实验十二 探究单摆周期与摆长的关系
实验 探究单摆周期与摆长的关系
(3)如图丙所示的振动图象真实地描述了对摆长为1 m 的单摆进行周期
测量的四种操作过程,图中横坐标原点表示计时开始,A,B,C均为30次全
振动的图象,已知sin 5°=0.087,sin 15°=0.26,这四种操作过程合乎
实验要求且误差最小的是
(填字母代号)。
(填
字母代号)。
A.保证摆动过程中摆长不变
B.可使周期测量得更加准确
C.需要改变摆长时便于调节
ห้องสมุดไป่ตู้
D.保证摆球在同一竖直平面内摆动
解析:(1)在摆线上端的悬点处,用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线,再用 铁架台的铁夹将橡皮夹紧,是为了防止摆动过程中摆长发生变化;如果 需要改变摆长来探究摆长与周期关系时,方便调节摆长,故A,C正确。 答案:(1)AC
(1)用游标卡尺测量小钢球直径,示数如图乙所示,读数为
mm。
解析:(1)根据游标卡尺读数规则,游标卡尺的读数18 mm+0.1×6 mm= 18.6 mm。 答案:(1)18.6
(2)以下是实验过程中的一些做法,其中正确的有
。
A.摆线要选择细些的,伸缩性小些的,并且尽可能长一些
B.摆球尽量选择质量大些、体积小些的
(2)要测多次全振动的时间来计算周期,如在摆球过平衡位置时,开始计时并 数零,以后摆球每过一次平衡位置数一个数,最后总计时为 t,总数为 n,则周
期 T= t = 2t 。 nn 2
●误差分析
偶然误差
产生原因 周期的测量
系统误差
悬点是否固定；摆球 及线的选择是否符合 要求；摆动过程中是 否形成了圆锥摆
解析:(2)摆线要选择细些的,可减小阻力,伸缩性小些的,保证摆长不变,并 且尽可能长一些,以方便周期的测量,选项 A 正确;摆球尽量选择质量大些、 体积小些的,可减小空气阻力的影响,选项 B 正确;为了使摆的周期大一些,以 方便测量,可增大摆长,使摆线相距平衡位置有较大的角度,可能导致误差增 大,选项 C 错误;拉开摆球,使摆线偏离平衡位置小于等于 5°,在摆球通过平
单摆周期与摆长关系
单摆周期与摆长关系引言单摆是物理学中研究振动现象的经典模型之一。
它由一个悬挂在固定点上的质点构成，通过一个轻细的绳或杆连接。
当质点被扰动并释放时，它会围绕固定点做周期性振动。
本文将探讨单摆周期与摆长之间的关系，并通过理论分析和实验验证来证明摆长对周期的影响。
理论分析首先，我们需要了解单摆的运动方程。
对于小摆角的情况，摆动的运动近似为简谐振动。
根据简谐振动的运动方程，可以推导出单摆的摆动周期与摆长之间的关系。
考虑到单摆的悬挂线长为L，质点的质量为m，摆动时与竖直方向夹角为θ。
由达西定律推导出来的单摆运动方程如下：\[ mL\frac{d2\theta}{dt2} = -mg\sin\theta \]其中，t为时间，g为重力加速度。
由于摆动的幅度较小，可以对上式进行近似处理。
使用小角度近似，即\(\sin\theta \approx \theta\)，得到以下简化的运动方程：\[ \frac{d2\theta}{dt2} = -\frac{g}{L} \theta \]这是一个简谐振动的运动方程，其解为：\[ \theta(t) = A \cos(\omega t + \phi) \]其中，A为振幅，\(\omega\)为角频率，\(\phi\)为相位。
摆动的周期T可以定义为完成一次完整振动所需要的时间。
在单摆运动中，振动周期T与角频率\(\omega\)的关系为：\[ T = \frac{2\pi}{\omega} \]将简谐振动的解带入上式，得到：\[ T = \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{g}{L}}} \]可以看出，单摆的周期T与摆长L之间存在平方根关系。
实验验证为了验证理论推导的结果，我们设计了一个实验来测量单摆周期与摆长之间的关系。
实验装置包括一个可调节长度的摆线和一个质量较小的金属球。
我们先固定摆线的长度，然后将金属球拉到一侧并释放。
通过计时器记录金属球来回摆动的时间，即得到振动周期。
探究单摆与摆长的关系
探究单摆周期与摆长关系
5.【数据处理】 1.结论：
单摆周期随摆长增大而增大。
探究单摆周期与摆长关系 5.【数据处理】
(2)建立直角坐标系，纵坐标表示周期T，横坐标
3 表示摆长L(或L2、 L 、 L 等)，作出图象。如果图象是一Fra bibliotek过原点的倾斜直线，
、 T∝ 3 L 等)。 说明T∝L(或T∝L2、T∝ L
实验：探究单摆周期与摆长的关系
1.单摆的构成（理想化模型）： （1）可以忽略质量、忽略伸缩的细线； （2）质量大，体积小的钢球。 通常实验中，球直径比线长短的多。
2.单摆的回复力
（1）回复力的提供： 摆球重力沿 切线 方向的分力。 （2）运动性质： 偏角很小（小于5°）时， 单摆看做简谐运动。
探究单摆周期与摆长关系
16.5 32.2 16.5
1.8
1.8 1.4 1.4
练习：(1)用单摆测定重力加速度的实验中，有如 下器材供选用，请把应选用的器材填在横线上 __________________(填字母)。
A．1m长的粗绳 B．1m长的细线
C．半径为1cm的小木球 D．半径为1cm的小铅球
B、D、F、G、I
E．时钟 F．秒表 G．最小刻度为mm米尺 H. 最小刻度为cm米尺 I．铁架台 J．附砝码的天平
如图为半径很大的光滑凹形槽，将有一小球 从A点由静止释放。小球将做什么运动？
求运动的周期？
L
O
A
细线穿过小球，然后打一个比小孔稍大一些的线结。
把线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在
实验桌边，使铁夹伸到桌面之外，让摆球自由下垂， 在单摆平衡位置处做上标记，如图。
【注意事项】 单摆摆线的上端应夹紧，不能卷在铁夹的
实验：探究单摆的摆长和周期的关系-(2)
实验十四探究单摆的摆长与周期的关系1.实验原理当偏角很小时,单摆做简谐运动,其运动周期为T＝2π错误!,它与偏角的大小与摆球的质量无关,由此得到g＝错误!.因此,只要测出摆长l和振动周期T,就可以求出当地的重力加速度g的值.2.实验器材带有铁夹的铁架台、中心有小孔的金属小球、不易伸长的细线<约1 m>、秒表、毫米刻度尺和游标卡尺.3.实验步骤<1>让细线的一端穿过金属小球的小孔,然后打一个比小孔大一些的线结,做成单摆.<2>把细线的上端用铁夹固定在铁架台上,把铁架台放在实验桌边,使铁夹伸到桌面以外,让摆球自然下垂,在单摆平衡位置处做上标记,如图1所示.图1<3>用毫米刻度尺量出摆线长度l′,用游标卡尺测出摆球的直径,即得出金属小球半径r,计算出摆长l＝l′＋r.<4>把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度<不超过5°>,然后放开金属小球,让金属小球摆动,待摆动平稳后测出单摆完成30～50次全振动所用的时间t,计算出金属小球完成一次全振动所用时间,这个时间就是单摆的振动周期,即T＝错误!<N为全振动的次数>,反复测3次,再算出周期的平均值错误!＝错误!.<5>根据单摆周期公式T＝2π错误!,计算当地的重力加速度g＝错误!.