九年级上册数学《二次根式》知识点整理
九年级上册二次根式知识点
九年级上册二次根式知识点作为初中数学的重要部分，二次根式是需要我们掌握的一个重要概念。
在九年级上册，我们将学习并深入理解二次根式的性质、运算以及应用。
下面，我将为大家总结九年级上册二次根式的知识点。
一、二次根式的定义二次根式是指具有形如√a（其中a为一个非负实数）的数。
其中，√称为根号，a称为被开方数，√a称为二次根式。
二、二次根式的性质1. 非负性：二次根式的结果不小于0，即√a≥0。
2. 排除负号：我们规定根号不能取负值，即√a≠-√a。
3. 分解因数：对于任何正实数a，有√a = √(n² × m)，其中n²是a 的一个因数。
三、二次根式的化简当被开方数能够分解成两个因数的乘积时，我们可以通过分解因数的方法将二次根式化简。
例如√12 = √(4 × 3) = √4 × √3 = 2√3。
四、二次根式的运算1. 加减运算：二次根式的加减运算需要满足根号下的数相等，才能进行运算。
例如√5 + √5 = 2√5，2√3 - √3 = √3。
2. 乘法运算：二次根式的乘法运算可以将根号下的数相乘，并将结果放在根号下。
例如√2 × √3 = √6。
3. 除法运算：除法运算需要使用有理化的方法，即通过将除数和被除数分别乘上其共轭式的形式来进行运算。
例如，（√5 + √3）/ (√5 - √3) = （√5 + √3）×（√5 + √3）/ [(√5 - √3) × （√5 + √3）] = 8 + 2√15。
五、二次根式的应用1. 几何应用：在几何学中，二次根式经常用于计算图形的边长、面积、体积等。
2. 物理应用：在物理学中，二次根式可以用于计算电流、电压、速度、力等相关问题。
3. 经济应用：在经济学中，二次根式可以用于计算平均收益、成本、利润率等。
六、二次根式的拓展1. 无理数的定义：二次根式属于无理数，即不能表示为两个整数之比的实数。
初中二次根式的知识点归纳
初中二次根式的知识点归纳一、定义1、二次根式：又称二次多项式，指的是二次项不为零的多项式，即具有ax^2 + bx + c 的多项式，其中a≠o。
二、概念1、二次项：又称“平方项”，形式为 ax^2，指的是以被平方的变量为指数的多项式，一般用系数a来表示，a可以是实数或复数。
2、一般式：指具有ax^2 + bx + c 的二次多项式，其中 a、b、c可以是实数或复数，此式也叫二次根式。
3、系数：指二次根式 ax^2 + bx + c 中的 a、b、c，称为它的系数。
三、展开1、运用乘积平方公式，可把二次根式拆分展开：ax^2 + bx + c = a(x + b/2a)^2 - (b^2)/(4a) + c2、如果二次根式没有复数系数，可以使用完全平方公式，将二次根式展开为两项，形式为：ax^2 + bx + c = (x + a1)^2 + c1。
四、解决方式1、平方根法：指将平方根和立方根准确到小数点后两位加减法，称之为平方根法。
2、完全平方公式：将ax^2 + bx + c = (x + a1)^2 + c1 方法，此方法可将一般式Ax^2+bx+c转换为(x+a1)^2+c1的形式，采用此方法可以直接求出根式的解。
3、因式分解法：此方法适用的几何平均数，多次乘方求和，解析求根，其中包含了一些基本算术技巧，比如乘法交换律，变乘法公式等。
五、配套计算器的使用1、计算机的完成二次根式的算子运算，是根据一般式 ax^2 + bx + c = 0 这种二次根式，采用特定的算子运算，得到根式的解及解的类别。
2、计算机在进行算子运算时，根据具体情况采用不同的算子算法，从而得出不同的解，如采用二次公式，可以得出根式的解及解的类别。
3、计算机给出的结果即为根式的解，如配套的计算器能够得到，ax^2+bx+c=0的两个实数根，或有2个复根的情况。
六、实际应用1、二次根式的实际运用比较广泛，它可以用来准确表达物理现象，例如平抛运动中的受力，圆锥曲面等物理现象等。
二次根式总结归纳
二次根式总结归纳一、二次根式的定义及性质1. 二次根式的定义二次根式是指形如√a的根式，其中a为一个非负实数。
2. 二次根式的化简二次根式可以进行化简，满足以下规则： - √a⋅√b=√ab，其中a≥0，b≥0。
- √a√b =√ab，其中a≥0，b>0。
3. 二次根式的运算二次根式可以进行加、减、乘、除等基本运算。
- 加法：√a+√b无法化简，保留原样。
- 减法：√a−√b无法化简，保留原样。
- 乘法：(√a)(√b)=√ab。
-除法：√a√b =√ab，其中b≠0。
二、二次根式的应用1. 二次根式的几何意义二次根式在几何学中有着重要的应用，特别是在求解面积和边长时。
- 面积应用：当我们需要计算一些形状的面积时，经常会遇到二次根式。
例如，矩形的对角线长度可以表示为√a2+b2，其中a和b分别是矩形的两个边长。
- 边长应用：在某些情况下，已知一个图形的面积，需要求解该图形某一个边的长度。
二次根式的运算可以帮助我们求解这些问题。
例如，等边三角形的边长可以表示为√√3，其中S是等边三角形的面积。
2. 二次根式的化简与证明二次根式的化简和证明是数学中的重要内容，常见的方法包括有理化分母、提取公因式等。
- 有理化分母：当二次根式出现在分母中时，为了简化运算，可以通过有理化分母的方法消除分母中的二次根式。
例如，√2可以通过乘以√2√2来有理化分母得到√22。
- 提取公因式：当一个二次根式等于另一个二次根式的倍数时，可以通过提取公因式的方式进行化简。
例如，√24可以化简为2√6，因为√6是√24的公因式。
三、二次根式的解法1. 二次根式的简单求解对于形如x 2=a 的二次根式方程，可以通过平方根的性质求解，得到x =±√a 。
例如，对于方程x 2=16，其解为x =±4。
2. 二次根式的复杂求解对于形如x 2+bx +c =0的二次根式方程，可以通过求解二次根式的不同情况来得到解。
初中数学二次根式基础知识点(共6篇)
初中数学二次根式根底知识点〔共6篇〕篇1：初中数学二次根式根底知识点 1.二次根式概念：式子a(a≥0)叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足以下条件：3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，假设被开方数一样，那么这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的_质：a(a0)22(1)(a)=a(a≥0);(2)aa0(a=0);5.二次根式的运算：a(a0)(1)因式的外移和内移：假如被开方数中有的因式可以开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面;假如被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.(2)二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.(3)二次根式的乘除法：二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)，所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式单项式和多项式统称为整式。
1.单项式：1)数与字母的乘积这样的代数式叫做单项式。
单独的一个数或字母(可以是两个数字或字母相乘)也是单项式。
2)单项式的系数：单项式中的数字因数及_质符号叫做单项式的系数。
