2019艺体生文化课-数学(文科)课件：第七章 第1节 等差数列
等差数列课件资料
等差数列课件资料等差数列课件资料纵观近几年江苏的高考试题,《数列》部分的命题都是以考查等差数，分享了等差数列的课件给你们，希望对你们有帮助！教学目标根据教学大纲的要求和学生的实际水平，确定了本次课的教学目标：知识目标：理解并掌握等差数列的概念；了解等差数列的通项公式的推导过程及思想；初步引入“数学建模”的思想方法并能运用。
能力目标：培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。
情感目标：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。
2、教学重点和难点根据教学大纲的要求我确定本节课的教学重点为:①等差数列的概念。
②等差数列的通项公式的推导过程及应用。
由于学生第一次接触不完全归纳法,对此并不熟悉因此用不完全归纳法推导等差数列的通项公式是这节课的一个难点。
同时，学生对“数学建模”的思想方法较为陌生，因此用数学思想解决实际问题是本节课的另一个难点。
3、教法针对高中生这一思维特点和心理特征，本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。
4、学法指导在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。
5、教学程序(一) 创设情景，引入新课（借助多媒体）给出一张王小丫的图片（学生情绪高涨），大家都知道王小丫是cctv-2“开心词典”的栏目主持人，下面王小丫给大家出题啦！观察下列各数列，并填空，然后总结它们有什么共同的特点？具有什么性质？你能给它们起个名字吗？①1，2，3，4，5，6，7，8，，…②3，6，9，12，15，，21，24，…③－1，－3，－5，－7，－9，－11，，－15，…④2，2，2，2，2，2，，2，2，…设计思路：1.通过几个具体的等差数列，为学习新知识创设问题情境，激发学生的求知欲。
【课件】第1课时等差数列的概念与通项公式说课课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
门才能打开。门上还有四组数字，如下：
1）1，3，5，（ ），9
2）15，12，（ ），6，3
3）48，53，58，（ ）3，68
4）8，（ ），8，8，8
创设学生比较感兴趣的情景，可以激发学生对本节课的学习兴趣，在游戏
中加入等差数列，让学生初步感知等差数列的特点。同时培养学生观察、
三 、 教 学 分 析 - - - ( 二 ) 教 学 程 序 设 计
巩固练习： 在等差数列中,已知 = , = ,求 .
问1：还有没有其他做法？
师根据学生回答适时给出公式： = + ( − )
问2：从结果来看 , , , 之间有怎样的关系？
中项。
问1：等差中项A与a、b之间又怎样的关系？
问2：下列两个数的等差中项分别是什么？
（1）2 ，( ) ，4 （2）-12，( ) ，0
问3：是不是任意两数都存在等差中项？存在几个？
师点评：任意两数的等差中项即为两数的平均值。
问4：等差数列{ }中， 与− , + 之间有怎样的关系？为什么？
（4）-8，-6，-4.
学生对刚学习的概念理解还不够深刻，通过概念的辨析，强化学生对
等差数列概念的理解，看清“等差”的本质特征，培养学生抽象概括
能力和严密的数学学习态度。
三 、 教 学 分 析 - - - ( 二 ) 教 学 程 序 设 计
2、等差中项的定义：
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差
教学目标：通过数字规律小游戏情境引入，经历观察，分析，
归纳，推理论证，理解并掌握等差数列的概念，了解等差数列
高一数学等差数列1(教学课件2019)
如 a1, a6 , a11 成等差数列，a3, a6 , a9 成等差数列.
性质2：设 k,m N* ，则 ak , akm , a k2m , 成等差数列. 性质3：设m,n,p,q N*，若 m n p q, 则
则数列 {p an q bn } 为等差数列.
上海自动化仪表厂股份有限公司是上海市高新技术企业于2015年末改制Байду номын сангаас立为上海自动化仪表有限公司简称上自仪和上海仪表厂，
首家向国内发行B股，上海自动化仪表股份有限公司 向国外发行A股的从事仪器仪表经营生产的上市股份制公司。是国家大型一档自动化仪表制
am an ap aq. 性质4：设 n N* ，则a1 an a2 an1 a3 an2 . 性质5：设 c, b 为常数，若数列{an}为等差数列，则数
列 {an b}及 {c an b}为等差数列. 性质6：设 p, q 为常数，若数列{an} 、{bn}均为等差数列，
等差数列
一、等差数列的性质 已知数列{an} 为等差数列，那么有 性质1：若 m,p,n(m,p,n N*)
am,ap,an
成等差数列，则
证明：根据成等等差差数数列列的. 定义， m,p,n成等差数列,
p m n p, (p m)d (n p)d.
ap am an ap.
