浅谈同余与不变子群的关系
11 同态与不变子群
§11 同态与不变子群定理1 一个群G 与它的每一个商群/G N 同态.证 显然:/G G Na aN ϕ→是G 到/G N 的的一个满射.,a b G ∀∈，有()()()()()().ab ab N aN bN a b ϕϕϕ===ϕ∴是群G 到商群/G N 的一个同态满射.∴群G 与商群/G N 同态.定义 设ϕ是群G 到群G 的一个同态满射，称G 的如下子集(){}|a G a e ϕ∈=为同态满射ϕ的核，记为Ker ϕ.定理2 设群G 与群G 同态，ϕ是由群G 到群G 的一个同态满射，N =Ker ϕ，则N 是G 的一个不变子群，且/.G N G ≅证 (),,.e e e N N ϕ=∴∈≠∅,a b N ∀∈，则()(),.a e b e ϕϕ== ()()()()()1111.ab a b a b e e e ϕϕϕϕϕ----∴===⋅= 1,.ab N N G -∴∈∴≤,a G n N ∀∈∀∈，有 ()()()()()()()()1111.ana a n a a e a a a e ϕϕϕϕϕϕϕϕ----==== 1..ana N N G -∴∈∴():/G N G aN a ψϕ→ 是/G N 到G 的一个映射.这在逻辑上没有问题.因()()()()()111.aN bN b a N b a eb a e a b ϕϕϕϕϕ---=⇒∈⇒=⇒=⇒=下证ϕ是/G N 到G 的一个双射. a G ∀∈，因ϕ为G 到G 的一到过满射，故存在a G ∈使得()a a ϕ=，()().aN a a ϕϕ∴== 即a 在映射ψ下有原象.ψ∴为满射.设()()aN bN ψψ=，则()()a b ϕϕ=，()()()()()111.b a b a a a e ϕϕϕϕϕ---=== 1,.b a N aN bN -∴∈=∴ψ为单射.下证ψ商群/G N 到群G 的一个同态映射.()()()()()()().aNbN abN ab a b aN bN ψψϕϕϕψψ====定义 设ϕ是集合A 到集合A 的一个满射，,S A T A ⊂⊂，称集合(){}|s s S ϕ∈为A 的子集S 在ϕ下的象，记为().S ϕ称集合(){}|t A t T ϕ∈∈ 为A 的子集T 在ϕ下的逆象，记为()1.T ϕ-定理 3 设群G 和群G 同态，设ϕ是群G 到群G 的一个同态映射，()(),,,H G N G H H N N ϕϕ≤==，则1）H G ≤；2）.N G证 显然.H ≠∅,a b H ∀∈，则,a b H ∃∈使得()a a ϕ=，()b b ϕ=，故()()()()()1111.ab a b a b ab ϕϕϕϕϕ----===1,,,.a b H H G ab H -∴∈≤∴∈ab H ∴∈，.H G ≤2）N G ，N G ∴≤，∴由1）有.N G ≤,a G n N ∀∈∈，则,a G n N ∃∈∈使得()(),.a a n n ϕϕ== ∴()()()()()()()1111.a na a n a a n a ana ϕϕϕϕϕϕϕ----===1,.N G ana N -∴∴∈1..ana N N G -∴∈∴定理 4 设群G 与群G 同态，ϕ是群G 到群G 的一个同态满射，,H G N G ≤，()()11,H H N N ϕϕ--==，则1）H G ≤；2）.N G证 (),,.e e H e H H ϕ=∈∴∈≠∅ 1）,a b H ∀∈，则()(),a a H b b H ϕϕ=∈=∈，因H G ≤，故()()()111.ab a b ab H ϕϕϕ---==∈1,.ab H H G -∴∈∴≤2）,.N G N G ∴≤由1）知，.N G ≤,a G n N ∀∈∈，设()(),a a n n ϕϕ==，则,.a G n N ∈∈N G ，∴()()()()11ana a n a ϕϕϕϕ--=，1ana N -∴∈1,.ana N N G -∴∈∴作业：P79:1,2.习题选解1.我们看一个集合A 到集合A 的满射ϕ.证明，若S 是S 的逆象，S 一定是S 的象；但若S 是S 的象，S 不一定是S 的逆象.证 先证由()1S S ϕ-=可推出()S S ϕ=。
不变子群的判别条件
不变子群的判别条件高海燕(西北师范大学数学系2003届)摘 要：不变子群是一类重要的子群，它在群的理论中起着重要的作用.判断一个子 群是否不变子群，除了应用定义外，也可以应用其判别条件，本文在就对这些判别 条件进行归纳，同时证明诸判别条件的等价性并给出一些应用.关键词：不变子群，陪集，共轭，正规化子，同余关系一、准备知识设H 是G 的一个子群，如果对G a ∈∀,都有Ha aH =,那么，就说H 是G 的一个不变子群. 记为：G H .设a 和b 是群G 中的两个元素，如果在G 中至少可找到这样的一个元素g ，使ag g b 1-=，则称a 与b 在G 中共轭.3．正规化子：N G (H)={g ∈G ︱H g =H}={g ∈G ︱g 1-Hg=H} 称H 在G 中的正规化子。
4．同余关系：设集合A 中有二元运算，记作乘法，若A 的一个等价关系R 满足：aRb, cRd ⇒ acRbd ∀a,b,c ∈A 则称R 为A的一个同余关系。
一．判断一个子群为不变子群的条件，及其证明过程.㈠．与定义等价的判别条件1.H G，即∀a∈G, 有aH=Ha2.∀a∈G,有aHa1-=H3.∀a∈G,有aHa1-⊆H4.∀a∈G,∀h∈H,有aha1-∈H5.∀a∈G,有aH⊆Ha6.∀a∈G,有H⊆a1-Ha7.aHbH=abH, ∀a,b∈G 即两个左陪集的乘积仍是左陪集8.H在G中的每个左陪集都是一个右陪集9.∀a∈G,有a1-Ha=H10.∀a∈G,有a1-Ha⊆H11.∀a∈G,∀h∈H,有a1-ha∈H12.∀a∈G,有Ha⊆aH13.∀a∈G,有H⊆aHa1-14.HaHb=Hab, ∀a,b∈G 即两个右陪集的乘积仍是右陪集15.H在G中的每个右陪集都是一个左陪集16.以群G之子集H为模的G之剩余类（即陪集）之集合关于陪集之积运算构成群.（即商群存在）17.H是G的子群，则G中由aRb,当a1-b∈H，所定义的关系R为同余关系18.N(H)=GG19.若n∈N，则所属的G的共轭元素C(n)⊆H。
2-11同态与不变子群
令i是最小的使得ai属于H的正整数，下证明H (ai )
at H , t iq r (0 r i)
at aiqar
由于at和aiq都属于H，有 ar aiqat H
于是由假设r 0,则at (ai )q，而H (ai )
例：假定群G的不变子群N的阶是2，证明G的中心包含N 证明：令N {e, n}，其中e是G的单位元(P34 )
N是群G的不变子群 a G,有aN Na，即：{a,an} {a,na}
an na,a G, n属于G的中心
ea ae,a G, e属于G的中心
G的中心包含N
证明：阶是素数的群一定是循环群 证明：设群G的阶为素数p
在G中任取一元a e,则a生成G的一个循环子群(a)
例：A {所有实数x}，A的代数运算是普通乘法，以下映射 是不是A到A的一个子集A的同态满射？
(1)x x (2)x x2 (3)x x
(2)A {所有 0的实数}，则A A
2 : x x x2 , x A, x2唯一确定，2是映射 x A, x A, s.t. 2( x ) x
(2)N如果是G的一个不变子群，由(1)，则G的一个子群
a G,n N, a G,n N, s.t. (a) a, (n) n (ana1) (a)(n)(a1) (a)(n)(a)1 an a 1
N是G的不变子群,ana1 N
(ab1) (a)(b1) (a)(b)1 ab 1
H是子群, ab1 H ,
H是H在下的象，ab 1 H
a, b H ab 1 H , H是G的一个子群
定理：假定G和G是两个群，并且G与G同态， 则在这个同态满射之下的 (1)G的一个子群H的象H 是G的一个子群； (2)G的一个不变子群N的象N是G的一个不变子群。
第15讲同态与不变子群
第15 讲§11 同态与不变子群（Homomorphism and normal subgroup)本讲的教学目的和要求：在上讲中我们已经了解到：对群的任一个不G。
由此，我们变子群，都可极其自然地得到一个新的群——商群N都不会怀疑与商群具有密切的联系。
而本节的基本内容就是要揭示这个内在联系——群的同态基本定理。
该定理确立了不变子群与商群在群的理论中的重要地位。
在本节中，我们将会学会重新看待“同态象”的有关概念。
群G的同态象G可以设想是G的一个“粗略”的模型；忽略了G中的某些元素间的差异而又维持了中的运算关系。
都知道，两个群之间的关系只有同态关系，于是我们有（ⅰ）G到G有单同态意味着在同构的意义下就是的一个子群；（ⅱ）G到G有满同态，则意味着G就是G的商群（在同构下）；（ⅲ）G到G有非单非同态，则在同构意义下意味着G的一个商群与的一个子群一样。
上述存在的关系就是本节的重点。
为此需要弄清：1、每一个同态核都是不变子群（这与同态是否为单、满无关）2、利用自然同态得到：每个同态象都是商群，如何理解。
3、真正了解“同态三角形”的可交换问题。
4、子群（不变子群）的同态象和同态完全原象之间的联系。
本讲的重点和难点：本节是以子群和商群为基本语言，用群同态映射为纽带建立了一套同态理论。
所以领会其理论的实质和掌握每个知识点的要领是关键所在。
一、群同态及同态核定义1：设G G →:ϕ是一个群同态映射，（即G b a b a ab ∈∀=,)()()( ϕϕϕ），那么G 的单位元e 的全部原象（逆象）作成的集合})(|{e x G x =∈ϕ叫做ϕ的核，记为)(ϕKer 。
