浅谈同余与不变子群的关系

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伊犁师范学院学报
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2005 年
∈H，即 aha ∈H，进而有 a aha a∈a Ha； -1 -1 -1 故 h∈a Ha， 即有 H 包含于 a Ha， 综上 a Ha=H， 故 H⊿G． -1 设 H≤G， 利用等价关系～l(a～l b 当且仅当 ab -1 ∈H)以及～r(a～rb 当且仅当 ba ∈H)将群 G 分类， 每一个等价类叫做 G 关于 H 的左(右)陪集． 利用～l 分类：元素 a 所在类为 a=aH={ah|h∈ H }，以这些左陪集为元素的商集为 G/～l={aH|a∈G}． 利用～r 分类，元素 a 所在类为 a=Ha={ha|h∈ H }，以这些右陪集为元素的商集为 G/～r={Ha|a∈G}． 一般地，对任意的 a∈G，a 所在的左、右陪集 不一定相等， 但对于特殊的子群则有可能相等， 有： 定理 5 若 H 是群 G 的一个子群， 则 H⊿G 当且 仅当对任意的 a∈G，恒有 Ha=aH 成立． 至此，给出本文另外几个重要的定理和推论， 即不变子群与同余的关系． 引理 1 设 G 是群， G 元间的等价关系 ～ （a～ -1 是一个同余关系， 而 H={x|x～ b 当且仅当 ab ∈H） e，x∈G },则 H⊿G． -1 -1 证：对任意的 a∈G，h∈H ,有 a ∈G，且 a ～ -1 -1 -1 a ，而已知 h～e,～为同余关系，则 a h～a ，即 -1 -1 -1 -1 a h(a ) = a h a∈H，即 H⊿G． 定理 6 设 H 是群 G 的一个子群， 则 H⊿G 的充 -1 要条件是 G 元间的关系～（a～b 当且仅当 ab ∈H） 是一个同余关系． 证：由于 H≤G，则 G 元间的关系～（a～b 当 -1 且 仅 当 ab ∈ H ） 是 一 个 等 价 关 系 ， 对 任 意 的 -1 a ， a ′ ∈ G ， 若 a ～ a ′ , 则 a （ a ′ ） ∈ H, 设 -1 a（a′） =h1∈H,则 a= h1 a′． 对任意的 b，b′∈G，若 b～b′，则 -1 -1 设b （b′） =h2∈H,则 b= h2 b′． 故 b （b′） ∈H， （1） ab= h1 a′h2 b′ -1 -1 -1 又由 H⊿G，则[（a′） ] h2（a′） ∈H， -1 即 a′h2（a′） ∈H． -1 设 a′h2（a′） =h3∈H,则 a′h2= h3 a′，将 其代入（1）式得: （2） ab= h1 (a′h2 )b′= h1 h3 a′b′ -1 由(2)式不难得出（ab） （a′b′） = h1 h3∈H， 故 ab～a′b′，即～为同余关系． -1 另一方面，对任意的 a∈G，h∈H，由于 a ～ -1 -1 -1 -1 则 a h～a ， a ,he = he=h,即 h～e,～为同余关系， -1 -1 -1 -1 即 a h(a ) ∈H，故 a ha∈H,即 H⊿G． 推论 2 设 H 是群 G 的一个子群， 则 H⊿G 的充
要条件是 G 元间的关系～′(a～′b 当且仅当 -1 b a∈H)是一个同余关系． 定理 7 设 H⊿G， 则商集 G/～对子集乘法作成 群． 证：由于 aH，bH 都是群 G 的子集,则 又由于 H⊿G， 则 Hb=bH， aHbH={ ah1 bh2|h1 h2 ∈H }， 故有 h1b=bh′, 因此，ah1 bh2=a(h1b) h2= ab(h1 h′) ∈abH， 即 aHbH 包含于(ab)H． 另一方面， (ab)h=(ae)(bh) ∈aHbH， 则(ab)H 包 含 于 aHbH ， 即 有 aHbH=abH ， 此 外 ， 由 于 eHaH=(ea)H=aH，aHeH=(ae)H=aH，故 eH 是 G/～的 -1 单位元，而 aH 的逆元就为 a H，由此得出 G/～关 于陪集、 乘法作成一个群， 将这个群给予一个定义． 