142用力法解超静定结构
用力法求解超静定结构
用力法求解超静定结构概述超静定结构是指结构中的支座和约束条件多于结构自由度的情况。
用力法是一种经典的结构分析方法，常用于求解超静定结构。
本文将介绍用力法求解超静定结构的基本原理和步骤，并通过实例加以说明。
一、基本原理用力法的基本原理是根据平衡条件和变形约束，通过假设未知力的大小和方向，建立力的平衡方程和变形方程，解出未知力和结构的变形。
用力法适用于各种类型的结构，包括梁、柱、桁架等。
二、步骤用力法求解超静定结构的步骤如下：1. 选择合适的剖面根据结构的几何形状和约束条件，选择合适的剖面，将结构分割为若干个部分。
2. 假设未知力的方向和大小根据结构的特点和约束条件，假设未知力的方向和大小。
通常，未知力的方向可以根据结构的几何形状和外力的作用方向来确定，而未知力的大小则需要通过力的平衡方程来求解。
3. 建立力的平衡方程根据假设的未知力和结构的几何形状，建立力的平衡方程。
平衡方程包括力的平衡条件和力的矩平衡条件。
4. 建立变形方程根据结构的变形情况和约束条件，建立变形方程。
变形方程可以根据结构的刚度和约束条件来确定。
5. 解方程将力的平衡方程和变形方程联立，解方程组得到未知力和结构的变形。
6. 检验结果将求解得到的未知力和结构的变形代入原平衡方程和变形方程中，检验结果的准确性。
如果结果符合平衡和变形的要求，则求解成功；如果结果不符合要求，则需要重新假设未知力并重新求解。
三、实例分析为了更好地理解用力法求解超静定结构的步骤和原理，下面以一个简单的梁结构为例进行分析。
假设有一根悬臂梁，在梁的自重和外力作用下，需要求解支座反力和梁的变形。
1. 选择合适的剖面选择悬臂梁的剖面，将梁分割为两个部分：悬臂部分和支座部分。
2. 假设未知力的方向和大小假设支座反力的方向向上，大小为R。
3. 建立力的平衡方程根据力的平衡条件，可以得到悬臂部分的平衡方程：R - F = 0，其中F为梁的自重。
4. 建立变形方程根据梁的几何形状和约束条件，可以建立悬臂部分的变形方程，得到悬臂部分的弯矩和挠度。
材料力学-力法求解超静定结构
力法求解超静定结构时，可以根据计算结果优化结构设计，提高结构的强度和稳定性。
结论与总结
力法是求解超静定结构的有效方法，通过合理应用材料力学基础和力法的原理，我们能够准确求解反力分布并 分析结构的应力情况。
样例分析
结构：桥梁
使用力法求解桥梁上的悬臂梁，计算主梁的支座反 力和悬臂梁的应力分布。
结构：楼房
将力法应用于楼房结构，确定楼板的支座反力并分 析楼梯的受力情况。
实用提示和技巧
1 标定自由度
在应用力法时，正确标定结构的自由度是成功求解反力的重要步骤。
2 验证计算结果
对计算得到的反力进行验证，确保结果的准确性，避免错误的设计决策。
材料力学-力法求解超静 定结构
超静定结构的定义
超静定结构是指具有不止一个不可靠支持反力的结构。它们挑战了传统的结构分析方法，需要使用力法进行求 解。
材料力学基础
材料力学研究材料的受力和变形规律，包括弹性力学、塑性力学和损伤力学。 这些基础理论为力法求解超静定结构提供了必要的工具。
力法的原理
力法是一种基于平衡原理和支座反力法则的结构分析方法。它通过对超静定结构施加虚位移，建立受力平衡方 程，求解未知反力。
超静定结构应用力法求解的步骤
1
确定结构类型
了解结构是否为超静定结构，并确定不
计算反力
2
可靠支持反力的个数。
根据力法原理，建立并求解受力平衡方
程，计算未知反力。
3
验证平衡
通过检查受力平衡方程是否满足等式的
确定应力分布
4
要求，验证计算的反力是否正确。
பைடு நூலகம்
根据已知反力和结构的几何特性，计算 并绘制应力分布图。
用力法计算超静定结构.