<6>改变摆长,重做几次实验,计算出每次实验的重力加速度值,求出它们的平均值,该平均值即为当地的重力加速度值.<7>将测得的重力加速度值与当地的重力加速度值相比较,分析产生误差的可能原因.1.注意事项<1>构成单摆的条件：细线的质量要小、弹性要小,选用体积小、密度大的小球,摆角不超过5°.<2>要使摆球在同一竖直面内摆动,不能形成圆锥摆,方法是将摆球拉到一定位置后由静止释放.<3>测周期的方法：①要从摆球过平衡位置时开始计时.因为此处速度大、计时误差小,而最高点速度小、计时误差大.②要测多次全振动的时间来计算周期.如在摆球过平衡位置时开始计时,且在数"零"的同时按下秒表,以后每当摆球从同一方向通过平衡位置时计数1次.<4>本实验可以采用图象法来处理数据.即用纵轴表示摆长l,用横轴表示T2,将实验所得数据在坐标平面上标出,应该得到一条倾斜直线,直线的斜率k＝错误!.这是在众多的实验中经常采用的科学处理数据的重要方法.2.数据处理处理数据有两种方法：<1>公式法：测出30次或50次全振动的时间t,利用T＝错误!求出周期；不改变摆长,反复测量三次,算出三次测得的周期的平均值错误!,然后利用公式g＝错误!求重力加速度.<2>图象法：由单摆周期公式不难推出：l＝错误!T2,因此,分别测出一系列摆长l对应的周期T,作l－T2的图象,图象应是一条通过原点的直线,如图2所示,求出图线的斜率k＝错误!,即可利用g＝4π2k求重力加速度.图23.误差分析<1>系统误差的主要来源：悬点不固定,球、线不符合要求,振动是圆锥摆而不是在同一竖直平面内的振动等.<2>偶然误差主要来自时间的测量,因此,要从摆球通过平衡位置时开始计时,不能多计或漏计全振动次数.命题点一教材原型实验例1某同学用实验的方法探究影响单摆周期的因素.<1>他组装单摆时,在摆线上端的悬点处,用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线,再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧,如图3所示,这样做的目的是________<填字母代号>.图3A.保证摆动过程中摆长不变B.可使周期测量更加准确C.需要改变摆长时便于调节D.保证摆球在同一竖直平面内摆动<2>他组装好单摆后在摆球自然悬垂的情况下,用毫米刻度尺从悬点量到摆球的最低端的长度L＝0.999 0 m,再用游标卡尺测量摆球直径,结果如图4所示,则该摆球的直径为________ mm,单摆摆长为________ m.图4<3>下列振动图象真实地描述了对摆长约为1 m的单摆进行周期测量的四种操作过程.图中横坐标原点表示计时开始,A、B、C均为30次全振动的图象,已知sin 5°＝0.087,sin 15°＝0.26,这四种操作过程合乎实验要求且误差最小的是________<填字母代号>.答案<1>AC<2>12.00.993 0<3>A解析<1>橡皮的作用是使摆线摆动过程中悬点位置不变,从而保证摆长不变,同时又便于调节摆长,A、C正确；<2>根据游标卡尺读数规则可得摆球直径为d＝12 mm＋0.1 mm×0＝12.0 mm,则单摆摆长为L0＝L－错误!＝0.993 0 m<注意统一单位>；<3>单摆摆角不超过5°,且计时位置应从最低点<即速度最大位置>开始,故A项的操作符合要求.变式1某同学用单摆测当地的重力加速度.他测出了摆线长度L和摆动周期T,如图5<a>所示.通过改变悬线长度L,测出对应的摆动周期T,获得多组T与L,再以T2为纵轴、L为横轴画出函数关系图象如图<b>所示.由图象可知,摆球的半径r＝________ m,当地重力加速度g＝________ m/s2；由此种方法得到的重力加速度值与实际的重力加速度值相比会________<选填"偏大""偏小"或"一样">图5答案1.0×10－29.86一样命题点二实验拓展与创新例2<2015·##理综·9<2>>某同学利用单摆测量重力加速度.<1>为了使测量误差尽量小,下列说法正确的是________.A.组装单摆须选用密度和直径都较小的摆球B.组装单摆须选用轻且不易伸长的细线C.实验时须使摆球在同一竖直面内摆动D.摆长一定的情况下,摆的振幅尽量大<2>如图6所示,在物理支架的竖直立柱上固定有摆长约1 m的单摆.实验时,由于仅有量程为20 cm、精度为1 mm的钢板刻度尺,于是他先使摆球自然下垂,在竖直立柱上与摆球最下端处于同一水平面的位置做一标记点,测出单摆的周期T1；然后保持悬点位置不变,设法将摆长缩短一些,再次使摆球自然下垂,用同样方法在竖直立柱上做另一标记点,并测出单摆的周期T2；最后用钢板刻度尺量出竖直立柱上两标记点之间的距离ΔL.用上述测量结果,写出重力加速度的表达式g＝________.图6答案<1>BC<2>错误!解析<1>在利用单摆测重力加速度实验中,为了使测量误差尽量小,须选用密度大、半径小的摆球和不易伸长的细线,摆球须在同一竖直面内摆动,摆长一定时,振幅尽量小些,以使其满足简谐运动条件,故选B、C.<2>设第一次摆长为L,第二次摆长为L－ΔL,则T1＝2π错误!,T2＝2π错误!,联立解得g＝错误!.变式2为了研究滑块的运动,选用滑块、钩码、纸带、毫米刻度尺、带滑轮的木板以与由漏斗和细线构成的单摆等组成如图7甲所示装置,实验中,滑块在钩码作用下拖动纸带做匀加速直线运动,同时让单摆垂直于纸带运动方向做小摆幅摆动,漏斗可以漏出很细的有色液体,在纸带上留下的痕迹记录了漏斗在不同时刻的位置,如图乙所示.图7<1>漏斗和细线构成的单摆在该实验中所起的作用与下列哪个仪器相同？________<填写仪器序号>.A.打点计时器B.秒表C.毫米刻度尺D.电流表<2>已知单摆周期T＝2 s,在图乙中AB＝24.10 cm,BC＝27.90 cm、CD＝31.90 cm、DE＝36.10 cm,则单摆在经过D点时,滑块的瞬时速度为v D＝________ m/s,滑块的加速度为a＝________ m/s2<结果保留两位有效数字>.答案<1>A<2>0.340.040解析<1>单摆振动具有周期性,摆球每隔半个周期经过纸带中线一次,单摆在该实验中所起的作用与打点计时器相同,故选A.<2>在匀变速直线运动中,中间时刻的瞬时速度大小等于该过程中的平均速度大小,故有v D＝错误!＝0.34 m/s据匀变速直线运动的推论Δx＝aT2,有：a＝错误!＝0.040 m/s2。
实验 探究单摆的周期与摆长的关系
