都是正确的）11整除的特征：奇位数字的和与偶位数字的和之差可以被11整除。
举例132。
（1+2）-3=0=0*1113整除的特征：去掉个位数后的数加上个位数的4倍，能被13整除。
举例143。
14+3*4=26=13*2最佳答案能被7、11、13整除的特征是：如果一个数的末三位数字所表示的数与末三位前的数字相减（注意：大数减小数），能被7、11、13整除，这个数就是7、11、13的倍数。
若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数是17的倍数。
4的规律是：末两位的两位数能被4整除，则原数是4的倍数.125的规律：末三位的三位数能被125整除，则原数是125的倍数.整除的性质及应用整除有几个性质。
数字的整除性质
数字的整除性质数字的整除性质是数学中一个非常重要且基础的概念。
在数学中，我们经常会遇到数字之间的整除关系，通过研究数字的整除性质，我们可以得到许多有用的结论和推论。
本文将探讨数字的整除性质，讨论其定义、性质以及应用。
一、定义在整数集合中，对于任意的整数a和b，如果存在一个整数c使得a = b * c，我们就说a能被b整除，或者b是a的因数，记作b|a。
其中，a被称为被除数，b被称为除数，c被称为商。
如果a不能被b整除，我们就说a不能被b整除，记作b∤a。
二、性质1. 对于任意的整数a，a|a。
这个性质非常显然，任何一个整数都能整除它自身。
2. 对于任意的整数a，1|a。
同样地，因为1乘以任何一个整数都等于这个整数本身，所以1能整除任意一个整数。
3. 对于任意的整数a，a|0。
这个性质是因为任何一个整数乘以0都等于0，所以任意一个整数都能整除0。
4. 如果a|b且b|c，则a|c。
这个性质表明，如果一个整数能同时整除另外两个整数，那么它也能整除它们的和。
5. 如果a|b且a|c，则a|(bx + cy)，其中x和y是任意整数。
这个性质表示了如果一个整数能整除其他两个整数，那么它也能整除它们的线性组合。
三、应用1. 最大公约数和最小公倍数最大公约数和最小公倍数是关于整除性质的两个重要概念。
最大公约数指的是两个或多个整数中能够整除它们的最大的正整数，用gcd(a, b)表示。
最小公倍数指的是两个或多个整数中能够被它们整除的最小的正整数，用lcm(a, b)表示。
通过研究数字的整除性质，我们可以发现最大公约数和最小公倍数的计算方法，这对于解决实际问题非常有用。
2. 整数的因式分解通过对一个整数进行因式分解，我们可以将这个整数表示为若干个素数的乘积形式。
因式分解是数学中一个重要的内容，它不仅能够帮助我们理解整数的结构，还能够在解决一些数学问题时提供便利。
3. 同余定理同余定理是整除性质的一个重要应用，它在数论中有广泛的应用。
三位数和四位数的整除性规律
三位数和四位数的整除性规律整除是数学中一个重要的概念，它描述了两个数之间的特殊关系。
在这篇文章中，我将讨论三位数和四位数的整除性规律。
通过深入研究，我们可以了解到一些有趣的性质和规律，希望对读者有所启发。
一、三位数的整除性规律三位数是由三个数字组成的数，范围从100到999。
对于任意一个三位数，我们可以观察到一些整除性规律。
1. 对于一个三位数abc，如果abc能够被2整除，那么c一定是2的倍数。
例如，如果abc能够被2整除，那么c只能是0、2、4、6或8。
2. 如果abc能够被3整除，那么a+b+c一定是3的倍数。
例如，如果abc能够被3整除，那么a+b+c只能是3、6、9、12、 (27)3. 如果abc能够被4整除，那么bc一定是4的倍数。
例如，如果abc能够被4整除，那么bc只能是04、08、12、16、 (96)4. 如果abc能够被5整除，那么c一定是5的倍数或0。
例如，如果abc能够被5整除，那么c只能是0、5。
定是2的倍数。
例如，如果abc能够被6整除，那么a+b+c只能是6、12、18、...、27，并且c只能是0、2、4、6或8。
二、四位数的整除性规律四位数是由四个数字组成的数，范围从1000到9999。
对于任意一个四位数，我们同样可以观察到一些整除性规律。
1. 对于一个四位数abcd，如果abcd能够被2整除，那么d一定是2的倍数。
例如，如果abcd能够被2整除，那么d只能是0、2、4、6或8。
2. 如果abcd能够被3整除，那么a+b+c+d一定是3的倍数。
例如，如果abcd能够被3整除，那么a+b+c+d只能是3、6、9、12、 (36)3. 如果abcd能够被4整除，那么cd一定是4的倍数。
例如，如果abcd能够被4整除，那么cd只能是04、08、12、 (96)4. 如果abcd能够被5整除，那么d一定是5的倍数或0。
例如，如果abcd能够被5整除，那么d只能是0、5。