解：力法方程
x1 11 x1 1 p 0 k
例题3
p
A
B k 8m 8m 原结构
C
D k 8m 2m p
A
B k
C x2
D x1
x1 x x 11 1 12 2 1P k 21 x1 22 x2 1 P 0
1P M 1M P N 1NPl ds E1 I 1 EA 4 5ql 384E1 I1
ql 2 8
2 2 1 2 l 5 l ( ql ) E1 I1 3 8 2 8 4
0
0
0
x1
1 p
11
5ql 4 384E1 I 1 3 l h s3 48E1 I 1 E 2 A2 2h 2 E 3 A3
x1
11
3 ql 8
试选取另一基本结构求解： x1
q 2 EI l x1=1 原结构 2 ql/8 基本结构 2 ql/8 5ql/8 3ql/8 M l图 1 2 ql/8 MP图 q
1 M图
Q图
解：力法方程
11 x1 1 p 0
1 1 l 21 l ( )( ) EI 2 3 3 EI
基本结构(3)
二、超静定刚架的计算
力法方程:
11 x1 12 x2 1 P 0 21 x1 22 x2 2 P 0
式中:
11
1 1 2 64 ( 4 4) ( 4) EI 2 3 3 EI
22
1 1 2 l 81 ( 3 3) ( 3) [(3 4) 3] 2 EI 2 3 EI 2 EI
用力法解超静定结构
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n1 X1 n2 X 2 nn X n np 0
（三）力法典型方程中系数和自由项的计算
1、主系数δii — 表示基本结构由于 Xi 1的单独作用，在Xi 的作用点并沿Xi的方向产生的位移； 图A
ii
M
2 i
dx
EI
2、副系数δij —iiijijip表的示作基MMM用EM本EEIiii2E点MMiIIMd结Ix并jjpd构dx沿dxx由Xi于的X方j 向 1产的生单的独位作移用；，图在B Xi
例2：试用力法计算图示超静定刚架，并绘内力图。
解： 1.选择基本体系
2.建立力法方程
d11X1+D1P=0
3.计算系数和自由项，绘 M1和MP图
11
1 EI
1 2
l
l
2 3
l
2
2l 3 3EI
1P
1 EI
1
2
l ql 2
2 3
l2
2 3
l
ql 2 8
l
2
17ql 4
24EI
4.计算X1 5.绘内力图
=1
结构称为力法基本结构
基本结构
力法基本方程 — 利用基本体系的变形状态与原结构
一致的条件所建立的确定多余未知
力的方程
BACK
11X1 1P 0
11
M1M1 dx 1 (1 l l 2 l) l3
EI
EI 2
3
3EI
1P
M1M p dx 1 (1 l 1 ql 2 3 l) ql 4
ql3
24EI l
1 ql2 8
3EI
5、绘内力图 M M1X1 M p V V1 X1 Vp
超静定结构
l
A
B
l
q
D
2 ）建立正则方程 1 (δ 11 + ) X 1 + ∆1P = 0 C
3 ）求解 2 1 2 2l 3 δ11 = ( × l × l × × l) = EI 2 3 3EI 1 1 ql 2 2l 1 ql 2 3l ∆ 1P = − ( ×l × × + ×l × × ) EI 2 2 3 3 2 4 ∆ 1P 7 ql 4 7 ql =− X1 = − = (↑ ) 1 24 EI 24 δ11 + C 2 ）据平衡条件，求得
ql 2 M C = M × X1 = 7
0 C
q
A
ql 2 7
X1
MP
ql 2 2
M
5ql 2 14
M A = M × X 1 − M PA
0 A
5 ql 2 =− 14
例14 − 2 − 4 画图示刚架的内力图。
q
D
q
C
X2
解：利用对称性，从CD中间
X1
EI
D K
剖开，由于结构对称，载荷 对称，故只有对称内力， 所以，X 3 = 0。
δ11
求得 X 1 后，则可解出相当系统所有内力、位移，此相当系统的解 即为原系统的解。
三、n次静不定的正则方程
可将上述思想推广到n次静不定系统，如解除n个多余约束后的未知多余 约束力为 X j ( j = 1,2,..., n ) 它们将引起 X i 作用点的相应的位移为 ∑ ∆ ij ,而原系统由 x j ( j = 1, K n) j =1 与外载荷共同作用对此位移限制为零（或已知），故有
P A C D n O B P (b) P A
力法、位移法求解超静定结构讲解
力法、位移法求解超静定结构讲解
超静定结构是指在结构中存在多余的支座或者杆件，使得结构的自由度小于零，即结构无法通过静力学方法求解。
在这种情况下，我们需要采用力法或者位移法来求解结构的内力和位移。
力法是指通过假设结构内力的大小和方向，来求解结构的内力和位移的方法。
在力法中，我们需要假设结构内力的大小和方向，然后通过平衡方程和变形方程来求解结构的内力和位移。
力法的优点是计算简单，适用于简单的结构，但是对于复杂的结构，力法的假设可能会导致误差较大。
位移法是指通过假设结构的位移，来求解结构的内力和位移的方法。
在位移法中，我们需要假设结构的位移，然后通过平衡方程和变形方程来求解结构的内力和位移。
位移法的优点是适用于复杂的结构，可以准确地求解结构的内力和位移，但是计算较为繁琐。
在实际工程中，我们通常采用力法和位移法相结合的方法来求解超静定结构。
首先，我们可以通过力法来确定结构的内力大小和方向，然后再通过位移法来求解结构的位移。
这种方法可以充分利用力法和位移法的优点，减小误差，提高计算精度。
超静定结构的求解需要采用力法和位移法相结合的方法，通过假设结构的内力和位移，来求解结构的内力和位移。
在实际工程中，我们需要根据具体情况选择合适的方法，以保证计算精度和效率。
力法解超静定结构时的思维方法
作用点在B点.
