最小二乘原理
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N
c2 xi yi i 1
a0 (c1* u22 c2* u12) /(u11* u22 u12* u21)
a1 (u11* c2 u21* c1) /(u11* u22 u12* u21)
4、输出拟合直线 y*=a0+a1x
注：一般地，用一个n次多项式 y=a0+a1x+ a2x2+…+ anxn
使用最小二乘原理拟合数据时，拟合曲线的选择是很 重要的，通常拟合曲线y*是由数据分布情况或经验确定的， 不一定都是线性模型，但有的经过变换可化为线性模型
例： y
(xi , yi) , i = 1, 2, …, N
x
根据数据分布情况，可以选用双曲线作为拟合曲线
1 ab 1
y
x
1 ab 1
y
x
线性化： 令y' 1 ,
y
x' 1 x
y' a bx' 将( xi , yi ) 化为( x’i , yi’ )后易解 a 和b。
如：根据经验公式 y a e b x ( a, b 为常数 ) 线性化：由 ln y ln a b x 可做变换
y’ ln y , x’ x , A ln a , B b y’ A Bx' 就是个线性问题
a1 xi ) xi
0
N
N
N
a0 a1 xi yi
i 1
i 1
i 1
N
N
N
a0
xi a1
x2 i
xi yi
i 1
i 1
i 1
N
N
i 1
xi
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
N
i1
N
i1
xi
x
2
i
a0 a1
N
yi
i 1 N
xi
i 1
yi
正规方程组
例 已知一组实验数据如表所示.
x
2
i
ln a b
N
ln yi
i 1 N
xi ln yi
i 1
谢谢观看！ 2020
用直线 y*=a0+a1x拟合给定数据 ( xi, yi ) (i= 1,… , N )的 算法描述：
1、输入点的个数N,以 及N个点( xi, yi )；
2、计算正规方程组中各个系数：
u11 N
N
u12 xi i 1
N
u21 u12
u22
x
2 i
i 1
3、解正规方程组
N
c1 yi i 1
xi yi
i 1
i 1
i 1
正规方程组的系数列表如下：
4a0 20a1 16 20a0 120a1 100.4
解得 a0 1.1
a1 1.02
xi
yi
xi2 xiyi
2 1.1 4
2.2
4 2.8 16 11.2
所以拟合曲线为 y*=-1.1+1.02x
6 4.9 36 29.4
8 7.2 64 57.6
做数据拟合，可通过变化成多变量的数据拟合问题。
y=a0+a1z1+ a2z2+…+ anzn
§2 多变量的数据拟合
已知影响变量y 有多个因素x1, x2,…, xk
x1
x2 … xk
y
1 x11
x21 … xk1
y1
2 x12
x22 … xk2
y2
……
N x1N
x2N … xkN
yN
一般地，N>k，如果拟合曲线为
y*= a0+a1x1+ a2x2+…+ akxk
用最小二乘原理，来确定全部系数a0、a1 、… 、 ak
[ ] N
(a0 , a1 , ... , ak ) i 1
a0 a1 x 1i ... ak x ki yi
2
0 , j 0, ... , k
a j
§3 非线性曲线的数据拟合
i 1 N
xi yi
i 1
u11 N
u21 u12
N
u12 xi i 1
N
u22 xi2 i 1
N
c1 yi i 1
N
c2 xi yi i 1
u11 u21
u12 u22
a0 a1
c1 c2
u11 N
u21 u12
N
u12 xi i 1
N
u22 xi2 i 1
x x1 y y1
x2 … xN y2 …. yN
求拟合直线 y* a0 a1 x 用最小二乘原理求a0，a1
N
令 (a0 , a1 ) ( yi a0 a1 xi )2 i 1
0
a0
a0
N
2 ( yi
i 1
a0 a1 xi ) 0
0
a1
a1
N
2 ( yi
i 1
a0
例：求一个形如y=aebx 的经验函数公式，使它能 够和下列数据相拟合
x
12
34
56
7