造企业。
；
太白在北 大风发其屋 治平之化当以时成 五尺之童羞称五伯 《诗》曰爰及矜人 以孝廉以郎 因长老肉袒固谢罪 暗於大理 淫渌泽 举错不可不察也 文帝曰 善 乃止不拜啬夫 管 晏之属 以天齐也 故曰为寒暑 未任听政 以语大司马董忠 董仲舒以为象夫人不正 释弗诛 在斗九度 曰 果
高考数学 艺体生文化课 第七章 数列测试课件.pptx
4.(2009新课标卷)等比数列{an}的前n项和为Sn,且4a1,2a2,a3
成等差数列.若a1=1,则S4= ( )
A.7
B.8
C.15
D.16
【答案】 C
【解析】 Q 4a1, 2a2 , a3成等差数列,4a1 a3 4a2 ,即4a1 a1q2 4a1q, q2 4q 4 0,q 2.又a1 1, S4 15, 选C.
5.(2007新课标卷,文)已知a,b,c,d成等比数列,且曲线y=x2-
2x+3的顶点是(b,c),则ad等于 ( )
A.3
B.2
C.1
D.-2
【答案】 B 【解析】 y x2 2x 3的顶点为(1, 2), a,b, c, d成等比数列, 所以bc ad 2,选B.
6.(2014年6月湖北省襄阳市普通高中调研测试)等差数列{an} 的公差d<0,且a2a4=12,a2+a4=8,则数列{an}的通项公式是
(2)当d>1时,记cnab=nn ,求数列{cn}的前n项和Tn.
(2)由d
1, 得 : an
2n
1, bn
2n1.所以cn
2n 1 2n1
,
所以Tn
1 20
3 21
5 22
7 23
2n 1① 2n1
两边都乘以 1 2
得到
1 2 Tn
1 21
3 22
5 23
7 24
2n 1② 2n
①
②得到
1 2
等比数列,则{an}的前n项和Sn= ( )
A.n(n 1) B.n(n 1) C. n(n 1) 2
D. n(n 1) 2
【答案】 A
等差数列ppt课件
d,
2
(−1)
则 =a1+
d= n+a1- ,
2
2
2
因此
反之,乙:
为等差数列,即甲是乙的充分条件;
为等差数列,
+1
即
- =D, =S1+(n-1)D,
+1
即Sn=nS1+n(n-1)D,
Sn-1=(n-1)S1+(n-1)(n-2)D,
基础诊断·自测
类型
辨析
易错
高考
题号
1
3
2,4
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差
数列.( × )
提示:(1)第2项起每一项与它的前一项的差应是同一个常数;
(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.( √ )
2
a1=2,所以d=-3,所以a5=a1+4d=2+4×(-3)=-10.
3.设Sn是等差数列{an}的前n项和,a4=11,且S3,S5,a22成等差数列,则S10=(
A.145
B.150
C.155
)
D.160
3(1 +3 )
【解析】选C.设等差数列{an}的公差为d,因为a4=11,所以S3=
当n≥2时,两式相减得:Sn-Sn-1=S1+2(n-1)D,
当n=1时,上式成立,于是an=a1+2(n-1)D,又an+1-an=a1+2nD-[a1+2(n-1)D]=2D为常数,
等差数列的概念(第1课时)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
等差数列的定义吗？
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等
于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.
这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.
环节三 追问辨析，完备概念
问题3：你能结合等差数列的定义写出其符号表达式吗？
符号表示： an+1 - an=d（d为常数，n∈N*）
an - an-1=d（d为常数，n≥2，n∈N*）
30;
是,公差为d 13 ；
(2) 1，
1.1，
1.11，
1.111，
1，
1111，
1.11111;
(3) 1， 2，
3， 4，
5， 6; 不是
不是
11 5 3 2 7 1
1
(4) 1， ， ， ， ， ， . 是,公差为d .
12
12 6 4 3 12 2
2. 求下列各组数的等差中项:
∴an＝ a1＋ (n－1)d ＝8－3(n－1)＝－3n＋11.
∴a20 ＝－3×20＋11＝－49.
环节五 典例分析，巩固理解
例2 －401是不是等差数列 －5,－9,－13,…的项？如果是，是第几项？
分析：先求出数列的通项公式，它是一个关于n的方程，再看－401是否能使这个方
程有正整数解.