1.数的整除性
数的整除性质1：如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差(a－b)也能被c整除。
性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。
能被2整除的数，个位上的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除能被5整除的数，个位上的数都能被5整除（即个位为0或5）那么这个数能被5整除能被7整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
能被11整除的数，奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位上的数字和之差（大数减小数）能被11整除，则该数就能被11整除。
例1在下面的数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？234，789，7756，8865，3728，8064。
例2从0，2，5，7四个数字中任选三个，组成能同时被2，5，3整除的数，并将这些数从小到大进行排列。
例3六位数是6的倍数，这样的六位数有多少个？例4要使六位数能被36整除，而且所得的商最小，问A，B，C各代表什么数字？1、能被3整除的最小三位数是（），能被5整除的最大三位数是（）2，又能被3整除，而且还是5的倍数的最小三位数是（）3、在自然数中，（）既不是质也不是合。
既是奇数又是质数的最小的数是（），（）既是质数又是合数。
4、用三个一位质数组成能同时被3和5整除的三位数，最大的是（），最小的数是（）。
4、自然数a除以自然数b，商是15，那么a和b的最大公约数是（）。
5、三个质数的最小公倍数是42，这三个质数是（）。
6、100以内同时能被3和7整除的最大奇数是（），最大偶数是（）。
1．6539724能被4，8，9，24，36，72中的哪几个数整除？2．个位数是5，且能被9整除的三位数共有多少个？3．一些四位数，百位上的数字都是3，十位上的数字都是6，并且它们既能被2整除又能被3整除。
数的整除性质技巧
数的整除性质技巧1.数的整除性质：1)若a整除b，b整除c，则a整除c。
（传递性）2)若a整除b且a整除c，则a整除b+c。
3)若a和b是正整数，且a整除b，那么a≤b。
4) 若a整除b，且c是任意整数，则a整除bc。
2.奇偶性质：1)若数a的个位数是偶数，则a整除22)若一个数是奇数，那么它的倍数一定是奇数。
3)若一个数是偶数，那么它的倍数一定是偶数。
3.除法性质：1) 若b整除a，且c是任意整数，则b整除ac。
2)若b整除a且b≠0，那么a除以b的商和余数唯一确定。
4.数位和性质：1)若数a的数位和是n，则a整除n。
2)若数a的数位和是9的倍数，那么a也是9的倍数。
3)若数a的数位和是3的倍数，那么a也是3的倍数。
5.数和运算性质：1)若a整除c且b整除c，则a+b整除c。
2)若a整除c且b整除c，则a-b整除c。
3)若a和b都整除c，则a+b也整除c。
4) 若a整除c且b整除c，则ax + by也整除c，其中x和y是任意整数。
6.乘法性质：1)若数a整除c且数b整除c，则a×b整除c。
2) 若数a整除bc且a和b互质，那么a整除c。
3)若数a整除b且数b整除a，则a和b的最大公约数等于其中的较小数。
7.倍数性质：1)若a整除b，并且b是a的倍数，那么a整除b的任意倍数。
2)一个数是另一个数的倍数时，它们的公倍数一定也是这个数的倍数。
8.整除和余数的关系：1)如果数a是数b的整数倍，那么a和b的余数相同。
2)如果数a和b除以数c的余数相同，那么a-b是c的倍数。
以上是一些常用的数的整除性质技巧，通过灵活运用这些技巧可以在解题过程中减少计算量，提高解题效率。
在实际运用中，我们可以根据题目的要求和条件选择相应的技巧，以求解问题。
同时，深入理解这些性质背后的原理，能够更好地理解数的整除关系，为数的整除性质的使用提供更大的帮助。
数的整除性质技巧
数的整除性质技巧1.末尾数字的整除性质：当一个数能被2整除时，它的末尾数字必定是0、2、4、6、8中的一位。
当一个数能被5整除时，它的末尾数字必须是0或5当一个数能被10整除时，它的末尾数字必须是0。
2.数字的整除性质：一个数能被3整除的条件是，该数的各个位上的数字之和能被3整除。
一个数能被9整除的条件是，该数的各个位上的数字之和能被9整除。
3.数的因数乘积性质：如果一个数能分解成两个整数的乘积，那么这两个整数一定是这个数的因数，并且这个数能同时被这两个因数整除。
