数学与应用数学(本科)论文
数学与应用数学毕业论文——正交矩阵及其应用
本科生毕业设计（论文）正交矩阵及其应用学院：专业：数学与应用数学学号：学生姓名：指导教师：二〇一一年六月摘要如果n阶实矩阵A满足,那么称A为正交矩阵．正交矩阵是由内积引出的．本文例举了正交矩阵在线性代数、化学和物理中的三个应用．在线性代数中,求标准正交基一般用Schimidt正交化方法．本文论证了一种特殊的正交矩阵——初等旋转矩阵——也可以求任一向量空间的标准正交基,并通过实例说明此方法的应用．在化学上,原子轨道的杂化,实际是由一组相互正交的单位基向量,通过线性变换转化为另一组相互正交的单位基向量．而线性代数中由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵,因此可以利用正交矩阵的性质求原子轨道的杂化轨道式．在物理上,任一刚体运动都对应一个正交矩阵,本文证明了曲线作刚体运动时曲率和挠率是两个不变量．关键词：正交矩阵;初等旋转矩阵;标准正交基;原子轨道的杂化;曲率;挠率AbstractOrthogonal matrices and its applicationsIf a-dimensional real matrixsatisfies,we call it orthogonal matrix. Orthogonal matrix is extracted by inner product.This paper enumerats the applications of orthogonal matrix inlinear algebra, chemistry, and physics. Schimidt method is always used to find the standard orthogonal basis in linear algebra. A special kind of orthogonal matrix, namely elementary rotational matrix, is established to find the standard orthogonal basis in this paper. The orbital atom heterozygous is actually made by a team of mutually orthogonal unit basis vector, through linear transformation into another group of mutually orthogonal unit basis in linear algebra. Thetransition matrix of a group of standard orgthogonal basis to another group of standard orthogonal basis is an orthogonal matrix. Therefore, properties of orthogonal basis can be used to find the orbital atom heterozygous. In physics, any rigid motion corresponds with anorthogonal matrix. The curvature and torsion rate are proved to be two invariants when a curve is in rigid motion.Keywords:Orthogonal matrix; Elementary rotation matrix; Standard orthogonal basis; The orbital atom heterozygous; Curvature;Torsion rate目录1.引言 12.正交矩阵的基本知识 32.1正交矩阵的定义与判定 32.2 正交矩阵的性质 33.正交矩阵的应用 53.1 正交矩阵在线性代数中的应用 53.2正交矩阵在化学中的应用 113.3正交矩阵在物理学中的应用 14参考文献 18致谢 19正交矩阵及其应用姓名：学号：班级：1.引言因为行列式要求行数等于列数,排成的表总是正方形的,通过对它的研究又发现了矩阵的理论.矩阵也是由数排成行和列的数表,可以行数和烈数相等也可以不等.矩阵和行列式是两个完全不同的概念,行列式代表着一个数,而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法.利用矩阵这个工具,可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量;这样对于一个多元线性方程组的解的情况,以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题,就都可以得到彻底的解决.矩阵是数学中的一个重要的基本概念,是代数学的一个主要研究对象,也是数学研究和应用的一个重要工具.“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的,他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语.而实际上,矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了.从行列式的大量工作中明显的表现出来,为了很多目的,不管行列式的值是否与问题有关,方阵本身都可以研究和使用,矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的.在逻辑上,矩阵的概念应先于行列式的概念,然而在历史上次序正好相反.凯莱先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来,同研究线性变换下的不变量相结合,首先引进矩阵以简化记号并发表了关于这个题目的一系列文章.1858年,他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》,系统地阐述了关于矩阵的理论.文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念,指出了矩阵加法的可交换性与可结合性.另外,凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果.凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭,剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲授数学,三年后他转从律师职业,工作卓有成效,并利用业余时间研究数学,发表了大量的数学论文.1855年,埃米特(C.Hermite,1822～1901)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质,如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等.后来,克莱伯施(A.Clebsch,1831.1872)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质.泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论.在矩阵论的发展史上,弗罗伯纽斯(G.Frobenius,1849～1917)的贡献是不可磨灭的.他讨论了最小多项式问题,引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念,以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论,并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质.1854年,约当研究了矩阵化为标准型的问题.1892年,梅茨勒(H.Metzler)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式.傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题,这主要是适用方程发展的需要而开始的.矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质,矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展,现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论.而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论.矩阵的应用是多方面的,不仅在数学领域里,而且在化学、力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用.本文主要介绍正交矩阵与其应用.我们把阶实数矩阵满足,称为正交矩阵.尽管我们在这里只考虑实数矩阵,但这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵.正交矩阵是由内积自然引出的,要看出其与内积的联系,考虑在维实数内积空间中的关于正交基写出的向量.的长度的平方是.如果矩阵形式为的线性变换保持了向量长度,所以有限维线性等距同构,比如旋转、反射和它们的组合,都产生正交矩阵.本文例举了正交矩阵在线性代数、化学和物理中的三大应用.其中,在线性代数中,求标准正交基除了用Schimidt正交化方法外,本文论证了正交矩阵的其中一种矩阵...初等旋转矩阵也可以求任一矩阵的标准正交基,此法用实例与Schimidt 正交化方法对比;在化学上,根据原子轨道的杂化理论,杂化的原子都有其轨道杂化式,对于形成对阵的原子轨道杂化,利用正交矩阵的性质可以求解该原子杂化轨道的杂化轨道式;在物理上,任一刚体运动都对应一个正交矩阵, 三维空间一条曲线经过刚体运动,其曲率和挠率是不变的,本文考察了曲线做刚体运动时的不变量——曲率和挠率.2.正交矩阵的基本知识本节中在没有特别说明的情况下,都表示为正交矩阵,记矩阵的秩为,与为矩阵的第列与第列,表示矩阵的第行.表示行列式的值即=.2.1正交矩阵的定义与判定定义2.1.1[3]阶实数矩阵满足（或,或）,则称为正交矩阵.判定2.1.2 矩阵是正交矩阵;判定2.1.3 矩阵是正交矩阵;判定2.1.4 矩阵是正交矩阵;备注：判定一个是方阵是否为正交矩阵往往用定义,即（或,或）,也可以验证的行向量或列向量是否是两两正交的单位向量.当已知的正交矩阵求证其他的结论时,要用正交矩阵的定义及有关性质2.2 正交矩阵的性质若是正交矩阵,则有以下性质([3])：性质2.2.5,则可逆,且其逆也为正交矩阵.证明显然.所以也是正交矩阵.性质2.2.6,,也是正交矩阵, 即有:(1)当时,, 即;(2)当时,, 即证明若是正交矩阵,, 由性质2.2.5,为正交矩阵.因为,所以,当时,, 即;当时., 即.从而为正交矩阵.性质2.2.7是正交矩阵.证明因为,所以.因此,也是正交矩阵性质2.2.8是正交矩阵的充分必要条件是.证明必要性若是正交矩阵,则另一方面,一方面,于是,,;充分性因为是正交矩阵,若,显然也是正交矩阵.性质2.2.9 若也是正交矩阵, 则,,,都为正交矩阵.证明由可知,故为正交矩阵.同理推知,,,均为正交矩阵.正交矩阵的性质主要有以上几点, 还有例如它的特征值的模为1, 且属于不同特征值的特征向量相互正交; 如果是它的特征值, 那么也是它的特征值, 另外正交矩阵可以对角化, 即存在复可逆矩阵, 使,其中为的全部特征值, 即. 这些性质证明略.3.正交矩阵的应用3.1 正交矩阵在线性代数中的应用在线性代数中我们通常用施密特方法求标准正交基,现在可以用正交矩阵中的一种殊矩阵求标准正交基---初等旋转矩阵即Givens矩阵.定义3.1[1] 设向量则称阶矩阵为向量下的Givens矩阵或初等旋转矩阵,也可记作.下面给出Givens矩阵的三个性质[2],[10]性质3.1.1 Givens矩阵是正交矩阵.证明由,则,故是正交矩阵.性质3.1.2 设,则有.证明由的定义知,,且,即右乘向量,只改变向量第和第个元素,其他元素不变.性质3.1.3 任意矩阵右乘,只改变的第列和列元素; 任意矩阵左乘,只改变的第行和行元素.证明由性质3.1.2和矩阵乘法易得结论.引理3.1.4[2] 任何阶实非奇异矩阵 ,可通过左连乘初等旋转矩阵化为上三角矩阵, 且其对角线元素除最后一个外都是正的.定理3.1.5[10] 设是阶正交矩阵若, 则可表示成若干个初等旋转矩阵的乘积, 即;若, 则可以表示成若干个初等旋转矩阵的乘积再右乘以矩阵, 即, 其中是初等旋转矩阵.（）.证明由于是阶正交矩阵,根据引理3.1.4知存在初等旋转矩阵,使（这里是阶上三角阵）,而且的主对角线上的元素除最后一个外都是正的,于是（3-11）注意到是正交矩阵,由（3-11）式得,,即（3-12）设=,其中,,则=.由上式得所以, （3-13）即,当时,;当时,.记,注意到是初等旋转矩阵,故定理1结论成立.引理3.1.6[1] 设其中是阶正交矩阵,是阶上三角阵,是零矩阵.定理3.1.7[10] 设,则可以通过左连乘初等旋转矩阵,把变为的形式,其中是阶上三角阵,是矩阵.证明由引理3.1.6知,其中是阶正交矩阵,是阶上三角阵.又根据定理1知：,则是初等旋转矩阵.(I)当时,;(II)当时,,则.显然,是阶上三角阵,当时,与除最后一行对应元素绝对相等、符号相反外,其余元素对应相等.当时时,.综上,知本定理的结论成立.设,,,是欧氏空间的子空间的一组基,记是秩为的的矩阵.若满足定理2的条件,则存在初等旋转矩阵,使（3-14）且所以（3-15）由（3-14）（3-15）两式知,对、做同样的旋转变换,在把化为的同时,就将化成了,而的前个列向量属于子空间.综上所述可得化欧氏空间的子空间的一组基为一组标准正交基的方法:（1）由已知基为列向量构成矩阵;（2）对矩阵施行初等旋转变换,化为,同时就被化为正交矩阵,这里是阶上三角阵;（3）取的前个列向量便可得的一组标准正交基.显然,上述方法是求子空间的一组标准正交基的另一种方法.下面,我们通过实例对比Schimidt正交化求标准正交基.例求以向量,,为基的向量空间的一组标准正交基.解方法一用Schimidt正交化把它们正交化：,,再把每个向量单位化,得,,.即,,,就是由,得到的的一组标准正交基.方法二（利用连乘初等旋转矩阵）设矩阵,对分块矩阵依次左乘,,,=,=,=,得=,则,,取,,.那么就是由,得到的的一组标准正交基.