圆中的三角函数
三角函数和圆的关系
三角函数和圆的关系
单位圆与三角函数的关系：
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等其他的三角函数。
三角函数的起源：
早期对于三角函数的研究可以追溯到古代。
古希腊三角术的奠基人是公元前2世纪的喜帕恰斯。
他按照古巴比伦人的做法，将圆周分为360等份（即圆周的弧度为360度，与现代的弧度制不同）。
对于给定的弧度，他给出了对应的弦的长度数值，这个记法和现代的正弦函数是等价的。
喜帕恰斯实际上给出了最早的三角函数数值表。
然而古希腊的三角学基本是球面三角学。
这与古希腊人研究的主体是天文学有关。
梅涅劳斯在他的著作《球面学》中使用了正弦来描述球面的梅涅劳斯定理。
三角函数等分圆周
三角函数等分圆周三角函数是高中数学中的重要内容，而等分圆周则是三角函数中的一个重要方法。
它将圆周分成若干等份，进而构建成一个圆形的坐标系，为我们研究角度与弧度的关系提供了极大的便利。
一、坐标系的构建由于圆周有360度，因此我们可以将圆周分为n个等份，每份所对应的角度为360/n。
接下来，我们以圆心为原点建立直角坐标系，以x轴作为起始线段，并在圆上依次标出n个等分点，再将圆上的点与x轴相连，就可以构建出一个圆形的坐标系。
二、三角函数的计算在坐标系中，我们可以通过直线与圆上的相交点，产生三角形，进而定义三角函数。
根据坐标系的构建方式，我们取一个点P，坐标为(x,y)，则它到x轴的距离即为弧度，这样，我们就可以定义sin、cos、tan三个函数了。
sinx = ycosx = xtanx = y / x这些函数的值可以通过计算机通过比例关系计算出来，也可以通过画图仪器进行测量。
三、三角函数在圆周中的应用有了三角函数，我们可以在圆周中求出任意角度的正弦、余弦、正切等函数值。
例如，当我们需要求出角度为45度的正弦值时，我们可以在圆周上构建出角度为45度的三角形，并标出正弦对边和斜边的长度，然后计算它们的比值即可。
同样地，我们可以求出所有角度的三角函数值。
四、三角函数等分圆周在工程应用中的意义三角函数等分圆周在航空、航天、导航等领域中具有重要意义。
例如，人造卫星在空间中进行运动时，需要不断地将卫星的位置转换成地球上的经纬度坐标，而这一转换需要用到三角函数等分圆周的知识。
再例如，在飞机上进行导航时，需要通过三角函数等分圆周的知识求出飞机的位置和航向。
总之，三角函数等分圆周是高中数学中重要的知识点，它所涉及的三角函数和圆周的知识，在工程应用中具有广泛的应用。
掌握这一知识点，可以帮助我们更好地理解三角函数，进而深入理解数学的本质。
(整理版)单位圆中的三角函数线
圆中的三角函数线三角函数线是研究三角函数的几何工具，它是数形结合思想在三角函数中的表达．它的重要作用除了准确画图，刻画三角函数的性质，直观表示三角函数的值和符号，总结三角函数值的变化规律外，还可以用来比拟三角函数值的大小，证明三角不等式，解三角不等式等，并且简便易行．一、比拟三角函数值的大小三角函数线是一个角的三角函数值的表达，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值．因此，比拟两个三角函数值的大小，可以借助三角函数线．例1 比拟大小：①sin1和sin1.5；②4cos π7和5cos π7． 解：①π01 1.52<<<，∴由正弦线可知：sin1sin1.5<； ②45πππ77<<，∴由余弦线可知：45cos πcos π77>〔此时余弦线方向向左〕． 二、证明三角不等式数形结合的“形〞不仅仅是指三角函数图象，三角函数线有时比图象能更好的解决问题．例2 设α为锐角，求证：π1sin cos 2αα<+<． 解：如图1，在直角坐标系中作出圆，设角α的终边为OP ，过P 作PQ Ox ⊥于Q ，PR Oy ⊥于R ，那么sin QP α=，cos OQ α=．α为锐角，在OPQ △中，QP OQ OP +>， sin cos 1αα∴+>． ①而11cos 22OPB S OB RP α==△·， 11sin 22OAP S OA QP α==△·，1ππ1224OAB S =⨯⨯=扇形． 又四边形OAPB 被扇形OAB 所覆盖，OPB OAP OAB S S S ∴+<扇形△△，即πsin cos 2αα+<． ② 由①，②得π1sin cos 2αα<+<． 三、解三角不等式例3 解不等式1sin 2x >． 解：如图2，作出正弦值等于12的角x 的终边，那么正弦值大于12的角x 的终边与圆的交点在劣弧12PP 上，所以所求角x 的取值范围是π5|2π2π66x k x k k ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ，．。