3)单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
2.多项式：1)几个单项式的和叫做多项式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。
一个多项式有几项就叫做几项式。
2)多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。
3.多项式的排列：1).把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。
2).把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。
由于单项式的项，包括它前面的_质符号，因此在排列时，仍需把每一项的_质符号看作是这一项的一局部，一起挪动初中数学一元二次方程常见考法1.考察一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)：这类题目有着解题规律性强的特点，题目设置会很灵敏，所以一直很吸引命题者。
初中数学二次根式知识点
二次根式
一．知识框架
二．知识概念 1、二次根式：一般地，形如a （a≥0）的代数式叫做二次根式。
当a ＞0时，a 表示a 的算数平方根,其中0=0
1）是非负数； （2）； （3）；
2、最简二次根式 若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。
化二次根式为最简二次根式的方法和步骤： （1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。
3、同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
4、二次根式的性质
())0,0(0,0>≥=≥≥=⨯b a b a b a b a ab b a
5.有理化根式： 如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化根式,也称有理化因式
6.二次根式的加法和减法
（1） 同类二次根式 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
（2） 合并同类二次根式 把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。
（3）二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。
例如：2√5+√5=3√5。
九年级数学上人教版《二次根式》课堂笔记
《二次根式》课堂笔记
一、二次根式的定义
1.二次根式的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根
或二次方根。
其中，平方过程中等于0的平方根叫做零的平方根，也叫做二次方根。
2.二次根式的表示方法：一般地，任何一个正数和零的平方根有两个，它们
互为相反数。
而负数没有平方根。
二、二次根式的性质
1.基本性质：a2=a（a≥0）；a<0时，a2=−a。
2.重要性质：ab=a⋅b（a≥0,b≥0）
三、二次根式的化简
1.直接开平方法：形如ax2=b或(ax)2=b（a=0）的方程，可用直接开平方法
解方程，得到x=±ab。
2.配方法：用配方法解方程，先把方程的右边化为0，然后方程左边也进行
配方，最后对方程左边进行开方运算。
3.公式法：利用平方差公式把一个数分解为两数乘积的形式，然后用直接开
方法求出这个数的平方根。
四、二次根式的应用
二次根式在实际生活中被广泛应用于计算物体的面积、体积等方面。
比如在计算圆的面积时，我们需要使用圆的半径的平方作为底数进行计算。
在计算矩形、正方形等规则图形的面积时，也可以利用二次根式进行计算。
五、注意事项
1.在进行二次根式的运算时，要注意运算顺序和符号问题。
2.在化简二次根式时，要注意化简后的结果一定是最简二次根式。
3.在应用二次根式解决实际问题时，要注意单位的统一和转换。
二次根式知识点
二次根式知识点1. 二次根式的定义二次根式指的是形如√a的数，其中a为非负实数。
a被称为被开方数，√a被称为二次根式，也可以叫做平方根。
2. 二次根式的基本性质① 非负性：二次根式必须为非负实数。
② 同根式的加减法：同一指数的二次根式可以进行加减法运算，结果等于指数不变时各自运算后相加减。
③ 同根式的乘法：同一指数的二次根式可以进行乘法运算，结果等于指数不变时各自运算后相乘。
④ 同底数的指数运算：同一被开方数的不同指数的二次根式，可以进行指数运算，结果等于底数相同时指数相加或相减后的二次根式。
⑤ 合并同类项：不同被开方数的二次根式不能进行加减运算，必须化为同一被开方数才能进行操作。
3. 二次根式的化简① 化简含有平方数的二次根式例如：√36 = √（6²）= 6② 化简含有分数的二次根式例如：√（1/4）= 1/√4= 1/2③ 化简含有根号的二次根式例如：√（128）= √（2*64）= 8√2④ 去除被开方数中的平方因子例如：√（80）= √（16*5）= 4√54. 二次根式的应用由于二次根式代表着平方根，所以在一些实际问题中，经常出现二次根式的应用。
例1：计算正方形对角线的长度设正方形边长为a，则对角线长度d = √（a²+a²）=a√2例2：炮弹落地问题假设炮弹以初速度v以角度α斜抛，落地时的水平距离为x，求炮弹所需的最小速度v。
根据物理学上的知识，可以得到：x = v²sin2α/g其中g为重力加速度，有g = 9.8m/s²，化简可得：v = √（gx/ sin2α）在实际问题中，二次根式的应用还有很多，比如在建筑设计中计算楼梯踏步和踏板的长度，计算圆周率的近似值等等。
5. 二次根式的拓展除了√a这种形式的二次根式外，还可以拓展为含有多个根号的形式。
例如：√（a±√b）化简时，可以拆分成两个二次根式相加或相减的形式：当加号为正号时，可拆分为：√（a+√b）+√（a-√b）当减号为负号时，可拆分为：√（a-√b）-√（a+√b）在拓展的形式中，二次根式的化简变得更为复杂，需要运用其他方法进行化简。
九年级上册数学《二次根式》知识点整理(最新整理)
a a 5 x 2 + 1 - 5 -x 2 a a a a a a b二次根式一、本节学习指导学习二次根式时，我们把平方根的知识顺带巩固一下。
这就是系统性学习，这样学习的好处是把零碎的知识可以系统起来。
本节中我们要对二次根式有意义的条件要掌握。
二、知识要点1、二次根式的概念：形如 （a≥0）的式子叫做二次根式。
注意：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以 a≥0 是 为二次根式的前提条件，如 ， ， 等是二次根式，而 ， 等都不是二次根式。
2、取值范围（1）、二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当 a≧0 时， 有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
（2）、二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当 a ﹤0 时， 没有意义。
3、二次根式 （a≥0）的非负性（a≥0）表示 a 的算术平方根，也就是说， （a≥0）是一个非负数，即 0（a≥0）。
