角平分线定理
角平分线的性质定理及其逆定理
角平分线的性质定理及其逆定理定理一、角平分线的性质定理及其逆定理1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
2.角平分线的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
不难发现，定理1的条件是定理2的结论，同时它的结论又是定理2的条件，它们互为逆定理。
定理1说明了角平分线上点的纯粹性，即：只要是角平分线上的点，它到此角两边一定等距离，而无一例外；定理2反映了角平分线的完备性，即只要是到角两边距离相等的点，都一定在角平分线上，而绝不会漏掉一个。
在实际应用中，前者用来证明线段相等，后者用来证明角相等或证明点在一个角的平分线上。
用数学语言可表示如下：例题一：（1）∵OC平分∠AOB，点P在射线OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E∴PD=PE（定理1）（2）∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE∴OC平分∠AOB（定理2）例题二：如图，△ABC的ㄥB平分线BD与ㄥC的外角的平分线CE相较于点P。
求证：点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等。
从P点向边AB做垂线,垂足为F,向BC边作垂线,垂足为G,向AC边作垂线,垂足为H因为BD是角ABC的角平分线所以PF=PG因为CE是角ACB的外角平分线所以PH=PG所以PF=PG=PH即,点P到三这AB,BC,CA所在直线的距离相等从P点向边AB做垂线,垂足为F,向BC边作垂线,垂足为G,向AC边作垂线,垂足为H因为BD是角ABC的角平分线所以PF=PG因为CE是角ACB的外角平分线所以PH=PG所以PF=PG=PH即,点P到三这AB,BC,CA所在直线的距离相等这题对吗？。
角平分线三个定理
角平分线三个定理全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：角平分线三个定理是几何学中非常重要的定理之一，它们可以帮助我们更好地理解和运用角平分线的性质。
本文将详细介绍这三个定理的含义和推理过程。
第一个定理是角平分线定理。
所谓角平分线定理指的是：如果一条直线将一个角分成两个大小相等的角，那么这条直线就是这个角的平分线。
换句话说，如果一条直线BD分割一个角ABC，且∠ABD≌∠CBD，则BD就是∠ABC的平分线。
证明这个定理的方法比较简单，可以通过相似三角形或等角相等辅助线的方法进行。
通过这三个定理，我们可以更深入地了解角平分线的性质，进而应用到解决各种与角平分线相关的几何问题中。
熟练掌握和灵活运用这三个定理对于提高我们的几何学水平至关重要。
希望通过本文的介绍，读者们能够更好地理解和掌握角平分线的性质，从而在学习和工作中取得更好的成绩。
愿大家在几何学的道路上不断进步，探索出更多有趣的数学定理和问题！第二篇示例：角平分线三个定理是解析几何中非常重要的定理，对于角平分线的性质进行了深入的研究和总结。
在平面几何中，角平分线是连接一个角的两边中点的线段，将这个角分成两个相等的角。
下面我们来详细介绍一下角平分线的三个定理。
第一个角平分线定理是角平分线定理，它的表述如下：若一条线段从一个角内的顶点引出，又将这个角分成两个相等的小角。
这个定理是解析几何中最基本的定理之一，也是很多其他定理的基础。
通过角平分线定理，我们可以得出许多结论和推论，解决很多关于角平分线的问题。
第二个角平分线定理是角平分线的长度比定理，它的表述如下：如果一条角平分线把一个角分成两个相等的小角，则这条角平分线上的一点到角的两边的距离分别等于这两条边的比值。
这个定理在解决角平分线长度问题时非常有用，能够帮助我们准确计算角平分线的长度。
通过这三个角平分线定理，我们可以更好地理解和运用角平分线的性质，解决各种与角平分线相关的问题。
在解析几何的学习中，掌握这些定理能够提高我们的解题能力和几何思维，帮助我们更好地理解平面几何知识，为进一步学习提供良好的基础。
三角形角平分线的三个定理证明
三角形角平分线的三个定理证明今天我们来聊聊三角形的角平分线，不知道大家有没有听过这个名字？别着急，别皱眉头，咱们今天就用轻松的方式聊聊它的三个定理。
嗯，对了，别一听到“定理”就想着这些东西都很难。
其实说白了，就是一些数学小规律，咱们捋顺了，分分钟能掌握！三角形的角平分线，就好比一个人站在三角形的顶点，把顶点的角一分为二，这两部分就叫做“角平分线”。
所以说，角平分线其实就是把角给“平分”了。
就像咱们吃饭的时候，大家都吃的差不多，没谁吃得特别多，也没谁吃得特别少，吃到最后大家都差不多，能吃个七八分饱。
这就是角平分线的第一步，它把角“分得很均匀”。
好啦，咱们先来看看第一个定理——角平分线定理。