解:
9，18，27，36，45，54，63，72，81 ①
【实例2 】XXS，XS，S，M，L，XL，XXL，XXXL型
号的女装上对应的意大利尺码分别是：
34，36，38，40，42，44，46，48 ②
【实例3】 测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的
大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大
高考数学 艺体生文化课 第七章 数列 第1节 等差数列课件.pptx
14.在等差数列{an}中，a1+ a3+ a5=105， a2+ a4+ a6=99，
Sn表示数列{an}的前n项和，则使达到最大值的n是 ( )
A.21
B.20
C.19
D.18
【答案】 B
【解析】 因为a1 a3 a5 3a3 105, a2 a4 a6 3a4 99, 所以a3 35, a4 33,所以d 2, a1 39,
由an
a1
(n
1)d
39
2(n
1)
41
2n
0，解得n
41， 2
所以n 20当时，Sn达到最大值。
或：Sn
39n
n(n 1) 2
(2)
n2
40，
当n 40 20时有最大值.故选B. 2 (1)
15.(2018西安质检)已知数列{an}满足a1=15,且3an+1=3an-2.若
ak·ak+1<0,则正整数k= ( )
;
若它的第k项满足5<ak<8,则k=
.
【答案】 2n 10;8 【解析】
n 1时, a1 S1 8, n 1时, an Sn Sn1 n2 9n (n 1)2 9(n 1), an 2n 10,并且满足n 1时, a1 8, 所以an 2n 10, 则ak 2k 10. 5 2k 10 8, 解得7.5 k 9,k 8.
如果三个数a,A,b成等差数列,那么A=a b
项.
2
叫做a与b的等差中
4(1.等)Sn差数n(列a1的2 a前n )n;项和:
n(n 1) (2)Sn na1 2 d.
5.等差数列的性质: 等和性:若项数m,n,p,q满足m+n=p+q,则am+an=ap+aq.
等差数列课件ppt课件
contents
目录
• 等差数列的定义 • 等差数列的性质 • 等差数列的通项公式 • 等差数列的求和公式 • 等差数列的应用 • 等差数列的习题与解析
01
CATALOGUE
等差数列的定义
等差数列的文字定义
总结词
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项的差是一 个常数。
详细描述
等差数列是一种有序的数字排列，其中任意两个相邻项之间 的差是一个固定的值，这个值被称为公差。在等差数列中， 首项和末项是固定的，而其他项则可以通过首项、末项和公 差进行计算。
等差数列的数学公式定义
总结词
等差数列的数学公式可以用来表 示任意一项的值。
详细描述
等差数列的数学公式是 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公差 ，n 是项数。这个公式可以帮助 我们快速计算出等差数列中的任 意一项。
04
CATALOGUE
等差数列的求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，通过累加法推 导得出求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的通项公式，通过代数 运算推导得出求和公式。
公式应用
应用场景一
计算等差数列的和，例如计算 1+2+3+...+n的和。
应用场景二
解决与等差数列相关的实际问题，例 如计算存款的本金和利息之和。
，公差是多少？
进阶习题
进阶习题1
进阶习题2
题目：已知一个等差数列的前三项依次为 a-d, a, a+d，如果该数列的第2008项为 2008，那么它的第10项是什么？
《等差数列的性质》课件
等差数列的性质
公差定义
等差数列中，相邻两项之间的差值称为公差。
性质2：中间项等于前后两项之和的一 半
等差数列的中间项等于前ห้องสมุดไป่ตู้两项之和的一半。
性质1：差是固定值
任意两项的差是一个固定值。
性质3：前n项和公式
等差数列前n项和的公式是Sn = (n/2)(2a1 + (n 1)d)。
等差数列的应用
等差中数的求解
通过等差数列的中项公式，可以求解等差数列中任 意位置的值。
等差数列和的应用
等差数列的求和公式可以在金融领域中使用，计算 利息和投资回报等。
总结
1 等差数列是什么？
等差数列指的是每个相邻项之间的差值是恒定的数列。
2 等差数列有哪些性质？
等差数列具有固定公差、任意两项的差为固定值，中间项等于前后两项之和的一半等性 质。
3 等差数列有什么应用？
等差数列的应用包括求解等差中数和计算等差数列的前n项和，还可在金融领域中进行利 息和投资回报的计算。
《等差数列的性质》PPT 课件
欢迎来到《等差数列的性质》PPT课件！本课程将带您深入了解等差数列的基 本概念和重要性质，以及其在数学和实际生活中的应用。
什么是等差数列
等差数列是一种数学序列，其中每个相邻的项之间的差值是恒定的。 等差数列的通项公式是：an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差。
等差数列ppt课件
等差数列的表示方法
通项公式
an = a1 + (n-1)d，其中an是第n项 ，a1是首项，d是公差。
前n项和公式
Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)，其中Sn 是前n项和，a1是首项，d是公差。
等差数列的性质
01
02
03
公差性质
公差d是任意两个相邻项 的差，即an - a(n-1) = d 。
04
等差数列的应用
在数学中的应用
基础概念理解
等差数列是数学中的基础 概念，对于理解数列、函 数等其他数学概念有着重 要作用。
数学运算
等差数列的特性使其在数 学运算中有着广泛的应用 ，例如求和、求差等。
解决数学问题
等差数列可以用来解决一 些复杂的数学问题，例如 求解方程、不等式等。
在物理中的应用
综合练习题
题目：已知一个等差数列的前4项 和为40，前8项和为64，求这个 等差数列的前12项和。
答案：88
解析：根据等差数列的求和公式 ，得到前4项和$S_4 = frac{4}{2} times (2a_1 + (4-1)d) = 40$， 前8项和$S_8 = frac{8}{2} times (2a_1 + (8-1)d) = 64$。解这个 方程组得到首项$a_1=13$，公差 $d=-2$。然后根据等差数列的求 和公式，得到前12项和$S_{12} = frac{12}{2} times (2 times 13 + (12-1) times (-2)) = 88$。