第十二章实验十二1.某同学做“探究单摆的周期与摆长的关系”的实验时，测得的重力加速度数值明显大于当地的重力加速度的实际值．造成这一情况的可能原因是()A. 测量摆长时，把悬挂状态的摆线长当成摆长B. 测量周期时，当摆球通过平衡位置时启动秒表，此后摆球第30次通过平衡位置时制动秒表，读出经历的时间为t，并由计算式T＝t30求得周期C. 开始摆动时振幅过小D. 所用摆球的质量过大解析：由T＝2π lg得g＝4π2lT2，造成g偏大的原因一是l偏大，二是T偏小，因此A错B对．振幅过小和摆球质量过大对实验结果没有影响．答案：B2．在做“用单摆测定重力加速度”的实验中，有人提出以下几点建议，其中对提高测量结果精度有利的是()A．适当加长摆线B．质量相同、体积不同的摆球，应选用体积较大的C．单摆偏离平衡位置的角度不能太大D．当单摆经过平衡位置时开始计时，经过一次全振动后停止计时，用此时间间隔作为单摆振动的周期解析：单摆实验的精确度取决于实验装置的理想化程度及相关物理量的测量精度．适当加长摆线长度有利于把摆球看成质点，在摆角小于10°的条件下，摆球的空间位置变化较大，便于观察，选项A对．摆球体积越大，所受空气阻力越大，对质量相同的摆球其影响越大，选项B错．只有在小角度的情形下，单摆的周期才满足T＝2πlg，选项C对．本实验采用累积法测量周期，若仅测量一次全振动，由于球过平衡位置时速度较大，难以准确记录，且一次全振动的时间太短，偶然误差较大，选项D错．答案：AC3．如图所示，甲、乙、丙、丁四个单摆的摆长均为l，四个小球质量均为m，单摆甲放在空气中，周期为T甲；单摆乙放在以加速度a向下加速运动的电梯中，周期为T乙；单摆丙带正电，放在匀强磁场B中，周期为T丙；单摆丁带正电，放在匀强电场E中，周期为T 丁；分别求出它们的周期．则下列说法正确的是()A ．T 甲>T 乙>T 丙>T 丁B ．T 甲＝T 丙>T 乙>T 丁C ．T 乙>T 甲＝T 丙>T 丁D ．T 丁>T 乙>T 甲＝T 丙解析：由题意知T 甲＝2πl g ；乙处在加速下降的电梯中，T 乙＝2πl g －a；丙处在匀强磁场中，所受洛伦兹力始终沿绳方向，对单摆周期无影响，T 丙＝2πl g ；丁处在电场中，等效重力加速度g ′＝g ＋qE m，所以T 丁＝2πl g ′.综上所述有T 乙>T 甲＝T 丙>T 丁． 答案：C 4．某同学在“用单摆测定重力加速度”的实验中，先测得摆线长为97.50 cm ，摆球直径为2.00 cm ，然后用秒表记录了单摆振动50次所用的时间如图所示．则：(1)该摆摆长为________cm ，秒表的示数为________；(2)如果他测得的g 值偏小，可能的原因是( )A ．测摆线长时摆线拉得过紧B ．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了C ．开始计时时，秒表过迟按下D ．实验中误将49次全振动数为50次解析：(1)由摆长公式l ＝l ′＋d /2，知l ＝98.50 cm ＝0.9850 m ，由秒表的读数方法，可求得单摆振动50次所用的时间t ＝短针读数(t 1)＋长针读数(t 2)＝3×30 s ＋9.8 s ＝99.8 s ，同时可求得周期T .(2)通过g ＝4π2l T2，可知g 偏小的可能原因有二：一是摆长l 的测量值偏小，即测量值小于实际值，可知A 错，B 正确；二是周期T 的测量值偏大，如开始计时时，过早按下秒表；停止计时时，过迟按下秒表；误把n ＋1次全振动数为n 次等等．由此可知C 、D 选项皆错，故正确答案为B.答案：(1)98.5 99.8 s (2)B5．某同学想在家里做用单摆测定重力加速度的实验，但没有合适的摆球，他只好找到一块大小为3 cm 左右，外形不规则的大理石块代替小球．实验步骤是A ．石块用细尼龙线系好，结点为M ，将尼龙线的上端固定于O 点B ．用刻度尺测量OM 间尼龙线的长度L 作为摆长C ．将石块拉开一个大约α＝30°的角度，然后由静止释放D ．从摆球摆到最高点时开始计时，测出30次全振动的总时间t ，由T ＝t /30得出周期E ．改变OM 间尼龙线的长度，再做几次实验，记下相应的L 和TF ．求出多次实验中测得的L 和T 的平均值作计算时使用的数据，带入公式g ＝(2πT)2L 求出重力加速度g .(1)你认为该同学在以上实验步骤中有重大错误的是哪些步骤？为什么？(2)该同学用OM 的长作为摆长，这样做引起的系统误差将使重力加速度的测量值比真实值偏大还是偏小？你认为用何方法可以解决摆长无法准确测量的困难？解析：(1)实验步骤中有重大错误的是：B ：大理石重心到悬挂点间的距离才是摆长C ：最大偏角不能超过10°D ：应在摆球经过平衡位置时计时F ：应该用各组的L 、T 求出各组的g 后，再取平均值．(2)用OM 作为摆长，则忽略了大理石块的大小，没有考虑从结点M 到石块重心的距离，故摆长L 偏小．根据T ＝2πL g ，g ＝4π2L T 2.故测量值比真实值偏小．可以用改变摆长的方法．如T ＝2πL g ，T ′＝2πL ＋Δl g ，测出Δl .则g ＝4π2Δl T ′2－T 2. 6．将一单摆装置竖直挂于某一深度h (未知)且开口向下的小筒中(单摆的下部分露于筒外)，如图甲所示，将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆振动过程中悬线不会碰到筒壁，测量出筒的下端口到摆球球心的距离l ，并通过改变l 而测出对应的周期T ，再以T 2为纵轴、l 为横轴作出函数关系图象，那么就可以通过此图象得出小筒的深度h 和当地的重力加速度．(取π2＝9.86)(1)如果实验中所得到的T 2－l 关系图象如图乙所示，那么正确的图象应是a 、b 、c 中的________．(2)由图象可知，小筒的深度h ＝________m ，当地的重力加速度g ＝________m/s 2. 解析：(1)由单摆周期公式T ＝2πL g 可得T 2＝4π2g L ，而L ＝l ＋h ，所以T 2＝4π2g(l ＋h )，即T 2＝4π2g l ＋4π2g h ，正确图象应是a . (2)由图象知4π2h g ＝1.20，4π2g ＝1.200.3，得g ＝π2＝9.86 m/s 2，h ＝0.30 m. 答案：(1)a (2)0.30 9.867．[2012·重庆模拟]在“用单摆测定重力加速度”的实验中，为防止摆球在摆动过程中形成“圆锥摆”，实验中采用了如图甲所示的双线摆．测出摆线长度为L ，线与水平横杆夹角为θ，摆球半径为r .若测出摆动的周期为T ，则此地重力加速度为________；某同学用10分度的游标卡尺测量摆球的直径时，主尺和游标如图乙所示，则摆球的半径r 为________mm.解析：单摆的摆长为l ＝L sin θ＋r ，由周期公式T ＝2πl g，此地的重力加速度为g ＝4π2(L sin θ＋r )T 2.由图知摆球的半径r ＝12×16.0 mm ＝8.0 mm. 8. 在“探究单摆周期与摆长的关系”实验中，若摆球在垂直纸面的平面内摆动，为了将人工记录振动次数改为自动记录振动次数，在摆球运动最低点的左、右两侧分别放置一激光光源与光敏电阻，如右图所示．光敏电阻与某一自动记录仪相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R 随时间t 变化图线如下图所示，则该单摆的振动周期为________．若保持悬点到小球顶点的绳长不变，改用直径是原小球直径2倍的另一小球进行实验，则该单摆的周期将________(填“变大”、“不变”或“变小”)，图乙中的Δt将________(填“变大”、“不变”或“变小”)．解析：小球摆动到最低点时，挡光使得光敏电阻阻值增大，从t1时刻开始，再经两次挡光完成一个周期，故T＝2t0；摆长为摆线加小球半径，当小球直径变大，则摆长增加，由周期公式T＝2πlg可知，周期变大；当小球直径变大，挡光时间增加，即Δt变大．答案：2t0变大变大。
单摆的周期跟摆长的关系
单摆的周期跟摆长的关系
在探究单摆的周期跟哪些因素有关的实验中，得出周期跟摆长的关系是本实验的主要任务，为了探究二者的关系，实际教学过程中可以参考如下思路进行。
一、理论指导
单摆的周期指单摆做简谐运动时，完成一次全振动的时间。
