高中数学向量习题
高中数学平面向量经典练习题(附答案)
D、m= -2+2 3，n= 2 +2 3
12、已知向量a与b， 3a + b = 6，a − 3b = 8，若则a ⊥ b，则 + 的值是（ ）
A、2
B、9
C、 6
D、 10
13、在△APD 中，AC=CD，AB=2BC，点 E 在 PA 上，H 在 PD 上，F 是 EH 的中
点，G 是 PC 与 EH 的交点，则 =（
3 23
2
解得：a=2b
已知 C 是 AD 的中点，设 = n ,
所以
=
2
+2
设 S = t KS,
-----------------------------------------⑤
得：
= 2tb
+（1-t） b
-----------------------⑦
由⑤、⑦式中对应系数相等，2tb = 2 （1 − t） b = 2
（ + ）·（ + ）=0 ------------------------⑨
由⑦，⑧，⑨，得：
cos（ + ， + ）= （ + ）·（3 + ）
+ ∙3 +
=0 所以：向量 + ， + 的夹角为 90°
故答案为：C
第 18 题 解： 已知 2 − 3 = 7 等号两边同时平方，得： 4 2- 12 ∙ +9 2 = 7 将 = 2， · =3 代入上式， 4·22-12·3+9 2 = 7 化简得： = 3
则
=
。
=（3，2）
8、已知向量 ， 满足 = 3 ， ⊥（2 + 3 ），则向量 与 的夹角
高中向量练习题
高中向量练习题在高中数学学习中，向量是一个重要的概念。
向量不仅仅是一个有大小和方向的量，它还具有多种运算法则，能够帮助我们解决很多几何和代数问题。
本文将为大家提供几个高中向量练习题，帮助大家加深对向量的理解和运用。
练习一：向量的模和方向角1. 已知向量AB = (-3, 4)，求向量AB的模和方向角。
解析:向量AB的模可以通过勾股定理求得：|AB| = √((-3)^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5向量AB的方向角可以根据三角函数求得：tanθ = y/x = 4/(-3)θ = arctan(4/(-3)) ≈ -0.93 弧度练习二：向量的加法和减法2. 已知向量AC = (2, -1) 和向量CB = (4, 3)，求向量AB的坐标表示和模。
解析:向量AB = 向量AC + 向量CB = (2 + 4, -1 + 3) = (6, 2)向量AB的模可以通过勾股定理求得：|AB| = √(6^2 + 2^2) = √(36 + 4) = √40 = 2√10练习三：向量的数量积3. 已知向量A = (2, 3) 和向量B = (4, -1)，求向量A与向量B的数量积。
解析:向量A与向量B的数量积可以通过坐标分量对应相乘再相加求得：A·B = 2 * 4 + 3 * (-1) = 8 - 3 = 5练习四：向量的夹角4. 已知向量A = (2, 4) 和向量B = (-3, 5)，求向量A与向量B的夹角。
解析:向量A与向量B的夹角可以通过向量的数量积和模的关系求得：cosθ = (A·B) / (|A| * |B|)= (2 * (-3) + 4 * 5) / (√(2^2 + 4^2)* √((-3)^2 + 5^2))= (-6 + 20) / (√20 * √34)= 14 / (2√5 * √34)= 7 / (√5 * √17)= 7√17 / 5√17= √17 / 5θ = arccos(√17 / 5) ≈ 0.36 弧度练习五：向量的共线与垂直5. 已知向量A = (-2, 3) 和向量B = (4, -6)，判断向量A和向量B是否共线，并求其是否垂直。
高中数学向量练习题
高中数学向量练习题一、选择题1. 下列选项中，表示向量的是（）A. 3B. (2, 3)C. ABD. 5i + 3j2. 已知向量a = (1, 2)，则向量2a的模长为（）A. 1B. 2C. 3D. 53. 下列关于向量坐标的说法，正确的是（）A. 向量的坐标表示了向量的长度B. 向量的坐标表示了向量的方向C. 向量的坐标表示了向量的起点D. 向量的坐标表示了向量的终点4. 若向量a与向量b的夹角为60°，且|a| = 2，|b| = 3，则向量a与向量b的点积为（）A. 3B. 6C. 9D. 12二、填空题1. 已知向量a = (2, 1)，则向量a的模长是______。
2. 若向量a = (3, 4)，向量b = (5, 2)，则向量a与向量b的夹角余弦值是______。
3. 已知向量a = (2, 1)，向量b = (4, 3)，则向量2a 3b=______。
4. 若向量a = (x, y)，向量b = (y, x)，且向量a与向量b垂直，则x与y的关系是______。
三、解答题1. 已知向量a = (1, 2)，向量b = (3, 4)，求向量a + 2b。
2. 设向量a = (2, 1)，向量b = (4, 3)，求向量a与向量b的夹角。
3. 已知向量a = (3, 4)，求向量a的单位向量。
4. 已知向量a = (2, 1)，向量b = (4, 3)，求向量a与向量b的夹角平分线向量。
5. 已知平行四边形ABCD，向量AB = (1, 2)，向量AD = (3, 4)，求对角线AC的向量。
6. 已知三角形ABC，向量AB = (2, 1)，向量AC = (4, 3)，求角BAC的平分线向量。
四、判断题1. 若向量a = (x, y)，则向量a的模长一定大于等于0。
（）2. 两个非零向量的点积为零，则这两个向量一定垂直。
（）3. 向量a与向量b平行，则它们的方向相同。
(完整版)高中数学平面向量习题及答案
第二章 平面向量一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．AD 与AE 相等D ．AD 与BD 相等2．下列命题正确的是( )． A ．向量AB 与BA 是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝bC ．若AB ＝DC ，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足OC ＝α OA ＋β OB ，其中 α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )．A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝0 4．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )． A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP ＝( )． A ．λ(AB ＋AD )，λ∈(0，1) B ．λ(AB ＋BC )，λ∈(0，22) C ．λ(AB －AD )，λ∈(0，1)D ．λ(AB －BC )，λ∈(0，22) 6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则DF ＝( )． A ．EF ＋EDB ．EF －DEC ．EF ＋ADD ．EF ＋AF7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )．(第1题)A．2 B．4 C．6 D．128．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB ＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的()．A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点9．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，DC＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()．A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形10．如图，梯形ABCD中，|AD|＝|BC|，EF∥AB∥CD则相等向量是()．A．AD与BC B．OA与OBC．AC与BD D．EO与OF(第10题)二、填空题11．已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝．12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x ＝．13．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB的值等于．14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋m b)⊥(a－b)，则实数m等于．15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O 是△ABC的．16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c, OD＝d，若a＋c ＝b＋d，则四边形ABCD的形状是．三、解答题17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求DF．(第18题)19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE(利用向量证明)．(第19题) 20．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值．参考答案一、选择题 1．B解析：如图，AB 与AC ，AD 与AE 不平行，AD 与BD 共线反向．2．A解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对．若AB ＝DC ，可能A ，B ，C ，D 四点共线，故C 不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D 也不对．3．D解析：提示：设OC ＝(x ，y )，OA ＝(3，1)，OB ＝(－1，3)，α OA ＝(3α，α)，β OB ＝(－β，3β)，又αOA ＋β OB ＝(3α－β，α＋3β)，∴ (x ，y )＝(3α－β，α＋3β)，∴⎩⎨⎧βαβα33＋＝－＝y x ，又α＋β＝1，由此得到答案为D ．4．B解析：∵(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，∴(a －2b )·a ＝a 2－2a ·b ＝0，(b －2a )·b ＝b 2－2a ·b ＝0，∴ a 2＝b 2，即|a |＝|b |．∴|a |2＝2|a ||b |cos θ＝2|a |2cos θ．解得cos θ＝21． ∴ a 与b 的夹角是3π． 5．A解析：由平行四边形法则，AB ＋AD ＝AC ，又AB ＋BC ＝AC ，由 λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)．6．D解析：如图，∵AF ＝DE ， ∴ DF ＝DE ＋EF ＝EF ＋AF ．(第6题)(第1题)7．C解析：由(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，得a 2－a ·b －6b 2＝－72． 而|b |＝4，a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝2|a |， ∴ |a |2－2|a |－96＝－72，解得|a |＝6． 8．D解析：由 OA ·OB ＝OB ·OC ＝OC ·OA ，得OA ·OB ＝OC ·OA , 即OA ·(OC －OB )＝0，故BC ·OA ＝0，BC ⊥OA ，同理可证AC ⊥OB ， ∴ O 是△ABC 的三条高的交点． 9．C解析：∵AD ＝AB ＋BC ＋D C ＝－8a －2b ＝2BC ，∴AD ∥BC 且|AD |≠|BC |． ∴ 四边形ABCD 为梯形． 10．D解析：AD 与BC ，AC 与BD ，OA 与OB 方向都不相同，不是相等向量． 二、填空题 11．－32． 解析：A ，B ，C 三点共线等价于AB ，BC 共线，AB ＝OB －OA ＝(4，5)－(k ，12)＝(4－k ，－7)，BC ＝OC －OB ＝(－k ，10)－(4，5)＝(－k －4，5)，又 A ，B ，C 三点共线，∴ 5(4－k )＝－7(－k －4)，∴ k ＝－32． 12．－1．解析：∵ M (－1，3)，N (1，3)， ∴ MN ＝(2，0)，又a ＝MN ，∴ ⎩⎨⎧0＝4－3－2＝3＋2x x x 解得⎩⎨⎧4＝1＝－1＝－x x x 或∴ x ＝－1． 13．－25．解析：思路1：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴ △ABC 为直角三角形且∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0， ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝BC ·CA ＋CA ·AB ＝CA ·(BC ＋AB ) ＝－(CA )2 ＝－2CA ＝－25．思路2：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴∠ABC ＝90°， ∴ cos ∠CAB ＝CA AB＝53，cos ∠BCA ＝CABC＝54．根据数积定义，结合图(右图)知AB ·BC ＝0， BC ·CA ＝BC ·CA cos ∠ACE ＝4×5×(－54)＝－16， CA ·AB ＝CA ·AB cos ∠BAD ＝3×5×(－53)＝－9． ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝0―16―9＝－25． 14．323． 解析：a ＋m b ＝(3＋2m ，4－m )，a －b ＝(1，5)． ∵ (a ＋m b )⊥(a －b )，∴ (a ＋m b )·(a －b )＝(3＋2m )×1＋(4－m )×5＝0 m ＝323． 15．答案：重心．解析：如图，以OA ，OC 为邻边作□AOCF 交AC 于D(第13题)点E ，则OF ＝OA ＋OC ，又 OA ＋OC ＝－OB ，∴ OF ＝2OE ＝－OB ．O 是△ABC 的重心． 16．答案：平行四边形．解析：∵ a ＋c ＝b ＋d ，∴ a －b ＝d －c ，∴BA ＝CD ． ∴ 四边形ABCD 为平行四边形． 三、解答题 17．λ＜－1．解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则AP ＝(x ，y )－(2，3)＝(x －2，y －3)． AB ＋λAC ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］＝(3，１)＋λ(5，7) ＝(3＋5λ，１＋7λ)．∵ AP ＝AB ＋λAC ，∴ (x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)． ∴ ⎩⎨⎧+=-+=-λλ713532y x 即⎩⎨⎧+=+=λλ7455y x要使点P 在第三象限内，只需⎩⎨⎧<+<+074055λλ 解得 λ＜－1．18．DF ＝(47，2)． 解析：∵ A (7，8)，B (3，5)，C (4，3)， AB ＝(－4，－3)，AC ＝(－3，－5)．又 D 是BC 的中点， ∴ AD ＝21(AB ＋AC )＝21(－4－3，－3－5) ＝21(－7，－8)＝(－27，－4)． 又 M ，N 分别是AB ，AC 的中点， ∴ F 是AD 的中点， ∴ DF ＝－FD ＝－21AD ＝－21(－27，－4)＝(47，2)． (第18题)19．证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋21b ，ED ＝b －21a ． ∴ AF ·ED ＝(a ＋21b )·(b －21a )＝21b 2－21a 2＋43a ·b ． 又AB ⊥AD ，且AB ＝AD ，∴ a 2＝b 2，a ·b ＝0． ∴ AF ·ED ＝0，∴AF ⊥ED ．本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．20．分析：思路1：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴ |2a －b |2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋4sin θ－43cos θ． 又4sin θ－43cos θ＝8(sin θcos3π－cos θsin 3π)＝8sin (θ－3π)，最大值为8， ∴ |2a －b |2的最大值为16，∴|2a －b |的最大值为4．思路2：将向量2a ，b 平移，使它们的起点与原点重合，则|2a －b |表示2a ，b 终点间的距离．|2a |＝2，所以2a 的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P ，b 的终点是该圆上的一个定点Q ，由圆的知识可知，|PQ |的最大值为直径的长为4．(第19题)。
高三向量练习题
高三向量练习题在高中数学学习中，向量是一个重要的概念。
向量不仅在数学中有广泛的应用，而且在物理、计算机科学等领域也有重要作用。
掌握向量的基本概念和运算规则对于高三学生来说至关重要。
本文将通过一系列练习题，帮助读者巩固和加深对高三向量的理解。
1. 请计算向量a = (3, 4)与向量b = (-1, 2)的和。
解析：向量的和等于两个向量对应分量的和。
a +b = (3 + (-1), 4 + 2)= (2, 6)2. 已知向量a = (1, 2)和向量b = (3, -4)，求它们的数量积。
解析：向量的数量积等于两个向量对应分量的乘积再求和。
a ·b = 1 * 3 + 2 * (-4)= 3 - 8= -53. 向量的模长是什么？请计算向量a = (3, 4)的模长。
解析：向量的模长就是向量的长度，可以通过勾股定理求得。
向量a的模长= √(3^2 + 4^2)= √(9 + 16)= √25= 54. 如果向量a = (2, 3)与向量b的数量积等于0，求向量b。
解析：当两个向量的数量积等于0时，可以推出它们的两个分量的乘积之和等于0。
2b1 + 3b2 = 0化简得到b1 = -3/2 * b2可取b2 = 2，则b1 = -3。
因此，向量b = (-3, 2)。
5. 已知向量a = (4, 3)和向量b的模长等于5，且向量a与向量b夹角为60°，求向量b。
解析：根据向量的数量积公式和余弦定理可以求得向量b的模长和分量。
由于|a| * |b| * cosθ = a · b，其中θ是向量a和向量b之间的夹角。
已知|a| = √(4^2 + 3^2) = 5已知|b| = 5已知θ = 60°，cosθ = cos60° = 1/2因此，(5) * (5) * (1/2) = (4, 3) · b解之得到b = (2, 4/3)。
通过以上练习题的分析和解答，我们可以进一步加深对高三向量的理解。
(新教材适用)高中数学第6章平面向量及其应用6.1平面向量的概念课后习题
6.1 平面向量的概念课后训练巩固提升1.正n边形有n条边,它们对应的向量依次为a1,a2,a3,…,a n,则这n个向量()A.都相等B.都共线C.都不共线D.模都相等解析:因为是正n边形,所以n条边的边长都相等,即这n个向量的模都相等.答案:D2.在△ABC中,AB=AC,D,E分别是AB,AC的中点,则()A共线B共线C相等D相等解析:如图所示,因为D,E分别是AB,AC的中点, 所以由三角形的中位线定理可得DE∥BC.所以共线.答案:B3.(多选题)下列说法正确的是()A.2 022 cm长的有向线段不可能表示单位向量B.若O是直线l上的一点,单位长度已选定,则l上有且只有两个点A,B,使得是单位向量C.方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量是平行向量D.一人从点A向东走500 m到达点B,则向量表示这个人从点A到点B的位移解析:一个单位长度取2022cm时,2022cm长的有向线段刚好表示单位向量,故A不正确;因为单位长度已选定,向量的起点为O,所以l上有且只有两个点A,B,使得是单位向量,故B正确;方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量是一对方向相反的向量,因此是平行向量,故C正确;根据位移的定义,可知向量表示这个人从点A到点B的位移,故D正确.答案:BCD4.若||=||,且,则四边形ABCD的形状为()A.平行四边形B.矩形C.菱形D.等腰梯形解析:由,知AB=CD,且AB∥CD,即四边形ABCD为平行四边形.因为||=||,所以四边形ABCD为菱形.答案:C5.(多选题)如图,四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形,则下列结论中一定成立的是()A.||=||B共线C共线D解析:对于A,因为四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形,因此||=||一定成立,故A符合题意;对于B,根据菱形的性质,共线一定成立,故B符合题意;对于C,因为BD与EH不一定平行,所以不一定共线,故C不符合题意;对于D,根据菱形的性质,知方向相同且模相等,因此一定成立,故D符合题意.故选ABD.答案:ABD6.已知A,B,C是不共线的三点,向量m与向量是平行向量,与是共线向量,则m= .解析:因为A,B,C三点不共线,所以不共线,又因为m且m,所以m=0.答案:07.设数轴上有四个点A,B,C,D,其中A,C对应的实数分别是1和3,且为单位向量,则点B 对应的实数为;点D对应的实数为;||= .解析:由相等向量的定义知,点B对应的实数为7;因为||=1,所以点D对应的实数为4或2;||=||=4.答案:74或2 48.如果把平面上一切单位向量归结到共同的起点O,那么这些向量的终点所组成的图形是.解析:单位向量的长度是一个单位,方向任意,若单位向量有共同的始点O,则其终点构成一个单位圆.答案:以点O为圆心的单位圆9.一个4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)如图所示,在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中,试问:(1)与相等的向量共有几个?(2)与平行且模为的向量共有几个?(3)与方向相同且模为3的向量共有几个?解:(1)与向量相等的向量共有5个(不包括本身).(2)与向量平行且模为的向量共有24个.(3)与向量方向相同且模为3的向量共有2个.10.一辆汽车从点A出发向西行驶了100千米到达点B,然后又改变方向向西偏北50°方向行驶了200千米到达点C,最后又改变方向,向东行驶了100千米到达点D.(1)作出向量;(2)求||.解:(1)如图所示.(2)由题意,易知方向相反,故共线.因为||=||,所以在四边形ABCD中,AB∥CD且AB=CD,所以四边形ABCD为平行四边形,所以||=||=200千米.。
