成才之路人教B数学必修1同步测试：第2章综合测试B 含答案
北师大版数学高一-【2016成才之路】数学必修1练习 综合测试题2
综合测试题(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·新课标Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x <2}，则A ∩B ＝( ) A ．[－2，－1] B ．[－1,2) C ．[－1,1] D ．[1,2)[答案] A[解析] A ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，所以A ∩B ＝[－2，－1]，所以选A. 2．已知集合A ＝{x |0<log 4x <1}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∩B ＝( ) A ．(0,1) B ．(0,2] C ．(1,2) D ．(1,2][答案] D[解析] 因为A ＝{x |0<log 4x <1}＝{x |1<x <4}， B ＝{x |x ≤2}．所以A ∩B ＝{x |1<x <4}∩{x |x ≤2}＝{x |1<x ≤2}．3．(2015·广东高考)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝x ＋e x B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x ＋12xD ．y ＝1＋x 2[答案] A[解析] 令f (x )＝x ＋e x ，则f (1)＝1＋e ，f (－1)＝－1＋e－1即f (－1)≠f (1)，f (－1)≠－f (1)，所以 y ＝x ＋e x 既不是奇函数也不是偶函数，而BCD 依次是偶函数、奇函数、偶函数，故选A.4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|－2，|x |≤111＋x 2，|x |>1，则f [f (12)]＝( )A.12 B.413 C ．－95D.2541[答案] B[解析] 由于|12|<1，所以f (12)＝|12－1|－2＝－32，而|－32|>1，所以f (－32)＝11＋(－32)2＝1134＝413，所以f [f (12)]＝413，选B. 5．log 43、log 34、log 43 34的大小顺序是( )A ．log 34<log 43<log 43 34B ．log 34>log 43>log 43 34C ．log 34>log 43 34>log 43D ．log 43 34>log 34>log 43[答案] B[解析] 将各式与0,1比较．∵log 34>log 33＝1， log 43<log 44＝1，又0<34<1，43>1，∴log 4334<0.故有log 4334<log 43<log 34.所以选B.6．函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)在闭区间[2,3]上有最大值5，最小值2，则a ，b 的值为( )A ．a ＝1，b ＝0B ．a ＝1，b ＝0或a ＝－1，b ＝3C ．a ＝－1，b ＝3D ．以上答案均不正确 [答案] B[解析] 对称轴x ＝1，当a >0时在[2,3]上递增，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)＝2，f (3)＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.当a <0时，在[2,3]上递减，则⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝5，f (3)＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.故选B.7．函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4[答案] B[解析] ∵当a >1或0<a <1时，a x 与log a (x ＋1)的单调性一致， ∴f (x )min ＋f (x )max ＝a ，即1＋log a 1＋a ＋log a (1＋1)＝a ，∴a ＝12.8．(2015·安徽高考)函数f (x )＝ax ＋b(x ＋c )2的图像如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b >0，c <0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c <0D ．a <0，b <0，c <0 [答案] C[解析] 由f (x )＝ax ＋b (x ＋c )2及图像可知，x ≠－c ，－c >0，则c <0；当x ＝0时，f (0)＝bc 2>0，所以b >0；当y ＝0，ax ＋b ＝0，所以x ＝－ba>0，所以a <0.故a <0，b >0，c <0，选C.9．已知函数f (x )满足：x ≥4，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝( ) A.124 B.112 C.18 D.38[答案] A[解析] f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝⎝⎛⎭⎫123＋log 23＝⎝⎛⎭⎫123·⎝⎛⎭⎫12log 23＝18×13＝124，选A.10．函数f (x )＝(x －1)ln|x |－1的零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3[答案] D[解析] f (x )＝(x －1)ln|x |－1的零点就是方程(x －1)ln|x |－1＝0的实数根，而该方程等价于方程ln|x |＝1x －1，因此函数的零点也就是函数g (x )＝ln|x |的图像与h (x )＝1x －1的图像的交点的横坐标．在同一平面直角坐标系内分别画出两个函数的图像(图略)，可知两个函数图像有三个交点，所以函数有三个零点．11．设0<a <1，函数f (x )＝log a (a 2x －2a x －2)，则使f (x )<0的x 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞) C ．(－∞，log a 3) D ．(log a 3，＋∞)[答案] C[解析] 利用指数、对数函数性质．考查简单的指数、对数不等式． 由a 2x －2a x －2>1得a x >3，∴x <log a 3.12．有浓度为90%的溶液100g ，从中倒出10g 后再倒入10g 水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)( )A ．19B ．20C ．21D ．22[答案] C[解析] 操作次数为n 时的浓度为(910)n ＋1，由(910)n ＋1<10%，得n ＋1>－1lg 910＝－12lg3－1≈21.8，∴n ≥21.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知log a 12>0，若a x 2＋2x －4≤1a ，则实数x 的取值范围为________．[答案] (－∞，－3]∪[1，＋∞) [解析] 由log a 12>0得0<a <1.由a x2＋2x －4≤1a得a x 2＋2x －4≤a －1， ∴x 2＋2x －4≥－1，解得x ≤－3或x ≥1.14．直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围________ . [答案] 1<a <54[解析] y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋a ，x ≥0x 2＋x ＋a ，x <0作出图像，如图所示．此曲线与y 轴交于(0，a )点，最小值为a －14，要使y ＝1与其有四个交点，只需a －14<1<a ，∴1<a <54.15．若函数y ＝m ·3x －1－1m ·3x －1＋1的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________． [答案] [0，＋∞)[解析] 要使函数y ＝m ·3x －1－1m ·3x －1＋1的定义域为R ， 则对于任意实数x ，都有m ·3x －1＋1≠0， 即m ≠－⎝⎛⎭⎫13x －1.而⎝⎛⎭⎫13x －1>0，∴m ≥0.故所求m 的取值范围是m ≥0，即m ∈[0，＋∞)．16．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ， x <1－x －2a ， x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．[答案] －34[解析] 首先讨论1－a,1＋a 与1的关系． 当a <0时，1－a >1,1＋a <1，所以f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ； f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝3a ＋2.因为f (1－a )＝f (1＋a )，所以－1－a ＝3a ＋2. 解得a ＝－34.当a >0时，1－a <1,1＋a >1， 所以f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a . f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－3a －1， 因为f (1－a )＝f (1＋a )所以2－a ＝－3a －1，所以a ＝－32(舍去)综上，满足条件的a ＝－34.三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}． (1)若A ∩B ＝B ，求a 的值． (2)若A ∪B ＝B ，求a 的值．[分析] A ∩B ＝B ⇔B ⊆A ，A ∪B ＝B ⇔A ⊆B . [解析] A ＝{－4,0}． (1)∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A . ①若0∈B ，则a 2－1＝0，a ＝±1. 当a ＝1时，B ＝A ；当a ＝－1时，B ＝{0}，则B ⊆A .②若－4∈B ，则a 2－8a ＋7＝0，解得a ＝7，或a ＝1. 当a ＝7时，B ＝{－12，－4}，B ⃘A .③若B ＝∅，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，a <－1. 由①②③得a ＝1，或a ≤－1. (2)∵A ∪B ＝B ，∴A ⊆B .∵A ＝{－4,0}，又∵B 中至多只有两个元素， ∴A ＝B . 由(1)知a ＝1.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 12 [(12)x －1]，(1)求f (x )的定义域； (2)讨论函数f (x )的增减性． [解析] (1)(12)x －1>0，即x <0，所以函数f (x )定义域为{x |x <0}．(2)∵y ＝(12)x －1是减函数，f (x )＝log 12 x 是减函数，∴f (x )＝log 12[(12)x －1]在(－∞，0)上是增函数．19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝ax －1x ＋1，其中a ∈R .(1)若a ＝1，f (x )的定义域为区间[0,3]，求f (x )的最大值和最小值；(2)若f (x )的定义域为区间(0，＋∞)，求a 的取值范围，使f (x )在定义域内是单调减函数． [解析] f (x )＝ax －1x ＋1＝a (x ＋1)－a －1x ＋1＝a －a ＋1x ＋1，设x 1，x 2∈R ，则f (x 1)－f (x 2)＝a ＋1x 2＋1－a ＋1x 1＋1＝(a ＋1)(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1). (1)当a ＝1时，f (x )＝1－2x ＋1，设0≤x 1<x 2≤3，则f (x 1)－f (x 2)＝2(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1)，又x 1－x 2<0，x 1＋1>0，x 2＋1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在[0,3]上是增函数， ∴f (x )max ＝f (3)＝1－24＝12，f (x )min ＝f (0)＝1－21＝－1.(2)设x 1>x 2>0，则x 1－x 2>0，x 1＋1>0，x 2＋1>0. 若使f (x )在(0，＋∞)上是减函数，只要f (x 1)－f (x 2)<0， 而f (x 1)－f (x 2)＝(a ＋1)(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1)，∴当a ＋1<0，即a <－1时，有f (x 1)－f (x 2)<0， ∴f (x 1)<f (x 2)．∴当a <－1时，f (x )在定义域(0，＋∞)内是单调减函数．20．(本小题满分12分)(1)定义在(－1,1)上的奇函数f (x )为减函数，且f (1－a )＋f (1－a 2)>0，求实数a 的取值范围．(2)定义在[－2,2]上的偶函数g (x )，当x ≥0时，g (x )为减函数，若g (1－m )<g (m )成立，求m 的取值范围．[解析] (1)∵f (1－a )＋f (1－a 2)>0， ∴f (1－a )>－f (1－a 2)． ∵f (x )是奇函数， ∴f (1－a )>f (a 2－1)．又∵f (x )在(－1,1)上为减函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a <a 2－1，－1<1－a <1，－1<1－a 2<1，解得1<a < 2.(2)因为函数g (x )在[－2,2]上是偶函数， 则由g (1－m )<g (m )可得g (|1－m |)<g (|m |)． 又当x ≥0时，g (x )为减函数，得到⎩⎪⎨⎪⎧|1－m |≤2，|m |≤2，|1－m |>|m |，即⎩⎪⎨⎪⎧－1≤m ≤3，－2≤m ≤2，(1－m )2>m 2，解之得－1≤m <12.21．(本小题满分12分)已知函数y ＝f (x )的定义域为D ，且f (x )同时满足以下条件： ①f (x )在D 上单调递增或单调递减函数；②存在闭区间[a ，b ]∈D (其中a <b )，使得当x ∈[a ，b ]时，f (x )的取值集合也是[a ，b ]．那么，我们称函数y ＝f (x )(x ∈D )是闭函数．(1)判断f (x )＝－x 3是不是闭函数？若是，找出条件②中的区间；若不是，说明理由． (2)若f (x )＝k ＋x ＋2是闭函数，求实数k 的取值范围．(注：本题求解中涉及的函数单调性不用证明，直接指出增函数还是减函数即可) [解析] (1)f (x )＝－x 3在R 上是减函数，满足①；设存在区间[a ，b ]，f (x )的取值集合也是[a ，b ]，则⎩⎪⎨⎪⎧－a 3＝b －b 3＝a，解得a ＝－1，b ＝1，所以存在区间[－1,1]满足②， 所以f (x )＝－x 3(x ∈R )是闭函数．(2)f (x )＝k ＋x ＋2是在[－2，＋∞)上的增函数，由题意知，f (x )＝k ＋x ＋2是闭函数，存在区间[a ，b ]满足②，即⎩⎨⎧k ＋a ＋2＝ak ＋b ＋2＝b即a ，b 是方程k ＋x ＋2＝x 的两根，化简得，a ，b 是方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2－2＝0的两根，且a ≥k ，b >k .令f (x )＝x 2－(2k ＋1)x ＋k 2－2，得⎩⎪⎨⎪⎧f (k )≥0Δ>02k ＋12>k解得－94<k ≤－2，所以实数k 的取值范围为(－94，－2]．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 12(x 2－mx －m .)(1)若m ＝1，求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的值域为R ，求实数m 的取值范围；(3)若函数f (x )在区间(－∞，1－3)上是增函数，求实数m 的取值范围． [解析] (1)m ＝1时，f (x )＝log 12(x 2－x －1)，由x 2－x －1>0可得：x >1＋52或x <1－52，∴函数f (x )的定义域为(1＋52，＋∞)∪(－∞，1－52)．(2)由于函数f (x )的值域为R ，所以z (x )＝x 2－mx －m 能取遍所有的正数从而Δ＝m 2＋4m ≥0，解得：m ≥0或m ≤－4.即所求实数m 的取值范围为m ≥0或m ≤－4. (3)由题意可知：⎩⎪⎨⎪⎧m 2≥1－3(1－3)2－m (1－3)－m >0⇒2－23≤m <2. 即所求实数m 的取值范围为[2－23，2)．。
2022-2021学年成才之路·人教B版数学·选修1-2练习：第2章 推理与证明 2.1 第2课时
其次章 2.1 第2课时一、选择题1．下面几种推理过程是演绎推理的是导学号 96660826 ( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，因此，若∠A 、∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．由平面三角形的性质，推想空间四周体的性质C ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1a n －1)(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式D ．三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n 边形内角和是(n －2)·180°[答案] A[解析] 选项B 是类比推理，选项C 、D 是归纳推理，只有选项A 是演绎推理． 2．下列说法中正确的是导学号 96660827 ( ) A ．演绎推理和合情推理都可以用于证明 B ．合情推理不能用于证明 C ．演绎推理不能用于证明 D ．以上都不对 [答案] B[解析] 合情推理不能用于证明．3．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的缘由是导学号 96660828 ( )A ．使用了归纳推理B ．使用了类比推理C ．使用了“三段论”，但大前提使用错误D ．使用了“三段论”，但小前提使用错误 [答案] D[解析] 应用了“三段论”推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误导致结论错误．4．“由于对数函数y ＝log a x 是增函数(大前提)，y ＝log 13x 是对数函数(小前提)，所以y ＝log 13x 是增函数(结论)．”上面推理的错误是导学号 96660829 ( )A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错 [答案] A[解析] 大前提y ＝log a x 是增函数不肯定正确．由于a >1还是0<a <1不能确定，所以选A. 5．完全归纳推理是( )的推理导学号 96660830 ( ) A ．一般到个别 B ．个别到一般 C ．一般到一般 D ．个别到个别[答案] B[解析] 完全归纳推理是个别到一般的推理．6．△ABC 中，已知cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 肯定是导学号 96660831 ( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定 [答案] C[解析] ∵cos A cos B >sin A sin B ，∴cos(A ＋B )>0， ∴A ＋B 为锐角，即∠C 为钝角． 二、填空题7．以下推理过程省略的大前提为：____________.导学号 96660832 由于a 2＋b 2≥2ab ，所以2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab . [答案] 若a ≥b ，则a ＋c ≥b ＋c[解析] 由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a 2＋b 2，故大前提为：若a ≥b ，则a ＋c ≥b＋c .8．对于函数f (x )＝2xx 2＋ax ＋a ，其中a 为实数，若f (x )的定义域为实数，则a 的取值范围是________．导学号 96660833[答案] 0<a <4[解析] 要使f (x )定义域为R ，则x 2＋ax ＋a ≠0，即Δ＝a 2－4a <0，解得0<a <4. 三、解答题9．求证：对任意不相等正实数a 、b ，有(a b)a －b >1. 导学号 96660834[证明] 当a >b >0时，有a b >1，a －b >0，由指数函数的单调性知(a b )a －b >(ab)0＝1，当b >a >0时，有0<ab <1，a －b <0，则(a b )a －b >(ab )0＝1.综上：(ab)a －b >1.一、选择题1．三段论：“①雅安人肯定坚强不屈；②雅安人是中国人；③全部的中国人都坚强不屈”中，其中“大前提”和“小前提”分别是导学号 96660835( )A ．③②B ．③①C ．①②D ．②③[答案] A[解析] 由三段论推理的定义可知大前提为③，小前提为②.2．“∵四边形ABCD 是矩形，∴四边形ABCD 的对角线相等．”补充以上推理的大前提导学号 96660836( )A ．正方形都是对角线相等的四边形B ．矩形都是对角线相等的四边形C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形D ．矩形都是对边平行且相等的四边形 [答案] B[解析] 大前提是“矩形都是对角线相等的四边形”．3．在证明f (x )＝2x ＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f (x )＝2x ＋1满足增函数的定义是大前提；④函数f (x )＝2x ＋1满足增函数的定义是小前提．其中正确的命题是导学号 96660837( )A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③ [答案] A[解析] 依据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f (x )＝2x ＋1满足增函数的定义；结论是f (x )＝2x ＋1为增函数，故①④正确．二、填空题4．(2022·全国卷Ⅱ文，16)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3． 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．导学号 96660838[答案] 1和3[解析] 由丙所言可能有两种状况．一种是丙持有“1和2”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和3”，符合甲所言状况；另一种是丙持有“1和3”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和2”，不符合甲所言状况．故甲持有“1和3”．5．△ABC 中，若a 2b 2＝tan Atan B ，则△ABC 的外形是________．导学号 96660839[答案] 直角三角形或等腰三角形[解析] 由正弦定理得，a 2b 2＝sin 2Asin 2B ＝tan A tan B ＝sin A cos Asin Bcos B＝sin A ·cos B cos A ·sin A ，于是有sin A sin B ＝cos Bcos A即sin A ·cos A －sin B ·cos B ＝0，∴sin2A ＝sin2B ∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.6．已知f (1,1)＝1，f (m ，n )∈N ＋(m ，n ∈N ＋)，且对任意m 、n ∈N ＋都有： ①f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2；②f (m ＋1,1)＝2f (m,1)． 给出以下三个结论：(1)f (1,5)＝9；(2)f (5,1)＝16；(3)f (5,6)＝26. 其中正确结论为________． 导学号 96660840[答案] (1)(2)(3) [解析] 由条件可知，由于f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2，且f (1,1)＝1，所以f (1,5)＝f (1,4)＋2＝f (1,3)＋4＝f (1,2)＋6＝f (1,1)＋8＝9. 又由于f (m ＋1,1)＝2f (m,1)， 所以f (5,1)＝2f (4,1)＝22f (3,1) ＝23f (2,1)＝24f (1,1)＝16，所以f (5,6)＝f (5,1)＋10＝24f (1,1)＋10＝26. 故(1)(2)(3)均正确．三、解答题7．如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别是BC 、CA 、AB 上的点，∠BFD ＝∠A ，DE ∥BA .求证ED ＝AF ，写出“三段论”形式的演绎推理．导学号 96660841[解析] 大前提：同角相等，两直线平行 ∴前提：∠BFD ＝∠A .结论：DF ∥EA .大前提：两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 小前提：DE ∥BA 且DF ∥EA ， 结论：四边形AFDE 是平行四边形． 大前提：平行四边形的对边相等， 小前提：ED 和AF 为平行四边形的对边， 结论：ED ＝AF .8．已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，求证：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．导学号 96660842[分析] 本题主要考查用“三段论”证明函数的单调性的方法，解决此类问题应先找出证明的大前提，然后在大前提下证明小前提满足大前提，从而得出结论．[证明] 对∀x 1、x 2∈I ，且x 1<x 2，若f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数．大前提 设x 1、x 2是(－1，＋∞)上的任意两数，且x 1<x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋x 1－2x 1＋1－ax 2－x 2－2x 2＋1＝ax 1－ax 2＋x 1－2x 1＋1－x 2－2x 2＋1＝ax 1－ax 2＋3(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1)，∵a >1，且x 1<x 2，∴ax 1<ax 2，x 1－x 2<0. 又∵x 1>－1，x 2>－1，∴(x 1＋1)(x 2＋1)>0.∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2)．小前提 ∴函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．结论9．求证函数f (x )＝x 6＋x 3＋x 2＋x ＋1的值恒大于零．导学号 96660843 [解析] 当x >0时，x 6，x 3，x 2，x,1都为正数，由于x >0时，f (x )>0恒成立． 当－1≤x ≤0时， f (x )＝x 6＋x 3＋x 2＋x ＋1＝x 6＋x 2(1＋x )＋(1＋x )>0恒成立． 当x <－1时， f (x )＝x 6＋x 3＋x 2＋x ＋1 ＝x 3(x 3＋1)＋x (x ＋1)＋1， ∵x <－1，∴x 3<－1，x ＋1<0，∴x 3＋1<0， ∴x 3(x 3＋1)>0，x (x ＋1)>0，又1>0， ∴x <－1时，f (x )>0恒成立． 综上所述，函数f (x )的值恒大于零．。
2022-2021学年成才之路·人教B版数学·必修2试题：综合测试1 B