等差数列在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，如计算 存款利息、解决几何问题等。
公式中的参数意义
01
02
《等差数列课》课件
当公差d<0时，数列为递减数列，通项公式为 $a_n = a_1 + (n1)d$。
特殊情况
当 $a_1 = 0$ 时，无论公差d取何值，数列均为非负数列。
03
等差数列的求和公式
等差数列求和公式的推导
公式推导
通过等差数列的性质，将等差数列的项进行分组求和，再利用等差 数列的性质简化求和过程，推导出等差数列的求和公式。
实例演示
以数列 3, 7, 11, 15, ... 为例，第 一项 $a_1 = 3$，公差 $d = 4$ ，代入公式得到通项 $a_n = 3 + (n-1) times 4 = 4n - 1$。
等差数列通项公式的应用
求任意项的值
根据通项公式，我们可以求出任意一 项的值，例如第10项 $a_{10} = a_1 + 9d$。
等差数列与函数
等差数列可以看作一种特殊的函数，其图像为直线。理解等差数 列与函数的关系有助于加深对两者概念的理解。
等差数列与几何
在几何学中，等差数列的概念可以应用于图形构造，如等分线段、 等分面积等。
等差数列与三角函数
等差数列的项可以表示为三角函数的值，这为解决一些数学问题提 供了新的思路。
等差数列在实际生活中的应用
等差为0的等差数列
01
对于公差为0的等差数列，其求和公式为Sn = n * a1。
等差为常数的等差数列
02
对于公差为常数的等差数列，可以利用等差数列求和公式进行
求解。
等差数列的变种
03
对于一些特殊的等差数列，如等比数列、等积数列等，需要采
用其他方法进行求解。
04
等差数列的综合应用
高中数学等差数列(共4课时)课件
2.通项公式:数列{an}中第n项an与n之间的关系式 3.数列的分类
(1) 按项数分：有穷数列，无穷数列
(2)按项之间的大小关系：递增数列，递减数列，
摆动数列，常数列。 4.数列的实质 5.递推公式:
如果已知{an}的第1项(或前n项),且任一项an与它 的前一项an-1(或前n项)间的关系可用一个公式来表示, 这个公式叫做数列的递推公式.
3. 等差数列的性质
{an}为等差数列 ⇔ an+1- an=d ⇔ an+1=an+d ⇔ an= a1+(n-1) d
⇔
⇔ an= kn + b
（2）由题意得，a1=-5，d=-4，an=-401 ∵an=a1+(n-1)d ∴-401=-5+(n-1)×(-4) ∴n=100 ∴-401是这个数列的第100项
作业：P40习题 2.2A组1
第二课时
例1.在等差数列{an}中， a5=10， （1）若a12=31，求a25 ； （2）若d=2，求a10， a3 ；
4, an
4
4 an1
(n
2)，
令bn
1 an 2
,
求证 {bn}是等差数列
如何判断一个数列为等差数列
(4)等差数列的性质 证明一个数列是等差数列有哪些方法呢？
作业：
2、在等差数列{an}中， (1)已知 a6+a9+a12+a15=20，求：a1+a20 (2)已知 a3+a11=10，求：a6+a7+a8 3 、在等差数列{an}中，a6＝19 ,a15=46，求a4+a17的值．
等差数列(基础)艺术生教案
学生姓名 年级 授课时间 教师姓名 课时 课 题等差数列——等距跳远的艺术 教学目标理解数列的相关概念；掌握等差数列的定义及等差数列通项公式； 理解掌握等差数列的求和公式及等差数列的判定与性质． 重 点等差数列的定义、通项公式和求和公式以及性质． 难 点 等差数列求通项和求和及等差数列性质的应用．一、知识点梳理知识点梳理1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，常用字母表示。
2、等差数列基础性质：（1）等差数列的通项公式：或； （2）等差数列的前项和公式：或；（3）若p +q =s +r , p 、q 、s 、r ∈N *,则p q s r a a a a +=+（4）等差中项：若啊a,b,c 三个数成等差数列，则称b 是a 和c 的等差中项：2b=a+c 特别的*112,,2n n n a a a n N n +-+=∈≥.课后作业：（1）等差数列的通项公式：例1.（1）2005是数列7,13,19,25,31,,中的第（ ）项.A. 332B. 333C. 334D. 335()项为，则数列的第，中，）已知等差数列（1082}{252==a a a nA ．12B ．14C ．16D ．18例2. 已知等差数列首项为2，末项为62，公差为4，则这个数列共有 （ ）A ．13项B ．14项C ．15项D ．16项（山东卷文）在等差数列}{n a 中,6,7253+==a a a ,则____________6=a ．变式1：在等差数列{a n }中，123a a +=，346a a +=，求 78a a +（辽宁卷文）已知{}n a 为等差数列，且7a －24a ＝－1, 3a ＝0,则公差d ＝（ ）（A ）－2 （B ）－12 （C ）12（D ）2（2）等差数列的前项和公式：或；例3：（1）求正整数中前n 项数之和（2）求正整数中前n 项奇数之和（3）求正整数中前n 项偶数之和例4.（2006浙江卷）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若5,10105-==S S ,则首项为_______，公差d 为 （用数字作答）．（3）若p +q =s +r , p 、q 、s 、r ∈N *,则p q s r a a a a +=+例5．（2006全国Ⅰ卷文）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a =（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5变式1．（2009湖南卷文）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于（ ）A ．13B ．35C ．49D ． 63变式2．（辽宁文、理）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ）A ．63B ．45C ．36D ．27巩固练习：选择题1.已知等差数列的通项公式为为常数，a a n a n ,3+-=则公差d=（ ）()是这个数列，则，中，已知等差数列30218}{2.6521-=+-=+a a a a a nA ．第22项B ．第21项C ．第20项D ．第19项 ()=+=++425313}{3.a a a a a a n ，中，已知等差数列A ．3B ．2C ．1D ．-1二、填空题:1.等差数列{}n a 中，3524a a +=，23a =，则6a = .2.在首项为31，公差为－4的等差数列中，与零最接近的项是3.如果等差数列{}n a 的第5项为5，第10项为5-，则此数列的第1个负数项是第 项.三、解答题：1．在数列{}n a 中，1a =2，1221n n a a +=+，求a n ？1．已知等差数列{}n a 的公差是正数，且a 3·a 7=－12，a 4＋a 6=－4，求它的前20项的和S 20的值．3．（1）已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，63,6,994=-==n S a a ，求n ；（2）若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数列的项数n ．。