圆周运动与三角函数
圆周运动与三角函数
圆周运动与三角函数是高中物理学中基本概念，很多学习物理时
都遇到这两种概念。
圆周运动是指某物体沿着某固定圆环运动的一种
直线运动，它的运动路径是一条弧线，是一条绕着某一固定点的周期
性直线运动。
而三角函数是一组综合应用函数。
由它我们可以计算直
角和用以描述它们，也可以应用在圆周运动中，通过计算三角函数，
可以找出在任何给定的角度上物体离说定点的距离。
圆周运动经常用到三角函数和公式。
比如，通过使用正弦函数，
我们可以计算出在任意给定的角度上物体离某一固定点的距离，比如：S = r + sin();因此，三角函数在描述圆周运动中起着十分重要的作用。
只要用准确的正负号，就可以用正弦和余弦函数求出物体离哪一
固定点的距离。
三角函数也可以用在求物体在某一点上的速度和加速度。
通过求
出两个连续点上物体的位移、时间和角度之间关系，可以求出物体的
运动方程。
比如，用位移-时间函数求出物体在给定时刻的速度v =
(S2 -S1)/t，t表示两个度度之间的时间差；用位移-时间连续求出物
体在某一点的加速度a= (v2 - v1)/t。
圆周运动是物理学中非常重要的一种物体运动，三角函数是计算
圆周运动的重要手段，也是圆周运动的重要数学概念。
通过正确使用它，可以很好的表达物体在某一固定点上的距离、速度和加速度，充
分发挥它的作用。
三角函数公式大全
三角函数公式大全三角函数是数学中重要的概念，它们在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。
下面将详细介绍一些常用的三角函数公式。
1. 正弦函数（sine function）：正弦函数是一个周期函数，它表示角度为x的点在单位圆上的y坐标。
正弦函数的公式如下：sin(x) = y，其中-1≤y≤12. 余弦函数（cosine function）：余弦函数也是一个周期函数，它表示角度为x的点在单位圆上的x坐标。
余弦函数的公式如下：cos(x) = x，其中-1≤x≤13. 正切函数（tangent function）：正切函数表示角度为x的点在单位圆上的斜率。
正切函数的公式如下：tan(x) = sin(x)/cos(x)。
4. 余切函数（cotangent function）：余切函数表示角度为x的点在单位圆上斜率的倒数。
余切函数的公式如下：cot(x) = 1/tan(x) = cos(x)/sin(x)。
5. 正割函数（secant function）：正割函数表示角度为x的点在单位圆上的x坐标的倒数。
正割函数的公式如下：sec(x) = 1/cos(x)。
6. 余割函数（cosecant function）：余割函数表示角度为x的点在单位圆上的y坐标的倒数。
余割函数的公式如下：csc(x) = 1/sin(x)。
7. 和差公式（sum and difference formulas）：和差公式用于计算两个角的正弦、余弦和正切的和或差。
具体公式如下：sin(A±B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)cos(A±B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B)tan(A±B) = (tan(A) ± tan(B))/(1∓tan(A)tan(B))8. 倍角公式（double angle formulas）：倍角公式用于计算一个角的正弦、余弦和正切的两倍。
单位圆在三角函数中的应用
单位圆在三角函数中的应用作为数学中重要的概念之一，单位圆在三角函数中扮演了非常重要的角色。
它不仅是研究三角函数的基础，还在实际应用中有广泛的应用。
本文将介绍单位圆在三角函数中的应用，包括三角函数的定义、性质以及其在几何中、物理中的应用等。
首先，我们来了解一下三角函数的定义。
常见的三角函数包括正弦函数（sine）、余弦函数（cosine）、正切函数（tangent）以及它们的倒数函数。
以正弦函数为例，定义为单位圆上一个角的对边与斜边的比值。
也就是说，给定一个角度θ，在单位圆上，将线段OA的长度定义为对边，线段OP的长度定义为斜边，则正弦函数sin(θ)等于对边OA的长度。
三角函数的性质可以在单位圆上进行直观地解释。
对于正弦函数sin(θ)和余弦函数cos(θ)，单位圆上的点(x, y)满足x^2 + y^2 = 1，也就是说对于任意角度θ，单位圆上的点(x, y)满足这个方程。
这表明，单位圆上所有的点和角度θ之间存在着一一对应的关系。