第一章综合测试(B)时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，DD1与BB1所在直线是导学号 03310456()A．相交B．平行C．不垂直的异面直线D．垂直的异面直线[答案] A[解析]依据棱台的定义可知，DD1与BB1延长后肯定交于一点，故选A．2．不在同始终线上的五个点，最多能确定平面的个数是导学号 03310457()A．8 B．9C．10 D．12[答案] C[解析]要确定平面个数最多，须任意四点不共面，从A、B、C、D、E五个点中任取三个点确定一个平面，即ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE共10种状况，选C．3．给出四个命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱肯定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体肯定是长方体；③有两侧面垂直于底面的棱柱肯定是直棱柱；④长方体肯定是正四棱柱．其中正确的命题个数是导学号 03310458()A．0 B．1C．2 D．3[答案] A[解析]反例：①直平行六面体底面是菱形，满足条件但不是正方体；②底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；③④明显错误，故选A．4．下列几何体各自的三视图中，只有两个视图相同的是导学号 03310459() A．①③B．②③C．②④D．③④[答案] C[解析]正方体和球体的三个视图都相同，故选C．5．若球的半径扩大到原来的2倍，那么其体积扩大到原来的()倍导学号 03311031()A．64 B．16C．8 D．4[答案] C[解析]设球的半径为R，其体积V＝43πR3，当球半径扩大到原来的2倍时，其体积V′＝43π(2R)3＝8V．6．若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为导学号 03310460()A．112B．5C．92D．4[答案] D[解析] 本题考查三视图，棱柱体积公式．由三视图知该几何体为直六棱柱．其底面积为S ＝2×[12(1＋3)×1]＝4，高为1.所以体积V ＝4，由“长对正、宽相等、高平齐”确定几何体的外形及尺寸、角度等．7．已知平面α、β和直线m ，给出条件：①m ∥α；②m ⊥α；③m ⊂α；④α⊥β；⑤α∥β，能推出m ∥β的是导学号 03310461( )A ．①④B ．①⑤C ．②⑤D ．③⑤[答案] D [解析]⎭⎬⎫m ⊂αα∥β⇒m ∥β，故选D ．8．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若点E 为A 1C 1上的一点，则直线CE 肯定垂直于导学号 03310462( )A ．ACB ．BDC ．A 1D D ．A 1D 1[答案] B[解析] 由BD ⊥AC ，BD ⊥AA 1易知BD ⊥平面A 1ACC 1，而CE ⊂平面A 1ACC 1，故BD ⊥CE ． 9．已知圆柱的侧面开放图矩形面积为S ，底面周长为C ，它的体积是导学号 03310463( ) A ．C 34πSB ．4πSC 3C ．CS 2πD ．SC 4π[答案] D[解析] 设圆柱底面半径为r ，高为h ，，则⎩⎪⎨⎪⎧Ch ＝SC ＝2πr，∴r ＝C 2π，h ＝SC，∴V ＝πr 2·h ＝π⎝⎛⎭⎫C 2π2·S C ＝SC 4π． 10．三棱锥P －ABC 三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为22、32、62，则该三棱锥的外接球的表面积为导学号 03310464( )A ．4πB ．6πC ．8πD ．10π[答案] B[解析] 设P A ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ， 则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝2ac ＝3bc ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1b 2＝2c 2＝3．∴外接球的半径R ＝a 2＋b 2＋c 22＝62． ∴外接球的表面积S ＝4πR 2＝6π．11．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF ＝12，则下列结论中错误的是导学号 03310465( )A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A －BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等 [答案] D[解析] 由正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1得B 1B ⊥面AC ， ∴AC ⊥B 1B ，又∵AC ⊥BD ，BD ∩B 1B ＝B ， ∴AC ⊥面BDD 1B 1，BE ⊂面BDD 1B 1， ∴AC ⊥BE ，故A 正确．由正方体ABCD－A1B1C1D1得B1D1∥BD，B1D1⊄面ABCD，BD⊂面ABCD，∴B1D1∥面ABCD，∴EF∥面ABCD，故B正确．V A－BEF ＝12AC×12BB1×EF＝13×12×12×22＝224．∴三棱锥A－BEF的体积为定值，故C正确．因线段B1D1上两个动点E、F，且EF＝12，当E、F移动时，A到EF的距离与B到EF的距离不相等，∴△AEF的面积与△BEF的面积不相等，故D不正确．12．已知圆锥的母线长为5 cm，圆锥的侧面开放图如图所示，且∠AOA1＝120°，一只蚂蚁欲从圆锥底面上的点A动身，沿圆锥侧面爬行一周回到点A.则蚂蚁爬行的最短路程为导学号 03310466()A．8 cm B．5 3 cmC．10 cm D．5π cm[答案] B[解析]连接AA1，作OC⊥AA1于C，由于圆锥的母线长为5 cm，∠AOA1＝120°，所以AA1＝2AC＝5 3 cm．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD，如图所示，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，这个平面图形的面积为________.导学号 03310467[答案]2＋22[解析]S直观图＝[1＋(1＋22)]×222＝(2＋22)24＝22＋14．又S直观图S平面图＝24，∴S平面图＝(22＋14)24＝2＋22．14．已知两个球的表面积之比为19，则这两个球的半径之比为__________. 导学号 03310468[答案]1 3[解析]设两球的半径分别为R1、R2，由题意得4πR214πR22＝19，∴R1R2＝13．15．已知平面α、β和直线m，给出以下条件：①m∥α，②m⊥α；③m⊂α；④α∥β.要使m⊥β，则所满足的条件是________.导学号 03310469[答案]②④[解析]⎭⎪⎬⎪⎫m⊥αα∥β⇒m⊥β．16．(2022·浙江文，9)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm2，体积是________cm3.导学号 03310470[答案]8040[解析]由三视图可得该几何体是由一个长、宽、高分别为4、4、2的长方体和一个棱长为2的正方体组合而成的，故表面积为S＝4×4×2＋4×2×4＋2×2×4＝80(cm2)，体积为V＝4×4×2＋2×2×2＝40(cm3)．三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)一个棱锥的底面是边长为a的正三角形，它的一个侧面也是正三角形，且这个侧面与底面垂直，求这个棱锥的体积和全面积.导学号 03310471[解析] 如图所示，平面ABC ⊥平面BCD ，△ABC 与△BCD 均为边长为a 的正三角形，取BC 中点E ，连接AE ，则AE ⊥平面BCD ，故棱锥A －BCD 的高为AE ，△BCD 的面积为34a 2，AE ＝32a ， ∴V A －BCD ＝13·34a 2·32a ＝18a 3．连接DE ，∵AE ⊥平面BCD ，DE ⊂平面BCD ，∴AE ⊥DE ， 在Rt △AED 中，AE ＝ED ＝32a ，∴AD ＝2·32a ＝62a ．取AD 中点F ，连接CF ，则CF ⊥AD ． 在Rt △CDF 中，DF ＝12·62a ＝64a ，∴CF ＝CD 2－DF 2＝a 2－⎝⎛⎭⎫64a 2＝104a ． ∴S △ACD ＝12AD ·CF ＝12×62a ×104a ＝158a 2．∵△ABD ≌△ACD ，S △ABD ＝158a 2． 故S 全面积＝34a 2＋34a 2＋2×158a 2＝23＋154a 2．∴棱锥的体积为 18a 3，全面积为23＋154a 2．18．(本题满分12分)如图，矩形AMND 所在平面与直角梯形MBCN 所在的平面垂直，MB ∥NC ，MN ⊥MB .导学号 03310472(1)求证：平面AMB ∥平面DNC ； (2)若MC ⊥CB ，求证：BC ⊥AC ．[解析] (1)∵四边形AMND 是矩形，∴AM ∥DN ，又∵MB ∥NC ， AM ∩MB ＝M ，DN ∩NC ＝N ， ∴平面AMB ∥平面DNC ． (2)∵平面AMND ⊥平面MBCN ，平面AMND ∩平面MBCN ＝MN ，AM ⊥MN ， ∴AM ⊥平面MBCN ，∴AM ⊥BC ．∵BC ⊥MC ，AM ∩MC ＝M ，∴BC ⊥平面AMC ，∴BC ⊥AC ．19．(本题满分12分)(2022·山东文，18)在如图所示的几何体中，D 是AC 的中点，EF ∥DB .导学号 03310473(1)已知AB ＝BC ，AE ＝EC .求证：AC ⊥FB ；(2)已知G 、H 分别是EC 和FB 的中点．求证：GH ∥平面ABC ． [解析] (1)由于EF ∥DB ，所以EF 与DB 确定平面BDEF .连接DE ．由于AE＝EC，D为AC的中点，所以DE⊥AC．同理可得BD⊥AC．又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF，由于FB⊂平面BDEF，所以AC⊥FB．(2)设FC的中点为I，连接GI、HI．在△CEF中，由于G是CE的中点，所以GI∥EF．又EF∥DB，所以GI∥DB．在△CFB中，由于H是FB的中点，所以HI∥BC，又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC．由于GH⊂平面GHI，所以CH∥平面ABC．20．(本题满分12分)如图，三棱锥A－BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.导学号 03310474(1)求证：CD⊥平面ABD；(2)若AB＝BD＝CD＝1，M为AD中点，求三棱锥A－MBC的体积．[解析](1)∵AB ⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD．又∵CD⊥BD，AB∩BD＝B，AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，∴CD⊥平面ABD．(2)由AB⊥平面BCD，得AB⊥BD，∵AB＝BD＝1，∴S△ABD＝12．∵M是AD的中点，∴S△ABM＝12S△ABD＝14．由(1)知，CD⊥平面ABD，∴三棱锥C－ABM的高h＝CD＝1，因此三棱锥A－MBC的体积V A－MBC＝V C－ABM＝13S△ABM·h＝112．21．(本题满分12分)如下三个图中，左面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，右面是它的主视图和左视图(单位：cm).导学号 03310475(1)画出该多面体的俯视图；(2)依据给出的尺寸，求该多面体的体积；(3)在所给直观图中连接BC ′，证明：BC ′∥平面EFG ．[解析] (1)如图．(2)所求多面体的体积V ＝V 长方体－V 正三棱锥＝4×4×6－13×(12×2×2)×2＝2843(cm 3)．(3)证明：如图，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，连接AD ′，则AD ′∥BC ′，由于E 、G 分别为AA ′、A ′D ′中点， 所以AD ′∥EG ， 从而EG ∥BC ′， 又BC ′⊄平面EFG ， 所以BC ′∥平面EFG ．22．(本题满分14分)如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面相互垂直，△ABE 是等腰直角三角形，AB ＝AE ，F A ＝FE ，∠AEF ＝45°.导学号 03310476(1)求证：EF ⊥平面BCE ；(2)设线段CD 的中点为P ，在直线AE 上是否存在一点M ，使得PM ∥平面BCE ？若存在，请指出点M 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．[解析] (1)由于平面ABEF ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，BC ⊥AB ，平面ABEF ∩平面ABCD ＝AB ， 所以BC ⊥平面ABEF .所以BC ⊥EF ．由于△ABE 为等腰直角三角形，AB ＝AE ，所以∠AEB ＝45°． 又由于∠AEF ＝45°，所以∠FEB ＝45°＋45°＝90°， 即EF ⊥BE ．由于BC ⊂平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，BC ∩BE ＝B ，所以EF ⊥平面BCE ．(2)存在点M ，当M 为线段AE 的中点时，PM ∥平面BCE ，取BE 的中点N ，连接CN 、MN ， 则MN 綊12AB 綊PC ，所以四边形PMNC 为平行四边形，所以PM ∥CN ． 由于CN 在平面BCE 内，PM 不在平面BCE 内， 所以PM ∥平面BCE ．。
2022-2021学年成才之路·人教B版数学·选修1-2练习：综合能力检测
选修1－2综合力量检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设复数z＝1＋2i，则z2－2z等于导学号 966601176 ()A．－3B．3C．－3i D．3i[答案] A[解析]∵z＝1＋2i，∴z2＝(1＋2i)2＝1＋22i－2＝－1＋22i.∴z2－2z＝－1＋22i－2－22i＝－3.简解：z2－2z＝z(z－2)＝(1＋2i)(－1＋2i)＝－2－1＝－3.2．有这样一段演绎推理“有些有理数是分数，整数又是有理数，则整数是分数”，结论明显是错误的，错误的缘由是导学号 966601177 ()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误[答案] C[解析]整数这个整体属于有理数的范围，但不满足大前提中的结论，由于大前提不是对全部的有理数加以定义的，故推理形式错误．3．对下列三种图形，正确的表述为导学号 966601178 ()A．它们都是流程图B．它们都是结构图C．(1)(2)是流程图，(3)是结构图D．(1)是流程图，(2)(3)是结构图[答案] D[解析]结合流程图和结构图的特征可知D选项正确．4．在如图所示的各图中，两个变量具有相关关系的是导学号 966601179 ()A．(1)(2) B．(1)(3)C．(2)(4) D．(2)(3)[答案] D[解析](1)为函数关系，(4)关系不明显，(2)(3)具有相关关系．5．下列说法中，正确的是导学号 966601180 ()①回归方程适用于一切样本和总体；②回归方程一般都有时间性；③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围；④回归方程得到的预报值是预报变量的精确值．A．①②B．②③C．③④D．①③[答案] B[解析]①回归方程只适用于我们所争辩的样本和总体，故①错误．④回归方程得到的预报值可能是取值的平均值，故④是错误的．6．已知数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，则数列的第k项是导学号 966601181 ()A．a k＋a k＋1＋…＋a2k B．a k－1＋a k＋…＋a2k－1C．a k－1＋a k＋…＋a2k D．a k－1＋a k＋…＋a2k－2[答案] D[解析]由归纳推理可知D正确．7．给出下面类比推理：①“若2a<2b，则a<b”类比推出“若a2<b2，则a<b”；②“(a＋b)c＝ac＋bc(c≠0)”类比推出“a＋bc＝ac＋bc(c≠0)”；③“a、b∈R，若a－b＝0，则a＝b”类比推出“a、b∈C，若a－b＝0，则a＝b”(C为复数集)；④“a、b∈R，若a－b>0，则a>b”类比推出“a、b∈C，若a－b>0，则a>b(C为复数集)”．其中结论正确的个数为导学号 966601182 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] B[解析] ①明显错误；∵复数不能比较大小，∴④错误；②③正确．8．观看：6＋15<211， 5.5＋15.5<211，4－2＋17＋2<211，…，对于任意的正实数a 、b ，使a ＋b <211成立的一个条件可以是导学号 966601183 ( )A ．a ＋b ＝20B ．a ＋b ＝21C ．ab ＝20D ．ab ＝21 [答案] B[解析] 由给出的三个不等式观看其特点可得a ＋b ＝21.9．分类变量X 和Y 的列联表为下表，则下列说法正确的是导学号 966601184 ( )y 1 y 2 总计 x 1 a b a ＋b x 2 c d c ＋d 总计a ＋cb ＋da ＋b ＋c ＋dA.ad －bc 越小，说明X 和Y B ．ad －bc 越大，说明X 和Y 关系越强 C ．(ad －bc )2越大，说明X 与Y 关系越强 D ．(ad －bc )2越接近于0，说明X 与Y 关系越强 [答案] C[解析] χ2＝(a ＋b ＋c ＋d )(ad －bc )2(a ＋c )(b ＋d )(a ＋b )(c ＋d )，∴(ad －bc )2越大，说明X 、Y 关系越强．10．在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于导学号 966601185 ( ) A ．第一象限 B ．其次象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] D[解析] ∵(2－i)2＝4－4i －1＝3－4i ，∴复数(2－i)2对应的点(3，－4)位于复平面内的第四象限．11．假如执行如图所示的框图，输入如下四个复数：①Z ＝12i ；②z ＝－14＋34i ；③z ＝22＋12i ；④z ＝12－32i ，那么输出的复数是导学号 966601186 ( )A ．①B ．②C ．③D ．④[答案] D[解析] |z |＝|12－32i|＝(12)2＋(32)2＝1.故选D. 12．已知a <b ，则在下列的一段推理过程中，错误的推理步骤是导学号 966601187 ( ) ∵a <b ，∴a ＋a <b ＋a ，即2a <b ＋a ，…① ∴2a －2b <b ＋a －2b ，即2(a －b )<a －b ，…② ∴2(a －b )·(a －b )<(a －b )·(a －b )， 即2(a －b )2<(a －b )2.…③∵a <b ，∴(a －b )2>0，∴可证得2<1.…④ A ．① B ．② C ．③ D ．④[答案] C[解析] 步骤③，由于a <b ，所以a －b <0，依据“不等式两边同乘一个负数，不等号方向转变”，步骤③错误．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上) 13．观看下列等式： 导学号 9666011881＝1，1－4＝－(1＋2)， 1－4＋9＝1＋2＋3，1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)， 1－4＋9－16＋25＝1＋2＋3＋4＋5， ……猜想第n 个式子为________．[答案] 1－22＋32＋…＋(－1)n －1n 2＝(－1)n ＋1(1＋2＋…＋n )．14．设z ＝(4－3i )4(3－i )6(1－i )12，则|z |＝__________.导学号 966601189[答案] 625[解析] ∵z ＝(4－3i )4(3－i )6(1－i )12 ∴|z |＝|4－3i|4·|3－i|6|1－i|12＝54·26(2)12＝54＝625. 15．程序框图(即算法流程图)如图所示，其输出结果是________．导学号 966601190[答案] 127[解析] 本题考查程序框图的基本学问．输入a ＝1，循环一次时，a ＝3，循环二次时，a ＝7，循环三次时，a ＝15，循环四次时，a ＝31，循环五次时，a ＝63，循环六次时，a ＝127，此时循环终止，输出127.16．(2022·四川文，15)在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为P ′(yx 2＋y 2，－xx 2＋y 2)；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身．现有下列命题：导学号 96661191 ①若点A 的“伴随点”是点A ′，则点A ′的“伴随点”是点A ； ②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上；③若两点关于x 轴对称，则它们的“伴随点”关于y 轴对称； ④若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”肯定共线． 其中的真命题是________(写出全部真命题的序号)． [答案] ②③[解析] 对于①，设A (0,3)，则A 的“伴随点”为A ′(13，0)，但是A ′(13，0)的“伴随点”为(0，－3)，与A 不同，所以①错误；对于②，设单位圆C ：x 2＋y 2＝1上的点P (x ，y )，点P 的“伴随点”为P ′(x ′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝yx 2＋y 2y ′＝－xx 2＋y2，所以x ′2＋y ′2＝y 2(x 2＋y 2)2＋(－x )2(x 2＋y 2)2＝1x 2＋y2＝1，所以②正确；对于③，设P (x ，y )的“伴随点”为P ′(y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2)，P 1(x ，－y )的“伴随点”为P ′1(－y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2)，易知P ′(yx 2＋y 2，－x x 2＋y 2)与P ′1(－yx 2＋y 2，－xx 2＋y 2)关于y 轴对称，所以③正确；对于④，设原直线的解析式为Ax ＋By ＋C ＝0，其中A ，B 不同时为0，且P (x 0，y 0)为该直线上一点，P (x 0，y 0)的“伴随点”为P ′(x ′，y ′)，其中P ，P ′都不是原点，且⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝y 0x 2＋y 2y ′＝－x0x 20＋y20，则x 0＝－(x 20＋y 20)y ′，y 0＝(x 20＋y 20)x ′，将P (x 0，y 0)代入原直线方程，得－A (x 20＋y 20)y ′＋B (x 20＋y 20)x ′＋C ＝0，则－Ay ′＋Bx ′＋C x 20＋y 20＝0，由于x 20＋y 20的值不确定，所以“伴随点”不肯定共线，所以④错误．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)调查某桑场采桑员和帮助工关于桑毛虫皮炎发病状况结果如表： 导学号 966601192采桑 不采桑 合计 患者人数 18 12 健康人数 5 78 合计利用2×2概率是多少？[解析] 由于a ＝18，b ＝12，c ＝5，d ＝78，所以a ＋b ＝30，c ＋d ＝83，a ＋c ＝23，b ＋d ＝90，n ＝113. 所以χ2＝n (ad －bc )3(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝113×(18×78－5×12)230×83×23×90≈39.6>6.635.所以有99%的把握认为“患桑毛虫皮炎病与采桑”有关系．认为两者有关系会犯错误的概率是1%. 18．(本题满分12分)求证：a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )．导学号 966601193 [证明] ∵a 2＋b 2≥2ab ， ∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ， ∴a 2＋b 2≥22|a ＋b |≥22(a ＋b )， 同理b 2＋c 2≥22(b ＋c )，c 2＋a 2≥22(c ＋a )， ∴a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )．19．(本题满分12分)某居民区的物业管理部门每月向居民收取卫生费，计费方法是：3人和3人以下的住户，每户收取5元；超过3人的住户，每超出1人加收1.2元，请设计一个表示按人数收取卫生费的流程图．导学号 966601194[解析] 流程图如图所示：20．(本题满分12分)已知复数z 满足：|z |＝1＋3i －z ，求(1＋i )2(3＋4i )22z 的值．导学号 966601195[解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，而|z |＝1＋3i －z ， 即a 2＋b 2－1－3i ＋a ＋b i ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＋a －1＝0b －3＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4b ＝3.∴z ＝－4＋3i ，∴(1＋i )2(3＋4i )22z ＝2i (－7＋24i )2(－4＋3i )＝24＋7i 4－3i＝3＋4i.21．(本题满分12分)实数a 、b 、c 、d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1. 求证：a 、b 、c 、d 中至少有一个是负数． 导学号 966601196[证明] 假设a 、b 、c 、d 中全都是非负数， 即a 、b 、c 、d ≥0，由a ＋b ＝c ＋d ＝1，得(a ＋b )(c ＋d )＝1，即ac ＋ad ＋bc ＋bd ＝1， ∴ac ＋bd ＝1－ad －bc ≤1. 与条件ac ＋bd >1冲突．故a 、b 、c 、d 中至少有一个是负数．22．(本题满分14分)化学反应中催化剂能加快化学反应，现统计肯定量的高锰酸钾加热后生成的氧气的体积x 与加热时间y 的一组数据，如下表.导学号 966601197 x 104 180 190 177 147 134 150 191 204 121 y /分钟100200210185155135170205235125(1)(2)求回归直线方程．[解析] (1)用x 轴表示生成的氧气体积，y 轴表示加热时间，可作散点图，如图所示．由图可知，各点分布在一条直线四周，它们呈线性相关关系．(2)设所求的回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^.计算得x ＝159.8，y ＝172，∑i ＝110x i y i ＝287 640，∑i ＝110x 2i ＝265 448，则b ^＝∑i ＝110x i y i －10x y∑i ＝110x 2i －10x2≈1.267，a ^＝y －b ^x ＝172－1.267×159.8≈－30.47. ∴回归直线方程为y ^＝1.267x －30.47.。
2022-2021学年成才之路·人教B版数学·必修2试题：综合测试2 B
其次章综合测试(B)时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．直线x＋(m＋1)y＋3＝0与直线mx＋2y－1＝0平行，则m的值为导学号 03310963()A．1B．－2C．2或－1 D．－2或1[答案] D[解析]由题意，得1×2－m(m＋1)＝0，即m2＋m－2＝0，解得m＝－2或1．经检验知当m＝－2或1，满足题意．2．在空间直角坐标系中，以点A(4,1,9)、B(10，－1,6)、C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为底边的等腰三角形，则实数x的值为导学号 03310964()A．－2 B．2C．6 D．2或6[答案] D[解析]由题意得(10－4)2＋(－1－1)2＋(6－9)2＝(x－4)2＋(4－1)2＋(3－9)2，解得x＝2或6．3．直线l：x－y＋1＝0关于y轴对称的直线方程为导学号 03310965()A．x＋y－1＝0 B．x－y＋1＝0C．x＋y＋1＝0 D．x－y－1＝0[答案] A[解析]用－x替换方程x－y＋1＝0的x，得－x－y＋1＝0，即x＋y－1＝0，故选A．4．假如方程Ax＋By＋C＝0表示的直线是y轴，则A、B、C满足导学号 03310966()A．B·C＝0 B．A≠0C．B·C＝0且A≠0 D．A≠0且B＝C＝0[答案] D[解析]直线是y轴，则斜率不存在且过点(0,0)．斜率不存在，得B＝0.A、B不同时为0，得A≠0，又过点(0,0)，得C＝0．5．直线(m＋2)x＋my＋1＝0与直线(m－1)x＋(m－4)y＋2＝0相互垂直，则m的值为导学号 03310967 ()A．12B．－2C．－12或2 D．－2或12[答案] C[解析]由题意，得(m＋2)(m－1)＋m(m－4)＝0，解得m＝－12或2．6．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系肯定是导学号 03310968()A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心[答案] C[解析]本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式．圆心C(0,0)到直线kx－y＋1＝0的距离d＝11＋k2≤1<2．所以直线与圆相交，故选C．7．若圆的一条直径的两端点分别是(－1,3)和(5，－5)，则此圆的方程是导学号 03310969()A．x2＋y2＋4x＋2y－20＝0 B．x2＋y2－4x－2y－20＝0C．x2＋y2－4x＋2y＋20＝0 D．x2＋y2－4x＋2y－20＝0[答案] D[解析]圆心坐标为(2，－1)，半径为(2＋1)2＋(－1－3)2＝5，故所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝25，即x2＋y2－4x＋2y－20＝0．8．方程x2＋y2＋2kx＋4y＋3k＋8＝0表示圆，则k的取值范围是导学号 03310970()A．k＝4或k＝－1 B．k>4或k<－1C．－1<k<4 D．以上都不对[答案] B[解析]方程x2＋y2＋2kx＋4y＋3k＋8＝0，可化为(x＋k)2＋(y＋2)2＝k2－3k－4，由题意，得k2－3k－4>0，∴k>4或k<－1．9．直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2－2y ＝0的位置关系是导学号 03310971( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．取决于k 的值[答案] A[解析] 解法一：∵直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)，又点(0,1)在圆x 2＋y 2－2y ＝0的内部， ∴直线与圆相交．解法二：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1x 2＋y 2－2y ＝0，得(1＋k 2)x 2－1＝0，Δ＝4(1＋k 2)>0，故直线与圆相交．10．已知直线x ＋3y －7＝0，kx －y －2＝0与x 轴，y 轴围成的四边形有外接圆，则实数k 的值是导学号 03310972( )A ．－3B ．3C ．－6D ．6[答案] B[解析] 由题意，知两直线垂直， ∴1·k ＋3·(－1)＝0，∴k ＝3．11．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是导学号 03310973( )A ．(x －3)2＋⎝⎛⎭⎫y －732＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．⎝⎛⎭⎫x －322＋(y －1)2＝1 [答案] B[解析] 设圆心坐标为(x ，y )，由题意知x >0，y ＝1． 由点到直线的距离公式，得|4x －3|42＋32＝1，∴4x －3＝±5，∵x >0，∴x ＝2．故所求圆的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝1．12．将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移一个单位，所得直线与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为导学号 03310974( )A ．－3或7B ．－2或8C ．0或10D ．1或11[答案] A[解析] 直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移一个单位后为2(x ＋1)－y ＋λ＝0，即2x －y ＋2＋λ＝0，又直线2x －y ＋2＋λ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则|－2－2＋2＋λ|5＝5，解得λ＝－3或7．