即 })(|{)(e x G x Ker =∈=ϕϕ.结论1：设G G →:ϕ是群同态映射，那么G Ker )(ϕ.证明：设)(ϕKer N =.N e e e ∈⇒=)(ϕ .∴∅≠N .N y x G N ∈∀≤,:)(.故e e e y x xy ===)()()(ϕϕϕ.∴N xy ∈.N x ∈∀.e e x x ===---111))(()(ϕϕ.∴N x ∈-1.由上知G N ≤.G g N x G N ∈∈∀,)( .e g g g e g g x g gxg ====----)()()()()()()()(1111ϕϕϕϕϕϕϕϕ∴N gxg ∈-1由上知G N结论2：设)(ϕKer N =是G G →:ϕ的群同态映射的核，那么ϕ是单同态 }{e N ⇔.证明：N x ∈∀⇒ )(. ∴e x =)(ϕ.而显然N e ∈且e e =)(ϕ.于是 )()(e x ϕϕ=.但ϕ是单射e x =⇒.由x 的任意性知}{e N =.)(⇐ 设G y x ∈,且有e y x y x =⇒=-1)()()()(ϕϕϕϕ,即e xy =-)(1ϕ ∴ e xy e N xy =⇒=∈--11}{.即y x =. ∴ϕ是单射.二、群的同态基本定理（FHT ）定理1 设G 为群，而N 是G 的任一个不变子群，那么必有群同态满射N G G →:ϕ，其中：xN x =)(ϕ.证明：显然xN x G x =∈∀)(.ϕ（这里与教材一致，用左陪集的形式出现）是一个映射，（因为以x 为代表元的做陪集的唯一确定的） 又因为N G aN ∈∀ ，那么ϕϕ⇒=aN a )(是满射最后, )()()()(,,y x xNyN N xy xy G y x ϕϕϕ===∈∀∴)()()(y x xy ϕϕϕ= 即N G G →:ϕ一个群同态满射，即N G G ～，或者说，N G 是G 的同态象，及G 与N G 同态。
同余运算原理
同余运算原理同余运算原理是数论中一个重要的概念，它描述了两个整数之间的一种等价关系。
在数学中，同余运算是指两个整数除以同一个正整数所得的余数相等。
这个概念在密码学、计算机科学和其他领域中都有广泛的应用。
本文将从同余运算的定义、性质、应用以及相关定理等方面进行介绍。
同余运算的定义很简单，对于给定的整数a、b和正整数m，如果a和b除以m所得的余数相等，即(a mod m) = (b mod m)，则称a与b在模m下同余，记作a ≡ b (mod m)。
其中mod是取模运算的符号，表示取余数的操作。
同余运算可以理解为将整数集合划分为若干个等价类，每个等价类中的整数与模m下的余数相等。
同余运算具有以下几个重要的性质：传递性、反射性、对称性和合并性。
传递性指如果a ≡ b (mod m)且b ≡ c (mod m)，则a ≡ c (mod m)。
反射性指a ≡ a (mod m)，即任意整数与自身在模m下同余。
对称性指如果a ≡ b (mod m)，则b ≡ a (mod m)。
合并性指如果a ≡ b (mod m)且c ≡ d (mod m)，则a + c ≡ b + d (mod m)和a - c ≡ b - d (mod m)。
同余运算在密码学中有广泛的应用，特别是在公钥密码学中。
RSA 加密算法就是基于同余运算原理设计的一种非对称加密算法。
在该算法中，两个大质数的乘积被用作模数m，并选择一个与欧拉函数值互质的整数作为加密密钥e。
通过对明文进行加密运算得到密文，密文再通过解密运算得到原始的明文。
RSA算法的安全性基于大整数分解的困难性，即将大整数因式分解的难题。
除了密码学，同余运算还在计算机科学中起到重要的作用。
在计算机中，同余运算常常用于计算哈希函数的值。
哈希函数将任意长度的输入数据映射为固定长度的哈希值，而同余运算可以将哈希值映射到一个较小的范围内。
这在数据索引、数据校验和数据完整性验证等方面都具有重要的应用。
不变子群定义
不变子群定义
不变子群定义
不变子群即指一组间接的代数元素，它们的变换操作是组内的单位元。
不变子
群的概念来源于代数学研究对群用数学语言表示后发现的一些矛盾情况，而不变子群是用来解决这类问题的。
不变子群可以被看作是一个自治的群，它的所有元素都可以用组中的单位元表
示出来。
通常情况下，在一个大群中，有一个称为主群的小群，该群既是介於大群和不变子群之间的桥梁，也是大群中可寻找不变子群的元素并将它们组合成不变子群的窗口。
换而言之，不变子群的元素是从大群中可以找到的，而它的元素可以被识别出来。
不变子群的优点是可以被识别出来，在处理复杂的问题或释放变量后，可以快
速找到可控制的变换，从而解决所有问题。
它能明确结构，有助于对代数问题进行有效的描述。
不变子群的应用非常广泛，不仅在数学上有重要的作用，而且也在物理学、化
学以及工程等研究领域具有重要意义。
它被广泛用于求解复杂的群概念，从而了解不同种类中可能出现的解的物理意义。
不变子群也被用于现代计算机的工程技术中，用于解决某些具体的网络结构、编程问题以及许多其他复杂的问题。
不变子群判别条件
不变子群判别条件摘要：不变子群是一类重要的子群，它在群的理论中起着重要的作用.判断一个子群是否不变子群，除了应用定义外，也可以应用其判别条件，本文在就对这些判别条件进行归纳，同时证明诸判别条件的等价性并给出一些应用.关键词：不变子群，陪集，共轭，正规化子，同余关系1.判断一个子群为不变子群的条件.1.1．与定义等价的判别条件1.H G，即∀a∈G, 有aH=Ha2.∀a∈G,有aHa1-=H3.∀a∈G,有aHa1-⊆H4.∀a∈G,∀h∈H,有aha1-∈H5.∀a∈G,有aH⊆Ha6.∀a∈G,有H⊆a1-Ha7.aHbH=abH, ∀a,b∈G 即两个左陪集的乘积仍是左陪集8.H在G中的每个左陪集都是一个右陪集9.∀a∈G,有a1-Ha=H10.∀a∈G,有a1-Ha⊆H11.∀a∈G,∀h∈H,有a1-ha∈H12.∀a∈G,有Ha⊆aH13.∀a∈G,有H⊆aHa1-14.HaHb=Hab, ∀a,b∈G 即两个右陪集的乘积仍是右陪集15.H在G中的每个右陪集都是一个左陪集16.以群G之子集H为模的G之剩余类（即陪集）之集合关于陪集之积运算构成群.（即商群存在）17.H是G的子群，则G中由aRb,当a1-b∈H，所定义的关系R为同余关系18.N(H)=GG19.若n∈N，则所属的G的共轭元素C(n)⊆H。
即H由G的若干整个的共轭类组成。
1.2.直接判断一个子群为不变子群的条件1．指数为2的子群为不变子群.证明:设群G，H是G的子群，由题设[G:H]=2 ∴G=eH∪aH=He∪Ha ⇒aH=Ha ∀a∈G, 即H G2．设G为群，H是G的子群,∀a∈G, a1-ha⊆H, 则H是G的不变子群.证明:a1-ha⊆H ⇒ a(a1-Ha)a1-⊆aHa1-⇒ H⊆aHa1-又(a1-)1-Ha1-⊆H 即aHa1-⊆H ∴∀a∈G,a1-Ha=H ⇒ aH=Ha∀a∈G 即H G3.群G的中心C是G的一个不变子群.证明:∵C与G中的每个元素都可交换∴对∀a∈G,有aC=Ca ∴C G4.交换群的子群都是不变子群.证明:设G是交换群,H是G的子群,有aH={ah︱h∈H}={ha︱h∈H }=Ha ∀a∈G ∴H G5.设A,B都是G的不变子群，则A∩B 是G的不变子群.证明:显然 A ∩B 是G 的子群1,∀a ∈G,∀x ∈A ∩B, axa 1-∈A, axa 1-∈B∴axa 1-∈A ∩B 即A ∩B G推论1:群G 中任意多个（有限或无限）不变子群之交也都是G 的不变子群.6.设A,B 都是G 的不变子群，则AB 是G 的不变子群.证明:显然 AB 是G 的子群2, ∀g ∈G, ∀x ∈AB, 设x=abgxg 1-=g(ab)g 1-=gag 1-gbg 1-∈AB 故AB G推论2:群G 中任意多个（有限或无限）不变子群之积也都是G 的不变子群.7.设H 是G 的真子群，︱H ︱=n ,且G 的阶数为n 的子群仅有一个，则H 是G 的不变子群.证明:∀x ∈G 显然xHx 1-是H 的子群, 又知 f ：h→xh x 1- ∀h ∈H, f是H 到xHx 1-的双射, 故 ︱xHx 1-︱=︱H ︱=n, 由唯一性,xHx 1-=H ∀x ∈G 因而H 的G 不变子群.8. 设A,B,H 都是G 的不变子群,且A ⊂B ，则AH 是BH 的不变子群. 证明：AH,BH 显然都是G 的不变子群，∵A ⊂B ，∴AH ⊂BH而AH 是G 的不变子群，故AH 是BH 的不变子群.2.举例应用判别条件2.1判断一个子群是不是不变子群，除了用定义外，还可用其等价条件，例1：设 G={⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10s r ︱r,s∈Q r≠0 } , G 对于方阵乘法作成一个群,H={⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101t ︱t∈Q } , 则H 是G 的不变子群.证明：法1（利用定义）：∀⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10s r ∈G, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10s r H=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+10s rt r , H ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10s r =⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+10t s r r≠0 r,s 是取定的有理数,故对∀s+t, 方程 rx+s=s+t 在Q 中有解, 即x=t/r故对 A∈H ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10s r ⇒ A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+10s t r ⇒ A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+10/s r rt r ⇒ A∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10s r H即 H ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10s r ⊆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10s r H , 反之,对 rt+s 方程 rt+s=x+s 在Q 中有解 x=rt故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10s r H ⊆H ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10s r 从而有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10s r H=H ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10s r r≠0 ∀r,s∈Q 即H 是G 的不变子群.