第二讲间接效用函数与支出函数D
第二讲 间接效用函数与支出函数
• 假设消费者的偏好是良好性状的。
• A点为最初的选择，B点为征从量税的最优选 择，C点为征所得税的最优选择。可见，在政 府向消费者征收相同数量的税收条件下，消费 者在政府课征所得税时的境况要好些。
X2
征从量税的预算线
初始预算线
X2*
B• •C •A
征所得税的预算线
O
X1*
X1
思考：
➢ 在政府征收从量税和等额所得税的情况下，消费 者的境况有没有可能一样好？如果有，是在什么 情况下？ 有，折拗性偏好，例如：完全互补
y p1
p2
请求消费者的马歇尔需求函数。
求解
v(p1,p2,y ) p1
y(p1
p
2
)
2
,
v(
p1,p p 2
2
,y
)
y(p1
p 2 )2
v(p1,p2,y ) y
(p1
p 2 )1
利用罗尔恒等式
v(p ,y )
pi v(p ,y )
xi*
xi(p ,y )
y 0
v(p1,p2,y )
我们有x1(p1,p2,y )
p1 v(p1,p2,y )
y(p1 p 2 )2 (p1 p 2 )1
y
y(p1 p 2 )1
v(p1,p2,y )
x 2(p1,p2,y )
p 2 v(p1,p2,y )
y(p1 p 2 )2 (p1 p 2 )1
y
y(p1 p 2 )1
（三）间接效用函数的应用
• 可以分析价格和收入变动对消费者福利的影 响。
p ， *
u(x* )
i xi
0(偏好满足单调性），pi
平新乔课后习题详解(第2讲--间接效用函数与支出函数)
平新乔《微观经济学十八讲》第2讲 间接效用函数与支出函数1．设一个消费者的直接效用函数为12ln u q q α=+。
求该消费者的间接效用函数。
并且运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数。
并验证：这样得到的需求函数与从直接效用函数推得的需求函数是相同的。
解：（1）①当20y p α->时，消费者的效用最大化问题为：12122,112m ln ax q q s t q p p yq q q α..+=+构造拉格朗日函数：()121122ln L q q q y p p q αλ--=++L 对1q 、2q 和λ分别求偏导得：1110L p q q αλ∂=-=∂ ① 2210Lp q λ∂=-=∂ ② 11220q Ly p p q λ∂=--=∂ ③ 从①式和②式中消去λ后得：211p q p α*=④再把④式代入③式中得：222y p p q α*-=⑤ 从而解得马歇尔需求函数为：211p q p α*=222y p p q α*-=由⑤式可知：当20y p α->时，20q *>，消费者同时消费商品1和商品2。
将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()2112122,,,ln p v p p y p q q y u p ααα**=+-=②当20y p α-≤时，消费者只消费商品1，为角点解的情况。
从而解得马歇尔需求函数为：11q y p *=20q *= 将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()12121,,,ln v p p y u q p y q α**== （2）①当20y p α->时，此时的间接效用函数为：()()2112122,,,lnp v p p y p q q yu p ααα**=+-= 将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 2222v y p p p α∂=-∂ 21v y p ∂=∂ 由罗尔恒等式，得到：1112121v p p p v y p q p αα*∂∂=-==∂∂ 222222221y p v p p y p y q v p p αα*-∂∂-=-==∂∂②当20y p α-≤时，间接效用函数为()()12121,,,lnv p p y u q p yq α**==，将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 20v p ∂=∂ v y yα∂=∂ 由罗尔恒等式，得到：1111v p p y v y p yq αα*∂∂=-==∂∂ 2200v p v y y q α*∂∂=-==∂∂ （3）比较可知，通过效用最大化的方法和罗尔恒等式的方法得出的需求函数相同。
第二讲间接效用函数与支出函数D
* 故 v( p1 , p2 , m) = x1* x2
m = 4 p1 p2
2
p1 =0.25, p2 =1, m= 2
2 * x1 = 2 × 0.25 = 4 2 * x2 = =1 2 ×1
时
v( p1 , p2 , m) = v(0.5,1, 2) = 4
现在假设政府对商品1按0.25元/ 单位征收消费税，即
两边同时对pj偏微分
∂xi x j + ∑ pi =0 ∂p j i =1
n
∂ v = λ ∂ p j
∑
n
p
i=1
i
∂ x ∂ p
i j
故
