2017届三湘名校教育联盟高三第三次大联考理科数学试卷

.2017届三湘名校教育联盟高三第三次大联考理科数

学试卷

学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________

一、单选题

1. 已知集合，，则

（）

A．B．C．D．

2. 已知命题中，若，则，则下列命题为真命题的是（）

A．的逆命题B．的否命题C．的逆否命题D．的否定

3. 已知函数是定义在上周期为4的奇函数，当时，

，则（）

A．1 B．-1 C．0 D．2

4. 执行如图所示的程序框图，如输入的值为1，输出的值为，则在区间

上随机选取一个数，的概率为（）

A．B．C．D．

5. 欧拉公式e i x＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中对应的点位于( )

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

6. 函数的图象大致是（）

A．B．C．D．

7. 若的展开式中的系数为（）

A．36 B．-144 C．60 D．-60

8. 如图是一个四面体的三视图，三个正方形的边长均为2，则四面体外接球的体积为（）

A．B．

C．

D．

9. 已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到次结束为止．某考生一次发球成功的概率为，发球次数为，若的数学期望，则的取值范围为( )

A．B．C．D．

10. 一个等比数列{an}的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有（）

A．13项B．12项C．11项D．10项

11. 如图，抛物线和圆，直线经过抛物线的焦

点，依次交抛物线与圆于，，，四点，，则的值为（）

B．1 C．D．

A．

12. 已知函数在上的最大值为3，则实数的取值范围是（）

C．D．

A．B．

二、填空题

13. 已知正项等差数列的前项和为，，则的最大值为__________．

14. 已知实数，满足，则的最小值为1，则

__________．

15. 以40向北偏东航行的科学探测船上释放了一个探测气球，气球顺风向正东飘去，3后祈求上升到1处，从探测船上观察气球，仰角为，求气球的水平飘移速度是__________ ．

16. 已知平面向量，满足，存在单位向量，使得

，则的取值范围是__________．

三、解答题

17. 已知函数.

（1）若在上的值域为，求的取值范围；

（2）若在上单调，且，求的值.

18. 为了研究一种昆虫的产卵数和温度是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并作出了散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两

个变量并不呈线性相关关系，现分别用模型①：与模型②：

作为产卵数和温度的回归方程来建立两个变量之间的关系.

温度

20 22 24 26 28 30 32

产卵数

6 10 21 24 64 113 322 /个

400 484 576 676 784 900 1024

1.79

2.30

3.04 3.18

4.16 4.73

5.77

26 692 80 3.57

1157.54 0.43 0.32 0.00012

其中，，，，

附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.

（1）在答题卡中分别画出关于的散点图、关于的散点图，根据散点图

判断哪一个模型更适宜作为回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）.

（2）根据表中数据，分别建立两个模型下建立关于的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为时的产卵数.（与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：，，）

（3）若模型①、②的相关指数计算得分分别为，，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好.

19. 已知三棱台中，,，

，平面平面，

（1）求证：平面；

（2）点为上一点，二面角的大小为，求与平面

所成角的正弦值.

20. 一张半径为4的圆形纸片的圆心为，是圆内一个定点，且，是圆上一个动点，把纸片折叠使得与重合，然后抹平纸片，折痕为

，设与半径的交点为，当在圆上运动时，则点的轨迹为曲线，以所在直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，如图.

（1）求曲线的方程；

（2）曲线与轴的交点为，（在左侧），与轴不重合的动直线过点且与交于、两点（其中在轴上方），设直线、交于点，求证：动点恒在定直线上，并求的方程.

21. 已知函数.

（1）若在定义域上为单调递减函数，求实数的取值范围；

（2）是否存在实数，使得恒成立且有唯一零点，若存在，求出满足，的的值；若不存在，请说明理由.

22. 在直角坐标系中，已知曲线（为参数），在以为极

点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线.

（1）求曲线与的交点的直角坐标；

（2）设点，分别为曲线上的动点，求的最小值.

23. 选修4-5：不等式选讲

已知函数.

（1）当时，求的最小值；

（2）存在时，使得不等式成立，求实数的取值范围.