而正弦函数和余弦函数的值正是对应角度所在点的纵坐标和横坐标。
单位圆在几何中的应用是显而易见的。
以正弦函数为例，可以用来计算三角形的边长和角度。
当已知一个三角形的一条边长和一个角度时，可以用正弦函数计算出另外两条边的长度。
当已知一个三角形的两条边长时，可以用正弦函数计算出两个角度。
这些计算都是基于单位圆上的三角函数值进行的。
单位圆在物理中的应用也非常广泛。
在力学中，单位圆可以用来描述物体在圆周运动时的速度和加速度的变化。
在电学中，单位圆可以用来表示交流电的相位差和频率，以及计算电阻、电容和电感等元件的阻抗。
在信号处理中，单位圆可以用来分析和设计滤波器，尤其是数字滤波器。
在光学中，单位圆可以用来描述光的偏振状态。
除了几何和物理领域，单位圆在经济学、概率统计和信号处理等学科中也有广泛的应用。
在经济学中，单位圆可以用来表示经济指标的周期性变化，如季节性变化和商业周期。
在概率统计中，单位圆可以用来描述正态分布和复平面上的随机变量。
圆的方程任意角的三角函数
圆的方程一、圆的概念：平面内到必然点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
二、圆的方程（1）标准方程()()222r b y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r ；（2）一般方程022=++++F Ey Dx y x当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+=当0422=-+F E D 时，表示一个点； 当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。
（3）求圆方程的方式：一般都采用待定系数法：先设后求。
肯定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必通过原点，以此来肯定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为22BA C Bb Aa d +++=，则有相离与C l r d ⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔<（2）过圆外一点的切线：①k 不存在，验证是不是成立②k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k ，取得方程【必然两解】(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 24、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来肯定。
设圆()()221211:r b y a x C =-+-，()()222222:R b y a x C =-+-两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来肯定。
专题 三角函数与圆-圆中三角形函数的综合运用
专题三角函数与圆——圆中三角函数的综合运用
1、如图，P A为⊙O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B，延长BO与⊙O交于点D，与P A的延长线交于点E.
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若tan∠ABE＝1
2
，求sin∠E的值.
2、在锐角三角形ABC中，BC＝5，sin A＝4
5
，
（1）如图1，求三角形ABC外接圆的直径；
（2）如图2，点I为三角形ABC的内心，BA＝BC，求AI的长.
3、在⊙O中，AB为直径，PC为弦，且P A＝PC
（1）如图1，求证：OP∥BC
（2）如图2，DE切⊙O于点C，DE∥AB，求tan∠A的值.
4、如图，已知CD为⊙O的直径，点A为DC延长线上一点，B为⊙O上一点，且∠ABC ＝∠D．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若tan D＝1
2
，求sin A的值.
5、已知：如图PT是⊙O的切线，T为切点，P AB是经过圆心O的割线. （1）求证：∠PTA＝∠BTO；
（2）若PT＝4，P A＝2，求sin B的值.
6、如图，△ABC中，以BC为直径的圆交AB于点D，∠ACD＝∠AB C．（1）求证：CA是圆的切线；
（2）若点E是BC上一点，已知BE＝6，tan∠ABC＝2
3
，tan∠AEC＝
5
3
，求圆的直径.