8
y 15.3 20.5 27.4 36.6 49.1 65.6 87.8 117.6
线性化：由 ln y ln a b x 可做变换
用最小二乘原理，得正规方程组：
N
N
i 1
xi
N
i1
N
i1
xi
N
➢ 使 | P(xi ) yi |2最小 i 1
§1 最小二乘原理
如确定多项式P( x) aa00 aa11x ... an xn ，对于一组数 N
据(xi, yi) (i = 1, 2, …, N) 使得 [P(xi ) yi ]2 达到极小， i 1
这里 n << N。
实际上是 a0, a1, …, an 的多元函数，即
第3章 曲线拟合的最小二乘法
仍然是已知 x1 … xN ; y1 … yN, 求一个简单易 算的近似函数 P(x) f(x)。
但是 ① N很大； ② yi 本身是测量值，不准确，即 yi f (xi)
这时没必要取 P(xi) = yi , 而要使 P(xi) yi 总体上尽可能小。
最常见做法：
N
c1 yi i 1
N
c2 xi yi i 1
u11 u21
u12 u22
a0
a1
c1 c2
a0
c1 c2
u12 u22
u11 u12 u21 u22
a1
u11 u21
c1 c2
u11 u12 u21 u22
a0 (c1* u22 c2* u12) /(u11* u22 u12* u21) a1 (u11* c2 u21* c1) /(u11* u22 u12* u21)
20 16 120 100.4
已知N个点(xi, yi)( i=1,…,N )
x x1
x2
求拟合直线 y* a0 a1 x
y y1
y2
的算法过程
分析:因为用最小二乘原理，得正规方程组：
… xN …. yN
N
N
i 1
xi
N
i1
N
i1
xi
x
2
i
a0 a1
N
yi
xi
2
4
6
8
yi 1.1 2.8 4.9 7.2
试求最小二乘拟合曲线.
8 7 6 5 4 3 2 1
01 2 3 4 5 6 7 8
解: 可设拟合曲线为 y*=a0+a1x
x
用最小二乘原理，得正规方程组：
N
N
N
a0 a1 xi yi
i 1
i 1
i 1
N
N
N
a0
xi a1
x2 i
[ ] N
(a0 , a1 , ... , an ) i1
a0
a1 xi
...
an
x
n i
yi
2
要使 达到最小，可以用数学中求极值的方法
即：
0 , k 0, ..., n ak
这种方法称为数据拟合的最小二乘法；P(x)为拟合曲线
线性拟合（拟合曲线为直线）
已知N个点(xi , yi)( i=1,…,N )
c2 xi yi i 1
a0 (c1* u22 c2* u12) /(u11* u22 u12* u21)
a1 (u11* c2 u21* c1) /(u11* u22 u12* u21)
4、输出拟合直线 y*=a0+a1x
注：一般地，用一个n次多项式 y=a0+a1x+ a2x2+…+ anxn
使用最小二乘原理拟合数据时，拟合曲线的选择是很 重要的，通常拟合曲线y*是由数据分布情况或经验确定的， 不一定都是线性模型，但有的经过变换可化为线性模型
例： y
(xi , yi) , i = 1, 2, …, N
x
根据数据分布情况，可以选用双曲线作为拟合曲线
1 ab 1
y
x
1 ab 1
y
x
线性化： 令y' 1 ,
y
x' 1 x
y' a bx' 将( xi , yi ) 化为( x’i , yi’ )后易解 a 和b。
如：根据经验公式 y a e b x ( a, b 为常数 ) 线性化：由 ln y ln a b x 可做变换
y’ ln y , x’ x , A ln a , B b y’ A Bx' 就是个线性问题
a1 xi ) xi
0
N
N
N
a0 a1 xi yi
i 1
i 1
i 1
N
N
N
a0
xi a1
x2 i
xi yi
i 1
i 1
i 1
N
N
i 1
xi
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
N
i1
N
i1
xi
x
2
i
a0 a1
N
yi
i 1 N
xi
i 1
yi
正规方程组
例 已知一组实验数据如表所示.