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．已知a <0，直线l 1：2x ＋ay ＝2，l 2：a 2x ＋2y ＝1，若l 1⊥l 2，则a ＝________.导学号 03310975 [答案] －1[解析] ∵l 1⊥l 2，∴2a 2＋2a ＝0， ∴a ＝－1或a ＝0.∵a <0，∴a ＝－1．14．经过圆x 2＋2x ＋y 2＝0的圆心C ，且与直线x ＋y ＝0垂直的直线方程是________.导学号 03310976 [答案] x －y ＋1＝0[解析] 由x 2＋2x ＋y 2＝0得圆心C (－1,0)， 所求直线与x ＋y ＝0垂直，∴所求直线的斜率为1， ∴所求直线的方程为x －y ＋1＝0．15．已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1,2)，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于____________.导学号 03310977[答案]254[解析] ∵点A (1,2)在圆x 2＋y 2＝5上，故过点A 的圆的切线方程为 x ＋2y －5＝0，令x ＝0，得y ＝52，令y ＝0，得x ＝5， ∴S △＝12×52×5＝254．16．一束光线从点A (－2,2)动身，经x 轴反射到圆C ：(x －4)2＋(y －6)2＝1上的最短路程是______.导学号 03310978[答案] 9[解析] A 关于x 轴对称点A 1(－2，－2)，⊙C 的圆心C (4,6)，|A 1C |＝10，∴最短路程为|A 1C |－1＝9．三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)已知两直线l 1：(3＋m )x ＋9y ＝m －1，l 2：2x ＋(1＋2m )y ＝6.导学号 03310979 (1)m 为何值时，l 1与l 2垂直； (2)m 为何值时，l 1与l 2平行．[解析] (1)由题意得2(3＋m )＋9(1＋2m )＝0， 解得m ＝1516．(2)由题意得(3＋m )(1＋2m )－18＝0， 解得m ＝－5或32．当m ＝－5时，l 1与l 2重合；当m ＝32时，l 1与l 2平行．18．(本题满分12分)已知直线l 1：x ＋2y －3＝0与l 2：2x －y －1＝0的交点是P ，直线l 过点P 及点A (4,3).导学号 03310980(1)求l 的方程；(2)求过点P 且与l 垂直的直线l ′的方程．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3＝02x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1． ∴P (1,1)，∴l 的方程为：y －13－1＝x －14－1，即l ：2x －3y ＋1＝0．(2)∵所求直线l ′与l 垂直， ∴斜率为－32．又∵l ′过点(1,1)，∴所求直线l ′的方程为y －1＝－32(x －1)，即3x ＋2y －5＝0．19．(本题满分12分)△ABC 中，点A (1,1)、B (4,2)、C (－4,6).导学号 03310981(1)求BC 边上的中线所在直线的方程； (2)求BC 边上的高及△ABC 的面积．[解析] (1)BC 边的中点D 的坐标为(0,4)，∴中线AD 的斜率k ＝4－10－1＝－3，故中线AD 的方程为y －4＝－3(x －0)， 即3x ＋y －4＝0．(2)BC 边所在直线的斜率为k BC ＝6－2－4－4＝－12，BC 边所在直线的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0．点A 到BC 边的距离d ＝|1＋2－8|12＋22＝5，∴BC 边上的高为5， |BC |＝(－4－4)2＋(6－2)2＝45．∴S △ABC ＝12×45×5＝10．20．(本题满分12分)如图所示，在Rt △ABC 中，已知A (－2,0)，直角顶点B (0，－22)，点C 在x 轴上.导学号 03310982(1)求Rt △ABC 外接圆的方程；(2)求过点(－4,0)且与Rt △ABC 外接圆相切的直线的方程．[解析] (1)由题意可知点C 在x 轴的正半轴上，可设其坐标为(a,0)，又AB ⊥BC ，则k AB ·k BC ＝－1， 即－222·22a＝－1，解得a ＝4．则所求圆的圆心为(1,0)，半径为3，故所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝9．(2)由题意知直线的斜率存在，故设所求直线方程为y ＝kx ＋4，即 kx －y ＋4k ＝0． 当圆与直线相切时，有d ＝|5k |k 2＋1＝3，解得k ＝±34，故所求直线方程为y ＝34(x －4)或y ＝－34(x －4)，即3x －4y －12＝0或3x ＋4y －12＝0．21．(本题满分12分)一圆与两平行直线x ＋3y －5＝0和x ＋3y －3＝0都相切，圆心在直线2x ＋y ＋1＝0上，求圆的方程.导学号 03310983[解析] 两平行直线之间的距离为|－5＋3|1＋9＝210，∴圆的半径为110，设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝110，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＋1＝0|a ＋3b －5|10＝110|a ＋3b －3|10＝110，解得⎩⎨⎧a ＝－75b ＝95．故所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋752＋⎝⎛⎭⎫y －952＝110． 22．(本题满分14分)已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 、PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，那么四边形P ACB 面积的最小值是多少？导学号 03310984[解析] 解法一：将圆的一般方程化为标准方程得(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心C (1,1)，r ＝1，如图所示，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或向右下方无穷远处运动时，Rt △P AC 的面积S Rt △P AC ＝12|P A |·|AC |，|P A |越来越大，从而S 四边形P ACB ＝|P A |·|AC |也越来越大．当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S 四边形P ACB 变小，明显，当点P 到达一个特殊的位置，即CP 垂直于直线3x ＋4y ＋8＝0时，S 四边形P ACB 取得最小值．此时|PC |＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，∴|P A |＝|PC |2－|AC |2＝32－12＝22，故(S 四边形P ACB )最小值＝2·12·|P A |·|AC |＝22．解法二：设点P 的坐标为(x ，y )， 则|PC |＝(x －1)2＋(y －1)2，由勾股定理及|AC |＝1， 得|P A |＝|PC |2－|AC |2＝(x －1)2＋(y －1)2－1，故S 四边形P ACB ＝2S △P AC ＝2·12·|P A |·|AC |＝|P A |＝(x －1)2＋(y －1)2－1.欲求S 四边形P ACB 的最小值，只需求|P A |的最小值，即定点C (1,1)与直线上动点P (x ，y )的距离的平方的最小值，也就是点C (1,1)，到直线3x ＋4y ＋8＝0距离的平方，这个最小值d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|3×1＋4×1＋8|32＋422＝9． 故(S 四边形P ACB )最小值＝9－1＝22．。
2022-2021学年成才之路·人教B版数学·必修2试题：综合测试 B
本册综合测试(B)时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．已知空间两点P (－1,2，－3)，Q (3，－2，－1)，则P 、Q 两点间的距离是导学号 03311007( ) A ．6 B ．2 2 C ．36 D ．2 5[答案] A[解析] 由空间两点间距离公式，得|PQ |＝(3＋1)2＋(－2－2)2＋(－1＋3)2＝6．2．在数轴上从点A (－2)引一线段到B (3)，再延长同样的长度到C ，则点C 的坐标为导学号 03311008( )A ．13B ．0C ．8D ．－2[答案] C[解析] 设点C 的坐标为x ，由题意，得 d (A ，B )＝3－(－2)＝5；d (B ，C )＝x －3＝5， ∴x ＝8．3．(2022·北京文，5)圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为导学号 03311009( ) A ．1 B ．2 C ． 2 D ．2 2[答案] C[解析] 由圆的标准方程(x ＋1)2＋y 2＝2，知圆心为(－1,0)，故圆心到直线y ＝x ＋3，即x －y ＋3＝0的距离d ＝|－1－0＋3|2＝2．4．若一个三角形的平行投影仍是三角形，则下列命题：①三角形的高线的平行投影，肯定是这个三角形的平行投影的高线； ②三角形的中线的平行投影，肯定是这个三角形的平行投影的中线；③三角形的角平分线的平行投影，肯定是这个三角形的平行投影的角平分线； ④三角形的中位线的平行投影，肯定是这个三角形的平行投影的中位线． 其中正确的命题有导学号 03311010( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④[答案] D[解析] 垂直线段的平行投影不肯定垂直，故①错；线段的中点的平行投影仍是线段的中点，故②正确；三角形的角平分线的平行投影，不肯定是角平分线，故③错；由于线段的中点的平行投影仍旧是线段的中点，所以中位线的平行投影仍旧是中位线，故④正确．选D ．5．在圆柱内有一个内接正三棱锥，过一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是导学号 03311011( )[答案] D[解析] 如图所示，由图可知选D ．6．已知圆x 2＋y 2－2x ＋my ＝0上任意一点M 关于直线x ＋y ＝0的对称点N 也在圆上，则m 的值为导学号 03311012( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2[答案] D[解析] 由题可知，直线x ＋y ＝0过圆心(1，－m2)，∴1－m2＝0，∴m ＝2．7．若圆心在x 轴上，半径为5的圆C 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆C 的方程是导学号 03311013( )A ．(x －5)2＋y 2＝5B ．(x ＋5)2＋y 2＝5C ．(x －5)2＋y 2＝5D ．(x ＋5)2＋y 2＝5[答案] D[解析] 设圆心C (a,0)，由题意r ＝5＝|a |5，∴|a |＝5，∵a <0，∴a ＝－5，∴圆C 的方程为(x ＋5)2＋y 2＝5． 8．对于直线m 、n 和平面α、β，能得出α⊥β的一个条件是 导学号 03311014( ) A ．m ⊥n ，m ∥α，n ∥β B ．m ⊥n ，α∩β＝m ，n ⊂α C ．m ∥n ，n ⊥β，m ⊂α D ．m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β[答案] C[解析] 对于选项C ，∵m ∥n ，n ⊥β，∴m ⊥β， 又∵m ⊂α，∴α⊥β．9．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的体积为导学号 03311015( ) A ．3π B ．3π3 C ．3π D ．3π2[答案] B[解析] 设圆锥的母线长为l ， 则34l 2＝3，∴l ＝2． ∴圆锥的底面半径r ＝1，高h ＝3，故其体积V ＝13πr 2h ＝3π3．10．有一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位：cm)，其侧视图和主视图是全等的三角形，则该几何体的表面积为导学号 03311016( )A ．12π cm 2B ．15π cm 2C ．24π cm 2D ．36π cm 2[答案] C[解析] 由三视图可知，该几何体是底面半径为3，母线长为5的圆锥，其表面积S ＝S 侧＋S 底＝πrl ＋πr 2＝3×5π＋9π＝24π cm 2．11．点P (5a ＋1,12a )在圆(x －1)2＋y 2＝1的内部，则a 的取值范围是导学号 03311017( ) A ．(－1,1) B ．⎝⎛⎭⎫－∞，113 C ．⎝⎛⎭⎫－113，113 D ．⎝⎛⎭⎫－15，15 [答案] C[解析] ∵点P (5a ＋1,12a )在圆(x －1)2＋y 2＝1的内部，∴(5a ＋1－1)2＋(12a 2)<1， 即25a 2＋144a 2<1，∴a 2<1169，∴－113<a <113．12．若直线ax ＋by －3＝0和圆x 2＋y 2＋4x －1＝0切于点P (－1,2)，则ab 的值为导学号 03311018( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3[答案] C[解析] 由题意，得点P (－1,2)在直线ax ＋by －3＝0上，∴－a ＋2b －3＝0，即a ＝2b －3． 圆x 2＋y 2＋4x －1＝0的圆心为(－2,0)，半径r ＝5，∴|－2a －3|a 2＋b 2＝5，∴a 2－12a ＋5b 2－9＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b －3a 2－12a ＋5b 2－9＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝2．故ab ＝2．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．已知两条直线l 1：ax ＋8y ＋b ＝0和l 2：2x ＋ay －1＝0(b <0)，若l 1⊥l 2且直线l 1的纵截距为1时，a ＝________，b ＝________.导学号 03311019[答案] 0 －8[解析] ∵l 1⊥l 2，∴2a ＋8a ＝0， ∴a ＝0．又直线l 1：ax ＋8y ＋b ＝0，即8y ＋b ＝0的纵截距为1， ∴b ＝－8． 14．已知圆M ：x 2＋y 2－2mx －3＝0(m <0)的半径为2，则其圆心坐标为________.导学号 03311020[答案] (－1,0)[解析] 方程x 2＋y 2－2mx －3＝0可化为(x －m )2＋y 2＝3＋m 2， ∴3＋m 2＝4，∴m 2＝1，∵m <0，∴m ＝－1.故圆心坐标为(－1,0)．15．已知圆锥母线长是10，侧面开放图是半圆，则该圆锥的侧面积为________.导学号 03311021 [答案] 50π[解析] 设圆锥的底面半径为r ，则2πr ＝10π，∴r ＝5． ∴圆锥的侧面积S ＝πrl ＝50π．16．一个半球的表面积为Q ，一个圆柱与此半球等底等体积，则这个圆柱的表面积是________.导学号 03311022[答案]109Q [解析] 设半球的半径为R ，则圆柱的底面半径也为R ，设圆柱的高为h ． 由题意得2πR 2＋πR 2＝Q ，∴R 2＝Q3π．又23πR 3＝πR 2h ，∴h ＝23R ． ∴圆柱的表面积S ＝2πRh ＋2πR 2＝43πR 2＋2πR 2＝103πR 2＝103π·Q 3π＝109Q ．三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)直线l 过点P (43，2)，且与x 轴，y 轴的正方向分别交于A 、B 两点，当△AOB 的面积为6时，求直线l 的方程.导学号 03311023[解析] 当斜率k 不存在时，不合题意．设所求直线的斜率为k ，则k ≠0，l 的方程为y －2＝k (x －43)．令x ＝0，得y ＝2－43k >0，令y ＝0，得x ＝43－2k >0，∴k <32．由S ＝12(2－43k )(43－2k )＝6，解得k ＝－3或k ＝－34．故所求直线方程为y －2＝－3(x －43)或y －2＝－34(x －43)，即3x ＋y －6＝0或3x ＋4y －12＝0．18．(本题满分12分)已知直线l 1：ax －by －1＝0(a 、b 不同时为0)，l 2：(a ＋2)x ＋y ＋a ＝0.导学号 03311024(1)若b ＝0且l 1⊥l 2，求实数a 的值；(2)当b ＝2，且l 1∥l 2时，求直线l 1与l 2之间的距离． [解析] (1)若b ＝0，则l 1：ax －1＝0， l 2：(a ＋2)x ＋y ＋a ＝0，∵l 1⊥l 2， ∴a (a ＋2)＝0，∴a ＝－2或0． (2)当b ＝2时，l 1：ax －2y －1＝0， l 2：(a ＋2)x ＋y ＋a ＝0，∵l 1∥l 2， ∴a ＝－2(a ＋2)，∴a ＝－43．∴l 1：4x ＋6y ＋3＝0，l 2：2x ＋3y －4＝0，∴l 1与l 2之间的距离d ＝|32＋4|22＋32＝111326．19．(本题满分12分)已知圆C 与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且经过点A (6,1)，求圆C 的方程.导学号 03311025[解析] ∵圆心在直线x －3y ＝0上， ∴设圆心坐标为(3a ，a )，又圆C 与y 轴相切，∴半径r ＝3|a |，圆的标准方程为(x －3a )2＋(y －a )2＝9a 2， 又∵过点A (6,1)，∴(6－3a )2＋(1－a )2＝9a 2，即a 2－38a ＋37＝0，∴a＝1或a＝37，∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x－111)2＋(y－37)2＝12 321．20．(本题满分12分)如图所示，圆锥的轴截面为等腰直角△SAB，Q 为底面圆周上一点.导学号 03311026(1)若QB的中点为C，OH⊥SC，求证：OH⊥平面SBQ；(2)假如∠AOQ＝60°，QB＝23，求此圆锥的体积．[解析](1)连接OC，∵SQ＝SB，OQ＝OB，QC＝CB，∴QB⊥SC，QB⊥OC，∴QB⊥平面SOC．∵OH⊂平面SOC，∴QB⊥OH，又∵OH⊥SC，∴OH⊥平面SQB．(2)连接AQ.∵Q为底面圆周上的一点，AB为直径，∴AQ⊥QB．在Rt△AQB中，∠QBA＝30°，QB＝23，∴AB＝23cos60°＝4．∵△SAB是等腰直角三角形，∴SO＝12AB＝2，∴V圆锥＝13π·OA2·SO＝83π．21．(本题满分12分)如图，已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB＝60°，AD＝AA1，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点.导学号 03311027(1)求证：直线MF∥平面ABCD；(2)求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1．[解析](1)延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN．∵F是BB1的中点，∴F为C1N的中点，B为CN的中点．又∵M是线段AC1的中点，∴MF∥AN．又∵MF⊄平面ABCD，AN⊂平面ABCD，∴MF∥平面ABCD．(2)连接BD，由直四棱柱ABCD－A1B1C1D1可知，A1A⊥平面ABCD，又∵BD⊂平面ABCD，∴A1A⊥BD．∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD．又∵AC∩A1A＝A，AC、A1A⊂平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1．在四边形DANB中，DA∥BN，且DA＝BN，∴四边形DANB为平行四边形，∴NA∥BD，∴NA⊥平面ACC1A1．又∵NA⊂平面AFC1，∴平面AFC1⊥平面ACC1A1．22．(本题满分14分)如图所示，M、N、P分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB、BC、DD1上的点.导学号 03311028(1)若BM MA ＝BNNC，求证：无论点P 在DD 1上如何移动，总有BP ⊥MN ； (2)棱DD 1上是否存在这样的点P ，使得平面APC 1⊥平面ACC 1？证明你的结论．[解析] (1)如图所示，连接B 1M 、B 1N 、AC 、BD ，则BD ⊥AC ． ∵BM MA ＝BNNC ，∴MN ∥AC ． ∴BD ⊥MN ．∵DD 1⊥平面ABCD ，MN ⊂面ABCD ，∴DD 1⊥MN ． ∴MN ⊥平面BDD 1．∵无论P 在DD 1上如何移动，总有BP ⊂平面BDD 1，故总有MN ⊥BP ． (2)存在点P ，且P 为DD 1的中点，使得平面APC 1⊥平面ACC 1．∵BD ⊥AC ，BD ⊥CC 1， ∴BD ⊥平面ACC 1． 取BD 1的中点E ，连接PE ， 则PE ∥BD .∴PE ⊥面ACC 1． 又∵PE ⊂面APC 1， ∴面APC 1⊥面ACC 1．。
2022年秋成才之路高中数学导学练习(人教B版必修一)：第二章 函数 2.1.3 第1课时
其次章 2.1 2.1.3第1课时一、选择题1．下列函数中，在(－∞，0)上为减函数的是()导学号62240362A．y＝1x2B．y＝x3C．y＝x0D．y＝x2[答案] D[解析]∵函数y＝x2的图象是开口向上的抛物线，对称轴为y轴，∴函数y＝x2在(－∞，0)上为减函数．2．设函数f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的增函数，则有() 导学号62240363A．a>12B．a≤12C．a>－12D．a<12[答案] A[解析]由题意2a－1>0，∴a>12.3．假如函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1、x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中不正确的是() 导学号62240364A．f(x1)－f(x2)x1－x2>0 B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0C．f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b) D．x1－x2f(x1)－f(x2)>0[答案] C[解析]由函数单调性的定义可知，若函数y＝f(x)在给定的区间上是增函数，则x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，由此可知，选项A、B、D正确；对于C，若x1<x2时，可能有x1＝a或x2＝b，即f(x1)＝f(a)或f(x2)＝f(b)，故C不成立．4．(2022～2021学年度武汉二中、龙泉中学高一上学期期中测试)函数f(x)＝－x2＋2ax＋3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是() 导学号62240365 A．a<4 B．a≤4C．a>4 D．a≥4[答案] D[解析]函数f(x)的图象的对称轴为x＝a，由题意得a≥4.5．若函数f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间(b，c)上也是增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上() 导学号62240366A．必是增函数B．必是减函数C．是增函数或是减函数D．无法确定单调性[答案] D[解析]函数f(x)在两个单调增区间的并区间上并不肯定是增函数．如图所示．6．设f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，则() 导学号62240367A．f(1)>f(2) B．f(－a)<f(a)C．f(0)<f(a) D．f(1)<f(2)[答案] A[解析]∵f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，∴f(1)>f(2)，故选A．二、填空题7．已知f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且m＝f(34)，n＝f(a2－a＋1)，则m与n的大小关系是____________．导学号62240368[答案]m≥n[解析]a2－a＋1＝(a－12)2＋34≥34，∵f (x )在(0，＋∞)上是减函数， ∴f (34)≥f (a 2－a ＋1)， ∴m ≥n .8．已知函数f (x )的图象如图．则f (x )的单调减区间为________，最大值为________，最小值为________．导学号62240369[答案] [－3,1] 2 －3[解析] 由图可知f (x )的单调减区间为[－3,1]，最大值为2，最小值为－3. 三、解答题9．(2022～2021学年度四川德阳五中高一上学期月考)已知函数f (x )＝x2x －1，证明函数f (x )在区间(1，＋∞)上是减函数．导学号62240370[证明] 设任意x 1∈(1，＋∞)，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2. f (x 2)－f (x 1)＝x 22x 2－1－x 12x 1－1＝2x 1x 2－x 2－2x 1x 2＋x 1(2x 2－1)(2x 1－1)＝x 1－x 2(2x 2－1)(2x 1－1)∵x 1<x 2，∴x 1－x 2<0. 又∵x 1>1，x 2>1， ∴2x 1－1>0,2x 2－1>0，∴x 1－x 2(2x 2－1)(2x 1－1)<0， ∴f (x 2)<f (x 1)．故函数f (x )在区间(1，＋∞)上是减函数．10．推断函数f (x )＝－x 3＋1在R 上的单调性．导学号62240371 [证明] 函数f (x )＝－x 3＋1在R 上是减函数． 设x 1、x 2∈R ，且x 1<x 2，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝－x 32＋1＋x 31－1＝x 31－x 32＝(x 1－x 2)(x 21＋x 1x 2＋x 22)＝(x 1－x 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222＋3x 224，∵x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，又⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222＋3x 224>0，∴f (x 2)－f (x 1)<0， ∴Δy <0，∴f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数.一、选择题1．在(－∞，0)上是减函数的是( ) 导学号62240372 A ．y ＝1－x 2B ．y ＝－1x C ．y ＝x －1 D ．y ＝4x[答案] D[解析] 函数y ＝1－x 2，y ＝－1x ，y ＝x －1在区间(－∞，0)上是增函数，函数y ＝4x 在(－∞，0)上为减函数，故选D ．2．已知函数f (x )＝8＋2x －x 2，那么( ) 导学号62240373A ．f (x )在(－∞，0)上是减函数B ．f (x )是减函数C ．f (x )是增函数D ．f (x )在(－∞，0)上是增函数[答案] D[解析] 函数f (x )＝8＋2x －x 2的图象为开口向下，对称轴是x ＝1的抛物线，∴函数f (x )在(－∞，0)上是增函数．3．函数y ＝|x ＋2|在区间[－3,0]上是( ) 导学号62240374 A ．递减 B ．递增 C ．先减后增 D ．先增后减[答案] C[解析] y ＝|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2 (x ≥－2)－x －2 (x <－2)，作出y ＝|x ＋2|的图象， 易知在[－3，－2]上为减函数， 在[－2,0]上为增函数．4．已知f (x )在(－∞，＋∞)内是减函数，a 、b ∈R ，且a ＋b ≤0，则有( ) 导学号62240375 A ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b ) B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )＋f (b )≤－f (a )－f (b ) D ．f (a )＋f (b )≥－f (a )－f (b )[答案] A[解析] ∵f (x )在(－∞，＋∞)内是减函数，a 、b ∈R ，且a ＋b ≤0，∴a ≤－b ，b ≤－a ， ∴f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )， ∴f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )． 二、填空题5．若f (x )＝x 2＋2mx ＋2在(－∞，1]上是减函数，则实数m 的取值范围为________． 导学号62240376 [答案] m ≤－1[解析] ∵函数f (x )＝x 2＋2mx ＋2的对称轴为x ＝－m ，∴要使函数在(－∞，1]上是减函数，应满足－m ≥1，∴m ≤－1.6．函数y ＝x 2＋x ＋1(x ∈R )的递减区间为________．导学号62240377 [答案] (－∞，－12][解析] 函数y ＝x 2＋x ＋1的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－12， ∴函数的递减区间为(－∞，－12]． 三、解答题7．设函数f (x )是R 上的单调增函数，F (x )＝f (x )－f (2－x )．导学号62240378 求证：函数F (x )在R 上是单调增函数． [证明] 任取x 1、x 2∈R ，且x 1<x 2，∵函数f (x )是R 上的单调增函数， ∴f (x 1)<f (x 2)，f (2－x 1)>f (2－x 2)， 即f (x 1)－f (x 2)<0，f (2－x 1)－f (2－x 2)>0，∴F (x 1)－F (x 2)＝[f (x 1)－f (2－x 1)]－[f (x 2)－f (2－x 2)]＝[f (x 1)－f (x 2)]＋[f (2－x 2)－f (2－x 1)]<0，即F (x 1)－F (x 2)<0，所以F (x 1)<F (x 2)．∴函数F (x )在R 上是单调增函数． 8．争辩函数f (x )＝ax ＋1x ＋2(a ≠12)在(－2，＋∞)上的单调性．导学号62240379 [解析] 设x 1、x 2为(－2，＋∞)内的任意两个实数，且x 1<x 2， 则f (x 2)－f (x 1)＝ax 2＋1x 2＋2－ax 1＋1x 1＋2＝(ax 2＋1)(x 1＋2)－(ax 1＋1)(x 2＋2)(x 1＋2)(x 2＋2)＝(2a －1)(x 2－x 1)(x 1＋2)(x 2＋2).∵x 1>－2，x 2>－2，x 1<x 2， ∴x 1＋2>0，x 2＋2>0，x 2－x 1>0.因此，当a >12时，2a －1>0，此时f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 1)<f (x 2)，此时函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)上是增函数；当a <12时，2a －1<0，此时f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 1)>f (x 2)，此时函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)上是减函数．。