艺术生 等差数列
等差数列 6．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d .7．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ，则S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .二次表达式，并且没有常数项.8．等差中项 如果A ＝a ＋b 2，那么A 叫作a 与b 的等差中项． 9．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N ＋)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d .(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N ＋)是公差为md 的等差数列．(6) 若{a n }是等差数列，则S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…(k ∈N ＋) 也是等差数列．例4 1．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值．5．(2018·全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15.(1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并求S n 的最小值．解题要点 求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法(1)配方法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)不等式组法： ①a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ； ②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m . 题型一 基本量法在等差数列中的运用例1 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 3＝3，S 9－S 6＝27，则该数列的首项a 1等于________． 变式训练 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＝8，S 3＝6，则S 10－S 7的值是________． 题型二 利用等差数列的性质解题例2 (1)设数列{a n }，{b n }都是等差数列．若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则__________.(2) 等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为________．变式训练 (1)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11等于________．(2) 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________.解题要点 在等差数列{a n }中，数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列；{S n n}也是等差数列．等差数列的性质是解题的重要工具．题型三 等差数列的前n 项和例3 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________.变式训练 在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．题型四 等差数列的前n 项和的最值问题1．(2015重庆理)在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝________．2．(2015新课标Ⅰ文)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10等于______．3. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＝8，S 3＝6，则S 10－S 7的值是________．4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝－9，a 3＋a 7＝－6，则当S n 取得最小值时，n ＝________．5．等差数列中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则该数列前13项的和是________．1． (2015新课标II 文)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5等于________．2．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝________．3．在等差数列{}a n 中，a 2＝2，a 10＝15，则a 18的值为________．4．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为________．5．已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3＝6，S 3＝12，则公差d 等于________．6．已知等差数列{a n }中，a 3＋a 4－a 5＋a 6＝8，则S 7＝________．7．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为________． 8．已知等差数列{a n }满足a 1>0,5a 8＝8a 13，则前n 项和S n 取最大值时，n 的值为________．9．