对比两者的解法,用Schimidt正交化把它们正交化需要的是记公式,若向量的维数比较多的,计算比较麻烦,而用初等旋转矩阵则可根据向量组成的矩阵的特点来求其标准正交基.3.2正交矩阵在化学中的应用原子轨道的杂化是在一个原子中不同原子轨道的线性组合.在结构化学原子轨道杂化理论中,原子中能级相近的几个原子轨道可以相互混合,从而产生新的原子轨道.杂化过程的数学表达式为,为新的杂化轨道,为参加杂化的旧轨道,为第个杂化轨道中的第个参加杂化轨道的组合系数[4].在杂化过程中,轨道数是守恒的,并且杂化轨道理论有三条基本原则[5]：（1）杂化轨道的归一性.杂化轨道满足;（2）杂化轨道的正交性.;（3）单位轨道贡献.每个参加杂化的单位轨道,在所有的新杂化轨道中该轨道成分之和必须为一个单位,即=1.由杂化轨道原理,原子轨道的杂化,实际是由一组相互正交的单位基向量,通过线性变换转化成为另一组相互正交的单位基向量.在线性代数中由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵,那么原子轨道的杂化,就可以转化为求出正交矩阵,作线性变换的过程.（A）杂化轨道.以甲烷分子的结构为例,激发态碳原子的电子组态为,这样在形成分子时,激发态碳原子的一个2原子轨道和3个原子轨道进行杂化形成4个等同的杂化轨道.设在激发态碳原子中四个能量相近的原子轨道,,,是一组相互正交的基向量,再通过线性变换将它们转化成另一组相互正交的基向量,,,,那么线性变换系数矩阵A必为正交矩阵,即=.A为正交矩阵,分别是,,,在四个坐标轴的分量.在等性杂化中,四个基向量,,,在四个坐标轴上的分量是相等的,即由四个能量相近的原子轨道,,,进行杂化时形成四个等同的杂化轨道,在四个杂化轨道上,原子轨道和成份完全相同.根据这些理论,我们来求正交矩阵A.因为A 是正交矩阵,由定义可得,即,所以,得=(取正值).又因为是等性杂化轨道.有,=1,所以=（取正值）.即得到.又因,,,取符合条件的,,.同理,,即,,得,,取,.又,,得,,.所以,.可以写出四个杂化轨道的杂化轨道式为,,.（B）杂化轨道一个和一个原子轨道杂化形成两个杂化轨道.同样,线性变换的系数矩阵是正交矩阵.根据等性杂化理论有,,,于是,,（取正值）.又,,故,,即,.所以杂化轨道式为.3.3正交矩阵在物理学中的应用任意刚体运动都对应一个正交矩阵, 三维空间一条曲线经过刚体运动, 其曲率和挠率是不变的, 称它们为运动不变量.首先我们来简单认识曲率和挠率.曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率,通过微分来定义,表明曲线偏离直线的程度.曲率越大,表示曲线的弯曲程度越大.（为角变量,为弧长）趋向于0的时候,定义就是曲率.即.而挠率,它的绝对值度量了曲线上邻近两点的次法向量之间的夹角对弧长的变化率.平面曲线是挠率恒为零的曲线.空间曲线如不是落在一平面上,则称为挠曲线,又由于挠率体现了密切平面的扭转状况,通常说它表示了曲线的扭曲程度.曲线在某点的挠率记为,=.下面, 我们来考察曲线作刚体运动时的不变量[6],[9].设曲线与曲线只差一个运动, 从曲线到曲线的变换为(3-21)其中,是三阶正交矩阵,是常数.对(3-21)两边求阶导数,得.从而有. (3-22)因为是正交矩阵, 所以也有. (3-23) 另一方面, 由一阶, 二阶, 三阶导数, 可作成矩阵.两边取行列式, 由,得.现在取可类似地讨论.因为, (3-24), (3-25)(3-22)代入(3-24)的右边,得=++. （3-26）因(3-24)与(3-25)右边相等, 有(3-25)右边与(3-26)式右边相等,得,,.由正交矩阵的性质2.2.6知,且由,将上面三式左右分别平方相加,=++=.写成矢量函数, 即得于是我们可推得,.这里的分别是曲线的曲率与挠率.参考文献:[1] 陈景良,陈向晖.《特殊矩阵》.第一版.清华大学出版社,2001：353-360[2] 程云鹏.《矩阵论》.第二版.西北工业大学出版社,1999：94.99,196-215[3] 王萼芳,石生明.《高等代数》.第三版.北京：高等教育出版设,2007：162-392[4] 周公度,段连运.《机构化学基础》.第4版.北京大学出版社,2009：79-187[4] 王立东主编《数学》.第一版.大连理工大学出版社,2008：63-74[5] 赵成大等《物质结构》.人民教育出版社. 1982：219-226[6] 强元棨,程嫁夫.《力学》上册.第一版.中国科学技术大学出版社：2005：332-53[7] 张焕玲等《一种求欧氏空间子空间的标准正交基的新方法》山东大学.1996.3.9卷（1）期：14-16[8] 刘钊南.《正交矩阵的作用》.湘潭师范学院学报.1987.11.16： 3[9] 陈少白.《空间曲线的刚体运动基不变量》. 武汉科技大学学报.2003.12.26卷（4）期：424-426[10] 刘国志.《欧氏空间子空间的标准正交基的全新方法—Givens变换法》.抚顺石油学院学报.1996.3.16卷（1）期：78-81致谢感谢父母,给了我生命,也让我懂得这世上什么是真情!当我们遇到困难的时候,会倾注所有一切来帮助我们的人是父母;当我们受到委屈的时候,能耐心听我们哭诉的人是父母.当我们犯错误时,能够毫不犹豫地原谅我们的人是父母;当我们取得成功的时候,会衷心为我们庆祝与我们分享成功的喜悦的,仍然是父母;而现在我们远在外地学习,依然牵挂着我们还是父母.感谢父母给予我爱,是您们让我感到骄傲与自豪!感谢老师,授予我知识!大学四年,不少老师给予我无微不至的关怀,这将成为我人生中难以忘怀的回忆.我不仅从您们身上学到许多专业知识,更多的是学到了为人处世的道理.在和您们的交流中,我对我的未来有了更好的规划.您们是我人生的航标,让我在迷茫时找到前进的方向;您们是我精神上的支柱,让我在困难时重新振作.大学四年,如果没有您们的博学知识,没有您们的倾注爱心,没有您们的谆谆善诱,我将不可能收获那么多.假如我能搏击蓝天,那是您们给了我腾飞的翅膀;假如我是击浪的勇士,那是您们给了我弄潮的力量;假如我是不灭的火炬,那是您们给了我青春的光亮!感谢帮助过我、教导过我的老师们,是您们,让我懂得给予与付出才是最重要的,是您们,让我明白做人就要不断进取,迎难而上,力争上游!本毕业论文是在我的导师XX的亲切关怀和悉心指导下完成的,她给我的论文提出了不少宝贵的意见;她严肃的科学态度,严谨的治学精神,精益求精的工作作风,深深地感染和激励着我.从课题的选择到项目的最终完成,XX老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持,在此谨向XX老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意.。
数学与应用数学专业毕业论文范文
如何写数学与应用数学专业的论文我是一位大一的学生,导员老师为了虽然我没写过论文，但还是想提点建议，楼主不妨考虑一下。
作为大一学生，限于学识和能力，要写作的所谓“专业论文”，不会要求达到毕业论文那样高的水平，只要对所学过某一方面的知识和方法作一个较为系统的整理就可以了。
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应用数学专业毕业论文先修课程：数学与应用数学专业主要课程、教育类课程等适用专业：数学与应用数学（本科、师范）一、目的培养和提高学生综合运用所学知识分析、解决问题的能力（包括数学理论研究和应用研究的能力、教学研究能力、文献检索、科技论文的写作能力）。
