数字信号处理课程设计-用双线性变换法设计高通和带通数字滤波器

广 西 大 学

数字信号处理课程设计报告

课题名称：用双线性变换法设计高通和带通数字滤波器

1． 数字滤波器

1.1 数字滤波器介绍

数字滤波器是具有一定传输选择特性的数字信号处理装置,其输入、输出均为数字信号,实质上是一个由有限精度算法实现的线性时不变离散系统。它的基本工作原理是利用离散系统特性对系统输入信号进行加工和变换,改变输入序列的频谱或信号波形,让有用频率的信号分量通过,抑制无用的信号分量输出。数字滤波器和模拟滤波器有着相同的滤波概念,根据其频率响应特性可分为低通、高通、带通、带阻等类型,与模拟滤波器相比,数字滤波器除了具有数字信号处理的固有优点外,还有滤波精度高(与系统字长有关)、稳定性好(仅运行在0与l 两个电平状态)、灵活性强等优点。

时域离散系统的频域特性:()()()jw jw jw e H e X e Y =，其中()jw e Y ，()jw e X 分别是数字滤波器的输出序列和输入序列的频域特性（或称为频谱特性），()jw e H 是

数字滤波器的单位取样响应的频谱，又称为数字滤波器的频域响应。输入序列的频谱()jw e X 经过滤波后()()jw jw e H e X 。因此，只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的， 适当选择()jw e H ，使得滤波后的()()jw jw e H e X 满足设计的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。

数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性，可分为两种，即无限长冲激响应(IIR)数字滤波器和有限长冲激响应(FIR)数字滤波器。IIR 数字滤波器的特征是，具有无限持续时间冲激响应，需要用递归模型

来实现，其差分方程为： ()()()∑∑==-+-=N

i i N

i i i n y i n x a n y 1

b

系统函数为： ()∑∑=-=-+=

N k k

k M

r r

r z a z

b z H 1

1

设计IIR 滤波器的任务就是寻求一个物理上可实现的系统函数H(z)，使其频率响应H(z)满足所希望得到的频域指标，即符合给定的通带截止频率、阻带截止频率、通带衰减系数和阻带衰减系数。

1.2 IIR 数字滤波器设计原理

IIR 数字滤波器是一种离散时间系统，其系统函数为

()()()

z X z Y z a z N k k

k k

k

=

-=

∑∑=-=-1

M

k 1b

z H 假设M ≤N ，当M ＞N 时,系统函数可以看作一个IIR 的子系统和一个(M-N)的FIR 子系统的级联。IIR 数字滤波器的设计实际上是求解滤波器的系数k a 和k b ，它是数学上的一种逼近问题，即在规定意义上（通常采用最小均方误差准则）去逼近系统的特性。如果在S 平面上去逼近，就得到模拟滤波器；如果在z 平面上去逼近，就得到数字滤波器。我的设计方法：

本课程设计采用先构造一个巴特沃斯模拟高（带）通滤波器，利用双线性变换将模拟高（带）通滤波器转换成数字高通滤波器。

1.2.2双线性变换法

为了克服冲激响应法可能产生的频率响应的混叠失真，这是因为从S平面到Ｚ平面是多值的映射关系所造成的。为了克服这一缺点，可以采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到-π/T～π/T之间，再用z=e sT转换到Z 平面上。也就是说，第一步先将整个S平面压缩映射到S

1

平面的-π/T～π/T一条横带里；第二步再通过标准变换关系z=e s1T将此横带变换到整个Z平面上去。这样就使S平面与Z平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，映射关系如图1-3

图1-3双线性变换的映射关系

为了将S平面的整个虚轴jΩ压缩到S1平面jΩ1轴上的-π/T到π/T段上，可以通过以下的正切变换实现

式中,T仍是采样间隔。

当Ω1由-π/T经过0变化到π/T时，Ω由-∞经过0变化到+∞，也即映射了整个jΩ轴。将式（1-9）写成

将此关系解析延拓到整个S平面和S1平面，令jΩ=s，jΩ1=s1，则得

再将S1平面通过以下标准变换关系映射到Z平面

z=e s1T

从而得到S平面和Z平面的单值映射关系为：

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛Ω

=

Ω

2

tan

2

1

T

T

2/

2/

2/

2/

1

1

1

1

2

T

j

T

j

T

j

T

j

e

e

e

e

T

j

Ω

-

Ω

Ω

Ω

+

-

⋅

=

Ω

T

s

T

s

T

s

T

s

T

s

T

s

e

e

T

T

s

T

e

e

e

e

T

s

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

tanh

2

2

1

2/

2/

2/

2/

-

-

-

-

+

-

⋅

=

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

=

+

-

⋅

=

Z平面

S

1

平面

S平面