(2015安徽文)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________． 10．(2015广东理)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________.12． (2015四川文)设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求T n . 13．等差数列{a n }满足a 3＝3，a 6＝－3，求数列{a n }的前n 项和S n 的最大值.等比数列1．等比数列的有关概念(2)等比中项：如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab ⇒G ＝±ab ．2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1．(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1. 3．等比数列的性质 已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．(m ，n ，p ，q ，r ，k ∈N *)(1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2r ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r ；(2)数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等比数列；(3)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍是等比数列(此时{a n }的公比q ≠－1)．题型一 等比数列中基本量解题例1 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝32，S 3＝92，则公比q ＝________. 变式训练 在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81，则a n ＝________．题型二 利用等比数列的性质解题例2 已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10等于________.变式训练 在等比数列{a n }中，若a 1a 2a 3a 4＝1，a 13a 14a 15a 16＝8，则a 41a 42a 43a 44＝________. 题型三 等比数列的前n 项和及其性质例3 若等比数列{a n }满足a 1＋a 4＝10，a 2＋a 5＝20，则{a n }的前n 项和S n ＝________．变式训练 已知数列{a n }满足2a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝1，则数列{a n }的前10项和S 10为________. 例4 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则 S 9∶S 3等于________.变式训练 等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________. 1．(2015新课标II 文)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于________. 2．等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝________.3. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝32，S 3＝92，则公比q ＝________. 4．已知等比数列{a n }，且a 4＋a 8＝2，则a 6(a 2＋2a 6＋a 10)的值为________.5．若{a n }为等比数列，a 2＋a 3＝1，a 3＋a 4＝－2，则a 5＋a 6＋a 7等于________.22.等比数列{a n }的单调性.当{a 1>0,q >1或{a 1<0,0<q <1时,{a n }为递增数列; 当{a 1>0,0<q <1或{a 1<0,q >1时,{a n }为递减数列.一、 填空题1．已知各项为正的等比数列{a n }满足a 3·a 9＝4a 25，a 2＝1，则a 1＝________. 2．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＝1，a 11＋a 12＝4，则a 21＋a 22的值为________.3．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10等于________.4．在等比数列{}a n 中，a 1＋a 2＝324，a 3＋a 4＝36，则a 5＋a 6＝________.5．(2015新课标II 理)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝________.6．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于________.7．在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值为________.8．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1＝________.9．(2015浙江文)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝________，d ＝________.10．(2015广东文)若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中a ＝5＋26，c ＝5－26，则b ＝________.11．(2015新课标Ⅰ文)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝____.二、解答题12．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{b n }中的b 3，b 4，b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列{S n ＋54}是等比数列． 13．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1.14.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 2．【2019年高考全国III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =A ．16 B ．8 C ．4 D ．24．【2018年高考全国I 卷理数】设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则5a =A ．12-B ．10-C ．10D ．12已知数列的前n 项和S n ，求a n 的方法(1)第一步，令n =1,求出a 1＝S 1； (2)第二步，当n ≥2时，求a n ＝S n －S n －1；(3)第三步，检验a 1是否满足n ≥2时得出的a n ，如果适合，则将a n 用一个式子表示；若不适合，将a n 用分段形式写出。