∂v = −λ x j ∂p j
（1）
②再求分母
Q v( p, m) = u ( x( p, m))
对m求偏微分
∂v = ∂m
∑
n
i =1 n
∂u ( x ) ∂xi ∂xi ∂m ∂ xi pi ∂m
∂e( p, u ) ⋅ ∂pi
(1)
由谢泼特引理知
∂e = hi ( p , u ) ∂pi
且
hi ( p , u ) = x i ( p , e ( p , u )) = xi ( p , m )
即
∂e = xi ( p, m) ∂p i
代入(1)式变形即可得
∂x j ∂pi = ∂h j ( p, v( p, m)) ∂pi − xi ∂x j ( p, m) ∂m
第二讲间接效用函数与支出函数
•
Outline of Today’s Class
• • • • • 1.间接效用函数 2.罗伊（Roy identity）等式 3.支出最小化问题 支出最小化问题 4.支出函数 5.希克斯（补偿）需求函数
平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解(第2讲 间接效用函数与支出函数)
平新乔《微观经济学十八讲》第2讲 间接效用函数与支出函数跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
以下内容为跨考网独家整理，如您还需更多考研资料，可选择经济学一对一在线咨询进行咨询。
1．设一个消费者的直接效用函数为12ln u q q α=+。
求该消费者的间接效用函数。
并且运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数。
并验证：这样得到的需求函数与从直接效用函数推得的需求函数是相同的。
解：（1）①当20y p α->时，消费者的效用最大化问题为：12122,112m ln ax q q s t q p p yq q q α..+=+构造拉格朗日函数：()121122ln L q q q y p p q αλ--=++L 对1q 、2q 和λ分别求偏导得：1110L p q q αλ∂=-=∂ ① 2210Lp q λ∂=-=∂ ② 11220q Ly p p q λ∂=--=∂ ③ 从①式和②式中消去λ后得：211p q p α*=④再把④式代入③式中得：222y p p q α*-=⑤ 从而解得马歇尔需求函数为：211p q p α*=222y p p q α*-= 由⑤式可知：当20y p α->时，20q *>，消费者同时消费商品1和商品2。
将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()2112122,,,ln p v p p y p q q y u p ααα**=+-=②当20y p α-≤时，消费者只消费商品1，为角点解的情况。
从而解得马歇尔需求函数为：11q y p *=20q *= 将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()12121,,,lnv p p y u q p y q α**== （2）①当20y p α->时，此时的间接效用函数为：()()2112122,,,lnp v p p y p q q yu p ααα**=+-= 将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 2222v y p p p α∂=-∂ 21v y p ∂=∂ 由罗尔恒等式，得到：1112121v p p p v y p q p αα*∂∂=-==∂∂ 22222221y p v p p y p y q v p p αα*-∂∂-=-==∂∂②当20y p α-≤时，间接效用函数为()()12121,,,lnv p p y u q p yq α**==，将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 20v p ∂=∂ v y yα∂=∂ 由罗尔恒等式，得到：1111v p p y v y p y q αα*∂∂=-==∂∂ 2200v p v y yq α*∂∂=-==∂∂ （3）比较可知，通过效用最大化的方法和罗尔恒等式的方法得出的需求函数相同。
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1．设一个消费者的直接效用函数为12ln u q q α=+。
求该消费者的间接效用函数。
并且运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数。
并验证：这样得到的需求函数与从直接效用函数推得的需求函数是相同的。
