最优化方法第二周作业答案

, k。
第二周作业（2） 1． 用单纯形方法解下列线性规划问题：
(1)
m in s .t
3 x1 − 5 x 2 − 2 x 3 − x 4 x1 + x 2 + x 3 ≤ 4 4 x1 − x 2 + x 3 + 2 x 4 ≤ 6 − x1 + x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 ≤ 1 2 x j ≥ 0 , j = 1,
T
,4
8⎞ 68 ⎛ x * = ⎜ 0 , 4 , 0 , ⎟ , f m in = − . 3⎠ 3 2． ⎝ ( 2 ) m in − 3 x 1 − x 2 s .t 3 x1 + 3 x 2 + x 3 4 x1 − 4 x 2 2 x1 − x 2 x j ≥ 0 , j = 1, x * = ( 7 , 3, 0 , 0 ) , f m in = − 2 4 .
第二周作业： 1．设 S = {x | Ax ≥ b} ，其中 A 是 m × n 矩阵， m > n ， A 的秩为 n 。证明 x 的充要条件是 A 和1 ⎤ ⎡b1 ⎤ A = ⎢ ⎥ ，b = ⎢ ⎥ ⎣ A2 ⎦ ⎣b2 ⎦
其 中 ， A1 有 n 个 行 ， 且 A1 的 秩 为 n ， b1 是 n 维 列 向 量 ， 使 得 A1 x
因此 A 和 b 可作如下分解：
⎡ A1 ⎤ ⎡b1 ⎤ A = ⎢ ⎥ ，b = ⎢ ⎥ ⎣ A2 ⎦ ⎣b2 ⎦
其 中 ， A1 有 n 个 行 ， 且 A1 的 秩 为 n ， b1 是 n 维 列 向 量 ， 使 得 A1 x
(0)
= b1 ，
A2 x ( 0 ) ≥ b2 。 ∵ x (0)是S的极点， " ⇒ （证法 " 2） ∴ 有Ax (0) ≥ b. 设A中只有k 个线性无关的行向量A1 , ⎛ A1 ⎞ ⎜ ⎟ 满足 Bx = ⎜ ⎟ x (0) = b1' . ⎜A ⎟ ⎝ k⎠ ' 其中b1为k维列向量。
" ⇒ "(证法1) ∵ x (0)是极点,∴ Ax (0) ≥ b. ⎛ A′ ⎞ ⎛b ⎞ ∴ A, b总可以分解为A = ⎜ 1 ⎟ , b = ⎜ 1 ⎟ 使得 ′⎠ ⎝ A2 ⎝ b2 ⎠ ′ x (0) > b2 . A1′x (0) = b1 , A2 设A1′ = ( P 1, P 2, l1P 1 + l2 P 2 + , Pn )，若r ( A1′) ≠ n， , ln使得 ,n ,n + ln P ) = b1 + ln Pn = 0. 则存在不全为零的数l1 ,
(0)
= b1 ，
A2 x ( 0 ) ≥ b2 。
证明： " ⇐ " 设x (1) , x (2) ∈ S，则Ax (1) ≥ b, Ax (2) ≥ b ∴ A1 x (1) ≥ b1 , A1 x (2) ≥ b1 对∀λ ∈ (0, 1)，若x (0) = λ x (1) + (1 − λ ) x (2) , 则 b1 = A1 x (0) = λ A1 x (1) + (1 − λ ) A1 x (2) ≥ λ b1 + (1 − λ )b1 = b1 ∴ 必有A1 x (1) = b1 , A1 x (2) = b1 ⇒ A1 x (0) = A1 x (1) = A1 x (2) ∵ A1可逆， ∴ 有x (0) = x (1) = x (2) 即x ( 0)为极点。
(0) 定义 x (1) j = x j + ε l j , j = 1, 2,
= x (0) x (2) j j − ε l j , j = 1, 2, 则A1′x (1) = A1′x (0) + ε (l1P 1 + l2 P 2 + 同理，有A1′x ′x 又 ∵ A2
(0) (2)
= b1.