法2：（利用等价条件4）：∀⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10s r ∈G, 110-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s r =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1011s r r ∈G, 对∀⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101t ∈H 有 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10s r ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101t 110-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s r =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+10s rt r ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1011s r r =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101rt 显然 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101rt ∈H , 故H 是G 的不变子群.例2：设G 是一个群，a,b∈G 符号 [a b]表示G 中元素a 1-b 1-ab ，称之为G的换位元 ,证明G的一切有限换位元的乘积所成的集合G/是G的一个不变子群.证明：（利用等价条件4）：显然，G/是G的子群，对任意[a b]和g∈Gg1-[a b]g=g1-a1-b1-abg=(ag)1-bagbb1-g1-bg=[ag b][b g]∈G/一般地，对G/中任一元 [a1 b1] [a2b2] … [anbn]有g1-[a1 b1][a2b2]…[anbn]g=(g1-[a1b1]g)(g1-[a2b2]g)…(g1-[anbn]g)∈G,故 g1-G/g∈G/即G/是G的不变子群.注释：1.∵A ≤G B≤G 又e∈A e∈B∴e∈A∩B≠Φ, 设a,b∈A ∩B则 a,b∈A 且 a,b∈B 故 ab∈A且 ab∈B ∴ab∈A∩B设 a∈A∩B, 则 a∈A且a∈B ∴a1-∈A且a1-∈B ∴a1-∈A∩B ∴A∩B≤G即A∩B是G的子群2.AB={ab︱a∈A, b∈B} ∵A G ∴bA=Ab 又∵ba1∈bA ∴ba1=a/1b,a/1∈A(ab)(a1b1)=a(ba1)b1=a(a/1b)b1=(aa/1)(bb1)∈AB又b1-a1-∈b1-A=Ab1-∴()1-ab=b1-a1-=a/b1-∈AB ∴AB≤G即AB是G的子群参考文献：[1]吴三品，近世代数[M]，北京：人民教育出版社，1982，80-87.[2]张远达，有限群构造(上册)[M], 科学出版社，1982，38-41.[3]W.莱德曼，群论引论[M]，北京：高等教育出版社，1987，59-62.[4]孟道骥，代数学基础[M]，天津：南开大学出版社，[5]A.Γ.库洛什，群论(上册)[M]，北京：高等教育出版社，1987，57-62.[6]M.赫尔，群论[M]，科学出版社，1981，30.[7]徐明曜，有限群导引[M]，科学出版社，2001，12-14.。
同余问题口诀的原理
同余问题口诀的原理同余问题是数论中一个重要的概念，它涉及到整数的相等性和等价关系。
同余问题的口诀是用来帮助我们理解和解决同余问题的一种方法，它通过简洁的语言和易记的句子，将同余问题的原理和性质传达给我们。
同余问题口诀的原理可以概括为以下几点：1. 同余关系的定义：两个整数a和b对于一个给定的模数m来说，如果它们的差是m的倍数，即(a-b)能被m整除，那么我们就说a 与b在模m下同余，记作a≡b(mod m)。
这个定义是同余问题的基础。
2. 同余关系的性质：同余关系具有传递性、对称性和反身性。
传递性表示如果a与b在模m下同余，b与c在模m下同余，那么a 与c在模m下也同余；对称性表示如果a与b在模m下同余，那么b与a在模m下也同余；反身性表示任意整数a在模m下与自身同余。
3. 同余关系的运算规则：同余关系在加法、减法和乘法运算中具有保持性。
即如果a和b在模m下同余，那么a+b在模m下也同余；a-b在模m下也同余；a×b在模m下也同余。
这些运算规则可以帮助我们简化同余问题的求解过程。
4. 同余方程的求解：同余方程是指形如ax≡b(mod m)的方程，其中a、b和m都是已知的整数，x是未知数。
解同余方程的关键是找到一个整数x，使得ax与m的乘积与b在模m下同余。
我们可以利用同余关系的性质和运算规则来解同余方程。
5. 同余类和剩余系：在模m的整数集合中，把与给定整数a同余的所有整数构成的集合，称为a的同余类。
同余类中的任意一个整数称为该同余类的代表元。
剩余系是指模m的所有同余类的集合。
同余类和剩余系是同余问题中的两个重要概念，它们帮助我们对同余问题进行分类和分析。
通过口诀的原理，我们可以更好地理解和解决同余问题。
同余问题在密码学、数论和离散数学等领域应用广泛，掌握同余问题的原理和方法对于我们深入理解数学的应用和推理具有重要意义。
同余问题口诀可以帮助我们记忆和应用同余问题的相关知识，提高解题的效率和准确性。
同余关系的概念与定理
同余关系的概念与定理同余关系是离散数学中一个重要的概念，它在数论、代数和密码学等领域有着广泛的应用。
本文将介绍同余关系的概念和相关定理。
一、同余关系的概念同余关系是数论中的一个基本概念，它描述了两个数之间的整除关系。
具体来说，给定两个整数a和b，如果它们除以一个正整数m所得的余数相同，即a和b对m同余，记作a≡b(mod m)，则称a和b关于模m同余。
二、同余关系的性质同余关系具有以下三个性质：1.自反性：对于任意整数a，a≡a(mod m)恒成立。
即任意整数与自身关于模m同余。
2.对称性：对于任意整数a和b，若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)。
即若a与b关于模m同余，则b与a关于模m同余。
3.传递性：对于任意整数a、b和c，若a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。
即若a与b关于模m同余，且b与c关于模m同余，则a与c关于模m同余。
三、同余关系的定理1. 除法定理：对于任意整数a和正整数m，存在唯一的整数q和r，使得a=qm+r，其中0≤r<m。
即任意整数a可以表示为以m为模的除法形式。
2. 模运算性质：- 同余类的性质：对于任意整数a和正整数m，a关于模m的同余类可以表示为[a]m={b∈Z | b≡a(mod m)}，其中Z表示整数集合。
同余类[a]m是所有与a关于模m同余的整数构成的集合。
- 同余的运算性质：对于任意整数a、b和正整数m，若a≡a' (mod m)且b≡b' (mod m)，则有a+b≡a'+b' (mod m)，a-b≡a'-b' (mod m)，ab≡a'b' (mod m)。
3. 唯一性定理：对于给定的整数a、b和正整数m，存在整数x，使得a≡b (mod m)的充分必要条件是a和b对m的余数相同。
即a和b关于模m同余的充分必要条件是它们对m的余数相同。
4. 同余定理：对于任意整数a、b和正整数m，若a≡b (mod m)，则a^n≡b^n (mod m)，其中n是正整数。
同余运算及其基本性质
同余运算及其基本性质100除以7的余数是2，意思就是说把100个东西七个七个分成一组的话最后还剩2个。
余数有一个严格的定义：假如被除数是a，除数是b（假设它们均为正整数），那么我们总能够找到一个小于b的自然数r和一个整数m，使得a=bm+r。
这个r就是a除以b的余数，m被称作商。
我们经常用mod来表示取余，a除以b余r就写成a mod b = r。
如果两个数a和b之差能被m整除，那么我们就说a和b对模数m同余（关于m同余）。
比如，100-60除以8正好除尽，我们就说100和60对于模数8同余。
它的另一层含义就是说，100和60除以8的余数相同。
a和b对m同余，我们记作a≡b(mod m)。
比如，刚才的例子可以写成100≡60(mod 8)。
你会发现这种记号到处都在用，比如和数论相关的书中就经常把a mod 3 = 1写作a≡1(mod 3)。
之所以把同余当作一种运算，是因为同余满足运算的诸多性质。
比如，同余满足等价关系。
具体地说，它满足自反性（一个数永远和自己同余）、对称性（a和b同余，b和a也就同余）和传递性（a和b同余，b和c同余可以推出a和c同余）。
这三个性质都是显然的。
同余运算里还有稍微复杂一些的性质。
比如，同余运算和整数加减法一样满足“等量加等量，其和不变”。
