16选修1-1常用逻辑用语(二)教师版

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教学辅导教案

学生姓名

年 级

高二

学 科 数学 上课时间 2017年 月 日

教师姓名

课 题

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

1．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1B 1＝A 1C 1，D ，E 分别是棱BC ，CC 1上的点(点D 不同于点C )，且AD ⊥DE ，F 为B 1C 1的中点．求证：

(1)平面ADE ⊥平面BCC 1B 1； (2)直线A 1F ∥平面ADE .

[证明] (1)因为ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC ， 又AD ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥AD .

又因为AD ⊥DE ，CC 1，DE ⊂平面BCC 1B 1，CC 1∩DE ＝E ， 所以AD ⊥平面BCC 1B 1.又AD ⊂平面ADE ， 所以平面ADE ⊥平面BCC 1B 1.

(2)因为A 1B 1＝A 1C 1，F 为B 1C 1的中点，所以A 1F ⊥B 1C 1. 因为CC 1⊥平面A 1B 1C 1，且A 1F ⊂平面A 1B 1C 1， 所以CC 1⊥A 1F .

又因为CC 1，B 1C 1⊂平面BCC 1B 1，CC 1∩B 1C 1＝C 1， 所以A 1F ⊥平面BCC 1B 1.

由(1)知AD ⊥平面BCC 1B 1，所以A 1F ∥AD .

又AD ⊂平面ADE ，A 1F ⊄平面ADE ，所以A 1F ∥平面ADE .

2．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.

(1)求y

x

的最大值和最小值；

(2)求y －x 的最大值和最小值； (3)求x 2＋y 2的最大值和最小值．

解：(1)原方程化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以点(2,0)为圆心，半径为3的圆．

设y

x ＝k ，即y ＝kx ，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取得最大值和最小值，此时有|2k －0|k 2

＋1＝3，解得

k ＝± 3. 故y

x

的最大值为3，最小值为－ 3. (2)设y －x ＝b ，即y ＝x ＋b ，当y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值和最小值，此时|2－0＋b |2

＝3，即b ＝－2± 6.故(y －x )max ＝－2＋6，(y －x )min ＝－2－ 6.

(3)x 2＋y 2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知其在原点与圆心的连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又知圆心到原点的距离为2，故(x 2＋y 2)max ＝(2＋3)2＝7＋43，(x 2＋y 2)min ＝(2－3)2＝7－4 3.

[问题1] 分别写出由下列各组命题构成的“p ∨q ”“p ∧q ”“¬p ”形式的命题，并判断其真假．

(1)p ：等腰梯形的对角线相等，q ：等腰梯形的对角线互相平分；

(2)p ：函数y ＝x 2－2x ＋2没有零点，q ：不等式x 2－2x ＋1＞0恒成立． [解] (1)p ∨q ：等腰梯形的对角线相等或互相平分，真命题． p ∧q ：等腰梯形的对角线相等且互相平分，假命题．

綈p ：等腰梯形的对角线不相等，假命题．

(2)p ∨q ：函数y ＝x 2－2x ＋2没有零点或不等式x 2－2x ＋1＞0恒成立，真命题． p ∧q ：函数y ＝x 2－2x ＋2没有零点且不等式x 2－2x ＋1＞0恒成立，假命题． ¬p ：函数y ＝x 2－2x ＋2有零点，假命题．

[问题2] 已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的正实数根，命题q ：方程4x 2＋4(m ＋2)x ＋1＝0无实数根．若“p 或q ”为真命题，求实数m 的取值范围．

[解] “p 或q ”为真命题，则p 为真命题或q 为真命题． 当p 为真命题时，有⎩⎪⎨⎪

⎧

Δ＝m 2－4＞0，x 1＋x 2＝－m ＞0

x 1x 2＝1＞0，，

解得m ＜－2； 当q 为真命题时， 有Δ＝16(m ＋2)2－16＜0， 解得－3＜m ＜－1.

综上可知，实数m 的取值范围是(－∞，－1)． [问题3] 判断下列语句是全称命题，还是特称命题．

(1)凸多边形的外角和等于360°； (2)有的向量方向不定；

(3)对任意角α，都有sin 2α＋cos 2α＝1； (4)矩形的对角线不相等；

(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．

[解] (1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题． (2)含有存在量词“有的”，故是特称命题． (3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．

(4)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称命题． (5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题． [问题4] 指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假．

(1)∀x ∈N,2x ＋1是奇数； (2)存在一个x 0∈R ，使1

x 0－1＝0；

(3)存在一组m ，n 的值，使m －n ＝1； (4)至少有一个集合A ，满足A {1,2,3}．

[解] (1)是全称命题．因为对任意自然数x,2x ＋1都是奇数，所以该命题是真命题． (2)是特称命题．因为不存在x 0∈R ，使1

x 0－1＝0成立，所以该命题是假命题．

(3)是特称命题．当m ＝4，n ＝3时，m －n ＝1成立，所以该命题是真命题． (4)是特称命题．存在A ＝{3}，使A {1,2,3}成立，所以该命题是真命题． [问题5]写出下列命题的否定，并判断其真假．

(1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1

4≥0；

(2)q ：所有的正方形都是矩形； (3)r ：∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋6≤0；

(4)s ：至少有一个实数x ，使x 3＋1＝0.

[解] (1)¬p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋14

＜0，假命题． 因为∀x ∈R ，x 2－x ＋1

4＝⎝⎛⎭

⎫x －122≥0恒成立． (2)¬q ：至少存在一个正方形不是矩形，假命题． (3)¬r ：∀x ∈R ，x 2＋4x ＋6＞0，真命题． (4)¬s ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，假命题， 因为x ＝－1时，x 3＋1＝0.

[问题6] 若命题“∀x ∈[－1，＋∞)，x 2－2ax ＋2≥a ”是真命题，求实数a 的取值范围．