线性规划在经济生活中的应用(奶制品的生产和销售问题)

线性规划在经济生活中的应用（奶制品的生产和销售问题）

[问题的提出]

一奶制品加工厂用牛奶生产A1、A2两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤A1，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤A2。根据市场需求，生产的A1、A2全部能售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤A1，设备乙的加工能力没有限制。试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大？

[问题的分析]

该问题的决策受到3个条件的限制：原料(牛奶)供应、劳动时间、设备甲的加工能力。

设每天用x1桶牛奶生产A1，用x2桶牛奶生产A2，并设每天获利为z元。

则：x1桶牛奶可生产3x1公斤A1，获利24⨯3x1元，

x2桶牛奶可生产4x2公斤A2，获利16⨯4x2元，

目标函数为：Max z=72x1+64x2。

由题设可以得到如下约束条件：

原料供应： x1+x2≤50桶；

劳动时间：12x1+8x2≤480小时；

设备能力： 3x1≤100；

非负约束：即x1≥0，x2≥0．

综上可得该问题的数学模型为：

Max z=72x1+64x2 ；

s.t.

x1+x2≤50；

12x1+8x2≤480；

3x1≤100；

x1≥0；

x2≥0；

[问题的求解]

1、图解法：这个线性规划模型的决策变量为2维，用图解法既简单，又便于直观地把握线性规划的基本性质。如下图所示：

可行域是5条直线上的线段所围成的5边形OABCD ．容易算出，5个顶点的坐标为：O(0，0)，A(0，50)，B(20，30)，C(100/3，10)，D(100/3，0)。

目标函数中的z 取不同数值时，在图中表示一组平行直线(虚线)，可以看出，当这族平行线向右上方移动到过B 点时，z=3360，达到最大值，所以B 点的坐标(20，30)即为最优解：1x =20，2x =30。

2、图解法只能求解只有两个变量的LP 模型，如果遇到多个变量时，就要考虑用其他方法，最常用的是用MAtlab 或者Lingo 软件进行求解，下面简单的用lingo 软件来求解本题的答案。

在lingo 中输入以下命令：

model :

max =72*x1+64*x2;

x1+x2<=50;

12*x1+8*x2<=480;

3*x1<=100;

x1>=0;

x2>=0;

end

求解后输出结果如下：

Global optimal solution found at iteration: 2

Objective value: 3360.000

Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 0.000000 X2 30.00000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price

1 3360.000 1.000000

2 0.000000 48.00000

3 0.000000 2.000000

4 40.00000 0.000000

5 20.00000 0.000000

6 30.00000 0.000000 可见，最优解是x1=20.00000，x2=30.00000，结果与用图解法求解的结果一致。