小学我们就知道，等式两边可以同时加上一个相等的数。
例如，a=b可以推出a+100=b+100。
这样的性质在同余运算中也有：对于同一个模数m，如果a和b同余，x和y同余，那么a+x和b+y也同余。
在我看来，这个结论几乎是显然的。
当然，我们也可以严格证明这个定理。
这个定理对减法同样有效。
性质：如果a≡b(mod m)，x≡y(mod m)，则a+x≡b+y(mod m)。
证明：条件告诉我们，可以找到p和q使得a-mp = b-mq，也存在r和s使得x-mr = y-ms。
于是a-mp + x-mr = b-mq + y-ms，即a+x-m(p+r) = b+y-m(q+s)，这就告诉我们a+x和b+y除以m的余数相同。
同余问题知识点总结
同余问题知识点总结一、基本概念1.1 同余关系对于给定的整数a、b和正整数m，如果m能整除a-b，即(a-b)/m为整数，则称a与b 对模m同余，记作a≡b(mod m)。
同余关系满足以下性质：自反性：a≡a(mod m)对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)传递性：若a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)1.2 同余类对于给定的正整数m，同余关系将整数集合Z划分为m个不相交的子集，这些子集称为同余类。
同余类的定义：[a]={b∈Z|a≡b(mod m)}同余类的性质：同余类是模m下的等价类，它将整数集合划分为m个不相交的等价类。
二、同余的运算规则2.1 加法和乘法的运算规则加法：若a≡b(mod m)且c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)乘法：若a≡b(mod m)且c≡d(mod m)，则ac≡bd(mod m)2.2 幂运算规则对于正整数n，有以下同余关系成立：a≡b(mod m) => a^n≡b^n(mod m)三、同余性质3.1 最小非负剩余对于给定整数a和模m，存在唯一的最小非负整数r，满足a≡r(mod m)且0≤r<m。
r称为整数a对模m的最小非负剩余。
3.2 同余方程同余方程的一般形式为：ax≡b(mod m)同余方程的求解：若最大公约数(gcd)为1，即a与m互质，则同余方程有唯一解；若gcd不为1，即a与m不互质，则同余方程有无穷多解。
3.3 中国剩余定理中国剩余定理：若模数m1、m2、...、mk两两互质，即gcd(mi,mj)=1(i≠j)，则对于任意的整数a1、a2、...、ak和模数m1、m2、...、mk，模方程组x≡a1(mod m1)x≡a2(mod m2)...x≡ak(mod mk)有唯一模m=m1*m2*...*mk的解x。
中国剩余定理的应用：用于快速求解大整数的同余方程组，加速计算过程。
不变子群之间相互对易,群与其所有不变子群同态
不变子群之间相互对易,群与其所有不变子群同态一、不变子群（正规子群）的概念1. 定义- 设 G 是一个群，H 是 G 的一个子群，如果对于任意的 g∈ G，都有 gHg^-1=H，则称 H 是 G 的不变子群（正规子群），记作 Hleft G。
- 这里 gHg^-1={ghg^-1h∈ H}。
2. 不变子群的一些性质- 对于交换群（阿贝尔群）G，G 的任意子群都是不变子群。
因为对于任意 g∈G，h∈ H（H 是 G 的子群），有 ghg^-1=gg^-1h = h∈ H。
二、不变子群之间相互对易1. 对易的含义- 在群论中，这里说不变子群之间相互对易，可能是指对于群 G 的两个不变子群 H_1 和 H_2，满足某种交换性相关的性质。
2. 证明示例（假设一种简单情况）- 设 G 是一个群，H_1left G，H_2left G。
- 考虑 h_1∈ H_1，h_2∈ H_2，因为 H_1left G，对于任意 g∈ G，gH_1g^-1=H_1，同理 gH_2g^-1=H_2。
- 由于 H_1 和 H_2 都是不变子群，我们可以通过一些群的运算和不变子群的性质来推导 h_1h_2 = h_2h_1。
（具体的推导可能因群的结构和已知条件而不同，这里只是一个思路框架）三、群与其所有不变子群同态1. 同态的定义- 设 G 和 G' 是两个群，φ:G→ G' 是一个映射，如果对于任意的 a,b∈ G，都有φ(ab)=φ(a)φ(b)，则称φ是从 G 到 G' 的一个同态映射。
2. 群 G 与其不变子群 Hleft G 同态的证明思路- 定义一个自然的映射π:G→ G/H（其中 G/H 是 G 关于 H 的商群），π(g)=gH。
- 首先证明π是一个映射，即对于任意 g∈ G，π(g) 的定义是唯一的。
- 然后证明π满足同态的性质，即对于任意 a,b∈ G，π(ab)=(ab)H=aHbH=π(a)π(b)。
同态与不变子群
联 系．
１ 群 同 态 及 同 态核 旧
定义 １ 设 ‘ ｐ ： Ｇ —Ｇ 是一个群 同态映射 ， （ 即‘ Ｐ ㈥ ： ‘ Ｐ （ ａ ） ‘ Ｐ （ ｂ ） Ｖ ａ ， ｂ ∈Ｇ） ， 那么Ｇ的单位元 ｅ 的全 部 原象 （ 逆象 ） 作 成的集合 ｘ ∈Ｇ Ｉ ‘ Ｐ （ ｘ ） ∈ｅ ｌ 叫做 ‘ Ｐ 的核 ， 记为
反之若 Ｈ ／ Ｎ＜ ３Ｇ ／ Ｎ． 由定理 ４ ｊ （ Ｈ ｆ Ｎ ） ＡＧ ． 但 （ Ｈ ， Ｎ ） ＝ 【 （ Ｈ ） 】 ， 所以 Ｈ＜ ３Ｇ ．
原象记为 （ Ｈ ） ， 即
‘ Ｐ （ Ｈ ） ＝ （ ｇ ∈Ｇ ｌ ‘ ｐ （ 曲∈Ｈ ｝ ．
第一同构定理： 设 Ｈ＜ ３ Ｇ且 Ｋ＜ ３ Ｇ ， 若 Ｋ≤Ｈ ， 那 么
第２ ９卷 第 ５ 期（ 上） ２ ０ １ ３ 年 ５月
赤 峰 学 院 学 报 （自 然 科 学 版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ｌ ａ ｏ ｆ Ｃ ｈ ｉ ｆ ｅ ｎ ｇ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
理．
即Ｋ ｅ ｒ （ ｑ ￣ ） ＝ ｛ ｘ ＥＧ ｌ ‘ Ｐ （ ｘ ） ∈ｅ ｝ ．
引理 １ 设 ‘ ｐ ： Ｇ —Ｇ 是群同态映射 ， 那么 Ｋ ｅ ｒ ＠） ｑＧ ． 引理 ２ 设 Ｎ ＝ ｋ ｅ ｒ （ ｑ ￣ ） 是‘ Ｐ ： Ｇ —Ｇ 的群同态映射 的核 ， 那
基金项 目： 新 疆 昌吉 学 院研 究群 体 项 目（ ２ ｏ １ １ Ｙ Ｊ ＱＴ Ｏ Ｏ １ ） ； 新 疆 昌 吉 学院 教研 资 助 项 目（ １ ￣ ｙ ｙ ｂ ０ １ ７ ）
近世代数 2.11同态与不变子群
§11 同 态 与 不 变 子 群一、同态基本定理定理1 设G 是一个群, N G , 则φ : a → aN (a ∈G )是G 到G /N 的同态满射(称 φ 为自然同态). 因此G ~ G /N .定义1 设 φ 是群G 到G 的同态满射, G 的单位元e 在 φ 之下的所有逆像作成的G 的子集叫做同态满射 φ 的核, 记为Ker φ .Ker φ = { a ∈G |φ (a ) =e }.推论 若N 是群G 的不变子群, φ 为G 到商群G /N 的自然同态, 则N = Ker φ.定理2(群同态基本定理) 设 φ 是群G 到群G 的同态满射, N = Ker φ , 则N G , 且G /N ≅G .令:(),aN a a a G ψφ→=∀∈. 则ψ是G /N 与G 间的一个同构映射.aN = bN ⇔b -1a ∈N ⇔φ (b -1a ) =e ⇔φ (b )-1φ (a ) =e ⇔φ (a ) =φ (b )(⇔ψ ( aN ) = ψ ( bN ))例1 设G , G 分别是阶为m , n 的有限群, 且G ~G , 证明 n |m .二、子群的同态像定义2 设 φ 是集合A 到A 的一个满射.如果S ⊆A , 则称 (){()|}S a a S φφ=∈为S 在 φ 之下的像.如果S A ⊆, 则称1(){|()}S a A a S φφ-=∈∈为S 在 φ 之下的逆像(原像).Ker φ = { a ∈G | φ (a ) =e } = φ -1(e )定理4 设群G 与G 同态, 那么在同态满射φ 之下,(i) G 的子群H 的像()H H φ=是G 的子群;(ii) G 的不变子群N 的像()N N φ=是G 的不变子群.定理5 设群G 与G 同态, 那么在同态满射φ 之下,(i) G 的子群H 的逆像 1()H H φ-=≤ G .(ii) G 的不变子群N 的逆像1()N N φ-=G .三、同构定理介绍定理 6 (第一同构定理) 设群G G , ,N G 1()N N φ-=, 则N G , 且//.G N G N ≅证 记 (),.a a a G φ=∈ 令:,.a aN a G ψ→∀∈则ψ是G 到/G N 的一个满射, 且 () ()()()()()ab ab N ab N a N b N a b ψψψ====故是G 到/G N 的同态满射.()a Ker a eN aN eN ψψ∈⇔=⇔=.a N a N ⇔∈⇔∈.Ker N ψ∴=根据同态基本定理, 命题得证 .定理7(第二同构定理) 设H ≤G ，K G , 则H ∩K H , 且HK / K ≅H / H ∩K .推论 设H , K 是G 的两个不变子群, 且K ⊆H , 则H /K G /K , 且G /H ≅(G /K ) / ( H /K ).。
近世代数课件同态与不变子群(最全版)PTT文档
定理１告诉我们，一个群G 和它的一个商群同态， 定理２告诉我么，抽象地来看，G 只能和它的商群 同态，所以我们可以说，定理２正是定理１的反 面．我们知道，当群 G 与群 G 同态的时候，G 的性质 并不同 G 的完全一样．但定理２告诉我们，这时我
们一定找得到 G 的一个不变子群N ，使得G 的性质和
商群 G N 的完全一样．从这里我们可以看出，不变 子群和商群的重要意义．
11.4 子群的同态像和逆(原)像
由于回是 忆的逆一象，个因而 子，集关,进一于步 映射的像与逆像
任意两个元 和 来说，
(??)