例如，120可以分解成2和60的乘积，所以2和60是120的因数，并且120能同时被2和60整除。
4.数的因数关系性质：如果一个数能被另一个数整除，并且这两个数都是另一个数的因数，那么这两个数的倍数也是该数的因数。
例如，12能被3整除，而3是12的因数，那么6、9、15等都是12的因数。
5.因数的奇偶性质：如果一个数能整除另一个数，那么这个数的因数中也有整除关系。
例如，6能被2整除，2是6的因数，而2能被1整除，所以1也是6的因数，即6能整除16.数的整除性质的逆运算：如果一个数能被另一个数整除，那么这个被除数乘上一个整数得到的结果也能被另一个数整除。
例如，如果12能被3整除，那么12×2=24也能被3整除。
7.两个数的公因数性质：如果两个数有公因数，并且其中一个数能整除另一个数，那么这个因数也就同时是这两个数的公因数。
例如，6和9有公因数3，并且9能整除6，所以3是6和9的公因数。
8.最大公因数和最小公倍数的性质：两个数的最大公因数和最小公倍数可以通过两个数的乘积除以最大公因数来计算。
例如，72和90的最大公因数是18，最小公倍数是360，因为72×90/18=360。
通过掌握数的整除性质技巧，可以在解题过程中更加快速和准确地计算数的整除关系，从而提高解题效率。
同时，数的整除性质技巧也有助于理解数的因数与倍数之间的关系，进一步深化对数学概念的理解和运用。
小学数学中的数的整除性和能整除的规则
小学数学中的数的整除性和能整除的规则在小学数学中，数的整除性和能整除的规则是一个重要的概念。
理解数的整除性和能整除的规则对于学生建立起数学思维，提高解决问题的能力具有重要意义。
本文将从整除性的定义、整除性的判断方法和能整除的规则三个方面来介绍小学数学中与整除性相关的知识。
一、整除性的定义整除性是指一个数能够被另一个数整除，即没有余数。
例如，2能够整除4，因为4÷2=2，没有余数；而3不能整除5，因为5÷3=1余2。
在数学中，如果一个数能够被另一个数整除，我们称之为后者是前者的倍数，前者是后者的约数。
二、整除性的判断方法在判断一个数能否被另一个数整除时，有以下几种常用的方法。
1. 直接整除法：将被除数除以除数，若没有余数则能整除。
例如，判断36能否被9整除，可以进行36÷9=4，没有余数，所以36能被9整除。
2. 因数分解法：将被除数和除数进行因数分解，若除数的因数都是被除数的因数，则能整除。
例如，判断180能否被12整除，可以将180和12同时进行因数分解，得到180=2×2×3×3×5，12=2×2×3，由于12的因数都是180的因数，所以180能被12整除。
3. 整除规则：对于特定的除数，有一些整除规则可以帮助我们判断被除数是否能够整除。
例如，能被2整除的数一定是偶数，能被3整除的数各位上的数字和能被3整除，能被5整除的数个位数是0或5等。
三、能整除的规则在小学数学中，有一些常见的能整除的规则。
1. 2的整除规则：能被2整除的数一定是偶数。
偶数的个位数字一定是0、2、4、6或8，因为偶数是由2相加得到的，而2乘以这些数字都能得到偶数。
2. 3的整除规则：能被3整除的数各位上的数字和能被3整除。
例如，36的各位数字和为3+6=9，而9能被3整除，所以36能被3整除。
3. 4的整除规则：能被4整除的数的个位和十位数字组成的两位数能被4整除。
小学奥数 数论问题 第二讲 数的整除特性
第二讲数的整除特性讲义（一）整除的定义：所谓“一个自然数a能被另一个自然数b整数”就是说“商a/b是一个整数”；或者换句话说：存在这第三个自然数c，使得a=b×c，这时候我们就说“b整除a”或者“a能被b整除”，其中b叫a的约数，a是b的倍数，记做“b︱a”（二）整除的性质：（传递性）若c︱b，b︱a，则c︱a（可加性）若c︱a，c︱b，则c︱（a+b）（可乘性）若c︱a，d︱b，则cd︱ab（三）常见的整除特征：尾数系：一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；数字和系：一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；分段做差系：如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.课后习题基础篇：【闯关1】493至少增加（）才是3的倍数，至少减少（）才有因数5，至少增加（）才是2的倍数，至少增加（）才是7的倍数。
【闯关2】如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少？提高篇：【闯关3】如果四位数x=6□□8能被236整除，那x除以236所得的商为________。