高中数学平面向量练习题精选
平面向量习题归纳精选1．如果a ，b 是两个单位向量，则下列结论中正确的是 （ ）(A) a =b (B) 1⋅a b = (C) 22≠a b (D) =a b2．已知向量1(3,2),(5,1),2OM ON MN =-=--则等于（） A ．)1,8( B ．)1,8(- C ．)21,4(-D ．)21,4(- 3．已知(1,3),(,1),a b x =-=-且a ∥b ，则x 等于（ ）A ．3B ．3-C ．31D ．31- 4．若(3,4),(5,12),a b ==则a 与b 的夹角的余弦值为（ ）A ．6563B ．6533C ．6533-D ．6563- 5．若4,6m n ==，m 与n 的夹角是 135，则m n ⋅等于（ ）A ．12B ．212C ．212-D ．12- 6．设两个非零向量,a b 不共线，且ka b a kb ++与共线，则k 的值为( )A ．1B ．1-C ．1±D ．07．已知3=a ，4=b ，且向量a ，b 不共线，若向量+a k b 与向量-a k b 互相垂直 则实数k 的值为 ．8．已知,2,3,32a b a b a b a b λ⊥==+-且与垂直，则λ等于9．设12e e 、是两个单位向量，它们的夹角是 60，则1212(2)(32)e e e e -⋅-+=10．已知向量a (1,5)=，b (3,2)=-，则向量a 在b 方向上的投影为 ．11．已知向量a (2,3)m m =-+，b (21,2)m m =+-，若向量a 与b 的夹角为直角，则实数m 的值为 ；若向量a 与b 的夹角为钝角，则实数m 的取值范围为 ．12．在平行四边形ABCD 中，若AB AD AB AD +=-，则必有()A ．0AD =B ．0AB =或0AD =C ．ABCD 是矩形 D ．ABCD 是正方形13．已知点C 在线段AB 的延长线上，且2,,BC AB BC CA λλ==则等于() A ．3 B ．31 C ．3- D ．31- 14．已知ABC ∆的三个顶点分别是），（），，（），，（y C B A 124231-，重心)1,(-x G ，则y x 、的值分别是( )A ．5,2==y xB ．25,1-==y xC ．1,1-==y xD ．25,2-==y x 15．已知点O 、A 、B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且32OA OB OP -=，则 ( ) (A) 点P 在线段AB 上 (B) 点P 在线段AB 的反向延长线上(C) 点P 在线段AB 的延长线上 (D) 点P 不在直线AB 上16.已知D 、E 、F 分别是三角形ABC 的边长的边BC 、CA 、AB 的中点，且BC =a ，CA =b ，AB =c ，则①EF =1122-c b ，②BE =12+a b ，③CF =1122-+a b ，④0AD BE CF ++=中正确的等式的个数为 ( )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 平面向量综合题17．已知4,5,a b a b ==与的夹角为60，求3a b -．18.已知平面内三点A 、B 、C 三点在一条直线上，(2,)OA m =-，(,1)OB n =，(5,1)OC =-，且OA OB ⊥，求实数m ，n 的值．。
(完整)高中数学平面向量习题及答案
第二章 平面向量一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．AD 与AE 相等D ．AD 与BD 相等2．下列命题正确的是( )． A ．向量AB 与BA 是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝bC ．若AB ＝DC ，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足OC ＝α OA ＋β OB ，其中 α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )．A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝0 4．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )． A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP ＝( )． A ．λ(AB ＋AD )，λ∈(0，1) B ．λ(AB ＋BC )，λ∈(0，22) C ．λ(AB －AD )，λ∈(0，1)D ．λ(AB －BC )，λ∈(0，22) 6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则DF ＝( )． A ．EF ＋EDB ．EF －DEC ．EF ＋ADD ．EF ＋AF7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )．(第1题)A．2 B．4 C．6 D．128．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的()．A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点9．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，DC＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()．A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形10．如图，梯形ABCD中，|AD|＝|BC|，EF∥AB∥CD则相等向量是()．A．AD与BC B．OA与OBC．AC与BD D．EO与OF(第10题)二、填空题11．已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝．12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x ＝．13．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB的值等于．14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋m b)⊥(a－b)，则实数m等于．15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O 是△ABC的．16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c, OD＝d，若a＋c ＝b＋d，则四边形ABCD的形状是．三、解答题17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求DF．(第18题)19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE(利用向量证明)．(第19题) 20．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值．参考答案一、选择题 1．B解析：如图，AB 与AC ，AD 与AE 不平行，AD 与BD 共线反向．2．A解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对．若AB ＝DC ，可能A ，B ，C ，D 四点共线，故C 不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D 也不对．3．D解析：提示：设OC ＝(x ，y )，OA ＝(3，1)，OB ＝(－1，3)，α OA ＝(3α，α)，β OB ＝(－β，3β)，又αOA ＋β OB ＝(3α－β，α＋3β)，∴ (x ，y )＝(3α－β，α＋3β)，∴⎩⎨⎧βαβα33＋＝－＝y x ，又α＋β＝1，由此得到答案为D ．4．B解析：∵(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，∴(a －2b )·a ＝a 2－2a ·b ＝0，(b －2a )·b ＝b 2－2a ·b ＝0，∴ a 2＝b 2，即|a |＝|b |．∴|a |2＝2|a ||b |cos θ＝2|a |2cos θ．解得cos θ＝21． ∴ a 与b 的夹角是3π． 5．A解析：由平行四边形法则，AB ＋AD ＝AC ，又AB ＋BC ＝AC ，由 λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)．6．D解析：如图，∵AF ＝DE ， ∴ DF ＝DE ＋EF ＝EF ＋AF ．(第6题)(第1题)7．C解析：由(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，得a 2－a ·b －6b 2＝－72． 而|b |＝4，a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝2|a |， ∴ |a |2－2|a |－96＝－72，解得|a |＝6． 8．D解析：由 OA ·OB ＝OB ·OC ＝OC ·OA ，得OA ·OB ＝OC ·OA , 即OA ·(OC －OB )＝0，故BC ·OA ＝0，BC ⊥OA ，同理可证AC ⊥OB ， ∴ O 是△ABC 的三条高的交点． 9．C解析：∵AD ＝＋＋C ＝－8a －2b ＝2BC ，∴AD ∥BC 且|AD |≠|BC |． ∴ 四边形ABCD 为梯形． 10．D解析：AD 与BC ，AC 与BD ，OA 与OB 方向都不相同，不是相等向量． 二、填空题 11．－32． 解析：A ，B ，C 三点共线等价于，BC 共线，＝OB －OA ＝(4，5)－(k ，12)＝(4－k ，－7)，BC ＝OC －OB ＝(－k ，10)－(4，5)＝(－k －4，5)，又 A ，B ，C 三点共线，∴ 5(4－k )＝－7(－k －4)，∴ k ＝－32． 12．－1．解析：∵ M (－1，3)，N (1，3)， ∴ MN ＝(2，0)，又a ＝MN ，∴ ⎩⎨⎧0＝4－3－2＝3＋2x x x 解得⎩⎨⎧4＝1＝－1＝－x x x 或∴ x ＝－1． 13．－25．解析：思路1：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴ △ABC 为直角三角形且∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0， ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝BC ·CA ＋CA ·AB ＝CA ·(BC ＋AB ) ＝－(CA )2 ＝－2CA ＝－25．思路2：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴∠ABC ＝90°， ∴ cos ∠CAB ＝CA AB＝53，cos ∠BCA ＝CABC＝54．根据数积定义，结合图(右图)知AB ·BC ＝0， BC ·CA ＝BC ·CA cos ∠ACE ＝4×5×(－54)＝－16， CA ·AB ＝CA ·AB cos ∠BAD ＝3×5×(－53)＝－9． ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝0―16―9＝－25． 14．323． 解析：a ＋m b ＝(3＋2m ，4－m )，a －b ＝(1，5)． ∵ (a ＋m b )⊥(a －b )，∴ (a ＋m b )·(a －b )＝(3＋2m )×1＋(4－m )×5＝0 m ＝323． 15．答案：重心．解析：如图，以OA ，OC 为邻边作□AOCF 交AC 于D(第13题)点E ，则OF ＝OA ＋OC ，又 OA ＋OC ＝－OB ，∴ OF ＝2OE ＝－OB ．O 是△ABC 的重心． 16．答案：平行四边形．解析：∵ a ＋c ＝b ＋d ，∴ a －b ＝d －c ，∴BA ＝CD ． ∴ 四边形ABCD 为平行四边形． 三、解答题 17．λ＜－1．解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则AP ＝(x ，y )－(2，3)＝(x －2，y －3)． AB ＋λAC ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］＝(3，１)＋λ(5，7) ＝(3＋5λ，１＋7λ)．∵ AP ＝AB ＋λAC ，∴ (x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)． ∴ ⎩⎨⎧+=-+=-λλ713532y x 即⎩⎨⎧+=+=λλ7455y x要使点P 在第三象限内，只需⎩⎨⎧<+<+074055λλ 解得 λ＜－1．18．DF ＝(47，2)． 解析：∵ A (7，8)，B (3，5)，C (4，3)， AB ＝(－4，－3)，AC ＝(－3，－5)．又 D 是BC 的中点， ∴ AD ＝21(AB ＋AC )＝21(－4－3，－3－5) ＝21(－7，－8)＝(－27，－4)． 又 M ，N 分别是AB ，AC 的中点， ∴ F 是AD 的中点， ∴ DF ＝－FD ＝－21AD ＝－21(－27，－4)＝(47，2)． (第18题)19．证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋21b ，ED ＝b －21a ． ∴ AF ·ED ＝(a ＋21b )·(b －21a )＝21b 2－21a 2＋43a ·b ． 又AB ⊥AD ，且AB ＝AD ，∴ a 2＝b 2，a ·b ＝0． ∴ AF ·ED ＝0，∴AF ⊥ED ．本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．20．分析：思路1：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴ |2a －b |2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋4sin θ－43cos θ． 又4sin θ－43cos θ＝8(sin θcos3π－cos θsin 3π)＝8sin (θ－3π)，最大值为8， ∴ |2a －b |2的最大值为16，∴|2a －b |的最大值为4．思路2：将向量2a ，b 平移，使它们的起点与原点重合，则|2a －b |表示2a ，b 终点间的距离．|2a |＝2，所以2a 的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P ，b 的终点是该圆上的一个定点Q ，由圆的知识可知，|PQ |的最大值为直径的长为4．(第19题)。
高中数学平面向量专题经典练习题(附答案)高中数学平面向量专题经典练习题(附答案)
高中数学平面向量专题经典练习题（附答案）一.单选题（共10小题，每题5分，共50分）1.设，是两个非零向量，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则存在实数，使得D.若存在实数，使得，则2.如图，在平行四边形中，分别是的中点，则图中所示的向量中与平行的有（）A.个B.个C.个D.个3.下列说法中正确的是（）A.两个有共同起点的单位向量，其终点必相同B.向量与向量的长度相等C.向量就是有向线段D.零向量是没有方向的4.数轴上点分别对应则向量的长度是（）A. B. C. D.5.已知向量与的方向相反，且，若点的坐标为，则点的坐标为（）A. B. C.， D.6.已知为两个单位向量，则下列叙述正确的是（）A.B.若，则C.或D.若，，则7.已知点，，，，则与向量同向的单位向量为（）A. B. C. D.8.已知抛物线的焦点为，准线为是上一点是直线与抛物线的一个交点，若，则（）A. B. C. D.9.下列结论中正确的是（）若且，则；若，则且；若与方向相同且，则；若，则与方向相反且.A. B. C. D.10.已知直线经过点和点，则直线的单位方向向量为（）A.,B.C.D.二.填空题（共10小题，每题5分，共50分）11.已知向量，，若与方向相反，则等于.12.若向量满足，则.13.等腰直角中，点是斜边边上一点，若，则的面积为.14.在中，，是的中点，，则，.15.在中，内角所对的边分别为则.16.在中，内角的对边分别是若则.17.在中，，是中点，，试用表示为，若，则的最大值为.18.如图，已知在矩形中设则.19.已知向量满足则.20.已知向量与的夹角为则.三.解答题（共5小题，每题10分，共50分）21.已知与的夹角为.(1)若求；(2)若与垂直，求.22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系是曲线：上任一点，点满足.设点的轨迹为曲线.(1)求曲线的直角坐标方程；(2)已知曲线向上平移个单位后得到曲线设曲线与直线：为参数)相交于两点，求的值.23.已知向量向量函数．(1)当时，求函数的最小正周期和单调递减区间；(2)若函数在区间的最大值为，求函数在的最小值．24.已知的内角满足.(1)求角；(2)若的外接圆半径为求的面积的最大值.25.在中，内角的对边分别为且.(1)求角的大小；(2)若且外接圆的半参考答案一、选择题第1题第2题故选C第3题单位向量的方向是任意的，所以当两个单位向量的起点相同时，其终点在以起点为圆心的单位圆上，终点不一定相同，所以选项A不正确；向量与向量方向相反，长度相等，所以选项B正确；向量是既有大小，又有方向的量，可以用有向线段表示，但不能说向量就是有向线段，所以选项C不正确；规定零向量的方向任意，而不是没有方向，所以选项D不正确.故选B.第4题第5题故选A 第6题故选D第7题故选A第8题故选B第9题选B第10题二、填空题第11题第12题第13题第14题第15题第16题第18题第20题三、解答题第21题第23题第24题第25题。
(完整word版)高中数学必修四向量练习题(附解析)
向量专项练习参考答案一、选择题1．(文)(2014·郑州月考)设向量a ＝(m,1)，b ＝(1，m )，如果a 与b 共线且方向相反，则m 的值为( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2[答案] A[解析] 设a ＝λb (λ<0)，即m ＝λ且1＝λm .解得m ＝±1，由于λ<0，∴m ＝－1. [点评] 1.注意向量共线与向量垂直的坐标表示的区别，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 1，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，当a ，b 都是非零向量时，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0，同时还要注意a ∥b 与x 1x 2＝y 1y 2不等价． 2．证明共线(或平行)问题的主要依据：(1)对于向量a ，b ，若存在实数λ，使得b ＝λa ，则向量a 与b 共线(平行)． (2)a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若x 1y 2－x 2y 1＝0，则向量a ∥b . (3)对于向量a ，b ，若|a ·b |＝|a |·|b |，则a 与b 共线． 要注意向量平行与直线平行是有区别的．(理)(2013·荆州质检)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则m n ＝( )A ．－2B ．2C ．－12D ．12[答案] C[解析] 由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)，因为m a ＋n b 与a －2b 共线，所以(2m －n )×(－1)－(3m ＋2n )×4＝0，整理得m n ＝－12.2．(2014·山东青岛期中)设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a |＋b|b |＝0成立的是( )A ．a ＝－13bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ⊥b[答案] A[解析] 由题意得a |a |＝－b |b |，而a |a |表示与a 同向的单位向量，－b|b |表示与b 反向的单位向量，则a 与b 反向．而当a ＝－13b 时，a 与b 反向，可推出题中条件．易知B ，C ，D 都不正确，故选A.[警示] 由于对单位向量、相等向量以及共线向量的概念理解不到位从而导致错误，特别对于这些概念：(1)单位向量a|a |，要知道它的模长为1，方向同a 的方向；(2)对于任意非零向量a 来说，都有两个单位向量，一个与a 同向，另一个与a 反向；(3)平面内的所有单位向量的起点都移到原点，则单位向量的终点的轨迹是个单位圆；(4)相等向量的大小不仅相等，方向也必须相同，而相反向量大小相等，方向是相反的；(5)相等向量和相反向量都是共线向量，但共线向量不一定是相等向量，也有可能是相反向量．3．(2015·广州执信中学期中)在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →＝( )A ．(－2,7)B ．(－6,21)C ．(2，－7)D ．(6，－21)[答案] B[解析] 由条件知，PC →＝2PQ →－P A →＝2(1,5)－(4,3)＝(－2,7)， ∵BP →＝2PC →＝(－4,14)， ∴BC →＝BP →＋PC →＝(－6,21)．