二次根式化简与计算的方法和技巧

谈谈二次根式的化简与计算的方法和技巧

安陆市辛榨中学 周俊军

同学们从小学就开始学习数的计算，到了七、八年级后又学习了代数式的计算与化简。在这个过程中他们早已熟练地掌握了运算的顺序、法则和运算律，并掌握了因式分解在化简中的运用。对于二次根式的化简与计算只是这些知识的延伸和继续运用，但二次根式有其独特的性质，在解题时仍需掌握一些技巧和方法，这样才会更简便更快地去进行化简和计算。下面我来谈谈二次根式的化简与计算中常用的方法和技巧。

一、拿出来

当二次根式下出现分母时，需要将分母“开出来”，从而化简。

例如：化简a

1- 解：a 1-=2a

a -= a a -- 归纳：对于此类二次根式，首先要利用分式的性质，将分子分母同时乘以a 将分母变 成平方的形式以便开方，同时要挖掘题中的隐含条件，考虑到二次根式的意义，应有a<0.而当a<0时，a a -=2。

二、放进去

有时将根号外面的式子放到根号里面去，同样可消除根号下的分母，从而达到化简的目的。 例如：化简a a

1- 解：a a 1-=a a a --=⎪⎭

⎫ ⎝⎛-∙-12 归纳：对于此类问题，也可利用上面的方法将根号下的分母“拿出来 ”，但若将根号外面的a 放到根号里面去计算会更简便。 此题同样要注意到a<0这个隐含条件，而当a<0时，2a a -= 。

再如：计算：()0,01222 n m m n b a m n n m n m ab m n a ÷⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+- 分析：此题除式中出现因式m n ，而将mn m ab 中根号外面的m 和m n

n 1中根号外面的n 分别放到根号里面去即可得

m n ，再将括号中的各项分别与m

n b a 22相除，运算更简便。 解：原式m n b a mn n m mn ab m n a 22222÷⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-=

m

n b a m n m n ab m n a 222÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛

+-= 22222222221111b

a a

b b b a b a ab b a a +-=+-= 三、公式来帮忙

二次根式的化简在很多时候需要将被开方数化成平方的形式，这样才好开方化简，这就需要同学们对完全平方式的特征非常熟悉，才能在配方时应用自如。完全平方式共三项：两个平方项，一个2倍项，即：()2

222b a b ab a ±=+±。 例1、化简625-

分析：()()2232325,32262+=+=⨯

⨯= 于是：()()()233233222625222-=-=+⨯⨯-=

- 注意：23 。 例2、若x 、y 为实数，且211441+-+-=x x y ，求x y y x x y y x +--++22的值。

解：21;414141014041==∴⎪⎩

⎪⎨⎧≥≤∴⎩⎨⎧≥-≥-y x x x x x 而

x

y y x x y y x x y y x x y y x x y y x x y y x --+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+--++2222 又x y y

x x y y x ∴==2,21 所以原式=22

122===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+y x y x x

y x y y x 归纳：()22

2,2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±=+±±=+±a b b a a b b a b a b ab a 四、分解瘦身

代数式的化简就是要“变肥为瘦”。分式的化简如此，二次根式的化简亦如此，在这个过程中，因式分解起着尤为重要的作用。

例1、化简x

y y x xy y x y x ---+2 分析：此题若通分或直接进行分母有理化计算势必麻烦，考虑到()222xy xy =，而()y x xy xy y x x y y x -=-=-22，可将

x

y y x xy -2瘦身。 解：原式()()y x xy y x y x y

x xy xy y x y x ---+=---+=222 ()y x y x y x y x xy y x -=--=--+=2

2

例2、化简15

106353+--+ 解：原式()()()()2352335310156353-+-+=-+-+= ()()

23231235353+=-=-++= 归纳：此题若直接分母有理化，计算量将非常大，但将分母分解因式之后则可直接 约分，式子“瘦身”成功。

五、考虑周全，万无一失 例：化简：b a a

b b a +-

分析：对于此题，同学肯定会不假思索地去分母有理化，将分子分母同乘以b a -，殊不知，当a=b 时b a -=0，这样就错用了分式的性质，因此，此题要分两种情况讨论。

（1）a=b 时，原式0=+-=a

a a a a a （2）当a ≠

b 时，原式()()()()()b a ab ab b a b a b a b a a b b a --+=-+--2