（ⅰ）假定 ， 是 的两个任意元，并且在 之下，
定义 假定 f 是集合A 到集合 A 的一个映射． （ⅰ） 的一个子群 的逆象 是 的一个子群；
子群．
证明 我们用 f 来表示给定的同态满射．
（ⅰ）假定 a ，b 是 H 的两个任意元，并且在 f 之下，
a a ，b b ，
我们需要证明 ab1 H.注意
（ⅱ） 的一个不变子群 的逆象 是 的一个不变子群．
下的象，
)
A f 1. S 是 ，
，
3) 是满射.
的一个子集, f(S){f(s)sS}称为 S 在
的任意元，而且在 之下，
之下的象，它刚好包含所有 S 的元在 之下的象． （ⅱ） 是 的一个不变子群，由（ⅰ），我们知
刚好包含所有 中在 之下的像属于 的元.
这里 N ker f 是同态满射的核.
证明: 证明的关键点是构造一个同构映射
f :G NG
(启发: 1.必然联想到 f 2. f 离同构有多远? 3.写 出 f :G NG)
f(aN)f(a)a (a G)
数论中的同余关系
数论中的同余关系数论作为数学的一个分支，研究的是整数及其性质。
其中，同余关系是数论中一个重要的概念。
本文将就数论中的同余关系进行探讨，以便深入理解这一概念。
1. 引言在数论中，同余是指两个整数除以一个给定的正整数所得的余数相等。
形式化定义为：对于整数a、b和正整数m，如果m|(a-b)，即m能被a-b整除，那么就称a与b对模m同余，记作a≡b(mod m)，读作“a 同余于b模m”。
同余关系具有如下性质：(1) 自反性：对于任意整数a和正整数m，a≡a(mod m)；(2) 对称性：对于任意整数a、b和正整数m，如果a≡b(mod m)，那么b≡a(mod m)；(3) 传递性：对于任意整数a、b、c和正整数m，如果a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，那么a≡c(mod m)。
2. 同余关系的性质同余关系具有一些重要的性质，这些性质对于解决数论问题非常有用。
(1) 同余的基本性质：- 同余关系是等价关系。
即满足自反性、对称性和传递性。
- 设a≡b(mod m)，那么对于任意的整数k，a+km≡b(mod m)。
- 设a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，那么a+c≡b+d(mod m)和ac≡bd(mod m)。
(2) 同余的运算性质：- 加法性质：设a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，那么a+c≡b+d(mod m)。
- 减法性质：设a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，那么a-c≡b-d(mod m)。
- 乘法性质：设a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，那么ac≡bd(mod m)。
(3) 欧拉定理：欧拉定理是数论中的一个重要结果，描述了同余关系与指数运算之间的关系。
- 设a和m是两个互质的正整数，那么a^φ(m) ≡ 1(mod m)，其中φ(m)表示小于m且与m互质的正整数的个数。
3. 同余方程同余关系在解决某些问题时，经常涉及到同余方程的求解。
同余方程是指形如ax ≡ b(mod m)的方程，其中a、b和m都是整数，求解的目标是找到整数x满足这个方程。
Ω同态,T同余L关系和Ω-TL子群
Ω同态,T同余L关系和Ω-TL子群
何新龙
【期刊名称】《淮阴师范学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2004(003)003
【摘要】利用完备Brouwer格L上的无穷V-分配t-模T,引入并讨论Ω群上T同余L关系概念,然后在其基础上研究Ω群上T同余L关系的同态性质, 最后讨论Ω群上T同余L关系与正规Ω-TL子群的一些关系.
【总页数】5页(P176-180)
【作者】何新龙
【作者单位】盐城师范学院,数学系,江苏,盐城,224002
【正文语种】中文
【中图分类】O159
【相关文献】
1.余Frame范畴中同余和同态关系的相关性质 [J], 王昭海
2.模糊同余关系下的模糊粗糙群的同态 [J], 张金玲
3.模糊同余关系下的模糊粗糙群的同态 [J], 张金玲;
4.模糊幂格的同态与同余关系 [J], 彭家寅
5.模糊幂格的同态与同余关系 [J], 赵奎奇
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同余的性质与应用
同余的性质及应用1 引言数论的一些基础内容的学习，一方面可以加深对数的性质的了解，更深入的理解某些其他邻近学科，另一方面，可以加强数学训练.而整数论知识是学习数论的基础，其中同余理论有时整数论的重要组成部分，所以学好同余理论是非常重要的.在日常生活中，我们所要注意的常常不是某些整数，而是这些数用某一固定的数去除所得的余数，例如我们问现在是几点钟，就是用24去除某一个总的时数所得的余数；问现在是星期几，就是问用7去除某一个总的天数所得的余数，假如某月2号是星期一，用7去除这月的号数，余数是2的都是星期一.我国古代孙子算经里已经提出了同余式11(mod )xb m ,22(mod )xb m ,…,(mod )k k xb m 这种形式的问题，并且很好地解决了它.宋代大数学家秦九韶在他的《数学九章》中提出了同余式1(mod )i i x M m ≡, 1,2,...,i k =, i m 是k 个两两互质的正整数，12...k m m m m =,i i m m M =的一般解法.同余性质在数论中是基础，许多领域中一些著名的问题及难题都是利用同余理论及一些深刻的数学概念，方法，技巧求解.例如，数论不定方程中的费尔马问题，拉格朗日定理的证明堆垒数论中的华林问题，解析数论中，特征函数基本性质的推导等等.在近现代数论研究中，有关质数分布问题，如除数问题，圆内格点问题，等差级数问题中的质数分布问题，2an bn c ++形式的质数个数问题，质数个数问题，质数增大的快慢问题，孪生质数问题都有一定程度的新成果出现，但仍有许多尚未解决的问题.数论的发展以及现代数学发展中提出的一些数论问题，都要求我们对于近代数论的一些方法和基础知识，必须熟练掌握.所以，本文主要介绍了同余理论中同余基本性质的一些简单应用，通过本文的阐述，希望可以为对数论有兴趣的读者，增加学习数论知识的兴趣，并能为他们攻破那些经典的数论难题开展数论课题课题提供一些帮助.2 同余的概念给定一个正整数m ，把它叫做模，如果用m 去除任意两个整数a 与b 所得的余数相同，我们就说对模m 同余，记作(mod )a b m ≡,如果余数不同，就说对模m 不同余. 由定义得出同余三条性质：（1）(mod )a a m ≡；（2）(mod )a b m ≡,则(mod )b a m ≡；（3）(mod )a b m ≡,(mod )b c m ≡,则(mod )a c m ≡.定义也可描述为:整数a ,b 对模m 同余的充分必要条件是m a b -,即a b mt =+,t 是整数.3 同余的八条基本性质由同余的定义和整数的性质得出[1]：（1）若(mod )a b m ≡,(mod )c d m ≡,则(mod )a c b d m +≡+若(mod )a b c m +≡, 则(mod )a c b m ≡-（2）若(mod )a b m ≡,(mod )c d m ≡, 则(mod )ac bd m ≡ 特别地,若(mod )a b m ≡,则(mod )ak bk m ≡（3）若11......(mod )k k A B m ∂∂∂∂≡, (mod )i i x y m ≡, 0,1,...,i n =则1111...1...1......(mod )k k k k k k A x x B y y m ∂∂∂∂∂∂∂∂≡∑∑（4）若1a a d =, 1b b d =, (,)1d m =, (mod )a b m ≡,则11(mod )a b m ≡（5）若(mod )a b m ≡,0k >, 则(mod )ak bk m ≡；若(mod )a b m ≡, d 是a ,b 及m 任一正公因数,则(mod )a b m d d d≡ （6）若(mod )i a b m ≡,1,2,...,i k =,则12(mod[,,...,])k a b m m m ≡其中12[,,...,]k m m m 是12,,...,k m m m , k 个数最小公倍数（7）若(mod )a b m ≡, d m ,0d >,则(mod )a b d ≡（8）(mod )a b m ≡, (,)(,)a m b m =,若d 能整除m 及a ,b 两数之一,则d 必整除a ,b 另一个.4 同余性质在算术里的应用4.1 检查因数的一些方法 例1 一整数能被3(9)整除的充要条件是它的十进位数码的和能被3(9)整除. 证:按照通常方法,把任意整数a 写成十进位数形式,即1101010...n n n n a a a a --=+++, 010i a ≤<.因101(mod3)≡, 所以由同余基本性质,即3a 当且仅当3i a ∑； 同法可得9a 当且仅当9ia ∑，0,1,...,i n =. 例2 设正整数11010001000...n n n n a a a a --=+++，01000i a ≤<，则7（或11或13）整除a 的充要条件是7（或11或13）整除0213(...)(...)(1)i i a a a a a ++-++=-∑，0,1,...,i n =.