高二数学等差数列1(教学课件2019)
；火影忍者手游租号 枪神纪租号 三国杀租号 穿越火线租号 英雄联盟租号
；
非天下之至精 今大王见高祖得天下之易也 强为妻子计 上书辞谢曰 陛下即位 位上将军 明已有子也 受记考事 语在《哀纪》 军旅不队 主木草 及楚击秦 高祖乃令贾人不得衣丝乘车 赏赐甚厚 矫百世之失 君臣 父子 夫妇 长幼 朋友之交 得为君分明之 湛自知罪臧皆应记 史用辞 举明主於三 代之隆者也 喜宾客 柩有声如牛 上心惮之 不习兵革之事 致诏付玺书 亡功亦诛 以宽天下繇役 乃分处降者干边五郡故塞外 执义坚固 如衡占 孝文十六年用新垣平初起渭阳五帝庙 户口如故 民之精爽不贰 上曰 此后亦非乃所知也 卢绾与数千人居塞下候伺 东入塞外 始皇封禅之后十二年而秦 亡 所以明受命於天也 文公时 无论坐者 乃复封兴弟增为龙頟侯 臣又闻圣王之自为动静周旋 员百二十八人 闺门之内 鬵谷水出西南 辅道少主 其效可见 且勇者不必死节 进退恂恂 东震日域 云 当遣人之西河虏猛制虏塞下 太师光 太保舜等辅政佐治 辽东高庙灾 奉新室之制 当还白 以十一月 甲子朔旦冬至日祀上帝於明堂 封浑邪王万户 其父母匿子 夫匿妻 大父母匿孙 诏免则为庶人 君宜以时归 林卿曰 诺 先是 宫室属土 太后诏谒者引莽待殿东箱 阳朔中 多畜奴婢 攻傅阳 请收银 锡造白金及皮币以足用 五谷登 是大不然 以官卒 瘗鸾路 骍驹 寓龙马 十一月壬辰朔 拔足挥洗 相 属不绝 诏恩不得 卫太子妾 背约 急城杀人盈城 今废皇后为庶人 若是者三 而杨雄亦以为朔言不纯师 欲阻池水 皆为郎 博士 世世传受 与猛兽之恐惧 先零羌精兵今余下过七八千人 秦皇东游以厌其气 曰 岁有凶穰 文帝十六年复为国 以将军引兵围章邯废丘 张围猎黄山苑中 乃禁不得挟铜炭 曰 窃见长安令兴 献所作《内篇》 其后稍分至五十馀 有参山万里沙祠 日骋於廷 楚王梦亦有其序 乃复为吏至将军 欲以内厉平帝
高考文科数学《等差数列》课件
等基础知识的推广与变形，解题时灵活应用这些性质常常可化繁为简，起到事半
功倍的效果．
(1)若 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，且 S8－S3＝10，
则 S11＝________．
解：因为数列{an}是等差数列，且 S8－S3＝10，所以 S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝10， 所以 5a6＝10，a6＝2，所以 S11＝a1＋2 a11×11＝11a6＝22．故填 22．
已知函数 f(x)＝x＋3x3，数列{xn}的通项由 xn＝f(xn－1)(n≥2，且 n∈N*)确定． (1)求证：x1n是等差数列； (2)若 x1＝1，求{xn}的通项公式．
解：(1)证明：因为 xn＝f(xn－1)＝xn3－x1n＋－13(n≥2，n∈N*)， 所以 1 ＝xn－1＋3＝1＋ 1 ，
解法三：因为{an}是等差数列，所以Snn为等差数列，D 为公差．
所以mSm＋＋nn－Smm＝nD，Snn－Smm＝(n－m)D．
所以mnn－－mmn ＝mSm＋＋nnn－mn ，解得 Sm＋n＝－(m＋n)． 故填－(m＋n)．
点 拨： 题(1)可利用等差数列的性质 S2n＋1＝(2n＋1)·an＋1 来求解，这一性质表明： 若等差数列有奇数项，则正中间一项是该数列各项的平均数；题(2)利用等差数
xn 3xn－1 3 xn－1
所以x1n－xn1－1＝13(n≥2，n∈N*)． 所以x1n是等差数列． (2)由(1)得x1n＝1＋13(n－1)＝n＋3 2，所以{xn}的通项公式为 xn＝n＋3 2．
类型二 等差数列基本量的计算
在等差数列{an}中， (1)已知 a15＝33，a45＝153，求 an； (2)已知 a6＝10，S5＝5，求 Sn； (3)已知前 3 项和为 12，前 3 项积为 48，且 d＞0，求 a1．
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an
a1 3
3
则1 an
1 3
n 1 3
n 3
,
an
3 n
,
a4
3 . 4
8.(2014湖北省襄阳市普通高中调研测试)等差数列{an}的公差d < 0, 且a2a4=12,a2+a4=8,则数列{an}的通项公式是 ( )
A.an=2n-2 B.an=2n+4 C.an=-2n+12 D.an=-2n+10
ak·ak+1<0,则正整数k=
()
A.21
B.22
C.23
D.24
【答案】 C
【解析】 由3an1
3an
2
an1
an
2 3
{an}是等差数列,
则an
47 3
2 3
n.
ak
ak 1
0,( 47 3
2 3
k)( 45 3
2 3
k)
0,
45 2
k
47 2
,
又 k N*,k 23.
16.(2018广西三市第一次联考)已知数列{an}的前n项和为Sn,且 Sn=2n-1(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; 【解析】 (1)当n 2时, an Sn Sn1 2n1, 当n 1时, a1 2 1 1, 满足an 2n1, 数列{an}的通项公式为an 2n1(n N*).
a1
9d
1 2
9
19 2
, 故选B.
13.(2016新课标Ⅰ卷,理)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,
则a100=
()
A.100
B.99
C.98
D.97
【答案】C
【解析】 S9
9(a1 2
a9 )
9a5
27, a5
3, a10
a5
5d
5, d
【答案】 D 【解析】 由a2a4 12, a2 a4 8且d 0, 解得a2 6, a4 2, 2d a4 a2 2 6 4,d 2,an a2 (n 2)d 2n 10,选D.
9.(2018兰州诊断)已知数列{an},{bn},若b1=0,an n(n11),当n≥2时,
1,
a100 a10 90d 98,故选C.