现在求Fpb.先设一个大小为单位1的力f,方向向上,作用与B点,则B点位移为 .
很显然
Fpb× =
所以Fpb=5/16F Fpa=11/16FMp=3FL/16.
总结,力法对超静定结构的分析的过程的主体就是求出多余未知力的过程.要将多余约束化为多余未知力和约束条件.使用约束条件求出多余未知力造成的结构的位移.反推多余力.使得结构变成静定结构.求出其他力.
在这里b点是一个铰支在这种条件下只提供竖直向上的约束反力它对整个梁的作用与一个竖直向上的力相同但铰支同时保证了另一个效果即b点竖直位移为0
用力法进行超静定梁受力分析时的思维方法
解一个超静定结构,力法是最基本的方法,所有结构力学书籍中都有详细介绍.本文通过最基本的例子,说明这种方法的思维过程.
现有一个超静定梁结构AB受力情况如下(图1),外力F作用在梁的终点,梁长度为L,求此情况下梁AB的约束反力.
图2
对多出的力Fpb进行分析.这里使用以下思பைடு நூலகம்原则.
1.位移微小的情况下,结构某点的位移等于各个外力造成位移的线性相加.
2.当某个力大小方向作用点已知时,它所造成的结构位移是一定的,反过来如果知道某个力造成的结构位移和这个力的作用点已知时,这个力也是唯一确定的.注意:位移回推力时解不唯一,必须确定力大小或作用点中的一个.
(以上两条是很显然的吧?)
现在分析多余未知约束力Fpb的作用效果.
我们首先将Fpb去掉得到一个静定的系统,分析此时B点位移,已知在有Fpb时B点位移为0,因此Fpb造成B点位移与其他力造成的B点位移大小相等方向相反图3
图3
这个结构十分明显,如果没有Fpb约束,B点位移是
力法求解超静定结构
力法求解超静定结构
超静定结构是指其支反力个数大于等于结构模式自由度的结构，
也就是说，该结构中的支撑点不够，会产生多余的支反力，这就导致
了该结构的解题难度非常大。
但是，采用力法求解可以有效地解决这
个问题。
首先，可以采用静力平衡方程来确定结构中的支反力。
静力平衡
方程是通过平衡结构中的所有受力和力矩，来确定支反力的方程。
它
的基本形式为ΣF=0和ΣM=0，其中ΣF表示所有力的总和，ΣM表示
所有力的总力矩。
然后，要使用结构分析的基本原理，即支点位移法。
支点位移法
通过改变结构中某些支点的位置，并计算相应的支反力和位移量，来
求解结构中的位移和反力。
在计算反力时，要注意支点位移前后对结
构的影响，以及反力大小的变化等因素。
此外，在解决超静定结构时，还要注意结构中梁、柱等构件的弹
性变形。
这些变形对结构的位移和反力也会产生影响，因此需要考虑
其中的因素。
最后，要注意力法求解的精度问题。
由于超静定结构中存在多余
的支反力，因此求解过程中难免会产生误差。
为了提高计算精度，可
以采用迭代的方法，在多次迭代中逐步优化计算结果，提高求解精度。
总之，采用力法求解超静定结构需要掌握一定的理论基础和实践技巧，同时要注意结构中的弹性变形、支点移动等因素，并采用迭代的方法进行计算，以提高计算精度。
这些掌握了的技巧和方法将在实际工程中具有指导意义。
用力法解超静定结构时,可选取的基本结构
用力法解超静定结构时,可选取的基本结构
在使用力方法解超静定结构时，常常需要选择一个基本结构来进行分析。
以下是一些常见的基本结构选择：
1. 杆件结构：对于较简单的结构，如桁架、梁等，可以选择杆件结构作为基本结构。
2. 桁架结构：对于复杂的结构，如大跨度桥梁、支撑塔等，通常选择桁架结构作为基本结构进行分析。
3. 刚架结构：对于多层建筑或桥梁等结构，可以选择刚架结构作为基本结构，进行整体稳定性或刚度分析。
4. 平面网格结构：对于平面或曲面结构，可以选择平面网格结构作为基本结构进行分析。
5. 龙骨槽钢结构：对于柱墙体系、屋架等结构，可以选择龙骨槽钢结构作为基本结构。
6. 钢筋混凝土框架结构：对于房屋、厂房等建筑结构，可以选择钢筋混凝土框架结构作为基本结构。
在选择基本结构时，需要考虑结构的特点、材料、受力情况以及所需分析的目的，以确保分析结果的准确性和可靠性。
力法解超静定结构举例
