古典概型与几何概型的区别

古典概型和几何概型的意义和主要区别

在初中阶段的教学过程中，作为教师，理解古典概型和几何概型的意义和主要区别，有利于从事相应的教学。几何概型是在学习了古典概型之后，将等可能事件的概念从有限向无限的延伸，这两种概型，在初中阶段都呈现了出来，作为教师，理解古典概型和几何概型的意义和主要区别，有利于培养学生的建模能力、逻辑推理能力和空间观念，下面我就两种概型的意义、两种概型的主要区别以及怎样应用它们发展学生的诸多能力加以简单介绍。

一、古典概型和几何概型的意义

（一）.几何概型的定义：

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.

1.几何概型的特点:

(1)试验中所有可能出现的基本事件有无限多个

．．．．.

(2)每个基本事件出现的可能性相等

．．．．．.

2.几何概型求事件A的概率公式：

P(A)=构成事件A的区域长度(面积或体积)/ 实验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

（二）古典概型的意义大家都很熟知，此处不在介绍

1. 古典概型的特点：

(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个

．．．.

(2)每个基本事件出现的可能性相等

．．．．．.

2. 古典概型求事件A的概率公式：

P(A)=事件A可能发生的结果数/实验发生的所有等可能的结果数二. 古典概型与几何概型的主要区别

几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个，利用几何概型可以很容易举出概率为0的事件不是不可能事件的例子，概率为1的事件不是必然事件的例子。

三.利用不同概率模型,培养学生的建模能力及实际应用能力（一）结合实例进行建模

题组一：

情境1、抛掷两颗骰子，求出现两个“6点”的概率

情景2、1号口袋中装有两只红球一只白球，2号口袋中装有一只红球一只白球，这些球处颜色不同外，其他都相同，小明从两个袋各摸一球，问摸出的两球异色的概率是多少？

情景3、一口袋中装有3只红球2只白球，小明从口袋里摸出一球放回去，摇匀后，在摸出一球，问两次摸出的球为异色的概率是多少？

情景4、一口袋中装有3只红球2只白球，小明从口袋里一次摸出2球，问两球异色的概率是多少？

说明：第一组题是古典概型，（1）通过解题让学生从多角度理解古典概型的特征；（2）通过作树状图，让学生领略各题之间存在的不同；（3）体会应用古典概型解决实际问题时应注意的事项（如：元素是否重复利用、元素间有无顺序；实验出现的结果确保等可能性）。

题组二：

情境1、如图转盘上有6个面积相等的扇形，转动转盘，求转盘停止转动时指针落在阴影部分的概率。

情境2、在区间（0，10）内的所有实数中随机取一个实数a，则这个实数a>7的概率为

情境3、在1L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10mL，含有麦锈病种子的概率是多少。

说明：第二组题是几何概型，通过这组题引导学生从多角度认识、理解几何概型。并感知几何概率只与事件A的区域所占的比例有关,而与事件A的区域的形状、位置无关。

(1)分析：指针落在转盘上任何位置的机会是等可能的，且所在的位置有无限多个的，（符合几何概型），阴影部分的区域可视作d，整个转盘区域可视作D.

解：阴影部分的面积/整个转盘的面积=2/6=1/3

（说明：由于所分成的6个扇形的面积相等，此题也可转化为古典概型来完成）。

（2）分析：实数a取到（0，10）内的任意一个数是等可能的，（且取到的数有无限多个），可以利用几何概型。

解：P=7～10之间的长度/0～10之间的长度=3/10=0.3

（3）分析：锈病种子在这1L种子中任何位置的机会是等可能的，且所在的位置有无限多个的，（符合几何概型），取得10mL 种子可视作区域d，所有种子可视为区域D. 利用体积的比便求得答案

解：P(A)=取出种子的体积/所有种子的体积=10/1000=0.01

问题1.上述解决问题的方法相同吗？你能说出它们的异同点

吗?(设计此问题的目的,是让学生感悟概型并建立概型).

(二)思维拓展：

例题1：某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.

分析: 收音机每小时报时一次，某人午觉醒来的时刻在两次整点报时之间都是等可能的，且醒来的时刻有无限多个的，因而适合几何概型。

引导学生求解：设A={等待的时间不多于10分钟}.事件A恰好是打开

音机的时刻位于[50,60]时间段内事件A发生。

法一：（利用利用[50,60]时间段所占的弧长）：

P(A)=A所在扇形区域的弧长/圆周长=1/6

法二：（利用[50,60]时间段所占的面积）：

P(A)=A所在扇形的面积/整个圆的面积=10/60=1/6

法三：（利用[50,60]时间段所占的圆心角）：

P(A)=A所在圆心的大小/圆周角=1/6

法四：将时间转化成长60的线段，研究事件A位于[50,60]之间的线段的概率:

P(A)=(60-50)/60=1/6

问题1:你能设计一个转盘来模拟这个试验，并得到结果吗？(设计意图：前后呼应，帮助学生建立模型，让学生逐步渗透用随机模拟的方法来处理问题的思想)。

例2. 在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM 小于AC的概率.

分析 :此题符合几何概型,可利用线段长度的比来求解.(答案:√2/2)

解在AB上截取AC/=AC．于是

P(AM﹤AC)=P(AM ﹤AC/)= AC//AB=AC/AB=√2/2

变式 : 在等腰直角三角形中ABC中，过直角顶点C在∠ABC内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM小于AC的概率.

分析:此题仍符合几何概型,画图观察将会发现,可利用面积的比来求解.

解：由题意，射线CM在∠ACB内等可能分布的（符合几何概型），在AB上取AC/=AC，则∠ACA/=67.50，故满足条件的概率

为:67.5/90=3/4.（借助此题培养学生数学思维的深刻性、广阔性等思维品质）

再思考：如图所示，撒一粒豆子在正方形中，

（1）豆子撒在P点的概率是？（答案：0）

（2）豆子撒在P点外的概率是？（答案：1）

（目的是让学生了解一下，概率为0的事件不一定是不可能事件；概率为1的事件不一定为必然事件）。