单摆的摆长指悬挂小球的细线长度跟小球半径之和。
一个单摆制作完工以后，其摆长为定值，不同摆长的单摆振动过程中，振动周期与摆长有关，在某一地点，重力加速度g一定，单摆的摆长不同，振动周期就不同。
二、实验指导
1.定性探究：由对比实验不难发现摆长L越大，周期T越大。
2.猜想：有可能T跟L成正比，也可能T2跟L成正比。
3.定量探究：先设计数据表，然后通过实验获取相关数据，最后根据表中数据作出T2--L 图象，就会发现图线是一条直线，从而验证了T2跟L成正比的猜想。
数据表如下：。
摆动周期与摆长的关系实验
摆动周期与摆长的关系实验摆动周期（或称为摆动时间）是指一个摆锤从一个极点摆动到另一个极点所需的时间。
而摆长是指摆锤的长度，通常用L表示。
摆动周期与摆长之间存在着一定的关系，通过实验可以探究这种关系。
实验装置：为了进行摆动周期与摆长的关系实验，我们需要准备以下装置和器材：1. 一个可以自由摆动的物体，如一个小球或小木块，作为摆锤。
2. 一根轻便的绳或线，用于悬挂摆锤。
3. 一个固定的支架或吊杆，以确保摆锤的运动方向。
实验步骤：1. 将绳或线固定在支架或吊杆上，确保其能够自由摆动，可以沿一个垂直线方向运动。
2. 将摆锤悬挂在绳或线的另一端，确保摆锤能够自由摆动而不受外界干扰。
3. 将摆锤拉至一较大的摆幅，然后释放，观察其摆动的过程。
4. 使用计时器或秒表，测量摆动开始到达记时点的时间，即一个完整的摆动周期的时间。
5. 重复以上步骤多次，记录每次测量得到的摆动周期和对应的摆长数值。
实验数据记录与处理：在实验过程中，每次测量得到的摆动周期和对应的摆长数值应记录在实验表中，以便后续的数据处理和分析。
为了获得更准确的结果，可以进行多次测量并取平均值。
实验结果与讨论：将实验所得数据绘制成摆长和摆动周期的图表，可以更直观地观察二者之间的关系。
根据实验结果，我们可以得出以下结论：1. 当摆长较小时，摆动周期较短；当摆长较大时，摆动周期较长。
2. 摆长和摆动周期之间存在着正比关系，即摆长越大，摆动周期越长。
结论解释：根据摆锤的运动规律和力学知识，我们可以解释这种关系。
摆锤在摆动过程中，受到万有引力和向心力的作用。
摆长的增大会导致摆锤的势能增加，引起摆锤受力的变化，从而影响摆动周期。
直观地说，摆长增大意味着摆锤离旋转轴更远，转动的路程更长，所需时间也就增加。
实验误差与改进：在实际实验中，由于摆动过程受到各种因素的影响，可能会产生一定的误差。
为了减小误差，可以采取以下改进措施：1. 保持实验环境的稳定性，避免外界风力等干扰摆动过程。
高考物理一轮复习 实验12 探究单摆周期与摆长的关系课
4．改变摆长，重复上述步骤，记录数据.
次数
物理量
1234
T/s
l/m
二、数据处理 1．公式法：将测得的几次周期 T 和摆长 l 代入公式 g＝4Tπ22l中，算出 重力加速度 g 的值，再算出 g 的平均值，即为当地的重力加速度的值．
2．图象法：由单摆的周期公式 T＝2π gl 可得 l＝4gπ2T2，因此 以摆长 l 为纵轴，以 T2 为横轴作出 l－T2 图象，是一条过原点的直 线，如图所示，求出斜率 k，即可求出 g 值，g＝4π2k，k＝ΔΔTl2.
• C．开始计时时，秒表过迟按下 • D．实验中误将49次全振动次数记为50次
(3)某同学在“用单摆测定重力加速度”的实验中，测量 5 种不 同摆长情况下单摆的振动周期，记录数据如下：
l/m 0.5 0.8 0.9 1.0 1.2 T/s 1.42 1.79 1.90 2.00 2.20 T2/s2 2.02 3.20 3.61 4.00 4.84 试以 l 为横坐标，T2 为纵坐标，作出 T2－l 图象，并利用此图象 求出重力加速度．(取 π＝3.14)
用公式 g＝ T 2 求出 g 作为测量值
C．先分别用 6 组 l、T 的对应值，用公式 g＝4Tπ22l求出 6 个对应 的 g 值，再求这 6 个 g 的平均值作为测量值
D．在坐标纸上作出 T2－l 图象，从图中计算出图线的斜率 k， 根据 g＝4kπ2求出 g 作为测量值
你认为以上 4 种方法中，错误的是___B_____(填代号即可)，其余 正确方法中，偶然误差最小的是____D____(填代号即可)．
实验操作
•重视实验操作 提高实验技巧
一、实验步骤 1．做单摆：(1)取长约 1 m 的细丝线穿过带孔的小钢球，打一个 比孔略大一些的结，做成单摆；(2)把线的上端用铁夹固定在铁架台 的支架上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球 自然下垂，在单摆平衡位置处做上标记． 2．测摆长：用毫米刻度尺量出悬线长 l′，准确到毫米，测三 次，取平均值；用游标卡尺测出摆球的直径 d，在不同位置测三次， 取平均值，摆长 l＝l′＋d2.将测量结果填入表格中．
单摆运动周期与摆长关系
单摆运动周期与摆长关系摆长是指单摆的线长，即摆锤离摆轴的距离。
在物理学中，单摆是一个重要的研究对象，它的运动周期与摆长之间存在着一定的关系。
本文将探讨单摆运动周期与摆长的关系，并从理论和实验两个方面进行讨论。
一、理论分析单摆的运动周期与摆长之间存在着一个简单的数学关系，即周期的平方与摆长成正比。
这个关系由物理学家伽利略在16世纪提出，并由后来的科学家进行了验证和推广。
假设单摆的摆长为L，重力加速度为g，摆锤的质量为m。
根据牛顿第二定律，摆锤在重力作用下受到一个向心力，大小为mg*sinθ，其中θ为摆锤与竖直方向的夹角。
根据几何关系，可以得到sinθ=L/L0，其中L0为摆锤在最低点时的线长。
根据牛顿第二定律和几何关系，可以得到摆锤的运动方程为：m*L0*d^2θ/dt^2 = -m*g*sinθ化简后得到：d^2θ/dt^2 + g/L0*sinθ = 0这是一个非线性的微分方程，很难直接求解。
但是，当θ很小的时候，可以近似地认为sinθ≈θ，即θ的弧度近似等于它的正弦值。
这个近似成立的条件是θ的弧度要远小于1弧度，即θ要远小于π/2。
在这个近似条件下，可以将微分方程简化为：d^2θ/dt^2 + g/L0*θ = 0这是一个简谐振动的微分方程，它的解可以表示为：θ(t) = A*sin(ωt + φ)其中A为振幅，ω为角频率，φ为初相位。
通过对微分方程的求解，可以得到角频率ω的表达式：ω = √(g/L0)根据周期的定义，周期T等于振动一周所需的时间，即T = 2π/ω。
代入角频率的表达式，可以得到周期与摆长的关系：T = 2π*√(L0/g)由此可见，单摆的运动周期与摆长的平方根成正比。
二、实验验证为了验证理论分析的结果，可以进行实验来测量单摆的运动周期与摆长的关系。
实验的步骤如下：1. 准备一个单摆装置，包括一个摆轴和一个可调节摆长的摆锤。
2. 将摆锤拉至一定角度，然后释放，观察摆锤的运动。
第十三章 实验：探究单摆周期与摆长的关系
03
考点二 拓展创新实验
例2 (2020·山东菏泽市调研)在探究单摆运动的实验中： (1)图6(a)是用力传感器对单摆振动过程进行测量的装置图，图(b)是与力 传感器连接的计算机屏幕所显示的F-t图象，根据图(b)的信息可得，从t ＝0时刻开始摆球第一次摆到最低点的时刻为_0_.5_s，摆长为_0_._6_4_m(取π2 ＝10，重力加速度大小g＝10 m/s2).