7、如图，AB为⊙O的直径，CE⊥AD于E，连BE，CD CB
. （1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若AE＝6，⊙O的半径为5，求tan∠BEC的值.。
三角函数的几何意义
三角函数是数学中非常重要的概念，它们有着广泛的应用。
在学习三角函数时，我们常常会遇到“三角函数的几何意义”的问题。
三角函数的几何意义是描述三角形各边与角之间关系的一种数学工具。
首先，我们来看正弦函数，即sin函数。
在单位圆中，以原点为圆心，半径为1的圆上，我们可以构建一个与x轴正向之间所夹角度数为θ的角。
而该角与圆的交点P的y坐标就是sinθ的值。
这个值代表的是三角形的边与角之间的关系。
如果我们将θ角逐渐增加，我们可以看到P点在单位圆上的运动轨迹，即sin函数的图像。
当θ=0时，P点位于圆的最高点，即y轴正向上；当θ=90°时，P点位于圆的右侧，也就是x轴正向上；当θ=180°时，P点位于圆的最低点，即y轴负向上；当θ=270°时，P点位于圆的左侧，也就是x轴负向上。
以此类推，我们可以轻松地画出正弦函数的图像。
正弦函数的几何意义是描述了三角形中某一角的正弦值与对边与斜边之间的关系。
接下来，我们来看余弦函数，即cos函数。
同样地，在单位圆中，以原点为圆心，半径为1的圆上，我们可以构建一个与x轴正向之间所夹角度数为θ的角。
而该角与圆的交点P的x坐标就是cosθ的值。
与正弦函数类似，我们可以观察P点在单位圆上的运动轨迹，画出cos函数的图像。
当θ=0时，P点位于圆的最右侧，也就是x轴正向上；当θ=90°时，P点位于圆的上方，即y轴正向上；当θ=180°时，P点位于圆的最左侧，也就是x轴负向上；当θ=270°时，P点位于圆的下方，即y轴负向上。
同样地，余弦函数的几何意义也是描述了三角形中某一角的余弦值与邻边与斜边之间的关系。
最后，我们来看正切函数，即tan函数。
在单位圆中，正切函数定义为tanθ=sinθ/cosθ。
因此，tanθ的值等于sinθ除以cosθ，也就是圆上点P的y坐标除以x坐标。
我们可以通过观察单位圆上点P的位置，画出tan函数的图像。
《圆和锐角三角函数》课件
信号处理
圆形三角函数应用于信号处 理和调频调相等领域。
用圆形三角函数解题实例
角度求解
通过已知条件与圆形三角函数求 解角度。
边长计算
通过已知条件与圆形三角函数计 算三角形的边长。
导航应用
利用圆形三角函数在导航中确定 方向与距离。
圆形三角函数扩展应用
波的传播
圆形三角函数应用于描述波 的传播性质，如声波和电磁 波。
周期性现象
通过圆形三角函数可以描述 周期性现象，如天文学中的 行星运动。
《圆和锐角三角函数》 PPT课件
三角函数是数学中重要的概念，涉及到圆、锐角以及它们的相互关系。本课 件将带您深入了解圆和锐角三角函数的相关知识。
三角函数简介Leabharlann 什么是三角函数？它们描述了圆中锐角的特性，通过角度与圆上点的坐标之间的关系，提供了对角度的度量和 计算方法。
正弦、余弦、正切函数
1 正弦函数
描述锐角对应的圆上点的纵坐标与半径之比。
2 余弦函数
描述锐角对应的圆上点的横坐标与半径之比。
3 正切函数
描述正弦和余弦函数值的商，即纵坐标与横坐标之比。
常用三角函数值表
角度
0°
正弦值
0
余弦值
1
正切值
0
30° 1/2 √3/2 √3/3
45° √2/2 √2/2 1
60° √3/2 1/2 √3
90° 1 0 undefined
平面直角坐标系与三角函数关系
坐标系
二维平面上的点由横纵坐标表 示。
正弦
纵坐标与半径之比，描述角的 正弦值。
余弦
横坐标与半径之比，描述角的 余弦值。
圆形三角函数定义
1
三角函数值的计算六法
三角函数值的计算六法三角函数是数学中非常基础而重要的一部分，它在很多领域都有着广泛的应用。
在计算三角函数值时，有许多方法和公式可供选择。
以下将介绍六种常用的计算三角函数值的方法。
1.平面直角坐标系法：在平面直角坐标系中，已知一个角的坐标(x, y)，可以通过计算出点(x, y)到原点(0,0)的距离r和斜边与x轴的夹角θ来计算三角函数值。