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四、毕业论文成绩评定 1.学生毕业论文成绩的评定采取指导教师和毕业论文答辩小组分别单独评分，按比例综合评定，最后由毕业论文答辩委员会综合平衡审定。
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数学与应用数学大学导论课论文怎么写（一）题名（Title,Topic）题名又称题目或标题。
数学与应用数学毕业论文
数学与应⽤数学毕业论⽂数学与应⽤数学毕业论⽂######学院本科学⽣毕业论⽂（设计）题⽬论数学史的教育价值系别数理系专业数学与应⽤数学学⽣姓名######学号#######指导教师###### 职称讲师论⽂字数10506完成⽇期2012 年 5 ⽉21 ⽇⽬录⼀、数学史学科的介绍及其发展 (2)（⼀）数学史学科介绍 (2)1.数学史的研究对象 (2)2.数学史的分期 (2)3.数学史的意义 (2)（⼆）数学的发展史 (2)1.数学发展史简述 (2)2.数学悖论与数学史上的三次危机 (2)⼆、当代数学教学的现状调查及特点 (3)（⼀）学⽣数学学习情况的调查 (3)1．问卷和调查情况 (3)2．对调查结果的分析 (3)（⼆）中国数学教学的若⼲特点 (3)1．中国的数学教学突出知识性的具体⽬标 (3)2．中国的数学教学长于由“旧知”引出“新知” (3)3．中国的数学教学注重新知识内部的深⼊理解 (3) 4．中国的数学教学重视解题和关注⽅法、技巧 (3) 5．中国的数学教学重视巩固、训练和记忆 (3)三、中国数学基础教育的缺失与出路 (4)1．中国数学基础教育成功吗 (4)2．中国数学基础教育缺失什么 (4)3．中国数学基础教育的出路在哪⾥ (4)四、数学史的教育价值 (5)参考⽂献 (6)致谢 (7)论数学史的教育价值###### 数理学摘要数学史是穿越时空的数学智慧。
数学的发展历史呈现给我们的是⼀幅既源远流长，⼜⽇新⽉异的画卷。
学习研读它将使我们获得思想上的启迪、精神上的陶冶，有助于开阔视野、了解数学及其思想、⽅法、发展的动态过程，加深对数学本质的认识，有助于教师和学⽣形成正确的数学观，有助于学⽣正确理解数学概念的形成过程，有助于实现数学活动过程的教学，有助于培养学⽣的数学创新精神。
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应用数学本科毕业论文数学以及应用数学是网络技术和电子信息技术的基础,随着这些行业的快速发展,相关行业需要大量能掌握应用数学知识并能将其转化为生产力的专业人才。
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应用数学本科毕业论文范文一：应用数学课程多元化的教学模式改革一、开展应用数学课程多元化的教学模式改革1.使应用数学课程资源数字化、网络化学习资源的数字化与网络化已成为现今各科发展的必然趋势。
我们通过建立应用数学课程电子试题库和网络公共邮箱等方式实现了数学资掘的共享。
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二、开展数学实验课的教学1.教学目标数学实验课程的教学目标应该是培养学生的数学思维能力、科学计算能力和数据处理能力，使学生学会数学概念中的思想方法。
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2.教学内容选取数学实验课的教学内容应遵循实用性、开放性、适度性、趣味性的原则，以解决实际问题为出发点，以建立解决实际问题的数学模型为训练目的。
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在此原则基础上，将实验教学内容分为三个部分：(1)课堂演示实验。
对于抽象数学概念的引入，通过大量的实例，使学生对概念有一个感性的认识，再通过归纳，提炼出共性的定义，既能帮助学生理解概念，又能培养学生的归纳能力。
(2)基础计算实验。
数学与应用数学专业毕业论文选题指南
数学与应用数学专业毕业论文选题指南一、引言毕业论文是数学与应用数学专业本科生在毕业阶段完成的一项重要学术任务。
论文选题的好坏直接关系到后续研究工作的展开和论文的质量，因此选题是毕业论文写作过程中的关键步骤。
本指南旨在为数学与应用数学专业的学生提供选题方向和思路，帮助他们找到合适的论文选题，并提供相关的写作指导。
二、选题方向1. 应用数学在应用数学领域，有许多热门的选题方向可供选择。
其中一些方向包括：金融数学、精算学、组合优化、算法设计与分析、数据挖掘与机器学习等。
学生可以选择与自己感兴趣的领域相关的选题，并深入研究该领域中的一个具体问题。
2. 数值计算数值计算是数学与应用数学专业中的重要方向。
在这个领域，有很多有趣和有挑战性的问题可以作为毕业论文的选题，比如：数值解常微分方程、数值微分方程组中的稳定性与收敛性、计算流体力学中的数值模拟等。
学生可以根据自己的研究兴趣和能力选择一个适合的数值计算选题。
3. 纯数学纯数学是数学与应用数学专业中最基础也是最抽象的领域。
在纯数学中，有许多经典和有意思的问题可以作为毕业论文的选题，比如：代数学、几何学、拓扑学等。
学生可以选择一个自己感兴趣的领域，并深入研究该领域中的一个具体问题。
三、选题思路选择一个好的论文选题需要学生充分考虑以下几个方面：1. 兴趣和热情选择一个自己感兴趣的选题是非常重要的，因为在毕业论文的写作过程中需要投入大量的时间和精力。
如果选取一个自己兴趣的选题，不仅可以提高学生的学术研究积极性，还可以使其对该领域的知识有更深入的理解。
2. 研究前沿选择一个研究前沿的选题可以提高论文的学术价值和创新性。
学生可以通过查阅相关文献和与导师交流来了解当前领域的研究进展，选择一个有研究价值的选题进行深入研究。
3. 研究可行性选择一个研究可行的选题是非常重要的，学生在选择选题时应充分考虑自己的时间和能力，并与导师进行充分的讨论。
选择一个研究可行的选题可以保证毕业论文能够按时完成并具备一定的研究成果。
数学与应用数学本科毕业范文范德蒙行列式及其应用
本科毕业论文论文题目：范德蒙行列式及其应用学生姓名：学号：专业：数学与应用数学指导教师：学院：年月日毕业论文（设计）内容介绍目录中文摘要 (1)英文摘要 (1)一、引言 (2)二、范德蒙行列式定义及性质 (2)三、范德蒙行列式的应用 (3)（一）范德蒙行列式在多项式理论中的应用 (3)（二）范德蒙行列式对整除问题的应用 (5)（三）范德蒙行列式在矩阵的特征值与特征向量中的应用 (6)（四）范德蒙行列式在向量空间理论中的应用 (7)（五）范德蒙行列式在线性变换理论中的应用 (8)（六）范德蒙行列式在微积分中的应用 (10)（七）范德蒙行列式在求解行列式中的应用 (13)参考文献 (16)范德蒙行列式及其应用摘要:行列式最早出现在16世纪关于线性方程组的求解问题中，时至今日行列式理论的应用却远不如此.它主要应用于高等代数理论，作为一种特殊的行列式——范德蒙行列式不仅具有特殊的形式，而且有非常广泛的应用.本文主要探讨范德蒙行列式在向量空间理论，线性变化理论，多项式理论中以及行列式计算中的应用.