习题1.1-1.2参考答案

习题参考答案

第1章 数理逻辑

1.1命题

1．解（a ）(ⅰ)┐P ∧R →Q (ⅱ)Q →R

(ⅲ)┐P (ⅳ)P ∧┐Q ( b)(ⅰ)我去镇上当且仅当我有时间且天不下雪。 (ⅱ)我有时间并且去镇上。

(ⅲ)如果我去镇上，那么我有时间；如果我有时间，那么我去镇上（或：我去

镇上当且仅当我有时间）。

(ⅳ)说我有时间或我去镇上是不对的。

2．解（a ）上海并非处处清洁。

（b ）并非每一个自然数都是偶数。

3．解（a ）逆命题：如果我不去，那么天下雨。

逆反命题：如果我去，那么天不下雨。 （b ）逆命题：如果你去，我将逗留。

逆反命题：如果你不去，我将不逗留。

（c ）逆命题：如果方程n

n

n

z y x =+无正整数解，那么n 是大于2的正整数。

逆反命题：如果方程n

n

n

z y x =+有正整数解，那么n 不是大于2的正整数。

（d ）逆命题：如果我不能完成这个任务，那么我没有获得更多帮助。 逆反命题：如果我能完成这个任务，那么我获得了更多帮助。

4．给P 和Q 指派真值T ，给R 和S 指派真值F ，求出下列命题的真值： （a ）P ∨Q ∧R

(b) P ∨Q ∧R ∨┐((P ∨Q)∧(R ∨S))

(c) (┐(P ∧Q)∨┐R)∨(P ┐∧Q ∨┐R)∧S (d) ┐(P ∧Q)∨┐R ∨((Q ↔┐P)→R ∨┐S) (e) (P ↔R)∧(┐Q →S)

(f) P ∨(Q →R ∧┐P)↔Q ∨┐S

解：做出各个命题的真值表，求出真值。 （a

(b) T(c) T(d) T(e)F (f)T (b) (c) (d) (e) (f) (表略) 5．解：

（b）

6.证明下列公式的真值与他们的变元值无关：

(a)P∧(P→Q)→Q

(b)(P→Q)→(┐P∨Q)

(c)(P→Q)∧(Q→R)→(P→R)

(d)(P↔Q)↔ (P∧Q∨┐P∧┐Q)

证明：做出各个命题的真值表，证明公式的真值与他们的变元值无关

(a)

7．证明

由表可知，P↔Q 在第一，四行上取真值，这时，P→Q ，Q→P也为真；另一方面，在第一，四行上P→Q 和Q→P同时为真，这时P↔Q也为真。于是本题

得证。

8．对P和Q的所有值，证明P→Q与┐P∨Q有同样真值。证明(P→Q)↔(┐P∨Q)总是真

的。

9．解（a）∧、∨、↔是可交换的。

（b）作出P∧Q、Q∧P；P∨Q、Q∨P；P ↔Q、Q ↔P和P→Q、Q→P的真值表，由表得出前三对公式等价，后一对公式不等价（表略）。

10．设*是具有两个运算对象的逻辑运算符，如果（x*y）*z和x*(y*z)逻辑等价，那么运算符*是可结合的。

(a)确定逻辑运算符∧、∨、→、↔那些事可结合的。

(b)用真值表确定你的断言。

解：(a)∧、∨、↔是可结合的。

(b)做出（P∧Q）∧R、P∧(Q∧R)；(P∨Q)∨R、P∨(Q∨R)；(P↔Q)↔R、P↔ (Q↔R)；(P→Q)→R、P→(Q→R)的真值表，由表得出前三对公式等价，后一对公式不等价。

(表略)

11. 解：（b）、（c）不是命题公式，因为它们不能根据命题公式的形成规则而得到。（a）和（d）

是命题公式，它们的构造过程如下：（a）①P是命题公式根据

条款1

②Q是命题公式根据条款1

③（P∧Q）是命题公式根据①、②条款2

④（┐P）是命题公式根据①条款2

⑤（（┐P）→（P∧Q））是命题公式根据③、④条款2

⑥R是命题公式根据条款1

⑦（（┐P→（P∧Q））∨R）是命题公式根据⑤、⑥条款2

（d）①P是命题公式根据条款1

②Q是命题公式根据条款1

③(P→Q)是命题公式根据①、②条款2

④(Q∧(P→Q))是命题公式根据②、③条款2

⑤(Q∧(P→Q)→P)是命题公式根据①、④条款2

1.2 重言式

1.指出下列命题哪些是重言式、偶然式和矛盾式：

重言式有：a c d e f h i k l

偶然式有：g j m n

矛盾式有：b

2. (a)= P∨Q∨┐R= ┐（┐P∧┐Q∧R）

(b)= P∨┐（┐Q∧R）∨P

= P∨Q∨┐R

= ┐（┐P∧┐Q∧R）

(c)= ┐P∨（┐Q∨R）

= T

(d)= F

(e)=（┐P∨（Q∨┐R））∧┐P∧Q

= ┐P∧Q

= ┐（P∨┐Q）

(f)= ┐P∧┐Q∧（R∨P）

= ┐P∧┐Q∧R∨┐P∧┐Q∧P

= ┐P∧┐Q∧R∨F

= ┐（P∨Q∨┐R）

3. (a)= ┐（P∧Q）∨P=┐P∨┐Q∨P=T

(b)= ┐(┐(P∨Q)→┐P)

= ┐(P∨Q∨┐P)

= F

(c)= (┐Q∨P)∧(P∨Q)∧T =P

(d)=┐P∧P=F

4.(a)=┐P∨┐Q∨P

= P∨(┐P∨┐Q)

= ┐P→(P→┐Q)

(b)= (┐P∨Q)∧(┐R∨Q)

= (┐P∧┐R)∨Q

= ┐(P∨Q)∨Q

= P∨R→Q

(c)= ┐((P→Q)∧(Q→P)

= ┐((┐P∨Q)∧(┐Q∨P))

= ┐(┐P∨Q)∨┐(P∨┐Q)

= (P∧┐Q)∨(┐P∧Q)

= (P∨┐P)∧(P∨Q)∧(┐Q∨┐P)∧(┐Q∨Q)

= (P∨Q)∧┐(P∧Q)

(d)=┐(┐P∨Q)

= P∧┐Q

5．使用恒等式证明下列各式，并写出与他们对偶的公式。

(a)(┒(┒P∨┒Q)∨┒(┒P∨Q)⇔P

(b)(P∨┒Q)∧(P∨Q)∧(┐P∨┐Q)⇔┐(┐P∨Q)

(c)Q∨┐((┐P∨Q)∧P)⇔T