注意：因为二次根式 （a≥0）表示 a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0 的算术平方根是 0，所以非负数（a ≥0）的算术平方根是非负数，即( a )2 （a ≥0），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若 + = 0 ，则 a=0,b=0；若 + b 2 = 0 ，则 a=0,b=0；若 + b 2 = 0 ，则a=0,b=0。
4、二次根式(a )2的性质： (a )2 = a （a≥0）描述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注意：二次根式的性质公式( a )2 = a （a≥0）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公a a a aa 27 ≈ 2.646 a 2 a 2a 2a 2 a 2 a 2a 2a 2a 2a 2⎨-a (a < 0) ⎩式也可以反过来应用：若 a≥0，则 a = ( a )2 ，如： 2 = ( 2)2 ， 1 = ( 1)2。
二次根式知识点总结
二次根式知识点总结1. 二次根式的定义二次根式是指形如√a的数式，其中a是一个非负实数。
在二次根式中，a被称为被开方数，√a被称为二次根号。
二次根式可以是完全平方数，也可以是非完全平方数。
2. 二次根式的化简化简二次根式的目的是将其写成最简形式。
对于完全平方数，化简的过程比较简单，只需要将√a的值直接提取出来即可。
而对于非完全平方数，需要用到分解质因数的方法来化简。
比如对于√18，可以分解质因数得到√(2×3×3)，然后将成对的质因数提取出来得到3√2。
3. 二次根式的运算（1）二次根式的加减法二次根式的加减法遵循着类似项相加的原则。
即对于同一次幂的二次根式，可以进行加减运算。
比如√8 + √32，可以将8和32分解质因数得到√(2×2×2) + √(2×2×2×2×2)，然后将相同的项加在一起得到2√2 + 4√2，再进行合并得到6√2。
（2）二次根式的乘法二次根式的乘法用到了平方根的性质，即√a×√b=√(a×b)。
对于二次根式的乘法，可以直接将被开方数相乘再提取出来即可。
比如(√5 + √3)×(√5 - √3)，可以将其展开得到√5×√5 - √5×√3 +√3×√5 - √3×√3，再合并得到5 - 3=2。
（3）二次根式的除法二次根式的除法也用到了平方根的性质，即√a/√b=√(a/b)。
对于二次根式的除法，可以直接将被开方数相除再提取出来即可。
比如(√12 + √3)/(√3)，可以将其展开得到√12/√3 + √3/√3，再化简得到2√3 + 1。
4. 二次根式的化简与支配数在二次根式的运算中，有时候会出现需要化简的情况。
这就需要用到支配数的概念。
支配数是指对于一个二次根式，可以找到一个更小的数，使得原二次根式是这个数的倍数。
比如对于√75，可以找到√25×3，这里25就是√75的支配数。
二次根式知识点
二次根式知识点一、二次根式的定义二次根式是指具有形式√a的数，其中a为非负实数。
在二次根式中，根号下的数a叫做被开方数。
二、二次根式的性质1. 二次根式的值始终为非负实数，即√a ≥ 0。
2. 二次根式的积仍然是一个二次根式，即√a · √b = √(a·b)。
3. 二次根式的商仍然是一个二次根式，即√a ÷ √b = √(a÷b)，其中b≠ 0。
4. 二次根式的乘方仍然是一个二次根式，即(√a)^n = √(a^n)，其中n为正整数。
5. 二次根式可以与整数运算，即√a + √b = √a + √b。
6. 同类项相加，即a·√b + c·√b = (a+c)·√b。
三、二次根式的化简1. 将二次根式改写成带有平方数因子的形式，如√(a ·b) = √a · √b。
2. 合并同类项，如√a + √a = 2√a。
3. 分解被开方数的因数，如√(a·a·b) = a√b。
4. 有理化分母，如分母有根号，可以将其乘以一个形如√b/√b的式子，使分母变为有理数。
四、二次根式的运算1. 二次根式的加法：将二次根式看作是整体进行运算，合并同类项，如√a + √b = √a + √b。
2. 二次根式的减法：使用减法的性质，将减法改写为加法，如√a -√b = √a + (-√b)。
3. 二次根式的乘法：使用分配律进行展开，合并同类项，如(√a +√b)·(√c + √d)。
4. 二次根式的除法：利用有理化分母将除法转化为乘法，然后进行乘法运算。
五、二次根式的应用1. 二次根式在几何中的应用：例如计算正方形的对角线长度，三角形中的边长等。
2. 二次根式在物理中的应用：例如求解速度、加速度等问题。
3. 二次根式在方程中的应用：例如求解二次方程的根。
六、常见的二次根式1. 2的二次根式约等于1.414，常用符号表示为√2。
二次根式知识点
二次根式知识点知识回顾：算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
一、二次根式的概念一般地，我们把形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式，“√”称为二次根号。
★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“√”，“√”的根指数为2，即“√2”，我们一般省略根指数2，写作“√”。
如√52可以写作√5。
（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。
（3）式子√a表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，√a≥0。
其中a≥0是√a 有意义的前提条件。
（4）在具体问题中，如果已知二次根式√a，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。
（5）形如b√a（a≥0）的式子也是二次根式，b与√a是相乘的关系。
要注意当b是分数时不能写成带分数，例如83√2可写成8√23，但不能写成223√2。
二、二次根式的性质：=｜a｜=a （a≥0）或=｜a｜= - a（a＜0）★(√a)2（a≥0）与√a2的区别与联系：典型例题剖析题型一：二次根式有意义的条件当x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？；（3）√x−3+√3+x（1）√x+5-√3−2x；（2）√2x−1√1−x题型二：利用二次根式的非负性化简求值已知a+√b−2=4a-4，求√ab的值。
题型三：二次根式非负性的简单应用已知实数x，y满足｜x-4｜+√y−8=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）题型四：利用√a2=｜a｜并结合数轴化简求值已知实数a，b在数轴上的位置如图所示。
试化简：√a2+√b2+√(a−b)2+√(b−1)2-√(a−1)2题型五：√a2=｜a｜与三角形三边关系的综合应用在△ABC中，a，b，c是三角形的三边长，化简√(a−b+c)2-2｜c-a-b｜题型六：逆用(√a)2= a（a≥0）在实数范围内分解因式在实数范围内分解因式：（1）x-4；（2）x-4√x+4三、二次根式的乘除：1、单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
二次根式知识点归纳及题型总结-精华版
二次根式知识点归纳和题型归类
二、知识要点梳理 知识点一、二次根式的主要性质：