加速度
解析 测得摆长应为l＋d2，选项B错误； 若让小球在水平面内做圆周运动，则为圆锥摆运动，测得的摆动周期不 是单摆运动周期，选项D错误.
例3 在“探究单摆周期与摆长的关系”的实验中，摆球在垂直纸面的 平面内摆动.如图7甲所示，在摆球运动最低点的左、右两侧分别放置一 激光光源与光敏电阻.光敏电阻(光照时电阻比较小)与某一自动记录仪相 连，该仪器显示的光敏电阻阻值R随时间t的变化图线如图乙所示，则该 单摆的振动周期为_2_t_0_.若保持悬点到小球顶点的绳长不变，改用直径是 原小球直径2倍的另一小球进行实验，则该单摆的周期将_变__大__(填“变 大”“不变”或“变小”).
12
(2)实验测得的g值比实际值偏大，可能的原因是__B____. A.摆球的密度过小 B.摆球经平衡位置时启动停表并开始计数，当摆球第50次经过平衡位置
时制动停表，若读数为t，则周期为T＝4t9 C.摆线上端未固定牢，摆动过程中出现松动，使摆线增长
12
解析 根据单摆的周期公式T＝2π
gl ，可得g＝
解析 单摆振动的回复力是摆球重力在垂直摆线方向上的分力，而摆球 所受重力和摆线对摆球拉力的合力在径向上提供向心力，选项B正确.
(3)某同学的操作步骤如下，其中正确的是_A__C__. A.取一根细线，下端系住直径为d的金属小球，上端固定在铁架台上 B.用米尺量得细线长度l，测得摆长为l C.在摆线偏离竖直方向5°位置静止释放小球 D.让小球在水平面内做圆周运动，测得摆动周期，再根据公式计算重力
实验 探究单摆周期与摆长的关系
跟踪训练 1 (2011· 福建)某实验小组在利用单摆测定当地 重力加速度的实验中： (1)用游标卡尺测定摆球的直径，测量结果如图所示，则该 摆球的直径为________ cm.
(2)小组成员在实验过程中有如下说法，其中正确的是 ________．(填选项前的字母) A．把单摆从平衡位置拉开 30° 的摆角，并在释放摆球的同 时开始计时 t B．测量摆球通过最低点 100 次的时间 t，则单摆周期 100 C．用悬线的长度加摆球的直径作为摆长，代入单摆周期 公式计算得到的重力加速度值偏大 D．选择密度较小的摆球，测得的重力加速度值误差较小
3．用刻度尺量出摆线长度 l′，精确到毫米，用游标卡尺 d 测出摆球的直径 d，即得出小球的半径为 ，计算出摆长 l＝l′ 2 d ＋ . 2 4．把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度(不超过 5° )， 然后放开小球，让小球摆动，待摆动平稳后测出单摆完成 N(一 般为 30～50)次全振动所用的时间 t，计算出小球完成 1 次全振 t 动所用的时间，这个时间就是单摆的振动周期，即 T＝ (N 为 N 全振动的次数)，反复测 3 次，再算出周期 T 的平均值．
三、实验器材 铁架台、中心有小孔的金属小球、长约 1 m 的细线、秒表、 刻度尺、游标卡尺．
四、实验步骤 1．让线的一端穿过小球的小孔，然后打一个线结，做成单 摆． 2． 把线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验 桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自由下垂，在单摆平衡位 置处作上标记，如图所示．
F．时钟 G．最小刻度是厘米的直尺 H．最小刻度是毫米的直尺 所选用的器材是________． (2)实验时对摆线偏离竖直线的偏角要求是________．
答案 (1)ACEH (2)小于 10°
《单摆》第2课时探究单摆周期与摆长的关系实验
A
应以摆球经平衡位置计时开始与停止时刻 让摆球自由下垂，在平衡位置处做上标记
二、实验步骤 4 数据处理 （1）数据分析 ( 2) 画图像 5 实验结论：
单摆振动的周期公式：
荷兰物理学家惠更斯首先发现
l T 2 g
单摆做简谐运动的振动周期跟摆长的平 方根成正比，跟重力加速度的平方根成反比。
四、单摆周期公式的应用
1、惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器.
秒摆:周期为2s的单摆为秒摆。 试计算出秒摆的摆长？（g=9.8m/s2)
2、 用单摆测定重力加速度。
l T 2 g
4 L g 2 T
2
求重力加速度： 把测得的周期 和摆长的数值 代入公式，求 出重力加速度g 的值来。多次 测量求平均值：
课堂练习
3、为了提高实验精度，在试验中可改变几次摆 长L，测出相应的周期Ｔ，从而得出一组对应的L 与T的数值，再以L为横坐标Ｔ２为纵坐标，将所 得数据连成直线如下图所示，则测得的重力加速 2 9.86m/s 度g= 。
4
3 2 0 T2/s2
0.5
0.8
1.0
l/m
课 堂 练 习 小明家从广州搬到北京去,搬家时把家中的大 摆钟也带到北京去了. 问:1.这个摆钟到北京后是否还准时?
7
6
41
12 45 14 43
2分7.6秒
秒表的读数 1分51.4秒
59 0
14 13 12 11 10 9 8 7 6
31 2
1 2 3 4 5
28
57 26 55 24 53 22
0
33 4 35 6 37 8
51
20 49 18 12 41 10
39
摆钟的周期与摆长关系探究
摆钟的周期与摆长关系探究摆钟是一种古老而精确的计时装置，它的运动规律一直以来都备受人们的关注。
摆钟的周期与摆长之间存在着一定的关系，本文将探究这一关系，并对其进行分析和解释。
一、摆钟的周期和摆长摆钟的周期是指钟摆从一个极点摆动到另一个极点所需的时间。
而摆长则是指钟摆线的长度，也就是钟摆的悬线长度。
这两个参数在摆钟的运动中起着重要的作用。
二、周期和摆长的关系根据物理学原理，摆钟的周期与摆长之间存在着一个简单的关系。
这个关系可以用数学公式来表示：T = 2π√(l/g)其中，T表示周期，l表示摆长，g表示重力加速度。
从这个公式可以看出，周期和摆长呈现出平方根的关系。
三、周期和摆长的实验验证为了验证周期和摆长之间的关系，我们进行了一系列的实验。
首先，我们选择了几根不同长度的线材，用它们制作了几个钟摆。
然后，我们使用计时器来测量每个钟摆的周期。
实验结果显示，周期和摆长之间确实存在着一种关系。
当摆长增加时，周期也随之增加；而当摆长减小时，周期也相应地减小。
这与我们之前的理论预测是一致的。
四、周期和摆长的物理解释为了更好地理解周期和摆长之间的关系，我们需要从物理学的角度来解释这一现象。
摆钟的运动是受到重力和弹力的共同作用的结果。
当摆长较长时，重力对钟摆的影响较大，因此摆钟的周期较长。
而当摆长较短时，弹力对钟摆的影响较大，因此摆钟的周期较短。
这个解释可以通过数学公式来证明。
根据牛顿第二定律，可以得到摆钟的运动方程：m * a = -m * g * sinθ其中，m表示钟摆的质量，a表示加速度，g表示重力加速度，θ表示摆角。
通过对这个方程进行求解，可以得到周期和摆长之间的关系。
五、周期和摆长的应用周期和摆长之间的关系在实际生活中有着广泛的应用。
例如，在钟表制造中，根据需要调整摆长可以改变钟表的运行速度。
在天文学中，周期和摆长的关系也被用来计算天体的运动轨迹。
六、结论通过实验和理论分析，我们可以得出结论：摆钟的周期和摆长之间存在着一种简单的关系。
12.6实验十探究单摆的周期与摆长的关系
基 础 回 放
课 堂 探 究
随 堂 训 练
随堂训练·能力达标
1
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3. 几名学生进行野外考察，登上一山峰后，他们想粗略测 出山顶处的重力加速度．于是他们用细线拴好石块 P 系在树枝上做成一个简易单摆，如图 7 所示．然后用随 身携带的钢卷尺、电子手表进行了测量．同学们首先测 出摆长 L，然后将石块拉开一个小角度，由静止释放， 使石块在竖直平面内摆动，用电子手表测出单摆完成 n 次 全振动所用的时间 t.