《2016成才之路》(北师大版)数学必修1同步测试第二章函数2.2.2
第二章 §2 2.2一、选择题1．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是( )[答案] A[解析] 因为汽车先启动、再加速、到匀速、最后减速，s 随t 的变化是先慢、再快、到匀速、最后慢，故A 图比较适合题意．2．已知f (x －1)＝x 2，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 2＋2x ＋1 B ．f (x )＝x 2－2x ＋1 C ．f (x )＝x 2＋2x －1 D ．f (x )＝x 2－2x －1[答案] A[解析] 令x －1＝t ，则x ＝t ＋1， ∴f (t )＝f (x －1)＝(t ＋1)2＝t 2＋2t ＋1， ∴f (x )＝x 2＋2x ＋1.3．函数y ＝x 2－2x 的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( ) A ．{－1,0,3} B ．{0,1,2,3} C ．{y |－1≤y ≤3} D ．{y |0≤y ≤3} [答案] A[解析] 由对应法则y ＝x 2－2x ，得0→0,1→－1,2→0,3→3，所以值域为{－1,0,3}，故选A.4．若f (1x )＝x1－x ，则当x ≠0，且x ≠1时，f (x )＝( )A.1xB.1x －1C.11－xD.1x－1 [答案] B[解析] 令1x ＝t ，则x ＝1t.∵x ≠0，且x ≠1，∴t ≠1，且t ≠0. ∴f (t )＝1t1－1t＝1t －1.∴f (x )＝1x －1.故选B.5．如图中的图像所表示的函数的解析式为( )A ．y ＝32|x －1|(0≤x ≤2)B ．y ＝32－32|x －1|(0≤x ≤2)C ．y ＝32－|x －1|(0≤x ≤2)D ．y ＝1－|x －1|(0≤x ≤2) [答案] B[解析] 可将原点代入，排除选项A ，C ，再将点(1，32)代入，排除选项D ，故选B.6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (x >0)－1 (x ＝0)2x －3 (x <0)，则f {f [f (5)]}为( )A ．0B ．－1C ．5D ．－5[答案] D[解析] 根据分段函数解析式可知， f (5)＝0，而f (0)＝－1， f (－1)＝2×(－1)－3＝－5. 故f {f [f (5)]}＝f [f (0)]＝f (－1)＝－5. 二、填空题7．已知集合A ＝{x |y ＝x ＋1}，集合B ＝{y |y ＝－x 2＋4x }，则A ∩B ＝________. [答案] {x |－1≤x ≤4}(或写成{y |－1≤y ≤4})[解析] A 是函数y ＝x ＋1的定义域，则A ＝{x |x ≥－1}．B 是二次函数y ＝－x 2＋4x 的值域，则B ＝{y |y ≤4}．则A ∩B ＝{x |－1≤x ≤4}．8．已知f (x )＝x 2＋1，g (x )＝2x ＋1，则f [g (x )]＝________. [答案] 4x 2＋4x ＋2[解析] ∵f (x )＝x 2＋1，g (x )＝2x ＋1， ∴f [g (x )]＝f (2x ＋1)＝(2x ＋1)2＋1＝4x 2＋4x ＋2. 三、解答题9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x (－1≤x <0)，x 2(0≤x <1)，x (1≤x ≤2).(1)求f (－8)，f (－23)，f (12)，f (32)的值；(2)作出函数的简图； (3)求函数的值域．[分析] 给出的函数是分段函数，应注意在不同的自变量取值范围内有不同的解析式． (1)根据自变量的值，选用相应关系式求函数值． (2)在不同的区间，依次画出函数图像． (3)函数的值域是各段函数值的集合的并集．[解析] 函数的定义域为[－1,0)∪[0,1)∪[1,2]＝[－1,2]． (1)因为－8∉[－1,2]，所以f (－8)无意义． 因为－1≤x <0时，f (x )＝－x ， 所以f (－23)＝－(－23)＝23.因为0≤x <1时，f (x )＝x 2， 所以f (12)＝(12)2＝14.因为1≤x ≤2时，f (x )＝x ，所以f (32)＝32.(2)在同一坐标系中分段画出函数的图像，如图所示：(3)由第(2)问中画出的图像可知，函数的值域为[0,2]． 10．求下列函数的解析式．(1)已知f (1－x )＝x 2－3x ＋2，求f (x )； (2)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )；(3)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )． [解析] (1)∵f (1－x )＝x 2－3x ＋2＝(1－x )2＋1－x ， ∴f (x )＝x 2＋x .(2)令x ＋1＝t ，则t ≥1.即x ＝(t －1)2. 则f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1. ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (3)∵f (0)＝c ＝0，∴f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ＝ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ，f (x )＋x ＋1＝ax 2＋bx ＋x ＋1＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1a ＋b ＝1⇒⎩⎨⎧a ＝12，b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .一、选择题1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1x 2＋x －2，x >1，则f (1f (2))的值为( )A.1516 B ．4 C.89 D ．18[答案] A[解析] f (2)＝22＋2－2＝4，∴1f (2)＝14，∴f (1f (2))＝f (14)＝1－(14)2＝1516.2．已知f ⎝⎛⎭⎫x2－1＝2x ＋3，且f (m )＝6，则m 等于( ) A ．－14B.14 C.32 D ．－32[答案] A[解析] 令2x ＋3＝6，得x ＝32，所以m ＝x 2－1＝12×32－1＝－14.或先求f (x )的解析式，再由f (m )＝6，求m 的值．二、填空题3．某客运公司确定车票价格的方法是：如果行程不超过100千米，票价是每千米0.5元；如果超过100千米，超过部分按每千米0.4元定价，则客运票价y (元)与行程数x (千米)之间的函数关系式是________．[答案] y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0≤x ≤100，10＋0.4x ，x >100[解析] 根据行程是否大于100千米来求出解析式，由题意，当0≤x ≤100时，y ＝0.5x ；当x >100时，y ＝100×0.5＋(x －100)×0.4＝10＋0.4x .4．已知f (x )满足f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，则f (2)＝________. [答案] －1[解析] 设f (x )的定义域为C ，由f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x 知， x ∈C ，1x ∈C ，将原式中的x 换为1x，原式仍成立，即有f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11x ＝3x .与原式联立⎩⎨⎧f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝3x，f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，解得f (x )＝2x－x ，∴f (2)＝22－2＝1－2＝－1.三、解答题5．(1)已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝4x －1，求f (x )； (2)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x ，求f (x )． [解析] (1)∵f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)． 则f [f (x )]＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b . 又f [f (x )]＝4x －1.∴a 2x ＋ab ＋b ＝4x －1.即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－13，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1. ∴f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1.(2)∵f (x )是二次函数，设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由f (0)＝1知c ＝1.又f (x ＋1)－f (x )＝2x ， 得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－ax 2－bx －1＝2x . 左端展开整理得2ax ＋(a ＋b )＝2x .∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋1. 6．画出下列函数的图像： (1)y ＝|x －5|＋|x ＋3|；(2)y ＝2x －3，x ∈Z ，且|x |≤2； (3)y ＝x 2－2|x |－1；(4)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x (x ≥0)，－x 2－2x (x <0).[解析] (1)y ＝|x －5|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2 (x <－3)，8 (－3≤x <5)，2x －2 (x ≥5).图像如图(1)所示．(2)y ＝2x －3，∵x ∈Z ，且|x |≤2.∴x ＝±2，±1,0，图像如图(2)中的五个点．(3)y ＝x 2－2|x |－1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1 (x ≥0)，x 2＋2x －1(x <0).图像如图(3)所示．(4)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x (x ≥0)－x 2－2x (x <0)的图像如图(4)所示．7．如图所示，半径为R 的圆的内接等腰梯形ABCD ，它的下底AB 是⊙O 的直径，上底CD 的端点在圆周上，写出这个梯形周长y 和腰长x 之间的关系式，并求出它的定义域．[解析] 设腰长AD ＝BC ＝x ， 作DE ⊥AB 交AE 于点E ，连接BD ， 则∠ADB ＝90°，∴Rt △ADE ∽Rt △ABD .∴AD 2＝AE ·AB ，AE ＝x 22R .∴CD ＝AB －2AE ＝2R －x 2R.∴周长y 满足关系式y ＝2R ＋2x ＋⎝⎛⎭⎫2R －x 2R ＝－x2R＋2x ＋4R . 即周长y 与腰长x 之间的关系式为y ＝－1R x 2＋2x ＋4R .∵四边形ABCD 为圆内接梯形，∴AD >0，AE >0，CD >0.即⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x 22R>0，2R －x 2R >0，⇒0<x <2R .所以函数的定义域为{x |0<x <2R }.。
成才之路·北师大版数学必修1-合测试题2
综合测试题(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014，江西文，2)设全集为R ，集合A ＝{x |x 2－9<0}，B ＝{x |－1<x ≤5}，则A ∩(∁R B )＝()A ．(－3,0)B ．(－3，－1)C ．(－3，－1]D ．(－3,3)[答案] C[解析] A ＝{x |x 2－9<0}＝{x |－3<x <3}， ∁R B ＝{x |x ≤－1或x >5}，∴A ∩(∁R B )＝{x |－3<x <3}∩{x |x ≤－1或x >5}＝{x |－3<x ≤－1}，故选C. 2．已知集合A ＝{x |0<log 4x <1}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∩B ＝( ) A ．(0,1) B ．(0,2] C ．(1,2) D ．(1,2][答案] D[解析] 因为A ＝{x |0<log 4x <1}＝{x |1<x <4}， B ＝{x |x ≤2}．所以A ∩B ＝{x |1<x <4}∩{x |x ≤2}＝{x |1<x ≤2}．3．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上是减少的函数是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝lg|x |[答案] C[解析] 利用偶函数定义及单调性的判断方法求解． A 项，y ＝1x 是奇函数，故不正确；B 项，y ＝e －x 是非奇非偶函数，故不正确；C 、D 两项中的两个函数都是偶函数，且y ＝－x 2＋1在(0，＋∞)上是减少的，y ＝lg|x |在(0，＋∞)上是增加的．故选C.4．已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝(15)log 30.3，则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b[答案] C[解析] ∵－log 30.3＝log 3103>1且103<3.4，∴log 3103<log 33.4<log 23.4 ∵log 43.6<1，log 3103>1，∴log 43.6<log 3103.∵y ＝5x为增函数，∴5 log 23.4>5log 3103>5log 43.6即5 log 23.4>(15) log 30.3>5 log 43.6，即a >c >b .5．(2013·浙江高考)已知x ，y 为正实数，则( ) A ．2lg x＋lg y＝2lg x ＋2lg y B ．2lg(x＋y )＝2lg x ·2lg yC ．2lg x ·lg y ＝2lg x ＋2lg yD ．2lg(xy )＝2lg x ·2lg y[答案] D[解析] 本题考查指、对运算． 2lg(xy )＝2(lg x ＋lg y )＝2lg x ·2lg y .6．函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)在闭区间[2,3]上有最大值5，最小值2，则a ，b 的值为( )A ．a ＝1，b ＝0B ．a ＝1，b ＝0或a ＝－1，b ＝3C ．a ＝－1，b ＝3D ．以上答案均不正确 [答案] B[解析] 对称轴x ＝1，当a >0时在[2,3]上递增，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)＝2，f (3)＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.当a <0时，在[2,3]上递减，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)＝5，f (3)＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.故选B.7. 函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14 B ．12C ．2D ．4[答案] B[解析] ∵当a >1或0<a <1时，a x 与log a (x ＋1)的单调性一致， ∴f (x )min ＋f (x )max ＝a ，即1＋log a 1＋a ＋log a (1＋1)＝a ，∴a ＝12.8．已知函数f (x )满足：x ≥4，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝( ) A.124 B ．112C.18 D ．38[答案] A[解析] f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝⎝⎛⎭⎫123＋log 23＝⎝⎛⎭⎫123·⎝⎛⎭⎫12log 23＝18×13＝124，选A.9．函数f (x )＝(x －1)ln|x |－1的零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 [答案] D[解析] f (x )＝(x －1)ln|x |－1的零点就是方程(x －1)ln|x |－1＝0的实数根，而该方程等于方程ln|x |＝1x －1，因此函数的零点也就是函数g (x )＝ln|x |的图像与h (x )＝1x －1的图像的交点的横坐标．在同一平面直角坐标系内分别画出两个函数的图像(图略)，可知两个函数图像有三个交点，所以函数有三个零点．10．若f (x )＝x －2x ＋2(x ∈R )，且f (x －2x ＋2)＝－x2，则x 的值为( )A ．2B ．－2C ．±2D ．0[答案] A[解析] 函数f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)． f (x －2x ＋2)＝x －2x ＋2－2x －2x ＋2＋2＝－x －63x ＋2＝－x 2.∴2(x ＋6)＝(3x ＋2)x ， 即x 2＝4，∴x ＝±2. 又x ≠－2，∴x ＝2.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．(2014·天津文，12)函数f (x )＝lg x 2的单调递减区间是________． [答案] (－∞，0)[解析] 函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，令u ＝x 2，则函数u ＝x 2在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，又∵y ＝lg u 是增函数，∴函数f (x )＝lg x 2的单调递减区间为(－∞，0)．12．方程9x －6·3x －7＝0的解是________． [答案] x ＝log 37[解析] 原方程可化为(3x )2－6·3x －7＝0， 即(3x －7)(3x ＋1)＝0，又∵3x ＋1>0，∴3x ＝7，则原方程的解是x ＝log 37.13．若函数y ＝m ·3x －1－1m ·3x －1＋1的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________． [答案] [0，＋∞)[解析] 要使函数y ＝m ·3x －1－1m ·3x －1＋1的定义域为R ，则对于任意实数x ，都有m ·3x －1＋1≠0，即m ≠－⎝⎛⎭⎫13x －1.而⎝⎛⎭⎫13x －1>0，∴m ≥0.故所求m 的取值范围是m ≥0，即m ∈[0，＋∞)．14.某单位计划建造如图所示的三个相同的矩形饲养场，现有总长为1的围墙材料，则每个矩形的长宽之比为________时，围出的饲养场的总面积最大．[答案][解析] 设矩形的长为x ，则宽为1－4x 6，饲养场的总面积为y ，则有y ＝3x ·1－4x 6＝－2x 2＋12x . 当x ＝18时，y 有最大值，此时宽为112，故每个矩形的长宽之比为时，围出的饲养场的总面积最大．15．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ， x <1－x －2a ， x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．[答案] －34[解析] 首先讨论1－a,1＋a 与1的关系． 当a <0时，1－a >1,1＋a <1，所以f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ； f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝3a ＋2.因为f (1－a )＝f (1＋a )，所以－1－a ＝3a ＋2. 解得a ＝－34.当a >0时，1－a <1,1＋a >1， 所以f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a . f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－3a －1， 因为f (1－a )＝f (1＋a )所以2－a ＝－3a －1，所以a ＝－32(舍去)综上，满足条件的a ＝－34.三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)设A ＝{2x 2＋ax ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋3x ＋2a ＝0}，A ∩B ＝{2}． (1)求a 的值及A ，B ；(2)设全集U ＝A ∪B ，求(∁U A )∪(∁U B )； (3)写出(∁U A )∪(∁U B )的所有子集． [解析] (1)∵A ∩B ＝{2}，∴8＋2a ＋2＝0,4＋6＋2a ＝0.∴a ＝－5. ∴A ＝{x |2x 2－5x ＋2＝0}＝{12，2}，B ＝{x |x 2＋3x －10＝0}＝{－5,2}． (2)U ＝{12，－5,2}，(∁U A )∪(∁U B )＝{－5}∪{12}＝{－5，12}．(3)(∁U A )∪(∁U B )的子集为： ∅，{－5}，{12}，{－5，12}．17．(本小题满分12分)已知：函数f (x )＝ax ＋bx ＋c (a 、b 、c 是常数)是奇函数，且满足f (1)＝52，f (2)＝174，(1)求a ，b ，c 的值；(2)试判断函数f (x )在区间(0，12)上的单调性并证明．[解析] (1)∵f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )．∴－ax －b x ＋c ＝－ax －bx －c ，∴c ＝0. ∴f (x )＝ax ＋bx.又f (1)＝52，f (2)＝174，∴⎩⎨⎧a ＋b ＝52，2a ＋b 2＝174.∴a ＝2，b ＝12.(2)由(1)可知f (x )＝2x ＋12x.函数f (x )在区间(0，12)上为减函数．证明如下： 任取0<x 1<x 2<12，则f (x 1)－f (x 2) ＝2x 1＋12x 1－2x 2－12x 2＝(x 1－x 2)(2－12x 1x 2)＝(x 1－x 2)4x 1x 2－12x 1x 2.∵0<x 1<x 2<12，∴x 1－x 2<0,2x 1x 2>0,4x 1x 2－1<0. ∴f (x 1)－f (x 2)>0，f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在(0，12)上为减函数．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 3－2ax ＋3a －4在区间(－1,1)上有唯一零点． (1)求实数a 的取值范围；(2)若a ＝3217，用二分法求方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根．[解析] (1)∵函数f (x )在区间(－1,1)上有唯一零点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)>0，f (－1)<0，或⎩⎪⎨⎪⎧f (1)<0，f (－1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >2，a <1，或⎩⎨⎧a <2，a >1.∴1<a <2.(2)若a ＝3217，则f (x )＝3217x 3－6417x ＋2817，∵f (－1)>0，f (1)<0，f (0)＝2817>0，∴零点在(0,1)上．又f (0.5)＝0， ∴f (x )＝0的根为0.5.19．(本小题满分12分)某地区上年度电价为0.8元/度，年用电量为1亿度．本年度计划将电价调至0.55～0.75元/度之间，经测算，若电价调到x 元/度，则本年度新增用电量y (亿度)与(x －0.4)(元/度)成反比例．又当x ＝0.65元/度时，y ＝0.8.(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若每度电的成本价为0.3元/度，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？(收益＝用电量×(实际电价－成本价)) .[解析] (1)∵y 与x －0.4成反比例， ∴设y ＝kx －0.4(k ≠0)．将x ＝0.65，y ＝0.8代入上式， 得0.8＝k0.65－0.4，解得k ＝0.2.∴y ＝0.2x －0.4＝15x －2，即y 与x 之间的函数关系式为y ＝15x －2.(x ≠25)(2)根据题意，得(1＋15x －2)·(x －0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%)． 整理，得x 2－1.1x ＋0.3＝0. 解得x 1＝0.5，x 2＝0.6.经检验x 1＝0.5，x 2＝0.6都是所列方程的根．∵x 的取值范围是0.55～0.75之间， 故x ＝0.5不符合题意，应舍去．∴取x ＝0.6.当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.20．(本小题满分13分)定义在[－1，1]上的奇函数f (x )，已知当x ∈[－1，0]时的解析式为f (x )＝14x －a2x (a ∈R )．(1)写出f (x )在[0,1]上的解析式； (2)求f (x )在[0,1]上的最大值．[解析] (1)设x ∈[0,1]，则－x ∈[－1,0]， f (－x )＝14－x －a2－x ＝4x －a ·2x ，又∵函数f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )， ∴f (x )＝a ·2x －4x ，x ∈[0,1]．(2)∵f (x )＝a ·2x －4x ，x ∈[0,1]，令t ＝2x ，t ∈[1,2]． ∴g (t )＝at －t 2＝－(t －a 2)2＋a 24.当a2≤1，即a ≤2时，g (t )max ＝g (1)＝a －1； 当1<a 2<2，即2<a <4时，g (t )max ＝g (a 2)＝a 24；当a2≥2，即a ≥4时，g (t )max ＝g (2)＝2a －4. 综上所述，当a ≤2时，f (x )最大值为a －1， 当2<a <4时，f (x )最大值为a 24，当a ≥4时，f (x )最大值为2a －4.21．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝log 12 (x 2－mx －m .)(1)若m ＝1，求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的值域为R ，求实数m 的取值范围；(3)若函数f (x )在区间(－∞，1－3)上是增函数，求实数m 的取值范围． [解析] (1)m ＝1时，f (x )＝log 12(x 2－x －1)，由x 2－x －1>0可得：x >1＋52或x <1－52，∴函数f (x )的定义域为(1＋52，＋∞)∪(－∞，1－52)．(2)由于函数f (x )的值域为R ，所以z (x )＝x 2－mx －m 能取遍所有的正数从而Δ＝m 2＋4m ≥0，解得：m ≥0或m ≤－4.即所求实数m 的取值范围为m ≥0或m ≤－4. (3)由题意可知：⎩⎪⎨⎪⎧m 2≥1－3(1－3)2－m (1－3)－m >0⇒2－23≤m <2. 即所求实数m 的取值范围为[2－23，2)．。
【2022成才之路】(人教B版)数学必修1同步测试：本册综合测试题B Word版含答案
本册综合测试题(B)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2022～2021学年度四川德阳五中高一上学期月考)若集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x >a }，满足A ⊆B ，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤1B ．a <1C ．a ≥1D ．a ≤2[答案] A[解析] 将集合A 、B 分别表示在数轴上，如图所示．∵A ⊆B ，∴a ≤1.2．(2022～2021学年度济南市第一中学高一上学期期中测试)函数g (x )＝2x ＋5x 的零点所在的一个区间是( )A ．(0,1)B ．(－1,0)C ．(1,2)D ．(－2，－1)[答案] B[解析] g (－1)＝12－5<0，g (0)＝20＝1>0，故选B ．3．已知f (x 2)＝ln x ，则f (3)的值是( ) A ．ln3 B ．ln8 C ．12ln3D ．－3ln2 [答案] C[解析] 设x 2＝t ，∵x >0，x ＝t ， ∴f (t )＝ln t ＝12ln t ，∴f (x )＝12ln x ，∴f (3)＝12ln3.4．(2022～2021学年度西藏拉萨中学高一上学期月考)设f (x )是定义在R 上的偶函数，且x >0时，f (x )＝x 2＋1，则f (－2)＝( )A ．－5B ．5C ．3D ．－3[答案] B[解析] ∵x >0时，f (x )＝x 2＋1，∴f (2)＝5.又∵f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (－2)＝f (2)＝5. 5．若m ＝(2＋3)－1，n ＝(2－3)－1，则(m ＋1)－2＋(n ＋1)－2的值是( )A ．1B ．14C ．22D ．23[答案] D[解析] ∵m ＝(2＋3)－1＝2－3， n ＝(2－3)－1＝2＋ 3.∴(m ＋1)－2＋(n ＋1)－2＝(3－3)－2＋(3＋3)－2 ＝(3＋3)2＋(3－3)2(3－3)2(3＋3)2＝2436＝23. 6．函数f (x )＝x 2－5x ＋6x －2的定义域是( )A ．{x |2<x <3}B ．{x |x <2或x >3}C ．{x |x ≤2或x ≥3}D ．{x |x <2或x ≥3}[答案] D[解析] 解法一：验证排解法：x ＝3时，函数f (x )有意义，排解A 、B ；x ＝2时，函数f (x )无意义，排解C ，故选D ．解法二：要使函数有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6≥0x －2≠0，解得x <2或x ≥3，故选D ．7．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过(1,0)，…，求证这个二次函数的图象关于直线x ＝2对称． 依据已知信息，题中二次函数图象不具有的性质是( ) A ．过点(3,0) B ．顶点(2，－2) C ．在x 轴上截线段长是2 D ．与y 轴交点是(0,3) [答案] B。