T
= 30 ≤ 12 ,4
+ x4 = 16
2．假设用单纯形方法解线性规划问题
min cx s.t. Ax = b
x≥0
在某次迭代中对应变量 xj 的判别数 z j − c j > 0 ， 且单纯形表中对应的列 y j = B p j ≤ 0 。 证 明：
−1
⎡− y j ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ d =⎢ ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
′ x (1) ≥ b2，A2 ′ x (2) ≥ b2， > b2 ,∴当ε 足够小时，有A2
⇒ x (1)，x (2) ∈ S。 1 1 但x (0) = x (1) + x (2)，与x (0)是极点矛盾。 2 2
′ ) = n 。设 A1′为s × n阶矩阵，由于r ( A1′ ) = n, 故s ≥ n ， 所以 r ( A1
(0)
, Ak (k < n)
⎛ Ak +1 ⎞ ⎜ ⎟ (0) ' 则对A中其余的m - k 行Ak +1 , , Am , 有B ' x = ⎜ ⎟ x ≥ b2 , ⎜A ⎟ ⎝ m ⎠ (0) ' 且若Ai x = bi 2 , 则Ai可由A1 , , Ak 线性表出。
(0)
∵ k < n， ∴ 方程Bx = 0有无穷解，设y (0)为Bx = 0的非零解,则Ai y (0) = 0, i = 1, 令 x (1) = x (0) + ε y (0) x (2) = x (0) − ε y (0) 当ε 取足够小时，有 ⎛B ⎞ Ax (1) = ⎜ ⎟ ( x (0) + ε y (0) ) ≥ b, Ax (2) ≥ b ⎝ B '⎠ ' + lk Ak (若Ai x (0) = b2 i ⇒ Ai = l1 A 1+ ∴ Ai y (0) = l1 A1 y (0) + 而x (0) = + lk Ak y (0) = 0) 1 (1) 1 (2) x + x , 与x (0 )是极点矛盾。 2 2 (ε > 0)
(1) (2) ⎛ − B −1 Pj ⎞ (1) ⎛ d B ⎞ (2) ⎛ d B ⎞ , d = ⎜ (1) ⎟ , d = ⎜ (2) ⎟ .则有 设d = ⎜ ⎟ ⎜ d ⎟ ⎜d ⎟ ⎜d ⎟ N ⎝ ⎠ ⎝ N ⎠ ⎝ N ⎠ (1) (2) −1 ⎛ − B Pj ⎞ ⎛d ⎞ ⎛d ⎞ = λ1 ⎜ B + λ2 ⎜ B ⎜ ⎟ ⎟ (1) ⎜ d ⎟ ⎜d ⎟ ⎜ d (2) ⎟ ⎟ N ⎝ ⎠ ⎝ N ⎠ ⎝ N ⎠ (1) (2) ⇒ d N = λ1d N + λ2 d N T 1， 0） , λ1 , λ2 > 0, d (1) , d (2) ≥ 0 ∵ dN = （0， ， (2) (1) (2) ∴ 有λ1d (1) j +λ2 d j =1,d i =d i =0(i ≠ j )。
∴ 有d (1) =
d (1) j d
(2) j
d (2) ⇒ d为极方向。
⎛ y1 j ⎞ ⎜ ⎟ , Pm ) ⎜ ⎟ + Pj = − BB −1 Pj + Pj = 0 ⎜ ymj ⎟ ⎝ ⎠
⎛ y1 j ⎞ ⎜ ⎟ , Pm ) ⎜ ⎟ + Pj = − BB −1 Pj + Pj = 0 ⎜ ymj ⎟ ⎝ ⎠
又因为Ad（1） = 0，Ad（2） = 0。
(1) (1) (1) (1) −1 ∴ Bd B + Nd N = 0 ⇒ dB = − B −1 Nd N = − d (1) j B Pj (2) (2) (2) (2) −1 + Nd N = 0 ⇒ dB = − B −1 Nd N = − d (2) Bd B j B Pj (2) ≠ 0, 否则d (1) = 0或d (2) = 0，与方向的定义矛盾。 显然d (1) j ≠ 0, d j
是可行域的极方向。其中分量 1 对应 xj。
证明：显然d ≥ 0，由于y j = B −1 Pj ∴ Ad = ( P 1, , Pm , , Pj , , Pn )d − Pm ymj + Pj = −P 1 y1 j − P 2 y2 j − = −( P 1, ⇒ d为方向。 又由于P 1, , Pm线性无关，Ad = 0， ∴P 1, , Pm，Pj 线性相关， ⇒ d为极方向。 证明2：显然d ≥ 0，由于y j = B −1 Pj ∴ Ad = ( P 1, , Pm , , Pj , , Pn )d − Pm ymj + Pj = −P 1 y1 j − P 2 y2 j − = −( P 1, ⇒ d为方向。 假设存在方向d (1) , d (2) , 使得d = λ1d (1) + λ2 d (2) (λ1 , λ2 > 0). 则d (1) , d (2) ≥ 0且Ad（1） = 0，Ad（2） = 0。