1.
； 2.
4. 积的算术平方根的性质：
； 3.
； ；
5. 商的算术平方根的性质：
.
6.若
，则
.
知识点二、二次根式的运算 1．二次根式的乘除运算
(1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号. (2) 注意每一步运算的算理；
1.估算 31－2 的值在哪两个数之间（ ）A．1～2 B.2～3
C. 3～4
D.4～5
2．若 3 的整数部分是 a，小数部分是 b，则 3a b
3.已知 9+ 13与9 13 的小数部分分别是 a 和 b，求 ab－3a+4b+8 的值
4.若 a，b 为有理数，且 8 + 18 + 1 =a+b 2 ，则 b a =
.
8
六．二次根式的比较大小（1） 1 200和2 3 5
（2）－5 6和 6 5
（3） 17 15和 15 13
（4）设 a= 3 2 , b 2 3 , c 5 2 , 则（ ）A. a b c B. a c b C. c b a D. b c a
1.下列各式中一定是二次根式的是（
）。 A、 3 ； B、 x ； C、 x2 1 ； D、 x 1
2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
（1）
（2） 1 （3） 5 x (6)
2x 1
x4
（7）若 x(x 1) x x 1 ，则 x 的取值范围是
。
. （8）若 x 3 x 3 ，则 x 的取值范围是 x 1 x 1
九年级数学二次根式知识点
九年级数学二次根式知识点一、二次根式1. 定义：二次根式是形如√a的表达式，其中a是非负实数。
2. 运算规则：(1) 乘法规则：√a * √b = √(a * b)(2) 除法规则：√a / √b = √(a / b)，其中b不能为0(3) 幂运算规则：(√a)^n = (√a)^(n / 2)，其中n为偶数，a为非负实数3. 合并同类项：(1) 如果二次根式的底数相同，则可以合并为一个根号，即√a ±√a = ±2√a(2) 如果二次根式的根次相同，则可以合并为同一个根次的根号，即√a^n ±√a^n = ±2√a^n(3) 如果二次根式的底数和根次都相同，则可以合并为同一个根号，即√a^n * √a^n = a^n，(√a^n) / (√a^n) = 1二、二次根式的化简1. 因式分解法：将二次根式的底数a分解为素数的乘积，然后利用乘法规则、除法规则和合并同类项的规则将二次根式化简为最简形式。
2. 有理化分母法：利用有理化分母公式将二次根式的分母有理化。
(1) a + √b有理化分母：a + √b = (a + √b) * (a - √b) / (a - √b)(2) a - √b有理化分母：a - √b = (a - √b) * (a + √b) / (a + √b)(3) 1 / (a + √b)有理化分母：1 / (a + √b) = (a - √b) / (a^2 - b)(4) 1 / (a - √b)有理化分母：1 / (a - √b) = (a + √b) / (a^2 - b)三、二次根式的运算1. 加减运算：将二次根式化为最简形式，然后合并同类项。
2. 乘法运算：将二次根式的底数和根次分别相乘。
3. 除法运算：将二次根式的底数和根次分别相除。
4. 化简运算：利用因式分解法或有理化分母法将二次根式化简为最简形式。
四、二次根式的应用二次根式在实际问题中具有广泛的应用，例如计算物体的体积、面积等。
初中数学二次根式知识点总结
初中数学二次根式知识点总结一、二次根式的定义和性质1.二次根式：形如√a（其中a≥0）的数叫做二次根式，其中a叫做被开方数。
2.平方数：一些数的平方的结果叫做平方数，如1、4、9等。
平方数的平方根是有理数。
3.二次根式化简：将二次根式中含有相同因式的项合并，并将二次根式的指数化简为最简整数。
4.二次根式的乘除法：二次根式的乘除法可以通过对被开方数和指数进行运算和化简来进行。
二、二次根式的运算1.二次根式的加减法：a)加法：将两个二次根式的被开方数相加，并将其指数化简。
b)减法：将两个二次根式的被开方数相减，并将其指数化简。
2.二次根式的乘法：a)二次根式的乘法使用分配律，将被开方数和指数分别相乘，并将结果进行化简。
b)若二次根式与实数相乘，则可将实数与二次根式的被开方数相乘，并将指数进行化简。
3.二次根式的除法：a)二次根式的除法可以通过将分子和分母的被开方数相除，并将指数进行化简来进行。
b)若二次根式除以实数，可以将实数除以二次根式的被开方数，并将指数进行化简。
三、二次根式的化简1.二次根式化简的基本方法：a)将被开方数分解成素数的乘积。
b)将二次根式的指数约分为最简整数。
c)将二次根式的含有相同因式的项合并。
2.平方根的化简：a)平方根下的分数：将分子和分母分别进行开方，然后化简。
b)分数的平方根：将分子和分母分别进行开方，然后化简。
c)同解式的平方根：可以适用平方根的基本性质将二次根式进行化简。
四、二次根式的应用1.几何意义：二次根式可以表示一些图形的边长或斜边的长度。
a)两点间的距离：利用两点间的距离公式可以将二次根式化简为实数。
b)直角三角形的斜边：利用勾股定理可以将二次根式化简为实数。
2.分数的运算：在分数运算中，往往会出现二次根式，需要将二次根式进行化简并进行运算。
3.实际问题的应用：解决实际问题时，需利用已知条件建立方程，通过方程的求解，将二次根式进行化简。
综上所述，初中数学二次根式是重要的基础知识点，掌握二次根式的运算和化简方法，了解二次根式的几何意义和实际应用，在解决问题中能熟练运用二次根式的相关知识，将有助于提高数学解题能力。
九年级上册数学课本知识点归纳
人教版九年级上册数学课本知识点归纳第二十一章 二次根式一、二次根式1．二次根式：把形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式, “”表示二次根号;2．最简二次根式：若二次根式满足：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;这样的二次根式叫做最简二次根式;3．化简：化二次根式为最简二次根式1如果被开方数是分数包括小数或分式,先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式,然后利用分母有理化进行化简;2如果被开方数是整数或整式,先将他分解因数或因式,然后把能开得尽方的因数或因式开出来;4．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式叫做同类二次根式;5．代数式：运用基本运算符号,把数和表示数的字母连起来的式子,叫代数式;6．二次根式的性质 1)0()(2≥=a a a2==a a 2 3)0,0(≥≥•=b a b a ab 乘法 4)0,0(≥≥=b a b a b a 除法二、二次根式混合运算1．二次根式加减时,可以把二次根式化成最简二次根式,再把被开方数相同的最简二次根式进行合并;2．二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样,先乘方,再乘除,最后加减,有括号的先算括号里的或先去括号;第二十二章一元二次方程一、一元二次方程1、一元二次方程含有一个未知数一元,并且未知数的最高次数是2二次的整式方程叫做一元二次方程;2、一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ,其中2ax 叫做二次项,a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项,b 叫做一次项系数；c 叫做常数项;二、降次----解一元二次方程1．