4．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 为( )A ．平行四边形B ．矩形C ．梯形D ．菱形 [答案] C[解析] ∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2BC →， ∴四边形ABCD 为梯形．5．(文)(2014·德州模拟)设OB →＝xOA →＋yOC →，x ，y ∈R 且A ，B ，C 三点共线(该直线不过点O )，则x ＋y ＝( )A ．－1B ．1C ．0D ．2[答案] B[解析] 如图，设AB →＝λAC →，则OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋λAC →＝OA →＋λ(OC →－OA →) ＝OA →＋λOC →－λOA →＝(1－λ)OA →＋λOC → ∴x ＝1－λ，y ＝λ，∴x ＋y ＝1.[点评] 用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功．在进行向量运算时，要尽可能将它们转化到平行四边形或三角形中，以便使用向量的运算法则进行求解．充分利用平面几何的性质，可把未知向量用已知向量表示出来．(理)(2013·安庆二模)已知a ，b 是不共线的两个向量，AB →＝x a ＋b ，AC →＝a ＋y b (x ，y ∈R )，若A ，B ，C 三点共线，则点P (x ，y )的轨迹是( )A ．直线B ．双曲线C ．圆D ．椭圆[答案] B[解析] ∵A ，B ，C 三点共线， ∴存在实数λ，使AB →＝λAC →.则x a ＋b ＝λ(a ＋y b )⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ，1＝λy ⇒xy ＝1，故选B.6．(2014·湖北武汉调研)如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )A.OH → B ．OG → C.EO → D ．FO →[答案] D[解析] 由平行四边形法则和图示可知，选D.二、填空题7．已知a ＝(2，－3)，b ＝(sin α，cos 2α)，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，若a ∥b ，则tan α＝________. [答案] －33[解析] ∵a ∥b ，∴sin α2＝cos 2α－3，∴2cos 2α＝－3sin α，∴2sin 2α－3sin α－2＝0， ∵|sin α|≤1，∴sin α＝－12，∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴cos α＝32，∴tan α＝－33. 8．(文)(2014·宜春质检)如图所示，在△ABC 中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝________.[答案] 12[分析] 由B ，H ，C 三点共线可用向量AB →，AC →来表示AH →.[解析] 由B ，H ，C 三点共线，可令AH →＝xAB →＋(1－x )AC →，又M 是AH 的中点，所以AM →＝12AH →＝12xAB →＋12(1－x )·AC →，又AM →＝λAB →＋μAC →.所以λ＋μ＝12x ＋12(1－x )＝12.[点评] 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．(理)(2014·河北二调)在△ABC 中，AC ＝1，AB ＝2，A ＝2π3，过点A 作AP ⊥BC 于点P ，且AP →＝λAB →＋μAC →，则λμ＝________.[答案]1049[解析] 由题意知AB →·AC →＝2×1×cos 2π3＝－1，∵AP ⊥BC ，∴AP →·BC →＝0，即(λAB →＋μAC →)·(AC →－AB →)＝0，∴(λ－μ)AB →·AC →－λAB →2＋μAC →2＝0，即μ－λ－4λ＋μ＝0，∴μ＝52λ，①∵P ，B ，C 三点共线，∴λ＋μ＝1，②由①②联立解得⎩⎨⎧λ＝27μ＝57，即λμ＝27×57＝1049.9．(文)已知G 是△ABC 的重心，直线EF 过点G 且与边AB 、AC 分别交于点E 、F ，AE →＝αAB →，AF →＝βAC →，则1α＋1β＝______.[答案] 3[解析] 连结AG 并延长交BC 于D ，∵G 是△ABC 的重心，∴AG →＝23AD →＝13(AB →＋AC →)，设EG →＝λGF →，∴AG →－AE →＝λ(AF →－AG →)，∴AG →＝11＋λAE →＋λ1＋λAF →，∴13AB →＋13AC →＝α1＋λAB →＋λβ1＋λAC →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ α1＋λ＝13，λβ1＋λ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧1α＝31＋λ，1β＝3λ1＋λ，∴1α＋1β＝3.三、解答题10．(文)已知O (0,0)、A (2，－1)、B (1,3)、OP →＝OA →＋tOB →，求 (1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第四象限？ (2)四点O 、A 、B 、P 能否成为平行四边形的四个顶点，说明你的理由． [解析] (1)OP →＝OA →＋tOB →＝(t ＋2,3t －1)． 若点P 在x 轴上，则3t －1＝0，∴t ＝13；若点P 在y 轴上，则t ＋2＝0，∴t ＝－2；若点P 在第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧t ＋2>03t －1<0，∴－2<t <13.(2)OA →＝(2，－1)，PB →＝(－t －1，－3t ＋4)． 若四边形OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →.∴⎩⎪⎨⎪⎧－t －1＝2－3t ＋4＝－1无解． ∴ 四边形OABP 不可能为平行四边形．同理可知，当t ＝1时，四边形OAPB 为平行四边形，当t ＝－1时，四边形OP AB 为平行四边形．(理)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(cos α，sin α)，设m ＝a ＋t b (t 为实数)． (1)若α＝π4，求当|m |取最小值时实数t 的值；(2)若a ⊥b ，问：是否存在实数t ，使得向量a －b 和向量m 的夹角为π4，若存在，请求出t ；若不存在，请说明理由．[解析] (1)∵α＝π4，∴b ＝(22，22)，a ·b ＝322，∴|m |＝(a ＋t b )2＝5＋t 2＋2t a ·b ＝t 2＋32t ＋5＝(t ＋322)2＋12， ∴当t ＝－322时，|m |取到最小值，最小值为22.。
高中数学向量复习题
高中数学向量复习题一、单项选择题1、已知点A （1，－1），B （4，2），P 为AB 的中点，则AP →的坐标为（ ）A.（32，32）B.（32，－12） C.（5，4） D.（3，－3） 2、化简：AB→－AC →－BC →等于 （ ） A.0 B.2CB→ C.2BC → D.2AB → 3、已知向量a ＝（3，4），b ＝（x ，8），若a ∥（a ＋b ），则x 的值为 （ ）A.3B.4C.5D.64、已知a ＝（－1，2），b ＝（4，k ），若|a ＋b|＝5，则k 等于（ ） A.2或6 B.2或－6 C.2 D.－2或65、（AB→＋MB →）＋（BC →－OB →）＋OM →等于 （ ） A.AB→ B.AC → C.AM → D.BC → 6、若向量AB→＝（1，2），BC →＝（－4，2），则|AC →|等于 （ ） A.2 5 B.5 C.20 D.257、下列关于向量的关系式一定成立的是（）A.AB→＋（－AB→）＝0B.AB→－AC→＝BC→C.AB→＋AC→＝CB→D.AB→－AC→＝CB→8、在平面直角坐标系中，已知a＝（1，2），a－12b＝（3，1），c＝（x，3），若（2a＋b）∥c，则x等于（）A.－2B.－4C.－3D.－19、已知向量a＝（2，x），b＝（－2，x），若a⊥b，则｜a｜等于（）A.2B.2 2C.4D.810、已知A（1，3），B（4，－1），则与AB→同方向的单位向量为（）A.12B.43,55⎛⎫-⎪⎝⎭C.34,55⎛⎫-⎪⎝⎭D.53,45⎛⎫-⎪⎝⎭11、已知A（0，1），B（3，2），AC→＝（－4，－3），则BC→等于（）A.（－7，－4）B.（7，4）C.（－1，4）D.（1，4）12、若平面向量a＝（3，1）b＝（－9，x）则|a＋b|的最小值为（）B.6C.10D.3613、如图所示，正六边形ABCDEF 边长为1，O 为中心，则|OE →＋OC →－OA→|＝ （ ）A.AD→ B.DA → C.1 D.2 14、已知a －2b ＝（4，－7），b ＝（－2，2），|a ＋b|＝（ ） A.3 B.3＋2 2 C.2 2 D. 5 15、下列说法中，错误的个数为（ ）①向量AB→ 的模与向量BA → 的模相等； ②若两个非零向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有公共终点的向量一定是共线向量； ④共线向量是可以平移到同一条直线上的向量； ⑤平行向量就是向量所在直线平行. A.2 B.3 C.4 D.516、已知a ，b 不共线，且实数x ，y 满足2xa －（y －7）b ＝（3＋y ）a ＋（5x ＋3）b ，则x 和y 的值分别为 （ ）A.1，－1B.－1，1C.1，1D.－1，－117、下列各组向量中，共线向量是 （ ）A.a ＝（－2，3），b ＝（4，6）B.a ＝（2，3），b ＝（3，2）C.a ＝（1，－2），b ＝（7，14）D.a ＝（－3，2），b ＝（6，－4） 18、若向量a ＝（－3，4），b ＝（1，－2），则|a|·b 等于（ ） A.5 B.（5，－10） C.－10 D.（－10，5） 19、在边长为1的正六边形ABCDEF 中，|AB → ＋FE → ＋CD → |等于（ ） A.1 B. 2 C. 3 D.220、已知菱形ABCD 的边长为1，且∠DAB ＝60°，则|AB → －AD → |等于（ ）A.4B.3C.2D.121、在四边形ABCD 中，若AD → ＝BC → ，AB → ＝a ，AD → ＝b ，则CA → 为（ ）A.a ＋bB.a －bC.－a －bD.b －a 22、在△ABC 中，已知D 为BC 的中点，则AD → 等于 （ ） A.12 ⎝⎛⎭⎫AB →＋AC → B.12 ⎝⎛⎭⎫AB →－AC → C.－12 ⎝⎛⎭⎫AD →＋AC → D.12 （AC→ －AB → ）23、已知AB → ＝（3，－4），点A （－2，5），则B 点坐标为（ ） A.（1，1） B.（－5，－9） C.（5，－9） D.（－1，1）24、已知点A （3，6），B （－2，4），若AB → ＝BC → ，则点C 的坐标为 （ ） A.152⎛⎫⎪⎝⎭， B.（8，8） C.（－7，2） D.（7，－2）25、已知向量a ＝（1，2），b ＝（3，1），c ＝（11，7），若c ＝ka ＋lb ，则k ，l 的值分别为 （ ）A.－2，3B.－2，－3C.2，－3D.2，326、已知平面向量a ＝（1，2），b ＝（－2，m ），且a ∥b ，则|b|等于 （ ）A. 5B.2 5C.3 5D.1 27、下列表示正确的是 （ ）28、若向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =（5,6）,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2,3）,则BC⃗⃗⃗⃗⃗ 等于 （ ）A.（3,3）B.（2,4）C.（6,10）D.（-6,-10）29、下列说法正确的是 （ ） A.若a 和b 都是单位向量，则a=bB.若非零向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共线C.若a//b ，b//c ，则a//cD.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和BA⃗⃗⃗⃗⃗ 是两个平行向量 30、已知向量OM=（2,-1），ON=（-4,1），则12MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = （ ）A.（-6,2）B.（-3,1）C.（6,-2）D.（3,-1） 31、设e 1,e 2是两个不共线的向量,a//b 且a =2e 1−e 2,b =e 1+λe 2,则λ=（ ）A.0B.-1C.-2D.-1232、已知向量a=（m,3）,且|a|=5,则m= （ ） A.2 B.4 C.-2或2 D.-4或433、已知向量a=（1,-1）,b=（2,5）,则|2a+b|= （ ）B.10C.5D.25二、填空题34.若向量a ＝（1，0），b ＝（1，4），则与2a ＋b 同向的单位向量的坐标为 .35.已知a ＝（1，－2），|b|＝2 5 ，且a ∥b ，则b ＝ . 36.若向量a ＝（2，y ），b ＝（－4，2），且2a // b ，则y ＝ . 37.若向量a ＝（3，－2），b ＝（－2，1），c ＝（7，－4），且c ＝λa ＋μb ，则λ＝ ，μ＝ .38.（1）若点A （0，1），B （1，2），点C 满足AC → ＝23 AB → ，则点C 的坐标为 .（2）若点A （0，1），B （1，2），C （3，4），则AB → －2BC → ＝ . 39.已知平面向量a ＝（2，－2），b ＝（5，m ），且|a －b|＝5，则m ＝ .三、解答题（解答题应写出文字说明及演算步骤）40.已知A （－2，1），B （4，－5）两点，且AM →＝12AB →，求点M 的坐标.41.化简：（1）AB →＋CA →＋BD →；（2）OP →－QP →＋PS →＋SP →.42.已知向量a ＝（2，3），b ＝（－1，2），若a －2b 与非零向量ma ＋nb 共线，求mn 的值.43.已知点M ，N 是线段AB 的三等分点，P 是线段AB 外任意一点，设PA→＝a ，PB →＝b ，试用a ，b 表示MN →，PM →.44.已知向量a ＝（4，2），b ＝（4，6），c ＝（－2，－2）. （1）求2a ＋b ＋3c ；（2）判断AB→＝a ＋b 与向量c 的关系. 45.已知a ＝（1，2），b ＝（－2，m ），若a ∥b ，求2a ＋3b 的值；若a ⊥b ，求2a ＋3b 的值. 46.化简下列各式： （1）CE→＋AC →－DE →－AD →； （2）已知a ＝（2，－3），b ＝（1，4），求2a －3b.47.已知点A （m ，－4），B （－2，8），C （2，0），且向量BA 与CA 平行，求实数m 的值.48.已知点A （－3，4），B （2，5），C （1，3），求3AB→－4BC →＋CA →. 49.如图所示，已知四边形ABCD 是边长为1的正方形，E 是BC 的中点，记AB→＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示AD →，AE →.50.如图所示，在矩形ABCD 中，已知|AD →|＝2，|AB →|＝3，求|AB →＋BC →＋BD→|.51.已知向量a ＝（3，2），b ＝（－1，2），c ＝（4，1）. （1）求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n 的值； （2）若（a ＋kc ）∥（2b －a ），求实数k 的值.52.在平面直角坐标系中，已知△ABC 的顶点A ，B ，C 的对应坐标分别为A （-1，-3），B （-1，0），C （-2，-3），判断△ABC 的形状并求∠ACB 的度数.53.在△ABC 中，M 为AB 的中点，CM →＝a ，CA →＝b ，用向量a ，b 表示AM→，CB →.54.已知点M ，N 是线段AB 的三等分点，P 是线段AB 外任意一点，设PA→＝a ，PB →＝b ，试用a ，b 表示MN →，PM →. 55.在△ABC 中，已知A （4，1），B （－2，5），C （－4，3），求中线AD 的长度.56.已知向量OA →＝（－1，－1），OB →＝（－2，－3），OC →＝（－3，0），判断△ABC 是否为等腰三角形.57.已知向量a ＝（2，4），b ＝（x ，2），当a ＋2b 与2a －12b 平行时，求：（1）x 的值； （2）｜2a ＋b ｜.答案一、单项选择题 1.A2.B 【提示】AB →－AC →－BC →＝CB →－BC →＝2CB →.3.D4.B5.B6.B7.D8.D 【提示】 ∵a －12b ＝（3，1），a ＝（1，2），∴b ＝（－4，2），∴2a ＋b ＝（－2，6），若（2a ＋b ）∥c ，则存在唯一的实数λ使（－2，6）＝λ（x ，3），∴⎩⎪⎨⎪⎧－2＝λx ，6＝3λ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，λ＝2，故选D ．9.B 【提示】 ∵a ⊥b ，∴2×（－2）＋x2＝0，解得x ＝±2，于是a ＝（2，2）或a ＝（2，－2），∴｜a ｜＝22＋22＝22＋（－2）2＝22．10.A 【提示】AB →|AB →|＝34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭. 11.A 【提示】AB→＝（3，1），∴BC →＝AC →－AB →＝（－4，－3）－（3，1）＝（－7，－4），故选A.12.B 【提示】|a ＋b|13.D 【提示】 |OE ＋OC→－OA →|＝|AD →|＝2. 14.D15.A 【提示】 ①|AB→ |＝|BA → |，正确；②正确；③共线向量与方向有关，与终点无关，错误；④正确；⑤平行向量有可能在同一直线上，错误．16.A 【提示】 由题意得23753x y y x =+⎧⎨-+=+⎩解得11x y =⎧⎨=-⎩ 17.D 18.B 【提示】 ∵|a|＝（－3）2＋42 ＝5，∴|a|·b ＝5（1，－2）＝（5，－10）.19.D 【提示】 |AB→ ＋FE → ＋CD → |＝|ED → ＋FE → ＋AF → |＝|AD → |＝2.20.D 【解析】 ∵△ABD 是等边三角形，∴|AB→ －AD → |＝|DB → |＝1. 21.C 【提示】 CA→ ＝CB → ＋BA → ＝DA → ＋BA → ＝－b －a. 22.A23.A24.C 【提示】 设点C （x ，y ），AB→ ＝（－5，－2），BC → ＝（x ＋2，y －4）.25.D 【提示】 利用向量相等的定义求解. ∵（11，7）＝k （1，2）＋l （3，1）. ∴⎩⎪⎨⎪⎧11＝k ＋3l ，7＝2k ＋l ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，l ＝3.26.B 【提示】 ∵a ∥b ，∴m ＝－4.27.A28.A29.D 【解析】单位向量大小相等,方向不一定相等,故A 错误;两个向量共线还可以是平行,故B 错误;若a ∥b,b ∥c,b 可以是零向量,故C 错误;AB⃗⃗⃗⃗⃗ 和BA⃗⃗⃗⃗⃗ 方向正好相反,∴选项D 正确. 30.B 【解析】111()(6,2)(3,1),222MN ON OM =-=-=-选项B 正确. 31.D 【解析】211//,,,12a b λλ-∴==-选项D 正确.32.D【解析】||5, 4 4.a m ==∴=-或33.()24,3,2 5.Ca b a b +=∴+==【解析】 二、填空题34.（35，45）35.（2，－4）或（－2，4） 【提示】 设b ＝（x ，y ），则⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y2＝25，－2x ＝y ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－4 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝4， ∴b ＝（2，－4）或（－2，4）.36.－1 【提示】 2a ＝（4，2y ），b ＝（－4，2）.∵2a // b ，∴8＝2y×（－4），∴y ＝－137.1 －2 【提示】 ∵c ＝λa ＋μb ＝λ（3，－2）＋μ（－2，1）＝（3λ－2μ，－2λ＋μ）＝（7，－4），∴⎩⎪⎨⎪⎧3λ－2μ＝7，－2λ＋μ＝－4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，μ＝－2. 38.（1）2533⎛⎫ ⎪⎝⎭， （2）（－3，－3）39.2或－6 【提示】 |a －b|＝（－3）2＋（－2－m ）2 ＝5.三、解答题40.解：设M （x ，y ），则（x ，y ）－（－2，1）＝12[（4，－5）－（－2，1）]，∴（x ，y ）＝（1，－2），∴点M 的坐标为（1，－2）.41.解：（1）原式＝（AB→＋BD →）＋CA →＝AD →＋CA →＝CD →． （2）原式＝OP→＋PQ →＋0＝OQ →． 42.解法一：由向量坐标运算a －2b ＝（4，－1），ma ＋nb ＝（2m ，3m ）＋（－n ，2n ）＝（2m －n ，3m ＋2n ），由向量共线定义得4（3m ＋2n ）＝－（2m －n ）即n ＝－2m ，∴m n ＝－12．解法二：∵a 、b 不共线，a －2b 为非零向量，ma ＋nb 共线，∴1－2＝m n ．43.解：如图所示，AB →＝PB →－PA →，MN →＝13AB →＝13（b －a ），PM→＝AM →－AP →＝13b －13a ＋a ＝13b ＋23a ．44.解：（1）2a ＋b ＋3c ＝2（4，2）＋（4，6）＋3（－2，－2）＝（6，4）．（2）∵AB→＝a ＋b ＝（4，2）＋（4，6）＝（8，8）， 且8×（－2）－8×（－2）＝0，∴AB→∥c ．45.解：若a ∥b ，则有1×m －2×（－2）＝0，m ＝－4，∴b ＝（－2，－4），∴2a ＋3b ＝2（1，2）＋3（－2，－4）＝（－4，－8），若a ⊥b ，则a ·b ＝1×（－2）＋2m ＝0，∴m ＝1，∴b ＝（－2，1），∴2a ＋3b ＝2（1，2）＋3（－2，1）＝（－4，7）．46.解：（1）原式＝CE→＋ED →＋AC →－AD →＝CD →＋DC →＝0. （2）2a －3b ＝2（2，－3）－3（1，4）＝（4，－6）－（3，12）＝（1，－18）．47.448.解：AB→＝（5，1），BC →＝（－1，－2），CA →＝（－4，1）. ∴3AB→－4BC →＋CA →＝3（5，1）－4（－1，－2）＋（－4，1）＝（15，3）－（－4，－8）＋（－4，1）＝（15，12）.49.解：AD→＝BC →＝BA →＋AC →＝－a ＋b ， AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12AD →＝a ＋12（－a ＋b ）＝12a ＋12b.50.解：AB→＋BC →＋BD →＝AB →＋BC →＋BC →＋CD →＝2BC →＝2AD →， ∴|AB→＋BC →＋BD →|＝|2BC →|＝2|AD →|＝4.51.解：（1）由题意知（3，2）＝m （－1，2）＋n （4，1）， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.（2）a ＋kc ＝（3＋4k ，2＋k ），2b －a ＝（－5，2），∵（a ＋kc ）∥（2b －a ），∴2（3＋4k ）＋5（2＋k ）＝0，∴k ＝－1613.52.解：CA →＝（1，0），CB →＝（1，3），AB →＝（0，3），∴|CA →|＝1，|CB →|＝2，|AB →|＝3，∴|CB →|2＝|CA →|2＋|AB →|2，∴△ABC 为直角三角形.又∵cos ∠ACB ＝12，∴∠ACB ＝60°.53.解：AM →＝AC →＋CM →＝－b ＋a ＝a －b.CB →＝CA →＋AB →＝b ＋2AM →＝b ＋2（a －b ）＝2a －b.54.解：如图所示．MN →＝13AB →＝13（PB →－PA →）＝13（b －a ）＝13b －13a ，PM →＝PA →＋AM →＝PA →＋MN →＝a ＋13b －13a ＝13b ＋23a.55.解：由题意得D （－3，4），于是AD→＝（－3，4）－（4，1）＝（－7，3），∴｜AD→｜＝（－7）2＋32＝58． 56.解：∵AB →＝OB →－OA →＝（－2，－3）－（－1，－1）＝（－1，－2），AC→＝OC →－OA →＝（－3，0）－（－1，－1）＝（－2，1），∴｜AB →｜＝｜AC→｜，故△ABC 为等腰三角形． 57.解：（1）∵a ＋2b ＝（2，4）＋2（x ，2）＝（2＋2x ，8），2a －12b ＝2（2，4）－12（x ，2）＝14,72x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 且（a ＋2b ）∥122a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴（2＋2x ）×7－8142x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝0， 即14＋14x －32＋4x ＝0.∴18x ＝18，x ＝1.（2）由（1）知b＝（1，2），∴2a＋b＝2（2，4）＋（1，2）＝（4，8）＋（1，2）＝（5，10），∴｜2a＋b｜＝25＋100＝5 5.。