证：1000与-1对模7（或11或13）同余，根据同余性质知，a 与(1)i i a -∑对模7（或11或13）同余即7（或11或13）整除a 当且仅当7（或11或13）整除(1)i i a -∑，0,1,...,i n =. 例3 a =5874192，则587419236i a =++++++=∑，0,1,...,i n =能被3，9整 除，当且仅当a 能被3，9整除解：由例1证法可知，该结论正确.例4 a =435693，则43569330i a =+++++=∑，0,1,...,i n =能被3整除，但ia ∑不能被9整除当且仅当3是a 的因数，9不是a 的因数.解：由例1的证法可得.例5 a =637693，则6371000693a =⨯+，69363756i a =-=∑，0,1,...,i n =能被7整除而不能被11或13整除当且仅当7是a 的因数但11，13不是a 的因数. 解：由例2的证法可知，该结论正确.例 6 a =75312289，27510003121000289a =⨯+⨯+2893127552ia =-+=∑，0,1,...,i n =能被13整除，而不能被7，11整除当且仅当13是a 的因数，而7与11不是a 的因数.解：由例2的证法可知.例7 应用检查因数的方法求出下列各数标准分解式① 1535625 ②1158066解：①65432115356251105103105106102105=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+，153562527i a =++++++=∑，927 ∴91535625，21535625110005351000625=⨯+⨯+，021()625153591a a a +-=+-=，由例2得1391，791，∴71535625，131535625，又51535625，951374095⨯⨯⨯=，15356253754095=， 5375，375755=，2575，∴54153562535137=⨯⨯⨯.②6543111580661101105108106106=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+，11586627i a =+++++=∑，927∴91158066，2115806611000158100066=⨯+⨯+，021()66115891a a a +-=+-=-，由例2得791，13∴71158066，131158066，又21158066，971321638⨯⨯⨯=，11580667071638=，7707， ∴2115806629713101=⨯⨯⨯⨯.4.2 弃九法（验证整数计算结果的方法）我们由普通乘法的运算方法求出整数a ，b 的乘积是P ，并令1101010...n n n n a a a a --=+++，010i a ≤<1101010...n n n n b b b b --=+++，010i b ≤<，1101010...n n n n P c c c --=+++，010i c ≤<，如果()()i j a b ∑∑与k c ∑对模9不同余，那么所求得的乘积是错误的. 特别的，在实际验算中，若i a ，j b ，k c 中有9出现，则可去掉（因90(mod9)≡）. 例1 a =28997，b =39495，按普通计算方法算得a ，b 乘积是P =1145236515， 按照上述弃九法8(mod9)a ≡，3(mod9)b ≡，5(mod9)P ≡.但83⨯与5对模9不同余，所以计算有误.例2 若a =28997，b =39495，P =1145235615，那么P a b =⨯？解：按照上述弃九法，8(mod9)a ≡，3(mod9)b ≡，6(mod9)P ≡.虽然83⨯与6对模9同余，但是由通常乘法计算得到1145236515a b ⨯=， 故P a b =⨯不成立.注：当使用弃九法时，得出的结果虽然是()()i j a b ∑∑(mod9)k c ≡∑也还不能完全肯定原计算是正确的.4.3 同余性质的其他应用例1 求7除5047的余数.解：由147(2)2(mod 7)≡-≡-，2247(2)4(mod 7)≡-≡，5547(2)1(mod 7)≡-≡-，∴50516247(47)47144(mod 7)≡⨯≡⨯≡，即5047除以7余数为4.例2 试证：形如87()k k N +∈的整数不能表为三个平方数之和.证：假定22287(,,)N k a b c a b c Z =+=++∈，则2227(mod8)a b c ++≡，但这不可能.因为对模8而论.每一个整数最小非负余数只能是0，1，2，3，4，5，6，7中的一个数.而200(mod8)≡，211(mod8)≡，224(mod8)≡，231(mod8)≡，240(mod8)≡，251(mod8)≡，264(mod8)≡，271(mod8)≡.因此，任一整数平方对模8必与0，1，4三个数之一同余，而从｛0，1，4｝中任取三个数，其和都不可能与7对模8同余，所以对于任何整数a ，b ，c 都有222a b c ++与7对模8不同余.即形如87()k k N +∈的整数不能表为三个平方数之和.例3 试证：53335333-能被10整除.证：由已知条件有533(mod10)≡，225339(mod10)≡≡，555337(mod10)≡≡，445331(mod10)≡≡，∴5341541553(53)53(3)3133(mod10)≡⨯≡⨯≡⨯≡又333(mod10)≡，223339(mod10)≡≡，553337(mod10)≡≡，443331(mod10)≡≡，∴33484833(33)33(3)3133(mod10)≡⨯≡⨯≡⨯≡∴53335333(mod10)≡，即533310(5333)-也就是说，53335333-能被10整除.例4 设,,a b c N ∈且6()a b c ++，求证：3336()a b c ++证：对模6来说每一个整数的最小非负数余数为0，1，2，3，4，5 300(mod 6)≡，311(mod 6)≡，322(mod 6)≡，333(mod 6)≡，344(mod 6)≡，355(mod 6)≡，即对任何整数k ，3(mod 6)k k ≡∴3(mod 6)a a ≡，3(mod 6)b b ≡，3(mod 6)c c ≡∴333()()(mod 6)a b c a b c ++≡++又()0(mod 6)a b c ++≡∴333()0(mod 6)a b c ++≡故3336()a b c ++例5 若(5,)1n =，证明5n n -能被30整除.证：设n N ∈，(mod6)n k ≡则0,1,2,3,4,5k =由500(mod 6)≡，511(mod 6)≡，522(mod 6)≡，533(mod 6)≡，544(mod 6)≡，555(mod 6)≡，∴5(mod 6)k k ≡即55(mod 6)n k k n ≡≡≡，56()n n -同理可知55()n n -又(5,6)1= ∴530()n n -故5n n -能被30整除.5 同余性质在数论中的应用：求简单同余式的解5.1一次同余式、一次同余式解的概念在代数里面，一个主要问题就是解代数方程.而同余性质在数论中的应用主要体现在同余在方程中的应用，也就是求同余式的解.一次同余式的定义：若用()f x 表示多项式110...n n n n a x a x a --+++，其中i a 是整数，又设m 是一个正整数，则()0(mod )f x m ≡ 叫做模m 的同余式.若n a 与0对m 不同余，则n 叫做()0(mod )f x m ≡的次数.定义：若a 是使()0(mod )f a m ≡成立的一个整数，则(mod )x a m ≡叫做同余式()0(mod )f x m ≡ 的一个解.定理 一次同余式(mod )ax b m ≡,a 与0对模m 不同余,它有解充要条件是(,)a m b .[3]5.2 孙子定理解一次同余式组引例 今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何? 解:设x 是所求物数，则依题意有，2(mod3)x ≡,3(mod5)x ≡,2(mod7)x ≡ 孙子算经里介绍用下列方法求解由表格知，所求物数是23.孙子定理：设1m ,2m ,…,k m 是k 个两两互质的正整数，12...k m m m m =，i i m m M =，1,2,...,i k =,则同余式组11(mod )x b m ≡, 22(mod )x b m ≡,... ,(mod )k k x b m ≡的解是111111222...(mod )k k k x M M b M M b M M b m ≡+++,其中11(mod )i i i M M m ≡, 1,2,...,i k = [4]用表格形式概括如下例1 解同余式组1(mod 5)x b ≡, 2(mod 6)x b ≡，3(mod 7)x b ≡，4(mod11)x b ≡. 解：此时567112310m =⨯⨯⨯=,16711462M =⨯⨯=,25711385M =⨯⨯=，35611330M =⨯⨯=, 4567210M =⨯⨯=.解11(mod )i i i M M m ≡, 1,2,3,4i = 得113M =, 121M =, 131M =, 141M =即12341386385330210(mod 2310)x b b b b ≡+++.例2 韩信点兵：有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人，成六行纵队，则末行五人，成七行纵队，则末行四人，成十一行纵队，则末行十人，求兵数？ 