【闯关4】从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？巅峰篇：【闯关5】试说明一个4位数，原序数与反序数的和一定是11的倍数(如：1236为原序数，那么它对应的反序数为6321，它们的和7557是11的倍数．)第二讲数的整除特性课后习题：基础篇：【闯关1】493至少增加（）才是3的倍数，至少减少（）才有因数5，至少增加（）才是2的倍数，至少增加（）才是7的倍数。
解析：一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；4+9+3=16，所以至少增加2就是3的倍数。
数的整除关系
数的整除关系在数学中，整除是一种基本的数学关系，用于描述两个数之间的除法关系。
当一个数能够整除另一个数时，我们称前者为后者的因数，后者为前者的倍数。
本文将探讨数的整除关系，包括定义、性质和常见应用。
1. 定义在数学中，如果a与b是两个整数，且b不等于0，如果a能被b整除，则称a为b的倍数，b为a的因数。
记作b|a (读作“b整除a”)。
这意味着存在另一个整数k，使得a = b * k。
举例来说，假设a = 12，b = 3，则b整除a，因为12可以被3整除，而且12 = 3 * 4。
2. 性质整除关系具有以下性质：2.1 反身性：对于任何整数a，a都能整除自身。
即a|a。
2.2 传递性：如果a能整除b，且b能整除c，则a能整除c。
即若a|b且b|c，则a|c。
2.3 除法算法：对于任何整数a和不为0的整数b，存在唯一的两个整数q和r，使得a = bq + r，其中0 <= r < |b|。
其中，q为商，r为余数。
3. 应用整除关系在数学中具有广泛的应用，下面列举几个常见的应用。
3.1 约数和倍数：整除关系在求解约数和倍数问题中起到重要作用。
对于一个整数a，它的所有约数就是能够整除a的整数。
而a的倍数则是a的整数倍。
3.2 整数判定：整除关系可以用来判断一个数是否为整数的倍数。
例如，如果一个数能被2整除，则它是偶数；如果一个数能被3整除，则它是3的倍数。
3.3 最大公约数和最小公倍数：整除关系在求解最大公约数和最小公倍数问题中起到重要作用。
最大公约数是两个数的最大公因数，而最小公倍数则是两个数的最小公倍数。
3.4 整除与质数：整除关系与质数之间有着密切的联系。
质数是只能被1和自身整除的数，而合数则是至少有一个大于1且小于自身的因数的数。
综上所述，数的整除关系是数学中重要的概念，它描述了两个数之间的除法关系。
通过理解和应用整除关系，我们可以解决各种与数的约数、倍数、最大公约数和最小公倍数相关的问题，提高数学问题的求解能力。
数的整除性质
数的整除性质数学中，整除是一个非常常见且重要的概念。
它指的是当一个数能够被另一个数整除时，我们就说前者是后者的倍数，后者是前者的约数。
在数的整除性质中，有一些基本的规律和性质。
本文将通过讨论这些性质来帮助读者更好地理解整除的概念和运用。
1. 整除的定义首先，我们需要明确整除的定义。
当一个数a能够被另一个数b整除，即a÷b的结果是整数时，我们说a能被b整除，记作b|a。
例如，4能被2整除，我们可以表示为2|4。
2. 余数和整除的关系在讨论整除性质之前，我们需要先了解余数和整除的关系。
如果一个数a能够被另一个数b整除，那么a与b的余数一定是0。
换句话说，如果a÷b的余数不等于0，那么a一定不能被b整除。
3. 奇偶性和整除接下来，我们来讨论奇偶性和整除的关系。
我们知道，如果一个数能够被2整除，那么它一定是偶数。
换句话说，能被2整除的数都是偶数。
而不能被2整除的数都是奇数。
这是因为如果一个数能被2整除，那么它一定能被2整除的倍数所整除。
4. 整除性质之间的关系在整除的性质中，有一些性质之间存在着一定的关系。
例如，如果一个数能够被另一个数整除，那么它一定能被后者的倍数所整除。
也就是说，如果b|a且c是b的倍数，那么c也能整除a。
这是因为如果b 能整除a，那么b的倍数也能整除a。
5. 相邻相邻数的整除性质是指在数轴上相邻的两个数之间可能存在的整除关系。
我们可以发现，如果一个数能够被邻近的两个整数整除，那么它一定能被它们的最大公约数所整除。
例如，如果一个数能够被3和5整除，那么它一定能被它们的最大公约数15所整除。
这个性质可以用来简化我们对数的整除性质的判断。
总结起来，整除是数学中一个重要的概念，它在很多数学问题中都扮演着重要的角色。
通过了解整除的定义，以及与余数、奇偶性、倍数和相邻数的关系，我们可以更好地理解整除性质，并运用它们解决各种数学问题。
数的整除性质对我们的日常生活也有一定的影响。
数的整除性质技巧