2022-2021学年成才之路·人教B版数学·选修1-1、1-2 综合能力检测
选修1－1、1－2综合力量检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2022·全国卷Ⅰ文，2)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝导学号 96661198( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3[答案] A[解析] (1＋2i)(a ＋i)＝(a －2)＋(2a ＋1)i ，由已知条件，得a －2＝2a ＋1，解得a ＝－3．故选A ． 2．命题“存在x ∈Z ，x 2＋2x ＋m ≤0)A ．存在x ∈Z ，x 2＋2x ＋m >0B ．不存在x ∈Z ，x 2＋2x ＋m >0C ．任意x ∈Z ，x 2＋2x ＋m >0D ．任意x ∈Z ，x 2＋2x ＋m ≥0 [答案] C[解析] 将“存在”改为“任意”，将“≤”改为“>”即可，故选C. 3．双曲线x 24－y 25＝1 )A ．y ＝±54xB ．y ＝±52xC ．y ＝±55xD ．y ＝±255x[答案] B[解析] ∵a 2＝4，b 2＝5，∴a ＝2，b ＝5， 故双曲线x 24－y 25＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±52x .4．以双曲线x 23－y 2＝1 )A ．y 2＝4xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝8xD ．y 2＝－8x [答案] D[解析] ∵双曲线的左焦点为(－2,0)，故抛物线方程为y 2＝－8x .5．已知p ：∅⊆{0}，q ：{1}∈{1,2}，由它们构成的新命题“p ∧q ”、“p ∨q ”、“¬p)A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[答案] B[解析] p 是真命题，q 是假命题，∴p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题，¬p 是假命题，故选B. 6．命题“若f (x )是奇函数，则f (－x) ) A ．若f (x )是偶函数，则f (－x )是偶函数 B ．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数 C ．若f (－x )是奇函数，则f (x )是奇函数 D ．若f (－x )不是奇函数，则f (x )不是奇函数 [答案] B[解析] 命题“若p 则q ”的否命题为“若¬p ，则¬q ”，而“是”的否定是“不是”，故选B. 7．“x <0”是“ln(x ＋1)<0 ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] 由ln(x ＋1)<0，得0<x ＋1<1， ∴－1<x <0.故“x <0”是“ln(x ＋1)<0”的必要不充分条件．8．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C)A.x 220－y 25＝1 A.x 25－y 220＝1 A.x 280－y 220＝1 A.x 220－y 280＝1 [答案] A[解析] 依据双曲线标准方程中系数之间的关系求解． ∵x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10，∴c ＝5＝a 2＋b 2.①又双曲线渐近线方程为y ＝±ba x ，且P (2,1)在渐近线上，∴2ba＝1，即a ＝2b .② 由①②解得a ＝25，b ＝5，故选A.9．用支付宝在淘宝网购物有以下几步：①买家选好商品，点击购买按钮，并付款到支付宝；②淘宝网站收到买家的收货确认信息，将支付宝里的货款付给卖家；③买家收到货物，检验无问题，在网上确认收货；④买家登录淘宝网选择商品；⑤卖家收到购买信息，通过物流公司发货给买家．它们正确的挨次依次为导学号 966601206 ( )A ．④①⑤③②B ．④①③②⑤C ．④③②①⑤D ．⑤④①③②[答案] A[解析] 依据支付宝在淘宝网购物的具体流程，可得第一步：买家登录淘宝网选择商品；其次步：买家选好商品，点击购买按钮，并付款到支付宝；第三步：卖家收到购买信息，通过物流公司发货给买家；第四步：买家收到货物，检验无问题，在网上确认收货；第五步：淘宝网站收到买家的收货确认信息，将支付宝里的货款付给卖家．10．如图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中肯定不正确的序号是导学号 966601207 ( )A ．③④B ．①②C ．②③D ．②④[答案] A[解析] 当导数大于零时，对应函数图象单调递增；当导数小于零时，对应函数图象单调递减，据此通过图象单调性推断可知③④明显不正确．11．设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则导学号 966601208 ( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的微小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的微小值点 [答案] D[解析] ∵f (x )＝2x ＋ln x (x >0)，∴f ′(x )＝－2x 2＋1x .由f ′(x )＝0解得x ＝2.当x ∈(0,2)时， f ′(x )<0，f (x )为减函数； 当x ∈(2，＋∞)时， f ′(x )>0，f (x )为增函数． ∴x ＝2为f (x )的微小值点． 12．已知圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)的面积为S ＝πr 2，由此推理椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的面积最有可能是导学号 966601209 ( )A ．πa 2B ．πb 2C ．πabD ．π(ab )2[答案] C[解析] r 2类比ab ，应选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上) 13．若复数z ＝a 2－i1＋2i 对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是________．导学号 966601210 [答案] (－2，2)[解析] z ＝a 2－i 1＋2i ＝(a 2－i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝a 2－2－(2a 2＋1)i 5，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2<0－(2a 2＋1)<0，∴－2<a < 2.14．cos π3＝12，cos π5cos 2π5＝14，cos π7cos 2π7cos 3π7＝18，….依据以上等式，可猜想出的一般结论是________________________________．导学号 966601211[答案] cos π2n ＋1·cos 2π2n ＋1·…·cos n π2n ＋1＝12n (n ∈N *)[解析] 由前三个等式左边角的分母为2n ＋1，分子分别为π，2π，…，n π，右边为12n ，可猜想一般结论：cos π2n ＋1·cos 2π2n ＋1·…·cos n π2n ＋1＝12n (n ∈N *) 15．为加强素养训练，使同学各方面全面进展，某学校对同学文化课与体育课的成果进行了调查统计，结果如下：导学号 966601212体育课不及格体育课及格合计 文化课及格 57 221 278 文化课不及格16 43 59 合计73264337．(精确到0.001)[答案] 1.255 [解析]χ2＝337×(57×43－16×221)2278×59×73×264≈1.255.16．(2022·全国卷Ⅲ文，8)执行下面的程序框图，假如输入的a ＝4，b ＝6，那么输出的n ＝________．导学号 96661213[答案] 4[解析] 第一次循环，a ＝2，b ＝4，a ＝6，s ＝6，n ＝1； 其次次循环，a ＝－2，b ＝6，a ＝4，s ＝10，n ＝2； 第三次循环，a ＝2，b ＝4，a ＝6，s ＝16，n ＝3；第四次循环，a ＝－2，b ＝6，a ＝4，s ＝20，n ＝4，此时s ＝20>16，退出循环，输出的n ＝4． 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)已知复数z 1＝(a 2－a )＋3a i ，导学号 966601214z 2＝－2－a 2i ，问：当a 为何实数时 (1)z ＝z 1－z 2为虚数；(2)z ＝z 1＋z 2在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上； (3)z 1>z 2.[解析] (1)z ＝z 1－z 2＝(a 2－a ＋2)＋(3a ＋a 2)i ， 由于z 为虚数，所以3a ＋a 2≠0， 所以a ≠0且a ≠－3.(2)z ＝z 1＋z 2＝(a 2－a －2)＋(3a －a 2)i ，依题意：⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝03a －a 2<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1或a ＝2a >3或a <0，所以a ＝－1.(3)由于z 1>z 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝0－a 2＝0a 2－a >－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0a ∈R，所以a ＝0.18．(本题满分12分)已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y ＝2x ＋1所得弦长为15，求抛物线的方程．导学号 966601215[解析] 依题意，设抛物线方程为y 2＝2px ， 将y ＝2x ＋1代入得4x 2－2(p －2)x ＋1＝0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝p －22x 1·x 2＝14，∴弦长为1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5·p 2－4p4＝15. ∴p ＝6或p ＝－2.∴所求的抛物线方程为y 2＝12x 或y 2＝－4x .19．(本题满分12分)已知函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c ，使得f (c )>0.求实数p 的取值范围．导学号 966601216[解析] 设q ：在区间[－1,1]上至少存在一个实数c ，使得f (c )>0，则¬p ：在[－1,1]上的全部实数x ，都有f (x )≤0成立．又由二次函数的图象(如图)特征可知：⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≤0，f (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧4＋2(p －2)－2p 2－p ＋1≤0，4－2(p －2)－2p 2－p ＋1≤0⇒⎩⎨⎧p ≥1或p ≤－12，p ≥32或p ≤－3，∴Q ＝{p |≥32或p ≤－3}．∴∁R Q ＝{p |－3<p <32}．故p 的取值范围是－3<p <32.20．(本题满分12分)(2022·四川文，20)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P (3，12)在椭圆E 上．导学号 96661217(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |．[解析] (Ⅰ)由已知，a ＝2b ．又椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (3，12)，故34b 2＋14b 2＝1，解得b 2＝1．所以椭圆E 的方程是x 24＋y 2＝1．(Ⅱ)设直线l 的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由方程组⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝12x ＋m ，得x 2＋2mx ＋2m 2－2＝0，①方程①的判别式为Δ＝4(2－m 2)，由Δ>0，即2－m 2>0，解得－2<m <2． 由①得x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－2，所以M 点的坐标为(－m ，m 2)，直线OM 的方程为y ＝－12x ，由方程组⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－12x ，得C (－2，22)，D (2，－22)或C (2，－22)，D (－2，22)． 所以|MC |·|MD |＝52(－m ＋2)·52(2＋m )＝54(2－m 2)． 又|MA |·|MB |＝14|AB |2＝14[(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2]＝516[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝516[4m 2－4(2m 2－2)]＝54(2－m 2)，所以|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |．21．(本题满分12分)十一黄金周，记者通过随机询问某景区110名游客对景区的服务是否满足，得到如下的列联表：导学号 966601218单位：名性别与对景区的服务是否满足男 女 合计 满足 50 30 80 不满足 10 20 30 合计6050110(1)从这505的样本，问样本中满足与不满足的女游客各有多少名？(2)从(1)中的5名女游客样本中随机选取两名进行深度访谈，求选到满足与不满足的女游客各1名的概率． (3)依据以上列联表，问有多大把握认为“游客对景区的服务是否满足与性别有关”．[解析] (1)依据分层抽样可得：样本中满足的女游客为550×30＝3(名)，样本中不满足的女游客为550×20＝2(名)．(2)记样本中对景区的服务满足的3名女游客分别为a 1，a 2，a 3，对景区的服务不满足的2名女游客分别为b 1，b 2，从5名女游客中随机选取两名，共有10个基本大事，分别为： (a 1，a 2)、(a 1，a 3)、(a 1，b 1)、(a 1，b 2)、(a 2，a 3)、(a 2，b 1)、(a 2，b 2)、(a 3，b 1)、(a 3，b 2)、(b 1，b 2)，其中大事A ：选到满足与不满足的女游客各一名，包含了6个基本大事，分别为：(a 1，b 1)、(a 1，b 2)、(a 2，b 1)、(a 2，b 2)、(a 3，b 1)、(a 3，b 2)．所以所求概率P (A )＝610＝35.(3)依据题目中列联表得χ2＝110×(50×20－30×10)280×30×60×50≈7.486>6.635，有99%的把握认为，该景区游客对景区的服务是否满足与性别有关． 22．(本题满分14分)已知a 为实数， f (x )＝(x 2－4)(x －a )．(1)求导数f ′(x )；(2)若f ′(－1)＝0，求f (x )在[－2,2]上的最大值和最小值；(3)若f (x )在(－∞，－2]和[2，＋∞)上都是递增的，求a 的取值范围． [解析] (1)由原式得f (x )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ， ∴f ′(x )＝3x 2－2ax －4. (2)由f ′(－1)＝0得a ＝12，此时有f (x )＝(x 2－4)(x －12)，f ′(x )＝3x 2－x －4.由f ′(x )＝0得x ＝43或x ＝－1.又f (43)＝－5027， f (－1)＝92， f (－2)＝0, f (2)＝0，所以f (x )在[－2,2]上的最大值为92，最小值为－5027.(3)f ′(x )＝3x 2－2ax －4的图象为开口向上且过点(0，－4)的抛物线，由条件得f ′(－2)≥0, f ′(2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋8≥08－4a ≥0，∴－2≤a ≤2. 所以a 的取值范围为[－2,2]．。
2022-2021学年成才之路·人教B版数学·选修1-2练习：第2章 推理与证明 2.1 第1课时
其次章 2.1第1课时一、选择题1．关于合情推理，下列说法正确的是导学号 96660798 ()A．归纳推理是一般到一般的推理B．类比推理是一般到特殊的推理C．类比推理的结论肯定是正确的D．归纳推理的结论不肯定成立[答案] D[解析]归纳推理是由特殊到一般的推理，其结论不肯定正确．2．观看下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝导学号 96660799 ()A．28B．76C.123D.199[答案] C[解析]利用归纳法，a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝3＋1＝4，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123，规律为从第三组开头，其结果为前两组结果的和．3．已知数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，a n＝2a n－1＋1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的一个表达式是导学号 96660800 ()A．n2－1 B．(n－1)2＋1C．2n－1 D．2n－1＋1[答案] C[解析]a2＝2a1＋1＝2×1＋1＝3，a3＝2a2＋1＝2×3＋1＝7，a4＝2a3＋1＝2×7＋1＝15，利用归纳推理，猜想a n＝2n－1，故选C.4．下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较为合适导学号 96660801 ()A．三角形B．梯形C．平行四边形D．矩形[答案] C[解析]只有平行四边形与平行六面体较为接近，故选C.5．已知数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，则数列的第k项是导学号 96660802 ()A．a k＋a k＋1＋…＋a2k B．a k－1＋a k＋…＋a2k－1C．a k－1＋a k＋…＋a2k D．a k－1＋a k＋…＋a2k－2[答案] D[解析]利用归纳推理可知，第k项中第一个数为a k－1，且第k项中有k项，且次数连续，故第k项为a k－1＋a k＋…＋a2k－2，故选D.6．图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色导学号96660803 ()A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大[答案] A[解析]由图知：三白二黑周而复始相继排列，∵36÷5＝7余1，∴第36颗珠子的颜色是白色．二、填空题7．观看下列式子：导学号 966608041＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，由上可得出一般的结论为________．[答案]1＋122＋132＋…＋1(n＋1)2<2n＋1n＋1[解析]由于3＝2×2－1,5＝2×3－1,7＝2×4－1，…，所以1＋122＋132＋…＋1(n＋1)2<2n＋1n＋1.8．观看下列等式导学号 966608051＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49 ……照此规律，第五个等式应为______________________． [答案] 5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81[解析] 本题考查同学的推理力量．依据前4个等式的规律，第n 个等式左侧是从n 开头的2n －1个自然数的和，右侧是(2n －1)2，所以第五个等式是5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81.三、解答题9．在平面内观看，凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，…. 由此猜想凸n 边形有几条对角线？ 导学号 96660806[解析] 由题意知，f (5)－f (4)＝3， f (6)－f (5)＝4， ……f (n )－f (n －1)＝n －2， 将上面各式相加得：f (n )－f (4)＝3＋4＋…＋(n －2)， f (n )＝2＋3＋4＋…＋(n －2) ＝12n (n －3).一、选择题1．类比三角形中的性质： (1)两边之和大于第三边； (2)中位线长等于第三边的一半； (3)三内角平分线交于一点． 可得四周体的对应性质：(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)中位面(以任意三条棱的中点为顶点的三角形)的面积等于第四个面的面积的14；(3)四周体的六个二面角的平分面交于一点． 其中类比推理方法正确的有导学号 96660807 ( ) A ．(1) B ．(1)(2) C ．(1)(2)(3)D ．都不对[答案] C[解析] 以上类比推理方法都正确，需留意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确，结论也不肯定正确．2．观看下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4 , |x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8, |x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为导学号 96660808 ( )A ．76B ．80C ．86D ．92[答案] B[解析] 本题考查了不完全归纳．由已知条件知|x |＋|y |＝n 的不同整数解(x ，y )个数为4n ，所以|x |＋|y |＝20不同整数解(x ，y )的个数为4×20＝80.归纳体现了由特殊到一般的思维过程．3．三角形的面积为S ＝12(a ＋b ＋c )r ，a 、b 、c 为三边的边长，r 为三角形内切圆半径，利用类比推理可以得到四周体的体积为导学号 96660809 ( )A ．V ＝13abcB ．V ＝13ShC ．V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r ，(S 1、S 2、S 3、S 4分别为4个面的面积，r 为四周体内切球的半径)D ．V ＝13(ab ＋bc ＋ac )h[答案] C[解析] ∵三角形的面积S ＝12(a ＋b ＋c )r ，a ，b ，c 为三边的边长，r 为三角形内切圆半径，∴四周体的体积V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r .S 1、S 2、S 3、S 4分别为4个面的面积，r 为四周体内切球的半径． 4．定义A *B 、B *C 、C *D 、D *B 分别对应下列图形那么下列图形中，可以表示A *D 、A *C 的分别是导学号 96660810 ( ) A ．(1)、(2) B ．(2)、(3) C ．(2)、(4) D ．(1)、(4)[答案] C[解析] 由A *B 、B *C 、C *D 、D *B 的定义图形知A 为，B 为，C 为——，D 为 .二、填空题5．(2022·山东文，12)观看下列等式：导学号 96660811 (sin π3)－2＋(sin 2π3)－2＝43×1×2； (sin π5)－2＋(sin 2π5)－2＋(sin 3π5)－2＋(sin 4π5)－2＝43×2×3； (sin π7)－2＋(sin 2π7)－2＋(sin 3π7)－2＋…＋(sin 6π7)－2＝43×3×4； (sin π9)－2＋(sin 2π9)－2＋(sin 3π9)－2＋…＋(sin 8π9)－2＝43×4×5； …… 照此规律， (sinπ2n ＋1)－2＋(sin 2π2n ＋1)－2＋(sin 3π2n ＋1)－2＋…＋(sin 2n π2n ＋1)－2＝________． [答案] 43n (n ＋1)[解析] 依据已知，归纳可得结果为43n (n ＋1)．6．现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24，类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．导学号 96660812[答案] a 38[解析] 两个正方形重叠部分的面积为(a 2)2＝a 24，类比到空间后，两个正方体重叠部分的体积为(a 2)3＝a 38.三、解答题7．某同学在一次争辩性学习中发觉，以下五个式子的值都等于同一个常数． 导学号 96660813①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)依据(1)的计算结果，将该同学的发觉推广为三角恒等式，并证明你的结论． [解析] (1)选择②式计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝34.(2)sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°·cos α＋sin30°sin α) ＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 8．已知{a n }满足a 1＝1,4a n ＋1－a n ·a n ＋1＋2a n ＝9，写出a 1、a 2、a 3、a 4，试猜想出这个数列的通项公式．导学号 96660814[解析] 由4a n ＋1－a n a n ＋1＋2a n ＝9 得a n ＋1＝2－1a n －4， ∴a 2＝2－1a 1－4＝2＋13，a 3＝2－1a 2－4＝2＋35，a 4＝2－1a 3－4＝2＋57，猜想：a n ＝2＋2n －32n －1.9．(1)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)中，F 1、F 2是两焦点，P 是椭圆上任意一点(不与长轴端点重合)，设∠F 1PF 2＝θ，试用a 、，b 、θ表示△F 1PF 2的面积S(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中，F 1、F 2是两焦点，P 是双曲线上任意一点(不与实轴端点重合)，设∠F 1PF 2＝θ，试用a 、b 、θ表示△F 1PF 2的面积S .[解析] (1)在△F 1PF 2中，2|PF 1|·|PF 2|cos θ＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|2. 又|F 1F 2|＝2c ，所以2|PF 1|·|PF 2|cos θ＝|PF 1|2＋|PF 2|2－4c 2. ① 又P 在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝4a 2－2|PF 1|·|PF 2|. ② 将②代入①，可得|PF 1|·|PF 2|＝2b 21＋cos θ. ③将③代入面积公式S ＝12|PF 1|·|PF 2|sin θ，得S ＝12·2b 21＋cos θ·sin θ＝b 2·2sin θ2cosθ22cos2θ2＝b 2·tan θ2.(2)类比(1)的解法，应用余弦定理、双曲线的定义和面积公式来解决． 在△F 1PF 2中 ,2|PF 1|·|PF 2|cos θ＝|PF 1|2＋|PF 2|2－4(a 2＋b 2)． ① 又||PF 1|－|PF 2||＝2a ，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝4a 2＋2|PF 1|·|PF 2|. ② 联立①②，可得|PF 1|·|PF 2|＝2b 21－cos θ，所以S ＝12·2b 21－cos θ·sin θ＝b 2·2sin θ2cosθ22sin 2θ2＝b 2tanθ2.。
【2022成才之路】(人教B版)数学必修1同步测试：第二章 函数1.4 第1课时 Word版含答案