降次：把一元二次方程化成两个一元一次方程的过程不管用什么方法解一元二次方程,都是要一元二次方程降次2、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法;直接开平方法适用于解形如x 2=b 或b a x =+2)(的一元二次方程;根据平方根的定义可知,a x +是b 的平方根,当0≥b 时,b a x ±=+,b a x ±-=,当b<0时,方程没有实数根;3、配方法：配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±,把公式中的a 看做未知数x,并用x 代替,则有222)(2b x b bx x ±=+±;配方法解一元二次方程的步骤是：①移项、②配方写成平方形式、③用直接开方法降次、④解两个一元一次方程、⑤判断2个根是不是实数根;4、公式法：公式法是用求根公式,解一元二次方程的解的方法;一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： 当ac b 42->0时,方程有两个实数根;当ac b 42-=0时,方程有两个相等实数根;当ac b 42-＜0时,方程没有实数根;5、因式分解法：先将一元二次方程因式分解,化成两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次,这种解叫因式分解法;这种方法简单易行,是解一元二次方程最常用的方法;三、一元二次方程根的判别式根的判别式：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中,ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式,通常用“∆”来表示,即ac b 42-=∆四、一元二次方程根与系数的关系如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，,由求根公式 )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 可算出a b x x -=+21,a c x x =21; 第二十三章 旋转一、旋转1、定义：把一个图形绕某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转,其中O 叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角;2、性质1对应点到旋转中心的距离相等;2对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;⑶旋转前后的图形全等;二、中心对称1、定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心;2、性质1关于中心对称的两个图形是全等形;2关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分;3关于中心对称的两个图形,对应线段平行或在同一直线上且相等;3、判定：如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称;4、中心对称图形：把一个图形绕某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个店就是它的对称中心;5、关于原点对称的点的特征：两个点关于原点对称时,它们的坐标的符号相反,即点Px,y关于原点的对称点为P’-x,-y6、关于x轴对称的点的特征：两个点关于x轴对称时,它们的坐标中,x相等,y的符号相反,即点Px,y关于x轴的对称点为P’x,-y;7、关于y轴对称的点的特征：两个点关于y轴对称时,它们的坐标中,y相等,x的符号相反,即点Px,y关于y轴的对称点为P’-x,y;第二十四章圆一、圆的相关概念1、圆的定义：在一个个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆,固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径;2、圆的几何表示：以点O为圆心的圆记作“⊙O”,读作“圆O”二、弦、弧等与圆有关的定义1弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦;如图中的AB2直径：经过圆心的弦叫做直径;如途中的CD 直径等于半径的2倍;3半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆;4弧、优弧、劣弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧;弧用符号“⌒”表示,以A,B为端点的弧记作“”,读作“圆弧AB”或“弧AB”;大于半圆的弧叫做优弧多用三个字母表示；小于半圆的弧叫做劣弧多用两个字母表示三、垂径定理及其推论1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧;推论1：1平分弦不是直径的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;2弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;3平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧;推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等;四、圆的对称性1、圆的轴对称性：圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴;2、圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形;五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角;2、弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距;3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦想等,所对的弦的弦心距相等;推论：在同圆或等圆中,如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等;六、圆周角定理及其推论1、圆周角：顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角;2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等;推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径;推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形;七、点和圆的位置关系设⊙O的半径是r,点P到圆心O的距离为d,则有：d<r⇔点P在⊙O内；d=r⇔点P在⊙O上；d>r 