圆中的三角函数

锐角三角函数和圆

复习目标 ● 巩固三角函数的概念、熟记30°，45°, 60°角的三角函数值； ● 熟练运用三角函数的定义，结合圆的特点，解决问题。 考察重点 ● 求三角函数值； ● 运用三角函数的知识，解决数学中的其他问题。

课前热身

1. 如图，PM 是⊙O 的切线，M 为切点，OM=5，PM=12，则sin ∠OPM 的

值为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

2. 如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A 、B 、O 是小正方形

顶点，⊙O 的半径为1，P 是⊙O 上的点，且位于右上方的小正方形内，则tan ∠APB 等于（ ）

A ．1

B ．

C ．

D ．

3. 如图，⊙O 中，OA ⊥BC ，∠AOB=60°，则sin ∠ADC= ．

夯实基础

4. 根据三角函数的定义填空：

如图，△ABC 中，sinA= ，cosA= ，tanA= 。

例1 如图，已知⊙O 的半径为5cm ，弦AB 的长为8cm ，P 是AB 延长线上一点，BP=2cm ，则tan ∠OPA 等于（ ）

A ．

B ．

C ．2

D ．

6. （2016•衢州）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作

⊙

O 的切线交AB 的延长线于点E ，若∠A=30°，则sin

∠E 的值为（ ）

A ．

B

．

C ．

D ．

c

b

a

B

A

C

C A

P

E

A

D

C

A

B

解答精练

例3 如图所示，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，过点C 的切线交AD 的延长线于点E ，且AE ⊥CE ，连接CD ．

（1）求证：DC=BC ；

（2）若AB=5，AC=4，求tan ∠DCE 的值．

8. 已知：如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PO 交⊙O 于点B ，PA=4，

OA=3，则cos ∠APO 的值为（ ） A ． B ． C ． D ．

9. 如图，点D （0，3），O （0，0），C （4，0）在⊙A 上，BD

弦，则sin ∠OBD=（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

10. 如图，∠1的正切值等于

．

A 备用图

A

三角函数是中考的一个重要内容，我们此前学习的圆，也是中考的热点。两者结合，题目非常灵活。

下面，我们来做这以下三个题目，来进行课前热身。

（对答案）

做对了的请举手，（做错了的指出错在哪里）

这些题目里，我们用到了哪些知识点呢？

三角函数方面，用到了三角函数的定义，和特殊角的三角函数值。

请同学们完成下面的4、5题，巩固下基础。请对答案，是否完全正确。

在圆的部分，我们涉及到的知识点有：

1、圆的切线的性质

2、垂径定理

3、圆周角定理的推论

4、弧、弦、圆心角的关系

其中，前两条和构造直角三角形有关，后两条跟角的转换有关。

【板书：

构造RT△

转换】

在我们综合了这些知识的基础上，我们来看例1：

要求三角函数，我们需要直角三角形。现在没有直角三角形，我们最直接的想法就是作垂直，得直角三角形。于是，综合垂径定理，就解决了这个问题。下面请同学们完成第6小题。

第6题，我们利用了切线和过切点半径的垂直。答案是A。做错的同学有哪些？

下面，请同学们做例3（5分钟）

好，下面我们看第一小题，我看同学们都用了哪些方法。做出来的同学请举手。

板书如下：

【（1）法一：连OC，用平分、平行和等腰

法二：连OC、BD，用垂径定理

（2）法一：圆的内接四边形的对角互补

法二：用CE∥BD转换

法三：用tanCAE求CE，用（1）求CD，用勾股定理求ED

法四：用tanCAE求CE，用tanCBF求CF，CF=ED

】

其中，两种方法是用转换，两种方法是直接求。其中，我们综合使用了圆的各种性质，来求正切。

下面，请同学们完成后面的三个测评题目。