其中，sinθ=y/r，cosθ=x/r，tanθ=y/x。
通过这种方法，我们可以利用平面直角坐标系中的几何关系直接计算出三角函数的值。
2.单位圆法：单位圆是一个半径为1的圆，在平面直角坐标系中心为原点(0,0)。
通过在单位圆上取角度θ与圆上的相应点P的坐标(x, y)之间的关系可以计算出三角函数值。
其中，sinθ=y，cosθ=x，tanθ=y/x。
以单位圆为基础的计算方法相对直观，易懂、易用。
3.三角函数的基本性质法：三角函数具有一些基本性质，例如，sinθ=cos(π/2-θ)，sin^2θ+cos^2θ=1等。
通过这些基本性质，我们可以利用已知角度的三角函数值推算出其他角度的三角函数值。
4.三角函数的周期性法：三角函数是周期函数，即对于任意角度θ，sin(θ+2πn)=sinθ，cos(θ+2πn)=cosθ，tan(θ+πn)=tanθ，其中，n是任意整数。
通过利用这个周期性的特点，我们可以将任意角度的三角函数值转化为一些区间内的角度，然后计算出其对应的三角函数值。
5.三角函数的恒等变换法：三角函数具有许多恒等变换关系，例如，sin(-θ)=-sinθ，cos(-θ)=cosθ，tan(-θ)=-tanθ，sin(π/2-θ)=cosθ，sin(π/2+θ)=cosθ，等等。
通过利用这些恒等变换关系，我们可以将给定角的三角函数值转化为另一个角的三角函数值。
这种方法在计算一些特殊角度的三角函数值时非常有用。
6.特殊角度三角函数值表格法：在三角函数的学习中，存在一系列的特殊角度，如0度、30度、45度、60度、90度等。
圆周运动与三角函数
圆周运动与三角函数圆周运动是物体绕某一点，按同一直径的一定路程运动的现象，是一种经典的动力学运动。
圆周运动的特点是，它的研究与三角函数息息相关。
三角函数中的余弦、正弦、正切函数和反三角函数，包括弧度和弦度，都是圆周运动研究中不可或缺的数学方法。
圆周运动是一种普遍存在的运动，存在于自然界的许多现象当中，例如行星的运行、风车的转动等。
它的详细的数学描述、研究分析以及理论分析，都是用三角函数来完成的。
圆周运动的轨迹可用三角函数记录下来，其状态可以以余弦方程来定义，表示从某一低点出发，圆周运动的轨迹以正余弦为正弦函数的曲线为基础。
关于圆周运动，我们首先需要了解三角函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
三角函数是通过构造三角形来解释一些运动规律的数学方法，它求出各个角度对应的正弦值，在物理学、工程学及其他学科中使用较多。
正弦函数y=sinθ表示在一个圆心角θ的余弦值，它的图像曲线是著名的“正弦曲线”，它的起伏状和圆周运动的拖累波状相同，所以用正弦函数可以描述圆周运动中物体的运动轨迹。
余弦函数y=cosθ表示一个圆心角θ的正弦值，余弦的图像曲线是一条更平坦的贝塞尔曲线，它能很好的描述圆周运动中物体的瞬时状态，即在某一时刻物体与圆心连线的形成夹角。
正切函数y=tanθ表示一个圆心角θ的正切值，它同样能够表示物体圆周运动的状态，可以用来描述物体在某一时刻的运动速率，速率的变化趋势也可以表示出来。
反三角函数也是用来表示圆周运动的重要方法，其中最常用的是反余弦函数和反正切函数，它们可以将圆周运动映射成一般函数，这样我们就可以用函数的方法求解它们对应的圆周运动的问题。
弧度和弦度也是表示圆周运动不可或缺的重要概念，它们都可用三角函数来表示。
弧度是表示某一角度大小的单位，它表示一个圆弧的长度与直径的比值，这一比值的值可用π来表示；弦度是指某一弧的长度，它与角度的大小和圆的半径之间有着一定的关系。
总而言之，圆周运动和三角函数是密不可分的，三角函数是圆周运动的基础，也是圆周运动的基本要素之一。
单位圆中的三角函数.ppt
y
P
MP＋OM>OP=1
OM x
正切线 问题1：如图，设角α为第一象限角，其终边与单 位圆的交点为P（x，y），则 tan y 是正数，用 哪条有向线段表示角α的正切值最合x适？
tan y AT
x
yT P
O MA x
正切线
问题2：若角α为第四象限角，其ta终n 边 与x y单位圆的交
点为P（x，y），则
终边相同的角的同名三角函数值相等.