关键词:范德蒙行列式；线性变换；多项式Application of Vandermonde’s DeterminantAbstrac t：The determinant appeared at the earliest which was used to solve the problem concerning the liner equations in 16 centuries,but the days up to now the theoretical in determinant was far used in lots of domains.Vandermonde’s determinant is regarded an a kind of special determinant,which not only have the special form but also have the extensive application.The article inquired into the Vandermonde’s determinant in vector space, linear transformation,polynomial theories and determinant’s calculation of application. Keywords:Vandermonde’sDeterminant;vectorspace;lineartransformation,polynomial theories; determinant’s calculation of application.一 引言在高等代数中，行列式计算及其相关的证明是一个重点，也是难点.它最早出现在线性方程组的求解问题中，时至今日，行列式理论的应用越来越广泛，它是后期学习和应用线性方程组，向量空间，矩阵和线性变换的基础.正确而快速的解决行列式问题是其他一切工作的前提，也是科研工作中最为关键的一步.行列式的计算有一定的规律性和技巧性，掌握行列式的规律性有助于我们高效准确的解决科研工作中遇到的行列式问题.而范德蒙行列式是一种重要的行列式，在行列式计算中可以把一些特殊的或者是类似于范德蒙行列式的行列式转化为范德蒙行列式进行计算.由于范德蒙行列式有着独特的构造和优美的形式而被广大科研工作者广泛的应用，因而成为一个著名的行列式.二 范德蒙行列式定义及性质1. 范德蒙行列式的定义形如12222121111211 (1)n nn n n nx x x x x x x x x ---的行列式，称为1x ,2x ,…n x 的n 阶范德蒙行列式，记作 n V （1x ,2x ,…n x ）.下面以递推法为例介绍范德蒙行列式的计算n V （1x ,2x ,…n x ）=21311222221331111111122133111111000n n n n n n n n n n n x x x x x xx xx x x x x x x x x x x x x x x x ---------------=2131122133112222213311()()()()()()n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ------------=21()x x -31()x x -…1()n x x -n-1V （2x ,…n x ）.仿上做法有n-1V （2x ,…n x ）=3242223()()n n n x x V x x --（x -x ）(x -x ).再递推下直到11V =，故n V （1x ,2x ,…n x ）=21()x x -31()x x -…1()n x x -.32422()n x x -（x -x ）(x -x )(1n n x x --).1=1i j j i nx x ≤<≤-∏. 有以上的计算易得，定理1 n 阶范德蒙行列式n V （1x ,2x ,…n x ）=12222121111211...1n nn n n nx x x x x x x x x ---=∏(i j x x -). 有这个结果立即得出定理2 n 阶范德蒙行列式为零的充分必要条件是1x ,2x ,…n x 这n 个数中至少有两个相等.三 范德蒙行列式的应用范德蒙行列式由于其独特的构造和优美的形式，而有着广泛的应用.下面将集中说明范德蒙行列式在行列式计算和证明及在微积分计算中的应用，并对范德蒙行列式在线性空间理论，线性变换理论，多项式理论中的应用作出探讨.（一） 范德蒙行列式在多项式理论中的应用在多项式理论中，涉及到求根问题的有许多.在分析有些问题时，范德蒙行列式能够起到关键作用的，若能够熟练有效地运用范德蒙行列式，则对我们最终解决问题会有直接的帮助.例1 证明一个n 次多项式在至多有n 个互异根. 证 不妨设n>0, 如果 f(x)=2012n n a a x a x a x ++++有n+1个互异的零点1x ,2x ,…n x ，1n x +，则有()i f x =22012=0i n+i i n i a a x a x a x ++++≤≤，11即 201121120222222012110,0,.......................0.n n nn n n n n n n a a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x +++⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩这个关于01,,...n a a a 的齐次线性方程组的系数行列式是范德蒙行列式211122222111111nn n n n n x x x x x x x x x +++=∏(i j x x -)≠0.因此010n a a a ====，这个矛盾表明 ，f （x ）至多有n 个互异根. 例2 设12,,n a a a 是数域F 中互不相同的数，12,,n b b b 是数域F 中任一组给定的不全为零的数，则存在唯一的数域F 上次数小于n 的多项式()f x ，使(),1,2,i i f a b i n ==.证明 ：设()1011n n f x c c x c x --=+++，有条件得，(),1,2,i i f a b i n ==.知101111110121221011,,.n n n n n n n n n c c a c a b c c a c a b c c a c a b ------⎧+++=⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩因为12,,n a a a 互不相同，所以，方程组的系数行列式()21111212221211101n n ji i j nn nnna a a a a a D aa a a a --≤<≤-==-≠∏.则方程组有唯一解，即唯一解小于n 的多项式，使得()1011n n f x c c x c x --=+++，使得(),1,2,i i f a b i n ==.例 3 证明：对平面上n 个点()()()12,1,,,i i n a b i n a a a ≤≤互不相等，必存在唯一的一个次数不超过n-1的多项式()f x 通过该n 个点()(),1i i a b i n ≤≤，即()i i f a b =()1i n ≤≤.