这个定理说的是：在一个三角形里，如果你把其中一个角分成两个相等的角，那么角平分线就会把对边分成两段，比例就和另外两个边的长度成正比。
说起来可能有点绕，不过理解一下其实很简单。
比如说你有一个三角形，角A被角平分线分成了两个相等的角，接着角平分线碰到了对边BC，这时候，角平分线把对边BC分成了两段——一段叫做BD，一段叫做DC。
于是，BD和DC的比例就跟AB和AC的比例一样。
所以，简单来说，角平分线把对边分得“恰如其分”，好像是两个好朋友，他们不争不抢，分得刚刚好。
怎么说呢？简直就是“分蛋糕分得不多不少”。
这个定理，其实很直白，理解起来就像你吃一块蛋糕，吃到自己的一块，剩下的也给大家分得差不多，公平又公正。
接下来我们来说第二个定理，角平分线的外角定理。
听着名字可能有点“高大上”，但说白了就是，三角形外面的某些角也能有它的分法。
这里的关键点是，三角形的一条角平分线延伸到外面，它和外面的对边之间有一个特殊的关系。
你看，假如角平分线从角A出发，穿过三角形的外边，这时候，外面这个角的大小恰好等于它与角平分线的内角的加和的一半。
也就是说，它跟内部的角平分线内外的配合得当，像是一对搭档，互相配合，默契十足。
所以，这个定理就像我们常说的“知己知彼，百战不殆”，内外呼应，整体协作，效果好到飞起。
任意三角形角平分线定理
任意三角形角平分线定理1. 角平分线的概念在我们学习几何的时候，三角形总是让人又爱又恨。
嘿，别急！今天我们要聊的是一个非常有趣的概念——角平分线。
简单来说，角平分线就是把一个角一分为二的线段，像是把一块大蛋糕切成两半，既公平又美味。
想象一下，你的朋友问你：“嘿，能不能给我一块大蛋糕的好处？”你就可以拿着刀，轻轻一划，两块蛋糕就诞生了，大家都有份，甜蜜无比。
说到这儿，大家应该能明白，角平分线的作用其实就像是在几何世界里分蛋糕一样，能帮助我们更好地理解三角形的性质。
1.1 角平分线的性质好啦，角平分线可不止是把角切开那么简单，它还有个神奇的属性。
你知道吗？在三角形中，角平分线不仅能分割角度，还能帮助我们找出与三角形边的关系。
这就像是你和朋友在玩“你说我猜”的游戏，猜对了，就能得到奖励。
而这个奖励，就是我们所说的比例关系：角平分线把对边分成的两部分与其他两边的长度成比例。
这简直就是几何界的“黄金法则”啊，任何时候用上都能让你倍儿有面子。
1.2 角平分线定理的公式说到这里，大家肯定很好奇，这个神奇的比例到底是什么？别担心，我来告诉你。
设想一下，三角形的顶点是A，底边是BC，D是角平分线与BC的交点。
根据角平分线定理，AD/DB = AC/AB。
这就像是在说，“嘿，AC和AB这两个边的长度比例，就是你在对边上分出来的那两段的长度比例。
”简直太有趣了，像在玩拼图游戏，一不小心就拼出了新花样！2. 角平分线的应用那么，这个角平分线定理到底有什么用呢？首先，我们来聊聊日常生活中的应用。
比如说，你在装修房子，想在墙上挂画，如何找到最完美的位置？没错，角平分线就可以帮助你找到那个理想的挂画位置，让画的左右对称，看起来美观大方，像是家里的小艺术品。
而在学校里，几何题中的角平分线也是常客，帮助我们解锁更多问题。
2.1 解决实际问题再举个例子，你跟朋友去游乐场，想找到最短的排队时间。
聪明的你可以用角平分线来判断哪些游乐设施的排队情况更有利。
三角形角平分线的全部定理
三角形角平分线的全部定理
内角平分线定理指出，三角形内一角的平分线所分对边成比例。
换句话说，如果在三角形内部的一个角上作平分线，那么这条平分
线将三角形的对边分成的两部分的比例相等。
外角平分线定理指出，三角形外一角的平分线所分对边成比例。
换句话说，如果在三角形外部的一个角上作平分线，那么这条平分
线将三角形的对边分成的两部分的比例相等。
角平分线定理指出，如果在三角形的一个内角上作平分线，那
么这条平分线将这个内角分成两个相等的角。
这些定理在解决三角形内角平分线、外角平分线和角平分线的
相关问题时非常有用。
它们可以被用来证明三角形内部或外部的角
平分线所分对边的比例关系，或者用来证明两个角相等的问题。
这
些定理在几何学中有着广泛的应用，并且对于理解和解决三角形相
关的问题非常重要。
角平分线比例定理
角平分线比例定理
角平分线比例定理是：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
角平分线成比例定理是数学中的一种定理，该定理指出三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
角平分线定理1：是描述角平分线上的点到角两边距离定量关系的定理，也可看作是角平分线的性质。
角平分线定理2：是将角平分线放到三角形中研究得出的线段等比例关系的定理，由它以及相关公式还可以推导出三角形内角平分线长与各线段间的定量关系。
直角三角形 角平分线定理
直角三角形角平分线定理
直角三角形的角平分线定理是指：在一个直角三角形中，如果从直角顶点引一条线段，将对角线分成两段，那么这条线段所在的直线就是这个直角顶点的两个相邻角的平分线。