解：（1）①当20y p α->时，消费者的效用最大化问题为：12122,112m ln ax q q s t q p p yq q q α..+=+构造拉格朗日函数：()121122ln L q q q y p p q αλ--=++L 对1q 、2q 和λ分别求偏导得：1110L p q q αλ∂=-=∂ ① 2210Lp q λ∂=-=∂ ② 11220q Ly p p q λ∂=--=∂ ③ 从①式和②式中消去λ后得：211p q p α*=④再把④式代入③式中得：222y p p q α*-=⑤ 从而解得马歇尔需求函数为：211p q p α*=222y p p q α*-= 由⑤式可知：当20y p α->时，20q *>，消费者同时消费商品1和商品2。
将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()2112122,,,ln p v p p y p q q y u p ααα**=+-=②当20y p α-≤时，消费者只消费商品1，为角点解的情况。
从而解得马歇尔需求函数为：11q y p *=20q *=将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()12121,,,lnv p p y u q p yq α**== （2）①当20y p α->时，此时的间接效用函数为：()()2112122,,,lnp v p p y p q q yu p ααα**=+-= 将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 2222v y p p p α∂=-∂ 21v y p ∂=∂由罗尔恒等式，得到：1112121v p p p v y p q p αα*∂∂=-==∂∂ 222222221y p v p p y p y q v p p αα*-∂∂-=-==∂∂②当20y p α-≤时，间接效用函数为()()12121,,,lnv p p y u q p yq α**==，将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 20vp ∂=∂ v y y α∂=∂由罗尔恒等式，得到：1111v p p y v y p y q αα*∂∂=-==∂∂ 2200v p v y yq α*∂∂=-==∂∂ （3）比较可知，通过效用最大化的方法和罗尔恒等式的方法得出的需求函数相同。
微观经济学讲义-第二讲_图文_图文
(α＞0,β＞0)
中指数的经济含义。
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微观经济分析44
由（iv），（v）我们可知 代入（vi）可以求得
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微观经济分析36
• （4）： 由（3）直接代入支出函数得 ，进而
故谢泼特引理得证。
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微观经济分析37
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微观经济分析6
关于(p,y)是零次齐次的。 对于y是严格递增的。
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微观经济分析7
对于p是严格递减的。
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微观经济分析42
三、预算份额
• 如果收入为y，消费的商品数量为
(x1,x2,…,xn)，价格为(p1,p2,…,pn)，则
称
为购买xi的收入份额，或
预算份额。
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微观经济分析43
例：Cobb—Douglass效用函数
U(X1,X2)=
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微观经济分析15
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
微观经济分析16
如果初始状态：v(0.25,1,2)=2。若政府要征收 0.5元的所得税，则消费者收入y会从2下降为 1.5元。用间接效用函数来衡量，开征0.5元的 所得税会使消费者的间接效用从2下降至1.5。 如果政府的税收总量仍为0.5，但考虑的是开征 商品税，则效果会有所不同。设政府只对X1（ 例如酒）开征商品税，由于开征商品税会使税
平新乔微观经济学十八讲02
5
代 5 入 4 式,得 x 2 的需求函数:
x2 =
y 3 p2
2
6
代 5,6 两式入效用函数中,得到当效用最大化时有间接效用函数:
2y y v( p, y ) = u ( x1 , x 2 ) = x x 2 = 3p 3p 2 1
2 1
2
第二讲 间接效用……
又消费者效用最大化意味着
(x1 , x2 ) ∈ R+2 . 已 知 北 京 的 物 价 为 ( p1a , p 2a ) , 上 海 的 物 价 为 ( p1b , p 2b ) , 并 且
a b p1a p 2 = p1b p 2 , 但 a b p1a ≠ p1b , p 2 ≠ p 2