定义 5 设 H⊿G， 则商集 G/～关于集乘法构成 的群称为 G 关于同余关系～的商群． 由上定义， 不难看出商群 G/～与群 G 的关于不 变子群 H 的陪集作成的商群 G/H 有着相同的性 质．所以有： 命题 1 H⊿G，群 G 关于同余关系～作成的商 群 G/～=G/H. 下面，再从整体范围内讨论等价关系与子群的 关系以及同余关系与不变子群的关系，这是本文的 又一个重要结论. 在给出定理前先说明几个符号的含义： S(G)表示群 G 的所有子群构成的集合，简称群 G 的子群类； E(G)表示群 G 对于等价关系～的所有等价类构 成的集合； N(G)表示群 G 的所有正规子群构成的集合,简 称群 G 的正规子群类； C(G)表示群 G 对于同余关系～的所有同余类构 成的集合. 定理 8 群 G 的子群类 S(G)与群 G 的等价类 E(G)之间存在一个一一映射. H→Ha 就是群 G 的子群类 S(G) 证： 不难得出ψ ： 与群 G 的等价类之间的一一映射，因为 (i) S(G)的每一元 H 都有唯一的象 Ha； (ii) E(G)的每一元 Ha 是 S(G)中 H 的象； (iii)若 H1a=H2a，则 H1=H2 故ψ 为一一映射. 推论 3 群 G 的正规子群类 N(G)与群 G 的同余 类 C(G)之间存在着一个一一映射. （下转第 89 页）
第3期
周恒为，高峰，夏莉艳，马淑新：物理学习中非智力因素的研究
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活动过程中，师生之间首先应建立良好的情感，所 谓“亲其师，信其道” ，物理教学过程是传授知识、 培养能力、交流情感、增强意志的复合连动过程。 教师在教学中应善于从情感入手，满腔热情投入物 理教学中，课堂上教师要利用面部表情、语速的轻 重快慢、肢体语言、眼神等方式的变化与学生进行 情感交流，使师生之间形成一种融洽、和谐、愉快 的氛围，传递出教师对学生满腔的爱，这必将激发 起Fra Baidu bibliotek生的学习积极性。其次教师一定要保护学生的 自尊和信心。 有些学生因为物理学得不好， 怕物理， 怕回答问题，此时教师应小心呵护而不要挫伤学生 的信心，更要善于体谅学生，课上教师一个鼓励的 眼神，课间教师一句主动的问候都会让学生获得要 求向上的动力，这种动力在心理学上叫附属内驱 力，富有附属内驱力的学生，成绩往往较为突出。 反之，则成绩平平。 2.4 用物理学史典型事例教育学生， 培养学生的坚 强意志 意志是一切事业取得成功的重要心理条件，在 教学中要有目的，有计划，不断利用物理学家严格 的科学态度、一丝不苟的科学精神及持之以恒的探 索物理世界奥秘的事例来教育学生。例如，家境贫 苦的法拉第，坚持业余学习，用长达十年的时间做 了 1600 多个实验，发现了电磁感应现象；焦耳在 近 40 年的时间里做了 400 多次实验，用各种不同
2005 年 9 月 第3期
伊犁师范学院学报 Journal of ILi Teachers College
Sept.2005 No.3
浅谈同余与不变子群的关系
伊 磊
835000) (伊犁师范学院 数学系，新疆 伊宁
摘 要：介绍了等价关系与子群的关系，并由此推导出同余关系与不变子群的等价定理，从 而进一步加深对等价关系、同余关系、子群、不变子群以及商群的理解． 关键词：等价关系；子群；同余关系；不变子群；商群 中图分类号：O152 文献标识码：A 文章编号：1009—1076（2005）03—0041—03 首先， 讨论等价关系和子群之间的关系， 为此， 先给出几个基本的定义、定理． 定义 1 设 H 是群 G 的一个非空子集，若 H 对 G 的运算也构成群，则称 H 是群 G 的一个子群，记 作 H≤G． 定理 1 设 H 是群 G 的一个非空子集，则 H 作 成 G 的子群的充要条件是 (i) 对任何 a，b∈H 有 ab∈H; −1 (ii)对任何 a∈H 有 a ∈H． 