向量复习题大全
向量复习题大全向量复习题大全在高中数学中，向量是一个非常重要的概念。
它不仅在数学中有着广泛的应用，还在物理学、工程学等领域中发挥着重要的作用。
为了帮助大家复习和巩固向量的知识，下面将为大家提供一些向量复习题。
问题一：已知向量a = (2, 3)和向量b = (4, -1)，求向量a + b和向量a - b的结果。
解析：向量的加法和减法运算是将对应位置的分量相加或相减。
所以，向量a+ b = (2 + 4, 3 + (-1)) = (6, 2)，向量a - b = (2 - 4, 3 - (-1)) = (-2, 4)。
问题二：已知向量a = (3, -2)和向量b = (1, 4)，求向量a与向量b的数量积和向量积。
解析：向量的数量积是将对应位置的分量相乘后相加。
所以，向量a·b = 3 × 1+ (-2) × 4 = 3 - 8 = -5。
向量的向量积是一个新的向量，其方向垂直于原来的两个向量，并且大小等于两个向量的模长乘积再乘以它们之间的夹角的正弦值。
所以，向量a × b = |a| × |b| × sinθ = √(3^2 + (-2)^2) × √(1^2 + 4^2) × sinθ= √13 × √17 × sinθ。
问题三：已知向量a = (2, 3)和向量b = (4, -1)，求向量a与向量b的夹角。
解析：两个向量的夹角可以通过向量的数量积来求解。
夹角θ满足cosθ = (a·b) / (|a| × |b|)。
所以，cosθ = (2 × 4 + 3 × (-1)) / (√(2^2 + 3^2) × √(4^2 + (-1)^2)) = (8 - 3) / (√13 × √17) = 5 / (√13 × √17)。
高中数学 6立体几何专题空间向量课后习题(带答案)
空间向量课后习题1．空间的一个基底{}，，a b c 所确定平面的个数为（ ） Ａ．1个Ｂ．2个Ｃ．3个Ｄ．4个以上2．已知(121)A -，，关于面xOy 的对称点为B ，而B 关于x 轴的对称点为C ，则BC =（ ） Ａ．(042)，， Ｂ．(042)--，， Ｃ．(040)，， Ｄ．(202)-，，3．已知向量111222()()x y z x y z ==，，，，，a b ，若≠a b ，设a b -=R ，则a b -与x 轴夹角的余弦值为（ ） Ａ．12x x R- Ｂ．21x x R- Ｃ．12x x R-Ｄ．12()x x R-±4．若向量MA MB MC ，，的起点与终点M A B C ，，，互不重合且无三点共线，O 是空间任一点，则能使MA MB MC ，，成为空间一组基底的关系是（ ） Ａ．111333OM OA OB OC =++Ｂ．MA MB MC ≠+ Ｃ．1233OM OA OB OC =++Ｄ．2MA MB MC =-5．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是11A B 的中点，则E 是平面11ABC D 的距离是（ ）Ｃ．126．一条长为a 的线段，夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别是45°和30°，由这条线段两端向两平面的交线引垂线，垂足的距离是（ ）Ａ．2a Ｂ．3a7．若向量a 与b 的夹角为60°，4=b ，(2)(3)72a b a b +-=-，则a =（ ）Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．128．设P 是60°的二面角l αβ--内一点，PA ⊥平面α，PB ⊥平面β，A B ，为垂足，42PA PB ==，，则AB 的长为（ ） Ａ．42Ｂ．23Ｃ．25Ｄ．279．ABCD 为正方形，P 为平面ABCD 外一点，2PD AD PD AD ⊥==，，二面角P AD C --为60°，则P 到AB 的距离为（ ） Ａ．22Ｂ．3Ｃ．2Ｄ．710.已知()()(00)x y z a b c xyz abc ==≠≠，，，，，，p q ，若有等式2222222()()()x y z a b c ax by cz ++++=++成立，则，p q 之间的关系是（ ）Ａ．平行 Ｂ．垂直 Ｃ．相交 Ｄ．以上都可能11．已知平面α与β所成二面角为80°，P 为αβ，外一定点，过点P 一条直线与αβ，所成的角都是30°，则这样的直线有且仅有（ ） Ａ．1条 Ｂ．2条 Ｃ．3条 Ｄ．4条12．如图1，梯形ABCD 中，AB CD ∥，且AB ⊥平面α，224AB BC CD ===，点P 为α内一动点，且APB DPC ∠=∠，则P 点的轨迹为（ ）Ａ．直线 Ｂ．圆 Ｃ．椭圆 Ｄ．双曲线二、填空题13．已知(11)(2)t t t t t =--=，，，，，a b ，则-b a 的最小值是14．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，向量1BA 与向量AC 所成的角为1BD =，若15．如图2，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知1AB D =，在棱1BB 上，且AD 与平面11AAC C 所成的角为α，则sin α=16．已知m l ，是异面直线，那么： ①必存在平面α过m 且与l 平行； ②必存在平面β过m 且与l 垂直； ③必存在平面γ与m l ，都垂直； ④必存在平面δ与m l ，距离都相等． 其中正确命题的序号是三、解答题17．设空间两个不同的单位向量122(0)(0)x y x y ==，，，，，a b 与向量(111)=，，c 的夹角都等于π4．18．如图3，已知直四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA =，底面ABCD 是直角梯形，ADC ∠是直角，421AB CD AB AD DC ===，，，∥，求异面直线1BC 与DC 所成角的大小．19．如图4，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动，问AE 等于何值时，二面角1D EC D --的大小为π4．20．如图5所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面1AEC F 所截而得到的，其中14231AB BC CC BE ====，，，． （1）求BF ；（2）求点C 到平面1AEC F 的距离．21．如图6，在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，AB BC kPA ==，点O D ，分别是AC PC ，的中点，OP ⊥底面ABC ．（1）求证：OD ∥平面PAB ；（2）当12k =时，求直线PA 与平面PBC 所成角的大小；（3）当k 为何值时，O 在平面PBC 内的射影恰好为PBC △的重心？22．如图7，已知向量OA OB OC ===，，a b c ，可构成空间向量的一个基底，若123()a a a =，，，a123123()()b b b c c c ==，，，，，b c ，在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种运算233231131221()a b a b a b a b a b a b ⨯=---，，a b ，显然⨯a b 的结果仍为一向量，记作p ．（1） 求证：向量p 为平面OAB 的法向量；（2） 求证：以OA OB ，为边的平行四边形OADB 的面积等于⨯a b ；(3)将四边形OADB 按向量OC =c 平移，得到一个平行六面体111OADB CA D B -，试判断平行六面体的体积V答案1.【答案】C2.【答案】Ｂ3.【答案】D4.【答案】C5.【答案】B6.【答案】A7.【答案】C8.【答案】D9.【答案】D 10.【答案】Ａ 11.【答案】D 12.【答案】B 13.14.【答案】120°． 15.16.【答案】①④17.解：（1）由πcos 4==ac a c 11a c =+·x y ，11+=∴x y又1==a ，222111111113()2122x y x y x y x y +=++=+=∴． 1114x y =∴． （4）同理可得222214x y x y +==， 11x y ，∴是方程2104x +=的两根，同理22x y ，也是． 又≠∵a b ，1221==，∴x y x y ．cos ==，·∴·a b a b a b a b 1212112212=+=+=x x y y x y x y ，60a b =，∴°．18.解：以D 为原点，1DA DC DD ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则1(012)(240)(010)C B A ，，，，，，，，． 1(232)BC =--，，∴，(010)CD =-，，．设1BC 与CD 所成角为θ， 则11317cos 17BC CD BC CDθ==·． θ=∴． ∴异面直线1BC 与DC 所成角的大小为19.解：设AE x =，以D 为原点，直线1DA DC DD ，，所在直线分别为x y z ，，轴建立空间直角坐标系， 则11(101)(001)(10)(100)(020)A D E x A C ，，，，，，，，，，，，，，． 11(120)(021)(001)CE x D C DD =-=-=，，，，，，，，∴．设平面1D EC 的法向量为()a b c =，，n ， 由1020(2)00n n⎧=-=⎧⎪⇒⎨⎨+-==⎩⎪⎩，，，··D C b c a b x CE 令1b =，22c a x ==-，∴．(212)x =-，，∴n ．依题意11π2cos 42DD DD ==⇒=n n ·．2x =∴（2x =+ 2AE =∴20.解：（1）以D 为原点，DAF DC DF ，，所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -， 1(000)(240)(200)(040)(241)(043)D B A C E C ，，，，，，，，，，，，，，，，，， 设(00)F z ，，． 由1AF EC =，得(20)(202)z -=-，，，，，2z =∴．(002)(242)F BF =--，，，，，∴．26BF =∴（2）设1n 为平面1AEC F 的法向量，1(1)x y =，，n ，由1100AE AF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，··n n 得410220y x +=⎧⎨-+=⎩，．114x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，．∴又1(003)CC =，，，设1CC 与1n 的夹角为α， 则111cos CCCC α==·n n． C ∴到平面1AEC F 的距离1cos d CC α=． 21.解：（1）证明：OP ⊥∵平面ABC OA OC AB BC ==，，， OA OB OA OP OB OP ⊥⊥⊥，，∴．以O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -．设AB a =，则222000000222A a B a C a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，． 设OP h =，则(00)P h ，，．D ∵为PC 的中点，21042OD a h ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，∴． 202PA a h ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，12OD PA =-∴． OD PA ∴∥，OD ∴∥平面PAB ．（2）12k =，即2PA a =，72h a =∴，27022PA a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，∴ 可求得平面PBC 的法向量1117⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，，n ． 210cos 30PA PA PA ==，·∴n n n． 设PA 与平面PBC 所成的角为θ， 则210sin cos 30PA θ==，n ． PA ∴与平面PBC 所成的角为210arcsin30． （3）PBC △的重心221663G a a h ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，221663OG a a h ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，∴， OG ⊥∵平面PBC ，OG PB ⊥∴．又202PB a h ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，2211063OG PB a h =-=∴·． 22h a =∴． 22PA OA h a =+=∴，即1k =．反之，当1k =时，三棱锥O PBC -为正三棱锥． O ∴在平面PBC 内的射影为PBC △的重心． （3） ()⨯·a b c 的大小． 22.解：（1）233213113212213()()()0a b a b a a b a b a a b a b a =-+-+-=p a ·，⊥p a ∴，同理⊥p b ．p ∴是平面OAB 的法向量．（2）设平行四边形OADB 的面积为S ，OA 与OB 的夹角为θ，则sin θ=S OA OB =a a b =⨯．∴结论成立．（3）设C 点到平面OAB 的距离为h ，OC 与平面OAB 所成的角为α， 则=V Sh sin α=⨯a b c ，又()cos sin α⨯=⨯⨯=⨯，·a b c a b c a b c a b c ， ∴V ()a b c =⨯·．空间向量课后习题1．空间的一个基底{}，，a b c 所确定平面的个数为（ ） Ａ．1个Ｂ．2个Ｃ．3个Ｄ．4个以上2．已知(121)A -，，关于面xOy 的对称点为B ，而B 关于x 轴的对称点为C ，则BC =（ ） Ａ．(042)，， Ｂ．(042)--，， Ｃ．(040)，， Ｄ．(202)-，，3．已知向量111222()()x y z x y z ==，，，，，a b ，若≠a b ，设a b -=R ，则a b -与x 轴夹角的余弦值为（ ） Ａ．12x x R- Ｂ．21x x R- Ｃ．12x x R-Ｄ．12()x x R-±4．若向量MAMB MC ，，的起点与终点M A B C ，，，互不重合且无三点共线，O 是空间任一点，则能使MA MB MC ，，成为空间一组基底的关系是（ ） Ａ．111333OM OA OB OC =++Ｂ．MA MB MC ≠+ Ｃ．1233OM OA OB OC =++ Ｄ．2MA MB MC =-5．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是11A B 的中点，则E 是平面11ABC D 的距离是（ ）Ｃ．126．一条长为a 的线段，夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别是45°和30°，由这条线段两端向两平面的交线引垂线，垂足的距离是（ ）Ａ．2a Ｂ．3a7．若向量a 与b 的夹角为60°，4=b ，(2)(3)72a b a b +-=-，则a =（ ）Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．128．设P 是60°的二面角l αβ--内一点，PA ⊥平面α，PB ⊥平面β，AB ，为垂足，42PA PB ==，，则AB 的长为（ ）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．9．ABCD 为正方形，P 为平面ABCD 外一点，2PD AD PD AD ⊥==，，二面角P AD C --为60°，则P 到AB 的距离为（ ）Ａ． Ｃ．210.已知()()(00)x y z a b c xyz abc ==≠≠，，，，，，p q ，若有等式2222222()()()x y z a b c ax by cz ++++=++成立，则，p q 之间的关系是（ ）11．已知平面α与β所成二面角为80°，P 为αβ，外一定点，过点P 一条直线与αβ，所成的角都是30°，则这样的直线有且仅有（ ）Ａ．1条 Ｂ．2条Ｃ．3条 Ｄ．4条12．如图1，梯形ABCD 中，AB CD ∥，且AB ⊥平面α，224AB BC CD ===，点P 为α内一动点，且APB DPC ∠=∠，则P 点的轨迹为（ ）Ａ．直线 Ｂ．圆Ｃ．椭圆 Ｄ．双曲线二、填空题13．已知(11)(2)t t t t t =--=，，，，，a b ，则-b a 的最小值是14．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，向量1BA 与向量AC 所成的角为1BD =，若15．如图2，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知1AB D =，在棱1BB 上，且AD 与平面11AAC C 所成的角为α，则sin α=16．已知m l ，是异面直线，那么：①必存在平面α过m 且与l 平行；②必存在平面β过m 且与l 垂直；③必存在平面γ与m l ，都垂直；④必存在平面δ与m l ，距离都相等．其中正确命题的序号是三、解答题17．设空间两个不同的单位向量(0)(0)x y x y ==，，，，，a b 与向量(111)=，，c 的夹角都等于π．18．如图3，已知直四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA =，底面ABCD 是直角梯形，ADC ∠是直角，421AB CD AB AD DC ===，，，∥，求异面直线1BC 与DC 所成角的大小．19．如图4，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动，问AE 等于何值时，二面角1D EC D --的大小为π4．20．如图5所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面1AEC F 所截而得到的，其中14231AB BC CC BE ====，，，．（1）求BF ；（2）求点C 到平面1AEC F 的距离．21．如图6，在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，AB BC kPA ==，点O D ，分别是AC PC ，的中点，OP ⊥底面ABC ．（1）求证：OD ∥平面PAB ；（2）当12k =时，求直线PA 与平面PBC 所成角的大小； （3）当k 为何值时，O 在平面PBC 内的射影恰好为PBC △的重心？22．如图7，已知向量OA OB OC ===，，a b c ，可构成空间向量的一个基底，若123()a a a =，，，a123123()()b b b c c c ==，，，，，b c ，在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种运算233231131221()a b a b a b a b a b a b ⨯=---，，a b ，显然⨯a b 的结果仍为一向量，记作p ．