点P在⊙O外;八、过三点的圆1、过三点的圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆;2、三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆;3、三角形的外心：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,它叫做这个三角形的外心;4、圆内接四边形性质四点共圆的判定条件：圆内接四边形对角互补;九、反证法先假设命题中的结论不成立,然后由此经过推理,引出矛盾,判定所做的假设不正确,从而得到原命题成立,这种证明方法叫做反证法;十、直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系,具体如下：1相交：直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线,公共点叫做交点；2相切：直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,3相离：直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离;如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么：直线l与⊙O相交⇔d<r；直线l与⊙O相切⇔d=r；直线l与⊙O相离⇔d>r；十一、切线的判定和性质1、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线;2、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径;十二、切线长定理1、切线长：在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长;2、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角;十三、三角形的内切圆1、三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆;2、三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点,它叫做三角形的内心;十四、圆和圆的位置关系1、圆和圆的位置关系：如果两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离,相离分为外离和内含两种;如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切,相切分为外切和内切两种;如果两个圆有两个公共点,那么就说这两个圆相交;2、圆心距：两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距;3、圆和圆位置关系的性质与判定设两圆的半径分别为R和r,圆心距为d,那么两圆外离⇔d>R+r两圆外切⇔d=R+r两圆相交⇔R-r<d<R+rR≥r两圆内切⇔d=R-rR>r两圆内含⇔d<R-rR>r4、两圆相切、相交的重要性质：如果两圆相切,那么切点一定在连心线上,它们是轴对称图形,对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦;十五、正多边形和圆1、正多边形的定义：各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形;2、正多边形和圆的关系：只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以做出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆;十六、与正多边形有关的概念1、正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心;2、正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径;3、正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距;4、中心角：正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角;十七、正多边形的对称性1、正多边形的轴对称性：正多边形都是轴对称图形;一个正n 边形共有n 条对称轴,每条对称轴都通过正n 边形的中心;2、正多边形的中心对称性：边数为偶数的正多边形是中心对称图形,它的对称中心是正多边形的中心;3、正多边形的画法：先用量角器或尺规等分圆,再做正多边形; 十八、弧长和扇形面积1、弧长公式：n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式为180rn l π= 2、扇形面积公式：lR R n S 213602==π扇其中n 是扇形的圆心角度数,R 是扇形的半径,l 是扇形的弧长;3、圆锥的侧面积：rl r l S ππ=•=221其中l 是圆锥的母线长,r 是圆锥的地面半径;4、弦切角定理：弦切角：圆的切线与经过切点的弦所夹的角,叫做弦切角;弦切角定理：弦切角等于弦与切线夹的弧所对的圆周角;即：∠BAC=∠ADC5、切割线定理PA 为⊙O 切线,PBC 为⊙O 割线,则PC PB PA •=2第二十五章 概率初步一、概率1．随机事件：在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件,称为随机事件．一般的,随机事件发生的可能性是有大小的,不同的随机事件发生的可能性大小有可能不同;确定事件：事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件,事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件,必然事件和不可能事件都是确定的．事件分为确定事件和不确定事件随机事件,确定事件又分为必然事件和不可能事件,二、概率1.概率：1一般地,在大量重复实验中,如果事件A 发生的频率m ∕n 会稳定在某个常数p 附近,那么这个常数p 就叫做事件A 的概率,记为PA=p;频率接近概率2概率是频率多个的波动稳定值,是对事件发生可能性大小的量的表现;概率反映可能性大小的一般规律;3概率取值范围：0≤p≤1．4必然发生的事件的概率PA=1；不可能发生事件的概率PA=0．5事件发生的可能性越大,概率越接近与1,事件发生的可能性越小,概率越接近于0．二、求概率方法一般地,如果在一次实验中,有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等,事件A包含其中的m种结果,那么事件发生的概率为PA=m∕n ;1.列举法：一次实验中,涉及1个因素,并且可能出现的结果数目有限多个,并且它们发生的可能性都相等,把可能的结果都列出来,求PA=m∕n的方法;2.列表法：当一次实验要涉及2个因素,并且可能出现的结果数目较多,并且它们发生的可能性都相等,为不重不漏地列出所有可能的结果,采用列表法;频率等于概率1当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时,我们常用列表的方式,列出所有可能的结果,再求出概率．2列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,求出概率．3.