解:由题意，有1(mod5)x ≡，5(mod6)x ≡，4(mod7)x ≡，10(mod11)x ≡3462385533042101067312111(mod 2310)x ≡⨯+⨯+⨯+⨯≡≡.5.3 简单高次同余式组()0(mod )i f x m ≡, 1,2,...,i k =及()0(mod )f x p ∂≡ ,p 为质数，0∂>的解数及解法的初步讨论定理1 若1m ,2m ,…, k m 是k 个两两互质的正整数, 12...k m m m m =,则同余式()0(mod )f x m ≡与同余式组()0(mod )i f x m ≡,1,2,...,i k =等价.若用i T 表示()0(mod )i f x m ≡,1,2,...,i k =,对模i m 的解数, T 表示()0(mod )f x m ≡对模m 的解数，则12...k T TT T =.[5] 例1 解同余式()0(mod35)f x ≡，43()289f x x x x =+++.解: 由定理1知()0(mod35)f x ≡与同余式()0(mod5)f x ≡ , ()0(mod 7)f x ≡等价.同余式()0(mod5)f x ≡有两个解，即1,4(mod5)x ≡同余式()0(mod 7)f x ≡有三个解，即3,5,6(mod 7)x ≡即()0(mod35)f x ≡有六个解，即1(mod 5)x b ≡,2(mod 7)x b ≡由孙子定理有，122115(mod 35)x b b ≡+即得()0(mod35)f x ≡的解为31,26,6,24,19,34(mod35)x ≡. 定理2 设1(mod )x x p ≡,即11x x pt =+, 10,1,2,...t =±±是()0(mod )f x p ≡的一解，并且p 不整除1()f x ,( 1()f x 是()f x 的导函数),则11x x pt =+刚好给出()0(mod )f x p ∂≡，p 为质数，0∂>的一解x x p t ∂∂∂=+,0,1,2,...t ∂=±±, 即(mod )x x p ∂∂≡, 其中1(mod )x x p ∂≡.[6]例2 解同余式3262717200(mod30)x x x +++≡.解: 由定理1知()0(mod30)f x ≡与()0(mod 2)f x ≡,()0(mod3)f x ≡,()0(mod5)f x ≡等价.显然，()0(mod 2)f x ≡有两解0,1(mod 2)x ≡()0(mod3)f x ≡有一解2(mod3)x ≡()0(mod5)f x ≡有三解0,1,2(mod5)x ≡同余式()0(mod30)f x ≡有六个解即1(mod 2)x b ≡,2(mod 3)x b ≡,3(mod 5)x b ≡,10,1b =；22b =；30,1,2b = 由孙子定理得12315106(mod30)x b b b ≡++,以1b ,2b ,3b 值分别代入，得()0(mod30)f x ≡全部解为20,2,26,5,11,17(mod30)x ≡.例3 解同余式()0(mod 27)f x ≡，4()74f x x x =++.解: ()0(mod3)f x ≡有一解1(mod3)x ≡，并且3不整除1(1)f ，以113x t =+ 代入()0(mod9)f x ≡得11(1)3(1)0(mod 9)f t f +≡ 但(1)3(mod9)f ≡，1(1)2(mod 9)f ≡即13320(mod 9)t +⨯≡即1210(mod 3)t +≡因此1213t t =+而2213(13)49x t t =++=+是()0(mod9)f x ≡的一解；以249x t =+代入()0(mod 27)f x ≡即12(4)9(4)0(mod 27)f t f +≡,2189200(mod 27)t +⨯≡即2220(mod3)t +≡, 2323t t =+即3349(23)2227x t t =++=+为所求的解.5.4 简单二次同余式2(mod )x a p ∂≡,0∂>,(,)1a p =解的判断二次同余式一般形式为20(mod )ax bx c m ++≡,a 与0对模m 不同余，由上面所学知识，经总结，判断一般二次同余式有解与否问题，一定可以转化为判断形如2(mod )x a p ∂≡,0∂>有解与否问题.先讨论单质数模同余式2(mod )x a p ≡,(,)1a p =有解与否问题若它有解，则a 叫做模p 的平方剩余，若它无解，则a 叫做模p 的平方非剩余.定理1 若(,)1a p =,则a 是模p 的平方剩余的充要条件是121(mod )p ap -≡且有两解；而a 是模p 的平方非剩余充要条件是121(mod )p a p -≡-.[7]()a p是勒让得符号，它是一个对于给定单质数p 定义在一切整数a 上的函数，它的值规定如下:当()1a p=时，a 是模p 的平方剩余； 当()1a p=-时，a 是模p 的平方非剩余； 当（pa ）=0时，p a .[8]讨论质数模同余式2(mod )x a p ∂≡,0∂>,(,)1a p =有解与否问题定理2 2(mod )x a p ∂≡,0∂>,(,)1a p =有解的充要条件是()1a p=，并且在有解情况下，解数是2.[9]讨论合数模同余式2(mod 2)x a ∂≡,0∂>,(2,)1a =有解与否问题定理3 设1∂>,当2∂=,1(mod 4)a ≡时，2(mod 2)x a ∂≡,0∂>,(2,)1a =有解，且解数是2；当3∂≥，1(mod8)a ≡时，上式有解，解数是4.[10]例 解257(mod 64)x ≡.解: 因571(mod8)≡故有4个解.把x 写成3(14)x t =±+代入原同余式,得到23(14)57(mod16)t +≡, 由此得 31(mod 2)t ≡, 故44[14(12)](58)x t t =±++=±+是适合257(mod16)x ≡的一切整数，再代入原同余式得到24(58)57(mod 32)t +≡, 由此得40(mod 2)t ≡, 故55(582)(516)x t t =±+⨯=±+是适合257(mod 32)x ≡的一切整数,再代入原同余式得到25(516)57(mod 64)t +≡, 由此得51(mod 2)t ≡, 故66[516(12)](2132)x t t =±++=±+是适合257(mod 64)x ≡的一切整数，因此21,53,21,53(mod64)x ≡--是所求四个解.6 结论本文从同余概念及其基本性质出发，通过实例概括总结出同余性质在算术及数论中的一些简单应用.同余性质在算术中的应用主要是通过检查因数和弃九法验算结果的实例作出阐述;数论中同余性质的应用主要体现在简单一次同余式组及高次同余式的求解,以及二次同余式是否有解的判断.参考文献[1]闵嗣鹤,严士健编. 初等数论(第二版)[M].北京:高等教育出版社,1982.9:37-93.[2]余元希等.初等代数研究(上)[M].北京:高等教育出版社,1988:53-82.[3]赵振成.中学数学教材教法(修订版)[M].上海:华东师范大学出版社,1999.12:53-56.[4]王书琴，刘晓卫.剩余定理及一次同余式组[J].哈尔滨师范大学自然科学学报,2002-1-17.[5][法]C.布尔勒，朱广才译. 代数[M].上海:上海科技出版社,1984.3:72-121.[6]曹才翰，沈伯英. 初等代数教程[M].北京:北京师范大学出版社,1987:76-85.[7]刘合义.谈数论中的同余及其应用[J].衡水学院学报,2007:2-6.[8]H.B.勃罗斯库列亚柯夫，吴品三译. 数与多项式[M].北京:高等教育出版社,1980:42.[9]林国泰,司徒永显. 初等代数研究教程[M].广州:暨南大学出版社,1996:81-96.[10]林六十. 初等代数研究[M].北京:中国地质大学出版社,1989:145-158.致谢在大学的生活和学习中, 一直得到应用数学系领导和老师们的关心和帮助, 是在他们的谆谆教导下, 我在专业知识的学习中打下了坚实的基础, 在个人修养方面我从他们身上看到了“学高为师、身正为范”的教师风范, 吸取了踏实、严谨、刻苦、认真的治学精神, 以及正直、诚实、守信的人格魅力, 并且在日常生活中身体力行, 以他们为榜样, 加强教师道德修养, 努力丰富自己、完善自己.我在大学期间取得的所有成绩都是和系领导以及老师们的帮助和教诲分不开的, 在此向他们致以衷心的感谢和良好的祝愿.在这学期撰写毕业论文的过程中, 得到了孙善辉老师的悉心指导, 熟悉了撰写论文的一般格式和许多注意事项, 这对于我以后的学习和生活都具有很好的示范作用. 感谢孙善辉老师的帮助和指导！在我论文的撰写和校对过程中, 还得到了许多同学的帮助, 是他们帮助我发现论文里的某些小小的错误, 这使我节省了时间去完成其他的工作, 在此向他们表示感谢.最后, 再次感谢孙善辉老师的辛勤指导！。
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42-1 -1ຫໍສະໝຸດ -1伊犁师范学院学报-1
2005 年