其次章 2.1 2.1.4 第1课时一、选择题1．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (－3)＝－2，则f (3)＋f (0)＝( ) A ．3 B ．－3 C ．2 D ．7[答案] C[解析] ∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0，又f (－3)＝－f (3)＝－2，∴f (3)＝2， ∴f (3)＋f (0)＝2，故选C ．2．下面四个结论：①偶函数的图象确定与y 轴相交；②奇函数的图象确定经过原点；③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数确定是f (x )＝0(x ∈R )，其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] A[解析] 偶函数的图象关于y 轴对称，但不愿定相交，因此③正确，①错误；奇函数的图象关于原点对称，但不愿定经过原点，因此②不正确；若y ＝f (x )既是奇函数又是偶函数，由定义可得f (x )＝0，但不愿定x ∈R ，只要定义域关于原点对称即可，故④错误，既是奇函数又是偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零，区分在定义域，选A ．3．若二次函数f (x )＝x 2＋(b －2)x 在区间[1－3a,2a ]上是偶函数，则a 、b 的值是( ) A ．2,1 B ．1,2 C ．0,2 D ．0,1 [答案] B[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－3a ＋2a ＝0b －2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝2. 4．(2022·湖南理，3)已知f (x )、g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3[答案] C[解析] ∵f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，① ∴f (－x )－g (－x )＝－x 3＋x 2＋1， 又∵f (x )为偶函数，g (x )为奇函数， ∴f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，② 由①②得f (x )＝x 2＋1，g (x )＝－x 3， ∴f (1)＝2，g (1)＝－1，∴f (1)＋g (1)＝1.5．(2022·全国新课标Ⅰ理，3)设函数f (x )、g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数[答案] C[解析] 令F (x )＝f (x )|g (x )|，则F (－x )＝f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|＝－F (x )， ∴函数f (x )|g (x )|是奇函数．6．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，则函数f (x )在R 上的解析式是( ) A ．f (x )＝－x (x －2) B ．f (x )＝x (|x |－2) C ．f (x )＝|x |(x －2) D ．f (x )＝|x |(|x |－2)[答案] D[解析] 解法一：设x <0，则－x >0，f (－x )＝(－x )2－2(－x )＝x 2＋2x ， ∵y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (－x )＝f (x )，即f (x )＝x 2＋2x (x <0)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x (x ≥0)x 2＋2x (x <0)，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －2)(x ≥0)－x (－x －2)(x <0)，∴f (x )＝|x |(|x |－2)．解法二：只有D 中的函数是R 上的偶函数，故选D ．。
2022-2021学年成才之路·人教B版数学·必修2试题：第二章 平面解析几何初步2.2.1
其次章 2.2 2.2.1一、选择题 1．有下列命题：①若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应； ②若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应； ③坐标平面上全部的直线都有倾斜角； ④坐标平面上全部的直线都有斜率． 其中错误的是导学号 03310550( ) A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④[答案] D[解析] 当直线的倾斜角为90°时，其斜率不存在，故②、④错．2．若直线经过点(1,2)、(4,2＋3)，则此直线的倾斜角是导学号 03310551( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°[答案] D[解析] 直线的斜率k ＝2＋3－24－1＝33，∴直线的倾斜角是30°．3．若A (－2,3)、B (3，－2)、C (12，m )三点共线，则m 的值为导学号 03310552( )A ．12B ．－12C ．－2D ．2[答案] A[解析] 由已知得，k AB ＝k AC ， ∴－2－33－(－2)＝m －312－(－2)，解得m ＝12．4．直线y ＝kx ＋b ，当k >0，b <0时，此直线不经过的象限是导学号 03310553( ) A ．第一象限 B ．其次象限 C ．第三象限D ．以上都不是 [答案] B[解析] 由k >0知，直线的倾斜角为锐角， 由b <0知，直线过y 轴负半轴上点(0，b )， ∴直线不经过其次象限．5．已知直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，如右图所示，则导学号 03310554( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2[答案] D[解析] 由图可知直线l 1的倾斜角为钝角，所以k 1<0；直线l 2与直线l 3倾斜角均为锐角，且直线l 2的倾斜角较大，所以k 2>k 3>0.∴k 2>k 3>k 1.∴应选D ．6．已知点A (1,3)，B (－2，－1)，若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围是导学号 03310555( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[12，＋∞)D ．[－2，12][答案] D[解析] 直线y ＝k (x －2)＋1过定点P (2,1)，如图所示，k P A ＝3－11－2＝－2，k PB ＝1－(－1)2－(－2)＝12，故所求k 的取值范围为[－2，12]．二、填空题7．三点(2，－3)、(4,3)及(5，k2)在同一条直线上，则k 的值等于________.导学号 03310556[答案] 12[解析] 由题意得3－(－3)4－2＝k2－35－4，∴k ＝12．8．已知点A 的坐标为(3,4)，在坐标轴上有一点B ，若k AB ＝2，则B 点的坐标为________.导学号 03310557 [答案] (1,0)或(0，－2)[解析] 设B (x,0)或(0，y )，k AB ＝43－x 或4－y 3，∴43－x ＝2或4－y 3＝2，∴x ＝1，y ＝－2．三、解答题9．求经过下列两点直线的斜率，并推断其倾斜角是锐角还是钝角.导学号 03310558 (1)(1,1)、(2,4)；(2)(－3,5)、(0,2)； (3)(4,4)、(4,5)；(4)(10,2)、(－10,2)． [解析] (1)k ＝4－12－1＝3>0，∴倾斜角是锐角．(2)k ＝2－50－(－3)＝－1<0，∴倾斜角是钝角．(3)倾斜角是90°．(4)k ＝2－2－10－10＝0，倾斜角为0°．10．已知点A (2，－3)、B (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段AB 相交，求直线l 的斜率的取值范围.导学号 03310559[解析] 如图，直线l 与线段AB 相交，只需直线l 绕点P 按逆时针从PB 转到P A ，即为直线l 的范围．由于k PB ＝34，k P A ＝－4，但过P 点且垂直于x 轴的直线的斜率是不存在的，所以旋转过程中，l 的斜率由k PB 变化到无穷大，此时倾斜角在增大．当倾斜角转过90°时，斜率又由无穷小到k P A ，所以直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－4]∪[34，＋∞)．一、选择题1．斜率为2的直线过(3,5)、(a,7)、(－1，b )三点，则a ＋b 等于导学号 03310560( ) A ．4 B ．－7 C ．1 D ．－1[答案] C[解析] 由题意，得2＝7－5a －3＝b －5－1－3，∴a ＝4，b ＝－3，∴a ＋b ＝1．2．直线l 过点A (2,1)、B (3，m 2)(m ∈R )，则直线l 斜率的取值范围为导学号 03310561( ) A ．[－1，＋∞) B ．(－1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－∞，－1] [答案] A[解析] 直线l 的斜率k ＝m 2－13－2＝m 2－1，∵m ∈R ，∴m 2－1≥－1，故选A ． 二、填空题3．如图所示，直线l 1、l 2、l 3、l 4的斜率分别为k 1、k 2、k 3、k 4，从小到大的关系是____________. 导学号 03310562[答案] k 1<k 3<k 4<k 2[解析] 由倾斜角和斜率的关系可知k 1<k 3<k 4<k 2．4．若过点P (1－a,1＋a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________. 导学号 03310563[答案] (－2,1)[解析] k ＝2a －(1＋a )3－(1－a )＝a －1a ＋2．∵倾斜角为钝角，∴a －1a ＋2<0，即(a －1)(a ＋2)<0，∴－2<a <1． 三、解答题5．(1)当且仅当m 为何值时，经过两点A (－m,6)、B (1,3m )的直线的斜率为12?(2)当且仅当m 为何值时，经过两点A (m,2)、B (－m,2m －1)的直线的倾斜角是45°？导学号 03310564 [解析] (1)由题意，得3m －61－(－m )＝12，解得m ＝－2．(2)由题意，得(2m －1)－2－m －m ＝1，解得m ＝34．6．已知A (1,1)、B (3,5)、C (a,7)、D (－1，b )四点共线，求直线方程y ＝ax ＋b .导学号 03310565 [解析] ∵A 、B 、C 、D 四点共线，∴直线AB 、AC 、AD 的斜率相等，即k AB ＝5－13－1＝2，k AC ＝7－1a －1，k AD ＝b －1－1－1， ∴2＝6a －1＝b －1－2.解得a ＝4，b ＝－3． ∴所求直线方程为y ＝4x －3．7．已知实数x 、y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求yx 的最大值和最小值.导学号 03310566[解析] 如图，由已知，点P (x ，y )在线段AB 上运动，其中A (2,4)，B (3,2)，而y x ＝y －0x －0，其几何意义为直线OP 的斜率． 由图可知k OB ≤k OP ≤k OA ，而k OB ＝23，k OA ＝2．故所求的y x 的最大值为2，最小值为23．。
【2022成才之路】(北师大版)数学必修1同步测试：第1、2章测试题
第一、二章综合测试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2022·新课标Ⅰ)已知集合M ＝{x |－1<x <3}，N ＝{x |－2<x <1}，则M ∩N ＝( ) A ．(－2,1) B ．(－1,1) C ．(1,3) D ．(－2,3)[答案] B[解析] 由M ＝{x |－1<x <3}，N ＝{x |－2<x <1}，得M ∩N ＝(－1,1)，选B. 2．已知集合M ＝{x |－2<x <3}，则下列结论正确的是( ) A ．2.5∈M B ．0⊆MC ．∅∈MD ．集合M 是有限集 [答案] A[解析] 由于－2<2.5<3，所以2.5是集合M 中的元素，即2.5∈M . 3．函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是( )A ．(－∞，0)∪⎝⎛⎦⎤12，2 B ．(－∞，2] C.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪[2，＋∞) D ．(0，＋∞) [答案] A[解析] ∵x ∈(－∞，1)∪[2,5) ∴x －1∈(－∞，0)∪[1,4)当x －1∈(－∞，0)时，2x －1∈(－∞，0)；当x －1∈[1,4)时，2x －1∈⎝⎛⎦⎤12，2. 4．已知函数f (x )＝1＋x 21－x 2，则( )A ．f (x )是奇函数且f (1x )＝－f (x )B ．f (x )是奇函数且f (1x)＝f (x )C ．f (x )是偶函数且f (1x )＝－f (x )D ．f (x )是偶函数且f (1x )＝f (x )[答案] C[解析] f (－x )＝1＋(－x )21－(－x )2＝1＋x 21－x 2＝f (x )，又f (1x )＝1＋(1x )21－(1x)2＝－(1＋x 21－x 2)＝－f (x )．故选C. 5．抛物线y ＝2x 2－x ＋1的对称轴和顶点坐标分别是( ) A ．x ＝12，⎝⎛⎭⎫12，78 B ．x ＝14，⎝⎛⎭⎫14，78 C ．x ＝12，⎝⎛⎭⎫12，74 D ．x ＝14，⎝⎛⎭⎫14，74 [答案] B[解析] ∵y ＝2x 2－x ＋1＝2⎝⎛⎭⎫x －142＋78， ∴对称轴为x ＝14，顶点坐标为⎝⎛⎭⎫14，78. 6．设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{a ，a 2}，则使M ∪N ＝M 成立的a 的值是( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．1或－1 [答案] A[解析] 由M ∪N ＝M 知N ⊆M . ∴a 2＝0或1，∴a ＝0,1，－1.而当a ＝0,1时，不满足集合中元素的互异性． ∴a ＝－1.7．生产确定数量商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数，现知一企业生产某种商品的数量为x 件时的成本函数为c (x )＝20＋2x ＋12x 2(万元)，若售出一件商品收入是20万元，那么该企业为猎取最大利润，应生产这种商品的数量为( )A ．18件B ．36件C ．22件D ．9件 [答案] A[解析] y ＝20x －c (x )＝20x －20－2x －12x 2＝－12x 2＋18x －20.∴x ＝18时，y 有最大值．8．若f [g (x )]＝6x ＋3，且g (x )＝2x ＋1，则f (x )＝( ) A ．3 B ．3x C ．6x ＋3 D ．6x ＋1[答案] B[解析] 由f [g (x )]＝f (2x ＋1)＝6x ＋3＝3(2x ＋1)，知f (x )＝3x . 9．设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝( ) A ．(－2,1] B ．(－∞，－4] C ．(－∞，1] D ．[1，＋∞)[答案] C[解析] 本题考查集合的运算，由条件易知∁R S ＝{x |x ≤－2}，T ＝{x |－4≤x ≤1}，所以(∁R S )∪T ＝{x |x ≤1}． 10．已知集合M ＝{x |x ＝1＋a 2，a ∈N＋}，P ＝{x |x ＝a 2－4a ＋5，a ∈N＋}，试推断M 与P 的关系是( )A ．M PB ．PMC ．M ＝PD ．M ⃘P ，且P ⃘M[答案] A[解析] 由题设可知M 、P 都是整数的集合，为确定它们之间的关系，可从元素与集合的关系入手，对于任意x ∈M ，则x ＝1＋a 2＝(a ＋2)2－4(a ＋2)＋5. ∵a ∈N ＋，∴a ＋2∈N ＋，∴x ∈P .这说明集合M 中的任何一个元素1＋a 2(a ∈N ＋)都是集合P 的元素，∴M ⊆P . 又1∈P ，此时a 2－4a ＋5＝(a －2)2＋1＝1，即a ＝2. 而1∉M ，由于此时1＋a 2＝1在a ∈N ＋时无解． ∴综合知M P .11．已知定义在R 上的奇函数f (x )，在[0，＋∞)上单调递减，且f (2－a )＋f (1－a )<0，则实数a 的取值范围是( )A ．(32，2]B ．(32，＋∞)C ．[1，32)D ．(－∞，32)[答案] D[解析] ∵f (x )在[0，＋∞)单调递减且f (x )为奇函数，∴f (x )在(－∞，0)上单调递减，从而f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，∴f (2－a )<f (a －1)， ∴2－a >a －1，∴a <32，故选D.12．假如奇函数y ＝f (x )(x ≠0)在x ∈(0，＋∞)上，满足f (x )＝x －1，那么使f (x －1)<0成立的x 的取值范围是( )A ．x <0B ．1<x <2C ．x <2且x ≠0D ．x <0或1<x <2[答案] D[解析] x <0时，－x >0.由题设f (－x )＝－x －1. 又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝x ＋1.∴函数y ＝f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (x <0)x －1 (x >0)，∴不等式f (x －1)<0化为⎩⎨⎧x －1<0x <0，或⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0x －2<0. ∴x <0或1<x <2.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x <－1或2≤x <3}，B ＝{x |－2≤x <4}，则(∁U A )∪B ＝__________. [答案] {x |x ≥－2}[解析]由数轴得，∁U A ＝{x |－1≤x <2或x ≥3}，再由数轴得，(∁U A )∪B ＝{x |x ≥－2}．。
【成才之路】高中数学人教版选修1-1练习：综合素质检测2(含答案解析)
第二章综合素质检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．双曲线x 2－5y 2＝5的焦距为导学号 92600493( ) A ．6 B ．26 C ．23 D ．4 3[答案] B[解析] 双曲线方程化为标准方程为x 25－y 2＝1，∴a 2＝5，b 2＝1，c 2＝a 2＋b 2＝6，∴c ＝6.∴焦距为2c ＝2 6.2．顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是导学号 92600494( ) A ．y 2＝－4xB ．x 2＝4yC ．y 2＝－4x 或x 2＝4yD ．y 2＝4x 或x 2＝－4y[答案] C[解析] ∵抛物线过点(－4,4)，∴设其方程为：y 2＝－2px 或x 2＝2py(p>0)，将(－4,4)代入可得p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝－4x 或x 2＝4y.3．若椭圆x 29＋y 2m 2＝1(m>0)的一个焦点坐标为(1,0)，则m 的值为导学号 92600495( )A ．5B ．3C ．2 3D ．2 2[答案] D[解析] 由题意得9－m 2＝1，∴m 2＝8，又m>0，∴m ＝2 2.4．3<m<5是方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示的图形为双曲线的导学号 92600496( )A ．充分但非必要条件B ．必要但非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件[答案] A[解析] 当3<m<5时，m －5<0，m 2－m －6>0，∴方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示双曲线．若方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示双曲线，则(m －5)(m 2－m －6)<0， ∴m<－2或3<m<5，故选A ．5．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于导学号 92600497( )A ．31414B ．324C ．32D ．43[答案] C[解析] 由条件知，a 2＋5＝9，∴a 2＝4，∴e ＝c a ＝32.6．如果点P(2，y 0)在以点F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上，则|PF|＝导学号 92600498( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] C[解析] 根据抛物线的定义点P 到点F 的距离等于点P 到其准线x ＝－1的距离d ＝|2－(－1)|＝3，故C 正确．7．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(a>0，m>b>0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边长的三角形一定是导学号 92600499( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 [答案] B[解析] 双曲线的离心率e 1＝a 2＋b 2a ，椭圆的离心率e 2＝m 2－b 2m ，由a 2＋b 2a ·m 2－b 2m ＝1得a 2＋b 2＝m 2，故为直角三角形．8．(2015·全国卷Ⅰ文)已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB|＝导学号 92600500( )A ．3B ．6C ．9D ．12[答案] B [解析] 如图：∵抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)， ∴椭圆E 的右焦点为(2,0)，∴c ＝2， ∵c a ＝12，∴a ＝4， ∴b 2＝a 2－c 2＝12.∵抛物线的准线为x ＝－2， ∴|AB|＝2b 2a ＝2×124＝6.9．已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)、P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有导学号 92600501( )A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2C ．2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|D ．|FP 2|2＝|FP 1|·|FP 3|[答案] C[解析] ∵2x 2＝x 1＋x 3， ∴2(x 2＋p 2)＝(x 1＋p 2)＋(x 2＋p2)，∴2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|，故选C ．10．(2016·山东济宁高二检测)已知F 1、F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A 、B 两点．在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为导学号 92600502( )A ．6B ．5C ．4D ．3[答案] A[解析] 由椭圆方程可知，a 2＝16，∴a ＝4.在△ AF 1B 中，由椭圆定义可知周长为4a ＝16，若有两边之和是10，∴第三边的长度为6.11．已知动圆P 过定点A(－3,0)，并且与定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64内切，则动圆的圆心P 的轨迹是导学号 92600503( )A ．线段B ．直线C ．圆D ．椭圆[答案] D[解析] 如下图，设动圆P 和定圆B 内切于M ，则动圆的圆心P 到两点，即定点A(－3,0)和定圆的圆心B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8.∴点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，故选D ．12．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P(m ，n)的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为导学号 92600504( ) A ．至多一个 B ．2 C ．1 D ．0[答案] B[解析] ∵直线与圆无交点，∴4m 2＋n 2>2， ∴m 2＋n 2<4，∴点P 在⊙O 内部， 又⊙O 在椭圆内部，∴点P 在椭圆内部， ∴过点P 的直线与椭圆有两个交点．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上) 13．(2016·广东河源市高二检测)抛物线x 2＝4y 上一点P 到焦点的距离为3，则点P 到y 轴的距离为________.导学号 92600505[答案] 2[解析] 如图所示，F 为抛物线x 2＝4y 的焦点，直线y ＝－1为其准线，过点P 作准线的垂线，垂足为A 且交x 轴于点B.∵|PF|＝3，∴|PA|＝3，∴|PB|＝2.14．已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为________.导学号 92600506[答案] 12[解析] ∵AB ＝2c ＝4，∴c ＝2. 又AC ＋CB ＝5＋3＝8＝2a ，∴a ＝4. ∴椭圆离心率为c a ＝12.15．两个正数a 、b 的等差中项是92，等比中项是25，且a ＞b ，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为________.导学号 92600507[答案]415[解析] ∵两个正数a 、b 的等差中项是92，等比中项是25，且a ＞b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b 2＝92，ab ＝25，a>b ，解得a ＝5，b ＝4，∴双曲线方程为x 225－y 216＝1，∴c ＝25＋16＝41，∴双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝c a ＝415.16．(2016·山东青岛高二检测)设抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，直线l 过F 与C 交于A 、B 两点，若|AF|＝3|BF|，则l 的方程为__________.导学号 92600508[答案] y ＝±3(x －12)[解析] 由题意得，抛物线y 2＝2x 的焦点F(12，0)．设l ：y ＝k(x －12)，A(x 1，y 2)、B(x 2，y 2)，则由|AF|＝3|BF|得x 1＋12＝3(x 2＋12)，即x 1＝3x 2＋1；联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x y ＝－12，得k 2x 2－(k 2＋2)x ＋14k 2＝0，则x 1x 2＝x 2(3x 2＋1)＝14，解得x 2＝16，又x 1＋x 2＝4x 2＋1＝1＋2k 2，即k 2＝3，k ＝±3，即直线l 的方程为y ＝±3(x －12)． 三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)求下列双曲线的标准方程．(1)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线；(2)以椭圆3x 2＋13y 2＝39的焦点为焦点，以直线y ＝±x2为渐近线的双曲线.导学号 92600509[解析] (1)∵双曲线x 216－y 24＝1的焦点为(±25，0)，∴设所求双曲线方程为：x 2a 2－y 220－a 2＝1(20－a 2>0) 又点(32，2)在双曲线上，∴18a 2－420－a 2＝1，解得a 2＝12或30(舍去)， ∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.(2)椭圆3x 2＋13y 2＝39可化为x 213＋y 23＝1，其焦点坐标为(±10，0)， ∴所求双曲线的焦点为(±10，0)， 设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)∵双曲线的渐近线为y ＝±12x ，∴b a ＝12，∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝10－a 2a 2＝14，∴a 2＝8，b 2＝2， 即所求的双曲线方程为：x 28－y 22＝1.18．(本题满分12分)根据下列条件求抛物线的标准方程：导学号 92600510 (1)已知抛物线的焦点坐标是F(0，－2)； (2)焦点在x 轴负半轴上，焦点到准线的距离是5.[解析] (1)因为抛物线的焦点在y 轴的负半轴上，且－p2＝－2，所以p ＝4，所以，所求抛物线的标准方程是x 2＝－8y.(2)由焦点到准线的距离为5，知p ＝5，又焦点在x 轴负半轴上，所以，所求抛物线的标准方程是y 2＝－10x.19．(本题满分12分)已知过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值.导学号 92600511 [解析] (1)直线AB 的方程是y ＝22(x －p2)，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得：|AB|＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x. (2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0， 从而x 1＝1、x 2＝4，y 1＝－22、y 2＝42， 从而A(1，－22)、B(4,42)．设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1，42λ－22)，又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.20．(本题满分12分)已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a>b>0)经过点P(32，1)，离心率e ＝32，直线l 与椭圆交于A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)两点，向量m ＝(ax 1，by 1)、n ＝(ax 2，by 2)，且m ⊥n.(1)求椭圆的方程；导学号 92600512(2)当直线l 过椭圆的焦点F(0，c)(c 为半焦距)时，求直线l 的斜率k.[解析] (1)由条件知⎩⎨⎧c a ＝321a 2＋34b 2＝1a 2＝b 2＋c2，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1.∴椭圆的方程为y 24＋x 2＝1.(2)依题意，设l 的方程为y ＝kx ＋3，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3y 24＋x 2＝1，消去y 得(k 2＋4)x 2＋23kx －1＝0， 显然Δ>0，x 1＋x 2＝－23k k 2＋4，x 1x 2＝－1k 2＋4，由已知m·n ＝0得，a 2x 1x 2＋b 2y 1y 2＝4x 1x 2＋(kx 1＋3)(kx 2＋3)＝(4＋k 2)x 1x 2＋3k(x 1＋x 2)＋3＝(k 2＋4)(－1k 2＋4)＋3k·－23k k 2＋4＋3＝0，解得k ＝±2. 21．(本题满分12分)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为233，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为32.导学号 92600513 (1)求双曲线C 的方程；(2)直线y ＝kx ＋m(km≠0)与该双曲线C 交于不同的两点C 、D ，且C 、D 两点都在以点A 为圆心的同一圆上，求m 的取值范围．[解析] (1)依题意⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝233ab a 2＋b2＝32a 2＋b 2＝c2，解得a 2＝3，b 2＝1.所以双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 23－y 2＝1，消去y 得， (1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3＝0，由已知：1－3k 2≠0且Δ＝12(m 2＋1－3k 2)>0⇒m 2＋1>3k 2① 设C(x 1，y 1)、D(x 2，y 2)，CD 的中点P(x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝3km1－3k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m1－3k 2，因为AP ⊥CD ， 所以k AP ＝m1－3k 2＋13km 1－3k 2－0＝m ＋1－3k 23km ＝－1k，整理得3k 2＝4m ＋1② 联立①②得m 2－4m>0，所以m<0或m>4，又3k 2＝4m ＋1>0， 所以m>－14，因此－14<m<0或m>4.22．(本题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率e ＝22，左、右焦点分别为F 1、F 2，点P(2，3)，点F 2的线段PF 1的中垂线上.导学号 92600514(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M 、N 两点，直线F 2M 与F 2N 的倾斜角互补，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标．[解析] (1)由椭圆C 的离心率e ＝22，得c a ＝22，其中c ＝a 2－b 2， 椭圆C 的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0)， 又点F 2在线段PF 1的中垂线上， ∴|F 1F 2|＝|PF 2|，∴(2c)2＝(3)2＋(2－c)2， 解得c ＝1. ∵e ＝22，∴a 2＝2，b 2＝1. ∴所求的椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意，知直线l 斜率存在，其方程为y ＝kx ＋m. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1y ＝kx ＋m，消去y ，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 其中Δ＝(4km)2－4(2k 2＋1)(2m 2－2)>0，即2k 2－m 2>－1.设M(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4km2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－22k 2＋1，且kF 2M ＝kx 1＋m x 1－1，kF 2N ＝kx 2＋mx 2－1. 由已知直线F 2M 与F 2N 的倾斜角互补， 得kF 2M ＋kF 2N ＝0， 即kx 1＋m x 1－1＋kx 2＋mx 2－1＝0. 化简，得2kx 1x 2＋(m －k)(x 1＋x 2)－2m ＝0， ∴2k·2m 2－22k 2＋1－－2k 2＋1－2m ＝0，整理得m ＝－2k ，∴直线l 的方程为y ＝k(x －2)． 当x －2＝0时，y ＝0，该方程就与参数k 无关， 因此直线l 过定点，该定点的坐标为(2,0)．。