树状法：当一次实验要涉及3个或更多的因素,列表法就不方便了,为不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用树形图法．频率等于概率树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合,依次列出,象树的枝丫形式,最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．4.游戏公平性1判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率,然后比较概率的大小,概率相等就公平,否则就不公平．三、利用频率估计概率1.利用频率估计概率频率接近概率1大量重复实验时,事件发生的频率在某个固定位置左右摆动,并且摆动的幅度越来越小,根据这个频率稳定性定理,可以用频率的集中趋势来估计概率,这个固定的近似值p就是这个事件的概率．2用频率估计概率得到的是近似值,随实验次数的增多,值越来越精确．3当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多,或各种可能结果发生的可能性不相等时,一般通过统计频率来估计概率．2.模拟实验1在一些有关抽取实物实验中通常用摸取卡片代替了实际的物品或人抽取,这样的实验称为模拟实验．2模拟实验是用卡片、小球编号等形式代替实物进行实验,或用计算机编号等进行实验,目的在于省时、省力,但能达到同样的效果．3模拟实验只能用更简便方法完成,验证实验目的,但不能改变实验目的,这部分内容根据新课标要求,只要设计出一个模拟实验即可．。
二次根式知识点总结
二次根式知识点总结王亚平1.二次根式的概念二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．2.二次根式的性质1。
非负性：是一个非负数．注意：此性质可作公式记住,后面根式运算中经常用到．2。
注意：此性质既可正用，也可反用,反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：3.注意：（1）字母不一定是正数．（2)能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．3.最简二次根式和同类二次根式1、最简二次根式:（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式;分母中不含根号．2、同类二次根式（可合并根式)：几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式4.二次根式计算—-分母有理化1．分母有理化定义：把分母中的根号化去,叫做分母有理化. 2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用来确定,如:与,与，与等分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定.如与,与，与分别互为有理化因式.3．分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；5.二次根式计算——二次根式的乘除1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
4．二次根式的除法法则:两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。
注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．6.二次根式计算-—二次根式的加减二次根式的被开方数相同时是可以直接合并的,如若不同，需要先把二次根式化成最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变.1、判断是否同类二次根式时，一定要先化成最简二次根式后再判断。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二次根式一、本节学习指导学习二次根式时，我们把平方根的知识顺带巩固一下。
这就是系统性学习，这样学习的好处是把零碎的知识可以系统起来。
本节中我们要对二次根式有意义的条件要掌握。
二、知识要点1、二次根式的概念：形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式。
注意：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a ≥0是a 为二次根式的前提条件，如5，21x +，等是二次根式，而5-，2x -等都不是二次根式。
2、取值范围（1）、二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时，a 有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
（2）、二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a ﹤0时，a 没有意义。
3、二次根式a （a ≥0）的非负性a （a ≥0）表示a 的算术平方根，也就是说，a （a ≥0）是一个非负数，即a0（a≥0）。
注意：a （a ≥0）表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（a ≥0）的算术平方根是非负数，即2a （a ≥0），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用0a b =，则a=0,b=020a b =，则a=0,b=020a b =，则a=0,b=0。
4、二次根式2a 的性质：2()a a =（a ≥0）描述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注意：二次根式的性质公式2()a a =（a ≥0）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若a ≥0，则2()a a =，如：22(2)=，211()22=。
5、二次根式的性质2(0)(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩ 描述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注意：（1）、化简2a 时，一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数，若是正数或0，则等于a 本身，即2(0)a a a a ==≥；若a 是负数，则等于a 的相反数-a,即2 1.4143 1.7325 2.236 7 2.646≈≈≈≈； ； ；；2、2a 中的a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，2a 一定有意义；3、化简2a 时，先将它化成a ，再根据绝对值的意义来进行化简。
6、2()a 与2a 的异同点1、不同点：2()a 与2a 表示的意义是不同的，2()a 表示一个正数a 的算术平方根的平方，而2a 表示一个实数a 的平方的算术平方根；在2()a 中2a a 可以是正实数，0，负实数。
但2)a 2a 2)0a ≥20a 。