数的整除性质技巧一、整除的基本法则（一）能被2、4、8、5、25、125 整除的数的数字特性能被2 （或5）整除的数，末位数字能被2（或5）整除；能被4 （或25）整除的数，末两位数字能被4（或25）整除；能被8 （或125）整除的数，末三位数字能被8（或125）整除；（二）能被3、9 整除的数的数字特性能被3（或9）整除的数，各位数字和能被3（或9）整除。
（三）能被7 整除的数的数字特性能被7 整除的数，其末一位的两倍与剩下的数之差为7的倍数。
能被7 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被7 整除。
（四）能被11 整除的数的数字特性能被11 整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11 整除。
能被11 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被11 整除。
（五）能被13 整除的数的数字特性能被13 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被13 整除。
二、例题讲解法则下面我们通过几个例题来看下数的整除性质在数学运算中的应用。
例1、一个四位数，分别能被15、12、10除尽，且被这三个数除尽时所得的三个商的和为1365，问这个四位数四个数字的和是多少？（）A.17B.16C.15D.14解析：本题所要求的是这个四位数四个数字的和，按常规思维，我们需要先把这个四位数求出来，但这样会比较浪费时间。
我们要求的是四个数字的和，联系到特殊数的整除判定，只有3和9的倍数是与数字和相关的。
由题目的条件我们知道，这个四位数能被15除尽，那肯定可以被3除尽，所以这个四位数四个数字的和也是3的倍数，结合选项，只有C正确。
例2、甲、乙、丙三人合修一条公路，甲、乙合修6天修好公路的1/3，乙、丙合修2天修好余下的1/4，剩余的三人又修了5天才完成。
共得收入1800元，如果按工作量计酬，则乙可获得收入为（）元A.330元B.910元C.560元D.980元解析：本题属于工程类问题，常规方法是通过列方程来解，但解方程比较困难。
整除数的性质和规律
整除数的性质和规律一、整除性质1：如果数a、b都能被c整除，则(a+b)与(a-b)也能被c整除；2：如果数a能被数b整除，c为整数，则积ac也能被数b整除；3：如果数a能被数b整除，b又能被c整除，则a也能被数c整除；4：如果数a能同时被数b、c整除，且b，c互质，则a一定能被b和c的积整除；5：如果数a能被c整除，b不能被c整除，则(a+b)与(a-b)不能被c整除。
二、整除规律⑴、能被1整除的数：任何数都能被1整除。
⑵、能被2整除的数：末位是0,2,4,6或8的数,都能被2整除。
⑶、能被5整除的数一个整数的末位是0或5,则这个整数能被5整除个位上是0的数，既能被2整除，又能被5整除，而且还能被10整除。
⑷、能被3或9整除的数：一个数只要各数位数字的和是3或9的倍数，就一定能被3或9整除。
例如：判断3576，2549能不能被3整除3576：∵3＋5+7＋6=21（21是3的倍数）∴3576能被3整除。
2549：∵2＋5＋4＋9=20（20不是3的倍数）∴2549不能被3整除。
检验：2549÷3=849 (2)又如：判4212、5282能不能被9整除4212：∵4+2+1+2=9（9是9的倍数）∴4212能被9整除。
5282：∵5+2+8+2=17（17不是9的倍数）∴5282不能被9整除。
用上述方法不但能判断一个数能不能被3或9整除，而且还能判断不能整除时，余数是多少。
如：判断7485能不能被9整除7+4+8+5=24→2+4=6各位数字继续相加从结果看出：把7485的各位数字相加，最后所得的和是6不是9，所以7485这个数不能被9整除。
最后得出的6，就是7485除以9的余数。
即：7485÷9=831 (6)能被9整除的数，一定能被3整除。
能被3整除的数，却不一定能被9整除。
⑸、能被6整除的数既能被2整除，又能被3整除，也就是能被6整除的数。
①.首先看这个数是不是偶数，凡是偶数都能被2整除。
数的整除性及性质
数的整除性及性质数的整除性是指一个整数能够被另一个整数整除，即没有余数的除法运算。
整除性是数学中的一个重要概念，它有一些基本的性质。
性质1：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它也能够被这个整数的因子整除。
性质2：如果一个整数能够被两个整数整除，那么它也能够被这两个整数的公倍数整除。
性质3：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的倍数也能够被这个整数整除。
性质4：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的相反数也能够被这个整数整除。