将定理 1 中的条件(i)、(ii)合并为一个，即 可得： 定理 2 设 H 是群 G 的一个非空子集，则 H 作 −1 成 G 的子群的充要条件是对任何的 a， b∈H 有 a b ∈H． 定义 2 设～是集合 A 上的一个二元关系，并 满足以下条件： (1)对任意的 a∈A 有 a～a； ( 反身性) (2)对任意的 a，b∈A ，若 a～b 则 b～a； (对称性) (3)对任意的 a，b，c∈A,若有 a～b 和 b～c 则有 a～c(传递性), 则称～为 A 中的一个等价关 系． 下面给出本文的主要结论之一： 定理 3 设 H 是群 G 的一个非空子集，则 H 作 成群 G 的子群的充要条件是 G 元间的关系～(a～b -1 当且仅当 ab ∈H)是一个等价关系． -1 证：对任意的 a∈G，由 aa =e∈H，可知 a～a； -1 对任意的 a，b∈G ，设 a～b，即 ab ∈H，则
收稿日期：2004－06－06 作者简介：伊磊（1977— ） ，男，伊犁师范学院数学系教师．
(ab ) =ba ∈H，则有 b～a，对任意 a，b，c∈G， -1 -1 设 a ～ b ， b ～ c ， 即 ab ∈ H ， bc ∈ H ， 则 有 -1 -1 -1 a(b b)c =ac ∈H,即 a～c． 由上可知 G 元间的关系～为等价关系． -1 反之，对任意的 a，b∈H，若 a～b，则有 ab ∈H；故 H 是群 G 的一个群． 由定理 3 得出： 推抡 1 设 H 是群 G 的一个非空子集，那么 H 作成群 G 的子群的充要条件是 G 元间的关系～′ -1 （a～′b 当且仅当 b a∈H）是一个等价关系． 以上，讨论了等价关系与子群的关系，那么对 于不变子群应该对应着怎样的关系？为了得出结 论，先给出下列定义、定理： 定义 3 设～是集合 A 中的一个二元关系，～ 是一个等价关系且满足对任何 a，b，c，d∈A，若 a～b,c～d 则有 ac～bd,则称～为 A 的一个同余关 系． 定义 4 与自身共轭的子群，即 G 为群，H≤G, -1 对任意的 g∈G,有 gHg =H.我们称这样的子群 H 为 自共轭子群， 又称正规子群或不变子群,记作 H⊿G． 定理 4 设 G 是群， H≤G， 则 H⊿G 当且仅当对 -1 任意的 a∈G，h∈H 都有 a ha∈H． -1 证：若 H⊿G，则对任意 a∈G，有 a Ha=H，即 -1 -1 存在 h∈H，使得 a ha∈a Ha=H. -1 反之，对任意的 m∈a Ha,即存在 h∈H，使得 -1 -1 -1 m= a ha，由定理条件有 m= a ha∈H,即有 a H 包 含于 H； -1 -1 -1 另一方面，对任意 h∈H，a∈G，有(a ) ha
（上接第 42 页） 参考文献： [1]吴品三.近世代数[M]．北京：人民教育出 版社，1979． [2]胡冠章.应用近世代数 [M]．北京：清华大 学出版社，1999．
的方法测定了热功当量，为能的转化和守恒定律提 供了坚实的实验基础；又如居里夫妇等。科学伟人 身上具有的最可贵的品质，正是坚强的意志。作为 教师，应熟悉教材中著名科学家的科学探索事例， 在课堂上或予以充分展示，或设置情景予以表现， 这些事例对培养学生热爱科学、苦战攻关、攀登高 峰的坚强意志有很大的促进作用，有助于学生锲而 不舍的学习意志的形成。在课堂教学中，教师如果 根据学生的认知水平，有目的地设置一定的障碍和 学习的坡度，让学生通过自身的努力与他人协作后 获得成功，这必将极大鼓舞学生克服困难的勇气， 从而培养出学生坚强的意志品质。 总之，非智力因素的内容多，其培养方式方法 也多，非智力因素的培养是素质教育的一项重要内 容，也是培养人才的重要方面。我们在教学中，应 当十分重视这个问题，而且要不断进行探索研究。 参考文献： [1]郭奕玲．物理学史[M]. 清华大学出版社， 2004．14． [2]章志光．心理学[M]．人民教育出版社， 2002．21． [3] 周 谦 ． 学 习 心 理 学 [M] ． 科 学 出 版 社 ， 1992．257． 【责任编辑：张建国】