具体来说，设一个直角三角形ABC，其中∠C=90度，AD为BC的中线，DE是AC的垂线，则AD是∠A和∠B的平分线，即∠CAD=∠BAD=∠A/2，∠CBD=∠ABD=∠B/2。
这个定理的证明可以利用几何知识进行证明，例如相似三角形、角度和定理等。
但简单来说，我们可以利用三角函数的定义，根据正弦、余弦、正切等函数来计算证明。
总之，直角三角形的角平分线定理在几何学中有着重要的应用价值，可以帮助我们更好地理解和应用三角形的相关知识。
初中三角形角平分线定理
初中三角形角平分线定理
三角形角平分线定理：三角形内角平分线所对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
定理证明：
在ΔABC中，有角平分线AD，过点D作边AB，AC的内错角平分线，交于点E。
过点D作边AB，AC的角平分线，交于点F。
过点D作边AB，AC的垂线，交于点G。
由角平分线引出角内、外两条线，再利用角的对称性画出另外两边。
由于角平分线定理可以说明角平分线上点到角两边距离相等，所以问题转化为证明两个三角形全等，证明三角形全等常用边角边、角边角、HL 定理。
定理应用：
遇到角平分线，可构造等腰三角形，用等腰三角形的性质来解决问题。
可过角平分线上一点作垂直构造全等三角形，用ASA来证明等腰三角形。
三角形角平分线三个结论
三角形角平分线三个结论
从一个角的顶点引出的把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线。
三角形的一个角（内角）的角平分线交其对边的点所连成的线段，叫做这个三角形的一条角平分线。
定理1：
角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
逆定理：在角的内部至一个角的两边距离成正比的点在这个角的.角平分线上。
定理2：
三角形一个角的平分线与其对边阿芒塔的两条线段与这个角的两边对应成比例。
逆定理：
如果三角形一边上的某个点与这条边阿芒塔的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线就是三角形的一条角平分线。
角平分线的定理及其逆定理
角平分线的定理及其逆定理在几何学中，角平分线是一条穿过一个角的中点，且与角的两条边平分的直线。
它也可以定义为一个不断变化的折线，它的关键特性是它的内部角平分线的链接。
角平分定理可以被描述为：穿过一个多边形上任意两点的直线，如果该直线将角分为两个部分，其中一部分是锐角，另一部分是钝角，则该直线与角的两条边平分。
角平分定理的逆定理可以这样表述：如果一条直线穿过一个多边形上的任意两点，并且将角分为两个部分，其中一部分由钝角构成，另一部分由锐角构成，则该直线与角的两条边不会平分。
角平分定理的形式有很多，可以有效地应用于不同的情境，也可以有助于帮助解决问题。
例如，角平分定理可以用来求解正多边形上两个点之间的距离，这对于解决建筑和绘图等应用场景是非常有用的。
角平分定理也可以用来求解圆周率π的值。
把圆分成四等份，用角平分定理就可以求出它的圆周率π的值，并且也是一种实用的应用场景。
角平分定理可以在几何构造中得到有效的应用，例如，可以使用它来构建一个正方形，也可以将正方形分割成四个角，使其分别被一条角平分线分割。
在三角形中，角平分定理也可以用来解决多项问题。
例如，如果想知道一个三角形中某个角的度数，那么可以使用角平分定理，来表达该角的度数。
另外，角平分定理也有助于解决三角形的角的余弦公式的计算问题。
在多边形的几何构造中，角平分定理也有着独特的应用，例如，可以使用角平分定理解决一个多边形内角的总和的问题，也可以利用角平分定理求解多边形的内角的度数。
角平分定理也可以在数学函数中得到应用，例如，可以使用它来解决弦长公式或圆周上任意两点间距离的求解问题，以及采用它解决抛物线等几何函数的计算问题。
综上所述，角平分定理及其逆定理在几何学中有着广泛的应用，可以帮助人们解决多种几何问题，甚至在数学函数中也有很多实用的应用场景。
等边三角形角平分线定理
等边三角形角平分线定理定理：等边三角形中, 三条角平分线交于一个点，并且这个点是重心、垂心、外心、内心的交点。
证明：1. 假设三角形ABC是一个等边三角形，三个角的测量都是60度。
2. 连接三角形的顶点A与底边BC的中点D，同时也连接角A的平分线AE。
同样，连接B与平分线CF, C与平分线BG.3. 由于等边三角形中，三个角的测量都是60度，所以可以得到角DAB=30度，角FAE=30度，角GBC=30度。
4. 同样由于等边三角形中，AB=BC=AC，可以得到三角形ABD与三角形ACD 是相等的，即AB=AC，角DAB=角DAC=30度。
5. 这意味着线段AD是三角形ABC的一个角平分线。
同样由于线段BE和CF 也分别是角B和角C的平分线，我们可以得到三角形ABC中的三条角平分线。