证明： 设()12121n n n n f x c x c x c x c ---=++++，要使()i i f a b =()1i n ≤≤，即满足关于12,,,n c c c 的线性方程组：12111211112212221212121,,.n n n n n n n n n n n n n n n n a c a c a c c b a c a c a c c b a c a c a c c b ---------⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩，而该方程组的系数行列式为范德蒙行列式：121111222212111121111n n n n n n n n n n n n nn a a a a a a D a a a a a a -----------=.当12,,,n a a a 互不相等时该行列式不为零，由Cramer 定理知方程组有唯一解，即对平面上n 个点()()()12,1,,,i i n a b i n a a a ≤≤互不相等，必存在唯一的一个次数不超过n-1的多项式()f x 通过该n 个点.（二） 范德蒙行列式对整除问题的应用多项式的根与整除性是密切相关的，所以有时候可以用范德蒙行列式的性质讨论某些多项式或者整数的整除题. 例4 设121(),(),(),n f x f x f x -是n-1个复系数多项式，满足 11n x x ++++2121()()()n n n n n f x xf x x f x --+++,证明121(1)(1)(1)0n f f f -====.证 设2121()()()n n n n n f x xf x x f x --+++=1()(1)n p x x x -+++，取22cossini n nππω=+，分别以21,,,n x ωωω-=代入，可得 212122(2)1211(1)(2)121(1)(1)(1)0,(1)(1)(1)0,(1)(1)(1)0.n n n n n n n n f f f f f f f f f ωωωωωω--------⎧+++=⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 这个关于1(1)f ，2(1)f ，1(1)n f -的齐次线性方程组的系数行列式，因此21(,,,)0n V ωωω-=.例5 设12,,n a a a 是正整数，证明()12,,n V a a a 能被()()2121221n n n n ----整除.证明 由()()()111222111111n nn n a a a a aa I aa a --=-1!2!!n =111222112111211121n n n a a a n a a a n a a a n ---. 知()12,,n V a a a 能被1!2!!n =()()2121221n n n n ----整除.（三） 范德蒙行列式在矩阵的特征值与特征向量中的应用例 6 A 是3阶方阵，A 有3个不同的特征值123,,,l l l ，对应的特征向量依次为123,,,a a a 令123b a a a =++.证明：2,,b Ab A b 线性无关.证 21231123()k b k Ab k A b k a a a ++=++22221122333112233()()k l a l a l a k l a l a l a ++++++=222121311222322333333()()()k k l k l a k k l k l a k k l k l a ++++++++=0.123,,a a a 线性无关，故有2111222223331101l l k l l k l l k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由于i j l l ≠，则0A ≠，所以方程组只有零解， 即2,,b Ab A b 线性无关.例 7 设A 是n 阶矩阵，证明A 的属于不同特征值的特征向量线性无关. 证明：设12,,r λλλ是A 的两两不同的r 个特征值，非零向量12,,r ααα是其相应的特征向量，即r i r A αλα=，1i r ≤≤，假设11220r r x x x ααα+++=那么，()11220,11j r r A x x x j r ααα+++=≤≤-，即()1110r r rjjj i i i i i i i i i i A x x A x ααλα===⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑∑.由于其系数行列式()12,,0r V λλλ≠，故11220r r x x x ααα====，又0i α≠于是，0i x =，这证明了12,,r ααα线性无关.（四） 范德蒙行列式在向量空间理论中的应用在向量空间理论中，我们常常会遇到需要用范德蒙行列式转化问题，通过转化，我们很容易就能得到需要的结论. 例8 设12,,,n t t t 是互不相同的实数，证明向量组21(1,,,)n i i i i a t t t -=，i=1,2,…n,n 是n 维向量空间的一组基.证 令21111121222221111n n n n nnn a t t t a t t t A a t t t ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为12,,,n t t t 是互不相同的实数，所以0T A A =≠，则12,,,n a a a 线性无关.例 9 设V 是数域F 上的n 维向量空间，任给正整数n m ≤，则在V 中存在m 个向量，其中任取n 个向量都线性无关.证明：因为n V F ≅，所以只需在n F 中考虑即可. 取()2111,2,2,,2n α-=，()()()2222121,2,2,2n α-=，()()()211,2,2,2mmm n m α-=，令()()()()()()111222212121122212221222nnnk k k n k k k n n k k k n D ---=，121n k k k m ≤≤≤≤≤，()()()()()()111222212121122212221222n nnk k k n k k k n n k k k n D ---=是范德蒙行列式，且0n D ≠，所以12,,,n k k k ααα线性无关.例 10 设V 是数域F 上的n 维向量空间，则V 的有限个真子空间不能覆盖V.证明：当n=1时，显然成立.设n>1时，令12,,,n ααα是V 的一个基，设}{112n n n S k k k F V ααα-=+++∣∈⊂，其中，n F 为F 中元素之集合.令112:,n n n F S k e ke k e ϕ-→→+++，12,,,n e e e 为单位向量.则易证ϕ是双射，从而S 中有无穷多个不同的元素.设,1,2,i V i t =为V 的真子空间，则S 中的元素在i V 中的个数小于n,否则，若,1,2,j i V j n β∈=111121112,.n n n nn n n k k k k βαααβααα--⎧=+++⎪⎨⎪=+++⎩则由,,1,2,,,i j k k i j n i j ≠=≠，知系数行列式为非零的范德蒙行列式，故有,1,2,,j k V j n α∈=，进而,1,2,i V V i t ==矛盾.从而S 中只有有限多个元素在1ti i V =中，而S 中有无穷多个元素，所以存在x S ∈，但1,ti i x V =∉即V 的有限个真子空间不能覆盖其自身.（五） 范德蒙行列式在线性变换理论中的应用在高等代数的学习中，线性变换一直是一个重点，也是难点，题目的变化也比较多，在有些题目中，我们可以巧妙地利用范德蒙行列式来解决这类题目. 