2019艺体生文化课-数学(文科)课件：第七章 第1节 等差数列

2
4.等差数列的前n项和:
(1)Sn

n(a1 2
an )
;
(2)Sn

na1

n(n 1) 2
d.
5.等差数列的性质: 等和性:若项数m,n,p,q满足m+n=p+q,则am+an=ap+aq.
精选例题
【例1】 (2016新课标Ⅱ卷)等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.
(1)求{an}的通项公式;
an
a1 3
3
则1 an

1 3
n 1 3
n 3
,
an

3 n
,
a4

3 . 4
8.(2014湖北省襄阳市普通高中调研测试)等差数列{an}的公差d < 0, 且a2a4=12,a2+a4=8,则数列{an}的通项公式是 ( )
A.an=2n-2 B.an=2n+4 C.an=-2n+12 D.an=-2n+10
(2)设bn=log4an+1,求{bn}的前n项和Tn.
(2)由(1)得, bn

log4
an
1
n
2
1
,
则bn
1
bn

n
2
2

n 1 2

1 2
,
数列{bn}是首项为1,公差d

1 的等差数列, 2
Tn

nb1

n(n 1) 2
d

n2
3n 4
.
专题训练
1.已知等差数列{an}的通项公式an=3-2n,则它的公差d为 ( )
A.2
B.3
C.-2
D.-3
【答案】 C 【解析】 a1 3 21 1, a2 3 2 2 1,故公差d a2 a1 2. 选C.
2.(2018兰州)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,a8+a10=28,
【答案】 D 【解析】 由a2a4 12, a2 a4 8且d 0, 解得a2 6, a4 2, 2d a4 a2 2 6 4,d 2,an a2 (n 2)d 2n 10,选D.
9.(2018兰州诊断)已知数列{an},{bn},若b1=0,an n(n11),当n≥2时,
3.已知2和m的等差中项为6,则m= ( )
A.2
B.4
C.6
D.10
【答案】 D 【解析】 2 m 2 6,故m 10.选D.
4.(2018洛阳模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2+a7+a12=24, 则S13= ( )
A.52
B.78
C.104
D.208
【答案】 C
,
可知{an}为等差数列,公差d

1 2
,又
a1 2,
a101 a1 100d 2 50 52.选D.
6.(2013山东淄博期末)等差数列{an}中,a5+a6+a7=15,那么
a3+a4+…+a9等于 ( )
A.21
B.31
C.35
D.40
【答案】 C
【解析】 a5 a6 a7 3a6 15,a6 5, a3 a4 a9 (a3 a9 ) (a4 a8 ) (a5 a7 ) a6 7a6 35.选C.
有bn=bn-1+an-1,则b501=
.
【答案】 500 501
【解析】 由bn bn1 an1得bn bn1 an1,
所以b2 b1 a1, b3 b2 a2 ,, bn bn1 an1,
所以b2 b1 b3 b2 bn bn1 a1 a2 an1
【解析】 (1)设数列{an}的公差为d,由题意有2a1 5d 4, a1 5d 3.
解得a1
1, d

2 5
.所以{an}的通项公式为an

2n 5
3.
【例1】 (2016新课标Ⅱ卷)等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6. (2)设bn=[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大 整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.
1,
a100 a10 90d 98,故选C.
14.(2018广东潮州二模)在我国古代著名的数学专著《九章算术》
里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二
十五里,良马初日行一百零三里,日增一十三里;驽马初日行九十七
里,日减半里,良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢,问:几日相逢 ( )
【例2】 (2018新课标Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知
a1=-7,S3=-15. (1)求{an}的通项公式;
【解析】 (1)设{an}的公差为d,由题意得3a1 3d 15. 由a1 7得d 2.所以{an}的通项公式为an 2n 9.
(2)求Sn,并求Sn的最小值. (2)由(1)得Sn n2 8n (n 4)2 16. 所以当n 4时, Sn取得最小值,最小值为 16.
n 1时, a1 S1 8, n 1时, an Sn Sn1 n2 9n (n 1)2 9(n 1), an 2n 10,并且满足n 1时, a1 8,所以an 2n 10, 则ak 2k 10. 5 2k 10 8, 解得7.5 k 9,k 8.
A.8日
B.9日
C.12日
D.16日
【答案】B
【解析】设n日相逢, 则依题意得
103n n(n 1) 13 97n n(n 1) ( 1) 1125 2,
2
2
2
整理得n2 31n 360 0, 解得n 9(负值舍去),故选B.
15.(2018西安质检)已知数列{an}满足a1=15,且3an+1=3an-2.若
第七章 数列
第1节 等差数列
知识梳理
1.等差数列的概念: 在数列{an}中,满足an+1-an=d(n∈N*),d为常数,则称数列{an}为
等差数列,常数d称为等差数列的公差.
2.等差数列的通项公式: (1)an=a1+(n-1)d; (2)an=am+(n-m)d(m、n∈N*).
3.等差中项: 如果三个数a,A,b成等差数列,那么A= a b 叫做a与b的等差中项.
(2)由(1)知, bn
[ 2n 3]. 5
当n
1, 2,3时,1
2n 3 5