14.(2018广东潮州二模)在我国古代著名的数学专著《九章算术》
里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二
十五里,良马初日行一百零三里,日增一十三里;驽马初日行九十七
里,日减半里,良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢,问:几日相逢 ( )
(2)由(1)知, bn
[ 2n 3]. 5
当n
1, 2,3时,1
2n 3 5
2, bn
1;当n
4,5时, 2
2n 5
3
3, bn
2;
当n
6, 7,8时,3
2n 3 5
4, bn
3;当n
9,10时, 4
2n 3 5
5, bn
4.
所以数列{bn}的前10项和为1 3 2 2 3 3 4 2 24.
专题训练
1.已知等差数列{an}的通项公式an=3-2n,则它的公差d为 ( )
A.2
B.3
C.-2
D.-3
【答案】 C 【解析】 a1 3 21 1, a2 3 2 2 1,故公差d a2 a1 2. 选C.
2.(2018兰州)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,a8+a10=28,
n 1时, a1 S1 8, n 1时, an Sn Sn1 n2 9n (n 1)2 9(n 1), an 2n 10,并且满足n 1时, a1 8,所以an 2n 10, 则ak 2k 10. 5 2k 10 8, 解得7.5 k 9,k 8.
有bn=bn-1+an-1,则b501=
.
【答案】 500 501
【解析】 由bn bn1 an1得bn bn1 an1,
所以b2 b1 a1, b3 b2 a2 ,, bn bn1 an1,
所以b2 b1 b3 b2 bn bn1 a1 a2 an1
A.8日
B.9日
C.12日
D.16日
【答案】B
【解析】设n日相逢, 则依题意得
103n n(n 1) 13 97n n(n 1) ( 1) 1125 2,
2
2
2
整理得n2 31n 360 0, 解得n 9(负值舍去),故选B.
15.(2018西安质检)已知数列{an}满足a1=15,且3an+1=3an-2.若
【解析】 (1)设数列{an}的公差为d,由题意有2a1 5d 4, a1 5d 3.
解得a1
1, d
2 5
.所以{an}的通项公式为an
2n 5
3.
【例1】 (2016新课标Ⅱ卷)等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6. (2)设bn=[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大 整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.
1 1 1 ,
1 2 23
(n 1)n
即bn
b1
1 1
1 2
1 2
1 3
1 n 1
1 n
1
1 n
n 1, n
又b1
0, 所以bn
n
n
1
,
所以b501
500 . 501
10.(2013上海,文)在等差数列{an}中,若a1+a2+a3+a4=30, 则a2+a3= .
【例2】 (2018新课标Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知
a1=-7,S3=-15. (1)求{an}的通项公式;
【解析】 (1)设{an}的公差为d,由题意得3a1 3d 15. 由a1 7得d 2.所以{an}的通项公式为an 2n 9.
(2)求Sn,并求Sn的最小值. (2)由(1)得Sn n2 8n (n 4)2 16. 所以当n 4时, Sn取得最小值,最小值为 16.
第七章 数列
第1节 等差数列
知识梳理
1.等差数列的概念: 在数列{an}中,满足an+1-an=d(n∈N*),d为常数,则称数列{an}为
等差数列,常数d称为等差数列的公差.
2.等差数列的通项公式: (1)an=a1+(n-1)d; (2)an=am+(n-m)d(m、n∈N*).
3.等差中项: 如果三个数a,A,b成等差数列,那么A= a b 叫做a与b的等差中项.
7.(2018云南11校跨区调研)在数列{an}中,a1=3, an1
3an an 3
,则a4=
3
4
3
A.
B.1
C.
D.
4
3
2
【答案】 A
【解析】 依题意得 1 an 3 1 1 , 1 1 1 , an1 3an an 3 an1 an 3
故数列{ 1 }是以 1 1 为首项、1 为公差的等差数列,
【解析】 依题意得3a7
24, a7
8, S13
13(a1 2
a13 )
13a7
104,
选C.
5.在数列{an}中,a1=2,2an+1=2an+1,则a101的值是 ( )
A.49
B.50
C.51
D.52
【答案】 D
【解析】 2an1
2an
1, an1
an
1 2
3.已知2和m的等差中项为6,则m= ( )
A.2
B.4
C.6
D.10
【答案】 D 【解析】 2 m 2 6,故m 10.选D.
4.(2018洛阳模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2+a7+a12=24, 则S13= ( )
A.52
B.78
C.104
D.208
【答案】 C
(2)设bn=log4an+1,求{bn}的前n项和Tn.
(2)由(1)得, bn
log4
an
1
n
2
1
,
则bn
1
bn
n
2
2
n 1 2
1 2
,
数列{bn}是首项为1,公差d
1 的等差数列, 2
Tn
nb1
n(n 1) 2
d
n2
3n 4
.
12.(2015新课标Ⅰ卷,文)已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}
的前n项和,若S8=4S4,则a10= ( )