升容斥原理之重叠问题

第八讲：容斥原理之重叠问题

一、导入

?文氏图

文氏图，也叫“维恩图”，是由英国着名数学家Venn发明的．

维恩（公元1834年8月4日─公元1923年4月4日）十九世纪英国着名的数学家和哲学家，

生于英国赫尔．他1883年获得理学博士学位，同年被选为英国皇家学会会员．

维恩最主要的成就是系统解释并发展了几何表示的方法，也就是发明了文氏图．他作出一系列简单闭曲线（圆或更复杂的图形），将平面分为许多间隔．利用这种图表，维恩阐明了演绎推理的基本原理．为了进一步明确起见，他还引入了一些数学难题作为实例．虽然在维恩之前，莱布尼茨

（Leibniz）已系统地运用过这类逻辑图，但今天这种逻辑图仍称作“维恩图”另外，维恩在概率论和逻辑学方面也有很大贡献，他的着作——《机会逻辑》和《符号逻辑》，在19世纪末20世纪初曾享有很高的声誉．

除了数学以外，维恩还有一项较为特别的技能——制作机器．他曾制作过一部板球发球机，当澳洲板球队在1909年到访剑桥大学时，维恩的机器依然运作正常，并使他们其中一位成员打空四次．

什么是容斥原理？

这一讲我们主要学习和“包含”与“排除”有关的问题，这样的问题在生活中就有不少，

比如吃瓜子．我们说吃掉了一斤瓜子，指的是带壳的瓜子，并非真的吃到肚子里一斤，因为这一斤中还“包含”着瓜子壳．如果要计算到底吃了多少，最简单的方法就是称一称瓜子壳，用原来的一斤“排除”掉瓜子壳的重量．瓜子的例子相对简单，一斤瓜子里一部分是瓜子仁，另一部分就是瓜子壳，两者各不相关．但本讲要学习的包含与排除问题要复杂一些，各部分之间会有重叠．

比如一个办公室中每个人都至少爱喝茶或咖啡中的一种，已知有7个人爱喝茶，10个人爱喝咖啡，那能不能就说办公室里有17个人呢？显然不能，因为可能有一些人既爱喝茶也爱喝咖啡，如果直接将喝茶的人数和喝咖啡的人数相加，会把既爱喝茶又爱喝咖啡的人计算2次，计算人数的时候要把这一部分减去才行．

比如，如果有3个人既爱喝茶又爱喝咖啡，那总的人数就应该是7+10?3=14人．

这就是我们今天要来研究的问题——有重叠的计数问题，即包含与排除问题．研究这种问题通常需要画出示意图，这样的示意图又叫做文氏图，下面我们就用文氏图推导两个对象的容斥原理公式．

两个量之间的重叠

例1、某班有34名同学参加了学校的运动会，其中有17名参加了跳绳，有20名参加了拔河，

问：及参加了跳绳又参加了拔河的又多少人？ 如右图所示，如果要计算三个部分的总数，直接计算A+B 就会算多了，而多算的正好是共同部分，只要把多算的减掉就可以了．上述分析总结成公式就是： 这个公式就是两个对象的容斥原理． 17+20-34 =37-34 =3（人）

答：即参加跳绳又参加拔河的同学有3人。

练一练

1、五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课的成绩是优秀，其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人．语文、数学都优秀的有多少人？

2、在一次数学测试中有两道题全班同学都至少答对一题，答对第一题的有33人，答对第二题的又38人，两题都答对的又15人，问全班又多少人？

3、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器。已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会的有8人，这个文艺组一共有多少人？

挑战思维

1、为了参加一次竞赛，某班46人中，每人至少参加一项。其中有20人参加语文兴趣小组，，参加语文同时又参加数学兴趣小组的有2人，两项都没有报的有10人，那么参加数学兴趣小组的有多少人？

三个量之间的重叠 1、某单位元旦期间组织旅游，每人至少说出一个想去的地方。其中想去海南的有42人，想去桂

林的有44人，想去港澳的有36人，既想去海南又想去桂林的有12人，既想去桂林又想去港澳的有8人，既想去海南又想去港澳的有10人，三个地方都想去的有4人。问这个单位一共有多少人？

（42=44+36）-12-8-10+4

换个思路想一想

至少报一项的有多少人？

=122-（12+8+10）+4 =122-30+4

=96（人）

答：这个单位一共有96人。

方法总结：

人，即参加百米有参加跳远的有12人，即参加跳远有参加投掷的有9人，即参加百米有参加投掷的有14人，三项都参加的有5人，三项都没有参加的有12人，问参加跳远的有多少人？ 重叠问题中的极值问题

1、40人参加某次晚会，其中28人在晚会上唱了歌，25人在晚会上跳舞，那么即唱歌有跳舞的人最多有多少人，最少有多少人？

最多：25人

最少:(28+25)-40=13人

答：最多25人最少13人。

方法总结：

练一练

1、某校100名学生中，爱好音乐的有56人，爱好美术的有75人，那么即爱好音乐有爱好美

3、希望小学音乐兴趣小组有37人，其中20人会手风琴，16人会钢琴，24

人会电子琴，即会手风琴又会钢琴的8人，即会电子琴又会钢琴的10人，即会手风琴又会电子琴的8人，那么三种都不会的至少多少人？ 请举手!”有42人举手。最后问：“谁语文、数学作业没有做完?”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数是______人。

2、某个班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，求这个班的学生数？

3、某班共有30名男生，其中20人参加足球队，12人参加蓝球队，10人参加排球队。已知没一个人同时参加3个队，且每人至少参加一个队，有6人既参加足球队又参加蓝球队，有2人既参加蓝球队又参加排球队，那么既参加足球队又参加排球队的有多少人？

4、班有46人其中会弹琴的有30人，会拉小提琴的有28人，则这个班级会弹琴又会拉小提琴的至少有多少人？

5、某班同学中，有26人爱打篮球，17人爱打排球，19人爱踢足球，有9人既爱打篮球又爱踢足球，有4