性质5：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数倍也能够被这个整数整除。
性质6：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数加减这个整数也能够被这个整数整除。
性质7：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数乘以这个整数也能够被这个整数整除。
性质8：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数除以这个整数也能够被这个整数整除。
性质9：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数次方也能够被这个整数整除。
性质10：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的倒数也能够被这个整数整除。
性质11：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的相反数的倒数也能够被这个整数整除。
性质12：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数倍数的倒数也能够被这个整数整除。
性质13：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数加减这个整数的倒数也能够被这个整数整除。
性质14：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数乘以这个整数的倒数也能够被这个整数整除。
性质15：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数除以这个整数的倒数也能够被这个整数整除。
性质16：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数次方的倒数也能够被这个整数整除。
性质17：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的相反数的次方也能够被这个整数整除。
数的整除性规律
数的整除性规律【能被2或5整除的数的特征】：末尾是偶数的能被2整除，末尾含0或5的能被5整除。
【能被3或9整除的数的特征】：一个数，当且仅当它的各个数位上的数字之和能被3和9整除时，这个数便能被3或9整除。
例如，1248621各位上的数字之和是1+2+4+8+6+2+1=24 3｜24，则3｜1248621。
又如，372681各位上的数字之和是3+7+2+6+8+1=27 9｜27，则9｜372681。
【能被4或25整除的数的特征】：一个数，当且仅当它的末两位数能被4或25整除时，这个数便能被4或25整除。
例如，173824的末两位数为24，4｜24，则4｜173824。
43586775的末两位数为75，25｜75，则25｜43586775。
【能被8或125整除的数的特征】：一个数，当且仅当它的末三位数字为0，或者末三位数能被8或125整除时，这个数便能被8或125整除。
例如，32178000的末三位数字为0，则这个数能被8整除，也能够被125整除。
3569824的末三位数为824，8｜824，则8｜3569824。
214813750的末三位数为750，125｜750，则125｜214813750。
【能被7、11、13整除的数的特征】：一个数，当且仅当它的末三位数字所表示的数，与末三位以前的数字所表示的数的差（大减小的差）五年思训能被7、11、13整除时，这个数就能被7、11、13整除。
例如，75523的末三位数为523，末三位以前的数字所表示的数是75，523-75=448，448÷7=64，即7｜448，则7｜75523。
又如，1095874的末三位数为874，末三位以前的数字所表示的数是1095，1095-874=221，221÷13=17，即13｜221，则13｜1095874。
再如，868967的末三位数为967，末三位以前的数字所表示的数是868，967-868=99，99÷11=9，即11｜99，则11｜868967。
数字的整除特性
数字的整除特性1．我们已学过奇数与偶数，我们正是以能否被2整除来区分偶数与奇数的。
因此，有下面的结论：末位数字为0、2、4、6、8的整数都能被2整除。
偶数总可表为2k，奇数总可表为2k＋1（其中k为整数）。
2．末位数字为零的整数必被10整除。
这种数总可表为10k（其中k为整数）。