4.角是一个几何概念，同时角的大小也具有数量特征. 我们从数的观点定义了三角函数，如果能从图形上找 出三角函数的几何意义，就能实现数与形的完美统一.
正弦线和余弦线
问题1：如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆
的交点为P（x，y），则 cos x，sin y都是正数，
复习引入
1.设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，
y），角α的三角函数是怎样定义的？
sin y
cos x
tan y (x 0)
x
2.三角函数在各象限的函数值符号分别如何？
一全正，二正弦，三正切，四余弦.
3.公式 sin( 2k ) sin ，cos( 2k ) cos，
tan( 2k ) tan( k Z).其数学意义如何？
（其中α为锐角），你能用数形结合思想证明吗？
yT P
O M Ax
例1 在0～2 内，求使 sin a > 3 成立的α的取值
范围.
2
y
y= 3 2
P2
P P1
OM
x
a Î ( p , 2p ) 33
例2 求函数 f (a ) = 2 cos a - 1 的定义域. y
P2 P
高中数学总结归纳 单位圆中的三角函数线
单位圆中的三角函数线三角函数线是研究三角函数的几何工具，它是数形结合思想在三角函数中的体现．它的重要作用除了准确画图，刻画三角函数的性质，直观表示三角函数的值和符号，总结三角函数值的变化规律外，还可以用来比较三角函数值的大小，证明三角不等式，解三角不等式等，并且简便易行．一、比较三角函数值的大小三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值．因此，比较两个三角函数值的大小，可以借助三角函数线．例1 比较大小：①sin1和sin1.5；②4cos π7和5cos π7． 解：①π01 1.52<<<Q ，∴由正弦线可知：sin1sin1.5<； ②45πππ77<<Q ，∴由余弦线可知：45cos πcos π77>（此时余弦线方向向左）． 二、证明三角不等式数形结合的“形”不仅仅是指三角函数图象，三角函数线有时比图象能更好的解决问题． 例2 设α为锐角，求证：π1sin cos 2αα<+<． 解：如图1，在直角坐标系中作出单位圆，设角α的终边为OP ，过P 作PQ Ox ⊥于Q ，PR Oy ⊥于R ，则sin QP α=，cos OQ α=．αQ 为锐角，在OPQ △中，QP OQ OP +>，sin cos 1αα∴+>． ①而11cos 22OPB S OB RP α==△·， 11sin 22OAP S OA QP α==△·，1ππ1224OAB S =⨯⨯=扇形． 又四边形OAPB 被扇形OAB 所覆盖，OPB OAP OAB S S S ∴+<扇形△△，即πsin cos 2αα+<． ②由①，②得π1sin cos 2αα<+<．三、解三角不等式例3 解不等式1sin 2x >．解：如图2，作出正弦值等于12的角x 的终边，则正弦值大于12的角x 的终边与单位圆的交点在劣弧¼12P P 上，所以所求角x 的取值范围是π5|2π2π66x k x k k ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ，．。
三角函数圆圈
三角函数圆圈
题目：“三角函数圆圈”
在数学领域中，三角函数是一种重要的工具，它在各个领域都有着广泛的应用。
而圆圈则是表示角度的图形，它可以帮助我们更好地理解三角函数的性质。
今天，我们将一起探索三角函数圆圈的故事。
在三角形中，圆圈是一个重要的图形，它可以帮助我们表示出各个内角的度数。
而三角函数则是用来描述这个角度的数值。
三角函数圆圈则是将圆圈与三角函数结合起来，它可以帮助我们更好地理解三角函数的性质。
三角函数圆圈是由三个圆圈组成的图形，每个圆圈都代表一个特定的角度。
而圆圈中的角度则是用度数来表示的，例如一个30度的圆圈就表示一个角度为30度的角。
三角函数圆圈在我们的生活中有着广泛的应用，它可以帮助我们解决很多问题。
例如，在我们购买建筑材料时，我们经常会遇到各种角度的螺丝。
而通过三角函数圆圈，我们可以轻松地计算出每个螺丝所对应的角度，从而更好地选择材料。
此外，三角函数圆圈还可以帮助我们解决一些几何问题。
例如，在我们需要计算一个圆的周长时，我们可以通过三角函数圆圈来计算出圆中所有角度的和。
这样，我们就可以轻松地计算出圆的周长了。