2, bn
1;当n

4,5时, 2

2n 5
3

3, bn

2;
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
当n

6, 7,8时,3

2n 3 5

4, bn

3;当n

9,10时, 4

2n 3 5

5, bn

4.
所以数列{bn}的前10项和为1 3 2 2 3 3 4 2 24.
16.(2018广西三市第一次联考)已知数列{an}的前n项和为Sn,且 Sn=2n-1(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; 【解析】 (1)当n 2时, an Sn Sn1 2n1, 当n 1时, a1 2 1 1, 满足an 2n1, 数列{an}的通项公式为an 2n1(n N*).
则S9= ( )
A.36
B.72
C.144
D.288
【答案】 B
【解析】 解法一 :
a8

a10

2a1
16d

28, a1

2, d

3 2
,
98 3
S9 9 2
2
72. 2
解法二 :
a8

a10

2a9

28, a9
14, S9

9(a1 2
a9 )

72.
7.(2018云南11校跨区调研)在数列{an}中,a1=3, an1

3an an 3
,则a4=
3
4
3
A.
B.1
C.
D.
4
3
2
【答案】 A
【解析】 依题意得 1 an 3 1 1 , 1 1 1 , an1 3an an 3 an1 an 3
故数列{ 1 }是以 1 1 为首项、1 为公差的等差数列,
12.(2015新课标Ⅰ卷,文)已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}
的前n项和,若S8=4S4,则a10= ( )
A.17
B.19
C.10
D.12
2
2
【答案】 B
【解析】 公差d
1, S8

4S4 ,8a1

1 2
87

4(4a1

1 2
4 3),
解得a1

1 2
, a10

a1
9d

1 2
9

19 2
, 故选B.
13.(2016新课标Ⅰ卷,理)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,
则a100=
()
A.100
B.99
C.98
D.97
【答案】C
【解析】 S9

9(a1 2
a9 )

9a5

27, a5

3, a10

a5

5d

5, d
【答案】 15 【解析】 由等差数列的等和性,可知a1 a4 a2 a3, 2(a2 a3 ) 30,a2 a3 15.
11.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,则其通项公式an=
;
若它的第k项满足5<ak<8,则k=
.
【答案】 2n 10;8 【解析】
【解析】 依题意得3a7

24, a7

8, S13

13(a1 2
a13 )
13a7
104,
选C.
5.在数列{an}中,a1=2,2an+1=2an+1,则a101的值是 ( )
A.49
B.50
C.51
D.52
【答案】 D
【解析】 2an1

2an
1, an1

an

1 2
ak·ak+1<0,则正整数k=
()
A.21
B.22
C.23
D.24
【答案】 C
【解析】 由3an1

3an

2

an1

an


2 3

{an}是等差数列,
则an

47 3

2 3
n.
ak
ak 1

0,( 47 3

2 3
k)( 45 3

2 3
k)

0,
45 2

k

47 2
,
又 k N*,k 23.
1 1 1 ,
1 2 23
(n 1)n
即bn

b1

1 1

1 2

1 2

1 3

1 n 1

1 n

1
1 n

n 1, n
又b1

0, 所以bn

n
n
1
,
所以b501

500 . 501
10.(2013上海,文)在等差数列{an}中,若a1+a2+a3+a4=30, 则a2+a3= .