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基础回放·要点整合
(5)根据单摆振动周期公式 T＝2π l 4π2l g计算当地重力加速度 g＝ T2 .
(6)改变摆长，重做几次实验，计算出每次实验的重力加速度值，求出它们的平均值， 该平均值即为当地的重力加速度值． (7)将测得的重力加速度值与当地重力加速度值相比较，分析产生误差的可能原因．
图6
解析 小球摆动到最低点时，挡光使得光敏电阻阻值增大，从 t1 时刻开始，再经两次 挡光完成一个周期，故 T＝2t0；摆长为摆线长加小球半径，若小球直径变大，则摆长 增加，由周期公式 T＝2π 即 Δt 变大． l g可知，周期变大；当小球直径变大时，挡光时间增加，
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解析 ③单摆振动的摆角 θ≤5° θ＝5° ，当 时单摆振动的振幅 A＝lsin 5° ＝0.087 m＝8.7 cm， 且为了计时准确，应在摆球摆至平衡位置时开始计时，故选项 A 正确，选项 B、C、D 错误．
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课堂探究·考点突破
考点二 对实验数据处理的考查
测定并验证单摆周期和摆长的关系
测定并验证单摆周期和摆长的关系一、选题背景：在我们的高一物理书中也详细介绍了单摆的原理与实验。
说到单摆，你一定会联想到铁架台上挂摆球，外加秒表刻度尺，这几乎成了所有学校与学生心中单摆装置的统一模式。
但由于这套装置本身的不完善性，在实验过程中往往会造成较大的误差，并不令人信服。
为了更好地完善单摆实验，我们选择了这个实验作为研究课题。
二、选题目的通过自己搭建实验平台，利用三套不同的TI设备进行实验，更精确的进行数据采样，拟合摆长与周期关系的图样。
同时我们还就以上三套TI设备做单摆实验的优缺点进行综合评价，为TI设备在不久的将来将走进物理实验课做好铺垫。
三、选用仪器TI-83Plus、CBL-2、光电门、自制平台由于一般的铁架台过于笨重，且不可收缩，为实验带来了很大的不便，于是我们有必要自己设计制作一个便携式实验平台四、试验程序TI-83 PHYSICS五、实验方案我们的整个实验主要分为搭建平台与测量数据和汇总两大部分。
其中搭建平台是基础，而伸缩轻杆则是本次搭建平台的关键。
在我们的初步方案中，本来是用抽屉滑槽作为伸缩杆的材料，但是买不到。
我们甚至还考虑了悬挂式平台，但此计划最终还是难产。
为了解决这一难题，我们用了整整两个星期展开全面搜索，最终理想的材料找到了。
我们一共设计并制作了两套实验平台。
其中一个是由铝制拉伸式衣架改装而成，在上面安装滑轮，可以方便地调节摆线长。
另一套是我们为本次试验和身订制的。
在杆上刻有刻度，通过可移动的横杆构成X, Y轴，可以方便地读出摆长，同时通过横杆上的刻度，我们可以很方便地选择相应的摆角。
六、实验过程在整个实验中，我们运用了TI-83Plus、CBL2、光电门。
1．按下APPS键选择PHYSICS，在菜单中找到PHOTOGATE，进入，其中第三项便是有关单摆试验的程序，在进入之前，可以用CHECK GATE来检验光电门是否接触良好，按下第三项，进入试验。
2．控制好摆长，摆角，无外力释放摆球，使球心刚好从光电门的圆孔连线处穿过，待摆动稳定后，按下ENTER键，测得周期有关数据。
实验探究单摆的摆长和周期的关系
实验十四 探究单摆的摆长与周期的关系1.实验原理当偏角很小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T ＝2πlg，它与偏角的大小及摆球的质量无关，由此得到g ＝4π2lT 2.因此，只要测出摆长l 和振动周期T ，就可以求出当地的重力加速度g 的值. 2.实验器材带有铁夹的铁架台、中心有小孔的金属小球、不易伸长的细线(约1 m)、秒表、毫米刻度尺和游标卡尺. 3.实验步骤(1)让细线的一端穿过金属小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的线结，做成单摆. (2)把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处做上标记，如图1所示.图1(3)用毫米刻度尺量出摆线长度l ′，用游标卡尺测出摆球的直径，即得出金属小球半径r ，计算出摆长l ＝l ′＋r .(4)把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度(不超过5°)，然后放开金属小球，让金属小球摆动，待摆动平稳后测出单摆完成30～50次全振动所用的时间t ，计算出金属小球完成一次全振动所用时间，这个时间就是单摆的振动周期，即T ＝tN (N 为全振动的次数)，反复测3次，再算出周期的平均值T ＝T 1＋T 2＋T 33.(5)根据单摆周期公式T ＝2πl g ，计算当地的重力加速度g ＝4π2l T2. (6)改变摆长，重做几次实验，计算出每次实验的重力加速度值，求出它们的平均值，该平均值即为当地的重力加速度值.(7)将测得的重力加速度值与当地的重力加速度值相比较，分析产生误差的可能原因.1.注意事项(1)构成单摆的条件：细线的质量要小、弹性要小，选用体积小、密度大的小球，摆角不超过5°.(2)要使摆球在同一竖直面内摆动，不能形成圆锥摆，方法是将摆球拉到一定位置后由静止释放.(3)测周期的方法：①要从摆球过平衡位置时开始计时.因为此处速度大、计时误差小，而最高点速度小、计时误差大.②要测多次全振动的时间来计算周期.如在摆球过平衡位置时开始计时，且在数“零”的同时按下秒表，以后每当摆球从同一方向通过平衡位置时计数1次.(4)本实验可以采用图象法来处理数据.即用纵轴表示摆长l ，用横轴表示T 2，将实验所得数据在坐标平面上标出，应该得到一条倾斜直线，直线的斜率k ＝g4π2.这是在众多的实验中经常采用的科学处理数据的重要方法. 2.数据处理处理数据有两种方法：(1)公式法：测出30次或50次全振动的时间t ，利用T ＝tN 求出周期；不改变摆长，反复测量三次，算出三次测得的周期的平均值T ，然后利用公式g ＝4π2lT2求重力加速度.(2)图象法：由单摆周期公式不难推出：l ＝g4π2T 2，因此，分别测出一系列摆长l 对应的周期T ，作l －T 2的图象，图象应是一条通过原点的直线，如图2所示，求出图线的斜率k ＝ΔlΔT 2，即可利用g ＝4π2k 求重力加速度.图23.误差分析(1)系统误差的主要来源：悬点不固定，球、线不符合要求，振动是圆锥摆而不是在同一竖直平面内的振动等.(2)偶然误差主要来自时间的测量，因此，要从摆球通过平衡位置时开始计时，不能多计或漏计全振动次数.命题点一教材原型实验例1某同学用实验的方法探究影响单摆周期的因素.(1)他组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，如图3所示，这样做的目的是________(填字母代号).图3A.保证摆动过程中摆长不变B.可使周期测量更加准确C.需要改变摆长时便于调节D.保证摆球在同一竖直平面内摆动(2)他组装好单摆后在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺从悬点量到摆球的最低端的长度L＝0.999 0 m，再用游标卡尺测量摆球直径，结果如图4所示，则该摆球的直径为________ mm，单摆摆长为________ m.