（4） 求证：向量p 为平面OAB 的法向量；（5） 求证：以OA OB ，为边的平行四边形OADB 的面积等于⨯a b ；(3)将四边形OADB 按向量OC =c 平移，得到一个平行六面体111OADB CA D B -，试判断平行六面体的体积V答案1.【答案】C2.【答案】Ｂ3.【答案】D4.【答案】C5.【答案】B6.【答案】A7.【答案】C8.【答案】D9.【答案】D10.【答案】Ａ11.【答案】D12.【答案】B13.14.【答案】120°．15.16.【答案】①④17.解：（1）由πcos 4==ac a c 11a c =+·x y ，11+=∴x y又1==a ，222111111113()2122x y x y x y x y +=++=+=∴．1114x y =∴．（4）同理可得222214x y x y +==，11x y ，∴是方程2104x +=的两根，同理22x y ，也是．又≠∵a b ，1221==，∴x y x y ．cos ==，·∴·a ba b a b a b 1212112212=+=+=x x y y x y x y ，60a b =，∴°．则1(012)(240)(010)C B A ，，，，，，，，．1(232)BC =--，，∴，(010)CD =-，，．设1BC 与CD 所成角为θ， 则11317cos 17BC CDBC CDθ==·． θ=∴． ∴异面直线1BC 与DC 所成角的大小为 19.解：设AE x =，以D 为原点，直线1DA DC DD ，，所在直线分别为x y z ，，轴建立空间直角坐标系， 则11(101)(001)(10)(100)(020)A D E x A C ，，，，，，，，，，，，，，． 11(120)(021)(001)CE x D C DD =-=-=，，，，，，，，∴． 设平面1D EC 的法向量为()a b c =，，n ， 由1020(2)00n n⎧=-=⎧⎪⇒⎨⎨+-==⎩⎪⎩，，，··D C b c a b x CE 令1b =，22c a x ==-，∴．(212)x =-，，∴n ．依题意11π2cos 42DD DD ==⇒=n n ·．2x =∴（2x =+ 2AE =∴20.解：（1）以D 为原点，DAF DC DF ，，所在直线为x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，1(000)(240)(200)(040)(241)(043)D B A C E C ，，，，，，，，，，，，，，，，，， 设(00)F z ，，．由1AF EC =，得(20)(202)z -=-，，，，， 2z =∴． (002)(242)F BF =--，，，，，∴．26BF =∴（2）设1n 为平面1AEC F 的法向量，1(1)x y =，，n ，由1100AE AF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，··n n 得410220y x +=⎧⎨-+=⎩，．11x y =⎧⎪⎨=-⎪，．∴又1(003)CC =，，，设1CC 与1n 的夹角为α， 则111433cos 33CC CC α==·n n ． C ∴到平面1AEC F 的距离1433cos 11d CC α==． 21.解：（1）证明：OP ⊥∵平面ABC OA OC AB BC ==，，， OA OB OA OP OB OP ⊥⊥⊥，，∴． 以O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -． 设AB a =，则222000000222A a B a C a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，． 设OP h =，则(00)P h ，，．D ∵为PC 的中点，21042OD a h ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，∴． 202PA a h ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，12OD PA =-∴． OD PA ∴∥，OD ∴∥平面PAB ． （2）12k =，即2PA a =，72h a =∴， 27022PA a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，∴ 可求得平面PBC 的法向量1117⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，，n ． 210cos 30PA PA PA ==，·∴nn n ． 设PA 与平面PBC 所成的角为θ， 则210sin cos 30PA θ==，n ． PA ∴与平面PBC 所成的角为210arcsin30． （3）PBC △的重心221663G a a h ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，221663OG a a h ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，∴， OG ⊥∵平面PBC ，OG PB ⊥∴．又202PB a h ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，2211063OG PB a h =-=∴·．h =∴．PA a =∴，即1k =． 反之，当1k =时，三棱锥O PBC -为正三棱锥． O ∴在平面PBC 内的射影为PBC △的重心．（6） ()⨯·a b c 的大小． 22.解：（1）233213113212213()()()0a b a b a a b a b a a b a b a =-+-+-=p a ·， ⊥p a ∴，同理⊥p b ．p ∴是平面OAB 的法向量．（2）设平行四边形OADB 的面积为S ，OA 与OB 的夹角为θ，则sin θ=S OA OB =a a b =⨯． ∴结论成立．（3）设C 点到平面OAB 的距离为h ，OC 与平面OAB 所成的角为α， 则=V Sh sin α=⨯a b c ， 又()cos sin α⨯=⨯⨯=⨯，·a b c a b c a b c a b c ， ∴V ()a b c =⨯·．。
含解析高中数学《平面向量》专题训练30题（精）
含解析高中数学《平面向量》专题训练30题（精）含解析高中数学《平面向量》专题训练30题（精）1．已知向量．（1）若，求x的值；（2）记，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．【答案】（1）（2）时，取到最大值3；时，取到最小值.【解析】【分析】（1）根据，利用向量平行的充要条件建立等式，即可求x的值．（2）根据求解求函数y＝f（x）解析式，化简，结合三角函数的性质即可求解最大值和最小值及对应的x的值．【详解】解：（1）∵向量．由，可得：，即，∵x∈[0，π]∴．（2）由∵x∈[0，π]，∴∴当时，即x＝0时f（x）max＝3；当，即时．【点睛】本题主要考查向量的坐标运用以及三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．2．已知中，点在线段上，且，延长到，使．设．（1）用表示向量；（2）若向量与共线，求的值．【答案】（1）,；（2）【解析】【分析】（1）由向量的线性运算，即可得出结果；（2）先由(1)得，再由与共线，设，列出方程组求解即可.【详解】解：（1）为BC的中点，，可得，而（2）由（1）得，与共线，设即，根据平面向量基本定理，得解之得，．【点睛】本题主要考查向量的线性运算，以及平面向量的基本定理，熟记定理即可，属于常考题型.3．（1）已知平面向量、，其中，若，且，求向量的坐标表示；（2）已知平面向量、满足，，与的夹角为，且（+）（），求的值.【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）设，根据题意可得出关于实数、的方程组，可求得这两个未知数的值，由此可得出平面向量的坐标；（2）利用向量数量积为零表示向量垂直，化简并代入求值，可解得的值．【详解】（1）设，由，可得，由题意可得，解得或.因此，或；（2），化简得，即，解得4．已知向量，向量.（1）求向量的坐标；（2）当为何值时，向量与向量共线.【答案】（1）（2）【解析】【详解】试题分析：（1）根据向量坐标运算公式计算；（2）求出的坐标，根据向量共线与坐标的关系列方程解出k;试题解析：（1）（2），∵与共线，∴∴5．已知向量与的夹角，且，．（1）求，；（2）求与的夹角的余弦值．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用平面向量数量积的定义可计算得出的值，利用平面向量数量积的运算性质计算得出的值；（2）计算出的值，利用平面向量夹角的余弦公式可求得与的夹角的余弦值．【详解】（1）由已知，得，；（2）设与的夹角为，则，因此，与的夹角的余弦值为.6．设向量,,记（1）求函数的单调递减区间；（2）求函数在上的值域．【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】分析：（1）利用向量的数量积的坐标运算式，求得函数解析式，利用整体角的思维求得对应的函数的单调减区间；（2）结合题中所给的自变量的取值范围，求得整体角的取值范围，结合三角函数的性质求得结果.详解：（1）依题意,得．由,解得故函数的单调递减区间是．（2）由（1）知,当时,得,所以,所以,所以在上的值域为．点睛：该题考查的是有关向量的数量积的坐标运算式，三角函数的单调区间，三角函数在给定区间上的值域问题，在解题的过程中一是需要正确使用公式，二是用到整体角思维.7．在中，内角，，的对边分别是，，，已知，点是的中点.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求中线的最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（1）由正弦定理，已知条件等式化边为角，结合两角和的正弦公式，可求解；（2）根据余弦定理求出边的不等量关系，再用余弦定理把用表示，即可求解；或用向量关系把用表示，转化为求的最值.【详解】（Ⅰ）由已知及正弦定理得.又，且，∴，即.（Ⅱ）方法一：在中，由余弦定理得，∵，当且仅当时取等号，∴.∵是边上的中线，∴在和中，由余弦定理得，，①.②由①②，得，当且仅当时，取最大值.方法二：在中，由余弦定理得，∵，当且仅当时取等号，∴.∵是边上的中线，∴，两边平方得，∴，当且仅当时，取最大值.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理在三角形中应用，考查基本不等式和向量的模长公式的灵活运用，是一道综合题.8．已知平面向量，.(1)若，求的值；(2)若，与共线，求实数m的值.【答案】（1）；（2）4.【解析】（1）求出，即可由坐标计算出模；（2）求出，再由共线列出式子即可计算.【详解】(1)，所以；(2)，因为与共线，所以，解得m＝4.9．已知向量．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若，求向量与夹角的大小．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】【分析】（Ⅰ）首先求出的坐标，再根据，可得，即可求出，再根据向量模的坐标表示计算可得；（Ⅱ）首先求出的坐标，再根据计算可得；【详解】解：（Ⅰ）因为，所以，由，可得，即，解得，即，所以；（Ⅱ）依题意，可得，即，所以，因为，所以与的夹角大小是．10．如图，在中，，，，，.（1）求的长；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）将用和表示，利用平面向量数量积的运算律和定义计算出的值，即可得出的长；（2）将利用和表示，然后利用平面向量数量积的运算律和定义计算出的值．【详解】（1），，，，，，.；（2），，，.【点睛】本题考查平面向量模与数量积的计算，解题的关键就是选择合适的基底将题中所涉及的向量表示出来，考查计算能力，属于中等题.11．如图所示，在中，，，，分别为线段，上一点，且，，和相交于点.（1）用向量，表示；（2）假设，用向量，表示并求出的值.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）把放在中，利用向量加法的三角形法则即可；（2）把，作为基底，表示出，利用求出.【详解】解：由题意得，，所以，（1）因为，，所以.（2）由（1）知，而而因为与不共线，由平面向量基本定理得解得所以，即为所求.【点睛】在几何图形中进行向量运算:(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；(2)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算.12．已知向量与的夹角为，且，.（1）若与共线，求k；（2）求，；（3）求与的夹角的余弦值【答案】（1）；（2），；（3）.【解析】【分析】（1）利用向量共线定理即可求解.（2）利用向量数量积的定义：可得数量积，再将平方可求模.（3）利用向量数量积即可夹角余弦值.【详解】（1）若与共线，则存在，使得即，又因为向量与不共线，所以，解得，所以.（2），，（3）.13．已知.（1）当为何值时，与共线（2）当为何值时，与垂直？（3）当为何值时，与的夹角为锐角？【答案】（1）；（2）；（3）且.【解析】【分析】（1）利用向量共线的坐标表示：即可求解.（2）利用向量垂直的坐标表示：即可求解.（3）利用向量数量积的坐标表示，只需且不共线即可求解.【详解】解：（1）.与平行，，解得.（2）与垂直，，即，（3）由题意可得且不共线，解得且.14．如图，在菱形ABCD中，，．（1）若，求的值；（2）若，，求．（3）若菱形ABCD的边长为6，求的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）由向量线性运算即可求得值；（2）先化，再结合（1）中关系即可求解；（3）由于，，即可得，根据余弦值范围即可求得结果．【详解】解：（1）因为，，所以，所以，，故．（2）∵，∴∵ABCD为菱形∴∴，即．（3）因为，所以∴的取值范围：．【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算；(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．15．已知，，与夹角是．（1）求的值及的值；（2）当为何值时，？【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用数量积定义及其向量的运算性质，即可求解；（2）由于，可得，利用向量的数量积的运算公式，即可求解．【详解】（1）由向量的数量积的运算公式，可得，.（2）因为，所以，整理得，解得．即当值时，．【点睛】本题主要考查了数量积定义及其运算性质、向量垂直与数量积的关系，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，以及向量垂直的坐标运算是解答的关键，着重考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．设向量（I）若（II）设函数【答案】（I）（II）【解析】【详解】(1)由＝(sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，及，得4sin2x＝1.又x∈，从而sinx＝，所以x＝.(2)sinx·cosx＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin＋，当x∈时，－≤2x－≤π，∴当2x－＝时，即x＝时，sin取最大值 1.所以f(x)的最大值为.17．化简．（1）．（2）．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用平面向量加法的三角形法则化简可得所求代数式的结果；（2）利用平面向量加法的三角形法则化简可得所求代数式的结果.【详解】（1）；（2）.18．已知点,,，是原点.（1）若点三点共线，求与满足的关系式；（2）若的面积等于3，且,求向量.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】(1)由题意结合三点共线的充分必要条件确定m,n满足的关系式即可；(2)由题意首先求得n的值，然后求解m的值即可确定向量的坐标.【详解】（1），，由点A，B，C三点共线，知∥，所以，即；（2）由△AOC的面积是3，得，，由，得，所以，即,当时，，?解得或，当时，，方程没有实数根，所以或．【点睛】本题主要考查三点共线的充分必要条件，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．如图，在直角梯形中，为上靠近B的三等分点，交于为线段上的一个动点．（1）用和表示；（2）求；（3）设，求的取值范围．【答案】(1)；(2)3；(3).【解析】【分析】(1)根据给定条件及几何图形，利用平面向量的线性运算求解而得；(2)选定一组基向量，将由这一组基向量的唯一表示出而得解；(3)由动点P设出，结合平面向量基本定理，建立为x的函数求解.【详解】(1)依题意，，，；(2)因交于D，由(1)知，由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，则，，；(3)由已知，因P是线段BC上动点，则令，，又不共线，则有，，在上递增，所以，故的取值范围是.【点睛】由不共线的两个向量为一组基底，用该基底把相关条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．20．设向量满足，且．（1）求与的夹角；（2）求的大小.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由已知得，展开求得，结合夹角公式即可求解；（2）由化简即可求解．【详解】（1）设与的夹角为θ由已知得，即，因此，得，于是，故θ=，即与的夹角为；（2）由．21．已知，，(t∈R)，O是坐标原点．（1）若点A，B，M三点共线，求t的值；（2）当t取何值时，取到最小值？并求出最小值．【答案】（1）t；（2）当t时，?的最小值为.【解析】【分析】（1）求出向量的坐标，由三点共线知与共线，即可求解t的值．（2）运用坐标求数量积，转化为函数求最值．【详解】（1），，∵A，B，M三点共线，∴与共线，即，∴，解得：t.（2），，，∴当t时，?取得最小值．【点睛】关键点点睛：（1）由三点共线，则由它们中任意两点构成的向量都共线，求参数值.（2）利用向量的数量积的坐标公式得到关于参数的函数，即可求最值及对应参数值.22．设向量，，.(1)求；(2)若，，求的值；(3)若，，，求证：A，，三点共线.【答案】(1) 1(2)2(3)证明见解析【解析】【分析】（1）先求，进而求；（2）列出方程组，求出，进而求出；（3）求出，从而得到，得到结果.(1)，；(2)，所以，解得：，所以；(3)因为，所以，所以A，，三点共线.23．在平面直角坐标系中，已知，.（Ⅰ）若，求实数的值；（Ⅱ）若，求实数的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）求出向量和的坐标，然后利用共线向量的坐标表示得出关于的方程，解出即可；（Ⅱ）由得出，利用向量数量积的坐标运算可得出关于实数的方程，解出即可.【详解】（Ⅰ），，，，，，解得；（Ⅱ），，，解得.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查利用共线向量和向量垂直求参数，考查计算能力，属于基础题.24．在中，，，，点，在边上且，.（1）若，求的长；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先设，，根据题意，求出，，再由向量模的计算公式，即可得出结果；（2）先由题意，得到，，再由向量数量积的运算法则，以及题中条件，得到，即可求出结果.【详解】（1）设，，则，，因此，所以，，（2）因为，所以，同理可得，，所以，∴，即，同除以可得，.【点睛】本题主要考查用向量的方法求线段长，考查由向量数量积求参数，熟记平面向量基本定理，以及向量数量积的运算法则即可，属于常考题型.25．已知向量，，，且．（1）求，；（2）求与的夹角及与的夹角．【答案】（1），；（2），．【解析】【分析】（1）由、，结合平面向量数量积的运算即可得解；（2）记与的夹角为，与的夹角为，由平面向量数量积的定义可得、，即可得解.【详解】（1）因为向量，，，且，所以，所以，又，所以；（2）记与的夹角为，与的夹角为，则，所以．，所以．【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算与应用，考查了运算求解能力，属于基础题.26．平面内给定三个向量，，.（1）求满足的实数，；（2）若，求实数的值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）依题意求出的坐标，再根据向量相等得到方程组，解得即可；（2）首先求出与的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得；【详解】解：（1）因为，，，且，，，，.，解得，.（2），，，.，，，.，解得.27．如图，已知中，为的中点，，交于点，设，．（1）用分别表示向量，；（2）若，求实数t的值．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）根据向量线性运算，结合线段关系，即可用分别表示向量，；（2）用分别表示向量，，由平面向量共线基本定理，即可求得t的值.【详解】（1）由题意，为的中点，，可得，，．∵，∴，∴（2）∵，∴∵，，共线，由平面向量共线基本定理可知满足，解得．【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量共线基本定理的应用，属于基础题.28．已知，向量，.（1）若向量与平行，求k的值；（2）若向量与的夹角为钝角，求k的取值范围【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）利用向量平行的坐标表示列式计算即得结果；（2）利用，且不共线，列式计算即得结果.【详解】解：（1）依题意，，，又，得，即解得或；（2）与的夹角为钝角，则，即，即，解得或.由（1）知，当时，与平行，舍去，所以.【点睛】思路点睛：两向量夹角为锐角（或钝角）的等价条件：（1）两向量夹角为锐角，等价于，且不共线；（2）两向量夹角为钝角，等价于，且不共线.29．已知．(1)若，求的值；(2)若，求向量在向量方向上的投影．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先得到，根据可得,即可求出m；（2）根据求出m=2,再根据求在向量方向上的投影.【详解】；；；；；；；在向量方向上的投影为．【点睛】本题主要考查了向量坐标的加法和数量积的运算，向量垂直的充要条件及向量投影的计算公式，属于中档题.30．平面内给定三个向量.（1）求；（2）求满足的实数m和n；（3）若，求实数k.【答案】（1）6；（2）；（3）.【解析】（1）利用向量加法的坐标运算得到，再求模长即可；（2）先写的坐标，再根据使对应横纵坐标相等列方程组，解方程组即得结果；（3）利用向量垂直则数量积为零，再利用数量积的坐标运算列关系求出参数即可.【详解】解：（1）由，得，；（2），，，，故，解得；（3），，，，，，即，解得.【点睛】结论点睛：若，则等价于；等价于.试卷第1页，共3页试卷第1页，共3页。