. 又 知 广 州 的 物 价 为
u = x1 x2 u′ ln u u ′ = ln u 2 p1 p2 e = 2 p1 p2 e = 2 p1 p2u u ′ = ln x1 + ln x2 e′( p1 , p 2 , u ′) = e( p1 , p 2 , u )
根据 5.1 与 5.2 的结果,得到
6
设某消费者的间接效用函数为 v( p1 , p2 , m ) =
y = e( p, v( p, y ))
即可得到支出函数:
e( p, u ) = e( p, v( p, y )) = y = 108 p12 p 2 u
3 考虑下列间接效用函数
(
)
1 3
=
3 2 p12 p 2 u 2
(
)
1 3
v( p1 , p 2 , m ) =
这里 m 表示收入,问:
m p1 + p 2
由 1 式,2 式,得 e( p1 , p2 , u )
第二章间接效用函数与支出函数
希克斯需求曲线和马歇尔需求曲线
P1
h( p1 , u0 )
p1 '
p
0 1
x1 ( p1 , m0 )
0 h( p1 ' , u0 ) h( p1 , u0 )
x1 ( p1 ' , m0 )
X1
区别
• 希克斯需求曲线反映的是效用不变情况下，价格变化引起 的需求量的变化。体现的仅是替代效应。 • 马歇尔需求曲线反映的是价格变化引起的需求量的变化。 包括替代效应和收入效应。 • 所以马歇尔需求曲线一般来说要比希克斯需求曲线平缓。
支出最小化问题的基本模型
min px h p, u s.t , U x u
希克斯需求函数或 补偿需求函数
特点：完全不可观察的，效用是非客观的
支出最小化的求解过程
补偿的含义？
• 观察价格变化后，保持效用不变的话，支出最小时的支出 要比原来的支出大，说明价格上涨，要想效用不改变，必 须进行一定的货币补偿。
罗伊恒等式证明过程
• 可使用包络定理证明（详见16页） • 另一种证明
罗伊恒等式
• 证明过程可以反映价格和收入变动对均衡解的影响。 • 从恒等式可以倒推出马歇尔需求函数。
间接效用函数的应用
• 间接效用函数描述的是（价格，收入）变化对效用最大化 时的效用的影响。 • 当消费者的决策环境变化了，通过间接效用函数可以直接 了解它的影响。 • 尤其对于消费政策变化的影响分析，非常有效。例如：收 入补贴政策（改变收入）；商品税政策（改变某一商品价 格）等。
A B x2* C
x1*
x1
思考
• 如果政府对穷人的救济方式有： 发放收入和食物折扣券这两种方式 在政府开支是一样的情况下，哪种方式对穷人福利的增加 更多？
平新乔十八讲课后习题答案
1-6-1
第一讲 偏好、效用与消费者的基本问题
让我们首先来看一个例子，而在例子结束时，也就是我们回答此问题结束之际；
假设生产 a 单位的产出要固定用用上 a1 单位的 x1 与 a2 单位的 x2 ，那么此技术的生产函
越靠上的曲线所代表的效用水平就越高。
(3)
Y
y =−2 x3
Y
y = 2x
X
对于李楠而言汽水 x 与冰棍 y 是完全替代 的；三杯汽水 x 与两根冰棍 y 所带来的效用水
平是一样的，她的效用曲线拥有负的斜率；对
于一定量的汽水 x 而言，越多的冰棍 y 越好，
所以越靠上的曲线所代表的效用水平就越高；
她效用函数可用 u(x, y) = 3x + 2 y 表示。
ψ (x,λ) = x1 + λ(m − p1x1 − p2x2 )
∂ψ ∂x1
= 1 − λp1
=0
∂ψ ∂x2
= −λp2
=0
∂ψ ∂λ
=m−
p1x1 −
p2 x2
=0
由上式可得马歇尔需求函数： x1
=
m p1
； x2
=0
10
max = u(x)
x
s.t. m = p1x1 + p2x2
构造拉氏方程： ψ (x, λ) = Ax1α x12−α + λ(m − p1x1 − p2x2 )
∂ψ ∂x1
= 20(x1 +
x2 ) − λp1
=0
∂ψ ∂x2
=
20( x1
经济学第二讲笔记
意义：控制消费者的消费行为实质上可以通过 p《价 格政策，价格改革》及 y《收入政策》 二、间接效用函数的性质 如果 u(x)在Rn + 是连续且严格递增的，则 v(p,y)= max u(x) x∈ Rn + st: px≤y 有
n 1、在Rn ++ × R + 是连续的
2、关于（p,y）是零次齐次的 3、对于 y 严格递增 4、对于 p 严格递减 5、满足罗尔恒等式 即 v(p,y)在点（p0 ,y 0 ）可等且
= =
1
x 2 1
1
−1 2
x2 - p1 λ = 0
−1
1 2
⋯⋯① ⋯⋯②
1 2 2 x x 2 1 2
- p2 λ = 0
= y − p1 x1 − p2 x2 = 0 ⋯ ⋯ ③
x2 x1
由①②有 即
= p1
2
p
x 2 = p 1 x1
2
p
代入③有
∗ x1 = 2p ∗ x2 = 2p y
y
ρ
+ 1]
有
p 1 ρ −1 p2
ρ ρ −1 ρ
= u[
+ 1]
−1 ρ 1 ρ −1
=u[p1
+ p2 ] . p2
γ −1 p2 )γ .