试求图示两端固定单跨梁在下属情况 下的M 下的M图. (a) A端逆时针转动单位转角. 端逆时针转动单位转角. (b) A端竖向向上移动了单位位移. 端竖向向上移动了单位位移. (c) A,B两端均逆时针转动单位转角. 两端均逆时针转动单位转角. (d) A,B两端相对转动单位转角. 两端相对转动单位转角. (e) A端竖向向上,BFP 端竖向向上, 端竖向向下移动了单 位位移. 位位移.
t 0 = 30 t = 10
FN = 1
有关. 温度改变引起的内力与各杆的绝对刚度 EI 有关.
FNK = 0
FNK = 0.5
M图
MK M s d + ∑FNKα t0 l Ky = ∑∫ EI αt . α + ∑ ∫ MKds = 3475 l ↑ h
FNK
返 章 首
温度低的一侧受拉,此结论同样适用于温度 温度低的一侧受拉,此结论同样适用于温度 同样 引起的超静定单跨梁. 引起的超静定单跨梁.
问题: 用拆除上 问题:若用拆除上 弦杆的静定结构作 为基本结构, 为基本结构,本题 应如何考虑? 应如何考虑?
FP
FP 基 本 体 系
解:力法方程的实质为:" 3,4两结点的 力法方程的实质 的实质为 等于所拆除杆的拉( 相对位移 34 等于所拆除杆的拉(压 )变形 l 34" 互乘求Δ1P
力法求解超静定结构的步骤：
第八章力法本章主要内容1）超静定结构的超静定次数2）力法的解题思路和力法典型方程（显然力法方程中所有的系数和自由项都是指静定基本结构的位移，可以由上一章的求位移方法求出（图乘或积分））3）力法的解题步骤以及用于求解超静定梁刚架桁架组合结构（排架）4）力法的对称性利用问题，对称结构的有关概念四点结论5）超静定结构的位移计算和最后内力图的校核6）§8-1超静定结构概述一、静力解答特征：静定结构：由平衡条件求出支反力及内力；超静定结构的静力特征是具有多余力，仅由静力平衡条件无法求出它的全部（有时部分可求）反力及内力，须借助位移条件（补充方程，解答的唯一性定理）。
二、几何组成特征：（结合例题说明）静定结构：无多余联系的几何不变体超静定结构：去掉其某一个或某几个联系（内或外），仍然可以是一个几何不变体系，如桁架。
即：超静定结构的组成特征是其具有多余联系，多余联系可以是外部的，也可能是内部的，去掉后不改变几何不变性。
多余联系（约束）：并不是没有用的，在结构作用或调整结构的内力、位移时需要的，减小弯矩及位移，便于应力分布均匀。
多余求知力：多余联系中产生的力称为三、超静定结构的类型（五种）超静定梁、超静定刚刚架、超静定桁架、超静定拱、超静定组合结构四、超静定结构的解法综合考虑三个方面的条件：1、平衡条件：即结构的整体及任何一部分的受力状态都应满足平衡方程；2、几何条件：也称变形条件、位移条件、协调条件、相容条件等。
即结构的变形必须符合支承约束条件（边界条件）和各部分之间的变形连续条件。
3、物理条件：即变形或位移与内力之间的物理关系。
精确方法：力法（柔度法）：以多余未知力为基本未知量位移法（刚度法）：以位移为基本未知量。
力法与位移法的联合应用：力法与位移法的混合使用：混合法近似方法：力矩分配法、矩阵位移法、分层总和法、D值法、反弯点法等本章主要讲力法。
五、力法的解题思路（结合例子）把不会算的超静定结构通过会算的基本结构来计算。
力法求解超静定结构的步骤
第八章力法本章主要内容1）超静定结构的超静定次数2）力法的解题思路和力法典型方程（显然力法方程中所有的系数和自由项都是指静定基本结构的位移，可以由上一章的求位移方法求出（图乘或积分））3）力法的解题步骤以及用于求解超静定梁刚架桁架组合结构（排架）4）力法的对称性利用问题，对称结构的有关概念四点结论5）超静定结构的位移计算和最后内力图的校核6）§8-1超静定结构概述一、静力解答特征：静定结构：由平衡条件求出支反力及内力；超静定结构的静力特征是具有多余力，仅由静力平衡条件无法求出它的全部（有时部分可求）反力及内力，须借助位移条件（补充方程，解答的唯一性定理）。
二、几何组成特征：（结合例题说明）静定结构：无多余联系的几何不变体超静定结构：去掉其某一个或某几个联系（内或外），仍然可以是一个几何不变体系，如桁架。