2016-2017学年成才之路·人教B版数学·选修1-2练习：基本知能检测2 Word版含解析
第二章基本知能检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．推理：因为平行四边形对边平行且相等，而矩形是特殊的平行四边形，所以矩形的)A．归纳推理B．类比推理C．演绎推理D．合情推理[答案] C[解析]演绎推理是由一般到特殊的推理，当前提为真时，结论必然为真，上述推理是演绎推理．2．求证：2＋3> 5.证明：因为2＋3和5都是正数，所以为了证明2＋3>5，只需证明(2＋3)2>(5)2，展开得5＋26>5，即26>0，显然成立，所以不等式2＋3> 5.)A．综合法B．分析法C．综合法、分析法配合使用D．间接证法[答案] B[解析]根据证明过程可以看出符合执果索因的证法，故为分析法．3．给出下列三个类比结论：①(ab)n＝a n b n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝a n＋b n；②log a(xy)＝log a x＋log a y与sin(αβ)类比，则有sin(αβ)＝sinα＋sinβ；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.) A．0B．1C．2D．3[答案] B[解析]只有③正确，故选B.4．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x ) )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )[答案] D[解析] 由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，所以g (－x )＝－g (x )．5．设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为导学号 )A ．8B ．4C ．1D ．14[答案] B[解析] (312)2＝3a ·3b ＝3a ＋b ，∴a ＋b ＝11a ＋1b ＝(1a ＋1b )(a ＋b )＝2＋b a ＋ab ≥21＋2＝4 当且仅当b a ＝ab即a ＝b 时等号成立，故选B.6．a 、b 、c 、d 均为正实数，设S ＝a a ＋b ＋c ＋b b ＋c ＋d ＋c c ＋d ＋a ＋dd ＋a ＋b ，则下列判)A ．0<S <1B ．1<S <2C ．2<S <3D ．3<S <4 [答案] B[解析] 令a ＝b ＝c ＝d ＝1知S ＝13＋13＋13＋13＝43，因1<43<2，故选B.7． ) A ．有两个内角是钝角 B ．有三个内角是钝角 C ．至少有两个内角是钝角 D ．没有一个内角是钝角 [答案] C[解析] 逻辑中“最多有n 个”的反面是“至少有(n ＋1)个”，故选C.8．下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一)A ．a n ＝3n －1B ．a n ＝3nC ．a n ＝3n －2nD ．a n ＝3n －1＋2n －3[答案] A[解析] 由a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，a 4＝27，故猜a n ＝3n －1.9．在十进制中，2 004＝4×100＋0×101＋0×102＋2×103，那么在5进制(逢5进1)中数码2 004 )A ．29B ．254C ．602D ．2 004[答案] B[解析] 2 004＝4×50＋0×51＋0×52＋2×53＝254.10．已知c >1，a ＝c ＋1－c ，b ＝c －c －1， ) A ．a >b B ．a <bC ．a ＝bD ．a 、b 大小不定 [答案] B[解析] 如果a >b ，则c ＋1－c >c －c －1. ∴c ＋1＋c －1>2c ，∴c ＋1＋c －1＋2c 2－1>4c ；即c 2－1>c 矛盾，∴选B.11．观察下列等式：1＝1， 13＝1， 1＋2＝3, 13＋23＝9， 1＋2＋3＝6, 13＋23＋33＝36，1＋2＋3＋4＝10, 13＋23＋33＋43＝100， 1＋2＋3＋4＋5＝15, 13＋23＋33＋43＋53＝225. … …可以推测：13＋23＋33＋…＋n 3 ) A.12n (n ＋1) B.12n 2(n ＋1)2 C.14n 2(n －1)2 D ．14n 2(n ＋1)2[答案] D[解析] 由1＝12,9＝32,36＝62,100＝102，…，知13＋23＋33＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2＝[n (n ＋1)2]2＝n 2(n ＋1)24，故选D.12．如果函数f (x )对任意的实数x ，存在常数M ，使得不等式|f (x )|≤M |x |恒成立，那么就称函数f (x )为有界泛函数，下面四个函数：①f (x )＝1；②f (x )＝x 2；③f (x )＝(sin x ＋cos x )x ；④f (x )＝xx 2＋x ＋1. )A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④[答案] D[解析] ∵sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≤2，∴存在常数M ≥2成立|sin x ＋cos x |≤M ， ∴|x (sin x ＋cos x )|≤M |x |， 即|f (x )|≤M |x |成立， ∴③是有界泛函数； ∵x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34≥34，∴|1x 2＋x ＋1|≤43，∴存在常数M ≥43，使|x ||x 2＋x ＋1|≤M |x |，即|f (x )|≤M |x |成立，∴④是有界泛函数，因此选D.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上) 13．平面上，周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大．将这些结论类比到空间，可以得到的结论是_____________．[答案] 表面积一定的空间体中，球的体积最大[解析] 平面中的“周长”类比成空间中的“面积”，“平面图形”类比成“空间体”，“面积”类比成“体积”，“圆”类比成“球”．14．命题“a ，b 是实数，若|a －1|＋|b －1|＝0，则a ＝1且b ＝1”，用反证法证明时应假设为________[答案] a ≠1或b ≠1[解析] 因为“p 且q ”的否定为“非p 或非q ”，所以“a ＝1且b ＝1”的否定为“a ≠1或b ≠1”．15．已知数列{a n }，a 1＝12，a n ＋1＝3a n a n ＋3，则a 2、a 3、a 4、a 5分别为______________，猜想a n ＝[答案] 37，38，39，310 3n ＋5[解析] 每一项的分子相同，分母是从7开始的自然数．16．已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m 、a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为________[答案] 32[解析] ∵{a n }为等比数列，a n >0，a 7＝a 6＋2a 5， ∴a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4， ∴q 2－q －2＝0，∴q ＝－1或2. ∵a n >0，∴q ＝2.∵a m ·a n ＝4a 1，∴a 1q m －1·a 1q n －1＝16a 21，∴qm ＋n －2＝16， 即2m ＋n －2＝24，∴m ＋n ＝6，∴1m ＋4n ＝16(m ＋n )(1m ＋4n )＝16·(5＋n m ＋4m n )≥32，等号在n m ＝4m n ，即m ＝2，n ＝4时成立．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)已知a 是整数，a 2是偶数．求证：a [证明] 假设a 不是偶数，即a 是奇数，则设a ＝2n ＋1(n ∈Z )． ∴a 2＝4n 2＋4n ＋1.∵4(n 2＋n )是偶数，∴4n 2＋4n ＋1是奇数， 这与已知a 2是偶数矛盾，故假设错误， 从而a 一定是偶数．18．(本题满分12分)观察下列数表： 1， 2,3， 4,5,6,7，8,9,10,11,12,13,14,15，……(1)此表第n 行的最后一个数是多少？ (2)此表第n 行的各个数之和是多少？ (3)2 015是第几行的第几个数？[解析] (1)由表知，从第二行起每行的第一个数为偶数，所以第n ＋1行的第一个数为2n ，第n 行的最后一个数为2n －1.(2)由(1)知第n －1行的最后一个数为2n －1－1，第n 行的第一个数为2n －1，第n 行的最后一个数为2n －1.又观察知，每行数字的个数与这一行的第一个数相同，所以由等差数列求和公式得S n ＝2n －1(2n －1＋2n －1)2＝22n －3＋22n －2－2n －2.(3)因为210＝1 024,211＝2 048，又第11行最后一个数为211－1＝2 047，所以2 015是在第11行中，由等差数列的通项公式得2 015＝1 024＋(n －1)·1，所以n ＝992，所以2 015是第11行的第992个数．19．(本题满分12分)已知a 、b 是不相等的正数，且a 3－b 3＝a 2－b 2，求证1<a ＋b <43.[证明] ∵a 3－b 3＝a 2－b 2，a ≠b ， ∴a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b .又∵(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2>a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ， 即(a ＋b )2>a ＋b ，且a >0，b >0， ∴a ＋b >1.要证a ＋b <43，只需证3(a ＋b )<4， 即证3(a ＋b )2<4(a ＋b )，也就是要证3(a ＋b )2<4(a 2＋ab ＋b 2)， 即需证(a －b )2>0.而(a －b )2>0显然成立，∴1<a ＋b <43.20．(本题满分12分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，已知sin B (tan A＋tan C )＝tan A tan C .(1)求证：a 、b 、c 成等比数列； (2)若a ＝1，c ＝2，求△ABC 的面积S . [解析] (1)在△ABC 中，由于sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C ， 所以sin B (sin A cos A ＋sin C cos C )＝sin A cos A ·sin Ccos C， 所以sin B (sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A sin C . 所以sin B sin(A ＋C )＝sin A sin C .又A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋C )＝sin B ， 所以sin 2B ＝sin A sin C . 由正弦定理得b 2＝ac ， 即a ，b ，c 成等比数列． (2)因为a ＝1，c ＝2，所以b ＝ 2. 由余弦定理得：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12＋22－22×1×2＝34.因为0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝74， 故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×1×2×74＝74.21．(本题满分12分)已知f (x )＝－x 3－x ＋1(x ∈R )(1)求证：y ＝f (x )是定义域上的减函数；(2)求证：满足f (x )＝0的实数根x 至多只有一个． [证明] (1)∵f ′(x )＝－3x 2－1＝－(3x 2＋1)<0(x ∈R )， ∴y ＝f (x )是定义域上的减函数．(2)假设f (x )＝0的实数根x 至少有两个，不妨设x 1≠x 2，且x 1、x 2∈R ， f (x 1)＝f (x 2)＝0.∵y ＝f (x )在R 上单调递减， ∴当x 1<x 2时，f (x 1)>f (x 2)，当x 1>x 2时，f (x 1)<f (x 2)，这与f (x 1)＝f (x 2)＝0矛盾，故假设不成立， 所以f (x )＝0至多只有一个实数根．22．(本题满分14分)(1)已知x 、y ∈R ①12x 2＋12y 2≥⎝⎛⎭⎫12x ＋12y 2； ②13x 2＋23y 2≥⎝⎛⎭⎫13x ＋23y 2； ③14x 2＋34y 2≥⎝⎛⎭⎫14x ＋34y 2. (2)根据上述不等式，请你推出更一般的结论，并证明你的结论． [解析] (1)证明：①12x 2＋12y 2－⎝⎛⎭⎫12x ＋12y 2 ＝12x 2＋12y 2－14x 2－12xy －14y 2 ＝14x 2－12xy ＋14y 2＝⎝⎛⎭⎫12x －12y 2≥0， ∴12x 2＋12y 2≥⎝⎛⎭⎫12x ＋12y 2. ②13x 2＋23y 2－⎝⎛⎭⎫13x ＋23y 2＝29x 2＋29y 2－49xy ＝29(x 2－2xy ＋y 2)＝29(x －y )2≥0， ∴13x 2＋23y 2≥⎝⎛⎭⎫13x ＋23y 2. ③14x 2＋34y 2－⎝⎛⎭⎫14x ＋34y 2 ＝14x 2＋34y 2－⎝⎛⎭⎫116x 2＋38xy ＋916y 2＝316(x －y )2≥0， ∴14x 2＋34y 2≥⎝⎛⎭⎫14x ＋34y 2. (2)一般的结论是：已知x 、y ∈R ，a 、b 都是正数，且a ＋b ＝1，则(ax 2＋by 2)≥(ax ＋by )2.证明：∵a＋b＝1，∴a＝1－b>0，b＝1－a>0.∵(ax2＋by2)－(ax＋by)2＝(a－a2)x2－2abxy＋(b－b2)y2＝a(1－a)x2－2a(1－a)xy＋a(1－a)y2＝a(1－a)(x2－2xy＋y2)＝a(1－a)(x－y)2，又∵a>0,1－a>0，(x－y)2≥0，∴(ax2＋by2)－(ax＋by)2≥0，即ax2＋by2≥(ax＋by)2.。
【成才之路】人教B版数学必修2练习：综合测试2 A(含答案解析)
第二章综合测试(A)时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．数轴上三点A 、B 、C ，已知AB ＝2.5，BC ＝－3，若A 点坐标为0，则C 点坐标为导学号 03310941( )A ．0.5B ．－0.5C ．5.5D ．－5.5[答案] B[解析] 由已知得，x B －x A ＝2.5，x C －x B ＝－3，且x A ＝0，∴两式相加得，x C －x A ＝－0.5，即x C ＝－0.5．2．已知直线经过点A (0,4)和点B (1,2)，则直线AB 的斜率为导学号 03310942( ) A ．3 B ．－2 C ．2 D ．不存在[答案] B[解析] 由斜率公式得，直线AB 的斜率k ＝2－41－0＝－2．3．已知点A (1,2,2)、B (1，－3,1)，点C 在yOz 平面上，且点C 到点A 、B 的距离相等，则点C 的坐标可以为导学号 03310943( )A ．(0,1，－1)B ．(0，－1,6)C ．(0,1，－6)D ．(0,1,6)[答案] C[解析] 由题意设点C 的坐标为(0，y ，z )， ∴1＋y －2＋z －2＝1＋y ＋2＋z －2，即(y －2)2＋(z －2)2＝(y ＋3)2＋(z －1)2． 经检验知，只有选项C 满足．4．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距是导学号 03310944( ) A ．－32B ．－23C ．25D ．2[答案] A[解析] 由题意，得过两点(－1,1)和(3,9)的直线方程为y ＝2x ＋3.令y ＝0，则x ＝－32，∴直线在x 轴上的截距为－32，故选A ．5．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是导学号 03310945( )A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或2[答案] C[解析] 当k ＝3时，两直线显然平行；当k ≠3时，由两直线平行，斜率相等，得－k －34－k ＝k －2.解得k ＝5，故选C ．6．在平面直角坐标系中，正△ABC 的边BC 所在直线的斜率为0，则AC 、AB 所在直线的斜率之和为导学号 03310946( )A ．－2 3B ．0C ． 3D ．2 3[答案] B[解析] 如图所示．由图可知，k AB ＝3，k AC ＝－3，∴k AB ＋k AC ＝0．7．直线3x －2y ＋m ＝0与直线(m 2－1)x ＋3y ＋2－3m ＝0的位置关系是导学号 03310947( )A ．平行B ．垂直C ．相交D ．与m 的取值有关[答案] C[解析] 由3×3－(－2)×(m 2－1)＝0，即2m 2＋7＝0无解．故两直线相交．8．若点(2,2)在圆(x ＋a )2＋(y －a )2＝16的内部，则实数a 的取值范围是导学号 03310948( )A ．－2<a <2B ．0<a <2C ．a <－2或a >2D ．a ＝±2[答案] A[解析] 由题意，得(2＋a )2＋(2－a )2<16， ∴－2<a <2．9．设A 、B 是x 轴上的点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为导学号 03310949( )A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．2x ＋y －7＝0[答案] A[解析] 由题意知，点P 在线段AB 的垂直平分线x ＝2上．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x －y ＋1＝0，得y ＝3． ∴P (2,3)．令x －y ＋1＝0中y ＝0，得x ＝－1， ∴A (－1,0)．又∵A 、B 关于直线x ＝2对称， ∴B (5,0)．∴直线PB 的方程为y 3－0＝x －52－5，即x ＋y －5＝0．10．设m >0，则直线2(x ＋y )＋1＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝m 的位置关系为导学号 03310950( )A ．相切B ．相交C ．相切或相离D ．相交或相切[答案] C[解析] ∵m >0，∴圆心(0,0)到直线2(x ＋y )＋1＋m ＝0的距离d ＝|1＋m |2＋2＝1＋m2，圆x 2＋y 2＝m 的半径r ＝m ，由1＋m 2－m ＝1－2m ＋m 2＝－m22≥0，得d ≥r ，故选C ．11．两圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －1＝0的公切线有导学号 03310951( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条[答案] C[解析] x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0的圆心为(2，－1)，半径为2，圆x 2＋y 2＋4x －4y －1＝0的圆心为(－2,2)，半径为3，故两圆外切，即两圆有三条公切线．12．一辆卡车宽1.6 m ，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过导学号 03310952( )A ．1.4 mB ．3.5 mC ．3.6 mD ．2.0 m[答案] B[解析] 圆半径OA ＝3.6 m ，卡车宽1.6 m ，∴AB ＝0.8 m ，∴弦心距OB ＝ 3.62－0.82≈3.5 m ．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．若点(2，k )到直线3x －4y ＋6＝0的距离为4，则k 的值等于________.导学号 03310953[答案] －2或8 [解析] 由题意，得|6－4k ＋6|32＋－2＝4，∴k ＝－2或8．14．以点A (2,0)为圆心，且经过点B (－1,1)的圆的方程是________.导学号 03310954 [答案] (x －2)2＋y 2＝10[解析] 由题意知，圆的半径r ＝|AB |＝－1－2＋－2＝10．∴圆的方程为(x －2)2＋y 2＝10．15．若直线x ＋3y －a ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则a 的值为________.导学号 03310955[答案] －1或3[解析] 圆心为(1,0)，半径r ＝1，由题意，得|1－a |1＋3＝1，∴a ＝－1或3． 16．已知直线l 垂直于直线3x ＋4y －2＝0，且与两个坐标轴构成的三角形的周长为5个单位长度，直线l 的方程为________.导学号 03310956[答案] 4x －3y ＋5＝0或4x －3y －5＝0[解析] 由题意可设直线l 的方程为y ＝43x ＋b ，令x ＝0，得y ＝b ，令y ＝0，得x ＝－34b ．∴三角形的周长为|b |＋34|b |＋54|b |＝5，解得b ＝±5，故所求直线方程为4x －3y ＋5＝0或4x －3y －5＝0．三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)正方形ABCD 的对角线AC 在直线x ＋2y －1＝0上，点A 、B 的坐标分别为A (－5,3)、B (m,0)(m >－5)，求B 、C 、D 点的坐标.导学号 03310957[解析] 如图，设正方形ABCD 两顶点C 、D 坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)．∵直线BD ⊥AC ，k AC ＝－12，∴k BD ＝2，直线BD 方程为y ＝2(x －m )，与x ＋2y －1＝0联立解得⎩⎨⎧x ＝15＋45m y ＝25－25m，点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫15＋45m ，25－25m ， ∵|AE |＝|BE |， ∴⎝⎛⎭⎫15＋45m ＋52＋⎝⎛⎭⎫25－25m －32＝⎝⎛⎭⎫15＋45m －m 2＋⎝⎛⎭⎫25－25m 2， 平方整理得m 2＋18m ＋56＝0，∴m ＝－4或m ＝－14(舍∵m >－5)，∴B (－4,0)． E 点坐标为(－3,2)，∴⎩⎨⎧－3＝－5＋x 122＝3＋y12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1y 1＝1．即点C (－1,1)，又∵⎩⎨⎧－3＝－4＋x222＝0＋y22，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2y 2＝4，即点D (－2,4)．∴点B (－4,0)、点C (－1,1)、点D (－2,4)．18．(本题满分12分)已知一直线通过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为1，求这条直线的方程.导学号 03310958[解析] 设直线方程为y －2＝k (x ＋2)，令x ＝0得y ＝2k ＋2，令y ＝0得x ＝－2－2k ，由题设条件12⎪⎪⎪⎪－2－2k ·||2k ＋2＝1， ∴2(k ＋1)2＝|k |，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k >02k 2＋3k ＋2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧k <02k 2＋5k ＋2＝0， ∴k ＝－2或－12，∴所求直线方程为：2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0．19．(本题满分12分)已知直线y ＝－2x ＋m ，圆x 2＋y 2＋2y ＝0.导学号 03310959 (1)m 为何值时，直线与圆相交？ (2)m 为何值时，直线与圆相切？ (3)m 为何值时，直线与圆相离？[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋mx 2＋y 2＋2y ＝0，得5x 2－4(m ＋1)x ＋m 2＋2m ＝0．Δ＝16(m ＋1)2－20(m 2＋2m )＝－4[(m ＋1)2－5]， 当Δ>0时，(m ＋1)2－5<0， ∴－1－5<m <－1＋5． 当Δ＝0时，m ＝－1±5，当Δ<0时，m <－1－5或m >－1＋5． 故(1)当－1－5<m <－1＋5时，直线与圆相交； (2)当m ＝－1±5时，直线与圆相切；(3)当m <－1－5或m >－1＋5时，直线与圆相离．20．(本题满分12分)求与圆C 1：(x －2)2＋(y ＋1)2＝4相切于点A (4，－1)，且半径为1的圆C2的方程.导学号03310960[解析]解法一：由圆C1：(x－2)2＋(y＋1)2＝4，知圆心为C1(2，－1)，则过点A(4，－1)和圆心C1(2，－1)的直线的方程为y＝－1，设所求圆的圆心坐标为C2(x0，－1)，由|AC2|＝1，即|x0－4|＝1，得x0＝3，或x0＝5，∴所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1，或(x－3)2＋(y＋1)2＝1．解法二：设所求圆的圆心为C2(a，b)，∴a－2＋b＋2＝1，①若两圆外切，则有a－2＋b＋2＝1＋2＝3，②联立①、②解得a＝5，b＝－1，∴所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1；若两圆内切，则有a－2＋b＋2＝2－1＝1，③联立①、③解得a＝3，b＝－1，∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1．∴所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1，或(x－3)2＋(y＋1)2＝1．21．(本题满分12分)已知两圆x2＋y2＋6x－4＝0，x2＋y2＋6y－28＝0.导学号03310961求：(1)它们的公共弦所在直线的方程；(2)公共弦长．[解析](1)由两圆方程x2＋y2＋6x－4＝0，x2＋y2＋6y－28＝0相减，得x－y＋4＝0．故它们的公共弦所在直线的方程为x－y＋4＝0．(2)圆x2＋y2＋6x－4＝0的圆心坐标为(－3,0)，半径r＝13，∴圆心(－3,0)到直线x－y＋4＝0的距离d＝|－3－0＋4|12＋－2＝22，∴公共弦长l＝2132－222＝52．22．(本题满分14分)已知圆的方程为x2＋y2－2x－4y＋m＝0.导学号03310962(1)若圆与直线x＋2y－4＝0相交于M、N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值；(2)在(1)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．[解析](1)圆的方程可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，∴m <5．设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，得 5y 2－16y ＋m ＋8＝0， ∴y 1＋y 2＝165，y 1y 2＝m ＋85．x 1x 2＝(4－2y 1)(4－2y 2)＝16－8(y 1＋y 2)＋4y 1y 2， ∵OM ⊥ON ，∴k OM ·k ON ＝－1， 即x 1x 2＋y 1y 2＝0．∴16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0， ∴16－8×165＋8＋m ＝0，∴m ＝85．(2)以MN 为直径的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0， 即x 2＋y 2－(x 1＋x 2)x －(y 1＋y 2)y ＝0．又x 1＋x 2＝4－2y 1＋4－2y 2＝8－2(y 1＋y 2)＝85，∴以MN 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－85x －165y ＝0．。