高中数学必修一向量经典习题
高中数学必修一向量经典习题1.选择题1.已知向量`a`和向量`b`的模分别为3和4，且它们的夹角为60度，则向量`a·b`的值为：A。
5B。
6C。
7D。
8答案选B。
62.已知两个非零向量`a`和`b`的夹角为90度，则向量`a·b`的值为：A。
0B。
1C。
2D。
-1答案选A。
03.设向量`a`和向量`b`的模分别为2和5，且它们的夹角为30度，则向量`a`与向量`b`的夹角的余弦值为：A。
cosπ/3B。
cosπ/6C。
cosπ/2D。
cos2π/3答案选B。
cosπ/62.计算题1.已知向量`a = (2.3)`，向量`b = (4.1)`，计算向量`a + b`的结果。
答案：向量`a + b`的结果是`(6.4)`。
2.已知向量`a = (3.1)`，向量`b = (-2.5)`，计算向量`a - b`的结果。
答案：向量`a - b`的结果是`(5.-4)`。
3.已知向量`a = (1.2)`，计算向量`3a`的结果。
答案：向量`3a`的结果是`(3.6)`。
3.应用题1.一辆汽车以60km/h的速度行驶了2小时，求汽车行驶的位移向量。
答案：汽车行驶的位移向量是`(120.0)`。
2.已知一个力的大小为10N，方向为东北方，求该力的向量表示。
答案：该力的向量表示为`(5√2.5√2)`。
3.一个力的向量表示为`(6.-8)`，求该力的大小和方向。
答案：该力的大小为`10`，方向向下。
以上是高中数学必修一中关于向量的经典习题，希望能对你的学习有所帮助。
高中数学平面向量习题五篇
高中数学平面向量习题五篇篇一：高中数学平面向量练习题一．填空题。
1． +++等于________．2．若向量＝（3，2），＝（0，－1），则向量2－的坐标是________． 3．平面上有三个点A （1，3），B （2，2），C （7，x ），若∠ABC ＝90°，则x 的值为________．4.向量a 、b 满足|a|=1,|b|=2,(a+b)⊥(2a-b),则向量a 与b 的夹角为________．5．已知向量＝（1，2），＝（3，1），那么向量2－21的坐标是_________． 6．已知A （－1，2），B （2，4），C （4，－3），D （x ，1），若与共线，则||的值等于________．7．将点A （2，4）按向量＝（－5，－2）平移后，所得到的对应点A ′的坐标是______．8. 已知a=(1,－2),b=(1,x),若a ⊥b,则x 等于______9. 已知向量a,b 的夹角为120，且|a|=2,|b|=5,则（2a-b ）·a=______ 10. 设a=(2,－3),b=(x,2x),且3a ·b=4,则x 等于_____11. 已知y x 且),3,2(),,(),1,6(--===∥，则x+2y 的值为_____ 12. 已知向量a+3b,a-4b 分别与7a-5b,7a-2b 垂直，且|a|≠0,|b|≠0，则a 与b 的夹角为____13． 在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则()OA OB OC +的最小值是 .14．将圆222=+y x 按向量v=（2，1）平移后，与直线0=++λy x 相切，则λ的值为 .二．解答题。
1．设平面三点A （1，0），B （0，1），C （2，5）．（1）试求向量2＋的模； （2）试求向量与的夹角； （3）试求与垂直的单位向量的坐标．2.已知向量a=(θθcos ,sin )（R ∈θ）,b=(3,3)（1）当θ为何值时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底 （2）求|a －b|的取值范围3．已知向量a、b是两个非零向量，当a+tb(t∈R)的模取最小值时，（1）求t的值（2）已知a、b共线同向时，求证b与a+tb垂直4. 设向量)2,11,3(-=，向量垂直于向量，向量平行于，=(),试求OD=时+的坐标.OAOCOD,5.将函数y=－x 2进行平移，使得到的图形与函数y=x 2－x －2的图象的两个交点关于原点对称.(如图)求平移向量a 及平移后的函数解析式.6.已知平面向量).23,21(),1,3(=-=若存在不同时为零的实数k 和t,使.,,)3(2t k t ⊥+-=-+=且 （1）试求函数关系式k=f （t ） （2）求使f （t ）>0的t 的取值范围.参考答案1.2.（－3，－4）3.74.90°（21，321）．6.73．7.（－3，2）． 8.－2 9.1210.3111.0 12. 90° 13.2-14.51--或（1）∵ AB ＝（0－1，1－0）＝（－1，1），＝（2－1，5－0）＝（1，5）． ∴ 2＋＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）． ∴ |2AB ＋|＝227)1(+-＝50．（2）∵ ||＝221)1(+-＝2．||＝2251+＝26，·AC ＝（－1）×1＋1×5＝4．∴ cos＝||||AC AB ⋅＝2624⋅＝13132．（3）设所求向量为m ＝（x ，y ），则x 2＋y 2＝1． ①又 ＝（2－0，5－1）＝（2，4），由⊥，得2 x ＋4 y ＝0． ②由①、②，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==．55552y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==．－55552y x ∴ （552，－55）或（－552，55）即为所求．13．【解】（1）要使向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底，则向量a 、b 共线∴33tan 0cos 3sin 3=⇒=-θθθ故)(6Z k k ∈+=ππθ，即当)(6Z k k ∈+=ππθ时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底（2）)cos 3sin 3(213)3(cos )3(sin ||22θθθθ+-=-+-=-b a 而32cos 3sin 332≤+≤-θθ ∴ 132||132+≤-≤-b a14．【解】（1）由2222||2||)(a bt a t b tb a +⋅+=+当的夹角）与是b a b a b b a t αα(cos ||||||222-=⋅-=时a+tb(t ∈R)的模取最小值（2）当a 、b 共线同向时，则0=α，此时||||b a t -=∴0||||||||||||)(2=-=-⋅=+⋅=+⋅b a a b b a a b tb a b tb a b ∴b ⊥(a+tb)18．解：设020),,(=-=⋅∴⊥=x y OB OC OB OC y x OC ①又0)1()2(3)2,1(,//=+---+=x y y x 即：73=-x y ②联立①、②得⎩⎨⎧==7,14y x ………10分 )6,11(),7,14(=-==∴OA OC OD OC 于是.19．解法一：设平移公式为⎩⎨⎧-'=-'=k y y hx x 代入2x y -=，得到k h hx x y h x k y +-+-=-'-=-'2222.)(即，把它与22--=x x y 联立，得⎪⎩⎪⎨⎧--=+-+-=22222x x y k h hx x y设图形的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2）， 由已知它们关于原点对称，即有：⎩⎨⎧-=-=2121y y x x 由方程组消去y 得：02)21(222=++-+-k h x h x .由.2102212121-==++=+h x x h x x 得且又将（11,y x ），),(22y x 分别代入①②两式并相加，得：.22221222121-+--++-=+k h x hx x x y y241)())((0211212-+-+-+-=∴k x x x x x x . 解得)49,21(.49-==a k . 平移公式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-'=+'=4921y y x x 代入2x y -=得：22+--=x x y . 解法二：由题意和平移后的图形与22--=x x y 交点关于原点对称，可知该图形上所有点都可以找到关于原点的对称点在另一图形上，因此只要找到特征点即可.22--=x x y 的顶点为)49,21(-，它关于原点的对称点为（49,21-），即是新图形的顶点.由于新图形由2x y -=平移得到，所以平移向量为49049,21021=-=-=--=k h 以下同解法一.20．解：（1）.0)(])3[(.0,2=+-⋅-+=⋅∴⊥t k t 即 ).3(41,0)3(4,1,4,02222-==-+-∴===⋅t t k t t k 即（2）由f(t)>0,得.303,0)3()3(,0)3(412><<-->+>-t t t t t t t 或则即篇二：高中数学平面向量习题及答案第二章 平面向量 一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．与共线 B ．与共线 C ．与相等 D ．与相等2．下列命题正确的是( )． A ．向量与是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝bC ．若＝，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C 满足，其中R 1，则点C 的轨迹方程为( )．A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝04．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b)⊥a ，(b －2a)⊥b ，则a 与b 的夹角是( )．A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C)，则＝( )．(第1题)A ．λ(＋)，λ∈(0，1)B ．λ(＋)，λ∈(0，22) C ．λ(－)，λ∈(0，1)D ．λ(－BC )，λ∈(0，22)6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则＝( )． A ．＋ B ．－ C ．＋D ．＋7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b|＝4，(a ＋2b)·(a －3b)＝－72，则向量a 的模为( )． A ．2B ．4C ．6D ．128．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA ·OB ＝OB ·OC ＝OC ·OA ，则点O 是△ABC 的( )． A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点9．在四边形ABCD 中，＝a ＋2b ，＝－4a －b ，C ＝－5a －3b ，其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 为( )． A ．平行四边形B ．矩形C ．梯形D ．菱形10．如图，梯形ABCD 中，|AD |＝|BC |，EF ∥AB ∥CD 则相等向量是( )． A ．AD 与BC B ．OA 与OB C ．AC 与BD D ．EO 与OF二、填空题11．已知向量OA ＝(k ，12)，OB ＝(4，5)，OC ＝(－k ，10)，且A ，B ，C 三点(第10题)共线，则k＝．12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x＝．13．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，||＝4，||＝5，则AB·BC ＋BC·CA＋CA·AB的值等于．14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋mb)⊥(a－b)，则实数m等于．15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O是△ABC的．16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c, OD＝d，若a ＋c＝b＋d，则四边形ABCD的形状是．三、解答题17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足AP＝AB＋λ(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求DF．(第18题)19．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE(利用向量证明)．20．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b|的最大值．(第19题)参考答案 一、选择题 1．B解析：如图，与，与不平行，与共线反向． 2．A解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对．若＝，可能A ，B ，C ，D 四点共线，故C 不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D 也不对． 3．D解析：提示：设OC ＝(x ，y)，OA ＝(3，1)，OB ＝(－1，3)OA ＝(3)OB ＝(3)OAOB ＝(33)，∴ (x ，y)＝(33)，∴⎩⎨⎧βαβα33＋＝－＝y x1，由此得到答案为D ． 4．B解析：∵(a －2b)⊥a ，(b －2a)⊥b ，∴(a －2b)·a ＝a2－2a ·b ＝0，(b －2a)·b ＝b2－2a ·b ＝0，∴ a2＝b2，即|a|＝|b|．∴|a|2＝2|a||b|cos θ＝2|a|2cos θ．解得cos θ＝21．∴ a 与b 的夹角是3π．(第1题)5．A解析：由平行四边形法则，＋＝，又＋＝，由λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)．6．D解析：如图，∵＝，∴＝＋＝＋．(第6题)7．C解析：由(a＋2b)·(a－3b)＝－72，得a2－a·b－6b2＝－72．而|b|＝4，a·b＝|a||b|cos 60°＝2|a|，∴ |a|2－2|a|－96＝－72，解得|a|＝6．8．D解析：由OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，得OA·OB＝OC·OA,即OA·(OC－OB)＝0，故BC·OA＝0，BC⊥OA，同理可证AC⊥OB，∴ O是△ABC的三条高的交点．9．C解析：∵AD＝＋＋C＝－8a－2b＝2BC，∴∥BC且||≠|BC|．∴四边形ABCD为梯形．10．D解析：AD与BC，AC与BD，OA与OB方向都不相同，不是相等向量．二、填空题11．－32．解析：A ，B ，C 三点共线等价于，BC 共线，AB ＝OB －OA ＝(4，5)－(k ，12)＝(4－k ，－7)，BC ＝OC －OB ＝(－k ，10)－(4，5)＝(－k －4，5)，又 A ，B ，C 三点共线，∴ 5(4－k)＝－7(－k －4)，∴ k ＝－32．12．－1．解析：∵ M(－1，3)，N(1，3)， ∴ MN ＝(2，0)，又a ＝MN ，∴ ⎩⎨⎧0＝4－3－2＝3＋2x x x 解得⎩⎨⎧4＝1＝－1＝－x x x 或 ∴ x ＝－1． 13．－25．解析：思路1：∵ 3＝4，5，∴ △ABC 为直角三角形且∠ABC ＝90°，即⊥，∴·＝0， ∴ ·BC ＋BC ·CA ＋CA · ＝·＋· ＝CA ·(BC ＋) ＝－(CA )2＝－25．思路2：∵3＝4＝5，∴∠ABC ＝90°，∴ cos ∠CAB53，cos ∠BCA＝54．根据数积定义，结合图(右图)知·＝0，BC ·CAcos ∠ACE ＝4×5×(－54)＝－16， CA ·cos ∠BAD ＝3×5×(－53)＝－9．∴ ·＋·＋·＝0―16―9＝－25．14．323．解析：a ＋mb ＝(3＋2m ，4－m)，a －b ＝(1，5)． ∵ (a ＋mb)⊥(a －b)，∴ (a ＋mb)·(a －b)＝(3＋2m)×1＋(4－m)×5＝0 m ＝323．15．答案：重心．解析：如图，以OA ，OC 为邻边作□AOCF 交AC 于点E ，则OF ＝OA ＋OC ，又 OA ＋OC ＝－OB ， ∴ ＝2OE ＝－OB ．O 是△ABC 的重心． 16．答案：平行四边形．(第15题)D(第13题)解析：∵ a ＋c ＝b ＋d ，∴ a －b ＝d －c ，∴BA ＝CD ． ∴ 四边形ABCD 为平行四边形． 三、解答题 17．λ＜－1．解析：设点P 的坐标为(x ，y)，则＝(x ，y)－(2，3)＝(x －2，y －3)．＋λAC ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)＝(3，１)＋λ(5，7) ＝(3＋5λ，１＋7λ)． ∵ AP ＝＋λAC ，∴ (x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)．∴ ⎩⎨⎧+=-+=-λλ713532y x 即⎩⎨⎧+=+=λλ7455y x要使点P 在第三象限内，只需⎩⎨⎧<+<+074055λλ 解得 λ＜－1．18．＝(47，2)．解析：∵ A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，＝(－4，－3)，＝(－3，－5)．又 D 是BC 的中点，∴ ＝21(＋AC )＝21(－4－3，－3－5) ＝21(－7，－8)＝(－27，－4)．又 M ，N 分别是AB ，AC 的中点，(第18题)∴ F 是AD 的中点，∴ DF ＝－FD ＝－21AD ＝－21(－27，－4)＝(47，2)． 19．证明：设＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋21b ，ED ＝b －21a ． ∴ AF ·ED ＝(a ＋21b)·(b －21a)＝21b2－21a2＋43a ·b ．又AB ⊥，且，∴ a2＝b2，a ·b ＝0．∴ AF ·ED ＝0，∴AF ⊥ED ．本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．20．分析：思路1：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴ |2a －b|2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋4sin θ－43cos θ．又4sin θ－43cos θ＝8(sin θcos 3π－cos θsin 3π)＝8sin(θ－3π)，最大值为8，∴ |2a －b|2的最大值为16，∴|2a －b|的最大值为4．思路2：将向量2a ，b 平移，使它们的起点与原点重合，则|2a －b|表示2a ，b 终点间的距离．|2a|＝2，所以2a 的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P ，b 的终点是该圆上的一个定点Q ，由圆的知识可知，|PQ|的最大值为直径的长为4．(第19题)篇三：平面向量练习题精心汇编选择题:1．已知平行四边形ABCD ，O 是平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，=，=，=，则向量等于 （ ）A ．++B ．+-C ．-+D ．--2．已知向量a 与b 的夹角为120o，3,13,a ab =+=则b等于( )（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）13．设a ，b 是两个非零向量．下列正确的是( ) A ．若|a ＋b|＝|a|－|b|，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b|＝|a|－|b|C ．若|a ＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b ＝λ aD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b|＝|a|－|b|高☆考♂资♀源€网 4．已知→a ＝(sin θ，1＋cos θ)，→b ＝(1，1－cos θ)，其中θ∈(π，3π2)，则一定有 （ ）A ．→a ∥→bB ．→a ⊥→bC ．→a 与→b 夹角为45°D ．|→a |＝|→b | 5．已知向量a →＝(6，－4)，b →＝(0，2),c →＝a →＋λb →，若C 点在函数y ＝sin π12x 的图象上,实数λ＝（ ） A ．52 B ．32C ．－52D ．－326. 已知∈Z k ，(,1),(2,4)==AB k AC ，若≤10AB ABC 是直角三角形的概率为（ ）A ．17B ．27C ．37D ．477.将π2cos 36x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象按向量π24⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，a 平移，则平移后所得图象的解析式为( )Ａ．π2cos 234x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ Ｂ．