例11 如果12,,,s λλλ是线性变换的全部两两不同的特征值，(1,2,,)i i V s λα∈，则当120s ααα+++=时，必有12s ====0ααα.证明 注意到(1)I i i i s αλαΛ=≤≤，对等式120s ααα+++=两边逐次作用，得112222211221111220,0,0.s s s ss s s s s λαλαλαλαλαλαλαλαλα---+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 用矩阵表示为()()111122121110,0,,01s s s s s s λλλλαααλλ---⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(1)矩阵1111221111s s s s s B λλλλλλ---⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的行列式是范德蒙行列式，由于12,,,s λλλ两两不同，从而B 是可逆矩阵.在(1)式两边右乘1B -， 得12s ====0ααα.例12 数域F 上的n 维向量V 的线性变换σ有n 个互异的特征值12,,n λλλ，则1） 与σ可交换的V 的线性变换都是21,,,n e σσσ-的线性组合，这里e 为恒等变换.2）21,,,,n V αασασασα-∀∈线性无关的充要条件为1,ni i αα==∑这里()i i i σααλ=，1,2,i n =证明：1）设δ是与σ可交换的线性变换，且(),1,2,,i i i i n σαλα==则 }{i i V k k F λα=⎪∈是δ的不变子空间.令21121n n xe x x x δσσσ--=++++且(),1,2,,i i i k i n σαα==，则由以下方程组21111211121212221221121,,.n n n n n nn n n n k x x x x k x x x x k x x x x λλλλλλλλλ------⎧=++++⎪=++++⎪⎨⎪⎪=++++⎩ （1）因为方程组（1）的系数行列式是范德蒙行列式，且()1ij j i nD λλ≤<≤=-∏，所以方程组（1）有唯一解，故δ是21,,,n e σσσ-的线性组合.2)充分性因为1ni i αα==∑，所以()()()()111112212111,,,,,,1n n n n nn λλλλασασααααλλ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,并且()111122111101n i j j i nn nn λλλλλλλλ--≤<≤-=-≠∏，所以1111221111n n nn λλλλλλ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦是可逆矩阵，又因为12,,,n ααα是V 的一组基，()()1,,,n ασασα-线性无关.3)必要性 设12,,,n e e e 是分别属于1,,,n λλλ的特征向量，则12,,,n e e e 构成V 的一个基，因而有1122n n k e k e k e α=+++.若0,1,2,i k i n ≠=，则i i k e 是σ的属于i λ的特征向量，故结论成立.若存在}{1,2,,j n ∈，使0j k ≠，不妨设12,,,r k k k 去不为零，而120r r n k k k ++====，因而有1122r r k e k e k e α=+++则()()()()()111111112222212121,,,,,,,,,n n n r r n r r r r r k k k k k k e e e e e e A k k k λλλλασασαλλ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥==•⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 利用范德蒙行列式可知A 有一个r 阶子式不为零，所以秩（A ）=r ，从而()()()1,,,n r ασασα-=,又因为r n <线性无关，所以()()()1,,,n ασασα-线性无关，矛盾.从而1,ni i αα==∑1,2,i n =.（六） 范德蒙行列式在微积分中的应用如果视多项式为实函数，则范德蒙行列式还可以应用到微积分领域.例13 ()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内存在2阶导数，证明a x b <<上有()()()()()1"2f x f a f b f a x a b a f c x b -----=-，这里(),c a b ∈.特别的，存在,(,)c a b ∈，使()()2,()2()"()24b a a bf b f f a f c -+-+=. 证 在[],a b 上构造函数()()()()()22221111y y f y a a f a F x x x f x b b f b =，为范德蒙行列式，则()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内存在2阶导数.因()()()0F a F x F b ===，故有中值定理，存在12a x x x b <<<<，使()()12''0F x F x ==，故再运用一次中值定理，存在()12,c x x ∈，使()''0F c =，即()()()()()''2''22002111f c a a f a F c x x f x b b f b ==0 . 展开行列式即得()()()()()1"2f x f a f b f a x a b a f c x b -----=-. 特别的，取2a bx +=，则有相应的()',c a b ∈，使上式成立，即()()()()212"22a b f f a f b f a a b b a af c a b b +⎛⎫- ⎪-⎝⎭-+--=+-，化简即得()()2,()2()"()24b a a bf b f f a f c -+-+=.反复利用微分中值定理，可以类似的证明下面更一般的结论：设()f x 在[],a b 内存在n-1阶导数，12n a x x x b <<<<=.证明存在(),c a b ∈，使()()()()()111!n ni i i j j if x f c n x x -=≠=--∑∏. 例 14 设()f x 在区间I上n 阶可导()2n ≥，若对()()()()00,,,,n n n x I f x M f x M M M ∀∈≤≤为正常数，证明：存在n-1个正常数121,,,n M M M -使对x I ∀∈，有()()()1,2,1.k k f x M k n ≤=-证明：设121,,n a a a I -∈，且()0,i i j a a a i j ≠≠≠，由泰勒公式，对于1,2,,1i n =-，有()()()()()11!!n xn k ni i i k f f f x a f x a a k n ξ-=+=++∑，有此得 ()()()()()11!!n xn kn i i i k f f a f x a f x a k n ξ-==+--∑， 因此 ()()()()()1012!!!nx n k n i i i n k f f A a f x a f x a M M k n n ξ-=≤+++≤+∑，其中11max ni i n A a ≤<-=，令()()()11,,1,2,,1!x n ki i k f a A x x I i n k -==∈=-∑,则()()02,1,2,,1!i n AA x M M x I i n n ≤+∈=-，由于方程组的系数行列式D 为()()()2311111231222223111112!3!1!2!3!1!2!3!1!n n n n n n n a a a a n a a a a n D a a a a n ---------=-=()211112122212121111111!21!1n n n n n n n a a a a a a a a a n a a a -------=-！