x
2
i
ln a b
N
ln yi
i 1 N
xi ln yi
i 1
谢谢观看！ 2020
用直线 y*=a0+a1x拟合给定数据 ( xi, yi ) (i= 1,… , N )的 算法描述：
1、输入点的个数N,以 及N个点( xi, yi )；
2、计算正规方程组中各个系数：
u11 N
N
u12 xi i 1
N
u21 u12
u22
x
2 i
i 1
3、解正规方程组
N
c1 yi i 1
xi yi
i 1
i 1
i 1
正规方程组的系数列表如下：
4a0 20a1 16 20a0 120a1 100.4
解得 a0 1.1
a1 1.02
xi
yi
xi2 xiyi
2 1.1 4
2.2
4 2.8 16 11.2
所以拟合曲线为 y*=-1.1+1.02x
6 4.9 36 29.4
8 7.2 64 57.6
做数据拟合，可通过变化成多变量的数据拟合问题。
y=a0+a1z1+ a2z2+…+ anzn
§2 多变量的数据拟合
已知影响变量y 有多个因素x1, x2,…, xk
x1
x2 … xk
y
1 x11
x21 … xk1
y1
2 x12
x22 … xk2
y2
……
N x1N
x2N … xkN
yN
一般地，N>k，如果拟合曲线为
y*= a0+a1x1+ a2x2+…+ akxk
用最小二乘原理，来确定全部系数a0、a1 、… 、 ak
[ ] N
(a0 , a1 , ... , ak ) i 1
a0 a1 x 1i ... ak x ki yi
2
0 , j 0, ... , k
a j
§3 非线性曲线的数据拟合
i 1 N
xi yi
i 1
u11 N
u21 u12
N
u12 xi i 1
N
u22 xi2 i 1
N
c1 yi i 1
N
c2 xi yi i 1
u11 u21
u12 u22
a0 a1
c1 c2
u11 N
u21 u12
N
u12 xi i 1
N
u22 xi2 i 1
x x1 y y1
x2 … xN y2 …. yN
求拟合直线 y* a0 a1 x 用最小二乘原理求a0，a1
N
令 (a0 , a1 ) ( yi a0 a1 xi )2 i 1
0
a0
a0
N
2 ( yi
i 1
a0 a1 xi ) 0
0
a1
a1
N
2 ( yi
i 1
a0
例：求一个形如y=aebx 的经验函数公式，使它能 够和下列数据相拟合
x
12
34
56
7
8
y 15.3 20.5 27.4 36.6 49.1 65.6 87.8 117.6
线性化：由 ln y ln a b x 可做变换
用最小二乘原理，得正规方程组：
N
N
i 1
xi
N
i1
N
i1
xi
N
➢ 使 | P(xi ) yi |2最小 i 1
§1 最小二乘原理
如确定多项式P( x) aa00 aa11x ... an xn ，对于一组数 N
据(xi, yi) (i = 1, 2, …, N) 使得 [P(xi ) yi ]2 达到极小， i 1
这里 n << N。
实际上是 a0, a1, …, an 的多元函数，即
第3章 曲线拟合的最小二乘法
仍然是已知 x1 … xN ; y1 … yN, 求一个简单易 算的近似函数 P(x) f(x)。
但是 ① N很大； ② yi 本身是测量值，不准确，即 yi f (xi)
这时没必要取 P(xi) = yi , 而要使 P(xi) yi 总体上尽可能小。
最常见做法：
N
c1 yi i 1
N
c2 xi yi i 1
u11 u21
u12 u22
a0
a1
c1 c2
a0
c1 c2
u12 u22
u11 u12 u21 u22
a1
u11 u21
c1 c2
u11 u12 u21 u22
a0 (c1* u22 c2* u12) /(u11* u22 u12* u21) a1 (u11* c2 u21* c1) /(u11* u22 u12* u21)
20 16 120 100.4
已知N个点(xi, yi)( i=1,…,N )
x x1
x2
求拟合直线 y* a0 a1 x
y y1
y2
的算法过程
分析:因为用最小二乘原理，得正规方程组：
… xN …. yN
N
N
i 1
xi
N
i1
N
i1
xi
x
2
i
a0 a1
N
yi
xi
2
4
6
8
yi 1.1 2.8 4.9 7.2
试求最小二乘拟合曲线.
8 7 6 5 4 3 2 1
01 2 3 4 5 6 7 8
解: 可设拟合曲线为 y*=a0+a1x
x
用最小二乘原理，得正规方程组：
N
N
N
a0 a1 xi yi
i 1
i 1
i 1
N
N
N
a0
xi a1
x2 i
[ ] N
(a0 , a1 , ... , an ) i1
a0
a1 xi
...
an
x
n i
yi
2
要使 达到最小，可以用数学中求极值的方法
即：
0 , k 0, ..., n ak
这种方法称为数据拟合的最小二乘法；P(x)为拟合曲线
线性拟合（拟合曲线为直线）
已知N个点(xi , yi)( i=1,…,N )