6. 接下来，我们要证明这三条角平分线会交于同一个点。
假设它们交于点O。
7. 由于角DAB=30度，角FAE=30度，角GBC=30度，所以可以得到角BOC=120度。
8. 同时，由于线段AD是角A的平分线，所以可以得到角BAD=angleCAD=30度。
9. 又因为AB=AC，所以可以得到三角形ABO与三角形ACO是相等的，即AB=AC, AO=AO, 和角BAO=角CAO=30度。
10. 因此，三角形ABO与ACO是相等且全等的，从而可以得到BO=CO，即点O位于线段BC的中垂线上。
11. 可以类似地证明点O也位于线段AB和线段AC的中垂线上，所以它是三角形ABC的重心。
12. 另一方面，由于三角形ABC是等边三角形，所以利用此前已经证明过的结论，点O也是三角形ABC的垂心、外心和内心的交点。
综上所述，等边三角形中，三条角平分线交于一个点，并且这个点是重心、垂心、外心、内心的交点。
初中数学定理：角的平分线定理
初中数学定理：角的平分线定理
定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
定理2：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上
角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
初中数学定理：等腰三角形性质定理
等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
推论3：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形
推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
角平分线的定义是什么判定定理有哪些
角平分线的定义是什么判定定理有哪些角平分线的定义是从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
角平分线是在角的型内及形上，到角两边距离相等的点的轨迹。
角平分线在三角形中的定义是三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交。
角平分线的定义角平分线的定义是从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
角平分线是在角的型内及形上，到角两边距离相等的点的轨迹。
角平分线在三角形中的定义是三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线，也叫三角形的内角平分线。
由定义可知，三角形的角平分线是一条线段。
由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。
三角形的角平分线交点一定在三角形内部。
角平分线的判定角平分线的性质定理和判定1、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线；2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：①平分线上的点；②点到边的距离；3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上角平分线的交点叫什么心“角平分线的交点叫内心，垂线的交点叫垂心，中线的交点分别叫重心，垂直平分线的交点叫外心，三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，叫做旁心。
三角形有许多性质，存在很多“心”的性质：1、重心：三角形重心是三角形三条中线的交点。
当几何体为匀质物体时，重心与形心重合。
2、外心：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心。
三角形外接圆的圆心也就是三角形三边垂直平分线的交点，三角形的三个顶点就在这个外接圆上。
角的平分线定理 定理1
角的平分线定理定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等定理2：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合矩形的定理矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角矩形性质定理2：矩形的对角线相等矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形菱形定理菱形性质定理1：菱形的四条边都相等菱形性质定理2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形正方形定理正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角等腰梯形性质定理等腰梯形性质定理：1.