因而它的运算的结果是有差别的，2()a a =（a ≥0） 2(0)(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩2、相同点：当被开方数都是非负数，即a ≥0时，2()a 2a a ＜0时，2)a 无意义，2a a =-。
7、二次根式的运算（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．ab a b =；b ba a=a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．三、经验之谈：特别要注意这个式子：2(0)(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩，这个运算过程是区别于2)a 的依据。
a b ab =法，如果不是同类项的话是不能合并的，比如：2822232==25目前我们只能估算，或是就保持最简因式。
本节中还要记住一些常见根式的约等数，常见的有2 1.4143 1.7325 2.236 7 2.646≈≈≈≈； ； ；一元二次方程解法一、本节学习指导一元二次方程的概念比较少，但遇到题目的时候还挺考验经验积累的。
所以本节我们要多做练习，多思考，多积累。
在中考中这部分知识会和函数等结合，到时候涉及综合知识就比较多，希望同学们能掌握好本节的解题方法。
二、知识要点1、 降次—直接开平方法（将被开放式看作一个整体）212:(21)521=5515151x x x x x +=+±-=---==例解：2、 配方法步骤：（1）二次项系数化为1（2）在方程左边同时加上并减去一次项系数一半的平方（3）化简整理，再用直接开平方法解方程2222212:6160:633160(3)2535532,8x x x x x x x x x +-=++--=+=+=±=±-==-例解3、公式法21,2(4)2b x b ac a -±∆=∆=-2212:210:2,1,1418919132411,2x x a b c b ac b x a x x --===-=-∆=-=+=-∆±±=====-例解4、 因式分解法方法：将式子左边进行因式分解，右边为0212:21010:2(10)(10)0(10)(21)010*******,2x x x x x x x x x x x x -=----=--=-=-===例解或5、十字相乘法（特殊的因式分解）方法：形如2()0x m n x mn +++=的式子，可化为()()0x m x n ++=212:560(1)(6)010601,6x x x x x x x x +-=-+=-=+===-例解:或三、经验之谈：有一点我要提醒一下大家，解数学题时很多同学总是想着找简单的方法，浪费了很多时间在“想”上面，就像本节的求根公式很多同学都不愿意实用，因为计算起来实在太麻烦。
其实很多“老式”解题步骤的确很繁琐眞就管用。
有句话说：“笨鸟先飞嘛”！图形的旋转一、本节学习指导本节我们重点了解旋转、平移性质，除外还有一个重点是点的对称变换。
本节有配套免费学习视频。
二、知识要点1、旋转：将一个图形绕着某点O 转动一个角度的变换叫做旋转。
其中，O 叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。
2、旋转性质① 旋转后的图形与原图形全等②对应线段与O形成的角叫做旋转角③各旋转角都相等3、平移：将一个图形沿着某条直线方向平移一定的距离的变换叫做平移。
其中，该直线的方向叫做平移方向，该距离叫做平移距离。
4、平移性质①平移后的图形与原图形全等②两个图形的对应边连线的线段平行相等（等于平行距离）③各组对应线段平行且相等5、中心对称与中心对称图形①中心对称：若一个图形绕着某个点O旋转180°，能够与另一个图形完全重合，则这两个图形关于这个点对称或中心对称。
其中，点O叫做对称中心、两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。
②中心对称图形：若一个图形绕着某个点O旋转180°，能够与原来的图形完全重合，则这个图形叫做中心对称图形。
其中，这个点叫做该图形的对称中心。
6、轴对称与轴对称图形(1)、轴对称：若两个图形沿着某条轴对折，能够完全重合，则这两个图形关于这条轴对称或它们成轴对称。
其中，这条轴叫做对称轴。
注：轴对称的性质：①两个图形全等；②对应点连线被对称轴垂直平分（2）轴对称图形：若一个图形沿着某条轴对折，能够完全重合，则这个图形叫做轴对称图形。
7、点的对称变换（1）、关于原点对称的点的特征两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P＇（-x，-y）（2）、关于x轴对称的点的特征两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x 轴的对称点为P＇（x，-y）（3）、关于y轴对称的点的特征rd dCBAO 两个点关于y 轴对称时，它们的坐标中，y 相等，x 的符号相反，即点P （x ，y ）关于y 轴的对称点为P ＇（-x ，y ） （４）、关于直线y ＝x 对称两个点关于直线y ＝x 对称时，横坐标与纵坐标与之前对换，即：P （x ，y ）关于直线 y ＝x 的对称点为P ＇（y ，x ）（5）、两个点关于直线y ＝-x 对称时，横坐标与纵坐标与之前完全相反，即：P （x ，y ）关于直线y ＝x 的对称点为P ＇（-y ，-x ）注：y ＝x 的直线是过一三象限的角平分线，y ＝-x 的直线是过二四象限的角平分线。
三、经验之谈：本节中点的对称变换考得相对较多，如果在大脑中百思不得其解的话，我们可以动手作图出来观察。
圆知识点总结圆与三角形、四边形一样都是研究相关图形中的线、角、周长、面积等知识。
包括性质定理与判定定理及公式。
一 集合：圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 二 轨迹：1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆；2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线；3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于 定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都 相等的一条直线 三 位置关系：1点与圆的位置关系:点在圆内 d<r 点C 在圆内 点在圆上 d=r 点B 在圆上点在此圆外 d>r 点A 在圆外2 直线与圆的位置关系:直线与圆相离 d>r 无交点直线与圆相切 d=r 有一个交点d rd=rr drRdrRd图3rR d图4rRd 图5r Rd ODA B O E D CFE DCB A OC A OD CA O 有两个交点3 圆与圆的位置关系:外离（图1） 无交点 d>R+r 外切（图2） 有一个交点 d=R+r 相交（图3） 有两个交点 R-r<d<R+r 内切（图4） 有一个交点 d=R-r 内含（图5） 无交点 d<R-r四 垂径定理: 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中 2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④ ⑤推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。