即：超静定结构的组成特征是其具有多余联系，多余联系可以是外部的，也可能是内部的，去掉后不改变几何不变性。
多余联系（约束）：并不是没有用的，在结构作用或调整结构的内力、位移时需要的，减小弯矩及位移，便于应力分布均匀。
多余求知力：多余联系中产生的力称为三、超静定结构的类型（五种）超静定梁、超静定刚刚架、超静定桁架、超静定拱、超静定组合结构四、超静定结构的解法综合考虑三个方面的条件：1、平衡条件：即结构的整体及任何一部分的受力状态都应满足平衡方程；2、几何条件：也称变形条件、位移条件、协调条件、相容条件等。
即结构的变形必须符合支承约束条件（边界条件）和各部分之间的变形连续条件。
3、物理条件：即变形或位移与内力之间的物理关系。
精确方法：力法（柔度法）：以多余未知力为基本未知量位移法（刚度法）：以位移为基本未知量。
力法与位移法的联合应用：力法与位移法的混合使用：混合法近似方法：力矩分配法、矩阵位移法、分层总和法、D值法、反弯点法等本章主要讲力法。
五、力法的解题思路（结合例子）把不会算的超静定结构通过会算的基本结构来计算。
力法求解超静定结构的步骤
力法求解超静定结构的步骤在结构力学中，超静定结构是指不仅能同时满足静力学平衡条件，而且还有多余的约束力，因此外加一个作用力时其约束力不会被破坏。
力法求解超静定结构是求解这类结构体系的一种有效方法，下面是力法求解超静定结构的步骤。
步骤1：建立超静定结构的外部受力与内力等效关系超静定结构的约束力有多余的约束力，即力学平衡条件所无法求解的约束力。
因此，我们需要建立超静定结构的外部受力与内力等效关系，通过已知的受力条件推导约束力的作用，确定超静定结构的内力状态。
步骤2：建立超静定结构的位移方程或应力方程建立超静定结构的位移方程或应力方程，是力法求解超静定结构的关键步骤之一。
位移方程的建立可以基于杆件测量法或截面受力法，应力方程的建立可以基于材料本构关系和边界条件等。
步骤3：解超静定结构的位移方程或应力方程解超静定结构的位移方程或应力方程，可以采用数值解法和解析解法两种方法。
数值解法主要包括矩阵法、有限元法、边界元法等，解析解法则借助微积分和常微分方程等数学方法进行求解。
步骤4：计算超静定结构的内力与应变通过已解出的位移或应力，可以计算得到超静定结构的内力状态和应变分布。
同时，超静定结构的内力状态也可以用于检验该结构的可靠性以及对超静定结构进行所需的修理和维护。
步骤5：检验超静定结构的可靠性超静定结构的可靠性检验，是通过计算得到的内力状态来评估该结构是否满足设计和使用要求的一项重要工作。
该步骤可以基于强度理论、变形理论等方法，利用计算机强度分析软件来实现。
，力法求解超静定结构是求解这类结构体系的一种常用方法。
通过以上步骤的实施，我们可以获得超静定结构的内力状态，进而检验该结构的可靠性。
力法求解超静定结构ppt课件
2a
9a 3 EI
1P
23
1 EI
2ma 2a
4ma 2
EI
由 11 X1 1P 0 得
X1
4m 9a
RA
RC
4m 9a
mA
mB
m 逆时针
3
24
等截面平面框架的受力情况如图所示。试 求最大弯矩及其作用位置。
25
1P
0
得
X1
qa 16
XB
qa 16
,
YB
9qa 16
21
XA
qa ,
16
YA
7qa 16
等截面梁的受力情况如图所示。试求Ａ、 Ｂ、Ｃ三处的约束力。
22
M10 图
MP图
由反对称性知，B支座约束反力RB 0
11
1 EI
9a2 2
解除多余约束后得到的静定结构，称为原 静不定系统的静定基本系统，或相当系统。
（本章主要用力法解超静定结构）
4
补充-2 力法解超静定结构
在求解静不定结构时，一般先解除多余 约束，代之以多余约束力，得到基本静定系。 再根据变形协调条件得到关于多余约束力的补 充方程。这种以“力”为未知量，由变形协调
条件为基本方程的方法，称为力法。
X1
3qa 16
XC
3qa 16
，YC
0，M C
0
X A ()
X B ()
第十四章 用力法计算超静定结构