总之，三角函数圆圈是一个非常重要的图形，它在我们生活中有着广泛的应用。
通过它，我们可以更好地理解三角函数的性质，解决各种问题。
而圆圈则作为一个重要的辅助工具，它可以帮助我们更好地理解角度的度数。
所以，我们应该好好利用圆圈和三角函数圆圈，让我们的生活变得更加精彩！。
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锐角三角函数和圆
复习目标 ● 巩固三角函数的概念、熟记30°，45°, 60°角的三角函数值； ● 熟练运用三角函数的定义，结合圆的特点，解决问题。
考察重点 ● 求三角函数值； ● 运用三角函数的知识，解决数学中的其他问题。
课前热身
1. 如图，PM 是⊙O 的切线，M 为切点，OM=5，PM=12，则sin ∠OPM 的
值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2. 如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A 、B 、O 是小正方形
顶点，⊙O 的半径为1，P 是⊙O 上的点，且位于右上方的小正方形内，则tan ∠APB 等于（ ）
A ．1
B ．
C ．
D ．
3. 如图，⊙O 中，OA ⊥BC ，∠AOB=60°，则sin ∠ADC= ．
夯实基础
4. 根据三角函数的定义填空：
如图，△ABC 中，sinA= ，cosA= ，tanA= 。
例1 如图，已知⊙O 的半径为5cm ，弦AB 的长为8cm ，P 是AB 延长线上一点，BP=2cm ，则tan ∠OPA 等于（ ）
A ．
B ．
C ．2
D ．
6. （2016•衢州）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作
⊙
O 的切线交AB 的延长线于点E ，若∠A=30°，则sin
∠E 的值为（ ）
A ．
B
．
C ．
D ．
c
b
a
B
A
C
C A
P
E
A
D
C
A
B
解答精练
例3 如图所示，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，过点C 的切线交AD 的延长线于点E ，且AE ⊥CE ，连接CD ．
（1）求证：DC=BC ；
（2）若AB=5，AC=4，求tan ∠DCE 的值．
8. 已知：如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PO 交⊙O 于点B ，PA=4，
OA=3，则cos ∠APO 的值为（ ） A ． B ． C ． D ．
9. 如图，点D （0，3），O （0，0），C （4，0）在⊙A 上，BD
弦，则sin ∠OBD=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10. 如图，∠1的正切值等于
．
A 备用图
A
三角函数是中考的一个重要内容，我们此前学习的圆，也是中考的热点。
两者结合，题目非常灵活。
下面，我们来做这以下三个题目，来进行课前热身。
（对答案）
做对了的请举手，（做错了的指出错在哪里）
这些题目里，我们用到了哪些知识点呢？
三角函数方面，用到了三角函数的定义，和特殊角的三角函数值。
请同学们完成下面的4、5题，巩固下基础。
请对答案，是否完全正确。
在圆的部分，我们涉及到的知识点有：
1、圆的切线的性质
2、垂径定理
3、圆周角定理的推论
4、弧、弦、圆心角的关系
其中，前两条和构造直角三角形有关，后两条跟角的转换有关。
【板书：
构造RT△
转换】
在我们综合了这些知识的基础上，我们来看例1：
要求三角函数，我们需要直角三角形。
现在没有直角三角形，我们最直接的想法就是作垂直，得直角三角形。
于是，综合垂径定理，就解决了这个问题。
下面请同学们完成第6小题。
第6题，我们利用了切线和过切点半径的垂直。
答案是A。
做错的同学有哪些？
下面，请同学们做例3（5分钟）
好，下面我们看第一小题，我看同学们都用了哪些方法。
做出来的同学请举手。
板书如下：
【（1）法一：连OC，用平分、平行和等腰
法二：连OC、BD，用垂径定理
（2）法一：圆的内接四边形的对角互补
法二：用CE∥BD转换
法三：用tanCAE求CE，用（1）求CD，用勾股定理求ED
法四：用tanCAE求CE，用tanCBF求CF，CF=ED
】
其中，两种方法是用转换，两种方法是直接求。
其中，我们综合使用了圆的各种性质，来求正切。
下面，请同学们完成后面的三个测评题目。