九年级上册数学《二次根式》知识点整理

二次根式

一、本节学习指导

学习二次根式时，我们把平方根的知识顺带巩固一下。这就是系统性学习，这样学习的好处是把零碎的知识可以系统起来。本节中我们要对二次根式有意义的条件要掌握。

二、知识要点

1、二次根式的概念：形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式。

注意：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a ≥0是a 为二次根式的前提条件，如5，21x +，等是二次根式，而5-，2x -等都不是二次根式。 2、取值范围

（1）、二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时，a 有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

（2）、二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a ﹤0时，a 没有意义。 3、二次根式a （a ≥0）的非负性

a （a ≥0）表示a 的算术平方根，也就是说，a （a ≥0）是一个非负数，即a

0（a

≥0）。

注意：a （a ≥0）表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的

算术平方根是0，所以非负数（a ≥0）的算术平方根是非负数，即2

a （a ≥0），这个性

质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用0a b =，则a=0,b=020a b =，则a=0,b=02

0a b =，则a=0,b=0。

4、二次根式2

a 的性质：2()a a =（a ≥0）

描述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注意：二次根式的性质公式2

()a a =（a ≥0）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公

式也可以反过来应用：若a ≥0，则2()a a =，如：2

2(2)=，

211

()22

=。 5、二次根式的性质

2(0)

(0)

a a a a a a ≥⎧==⎨

-<⎩ 描述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注意：

（1）、化简2a 时，一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数，若是正数或0，则等于a 本身，即

2(0)a a a a ==≥；若a 是负数，则等于a 的相反数-a,即

2 1.414

3 1.7325 2.236 7 2.646≈≈≈≈； ； ；；

2、2a 中的a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，2a 一定有意义；

3、化简2a 时，先将它化成a ，再根据绝对值的意义来进行化简。

6、2

()a 与2a 的异同点

1、不同点：2()a 与2a 表示的意义是不同的，2

()a 表示一个正数a 的算术平方根的平方，而2a 表示一个实数a 的平方的算术平方根；在2

()a 中

2a a 可以是

正实数，0，负实数。但2)a 2a 2

)0a ≥20a 。因而它的运

算的结果是有差别的，2

()a a =（a ≥0） 2

(0)

(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩

2、相同点：当被开方数都是非负数，即a ≥0时，2()a 2a a ＜0时，2

)a 无意义，

2a a =-。 7、二次根式的运算

（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．

（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．

ab a b =；b b

a a

=

a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．

三、经验之谈：

特别要注意这个式子：2(0)(0)

a a a a a a ≥⎧==⎨

-<⎩，这个运算过程是区别于2

)a 的依据。

a b ab =法，如果不是同类项的话是不能合并的，比如：2822232==25

目前我们只能估算，或是就保持最简因式。

本节中还要记住一些常见根式的约等数，常见的有

2 1.414

3 1.7325 2.236 7 2.646≈≈≈≈； ； ；一元二次方程解法

一、本节学习指导

一元二次方程的概念比较少，但遇到题目的时候还挺考验经验积累的。所以本节我们要多做练习，多思考，多积累。在中考中这部分知识会和函数等结合，到时候涉及综合知识就比较多，希望同学们能掌握好本节的解题方法。

二、知识要点

1、 降次—直接开平方法（将被开放式看作一个整体）

212:(21)521=551

5151x x x x x +=+±-=

---==

例解：

2、 配方法

步骤：（1）二次项系数化为1

（2）在方程左边同时加上并减去一次项系数一半的平方

（3）化简整理，再用直接开平方法解方程

2222212:6160:633160(3)2535532,8

x x x x x x x x x +-=++--=+=+=±=±-==-例解

3、公式法

21,2(4)2b x b ac a -±∆

=

∆=-

2212:210:2,1,141891913

24

1

1,2x x a b c b ac b x a x x --===-=-∆=-=+=-∆±±=

====-

例解

4、 因式分解法

方法：将式子左边进行因式分解，右边为0