1
ρ −1 ρ −1 ρ
γ =u(p1
+
p2
γ−1
⋯⑥
代⑥给④有
h x1 =up1
1 ρ −1
. p2
−1 ρ −1
γ (p1
+
γ −1 p2 )γ .
1
p2
3、总效应<TE> SE + IE= TE 讨论题： 住房由福利分房改为货币分房，分析其效应 配合上图
第二讲间接效用函数与支出函数第一节间接效用函数间接效用函数的定义
ux
u
x
二、希克斯需求函数
支出函数的最优解为希克斯需求函数
px h p ,u
支出函数 e : n
? 为：
e p, u px h p ,u , x h x x
xh p, u ，最小支出为
n , u x u, u
min px , s.t., u x u
x px , x x x n ,u x u, u
2.在定义域 e : n
? 上连续
3.对于所有的 p ? 0，支出函数在 u上递增并且关于
4.在价格 p 上递增
5.在价格 p 上一次齐次性
6.如 果效用函数严格拟凹，有谢泼特引理：
e p0,u0 pi
xih p 0 ,u 0
u 无上界
证明：
7、如果效用函数严格拟凹，有谢菲尔德引理：
e p0,u0 pi
2 2*0.52源自税收总量 =2*0.25=0.5 。与所得税相同。
v%(.)
yy
22 =1.41
2p1 2p2 2*0.5 2*1
商品税带来的效用损失大于所得税。
为什么？
第二节支出函数 一、 支出函数的定义
x*
给定价格 p 实现某一效用水平 u 所需的最小支出：
e( P, u )
min px ,
s.t.,
1) 在 n
上连续
2) 在 p , y 上零次齐次性
3) 在 y上严格递增 4) 在 p 上严格递减
5) 在 p , y 上拟凹
6) 罗伊恒等式：如果 v p, y 在 p0 , y0 上可导，并且
v p 0, y0 y
0 ，有：
v p0, y0
xi p 0 , y0
平新乔微观经济学十八讲》答案
p1c + p2 s = M
（**）
s = 2M
c= M
综合*与**式，可以得到， p1 + 2 p2 ， p1 + 2 p 2
6
第一讲 偏好、效用……
s′ = 2M
c′ = M
如果价格变成
p1′
和
p
′
2
，同样可以得到
p1′ + 2 p2′ ，
p1′ + 2 p2′ ．咖啡和糖的
消费比例不会发生变化．
2 x12
因此 x1 的边际效用是递减的．同理， x2 的边际效用也是递减的．i
4.2. 请给出一个效用函数形式，使该形式不具备边际效用递减的性质．
答：可能的一个效用函数是 u(x1, x2 ) = x1 + x2 ．
5. 常见的常替代弹性效用函数形式为
请证明：
( )1
u(x1 , x2 ) = α1 x1ρ + α 2 x2 ρ ρ
lim
ρ →−∞
t
(
x1
,
x2 )
=
x2
5
第一讲 偏好、效用……
当 x1 = x2 时，有 t(x1, x2 ) ≡ x1 = x2 综上所述，当 ρ → −∞ 时，原效用函数描述的偏好关系趋近于
u(x1, x2 ) = min{x1, x2} 所描述的偏好关系．
如果α1 与α 2 满足α1 + α 2 = 1 ，那么当 ρ → −∞ 时，同时有效用函数
为 p1′ 和 p2′ ，对她关于咖啡和糖的消费会发生什么影响？
解：咖啡和糖对茜茜而言是完全互补品（perfect complements），即她的效用函数可以表 示为（假设她的偏好满足单调性）：
微观经济学十八讲课后题答案：第二讲
x1 ( p, m) =
v / p2 [αp2 α (m αp2 )]/ p22 = m αp2 = x2 ( p , m ) = v / m 1 / p2 p2
2
max = u ( x)
x
s.t. m = p1x1 + p2 x2
构造拉氏方程：
ψ ( x, λ ) = x 2 x2 + λ (m p1 x1 p2 x2 )
x1
的收入份额是
一定的，而其余的钱
α p2
p1
为花在 x2 上。
x1
把上所得的马歇尔需求函数代入目标函数得间接效用函数：