π2cos 234x y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ Ｃ．π2cos 2312x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭Ｄ．π2cos 2312x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭8.在ABC ∆中,M 是BC 的中点，AM=1,点P 在AM 上且满足−→−=−→−PM AP 2,则()PA PB PC ⋅+等于( )（A ）49 （B ）43 （C ）43- (D) 49-9.已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（ ） Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD =Ｃ．3AO OD =Ｄ．2AO OD =10.△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB = a , CA = b ,a= 1 ,b= 2, 则CD =（ ）（A ）13a + 23b （B ）23a +13b （C ）35a +45b （D ）45a +35b11．已知||2||0a b =≠,且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅=有实根,则a 与b 的夹角的取值范围是 ( )A.[0,6π]B.[,]3ππC.2[,]33ππD.[,]6ππ12. 设非零向量a =)2,(x x ,)2,3(x b -=,且b a ,的夹角为钝角，则x 的取值范围是（ ）（A ）)(0,∞- （B ）) ⎝⎛0,34 （C ）)(0,∞- ) ⎝⎛0,34（D ）⎝⎛⎪⎭⎫-∞-31, ) ⎝⎛-0,31 )⎝⎛∞+,3413.已知点O 、N 、P 在三角形ABC 所在平面内，且==,0=++NC NB NA ,则PB PA ∙=∙=∙则点O 、N 、P 依次是三角形ABC 的( )（A ）重心、外心、垂心 （B ）重心、外心、内心 （C ）外心、重心、垂心 （D ）外心、重心、内心14.设(,1)A a ，(2,)B b ，(4,5)C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为( )（A ）453a b -= （B ）543a b -= （C ）4514a b += （D ）5414a b += 15.（上海理14）在直角坐标系xOy 中，,i j 分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，2AB i j =+，3AC i k j =+，则k 的可能值有( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个填空题：16．四边形ABCD 中，()()()1,2,4,1,5,3AB BC CD ==--=--则四边形ABCD 的形状是17.已知,a b 是两个非零向量，且a b a b ==-，则与a a b +的夹角为____ 18.已知OFQ ∆的面积为S ，且1=⋅−→−−→−FQ OF ，若2321<<S ，则−→−−→−FQ OF ,夹角θ的取值范围是_________19.若O 是ABC 所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA-=+-，则ABC的形状为_ ___20若D 为ABC ∆的边BC 的中点，ABC ∆所在平面内有一点P ，满足0P A B P C P ++=，设||||AP PD λ=，则λ的值为__21下列命题中：① →→→→→→→⋅-⋅=-⋅c a b a c b a )(；② →→→→→→⋅⋅=⋅⋅c b a c b a )()(；③2()a b →→-2||a →=22||||||a b b →→→-⋅+；④ 若0=⋅→→b a ，则0=→a 或0=→b ；⑤若,a bc b ⋅=⋅则a c =；⑥22a a=；⑦2a bba a⋅=；⑧222()a b a b ⋅=⋅；⑨222()2a b a a b b -=-⋅+。
高中数学必修二平面向量练习题
高中数学必修二平面向量练习题1. 已知向量 a = 3i - 4j + 2k 和向量 b = i + 2j - 3k，求向量 a - b 的模长。
2. 若向量 a = 2i - 3j + 5k 和向量 b = 3i - 4j + 2k，求向量 a · b 的结果。
3. 已知向量 a = 2i - 3j + k 和向量 b = -i + 4j - 2k，求向量 a × b 的结果。
4. 已知向量 a = 3i - 2j + 5k 和向量 b = 2i + j - k，求向量 a 在向量 b 上的投影。
5. 若向量 a = 3i - 2j + k 和向量 b = 2i + j - 2k，求向量 a 与向量b 的夹角的余弦值。
6. 设直线 l 的对称式为 x - y = 1，点 A(2, 3) 在直线 l 上，求点A 关于直线 l 的对称点坐标。
7. 已知平面上点 A(1, 2, -3) 和点 B(2, -1, 4)，求向量 AB 的模长。
8. 若向量 a = 2i - 3j + 4k 和向量 b = -i + 4j - 2k，求向量 a + b 的结果。
9. 已知向量 a = 3i - j + 4k 和向量 b = -2i + 5j - 3k，求向量 a × b的结果。
10. 设平面 P 的法向量为 n = i + 2j - 3k，平面 P 上一点为 A(1, 2, -3)，求平面 P 的方程。
以上是高中数学必修二平面向量的练题，希望能帮助你巩固和练相关知识。
如需解答，请参考下面的答案。
1. 向量 a - b = (3 - 1)i + (-4 - 2)j + (2 + 3)k = 2i - 6j + 5k模长 |a - b| = √(2^2 + (-6)^2 + 5^2) = √652. 向量 a · b = (2)(3) + (-3)(-4) + (5)(2) = 6 + 12 + 10 = 283. 向量 a × b = (2)(4)i + (-3)(-1)j + (1)(-i + 4j) = 8i + 3j + 4k4. 向量 a 在向量 b 上的投影为：(向量 a ·向量 b 单位向量)b向量 a ·向量 b = (3)(2) + (-2)(1) + (5)(-1) = 6 - 2 - 5 = -1向量 b 的模长 |b| = √(2^2 + 1^2 + (-1)^2) = √6向量 b 的单位向量为：(1/√6)(2i + j - k)投影向量 = (-1)(1/√6)(2i + j - k) = (-1/√6)(2i + j - k)5. 两个向量的夹角的余弦值公式为：cosθ = (向量 a ·向量 b) / (|a| |b|)|a| = √(3^2 + (-2)^2 + 1^2) = √14|b| = √(2^2 + 1^2 + (-2)^2) = √9 = 3向量 a ·向量 b = (3)(2) + (-2)(1) + (1)(-2) = 6 - 2 - 2 = 2cosθ = 2 / (√14 * 3)6. 直线的对称式为 x - y = 1，斜率为1，由直线的对称性，对称点的坐标为：(2 + 2, 3 + 1) = (4, 4)7. 向量 AB = (2 - 1)i + (-1 - 2)j + (4 - (-3))k = i - 3j + 7k模长|AB| = √(1^2 + (-3)^2 + 7^2) = √598. 向量 a + b = (2 + (-1))i + (-3 + 4)j + (4 + (-2))k = i + j + 2k9. 向量 a × b = (3)(5)i + (-1)(-2)j + (4)(-2)k = 15i + 2j - 8k10. 平面 P 的方程为 A·n + d = 0，其中 A 为平面上一点的坐标，n 为法向量，d 为常数项A·n = (1)(1) + (2)(2) + (-3)(-3) = 1 + 4 + 9 = 14平面 P 的方程为 x + 2y - 3z + d = 0，代入点 A 的坐标可得 d = -14所以平面 P 的方程为 x + 2y - 3z - 14 = 0希望以上练习题和解答能为你提供帮助，并使你对高中数学必修二平面向量的相关概念和计算方法更加理解。
高中数学向量等系数和线专题(等和线)习题含答案(图片版)
一、向量等和线原理 向量等系数和线——等和线定理是专门解决有关基向量中系数之和的秒杀工具，对于系
数之和以及系数类有关问题，均可以尝试使用向量等系数和线原理。
三点共线原理： A, B,C三点共线 OC xOA yOB, x y 1
向量等和线原理：三点共线+平行线移动（三角形相似）
例 4.两个不共线向量 OA,OB 的夹角为 , M , N 分别为 OA 与 OB 的中点，点 C 在直线 MN
上，且 OC OA OB( , R) ，则 2 2 的最小值为
例 5.在边长为 2 的正六边形 ABCDEF 中，动圆 O 的半径为 1，圆心在线段 CD （含端点）
上运动， P 是圆 Q 上及其内部的动点，设向量 AP m AB n AF (m,n R) ，则 m n 的
取值范围是 三、小试牛刀
1. M , N 分别在 ABC 的边 AB, AC 上，且 AM 1 , AN 1 ，BN 与 CM 交于点 P ，设 AB 3 AC 4
AB a, AC b ，若 AP a b( , R) ，则 的值为
4
6.
11
3
5
ห้องสมุดไป่ตู้
3
2.如 图 ， AB 是 圆 O 的 直 径 ， C, D 是 圆 O 上 的 点 ，
CBA 600,ABD 450,CD OA BC ,则 的值为
3.如图，把两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若 AD AB AC ，则
AP AB AD ，则 的最大值为
.
高三数学解析几何与向量练习题及答案
高三数学解析几何与向量练习题及答案解析几何与向量是高中数学中的重要内容。
通过解析几何与向量的学习，我们可以更加深入地理解几何图形的性质和运动规律，同时也可以应用向量的知识解决实际问题。
为了帮助高三学生巩固解析几何与向量的知识，以下是一些练习题及其答案供大家参考。
练习题1：已知平面α：2x - 3y + z - 4 = 0，点A(1, -2, 3)和点B(4, 1, 2)。
求点A关于平面α的对称点A'的坐标。
解析：首先，我们知道一个点关于平面的对称点，其坐标的x、y、z均不变，只是取相反数。
所以对于点A(x, y, z)，其关于平面α的对称点A'的坐标为A'(-x, -y, -z)。
所以，点A关于平面α的对称点A'的坐标为A'(-1, 2, -3)。
练习题2：已知直线l过点A(1, -2, 3)和点B(4, 1, 2)，平面α经过点C(3, 5, 6)且垂直于直线l。
求平面α的方程。
解析：首先，我们知道平面α垂直于直线l，所以平面α的法向量与直线l 的方向向量垂直。
直线l的方向向量可以通过点A和点B的坐标差求得：l的方向向量d = (4-1, 1-(-2), 2-3) = (3, 3, -1)。
由于平面α过点C(3, 5, 6)，所以平面α上任意一点P(x, y, z)到点C(3, 5, 6)的向量PC与平面α的法向量垂直，即它们的点积为0。
根据点积的定义，可以得到平面α的方程为：(3, 3, -1)·(x-3, y-5, z-6) = 0。
化简得：3(x-3) + 3(y-5) - 1(z-6) = 0。
展开得：3x - 9 + 3y - 15 - z + 6 = 0。
合并同类项得：3x + 3y - z - 18 = 0。
所以，平面α的方程为：3x + 3y - z - 18 = 0。
练习题3：已知向量a = 2i + 3j + k，向量b = i + 2j - 2k，向量c = -3i + j + 4k。
平面向量的运算习题 高中数学例题课后习题详解
6.2平面向量的运算习题6.2复习巩固1.如果a 表示“向东走10km ”，b 表示“向西走5km ”，c 表示“向北走10km ”，d表示“向南走5km ”，那么下列向量具有什么意义？（1）a a +；（2）a b + ；（3）a c + ；（4）b d + ；（5）b c b ++ ；（6）d a d ++ .【答案】（1）向东走20km ；（2）向东走5km ；（3）向东北走；（4）向西南走；（5）向西北走；（6）向东南走.【解析】【分析】由向量加法及其几何意义和位移的关系可得.【详解】由题意知：a 表示“向东走10km ”，b表示“向西走5km ”，c 表示“向北走10km ”，d表示“向南走5km ”（1）a a +r r表示“向东走20km ”（2）a b +表示“向东走5km ”（3）a c +表示“向东北走”（4）b d +r u r表示“向西南走”（5）b c b ++表示“向西北走”（6）d a d ++表示“向东南走”【点睛】本题考查向量加法及其几何意义，属于基础题.2.一架飞机向北飞行300km ，然后改变方向向西飞行400km ，求飞机飞行的路程及两次位移的合成.【答案】飞机飞行的路程为700km ；两次位移的合成是向北偏西约53°方向飞行500km .【解析】【分析】由向量的加减运算，即可得出结论.【详解】由向量的加减运算可知：飞机飞行的路程是700km ；两次位移的合成是向北偏西约53°，方向飞行500km .【点睛】本题考查向量的加法及其几何意义，考查学生的计算能力，区分路程、位移是关键.3.一艘船垂直于对岸航行，航行速度的大小为16/km h ，同时河水流速的大小为4/km h 求船实际航行的速度的大小与方向（精确到l °）.【答案】，方向与水流方向成76°角【解析】【分析】利用向量的加法运算，模的运算，勾股定理，即可得出结论.【详解】设船的航行速度为1v ，水流速度为2v ，船的实际航行速度为v ，v 与2v 的夹角为α，则||416//)v km km h ===由16tan 44α==，得76α︒≈.船实际航行的速度的大小为，方向与水流方向成76°角.【点睛】本题以实际问题为载体，考查向量的加法运算，考查三角函数知识，属于基础题.4.化简：（1）AB BC CA ++ ；（2） ()AB MB BO OM +++；（3）OA OC BO CO +++ ；（4）AB AC BD CD -+- ；（5）OA OD AD -+ ；（6）AB AD DC -- ；（7）NQ QP MN MP ++-.【答案】（1）0 .（2）AB （3）BA .（4）0 （5）0 （6）CB .（7）0【解析】【分析】根据平面向量的加法与减法的运算法则，对每一个小题进行化简计算即可.【详解】解：（1）原式0AC AC =-=.（2）原式AB BO OM MB AB =+++=（3）原式OA OC OB OC BA =+--=.（4）原式0AB BD DC CA =+++= （5）原式0OA AD DO =++=（6）原式()AB AD DC AB AC CB =-+=-=.（7）原式0MN NQ QP PM =+++=【点睛】本题考查了平面向量的加法与减法的运算问题，属于基础题.5.作图验证：（1）11()()22a b a b a++-= （2）11()()22a b a b b+--=【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】根据向量的平行四边形法则，画图验证即可.【详解】解：如图，在平行四边形ABCD 中，设,AB a AD b ==，则11(),()22AO a b OB a b =+=- .（1）因为AO OB AB += ，所以11()()22a b a b a++-= （2）因为AO OB AO BO AO OD AD -=+=+=，所以11()()22a b a b b+--= 【点睛】本题考查向量的平行四边形法则，属于基础题.6.（1）已知向量a ,b ,求作向量c ，使0a b c ++= .（2）（1）中表示a ,b ,c的有向线段能构成三角形吗？【答案】（1）见解析.（2）当a ，b 共线时，不能构成三角形，当a ，b不共线时能构成三角形.【解析】【分析】作平行四边形OADB ，使得OA a = ，OB b = ，可得a b OD +=，由于0a b c ++= ，可得OD c OC =-=- ，或作ABC ∆，使得AB a = ，BC b = ，CA c =，即可得出.【详解】（1）方法一：如图所示，当向量a ,b两个不共线时，作平行四边形OADB ，使得OA a = ，OB b = ，则a b OD += ，又0a b c ++= ，所以0OD c += ，即OD c OC =-=- ，方法二：利用向量的三角形法则，如下图：作ABC ∆，使得AB a = ，BC b = ，CA c =，则0AB BC CA ++=，即0a b c ++= ，当向量a ,b两个共线时，如下图：使得AB a = ，BC b = ，DE c= 则AB BC a b +=+ ，()DE a b =-+，所以，0AB BC DE ++= ，即0a b c ++=.（2）向量a ,b 两个不共线时，表示a ,b ,c的有向线段能构成三角形，向量a ,b 两个共线时，a ,b ,c的有向线段不能构成三角形.【点睛】本题考查了向量的三角形法则，平行四边形法则、分类讨论方法，考查了作图能力，属于基础题.7.已知a ，b为两个非零向量，（1）求作向量,a b a b +-；（2）当向量a ，b成什么位置关系时，满足a b a b +=- ？（不要求证明）【答案】（1）见解析.（2）a b⊥r r【解析】【分析】根据向量的三角形法则，作出图象即可.【详解】（1）当向量a ,b两个不共线时，作ABC ∆，使得AB a = ，BC b = ，AC c = ，DB d = ，所以a b AC c +== ，a b DB d-==当向量a ,b两个同向且共线时，作AB a = ，BC b = ，AC c = ，所以a b AC c +== ，a b AD d-== 当向量a ,b两个反向且共线时，作AB a = ，BC b = ，AC c = ，所以a b AC c +== ，a b AD d -== ，（2）当a b ⊥时，满足a b a b +=- ，如图，作矩形ABCD ，作AB a = ，AD b = ，所以，AC a b =+ ，DB a b =-.【点睛】本题考查了平面向量的知识，考查了学生的动手能力，解题的关键是掌握三角形法则的应用，掌握数形结合思想的应用，属于基础题.8.化简：（1）()()522423a b b a -+-；（2）()()634a b c a b c -+--+-；（3）()()113256923a b a a b ⎡⎤-+--⎢⎥⎣⎦；（4）()()()()x y a b x y a b -+--- .【答案】（1）22a b -- ；（2）102210a b c -+；（3）132a b + ；（4）2()x y b- 【解析】【分析】根据平面向量的线性运算法则，对每一个小题进行计算即可．【详解】（1）()()522423101081222a b b a a b b a a b -+-=-+-=--.（2）()()6346186444102210a b c a b c a b c a b c a b c -+--+-=-++-+=-+ .（3）()()()()1115113256932693232262a b a a b a b a a b a b ⎡⎤-+--=-+--=+⎢⎥⎣⎦.（4）()()()()()()()2x y a b x y a b x y x y a x y x y b x y b -+---=--++-+-=-.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算的应用问题，属于基础题．9.11,33AM AB AN AC == .求证13MN BC =.【答案】见解析【解析】【分析】直接由已知结合向量减法的三角形法则可得13MN BC =.【详解】证明：因为MN AN AM =-，而11,33AN AC AM AB == ，所以1111()3333MN AC AB AC AB BC =-=-= .【点睛】本题考查共线向量基本定理，考查了向量减法的三角形法则，属于基础题.10.填空：（1）若a ,b满足2,3a b == ,则a b + 的最大值为____________，最小值为____________；（2）当非零向量a ,b 满足_____________时，a b +平分a 与b 的夹角.【答案】①.5②.1③.a b= 【解析】【分析】利用a b a b a b -≤+≤+即可得到结论.【详解】（1）235a b a b +≤+=+= ，当且仅当a ，b同向时取等号，max5a b∴+= 又231a b a b +≥-=-= ，当且仅当a ，b反向时取等号，min1a b∴+= .（2）当a b =r r 时，a b + 为以a ,b 为邻边的平行四边形的对角线，此时的平行四边形为菱形，对角线恰好平分a 与b的夹角.答案：（1）5，1;（2）a b=r r【点睛】本题考查向量的数量积的运算及计算公式，属于基础题.11.（1）已知3,4a b == ,且a 与b 的夹角150θ︒=，求()2,a b a b a b ⋅++ ，；（2）已知2,5a b == ,且3a b ⋅=- ,求,a b a b +-.【答案】（1）-；25-2【解析】【分析】（1）根据向量的数量积公式和向量的模即可求出；（2）根据向量的数量积公式和向量的模即可求出.【详解】解：（1）cos150342a b a b ︒⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭；222222a b a a b b a b +=+⋅+=+-223425=+-=-a b +==（2）||a b +=====||a b -=====【点睛】本题考查了向量的模和向量的数量积，考查了运算能力，属于基础题.12.求证：()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅.【答案】见解析【解析】【分析】分0λ=，0λ>，0λ<讨论即可得到结论.【详解】证明：（1）设a ，b的夹角为θ，当0λ=时，0,0,a b λλ== ()00a b b λ⋅=⋅= .()0()0,()00a b a b a b a λλ⋅=⋅⋅=⋅=⋅= ()()()a b a b a b λλλ∴⋅=⋅=⋅成立.（2）当0λ>时，a λ 与a 同向，b λ 与b 同向，a λ 与b 的夹角为θ，a与b λ 的夹角为θ.