递推关系式

问题情境：
神庙中放置了一块上面插有三根长木钉的木板，在其中的一 根木钉上，由上至下被放置了若干个直径由小到大的圆环 形金属片，僧侣们奉命依下列规则不停地将这些金属片移 至三根本钉中的另外一根上： ①在每次移动中，只能搬移一片金屑片； ②过程中必须保持金属片小的在上，大的在下．
设将n个金属片从一根木钉全部移到另一根木钉所需要的 最少步骤为an
的值.
解:由 an2 an1 an (1) 得 an3 an2 an1 (2)
(1)+(2),可得 an3 an , 于是 an6 an3 an , 这说明数列 an 是以 6 为周期的周期数列.
a2010 a6 a3 (a2 a1 ) 3 .
9 取 n 3 ,有 a1a2 a3 3 9 a3 , 4 9 13 ( n 1) 1 a1 a3 1 . 4 4 an n 2 (n 1) 2 (n 2) 你能求出其通项公式吗？
2
案例分析
an2 an1 an ， a1 2, a2 5 ， 4.数列 an 中， 则 a2010
1 2
认识几种特殊的递推关系式:
1.差分型递推式: an1 an f (n) ,其中 f (n) 已知;
an1 2.邻比型递推式: f (n) ,其中 f (n) 已知; an
3.线性递推式: an1 pan q ,其中 p, q 是知常数 4.混合型递推式: f (an , Sn ) 0 .
(1)求a2 、a3 、a4
(2)若n=64，将这些金属片全部移至另一根木钉 至少需要多少步骤?

解（1）方法1：a1 1, a2 3,
a4 15, a5 31, 猜想 an 2n 1, 64 易证符合通项公式，所以 a64 2 1
a3 7 a6 63, ......
案例分析 3. an 中， a1 a2 a3 an n 2 (n N ) ，求 a1 a3 的值。
解:在 a1 a2 a3 an n 2 (n N ) 中, 取 n 1 ,有 a1 12 1 , 取 n 2 ,有 a1a2 22 4 a2 4 ,
1 1 3, a1 1, a2 , a3 2 . an 3
递推关系式与初始条件
定 义 : 数 列 {an } 相 邻 若 干 项 之 间 的 恒 等 关 系 式
f (an , an1 ,
, ank ) 0 ( n N * ),称为此数列的递推关
系式. 所给定的具体项的值,称为递推关系式的初始条 件.
解：记n个台阶的走法为：
( n 3) a3 a2 a1 4
……一般有
a1 1
a2 3
an an1 an 2
问题引入

已知一个数列的通项公式,我们能否确定这个数列?
已知一个数列的前n项和公式,我们能否确定这个数列?
已知数列{an},恒满足
an
+1
=3an+5,且a1=2,我们能否确
请思考:
1.数列的递推关系式一般不能确定数列,需要配备一定 量的初始条件 ,那么对于给定的初始条件 ,我们如何知 道究竟应该配备几个初始条件呢?结合下列递推关系 式回答问题: (1) an1
2an ; 3 an
(2) an2 3 an .
请思考:
2. 设 Sn 为 数 列 {an } 前 n 项 和 ， 若 恒 有
问题情境
1.平面内有10条直线，最多可以把平面分成多少 个部分?
试验（个别） 归纳（一般） 演绎（特殊）
平面内有n(n 2)条直线，其中任意两条直线都相交， 任意三条直线不过同一点，设其交点个数为an
(1)求a2 、a3 、a4
(2)写出an1与an的关系式； (3)对于符合条件的10条直线，其交点个数是多少?
解: (2) a1 S1 4; n 2 时, an Sn Sn1 2 3n1 ,
4, n 1, an n 1 2 3 , n 2.
案例分析
2an 1 2. 数列 an 中， a1 1, an (n 2) ，求 a2 , a3 , a4 , a5 ， 2 an 1
定这个数列?
已知数列{an},恒满足
百度文库
an+2=3an+1+an,且a =2,我们能否
1
确定这个数列?
如果数列满足下列条件，你能确定这个数列吗？
如: (1) an1 an 3, a1 1;
an1 3, a2 5 ; (2) an
(3) an1 3an 2, a1 7 ; (4) an2 an1 an , a1 3, a2 5 ; (5) an3
Sn 1 1 an 12 an 1 (n N *) ， 则 下 列 等 式 一 定 正 确 的 2
有
.
1 2 (1) S1 a1 a1 ; 2
(2) S2 a2 2 a2 ; ;
1 2 (3) Sn an an (n N*) ; 2
1 2
(4) Sn 2 an 2 2 an 2 (n N*) .
方法2：推出当 n 2时， an 2an1 1 即 an 1 2(an1 1) 所以 n an 2 1,
an 1 (a1 1)2n1 2n
a64 2 1
64
小结

确定一个数列有下列三种方式:
(1)给定通项公式; (2)给定前n项和公式; (3)给定数列递推关系式及一定数量的初始条件; 数列递推关系式是一个“动态”的关于n的 恒等式，在具体问题中，我们可以根据需要 对n作相应的赋值或替换，但要注意定义域； 今后我们经常会处理四种递推关系式，它们 分别是？
并归纳猜想出 an .
解: 由 a1 1, an 得
a2
2an 1 (n 2) 2 an 1
2 猜想: an . n 1
2a3 2a1 2a2 2a4 2 1 2 1 , a3 , a4 , a5 . 2 a1 3 2 a2 2 2 a3 5 2 a4 3
2．传说在古老的印度一个名叫Berares的地方有一座神庙， 据说它是宇宙的中心．婆罗贺摩(Brahma，众生之父)在神 庙中放置了一块上面插有三根长木钉的木板，在其中的一 根木钉上，由上至下被放置了若干个直径由小到大的圆环 形金属片，婆罗门教的僧侣们奉命依下列规则不停地将这 些金属片移至三根本钉中的另外一根上： ①在每次移动中，只能搬移一片金屑片； ②过程中必须保持金属片小的在上，大的在下．
思考题
5. 若数列 an 满足：对任意的 n N ，只有有限个正整数 m 使得
am＜n 成立，记这样的 m 的个数为 (an ) ，则得到一个新数列 ( an ) ．
例如，若数列 an 是 1, 2,3…，n,…，则数列 ( an ) 是 0,1, 2,…，n 1,… ． 已知对任意的 n N ， an n2 ， (1)数列 ( an ) 的前 5 项; (2)记 bn (an )* ,请写出 {(bn )*} 前 5 项,并由此猜想 (bn ) * 的表达式.
设将n个金属片从一根木钉全部移到另一根木钉所需要的 最少步骤为an
(1)求a2 、a3 、a4
(2)若n=64，将这些金属片全部移至另一根木钉至少需 要多少步骤?
(3)
n 2，an与an1的系如何？
，
3．小王上楼梯，他跨步的方法是：一步上一个台 阶，或一步上两个台阶。 (1)如果楼梯有三个台阶，上楼有几种不同的走法? (2)如果楼梯有四个台阶，上楼有几种不同的走法? (3)如果楼梯有五个台阶，上楼有几种不同的走法? (4)上述三种情况有什么特定的数量关系?如果共有 十个台阶，有多少种不同的走法?
案例分析
1.数列 an 的前 n 项和 Sn ，根据前 n 和公式，分别求此 数列的通项公式 an . ⑴ Sn 2n 2 3n ； ⑵ Sn 3n 1.
解: (1) a1 S1 5; n 2 时, an Sn Sn1 4n 1 ,
5, n 1, an 4n 1. 4n 1, n 2