v(m, p ) = α ln α + α ln p2 α ln p1 +
根据罗尔恒等式： xi ( p, m) =
m αp2 p2
v / pi 会得出同样的马歇尔需求函数： v / m v / p1 α / p1 αp2 = = v / m 1 / p2 p1
把上两式分别代入（3）式得马歇尔需求函数：
x1 ( p, m) =
m ； 2 p1
x2 ( p , m ) =
m 2 p2
把上所得的马歇尔需求函数代入目标函数得间接效用函数：
v ( p, m) =
m2 4 p1 p2
把题设条件的三城市的价格代入间接效用函数得：
va ( p, m) =
m2 m2 = vb ( p, m) = a b 4 p1a p2 4 p1b p2
(
(6)
α1 α 2 α α + + L i LL + n ) pi xi = m αi αi αi αi
(7)
(
α α1 α 2 α + + L j LL + n ) p j x j = m αj αj αj αj α1 α 2 α α + + L i LL + n ) pn xn = m αn αn αn αn
高级微观02-间接效用与支出函数 2011
2 间接效用函数与支出函数2.1 间接效用函数2.1.1 间接效用函数的定义从第1章已知，间接效用函数 v(p, m) 是价格和收入的函数，不是消费束x 的函数。
就是说，消费者的最大化效用，可以由预算约束（收入m ）和外在的相对价格（p ）关系间接地表达。
即，消费者在了解了自己的收入状况和相对价格关系之后，就可以理性地求解效用最大化问题――获得最大化效用u*，而不必直接求解最优的消费束x*。
由此引申的政策意义是，控制p 的实质就是价格政策或者价格改革，控制m 的实质就是收入政策。
引出此问题，是考虑到相对价格变动或者收入变动，对于消费者最优需求量变动的影响。
回顾中级微观经济学里，价格－消费曲线和收入－消费曲线的推导过程，可以更好地理解这个问题。
2.1.2 间接效用函数的性质v(p, m)具有如下性质：1. 关于p 和m 是零次齐次的，即对于所有t > 0，都有v(p, m)=v(tp, tm)。
2. 对于p 是非递增的和拟凸的，即0),(≤∂∂ip m p v 。
3. 对于m 是严格递增的，即0),(>∂∂m m p v 。
4. 对于所有的p >> 0 和m > 0是连续的，即如果u(x)连续，则 其最大化的一阶导数值也是连续的。
5. 满足 罗伊恒等式 (Roy ’s identity)：如果),(m p x 是瓦尔拉斯需求函数，假设u(.)连续，且间接效用函数v(p, m)在(p, m)>>0上可微，则对于0,0>>m p i , i=1, 2, …, k ，有-=),(m p x i /),(i p m p v ∂∂mm p v ∂∂),(。
罗伊恒等式表明，不管价格如何，只要消费者在这些价格下，以最低收入实现效用u*，则u*就是可能的最大化效用。
另外，从间接效用函数来计算瓦尔拉斯需求，比从直接效用函数计算，要容易。
因为这样只涉及导数的计算，而无须解一阶条件的方程组。
效用最大化问题中的三个函数——需求函数、间接效用函数、支出函数
效⽤最⼤化问题中的三个函数——需求函数、间接效⽤函数、⽀出函数需求函数：性质：关于所有价格和收⼊零次齐次性（所有商品价格与收⼊乘以t倍），最优化需求数量保持不变。
1. CES需求函数CES需求函数的函数形式为：构造朗格朗⽇表达式：求偏导数得到⼀阶条件：根据上式求得需求函数：从上式看出我们确实可以得到⼀个对于任意的CES函数的需求函数。
但是个⼈建议，由于CES函数有不同的“形式”（⽐如说也是⼀种CES函数，所以在实际做题求解CES函数的需求函数的过程中，建议重复上述证明步骤，⽤构造拉格朗⽇表达式，利⽤⼀阶条件来求解需求函数）当的时候，此时为完全互补效⽤函数，利⽤消费者为了效⽤最⼤化只会选择L型⽆差异曲线顶点消费的特征来直接求解，就不⽤构造朗格朗⽇表达式了。
除此之外，联系弹性和之前讲过的（点击链接回顾）的概念，我们不难发现，，即替代弹性等于1为分界线。