3．末位数字为0或5的整数必被5整除，可表为5k（k为整数）。
4．末两位数字组成的两位数能被4（25）整除的整数必被4（25）整除。
如1996＝1900＋96，因为100是4和25的倍数，所以1900是4和25的倍数，只要考察96是否4或25的倍数即可。
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数字的整除性判断方法
数字的整除性判断方法整除是数学中常用的概念，用于描述一个数能被另一个数整除的情况。
在实际生活和数学问题中，判断一个数是否能被另一个数整除是非常重要的。
本文将介绍几种常见的整除性判断方法。
一、整除性判断的基本定义在数学中，对于两个整数a和b，如果存在一个整数q，使得a=q*b，那么我们称b整除a，记作b|a。
其中，a称为被除数，b称为除数，q称为商。
根据整除的定义，我们可以得出以下几条基本性质：1. a|0：任何数a都可以被0整除。
2. 1|a：任何数a都可以被1整除。
3. a|a：任何数a都可以被自身整除。
二、整除性判断的方法1. 因式分解法因式分解是一种常用的判断整除性的方法。
基本思路是将被除数和除数都进行因式分解，然后比较它们各个因式的幂次。
如果除数的每个因式的幂次都小于或等于被除数中对应因式的幂次，则除数可以整除被除数。
例如，我们想要判断96能否被12整除，可以先对96和12进行因式分解：96 = 2^5 * 3^112 = 2^2 * 3^1可以看出，除数12中2的幂次为2，而被除数96中2的幂次为5，2^2 < 2^5，所以12不能整除96。
2. 余数法余数法是另一种常见的整除性判断方法。
基本思路是用被除数除以除数，然后观察得到的余数。
如果余数为0，则除数可以整除被除数；否则，除数不能整除被除数。
例如，我们想要判断45能否被9整除，可以进行如下计算：45 ÷ 9 = 5 余 0可以看出，余数为0，证明9能整除45。
3. 整数倍法整数倍法是一种利用整数倍关系来判断整除性的方法。
基本思路是判断被除数除以除数的商是否为整数。
例如，我们想要判断84能否被7整除，可以进行如下计算：84 ÷ 7 = 12可以看出，商为12，是一个整数，证明7能整除84。
三、举例说明为了更好地理解整除性判断方法，下面通过几个具体的例子进行说明。
例1：判断72能否被8整除。
首先进行因式分解：72 = 2^3 * 3^2除数8中2的幂次为3，而被除数72中2的幂次也为3，2^3 = 2^3，满足条件，因此8能整除72。
数的整除特征
数的整除特征1、一个整数的末尾一位数能被2或5整除，那么这个数就能被2或5整除。
2、一个整数的末尾两位数能被4或25整除，那么这个数就能被4或25整除。
3、一个整数的末尾三位数能被8或125整除，那么这个数就能被8或125整除。
4、能被9和3整除的数的特征，如果各位上的数字和能被9或3整除，那么这个数能被9 或3整除。
5、一个整数的末尾三位数与末尾三位数以前的数字组成的数的差（大数减小数）能被7、11、13整除，那么这个数就能被7、11、13整除。
6、一个整数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字之和的差（大减小）能被11整除，这个数就能被11整除。
【例1】七位数 23A45AB 一一一一一一一能被15整除，A 与B 可以是哪些数字？【例2】从0， 4， 9， 5这四个数中任选三个排列成能同时被2， 5， 5 整除的三位数。
问：这样的三位数有几个？【例3】五年级（1）班有36名同学，每人买了一本英语词典，元，问：每本词典多少钱？【例4】在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3,4,5整除，而且使这个数尽可能小。
【例5】要使27A3B 一一一一一一这个五位数能被44整除，那么个位，百位各应该是几？ 【例6】能被11整除，首位数字是6，其余各位数字均不相同的最大与最小六位数分别是几？数的整除专项练习：1、五位数6A25B 一一一一一一一一的A ，B 各是什么数字时，这个五位数能被75整除？问：这样的五位数共有几个？2能被72整除。
3、在1978后面补上三个数字，组成一个七位数，使它能同时被3,4,5整除，并且使这个数尽可能小。
4能被11整除，求这个六位数。
5、能被11整除，首位数字是6，其余各位数字均不相同的最大和最小六位数分别是几？6、一个六位数37A46B 一一一一一一一一是99的倍数，求这个数除以33的商。
7、在内填上什么数字，就能被15整除？填上什么数字就能被45整除？填上什么数字就能被21整除？8、四年级有72名学生，共交5元（ 内的数字模糊不清）。
小学奥数解题技巧 第65讲 数的整除性规律