图4(3)下列振动图象真实地描述了对摆长约为1 m的单摆进行周期测量的四种操作过程.图中横坐标原点表示计时开始，A、B、C均为30次全振动的图象，已知sin 5°＝0.087，sin 15°＝0.26，这四种操作过程合乎实验要求且误差最小的是________(填字母代号).答案 (1)AC (2)12.0 0.993 0 (3)A解析 (1)橡皮的作用是使摆线摆动过程中悬点位置不变，从而保证摆长不变，同时又便于调节摆长，A 、C 正确；(2)根据游标卡尺读数规则可得摆球直径为d ＝12 mm ＋0.1 mm ×0＝12.0 mm ，则单摆摆长为L 0＝L －d2＝0.993 0 m(注意统一单位)；(3)单摆摆角不超过5°，且计时位置应从最低点(即速度最大位置)开始，故A 项的操作符合要求.变式1 某同学用单摆测当地的重力加速度.他测出了摆线长度L 和摆动周期T ，如图5(a)所示.通过改变悬线长度L ，测出对应的摆动周期T ，获得多组T 与L ，再以T 2为纵轴、L 为横轴画出函数关系图象如图(b)所示.由图象可知，摆球的半径r ＝________ m ，当地重力加速度g ＝________ m/s 2；由此种方法得到的重力加速度值与实际的重力加速度值相比会________(选填“偏大”“偏小”或“一样”)图5答案 1.0×10－2 9.86 一样 命题点二 实验拓展与创新例2 (2015·天津理综·9(2))某同学利用单摆测量重力加速度. (1)为了使测量误差尽量小，下列说法正确的是________. A.组装单摆须选用密度和直径都较小的摆球 B.组装单摆须选用轻且不易伸长的细线 C.实验时须使摆球在同一竖直面内摆动D.摆长一定的情况下，摆的振幅尽量大(2)如图6所示，在物理支架的竖直立柱上固定有摆长约1 m的单摆.实验时，由于仅有量程为20 cm、精度为1 mm的钢板刻度尺，于是他先使摆球自然下垂，在竖直立柱上与摆球最下端处于同一水平面的位置做一标记点，测出单摆的周期T1；然后保持悬点位置不变，设法将摆长缩短一些，再次使摆球自然下垂，用同样方法在竖直立柱上做另一标记点，并测出单摆的周期T2；最后用钢板刻度尺量出竖直立柱上两标记点之间的距离ΔL.用上述测量结果，写出重力加速度的表达式g＝________.图6答案(1)BC(2)4π2ΔLT21－T22解析(1)在利用单摆测重力加速度实验中，为了使测量误差尽量小，须选用密度大、半径小的摆球和不易伸长的细线，摆球须在同一竖直面内摆动，摆长一定时，振幅尽量小些，以使其满足简谐运动条件，故选B、C.(2)设第一次摆长为L，第二次摆长为L－ΔL，则T1＝2πLg，T2＝2πL－ΔLg，联立解得g＝4π2ΔLT21－T22.变式2为了研究滑块的运动，选用滑块、钩码、纸带、毫米刻度尺、带滑轮的木板以及由漏斗和细线构成的单摆等组成如图7甲所示装置，实验中，滑块在钩码作用下拖动纸带做匀加速直线运动，同时让单摆垂直于纸带运动方向做小摆幅摆动，漏斗可以漏出很细的有色液体，在纸带上留下的痕迹记录了漏斗在不同时刻的位置，如图乙所示.图7(1)漏斗和细线构成的单摆在该实验中所起的作用与下列哪个仪器相同？________(填写仪器序号).A.打点计时器B.秒表C.毫米刻度尺D.电流表(2)已知单摆周期T＝2 s，在图乙中AB＝24.10 cm，BC＝27.90 cm、CD＝31.90 cm、DE＝36.10 cm，则单摆在经过D点时，滑块的瞬时速度为v D＝________ m/s，滑块的加速度为a＝________ m/s2(结果保留两位有效数字).答案(1)A(2)0.340.040解析(1)单摆振动具有周期性，摆球每隔半个周期经过纸带中线一次，单摆在该实验中所起的作用与打点计时器相同，故选A.(2)在匀变速直线运动中，中间时刻的瞬时速度大小等于该过程中的平均速度大小，故有v D＝x CET＝0.34 m/s据匀变速直线运动的推论Δx＝aT2，有：a＝CD＋DE－(AB＋BC)T2＝0.040 m/s2。
实验十二 探究单摆周期和摆长的关系30页文档
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
Байду номын сангаас谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
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【注意事项】
1 . 细线的质量要小, 弹性要小, 选用体积小、 密度 细线的质量要小 , 弹性要小 , 选用体积小、 大的小球,摆角不超过5 大的小球,摆角不超过5°. 2.要使摆球在同一竖直面内摆动,不能形成圆锥摆, 2.要使摆球在同一竖直面内摆动,不能形成圆锥摆, 要使摆球在同一竖直面内摆动 方法是将摆球拉到一定位置后由静止释放. 方法是将摆球拉到一定位置后由静止释放. 3.测周期的方法： 3.测周期的方法： 测周期的方法 要从摆球过平衡位置时开始计时, ( 1 ) 要从摆球过平衡位置时开始计时 , 因为此处速 计时误差大. 度大、计时误差小,而最高点速度小、计时误差大. 要测多次全振动的时间来计算周期. ( 2 ) 要测多次全振动的时间来计算周期 . 如在摆 球过平衡位置开始计时,且在数“ 球过平衡位置开始计时,且在数“零”的同时按 下秒表, 下秒表,以后摆球从同一方向通过最低位置时计 数1次.
答案
B
4 9
创新实验 探究创新) 【例3】(探究创新)将一单摆装置竖直悬挂于某一 深度为h 未知) 且开口向下的小筒中( 深度为 h ( 未知 ) 且开口向下的小筒中 ( 单摆的下 部分露于筒外), 如图 甲所示, 部分露于筒外 ),如图 4 甲所示 , 将悬线拉离平衡 ), 如图4 位置一个小角度后由静止释放, 位置一个小角度后由静止释放,设单摆摆动过程 中悬线不会碰到筒壁, 中悬线不会碰到筒壁,如果本实验的长度测量工 具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离L 具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离 L , 过改变L而测出对应的摆动周期T 再以T 并通 、 过改变 L 而测出对应的摆动周期 T , 再以 T 2 为纵轴L为横轴作出函数关系图象, 为纵轴L为横轴作出函数关系图象,那么就可以通
2.在用单摆测重力加速度的实验中: 2.在用单摆测重力加速度的实验中: 在用单摆测重力加速度的实验中 (1)某同学实验时改变摆长， (1)某同学实验时改变摆长，测出 某同学实验时改变摆长 几组摆长L和对应的周期T的数据, 几组摆长L和对应的周期T的数据, 作出T 图线，如图5所示. 作出T2—L图线，如图5所示.利用 可求得重力加速度g 可求得重力加速度g= . 图5 图线上任两点A 的坐标( ),便 图线上任两点 A 、 B 的坐标 ( x 1 , y 1 ) 、 ( x 2 , y 2 ), 便 图线解决物理问题, 可以提示我们: ( 2 ) 作 T 2 — L 图线解决物理问题 , 可以提示我们 : 若摆球的质量分布不均匀,对测量结果将 (填“有影响”或“没有影响”). 有影响” 没有影响” 答案 )/(x (2)没有影响 (1)4π2(y2-y1)/(x2-x1) (2)没有影响
g
要测出摆长l和周期T 要测出摆长l和周期T,就可计算出当地重力加速 度g的数值. 的数值.