∈H，即 aha ∈H，进而有 a aha a∈a Ha； -1 -1 -1 故 h∈a Ha， 即有 H 包含于 a Ha， 综上 a Ha=H， 故 H⊿G． -1 设 H≤G， 利用等价关系～l(a～l b 当且仅当 ab -1 ∈H)以及～r(a～rb 当且仅当 ba ∈H)将群 G 分类， 每一个等价类叫做 G 关于 H 的左(右)陪集． 利用～l 分类：元素 a 所在类为 a=aH={ah|h∈ H }，以这些左陪集为元素的商集为 G/～l={aH|a∈G}． 利用～r 分类，元素 a 所在类为 a=Ha={ha|h∈ H }，以这些右陪集为元素的商集为 G/～r={Ha|a∈G}． 一般地，对任意的 a∈G，a 所在的左、右陪集 不一定相等， 但对于特殊的子群则有可能相等， 有： 定理 5 若 H 是群 G 的一个子群， 则 H⊿G 当且 仅当对任意的 a∈G，恒有 Ha=aH 成立． 至此，给出本文另外几个重要的定理和推论， 即不变子群与同余的关系． 引理 1 设 G 是群， G 元间的等价关系 ～ （a～ -1 是一个同余关系， 而 H={x|x～ b 当且仅当 ab ∈H） e，x∈G },则 H⊿G． -1 -1 证：对任意的 a∈G，h∈H ,有 a ∈G，且 a ～ -1 -1 -1 a ，而已知 h～e,～为同余关系，则 a h～a ，即 -1 -1 -1 -1 a h(a ) = a h a∈H，即 H⊿G． 定理 6 设 H 是群 G 的一个子群， 则 H⊿G 的充 -1 要条件是 G 元间的关系～（a～b 当且仅当 ab ∈H） 是一个同余关系． 证：由于 H≤G，则 G 元间的关系～（a～b 当 -1 且 仅 当 ab ∈ H ） 是 一 个 等 价 关 系 ， 对 任 意 的 -1 a ， a ′ ∈ G ， 若 a ～ a ′ , 则 a （ a ′ ） ∈ H, 设 -1 a（a′） =h1∈H,则 a= h1 a′． 对任意的 b，b′∈G，若 b～b′，则 -1 -1 设b （b′） =h2∈H,则 b= h2 b′． 故 b （b′） ∈H， （1） ab= h1 a′h2 b′ -1 -1 -1 又由 H⊿G，则[（a′） ] h2（a′） ∈H， -1 即 a′h2（a′） ∈H． -1 设 a′h2（a′） =h3∈H,则 a′h2= h3 a′，将 其代入（1）式得: （2） ab= h1 (a′h2 )b′= h1 h3 a′b′ -1 由(2)式不难得出（ab） （a′b′） = h1 h3∈H， 故 ab～a′b′，即～为同余关系． -1 另一方面，对任意的 a∈G，h∈H，由于 a ～ -1 -1 -1 -1 则 a h～a ， a ,he = he=h,即 h～e,～为同余关系， -1 -1 -1 -1 即 a h(a ) ∈H，故 a ha∈H,即 H⊿G． 推论 2 设 H 是群 G 的一个子群， 则 H⊿G 的充
（上接第 42 页） 参考文献： [1]吴品三.近世代数[M]．北京：人民教育出 版社，1979． [2]胡冠章.应用近世代数 [M]．北京：清华大 学出版社，1999．
的方法测定了热功当量，为能的转化和守恒定律提 供了坚实的实验基础；又如居里夫妇等。科学伟人 身上具有的最可贵的品质，正是坚强的意志。作为 教师，应熟悉教材中著名科学家的科学探索事例， 在课堂上或予以充分展示，或设置情景予以表现， 这些事例对培养学生热爱科学、苦战攻关、攀登高 峰的坚强意志有很大的促进作用，有助于学生锲而 不舍的学习意志的形成。在课堂教学中，教师如果 根据学生的认知水平，有目的地设置一定的障碍和 学习的坡度，让学生通过自身的努力与他人协作后 获得成功，这必将极大鼓舞学生克服困难的勇气， 从而培养出学生坚强的意志品质。 总之，非智力因素的内容多，其培养方式方法 也多，非智力因素的培养是素质教育的一项重要内 容，也是培养人才的重要方面。我们在教学中，应 当十分重视这个问题，而且要不断进行探索研究。 参考文献： [1]郭奕玲．物理学史[M]. 清华大学出版社， 2004．14． [2]章志光．心理学[M]．人民教育出版社， 2002．21． [3] 周 谦 ． 学 习 心 理 学 [M] ． 科 学 出 版 社 ， 1992．257． 【责任编辑：张建国】
第3期
周恒为，高峰，夏莉艳，马淑新：物理学习中非智力因素的研究
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活动过程中，师生之间首先应建立良好的情感，所 谓“亲其师，信其道” ，物理教学过程是传授知识、 培养能力、交流情感、增强意志的复合连动过程。 教师在教学中应善于从情感入手，满腔热情投入物 理教学中，课堂上教师要利用面部表情、语速的轻 重快慢、肢体语言、眼神等方式的变化与学生进行 情感交流，使师生之间形成一种融洽、和谐、愉快 的氛围，传递出教师对学生满腔的爱，这必将激发 起学生的学习积极性。其次教师一定要保护学生的 自尊和信心。 有些学生因为物理学得不好， 怕物理， 怕回答问题，此时教师应小心呵护而不要挫伤学生 的信心，更要善于体谅学生，课上教师一个鼓励的 眼神，课间教师一句主动的问候都会让学生获得要 求向上的动力，这种动力在心理学上叫附属内驱 力，富有附属内驱力的学生，成绩往往较为突出。 反之，则成绩平平。 2.4 用物理学史典型事例教育学生， 培养学生的坚 强意志 意志是一切事业取得成功的重要心理条件，在 教学中要有目的，有计划，不断利用物理学家严格 的科学态度、一丝不苟的科学精神及持之以恒的探 索物理世界奥秘的事例来教育学生。例如，家境贫 苦的法拉第，坚持业余学习，用长达十年的时间做 了 1600 多个实验，发现了电磁感应现象；焦耳在 近 40 年的时间里做了 400 多次实验，用各种不同
要条件是 G 元间的关系～′(a～′b 当且仅当 -1 b a∈H)是一个同余关系． 定理 7 设 H⊿G， 则商集 G/～对子集乘法作成 群． 证：由于 aH，bH 都是群 G 的子集,则 又由于 H⊿G， 则 Hb=bH， aHbH={ ah1 bh2|h1 h2 ∈H }， 故有 h1b=bh′, 因此，ah1 bh2=a(h1b) h2= ab(h1 h′) ∈abH， 即 aHbH 包含于(ab)H． 另一方面， (ab)h=(ae)(bh) ∈aHbH， 则(ab)H 包 含 于 aHbH ， 即 有 aHbH=abH ， 此 外 ， 由 于 eHaH=(ea)H=aH，aHeH=(ae)H=aH，故 eH 是 G/～的 -1 单位元，而 aH 的逆元就为 a H，由此得出 G/～关 于陪集、 乘法作成一个群， 将这个群给予一个定义． 定义 5 设 H⊿G， 则商集 G/～关于集乘法构成 的群称为 G 关于同余关系～的商群． 由上定义， 不难看出商群 G/～与群 G 的关于不 变子群 H 的陪集作成的商群 G/H 有着相同的性 质．所以有： 命题 1 H⊿G，群 G 关于同余关系～作成的商 群 G/～=G/H. 下面，再从整体范围内讨论等价关系与子群的 关系以及同余关系与不变子群的关系，这是本文的 又一个重要结论. 在给出定理前先说明几个符号的含义： S(G)表示群 G 的所有子群构成的集合，简称群 G 的子群类； E(G)表示群 G 对于等价关系～的所有等价类构 成的集合； N(G)表示群 G 的所有正规子群构成的集合,简 称群 G 的正规子群类； C(G)表示群 G 对于同余关系～的所有同余类构 成的集合. 定理 8 群 G 的子群类 S(G)与群 G 的等价类 E(G)之间存在一个一一映射. H→Ha 就是群 G 的子群类 S(G) 证： 不难得出ψ ： 与群 G 的等价类之间的一一映射，因为 (i) S(G)的每一元 H 都有唯一的象 Ha； (ii) E(G)的每一元 Ha 是 S(G)中 H 的象； (iii)若 H1a=H2a，则 H1=H2 故ψ 为一一映射. 推论 3 群 G 的正规子群类 N(G)与群 G 的同余 类 C(G)之间存在着一个一一映射. （下转第 89 页）
2005 年 9 月 第3期
伊犁师范学院学报 Journal of ILi Teachers College
Sept.2005 No.3
浅谈同余与不变子群的关系
伊 磊
835000) (伊犁师范学院 数学系，新疆 伊宁
摘 要：介绍了等价关系与子群的关系，并由此推导出同余关系与不变子群的等价定理，从 而进一步加深对等价关系、同余关系、子群、不变子群以及商群的理解． 关键词：等价关系；子群；同余关系；不变子群；商群 中图分类号：O152 文献标识码：A 文章编号：1009—1076（2005）03—0041—03 首先， 讨论等价关系和子群之间的关系， 为此， 先给出几个基本的定义、定理． 定义 1 设 H 是群 G 的一个非空子集，若 H 对 G 的运算也构成群，则称 H 是群 G 的一个子群，记 作 H≤G． 定理 1 设 H 是群 G 的一个非空子集，则 H 作 成 G 的子群的充要条件是 (i) 对任何 a，b∈H 有 ab∈H; −1 (ii)对任何 a∈H 有 a ∈H． 将定理 1 中的条件(i)、(ii)合并为一个，即 可得： 定理 2 设 H 是群 G 的一个非空子集，则 H 作 −1 成 G 的子群的充要条件是对任何的 a， b∈H 有 a b ∈H． 定义 2 设～是集合 A 上的一个二元关系，并 满足以下条件： (1)对任意的 a∈A 有 a～a； ( 反身性) (2)对任意的 a，b∈A ，若 a～b 则 b～a； (对称性) (3)对任意的 a，b，c∈A,若有 a～b 和 b～c 则有 a～c(传递性), 则称～为 A 中的一个等价关 系． 下面给出本文的主要结论之一： 定理 3 设 H 是群 G 的一个非空子集，则 H 作 成群 G 的子群的充要条件是 G 元间的关系～(a～b -1 当且仅当 ab ∈H)是一个等价关系． -1 证：对任意的 a∈G，由 aa =e∈H，可知 a～a； -1 对任意的 a，b∈G ，设 a～b，即 ab ∈H，则
收稿日期：2004－06－06 作者简介：伊磊（1977— ） ，男，伊犁师范学院数学系教师．