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小升初数学解题技巧 第65讲 数的整除性规律
【能被8或125整除的数的特征】
一个数，当且仅当它的末三位数字为0，或者末三位数能被8或125整 除时，这个数便能被8或125整除。
例如，32178000的末三位数字为0，则这个数能被8整除，也能够 被125整除。
3569824的末三位数为824，8｜824，则8｜3569824。 214813750的末三位数为750，125｜750，则125｜214813750。
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小升初数学解题技巧 第65讲 数的整除性规律
【能被7、11、13整除的数的特征】
一个数，当且仅当它的末三位数字所表示的数，与末三位以前的数 字所表示的数的差（大减小的差）能被7、11、13整除时，这个数就能 被7、11、13整除。
例如，75523的末三位数为523，末三位以前的数字所表示的数是75， 523-75=448，448÷7=64，即7｜448，则7｜75523。
又如，1095874的末三位数为874，末三位以前的数字所表示的 数是1095，1095-874=221，221÷13=17，即
13｜221，则13｜1095874。 再如，868967的末三位数为967，末三位以前的数字所表示的数 是868，967-868=99，99÷11=9，即11｜99，则11｜868967。 此外，能被11整除的数的特征，还可以这样叙述： 一个数，当且仅当它的奇数位上数字之和，与偶数位上数字之 和的差（大减小）能被11整除时，则这个数便能被11整除。 例如，4239235的奇数位上的数字之和为4+3+2+5=14， 偶数位上数字之和为2+9+3=14， 二者之差为14-14=0，0÷11=0， 即11｜0，则11｜4239235。
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数的整除性规律
【能被2或5整除的数的特征】一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5
整除
【能被3或9整除的数的特征】一个数，当且仅当它的各个数位上的数字之和能被3
和9整除时，这个数便能被3或9整除。
例如，1248621各位上的数字之和是1+2+4+8+6+2+1=24
3|24，则3|1248621。
又如，372681各位上的数字之和是3+7+2+6+8+1=27
9|27，则9|372681。
【能被4或25整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末两位数能被4或25整除时，这个数便能被4或25整除。
例如，
173824的末两位数为24，4|24，则4|173824。
43586775的末两位数为75，25|75，则25|43586775。
【能被8或125整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末三位数字为0，或者末三位数能被8或125整除时，这个数便能被8或125整除。
例如，
32178000的末三位数字为0，则这个数能被8整除，也能够被125整除。
3569824的末三位数为824，8|824，则8|3569824。
214813750的末三位数为750，125|750，则125|214813750。
【能被7、11、13整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末三位数字所表示的数，与末三位以前的数字所表示的数的差(大减小的差)能被7、11、13整除时，这个数就能被7、11、13整除。
例如，75523的末三位数为523，末三位以前的数字所表示的数是75，523-75=448，448÷7=64，即7|448，则7|75523。
又如，1095874的末三位数为874，末三位以前的数字所表示的数是1095，1095-874=221，221÷13=17，即13|221，则13|1095874。
再如，868967的末三位数为967，末三位以前的数字所表示的数是868，967-868=99，99÷11=9，即11|99，则11|868967。
此外，能被11整除的数的特征，还可以这样叙述：一个数，当且仅当它的奇数位上数字之和，与偶数位上数字之和的差(大减小)能被11整除时，则这个数便能被11整除。
例如，4239235的奇数位上的数字之和为4+3+2+5=14，偶数位上数字之和为2+9+3=14，二者之差为14-14=0，0÷11=0，即11|0，则11|4239235。