确定超静定次数时应注意的问题
(1)去掉多余联系后所得到的必须是静定结构。 (3)刚性联结的封闭框格，必须沿某一截面将其切断。
4次超静定
(2)去掉多余约束的方案有多种形式，即与超静定结构相应的静定结构有多个。
X4
X3 X3
X2
X2
X4 X1
n=3
n=3
n=4
n=4
§14.4 力法的典型方程
拓展
1 11 12 13 1P 0 2 21 22 23 2 P 0 3 31 32 33 3 P 0
§14.2
力法的基本原理——力法解题思路
去掉多余约束 使超静定结构成为静定 q 1 l 1 在多余约束处 补充位移方程
超静定结构： 有多余未知力，有多余约束 q
沿x1方向的位移：1 0 1 11 1F 0 11 11 X1
2
原体系
q
MP
基本体系
11
1F
M1
X1
Ml图
MP图
X1
1 2 ql 2 1 ql3 ( l )( ) EI 3 8 2 24EI
1 p
11
1 ql2 8
§14.3 力法的基本结构和超静定次数
方法：去掉多余联系 1．切断一根链杆，等于去掉一个约束。
将受弯杆件任意截面改成 铰/将固定支座换成铰支座 也等于各去掉一个约束
n1 X 1 n 2 X 2 ni X i nn X n nP 0
方程组的物理意义：在基本体系中，由于全部多余力和已知 荷载的作用，在去掉多余约束处的位移应等于原结构相应的位移。 主系数
ii
M i ds EI
材料力学-力法求解超静定结构
内超静定系统：支座反力可由平 衡方程求出，但杆件的内力却不
能全由平衡方程求出；
简单的超静定结构
1 超静定系统的几个基本概念
求解超静定系统的基本方法，是解除多余约束， 代之以多余约束反力，根据多余约束处的变形协 调条件建立补充方程进行求解。
解除多余约束后得到的静定结构，称为原超静定 系统的静定基本系统。
在求解超静定结构时，一般先解除多余约束， 代之以多余约束力，得到基本静定系。再根 据变形协调条件得到关于多余约束力的补充 方程。这种以“力”为未知量，由变形协调 条件为基本方程的方法，称为力法。
a
A
A
C
l
F
A
C
B 1F
B F
F 01 单击此处添加标题
X1
02 单击此处添加标题
A
C
B
1X1
1 1 F 1 X0
MP图
M10图
材料力学Ⅰ电子教案
补充：力法求解超静定结构
11
1 EI
a2 2
2a 3
a2
a
4a 3 3 EI
1P
1 EI
qa 2
3
a
qa 4 2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱI
由 11 X 1 1P 0
得
X1
3qa 8
X B 0,
YB
3qa 8
X A 0,
YA
11qa 8
,
M
A
qa 2 8
正对称载荷：绕对称轴对折 后，结构在对称轴两边的载 荷的作用点和作用方向将重 合，而且每对力数值相等。
反对称载荷：绕对称轴对 折后，结构在对称轴两边 的载荷的数值相等，作用 点重合而作用方向相反。
力法、位移法求解超静定结构讲解
力法、位移法求解超静定结构讲解超静定结构是指在静力学计算中具有过多约束的结构体系，其问题在于不能通过传统的静力学方法直接计算出结构体系的内力以及位移的分布情况，需要利用力法或者位移法来求解超静定结构。
力法是指将结构体系的内力分配给各个构件，然后根据各个构件的受力情况和变形情况，逐步推导出结构体系的内力和位移分布情况的一种方法。
其基本思想是通过外部荷载作用下的内力分配，将超静定结构分解成多个静定结构分析，同时通过协调各个分析时的界面条件，进行内力和位移的匹配，最终得到了超静定结构的内力和位移分布情况。
具体实现步骤如下：1. 选定一个自由图，并对该自由图进行划分，将超静定结构分成多个静定结构，其中每个静定结构的节点数均满足有一个自由度。
分割完毕后，确定每个静定结构的支座反力，然后由每个静定结构自己采用传统的静力学原理分析，并得到各自的内力和位移。
2. 对于静定结构之间的相互配合，需要根据结构体系的受力变形情况建立相互之间的协调关系。
最常用的协调方法是确定静定结构之间的界面条件，如节点位移和节点荷载的相等，以及弹簧刚度之和等于零。