2022年秋成才之路高中数学导学练习(人教B版必修一)：第二章 函数 2.2.3
其次章 2.2 2.2.3一、选择题1．已知一个正比例函数的图象过点(2,8)，则这个函数的解析式为( )导学号62240558 A ．y ＝4x B ．y ＝－4x C ．y ＝14x D ．y ＝－14x[答案] A[解析] 设正比例函数的解析式为y ＝kx (k ≠0)， 又点(2,8)在函数图象上，∴8＝2k ，∴k ＝4，故选A ．2．已知一个一次函数的图象过点(1,3)、(3,4)，则这个函数的解析式为( ) 导学号62240559 A ．y ＝12x －52 B ．y ＝12x ＋52 C ．y ＝－12x ＋52 D ．y ＝－12x －52 [答案] B[解析] 解法一：验证排解：点(1,3)不在直线y ＝12x －52，y ＝－12x ＋52，y ＝－12x －52上，故选B ．解法二：设一次函数的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3＝k ＋b4＝3k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12b ＝52，∴y ＝12x ＋52.3．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点为(－1,0)、(3,0)，其外形与抛物线y ＝－2x 2相同，则y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式为( ) 导学号62240560A ．y ＝－2x 2－x ＋3B ．y ＝－2x 2＋4x ＋5C ．y ＝－2x 2＋4x ＋8D ．y ＝－2x 2＋4x ＋6[答案] D[解析] ∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点为(－1，0)、(3,0)，其外形与抛物线y ＝－2x 2相同，∴a ＝－2，∴y ＝－2x 2＋bx ＋c ，将点(－1,0)、(3,0)代入y ＝－2x 2＋bx ＋c ， 得⎩⎪⎨⎪⎧－2－b ＋c ＝0－18＋3b ＋c ＝0，解得b ＝4，c ＝6， ∴y ＝－2x 2＋4x ＋6.4．二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且顶点为(－2,8)，则f (x )＝( ) 导学号62240561 A ．－2x 2－8x B ．2x 2－8x C ．2x 2＋8x D ．－2x 2＋8x[答案] A[解析] 由题意设二次函数的解析式为y ＝a (x ＋2)2＋8，又∵函数图象过原点， ∴4a ＋8＝0，∴a ＝－2，∴y ＝－2x 2－8x .5．f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为(4,0)，且过点(0,2)，则abc ＝( ) 导学号62240562 A ．－6 B ．11 C ．－14 D ．14[答案] C[解析] ∵f (x )图象过点(0,2)，∴c ＝2.又顶点为(4,0)，∴－b2a ＝4，8a －b 24a ＝0. 解得：b ＝－1，a ＝18，∴abc ＝－14.6．已知一个二次函数经过(－1,0)，(1,0)，(2,3)点，则这个函数的解析式为( ) 导学号62240563 A ．y ＝x 2－1B ．y ＝1－x 2C ．y ＝12x 2＋1 D ．y ＝12x 2－1[答案] A[解析] 设所求二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0a ＋b ＋c ＝04a ＋2b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝0c ＝－1.∴所求二次函数的解析式为y ＝x 2－1. 二、填空题7．已知一个二次函数y ＝f (x )，若f (0)＝3，f (－3)＝0，f (－5)＝0，则这个函数的解析式为__________．导学号62240564[答案] y ＝15x 2＋85x ＋3[解析] 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，将点(0,3)、(－3,0)、(－5,0)代入可得a ＝15，b ＝85，c ＝3. 8．已知6x 2－x －1＝(2x －1)(ax ＋b )，则a ＝_______，b ＝__________.导学号62240565 [答案] 3 1[解析] ∵6x 2－x －1＝(2x －1)(3x ＋1)， ∴ax ＋b ＝3x ＋1，∴a ＝3，b ＝1.三、解答题9．(2022～2021学年度青海师范高校附属其次中学高一上学期月考)已知函数f (x )＝x 2＋px ＋q ，且满足f (1)＝f (2)＝0. 导学号62240566(1)求p 、q 的值；(2)当f (a )＝6时，求a 的值．[解析] (1)∵f (1)＝f (2)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋p ＋q ＝04＋2p ＋q ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－3q ＝2.(2)由(1)知f (x )＝x 2－3x ＋2， ∴f (a )＝a 2－3a ＋2＝6， ∴a ＝－1或a ＝4.10．抛物线经过点(2，－3)，它与x 轴交点的横坐标是－1和3. 导学号62240567 (1)求抛物线的解析式；(2)用配方法求出抛物线的对称轴方程和顶点坐标； (3)画出草图；(4)观看图象，x 取何值时，函数值小于零？x 取何值时，函数值随x 的增大而减小？ [解析] (1)设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋1)(x －3)(a ≠0)，把点(2，－3)代入，得 －3＝a (2＋1)(2－3)，∴a ＝1.∴抛物线的解析式为y ＝(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3. (2)y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4.由此可知抛物线的对称轴方程为x ＝1，顶点坐标为(1，－4)． (3)抛物线的草图如图所示．(4)由图象可知，当x ∈(－1,3)时，函数值y 小于零；当x ∈(－∞，1]时，y 随x 的增大而减小.一、选择题1．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象，则|OA |·|OB |等于( ) 导学号62240568A ．ca B ．－c a C ．±c a D ．无法确定[答案] B[解析] 由图象易知a <0，c >0，设A (x 1,0)、B (x 2,0)，∴|OA |·|OB |＝|x 1·x 2|＝－ca ，故选B ． 2．若直线y ＝12x ＋n 与直线y ＝mx －1相交于点(1,2)，则有( ) 导学号62240569 A ．n ＝－52，m ＝12 B ．n ＝1，m ＝12 C ．n ＝－52，m ＝－1 D ．n ＝32，m ＝3 [答案] D[解析] 将点(1,2)分别代入可得n ＝32、m ＝3.3．函数y ＝ax 2－ax ＋3x ＋1的图象与x 轴有且只有一个交点，那么a 的值为( ) 导学号62240570 A ．0 B ．0或1C ．0或1或9D ．0或1或9或12 [答案] C[解析] 当a ＝0时，y ＝3x ＋1的图象与x 轴有且只有一个交点； 当a ≠0时，Δ＝(a －3)2－4a ＝a 2－10a ＋9＝0， ∴a ＝1或9.4．已知正比例函数f (x )、反比例函数g (x )的图象均过点(1,5)，则h (x )＝f (x )＋g (x )＝( ) 导学号62240571A ．52⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1xB ．52⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1xC ． 5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1xD ．15⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x[答案] C[解析] 设f (x )＝mx (m ≠0)，g (x )＝nx (n ≠0)， 把点(1,5)分别代入，得m ＝5，n ＝5. ∴h (x )＝f (x )＋g (x )＝5x ＋5x ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x .二、填空题5．已知a 、b 为常数，若f (x )＝x 2＋4x ＋3，f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24，则5a －b ＝________.导学号62240572[答案] 2[解析] ∵f (x )＝x 2＋4x ＋3，∴f (ax ＋b )＝(ax ＋b )2＋4(ax ＋b )＋3＝a 2x 2＋2abx ＋b 2＋4ax ＋4b ＋3 ＝a 2x 2＋(2ab ＋4a )x ＋b 2＋4b ＋3 又∵f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝12ab ＋4a ＝10b 2＋4b ＋3＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－7.当a ＝1，b ＝3时，5a －b ＝2， 当a ＝－1，b ＝－7时，5a －b ＝2.6．已知抛物线y ＝ax 2与直线y ＝kx ＋1交于两点，其中一个点的坐标为(1,4)，则另一个点的坐标为________．导学号62240573[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，14[解析] ∵点(1,4)既在抛物线y ＝ax 2，又在直线y ＝kx ＋1上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4＝a 4＝k ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4k ＝3， ∴抛物线方程为y ＝4x 2，直线方程为y ＝3x ＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝4x 2y ＝3x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－14y ＝14.三、解答题7．已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (12)＝8，[解析] 解法一：设所求函数解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，依据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1a －b ＋c ＝－1a 4＋b 2＋c ＝8，解得a ＝－4，b ＝4，c ＝7，∴f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.解法二：∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线的对称轴为直线x ＝2＋(－1)2＝12.又f (12)＝8，∴顶点坐标为(12，8)．则可设f (x )＝a (x －12)2＋8，又f (2)＝－1. ∴a (2－12)2＋8＝－1，∴a ＝－4， ∴f (x )＝－4(x －12)2＋8＝－4x 2＋4x ＋7.解法三：由f (2)＝f (－1)＝－1，知f (x )＋1＝0的两根为2和－1， 可设f (x )＋1＝a (x ＋1)(x －2)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1，∵f (12)＝8，∴14a －12a －2a －1＝8，解得a ＝－4， ∴f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.8．已知二次函数f (x )的最小值为1，且f (0)＝f (2)＝(1)求f (x )的解析式；(2)若f (x )的区间[2a ，a ＋1]上不单调，求实数a 的取值范围；(3)在区间[－1,1]上，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋2m ＋1的图象上方，试确定实数m 的取值范围．[解析] (1)由f (0)＝f (2)知二次函数f (x )关于x ＝1对称，又f (x )的最小值为1，故可设f (x )＝a (x －1)2＋1，又f (0)＝3得a ＝2，故f (x )＝2x 2－4x ＋3. (2)要使函数在区间[2a ，a ＋1]上不单调，则2a <1<a ＋1，则0<a <12. (3)解法一：由已知，得2x 2－4x ＋3>2x ＋2m ＋1在x ∈[－1,1]时恒成立， 即x 2－3x ＋1－m >0在x ∈[－1,1]时恒成立． 设g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，则只要g (x )min >0即可，∵x ∈[－1,1]，∴g (x )min ＝g (1)＝－1－m ， ∴－1－m >0，即m <－1.故实数m 的取值范围是{m |m <－1}．解法二：由题意可知，x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立， 即m <x 2－3x ＋1＝(x －32)－54在[－1,1]上恒成立． 又g (x )＝x 2－3x ＋1，x ∈[－1,1]的最小值为－1.∴m<－1.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二章综合测试(B)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列各组函数表示同一函数的是( ) A ．y ＝x 2－9x －3与y ＝x ＋3B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0)D ．y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z [答案] C[解析] A 中的两函数的定义域不同，B 、D 中两函数的对应法则不同，C 中两函数的定义域和对应法则都相同，故选C ．2．下列函数是偶函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝2x 2－3 C ．y ＝x －12D ．y ＝x 2，x ∈[0,1][答案] B[解析] 选项B 中，函数y ＝2x 2－3的定义域为R ，令f (x )＝2x 2－3，f (－x )＝2(－x )2－3＝2x 2－3＝f (x )，∴函数y ＝2x 2－3为偶函数．3．(2014～2015学年度重庆南开中学高一上学期期中测试)下列函数在(0，＋∞)上单调递减的是( )A ．y ＝x 2B ．y ＝x 32C ．y ＝x 12D ．y ＝x －12[答案] D[解析] 函数y ＝x －12＝1x在(0，＋∞)上单调递减．4．(2014～2015学年度宁夏银川一中高一上学期期中测试)已知函数f (x )的定义域为[－2,1]，函数g (x )＝f (x －1)2x ＋1，则g (x )的定义域为( )A ．⎝⎛⎦⎤－12，2 B ．(－1，＋∞) C ．⎝⎛⎭⎫－12，0∪(0,2) D ．⎝⎛⎭⎫－12，2 [答案] A[解析] ∵函数f (x )的定义域为[－2,1]， ∴f (x －1)中，－2≤x －1≤1， ∴－1≤x ≤2，∴f (x －1)的定义域为[－1,2]． 又2x ＋1>0，∴x >－12，∴g (x )的定义域为⎝⎛⎦⎤－12，2. 5．(2014～2015学年度青海师范大学附属第二中学高一上学期月考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5x 2(x ≤5)f (x －2)(x >5)，则f (8)的值为( ) A ．－312 B ．－174 C ．174 D ．－76[答案] D[解析] f (8)＝f (8－2)＝f (6)＝f (6－2)＝f (4)＝4－5×42＝－76. 6．已知函数f (x )＝|x |－a 没有零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >0 B ．a <0 C ．a ≥0 D ．a ≤0[答案] B[解析] 当a <0时， f (x )＝|x |－a >0恒成立，∴函数f (x )无零点； 当a ＝0时， f (x )＝|x |的零点为0，故选B ．7．函数f (x )＝|x |和g (x )＝x (2－x )的单调递增区间分别是( ) A ．(－∞，0]和(－∞，1] B ．(－∞，0]和[1，＋∞) C ．[0，＋∞)和(－∞，1] D ．[0，＋∞)和[1，＋∞)[答案] C[解析] 本题主要考查函数单调区间的判断．函数f (x )＝|x |的单调递增区间为[0，＋∞)，函数g (x )＝x (2－x )＝－(x －1)2＋1的单调递增区间为(－∞，1]．故选C ．8．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (6)的值是( )A ．－1B ．0C ．1D ．2[答案] B[解析] 由题意，得f (6)＝－f (4)＝f (2)＝－f (0)， ∵函数f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0，∴f (6)＝0.9．直角梯形OABC 中，AB ∥OC ，AB ＝1，OC ＝BC ＝2，直线l ：x ＝t 截该梯形所得位于l 左边图形的面积为S ，则函数S ＝f (t )的图象大致为( )[答案] C[解析] 由题意，当0≤t <1时， f (t )＝t 2； 当1≤t ≤2时， f (t )＝1＋2(t －1)＝2t －1.即S ＝f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2，0≤t <12t －1，1≤t ≤2，函数图象前一段为抛物线，后一段为线段，故选C ．10．已知二次函数f (x )图象的顶点坐标为(1，－2)，且过点(2,4)，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝6x 2－6x ＋4 B ．f (x )＝6x 2－12x －2 C ．f (x )＝6x 2－12x ＋4 D ．f (x )＝6x 2－6x －2[答案] C[解析] ∵f (x )图象的顶点坐标为(1，－2)，∴设f (x )＝a (x －1)2－2(a ≠0)．又该图象过点(2,4)，∴a －2＝4，∴a ＝6， ∴f (x )＝6(x －1)2－2＝6x 2－12x ＋4.11．已知一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则它们在同一坐标系中的大致图象是图中的( )[答案] D[解析] 选项A 中，一次函数中b <0，二次函数中b ＝0，故排除A ；选项B 、C 中一次函数中b >0；二次函数中b ＝0，故排除B 、C ，故选D ．12．设函数f (x )＝x |x |＋bx ＋c ，给出下列3个命题： ①c ＝0时，f (x )是奇函数；②b ＝0，c >0时，方程f (x )＝0只有一个实数根； ③方程f (x )＝0至多有两个实数根． 其中正确的命题是( ) A ．① B ．①③ C ．①② D ．①②③[答案] C[解析] c ＝0时，f (x )＝x |x |＋bx ，f (－x )＝－x |－x |－bx ＝－(x |x |＋bx )＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数，①正确；b ＝0，c >0时，函数f (x )＝x |x |＋c ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋c ，x ≥0－x 2＋c ，x <0，∴方程f (x )＝0只有一个实数根，②正确；当b ＝－1，c ＝0时，方程f (x )＝0，即 x |x |－x ＝0，∴x (|x |－1)＝0， ∴x ＝0或|x |－1＝0，即x ＝0或x ＝±1，此时方程f (x )＝0， 有三个实数根，③错误，故选C ．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上) 13．(2014～2015学年度上海复旦大学附属中学高一上学期期中测试)函数y ＝2－|x |x －1的定义域为________________．[答案] [－2,1)∪(1,2][解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |≥0x －1≠0，∴－2≤x <1或1<x ≤2.14．(2014～2015学年度四川德阳五中高一上学期月考)已知f (x )为一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，则函数f (x )的解析式为____________．[答案] f (x )＝x ＋3[解析] 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， ∴3[a (x ＋1)＋b ]－ax －b ＝2x ＋9， 即2ax ＋3a ＋2b ＝2x ＋9，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝23a ＋2b ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝3. ∴f (x )＝x ＋3.15．(2014～2015学年度四川德阳五中高一上学期月考)已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f (2x )<f (x ＋1)的实数x 的取值范围是______________．[答案] (1，＋∞)[解析] 由题意得2x >x ＋1，∴x >1.16．已知关于x 的方程|x 2－4x ＋3|－a ＝0有三个不相等的实数根，则实数a 的值是________．[答案] 1[解析] 本题可转化为函数y ＝|x 2－4x ＋3|与y ＝a 的图象的交点个数问题．作出函数y ＝|x 2－4x ＋3|的图象，如图所示．由图象知，只有当a ＝1时，两函数图象才有三个交点．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)(2014～2015学年度山东枣庄第八中学高一上学期期中测试)已知一次函数f (x )满足2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1.(1)求这个函数的解析式；(2)若函数g (x )＝f (x )－x 2，求函数g (x )的零点． [解析] (1)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝5a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝－2.∴f (x )＝3x －2.(2)g (x )＝f (x )－x 2＝3x －2－x 2，令g (x )＝0，得3x －2－x 2＝0，∴x ＝1或x ＝2. ∴函数g (x )的零点是1和2.18．(本小题满分12分)(2014～2015学年度湖北部分重点中学高一上学期期中测试)已知f (x )是R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2－x －1.(1)求f (x )的解析式；(2)作出函数f (x )的图象(不用列表)，并指出它的增区间．[解析] (1)设x <0，则－x >0，f (－x )＝(－x )2－(－x )－1＝x 2＋x －1， ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－x 2－x ＋1. 又∵f (x )在x ＝0处有意义，∴f (0)＝0. ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1 (x >0)0 (x ＝0)－x 2－x ＋1(x <0).(2)函数f (x )的图象如图所示，由图象可知，函数f (x )的增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，－12， ⎣⎡⎭⎫12，＋∞.19．(本小题满分12分)若函数f (x )＝x 2＋4x ＋a 的定义域和值域均为[－2，b ](b >－2)，求实数a 、b 的值．[解析] ∵函数f (x )的对称轴方程为x ＝－2， ∴函数f (x )在定义域[－2，b ](b >－2)上单调递增， ∴函数f (x )的最小值为f (－2)＝a －4＝－2， ∴a ＝2.函数f (x )的最大值为f (b )＝b 2＋4b ＋2＝b . ∴b 2＋3b ＋2＝0，∴b ＝－1或b ＝－2(舍去)， ∴b ＝－1.20．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 、b 、c 为常数)满足条件：①图象过原点；②f (1＋x )＝f (1－x )；③方程f (x )＝x 有等根．(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在x ∈[－1,2]上的值域．[解析] (1)∵函数f (x )图象过原点，∴c ＝0， 又∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴函数图象的对称轴为x ＝1， ∴－b2a ＝1，即b ＝－2a .∴f (x )＝ax 2－2ax .又∵方程f (x )＝x 有等根， ∴方程ax 2－(2a ＋1)x ＝0有等根，即Δ＝[－(2a＋1)]2＝0，∴a ＝－12.∴f (x )＝－12x 2＋x .(2)由(1)知，f (x )＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12，∴当x ＝1时，f (x )取最大值12，当x ＝－1时，f (x )取最小值－32，∴函数f (x )在x ∈[－1,2]上的值域为[－32，12]．21．(本小题满分12分)关于x 的二次方程为x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围．[解析] 设f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1， ∵f (－1)＝2，f (0)＝2m ＋1， f (1)＝4m ＋2，f (2)＝6m ＋5. 由题意知抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，画出示意图，得满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)>0f (0)<0f (1)<0f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2>02m ＋1<04m ＋2<06m ＋5>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ∈Rm <－12m <－12m >－56，∴－56<m <－12.22．(本小题满分14分)为配合国庆黄金周，促进旅游经济的发展，某火车站在调查中发现：开始售票前，已有a 人在排队等候购票．开始售票后，排队的人数平均每分钟增加b人．假设每个窗口的售票速度为c 人/min ，且当开放2个窗口时，25min 后恰好不会出现排队现象(即排队的人刚好购完)；若同时开放3个窗口，则15min 后恰好不会出现排队现象．(1)若要求售票10min 后不会出现排队现象，则至少需要同时开几个窗口？(2)若a ＝60，在只开1个窗口的情况下，试求第n (n ∈N *且n ≤118)个购票者的等待时间t n 关于n 的函数．[解析] (1)设至少需要同时开x 个窗口，则根据题意有， ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋25b ＝50c ①a ＋15b ＝45c ②a ＋10b ≤10cx ③，由①②得，c ＝2b ，a ＝75b ，代入③得， 75b ＋10b ≤20bx ，∴x ≥174，即至少同时开5个窗口才能满足要求．(2)由a ＝60得，b ＝45，c ＝85，设第n 个人的等待时间为t n ，则由题意得，当n ≤60(n ∈N *)时，t n ＝n －185＝5(n －1)8； 当60<n ≤118(n ∈N *)时，设第n 个人是售票开始后第t min 来排队的，则n ＝60＋45t ，此时已有85t 人购到票离开队伍，即实际排队的人数为n －85t ，∴t n ＝(n －85t )－185＝595－5n8，综上，t n 关于n 的函数为 t n＝⎩⎪⎨⎪⎧5(n －1)8 (n ≤60，n ∈N *)595－5n 8(60<n ≤118，n ∈N *).。