等腰梯形在同一底上的两个角相等2.等腰梯形的两条对角线相等等腰梯形判定定理：1.在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形2.对角线相等的梯形是等腰梯形平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边平行四边形定理平行四边形性质定理1：平行四边形的对角相等平行四边形性质定理2：平行四边形的对边相等推论：夹在两条平行线间的平行线段相等平行四边形性质定理3：平行四边形的对角线互相平分平行四边形判定定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形平行四边形判定定理4：一组对边平行相等的四边形是平行四边形初中数学几何平行定理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行推论：如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行证明两直线平行定理：同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行两直线平行推论：两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补对称定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形定理2：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线定理3：两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上逆定理：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称中心对称定理定理1：关于中心对称的两个图形是全等的定理2：关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分逆定理：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称中位线定理三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=（a+b）÷2S=L ×h初中数学圆的定理12不共线的三点确定一个圆经过一点可以作无数个圆经过两点也可以作无数个圆，且圆心都在连结这两点的线段的垂直平分线上定理：过不共线的三个点，可以作且只可以作一个圆推论：三角形的三边垂直平分线相交于一点，这个点就是三角形的外心三角形的三条高线的交点叫三角形的垂心1.3垂径定理圆是中心对称图形；圆心是它的对称中心圆是周对称图形，任一条通过圆心的直线都是它的对称轴定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且评分弦所对的两条弧推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧推论2：弦的垂直平分弦经过圆心，并且平分弦所对的两条弧推论3：平分弦所对的一条弧的直径，垂直评分弦，并且平分弦所对的另一条弧1.4弧、弦和弦心距定理：在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等二圆与直线的位置关系2.1圆与直线的位置关系如果一条直线和一个圆没有公共点，我们就说这条直线和这个圆相离如果一条直线和一个圆只有一个公共点，我们就说这条直线和这个圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做它们的切点定理：经过圆的半径外端点，并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线定理：圆的切线垂直经过切点的半径推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心如果一条直线和一个圆有两个公共点，我们就说，这条直线和这个圆相交，这条直线叫这个圆的割线，这两个公共点叫做它们的交点直线和圆的位置关系只能由相离、相切和相交三种2.2三角形的内切圆如果一个多边形的各边所在的直线，都和一个圆相切，这个多边形叫做圆的外切多边形，这个圆叫做多边形的内切圆定理：三角形的三个内角平分线交于一点，这点是三角形的内心三角形一内角评分线和其余两内角的外角评分线交于一点，这一点叫做三角形的旁心。
数学人教版八年级上册角平分线有关的定理
角平分线定理
角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线.