3. 在确定了静定结构之间的界面条件后，就可以获得超静定结构的结构内力分布，接下来需要计算出结构的位移分布。
这一步可以通过位移影响系数法进行求解，具体来说，先在静定结构中确定一个位移分量，然后根据约束条件求得其余节点的位移分量，最终获得超静定结构的位移分布。
相比于力法，位移法的思路更加简洁明了，具体步骤如下：1. 建立超静定结构的初始刚度方程，包括构件中的整体刚度和节点位移自由度的边界条件等。
2. 将超静定结构受到的外载按照一定的规律进行分配，使得该结构从受力变形的点出发经过一系列刚度修正后，其总体刚度等于原结构的刚度。
这个修正过程是迭代的，一般采用迭代矩阵求逆的方式进行求解。
3. 当总体刚度修正后，结构的总位移就变为了一个已知量。
根据节点位移自由度的边界条件，可以直接解出各节点的位移分量。
力法求解超静定结构的步骤
力法求解超静定结构的步骤：
1、先判定其超静定次数，（含多余联系数），去掉原结构的所有多余联系，用相应的多余力代替，得一静定的基本结构（形式可能很多，尽量简单）；
2、根据基本结构在原荷载及所有多余力共同作用下，在每一个去掉的多余联系处位移和原结构相应位置的已知位移相同，建立力法典型方程；
3、求方程所有系数和自由项，（静定结构的位移计算）积分法或图乘法，写出基本结构X i∑=在单位力及原荷载分别单独作用下的内力表达式或作出内力图；
4、解方程，求出所有多余力；
5、作最后内力图（静定结构的计算问题）梁、刚架：M N P 组合结构：
6、校核，两方面：平衡条件（截取结构中+ X i N i ∑=M P →Q→N 桁架：N +M i M＝0 ）∑Y＝0 ∑ X＝0 ∑刚结点、杆件或某一部分，应满足；变形协调条件（多余约束处位移是否与已知位移相等）
注：选取基本结构的原则：
（1）基本结构为静定结构；
（2）选取的基本结构应使力法方程中系数和自由项的计算尽可能方便，并尽量使较多的副系数和自由项为0
（3）较易绘M 图及MP 图。
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ql3
24EI l
1 ql2 8
3EI
5、绘内力图 M M1X1 M p V V1 X1 Vp
ii
M
2 i
dx
EI
2、副系数δij —iiijijip表的示作基MMM用EM本EEIiii2E点MMiIIMd结Ix并jjpd构dx沿dxx由Xi于的X方j 向 1产的生单的独位作移用；，图在B Xi
3、副自系由数项存△在ip—如下表iijiip作关示用系基点MME：M本EI并ii2MEδIi结dMI沿xji构dpjX=xdiδ由x的j于方i 荷向载产的生单的独位作移用。，图C在Xi的
§14.2 用 力 法 解 超 静 定 结 构
一、引例
位移条件： △1=△B =0
力法方程：
△1=△11+△1p=0
Δ11=δ11X1 11X1 1P 0
力法基本未知量—多余约束中的多余未知力
力法基本体系 — 受到多余未知力和荷载共同作用的 基本结构称为力法基本体系
力法基本结构 — 原结构去掉多余约束后得到的静定
2、根据位移条件△1 = 0，建立力法方程 11X1 1P 0
3、计算系数和自由项
绘出单位弯矩图M 1和荷载弯矩图MP
11
1 EI
(1 2
1 l
2 3
1)
l 3EI
1P
1 EI
(2 l 1 ql 2 38
1 1) 2
ql 3 24 EI
4、求解多余未知力,将系数和自由项代入力法
方程，得
X1
1p 11
11X1 1P 0
3、计算系数 11和自由项 1P
11
1 2EI
(1 2
1 4
2 3
1)
1 EI
(1 2
1 4
2 3
1)
2 EI
1P
1 2EI
1 ( 2
10 4
1 1) 2
1 EI
1 ( 2
3 2 1 1) 3
4 EI
4、求解多余未知力
4
X1
1P
11
EI 2
2kN
EI
5、绘内力图
按叠加法绘弯矩图 即
EI
EI 3 2 4
8EI
ql4
X1
1 p 11
8EI l3
3 ql 8
()
