高中数学向量习题

向量

一、选择题

1．(2013·湖北武汉)下列各组向量中，不平行的是( D )

A ．a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4)

B ．a ＝(1,0,0)，b ＝(－3,0,0)

C ．a ＝(2,3,0)，b ＝(0,0,0)

D ．a ＝(－2,3,5)，b ＝(16，－24,40)

2．若平面α与平面β的法向量分别为a ＝(4,0，－2)，b ＝(1,0,2)，则平面α与平面β的位置关系是( B ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交不垂直 D ．无法判断

3．(2013·平顶山模拟)已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( D )

A.627

B.637

C.607

D.65

7

4．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的中点，N 是A 1B 1的中点，则直线NO 、AM 的位置关系是( C )

A ．平行

B ．相交

C ．异面垂直

D ．异面不垂直

5．(2013·沈阳模拟)在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，若AB ＝2，AA 1＝1，则点A 到平面A 1BC 的距离为( B ) A.3

4

B.

32 C.334

D. 3 1．(2013·甘肃兰州)若平面π1，π2垂直，则下面可以是这两个平面的法向量的是(A ) A ．n 1＝(1,2,1)，n 2＝(－3,1,1) B ．n 1＝(1,1,2)，n 2＝(－2,1,1)

C ．n 1＝(1,1,1)，n 2＝(－1,2,1)

D ．n ＝(1,2,1)，n 2＝(0，－2，－2) [解析] 两个平面垂直时其法向量也垂直，只有选项A 中的两个向量垂直． 6．(2013·沈阳模拟)如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 的中点，则

对角线DB 1与CM 所成角的余弦值为( B ) A.12 B.1515 C.32

D ．0 [解析] 如图，建立直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D

(0,0,0)，C (0,1,0)，B 1(1,1,1)，M (1，1

2

，0)．

∴DB 1→＝(1,1,1)． CM →

＝(1，－12

，0)，cos 〈DB 1→，CM →

〉＝

DB 1→·CM

→|DB 1→

|·|CM →|

＝

123·

52

＝

1515

. ∴异面直线DB 1与CM 所成角的余弦值为

15

15

. 7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值

为( B) A.12 B.23 C.33 D.2

2

[解析] 以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，设棱长为1，

则A 1(0,0,1)，E (1,0，12)，D (0,1,0)， ∴A 1D →＝(0,1，－1)，A 1E →

＝(1,0，－1

2

)，

设平面A 1ED 的一个法向量为n 1＝(1，y ，z )，

则⎩⎪⎨⎪⎧

y －z ＝0，1－1

2

z ＝0，∴⎩

⎪⎨

⎪⎧

y ＝2，

z ＝2.

∴n 1＝(1,2,2)．∵平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)，∴cos n 1，n 2＝23×1＝2

3

.

即所成的锐二面角的余弦值为2

3

.

8.如图，已知在正三棱柱 ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 所成角

的正弦值为( ) A.35 B.45 C.34 D.25

5

[解析] 方法一：

⎭

⎪⎬⎪

⎫B 1D ⊥A 1C 1

B 1D ⊥C

C 1A 1C 1∩CC 1＝C 1⇒B 1

D ⊥面ACC 1A 1⇒面B 1DC ⊥面ACC 1A 1，交线为DC ⇒∠ADC 为AD 与平面B 1CD 所成的角，令AB ＝1，在△ADC 中，由余弦定理得

cos ∠ADC ＝

52

2

＋

52

2

－1

2

2×

52×52

＝3

5

. ∴sin ∠ADC ＝4

5

方法二：设棱长为a ， ∵DA →＝DA 1→＋A 1A →＝－1

2

AC →－AA 1→

，

DC →＝DC 1→＋C 1C →＝1

2

AC →－AA 1→

，

DB 1→＝DA 1→＋A 1B 1→＝－1

2

AC →＋AB →

，

且DB 1→·DA →＝(－12AC →＋AB →)·(－1

2

AC →－AA 1→

)

＝14|AC →|2

－12|AC →||AB →|·cos60° ＝14|AC →|2

－14|AC →||AB →|＝14a 2－14a 2＝0. DB 1→·DC →＝(－12AC →＋AB →)·(1

2AC →－AA 1→

)

＝－14|AC →|2

＋12|AB →|·|AC →|·cos60°

＝－14a 2＋14

a 2

＝0.

∴DB 1⊥DA ，DB 1⊥DC ，

∴面B 1DC ⊥面AA 1C 1C ，DC 是交线，AD ⊂面AA 1C 1C ∴∠ADC 即为所求．

∴cos ∠ADC ＝cos 〈DA →，DC →

〉＝DA →·DC

→

|DA →||DC →

|

＝

－14

|AC →|2＋|AA 1→|2a 2＋14

a 2·

a 2＋1

4

a 2

＝－14a 2＋a 254a 2＝34a 254a 2＝35，

∴sin ∠ADC ＝4

5

.

二、填空题

9.已知向量(,1,0),(1,2,3),a x b == 若a b ⊥，则x ＝__-2_____

10．如下图所示，在45°的二面角α－l －β的棱上有两点A 、B ，点C 、D 分别在α、β内，且AC ⊥AB ，∠ABD ＝45°，AC ＝BD ＝AB ＝1，则CD 的长度为________．