()cos ||||cos a b a b a b λλθλθ⋅==，()cos ,()cos cos a b a b a b a b a b λλθλλθλθ⋅=⋅==，()()()a b a b a b λλλ∴⋅=⋅=⋅成立.（3）当0λ<时，a λ 与a 反向，b λ 与b 反向，a λ 与b 的夹角为πθ-，a与b λ 的夹角为πθ-.()cos()(cos )cos a b a b a b a b λλπθλθλθ⋅=-=--=,()cos a b a b λλθ⋅=,()cos()(cos )cos a b a b a b a b λπθλθλθ⋅=-=--=,()()()a b a b a b λλλ∴⋅=⋅=⋅成立.综上可知，原等式成立.【点睛】本题考查向量的数乘运算及运算律，属于基础题.综合运用13.根据下列各小题中的条件，分别判断四边形ABCD 的形状，并给出证明：（1）AD BC = ；（2）13AD BC = ；（3）AB DC =，且AB AD = .【答案】（1）平行四边形.见解析（2）梯形，见解析（3）菱形，见解析【解析】【分析】（1）由AD BC =，可得//AD BC ，AD BC =，即可判断出四边形的形状；（2）由13AD BC =，可得//AD BC ，AD BC ≠，即可判断出四边形的形状；（3）由AB DC =，且||||AB AD = ，可得四边形ABCD 是有一组邻边相等的平行四边形，即可判断出四边形的形状.【详解】解：（1）四边形ABCD 是平行四边形，证明如下：,//AD BC AD BC =∴ 且||||AD BC = .//AD BC ∴且AD BC =，∴四边形ABCD 是平行四边形.（2）四边形ABCD 是梯形，证明如下：1,//,//3AD BC AD BC AD BC =∴∴.又1||||3AD BC = ，13AD BC ∴=，即AD BC ≠，∴四边形ABCD 是梯形.（3）四边形ABCD 是菱形，证明如下：,//AB DC AB DC =∴ 且||||AB DC = .//AB DC ∴且AB DC =，∴四边形ABCD 是平行四边形.又||||,AB AD AB AD =∴=，∴四边形ABCD 是菱形.【点睛】本题考查了向量相等的意义、特殊四边形的判定，考查了推理能力，属于基础题.14.在ABC ∆中，1,//4AD AB DE BC = ，且与边AC 相交于点E ，ABC ∆的中线AM 与DE 相交于点N .设,AB a AC b == ，用a ，b分别表示向量,,,,,,AE BC DE DB EC DN AN .【答案】()11,,44AE b BC b a DE b a ==-=- ，()331,,448DB a EC b DN b a ===- ()18AN a b =+ .【解析】【分析】直接利用向量共线即可得到结论.【详解】如图()11,,44AE b BC b a DE b a ==-=-，()331,,448DB a EC b DN b a===-()1148AN AM a b ==+ .【点睛】本题考查向量共线的表示，属于基础题.15.如图，在任意四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点．求证：AB +DC =2EF．【答案】证明详见解析．【解析】【详解】根据平面向量的加法意义，得EF EA AB BF =++ ，EF ED DC CF =++，又∵E ，F 分别为AD ，BC 中点，∴EA ED+=0，BF CF +=0；∴2EF =（EA +AB +BF ）+（ED +DC +CF）=（EA +ED ）+（AB +DC ）+（BF +CF）=AB +DC ，即2EF AB DC =+．16.飞机从甲地沿北偏西15°的方向飞行1400km 到达乙地，再从乙地沿南偏东75°的方向飞行1400km 到达丙地，画出飞机飞行的位移示意图，并说明丙地在甲地的什么方向？丙地距甲地多远？【答案】图见解析，北偏东45°方向，距甲地1400km .【解析】【分析】作出方位示意图，构造等腰三角形，解这个三角形即可得出答案【详解】如图，丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400km .设甲地为A ，乙地为B ，丙地为C ，作出示意图，则1400AB BC km ==，15NAB SBA ︒∠=∠=，75SBC ︒∠=，60ABC SBC SBA ︒∴∠=∠-∠=，ABC ∆∴是等边三角形，60BAC ︒∴∠=，1400AC km =，45NAC BAC BAN ︒∴∠=∠-∠=，即丙地在甲地北偏东45︒，丙地距甲地1400km .【点睛】本题考查了解三角形的实际应用，画出草图是关键，属于基础题.17.（1）如图（1），在ABC 中，计算AB BC CA ++；（2）如图（2），在四边形ABCD 中，计算AB BC CD DA +++ ；（3）如图（3），在n 边形123n A A A A 中，12233411?n n n A A A A A A A A A A -+++++= 证明你的结论.【答案】（1）0 （2）0 （3）0，见解析【解析】【分析】根据向量的加法法则直接对各式计算即可.【详解】解：（1）0AB BC CA AC CA AC AC ++=+=-= （2）0AB BC CD DA AC CD DA AD DA AD AD +++=++=+=-=.（3）122334n 110n n A A A A A A A A A A -+++++= .证明如下：12233411n n n A A A A A A A A A A -+++++ 133411n n n A A A A A A A A -=++++ 1411n n n A A A A A A -=+++ L11110n n n n A A A A A A A A =+=-= 【点睛】本题考查向量加法的运算法则，属于基础题.18.已知4,3,(23)(2)61a b a b a b ==-⋅+= ，求a 与b的夹角θ.【答案】120 【解析】【分析】根据4,3,(23)(2)61a b a b a b ==-⋅+= 可求出a b ⋅ ，再根据cos a b a b θ⋅=求夹角，即可得出结果.【详解】因为4,3,(23)(2)61a b a b a b ==-⋅+= ，所以2244361a a b b -⋅-=，即6442761a b -⋅-= ，所以6a b ⋅=-，因此1cos 2a b a b θ⋅==- ，所以a 与b的夹角θ为120 .【点睛】本题主要考查求向量的夹角，熟记向量的夹角公式，以及向量数量积的运算法则即可，属于常考题型.19.已知8,10a b == .且16a b += .求a 与b 的夹角θ（精确到1°）.（可用计算工具）【答案】55︒【解析】【分析】先利用模的运算得a b ⋅，再利用向量夹角公式即可得到结论.【详解】16a b +=2222222821016,a b a a b b a b ∴+=+⋅+=+⋅+= 46a b ∴⋅=4623cos 81040a b a b θ⋅∴===⨯ ，用计算器算得55θ︒≈.【点睛】本题考查了向量的模，向量夹角公式，属于基础题.20.已知a 是非零向量，b c ≠ ，求证：()a b a c a b c ⋅=⋅⇔⊥-【答案】见解析【解析】【分析】从向量数量积相等入手，移项变形，得到数量积为0即可.【详解】证法1：0()0()a b a c a b a c a b c a b c ⋅=⋅⇔⋅-⋅=⇔⋅-=⇔⊥-证法2：设()()()112233,,,,,a x y b x y c x y ===.先证()a b a c a b c ⋅=⋅⇔⊥- 12121313,a b x x y y a c x x y y ⋅=+⋅=+.由a b a c ⋅=⋅得12121313x x y y x x y y +=+.即()()1231230x x x y y y -+-=而()2323,b c x x y y -=-- ，所以()0⋅-= a b c 再证()a b c a b a c⊥-⇒⋅=⋅ 由()0⋅-=a b c 得()()1231230x x x y y y -+-=.即12121313x x y y x x y y +=+，因此a b a c ⋅=⋅.【点睛】本题考查了向量的数量积为0的运算，属于基础题.拓广探索21.已知ABC 的外接圆圆心为O ,且2,AO AB AC OA AB =+= ,则向量BA 在向量BC上的投影向量为（）A.14BCB.34BC C.14BC-D.34BC-【答案】A【解析】【分析】利用向量的运算法则将已知等式化简得到OA OB OC ==，进而得到ABO ∆为正三角形，从而得到结论.【详解】如图，由2AO AB AC =+知O 为BC 的中点，又∵O 为ABC ∆的外接圆圆心，OA OB OC∴==又||||OA AB = AB OB OA OC∴===ABO ∴∆为正三角形，60ABO ︒∠=，BA ∴ 在BC 上的投影向量为1124BO BC =.故选：A.【点睛】本题考查平面向量数量积的含义，解题的关键是熟练掌握向量的运算法则，本题是基本知识与技能考查题，主要考查了向量运算能力，属于基础题.22.如图，O 是平行四边形ABCD 外一点，用,,OA OB OC 表示OD.【答案】OD OA OB OC =-+【解析】【分析】由OD OA AD =+ ，AD BC = ，BC OC OB =-，即可得到结论.【详解】OD OA AD OA BC OA OC OB OA OB OC =+=+=+-=-+.【点睛】本题考查向量加法，向量减法，属于基础题.23.已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量,,,OA OB OC OD满足等式OA OC OB OD +=+ .（1）作出满足条件的四边形ABCD .（2）四边形ABCD 有什么特点？请证明你的猜想.【答案】（1）见解析（2）平行四边形.见解析【解析】【分析】（1）直接作图即可；（2）结论：四边形ABCD 为平行四边形；将表达式OA OC OB OD +=+变形，利用向量减法运算法则即可得到结论.【详解】（1）作图，通过作图可以发现四边形ABCD 为平行四边形.（2）四边形ABCD 为平行四边形，证明如下：因为OA OC OB OD +=+ ，所以OA OB OD OC -=-，因为,OA OB BA OD OC CD -=-= .所以BA CD =，即//AB CD ，因此四边形ABCD 为平行四边形.【点睛】本题考查向量减法的运算法则，对表达式的灵活变形是解题的关键，属于基础题.24.如图，在C 中，是不是只需知道C 的半径或弦AB 的长度，就可以求出AB AC ⋅的值？【答案】只与弦AB 的长度有关，与半径无关【解析】【分析】由题意，设C 的半径为r ，AB 的长度为2a ，取AB 的中点D ，连接CD ，根据向量的数量积公式即可求出.【详解】只与弦AB 的长度有关，与半径无关.理由如下：设C 的半径为r ，AB 的长度为2a ，取AB 的中点D ，连接CD ，则CD AB ⊥.在Rt ACD △中，,,cos a AD a AC r CAD r==∠=，22cos 22aAB AC a r CAD ar a r ∴⋅=⋅⋅∠=⋅= .【点睛】本题主要考查了向量的运算，以及三角函数中，角与边的关系，属于基础题.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
向量一、选择题1．(2013·湖北武汉)下列各组向量中，不平行的是( D )A ．a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4)B ．a ＝(1,0,0)，b ＝(－3,0,0)C ．a ＝(2,3,0)，b ＝(0,0,0)D ．a ＝(－2,3,5)，b ＝(16，－24,40)2．若平面α与平面β的法向量分别为a ＝(4,0，－2)，b ＝(1,0,2)，则平面α与平面β的位置关系是( B ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交不垂直 D ．无法判断3．(2013·平顶山模拟)已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( D )A.627B.637C.607D.6574．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的中点，N 是A 1B 1的中点，则直线NO 、AM 的位置关系是( C )A ．平行B ．相交C ．异面垂直D ．异面不垂直5．(2013·沈阳模拟)在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，若AB ＝2，AA 1＝1，则点A 到平面A 1BC 的距离为( B ) A.34B.32 C.334D. 3 1．(2013·甘肃兰州)若平面π1，π2垂直，则下面可以是这两个平面的法向量的是(A ) A ．n 1＝(1,2,1)，n 2＝(－3,1,1) B ．n 1＝(1,1,2)，n 2＝(－2,1,1)C ．n 1＝(1,1,1)，n 2＝(－1,2,1)D ．n ＝(1,2,1)，n 2＝(0，－2，－2) [解析] 两个平面垂直时其法向量也垂直，只有选项A 中的两个向量垂直． 6．(2013·沈阳模拟)如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 的中点，则对角线DB 1与CM 所成角的余弦值为( B ) A.12 B.1515 C.32D ．0 [解析] 如图，建立直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，C (0,1,0)，B 1(1,1,1)，M (1，12，0)．∴DB 1→＝(1,1,1)． CM →＝(1，－12，0)，cos 〈DB 1→，CM →〉＝DB 1→·CM→|DB 1→|·|CM →|＝123·52＝1515. ∴异面直线DB 1与CM 所成角的余弦值为1515. 7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( B) A.12 B.23 C.33 D.22[解析] 以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，设棱长为1，则A 1(0,0,1)，E (1,0，12)，D (0,1,0)， ∴A 1D →＝(0,1，－1)，A 1E →＝(1,0，－12)，设平面A 1ED 的一个法向量为n 1＝(1，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝0，1－12z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，z ＝2.∴n 1＝(1,2,2)．∵平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)，∴cos n 1，n 2＝23×1＝23.即所成的锐二面角的余弦值为23.8.如图，已知在正三棱柱 ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值为( ) A.35 B.45 C.34 D.255[解析] 方法一：⎭⎪⎬⎪⎫B 1D ⊥A 1C 1B 1D ⊥CC 1A 1C 1∩CC 1＝C 1⇒B 1D ⊥面ACC 1A 1⇒面B 1DC ⊥面ACC 1A 1，交线为DC ⇒∠ADC 为AD 与平面B 1CD 所成的角，令AB ＝1，在△ADC 中，由余弦定理得cos ∠ADC ＝522＋522－122×52×52＝35. ∴sin ∠ADC ＝45方法二：设棱长为a ， ∵DA →＝DA 1→＋A 1A →＝－12AC →－AA 1→，DC →＝DC 1→＋C 1C →＝12AC →－AA 1→，DB 1→＝DA 1→＋A 1B 1→＝－12AC →＋AB →，且DB 1→·DA →＝(－12AC →＋AB →)·(－12AC →－AA 1→)＝14|AC →|2－12|AC →||AB →|·cos60° ＝14|AC →|2－14|AC →||AB →|＝14a 2－14a 2＝0. DB 1→·DC →＝(－12AC →＋AB →)·(12AC →－AA 1→)＝－14|AC →|2＋12|AB →|·|AC →|·cos60°＝－14a 2＋14a 2＝0.∴DB 1⊥DA ，DB 1⊥DC ，∴面B 1DC ⊥面AA 1C 1C ，DC 是交线，AD ⊂面AA 1C 1C ∴∠ADC 即为所求．∴cos ∠ADC ＝cos 〈DA →，DC →〉＝DA →·DC→|DA →||DC →|＝－14|AC →|2＋|AA 1→|2a 2＋14a 2·a 2＋14a 2＝－14a 2＋a 254a 2＝34a 254a 2＝35，∴sin ∠ADC ＝45.二、填空题9.已知向量(,1,0),(1,2,3),a x b == 若a b ⊥，则x ＝__-2_____10．如下图所示，在45°的二面角α－l －β的棱上有两点A 、B ，点C 、D 分别在α、β内，且AC ⊥AB ，∠ABD ＝45°，AC ＝BD ＝AB ＝1，则CD 的长度为________．[解析] 由CD →＝CA →＋AB →＋BD →，cos AC →，BD →＝cos45°cos45°＝12，∴|CD →|2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2(CA →·AB →＋AB →·BD →＋CA →·BD →)＝3＋2(0＋1×1×cos135°＋1×1×cos120°)＝2－2，∴|CD →|＝2－ 2.[答案]2－ 2 10．(2013·商丘模拟)设A (1,0,0)，B (1,0,1)，C (0,1,1)，D (1,1,1)，则直线AD 与平面ABC 的夹角为________。
[解析] 设平面ABC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，∵n·AB →＝0，n ·AC →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ，y ，z ·0，0，1＝0x ，y ，z ·－1，1，1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0－x ＋y ＋z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0y ＝x.令x ＝1，则n ＝(1,1,0)，∴cos n ，AD→＝1×0＋1×1＋0×12·2＝12，∴AD →，n＝π3，∴直线AD 与平面ABC 的夹角θ＝π2－π3＝π6.11．如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是________．[解析] 以BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，建立空间直角坐标系．设AB ＝BC ＝AA 1＝2，则C 1(2,0,2)，E (0,1,0)，F (0,0,1)， 则EF →＝(0，－1,1)，BC 1→＝(2,0,2)， ∴EF →·BC 1→＝2，∴cos EF →，BC 1→＝22×22＝12，∴EF 和BC 1所成角为60°.12．如图，四棱锥S －ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD ＝2，AD ＝ 2.则二面角C －AS －D 的余弦值为________．[解析] 如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D －xyz .则D (0,0,0)，A (2，0,0)，B (2，2，0)，C (0，2，0)，S (0,0,2)，得SA →＝(2，0，－2)，SC →＝(0，2，－2)． 设平面ACS 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·SA →＝0，n ·SC →＝0，即⎩⎨⎧2x －2z ＝0，2y －2z ＝0.取z ＝2，得n ＝(2,2，2)．易知平面ASD 的一个法向量为DC →＝(0，2，0)． 设二面角C －AS －D 的大小为θ，则cos θ＝n ·DC→|n ||DC →|＝105. 即二面角C －AS －D 的余弦值为105.三、解答题13．已知：a ＝(x,4,1)，b ＝(－2，y ，－1)，c ＝(3，－2，z )，a ∥b ，b ⊥c ，求：(1)a ，b ，c ；(2)(a ＋c )与(b ＋c )夹角的余弦值．||||22AB CD =⋅(1,0,1)=--，设面3,1,-23||7n = ………………………………………14如图，已知直三棱柱求证：BC 1⊥AB 1；点为原点，C 1A 1，C 1B 1，C 1C 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设(2,0,2)，B (0,2,2)，C (0,0,2)，(0,2,0)，C 1(0,0,0)，D (1,1,2)．，－2)， ，所以BC 1→·AB 1→＝0－4＋4＝0，因此BC 1→⊥AB 1→，故BC 1⊥AB 1.，连结DE ，由于E (1,0,1)，所以ED →＝(0,1,1)，又BC 1→＝(0，－平面CA 1D ，BC 1⊄平面CA 1D ，故BC 1D 为原点，DA 为单位长度建立空间直角坐标系D －xyz .(1,0,0)，CC ′→＝(0,0,1)． ′.′D 中，延长DP 交B ′D ′于H .设DH →＝(m ，m,1)(m >0)，由已知〈DH →，DA →〉＝60°， DA →·DH →＝|DA →||DH →|cos 〈DH →，DA →〉，可得2m ＝2m 2＋1.解得m ＝22，所以DH →＝(22，22，1)．(1)因为cos 〈DH →，CC ′→〉＝22×0＋22×0＋1×11×2＝22，所以〈DH →，CC ′→〉＝45°，即DP 与CC ′所成的角为45°.(2)平面AA ′D ′D 的一个法向量是DC →＝(0,1,0)．因为cos 〈DH →，DC →〉＝22×0＋22×1＋1×01×2＝12，所以〈DH →，DC →〉＝60°，可得DP 与平面AA ′D ′D 所成的角为30°.导数、积分一．选择题(1) 函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间( D )A ．),2(+∞B ．)2,(-∞C ．)0,(-∞D ．（0，2） （2）曲线3231y x x =-+在点（1，-1）处的切线方程为（B ）A ．34y x =-B 。