【实验器材】
4 π 2l , 据此 , 只 为当地重力加速度,由此可得g 为当地重力加速度 , 由此可得 g = 2 据此, T
铁架台、中心有小孔的金属小球、长约1 m的细 铁架台、中心有小孔的金属小球、长约1 线、秒表、刻度尺、游标卡尺. 秒表、刻度尺、游标卡尺.
解析
在用单摆测重力加速度时, 在用单摆测重力加速度时,摆线应适当长
一些,以增大周期,便于测量;对质量相同的摆球, 一些,以增大周期,便于测量;对质量相同的摆球, 应选择体积小的, 以减小阻力; 应选择体积小的 , 以减小阻力 ; 单摆偏角不能太 大 , 以保证做简谐运动 ; 应测多次全振动的时间 以保证做简谐运动; 去求周期,以减小测量误差. 去求周期,以减小测量误差. 答案 AC
4π l . T2
2
t (N为全 (N 为全 N
g
改变摆长, 重做几次实验, 6 . 改变摆长 , 重做几次实验 , 计算出每次实验的重 力加速度值, 求出它们的平均值, 力加速度值 , 求出它们的平均值 , 即为当地的重 力加速度值. 力加速度值.
【误差分析】
1.系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要 1.系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要 求,即悬点是否固定,球、线是否符合要求,振动 即悬点是否固定, 线是否符合要求, 是圆锥摆还是在同一竖直平面内的振动等. 是圆锥摆还是在同一竖直平面内的振动等. 2.偶然误差主要来自时间上的测量,因此,要从摆 2.偶然误差主要来自时间上的测量,因此, 偶然误差主要来自时间上的测量 球通过平衡位置开始计时, 球通过平衡位置开始计时,不能多计或漏计振动 次数. 次数. 3.为了减小偶然误差, 3.为了减小偶然误差,通常采用多次测量求平均值 为了减小偶然误差 及用图象处理数据的方法. 及用图象处理数据的方法.
实验十二 探究单摆周期与摆长的 关系
要点归纳
【实验目的】
1.用单摆测定当地的重力加速度. 1.用单摆测定当地的重力加速度. 用单摆测定当地的重力加速度 2.加深对单摆周期公式的理解. 2.加深对单摆周期公式的理解. 加深对单摆周期公式的理解
【实验原理】
单摆在摆角很小( 小于5 单摆在摆角很小 ( 小于 5 ° ) 时 , 其摆动可以看作 简谐运动,其振动周期T 其中l为摆长, 简谐运动,其振动周期T=2π l ,其中l为摆长,g
3.在 用单摆测定重力加速度”的实验中, 3.在“用单摆测定重力加速度”的实验中,测得单 摆摆角小于5 摆摆角小于5°,完成n次全振动的时间为t,用毫 完成n次全振动的时间为t 米刻度尺测得摆线长为L 米刻度尺测得摆线长为L,用螺旋测微器测得摆 球直径为d 球直径为d.
图6 (1)用上述物理量的符号写出重力加速度的一般 (1)用上述物理量的符号写出重力加速度的一般 表达式g 表达式g= . mm. ( ) (2)从图6可知,摆球直径d (2)从图6可知,摆球直径d的读数为 从图 偏大, 偏大,其原因可能是
【实验步骤】
1.让线的一端穿过小球的小孔, 1.让线的一端穿过小球的小孔,然 让线的一端穿过小球的小孔 后打一个线结,做成单摆. 后打一个线结,做成单摆. 2.把线的上端用铁夹固定在铁架台 2.把线的上端用铁夹固定在铁架台 把铁架台放在实验桌边, 上,把铁架台放在实验桌边,使铁 夹伸到桌面以外, 夹伸到桌面以外,让摆球自然 图1 下垂,在单摆平衡位置处作上标记,如图1所示. 下垂,在单摆平衡位置处作上标记,如图1所示. 3.用刻度尺量出摆线长度 ′,精确到毫米 用刻度尺量出摆线长度l 精确到毫米, 3.用刻度尺量出摆线长度l′,精确到毫米,用游标 卡尺测出摆球的直径d 卡尺测出摆球的直径d,即得出小球的半径为 d , 2 d 计算出摆长l 计算出摆长l=l′+ . 2 4.把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度 把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度( 4.把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度(不超 ),然后放开小球 让小球摆动, 然后放开小球, 过5°),然后放开小球,让小球摆动,待摆动平稳 后测出单摆完成N 一般为30 50)次全振动所用 30～ 后测出单摆完成N(一般为30～50)次全振动所用
过此图象得出小筒的深度h和当地的重力加速度g 过此图象得出小筒的深度h和当地的重力加速度g.
图4
(1)现有如下测量工具:A.时针;B.秒表;C.天平; (1)现有如下测量工具:A.时针;B.秒表;C.天平; 现有如下测量工具:A.时针;B.秒表;C.天平 D.毫米刻度尺. D.毫米刻度尺.本实验所需的测量工具有 毫米刻度尺 (2)如果实验中所得到的T (2)如果实验中所得到的T2-L关系图象如图乙所 如果实验中所得到的 示,那么真正的图象应该是a、b、c中的 那么真正的图象应该是a (3)由图象可知,小筒的深度h (3)由图象可知,小筒的深度h= 由图象可知 重力加速度g 重力加速度g= m/s2. . m;当地的 m;当地的 .
由公式g 4 . 由公式 g =
作出l 的图象,如图2所示, 期T.作出l-T2的图象,如图2所示,图象应是一条
4 π 2l T2
分别测出一系列摆长l , 分别测出一系列摆长 l 对应的周
l ∆l g值. g = 4 π k , k = 2 = T ∆T 2
2
通过原点的直线, 求出图线的斜率k 通过原点的直线 , 求出图线的斜率 k , 即可求得
的时间t 计算出小球完成1次全振动所用的时间, 的时间t,计算出小球完成1 次全振动所用的时间, 这个时间就是单摆的振动周期, 这个时间就是单摆的振动周期 , 即 T = 振动的次数),反复测 再算出周期T的平均值. 振动的次数),反复测3次,再算出周期T的平均值. ),反复测3 5.根据单摆振动周期公式T=2π l ,计算出当地的 根据单摆振动周期公式T 重力加速度g 重力加速度g=
根据图线斜率求g值可以减小误差. 根据图线斜率求g值可以减小误差.
图2
典例剖析
【例1】某同学在家里做用单摆测定重力加速度的 实验, 由于没有螺旋测微器测摆球的直径, 实验 , 由于没有螺旋测微器测摆球的直径 , 采用 了如下方法: 先用秒表测得单摆周期为T 了如下方法 : 先用秒表测得单摆周期为 T 1 , 然后 让悬线缩短Δ 再次测得单摆周期为T 让悬线缩短ΔL,再次测得单摆周期为T2,那么该 同学测得的重力加速度为多少? 同学测得的重力加速度为多少? 答案
(3)实验中有个同学发现他测得重力加速度的值 (3)实验中有个同学发现他测得重力加速度的值
A.悬点未固定紧,振动中出现松动, A.悬点未固定紧,振动中出现松动,使摆线增 悬点未固定紧 长了 B.单摆所用摆球质量太大 B.单摆所用摆球质量太大 C.把 次全振动时间误当成( +1)次全振动时间 C.把n次全振动时间误当成(n+1)次全振动时间 D.以摆线长作为摆长来计算 D.以摆线长作为摆长来计算 解析 2π
2 2
(3)将 cm代入上式可得 (3)将T2=0,L=-30 cm代入上式可得 h=30 cm=0.3 m =0代入上式可求得 将T2=1.20 s2,L=0代入上式可求得 g=π2=9.86 m/s2 答案 (1)B、 (1)B、D (2)a (2)a (3)0.3 9.86