举例说明：当的时候，此时商品x花费的收⼊份额为不是常数，越⾼，x的相对价格越⾼，它所花费的收⼊份额就越⼩。
换⾔之，x的需求对其价格的反应就⾮常敏感，价格的上升减少了x的总花费。
不过收⼊的变化并不影响消费份额。
U (x ,y )=+δx δδy δf =+δx δ+δy δλ(I −p x −x p y )y ⎩⎨⎧=x −λp =0∂x ∂f δ−1x =x −λp =0∂x∂f δ−1x =I −p x −p y =0∂λ∂f x y ⎩⎨⎧x =p (1+())x p y p x 1−δδy =p (1+())y p x p y 1−δδI δU =(αx +11ραx )22ρρ1δ→∞δ=0σ=1−δ1δ=0.5x =p (1+())x p y p x I p x /I =x 1/[1+(p /p )]x y p x2. 柯布道格拉斯需求函数柯布-道格拉斯效⽤函数的表达式为：同样可以利⽤朗格朗⽇法来算出需求函数，由于过程重复，在此不做赘述，得到如下的结果：由此我们得到⼀个重要的结论，在柯布道格拉斯效⽤函数情形下，消费者会花费⽐例的收⼊去购买商品x，⽤的⽐例去购买y。
《微观经济十八讲》第二章间接效用函数与支出函数
运用包络定理，可得到：
e( p, u ) L( x* , * ) h xi xi ( p, u ) * pi pi
例：
min( p1 x1 p2 x2 )
x1 , x2
1
由u( x1 , x2 ) ( x1 x2 ) , 0 1),求支出函数.
* 1
* x1 2 。说明政府开征 p1从0.25涨到0.5元后， 商品税后，消费者仍会购买2单位的商品X1， 政府的税收也是0.5元。
(2) p1 0.5, 代入v( p1, p2 , y), 新的间接效用函数为:
y 2 (2) v ( p1 , p2 , y) 1.41 1.5 0.5 0.5 0.5 2( p1 ) ( p2 ) 2(0.5) 1
五、对偶性问题
就是指在经济学中具有成对意义的一些概念和问 题。在需求分析中的主要的对偶关系有：
(1) x( p, y ) h p, v ( p, y ) (2) h( p, u ) x p, e( p, u ) (3)e p, v ( p, y ) y (4)v p, e( p, u ) u
两式相除，就可以得到ห้องสมุดไป่ตู้尔恒等式。
3.间接效用函数的应用:政府税收对效用的影响 设效用函数为: u( x1 , x2 ) x1 x2 最大化问题为: max x1 x2
s.t. p1x1 p2 x2 y
L x1 x2 ( y p1 x1 p2 x2 )
L 0 x1 L 0 x2
L 0
因此，可得到:
* x2 p1 p1 * 即x2 x1 * x1 p2 p2
y y * x , x2 2 p1 2 p2
间接效用函数与支出函数
(2)
∂ψ ∂x j
= α j Ax1α1 LL xαj j −1L xnα n
− λp j1 = 0
(3)
∂ψ ∂x1
=
αn
Ax1α1
xα 2 2
LLL
xnα
n
−1
−
λpn
=0
(4)
∑ ∂ψ
∂λ
n
=m−
i =1
pi xi
=0
(5)
由 (2) 得: (3)
xi
=
αi pjxj α j pi
;
把上两式分别代入（5）式得:
1
1
1
( ) e( p,u) =
p1⎜⎜⎝⎛
2up2 p1
⎟⎟⎠⎞3
+
p2 ⎜⎜⎝⎛
up12 4 p22
⎟⎟⎠⎞ 3
=
2up12 p2
1 3
+
⎜⎜⎝⎛
up12 p2 4
⎟⎟⎠⎞
3
1
e(
p,u)
=
3⎜⎜⎝⎛
up12 p2 4
⎟⎟⎠⎞ 3
也可根据间接效用函数与支出函数互为倒函数的关系直接得出：
1
v( p, m)
=
αim
n
pi α j
j =1
；因为
n
αj
j =1
=
1 ；所以
xi
(
p,
m)
=
αim pi
；
我们还可以通过对其效用函数进行单调变化，进而可方便的得出其马歇尔需求函数；
n
∑ ln u(x) = ln A + αi ⋅ ln xi i =1
（2）把上所得的马歇尔需求函数代入目标函数得间接效用函数：