三角形的角平分线定义：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线.
注：三角形的角平分线不是角的平分线，是线段.角的平分线是射线.
拓展：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！(即内心).
定理1：角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等.
逆定理：在一个角的内部（包括顶角），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.
定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例，。
角平分线线段比例定理
角平分线线段比例定理
角平分线线段比例定理，又称为角平分线定理，指在一个三角形中，
如果一条线段从三角形的一个顶点出发，且平分该顶点的对角线，那么此
线段将把对角线分成两个长度成比例的线段。
具体来说，如果AB是三角
形的一个角的对边，CD是这个角的一个平分线，那么线段AD与线段DB
的比等于线段AC与线段CB的比。
换句话说，如果AD:DB=AC:CB，则CD称为三角形ABC的角平分线，
或称线段CD平分角A。
下图所示：
证明：设CD和AB的交点为E，由角平分线定义可得
$\angle{AEC}=\angle{BED}$，再由共内角、全等可得
$\Delta{AEC}≌\Delta{BED}$，因此$\dfrac{AC}{BE}=\dfrac{AE}{BD}$，移项即可得到$\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AC}{CB}$。
角平分线定理在解决三角形相关题目时非常有用，应用广泛。
例如，
可以用它来证明三角形的各种性质，如内心、外心、垂心等重要点的性质。
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角平分线定理
角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
■ 三角形的角平分线定义：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线。
【注】三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。
角的平分线是射线。
■拓展：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！(即内心)。
■定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。
■逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
■定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，
如：在△ABC中，BD平分∠ABC，则AD：DC=AB：BC
提供四种证明方法：
已知，如图，AM为△ABC的角平分线，求证AB／AC=MB／MC
已知和证明1图
证明：方法1：（面积法）
S△ABM=(1/2)·AB·AM·sin∠BAM,
S△ACM=(1/2)·AC·AM·sin∠CAM,
∴S△ABM：S△ACM=AB:AC
又△ABM和△ACM是等高三角形，面积的比等于底的比，
证明2图
即三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=BM:CM ∴AB／AC=MB／MC
方法2（相似形）
过C作CN‖AB交AM的延长线于N
则△ABM∽△NCM
∴AB/NC=BM/CM
又可证明∠CAN=∠ANC
∴AC=CN
∴AB／AC=MB／MC
证明3图方法3（相似形）
过M作MN‖AB交AC于N
则△ABC∽△NMC,
∴AB/AC=MN/NC,AN/NC=BM/MC
又可证明∠CAM=∠AMN
∴AN=MN
∴AB/AC=AN/NC
∴AB／AC=MB／MC
方法4（正弦定理）
作三角形的外接圆，AM交圆于D，
由正弦定理，得，
证明4图
AB/sin∠BMA=BM/sin∠BAM,
∴AC/sin∠CMA=CM/sin∠CAM
又∠BAM=∠CAM，∠BMA+∠AMC=180°
sin∠BAM=sin∠CAM,sin∠BMA=sin∠AMC, ∴AB／AC=MB／MC。