3EI
M M1X1 M p FS FS X1 FSp
FS
二、力法计算超静定结构的基本思路
超静定结构
去掉多余约束代以多 余未知力Xi
静定结构
计算出多余未知力
根据位移条件建立力法基本方程
•力法基本原理 以多余约束中的多余未知力为基本未知量，根据基本体系在去掉多余
2、先按叠加法作出弯矩图，再由
弯矩图 杆件平衡条件
剪力图 结点平衡条件
轴力图
力 法 小结
多余未知力 基本体系 力法方程
关键 桥梁 条件
•力法基本原理
以多余约束中的多余未知力为基本未知量，根据基本体系 在去掉多余约束处的位移应与原结构一致的原则，建立力法方 程。解方程求出多余未知力，其后就是静定结构的计算问题了。
1 2
l
l
2 3
l
2
2l 3 3EI
1P
1 EI
1
2
l ql 2
2 3
l2
2 3
l
ql 2 8
l
2
17ql 4
24EI
4.计算X1 5.绘内力图
X1
1P 11
17ql 4
24EI 2l 3
17 ql 16
3EI
利用 M M1X1 M P 计算各杆端弯矩
6.校核
四、力 法 的 典 型 方 程
M M1X1 M p
弯矩图绘出后，可取各杆件为脱离体，并利用杆件的力矩平衡条件求出杆端剪力， 然后按荷载与内力的微分关系绘出剪力图，如图f所示。
例2：试用力法计算图示超静定刚架，并绘内力图。
解： 1.选择基本体系
2.建立力法方程
11X1+1P=0
3.计算系数和自由项，
结构称为力法基本结构
基本结构
力法基本方程 — 利用基本体系的变形状态与原结构
一致的条件所建立的确定多余未知
力的方程
BACK
11X1 1P 0
11
M1M1 dx 1 (1 l l 2 l) l3
EI
EI 2
3
3EI
1P
M1M p dx 1 (1 l 1 ql 2 3 l) ql 4
约束处的位移应与原结构一致的原则，建立力法方程。解方程求出多余未知 力，其后就是静定结构的计算问题了。
三、力法计算一次超静定结构
例1 试用力法计算图7-9a所示超静定梁，并绘内力图。 解：1、确定基本未知量，选择基本体系 2、建立力法方程
基本体系在B截面沿X1方向的相对转角应为零， 即Δ1=0。根据此位移条件建立力法方程：
力法计算超静定结构的基本思路
超静定结构
去掉多余约束代以多余 未知力X1
计算出多余未知力
静定结构
根据位移条件建立力法基本方程
BACK
（一）两次超静定结构的力法典型方程
基本体系
位移 条件：
1 0 2 0
1 11 12 1p 0 2 21 22 2 p 0
△11=δ11X1 △21=δ21X1
11X1 12 X 2 1n X n 1p 0
21X1 22 X 2 2n X n 2 p 0
n1 X1 n2 X 2 nn X n np 0
（三）力法典型方程中系数和自由项的计算
1、主系数δii — 表示基本结构由于 Xi 1的单独作用，在Xi 的作用点并沿Xi的方向产生的位移； 图A
△12=δ12X2 △22=δ22X2
力法 方程：
11 X1 21X1
12 X 2 22 X 2
1P 2P
0 0
（二）n次超静定结构的力法典型方程
n次超静定结构
n个多余约束
n个多余未知力
n个已知的位移条件
可建立n个力法方程
解出n个多余未知力
若原结构上对应于各多余未知力作用处的位移都为零，则n 次超静定结构的力法典型方程为：
ip
MiM
p
dx
EI
（四）最后内力图的绘制
1、利用基本结构的单位内力图和荷载内力图按叠加法绘出
M M1X1 M2 X2 L Mn Xn M p FS FS1X1 FS 2 X 2 L FSn X n Fp FN FN1X1 FN 2 X 2 L FN n X n FN p
思考题
1.力法求解超静定结构的思路是什么？ 2.试画出图示每一超静定结构的两种力法基本结构。
3. 力法方程的物理意义是什么？力法典型方程的右 端是否一定为零？ 4.图(a)结构选用图(b)所示基本体系,力法方程的物 理意义是什么？ 绘内力图。
例1：试用力法计算图示超静定梁，并绘内力图。
解 1、确定基本未知量，选择基本体系。