，其中后面的行列式为121,,,n a a a -范德蒙行列式，由()i j a a i j ≠≠及0i a ≠知0D ≠，故由克莱姆法则知，存在于X无关的常数()()()()()()121,,k k k n λλλ-，使得：()()()()()11n k k i i i f x A x λ-==∑，(),1,2,,1x I i n ∀∈∀=-，由此推得,1,2,,1x I k n ∀∈∀=-，有()()()()()()()110112!n n k k k i n k i i i i A fx A x M M M n λλ--==⎡⎤≤≤+=⎢⎥⎣⎦∑∑.例15 设函数()f x 在0x =附近有连续的n 阶导数，且()()()()'00,00,,00n f f f ≠≠≠.若121,,,n c c c +为一组两两互异的实数，证明，存在唯一的一组实数121,,,n λλλ+，使得当0h →时，()()110n i i i f c h f λ-=-∑是比n h 高阶的无穷小.证明：由题设条件可得，()()1,2,1i f c h i n =+在0x =处带有皮亚诺型余项的马克劳林展开式：()()()()1100!k k nk nk h c f c h f h k ==+ο∑，()()()()2200!k k nk n k h c f c h f h k ==+ο∑，当0h →时，若()()110n i i i f c h f λ-=-∑为比n h 高阶的无穷小.则121112211222112211112211++=1,++=0,++=0,++=0.n n n n n nn nn n c c c c c c c c c λλλλλλλλλλλλ++++++++⎧⎪+⎪⎪+⎪⎨⎪⎪⎪+⎪⎩ 这是以121,,,n λλλ+为未知数的线性方程组，其系数行列式为：()121222121111211110n n ijj i n nn n n c c c D c c c c c c c c ++≤<≤++==-≠∏.故上述方程组有唯一解，即存在唯一一组实数121,,,n λλλ+，使得当0h →时，()()110n iii f c h f λ-=-∑是比nh高阶的无穷小.（七） 范德蒙行列式在求解行列式中的应用行列式的计算是高等代数的重点内用之一，在一些行列式的求解问题中，常可见到范德蒙行列式的踪影，此时提示我们可利用行列式的性质或拆项，升降等方法，将给定行列式转化为范德蒙行列式的形式，从而利用其结果，求出原行列式的值，恰当灵活的运用范德蒙行列式会大大简化某些复杂行列式的计算.例16 122222221211112111=nn n n n n n n na x a x a x D a x a x a x a x a x a x ---+++++++++.解 将原n 阶行列式升阶为一个n+1阶行列式122222221211112111110000nnn n n n n n na x a x a x D a x a x a x a x a x a x ---+++=++++++. 然后将此n+1阶行列式第一行乘以()1,2,i a i n -=加到第i+1行可得12222212121111n nnnn n na x x x D a x x x a x x x -=--=1222212122111000n nnn n nx x x x x x x x x -12222212121111n nnnn n na x x x a x x x a x x x =()()()121112nn ijiijj i ni j i nx x x x x x a x x ≤≤≤=≤≤≤•----∏∏∏.例 17 设0x y z >>>，试证明:()2221,,0xx yz f x y z y y xz xy yz xzz z xy=<++. 证明：()()()()222222312222xx yz x x yz x y z x x D yy xz c x y z c c y y xz x y z y y zz xyzz xy x y z z z +++-=+++-+++-+++- ()()()()222x x xy yz xzy y xy yz xz xy yz xz y x z x z y zz xy yz xz++=++=++---++故()2221,,x x yzf x y z y y xz xy yz xzzz xy=++=()()()y x z x z y ---. 由已知0x y z >>>，有()0y x -<，()0z y -<，()0z x -<，所以有(),,0f x y z <例18 计算行列式()()()()()()()()()0001010111101n nnn n nnn n nn nn n n n a b a b a b a b a b a b D a b a b a b +++++++=+++解：设01000111101n nn n n n n n n n n nn n n n nC C a C a C C a C aD C C a C a =，01111012111n nn n n n n nb b b b b b D ---=，对2D 进行各行依交换，就可以得到范德蒙行列式，于是()()0010112112112011111111nnn n nn n n nnnnn n nnn a a b b b a a D D D C CC b b b a a ++=•=•-=12n n nnC C C()0ijj i na a ≤<≤-∏()()121n n +-()0ijj i nb b ≤<≤-∏.参考文献[1] 同济大学数学系.线性代数（第五版）.北京：高等教育出版社.2007（9）[2] 北大数学系编.王萼芳等修订.高等代数.第三版.北京:高等教育社.2003(2).[3] 郭大钧等.吉米多维奇数学分析习题集解（第三版）.济南:山东科学技术出版社.2005（3）.[4] 张禾瑞，郝炳新.高等代数[M].北京:高等教育出版社.1999[5] 白述伟.高等代数选讲[M].哈尔滨黑龙江教育出版社.1996.[6] 同济大学.高等代数与解析几何[M].北京:高等教育出版社.2005:223.[7] 刘丽，林谦，韩本三，等.高等代数学习指导与习题解析[M].成都:西南财经大学出版社.2009:39.170.253.[8] 邹应.数学分析习题及其解答[M].武汉:武汉大学出版社.2001:168.169.176.[9] 吴良森，毛羽辉.数学分析习题精解：多变量部分 [M].北京：科学出版社，2005.[10] 毛纲源.线性代数解题方法和技巧[M].武汉：湖南大学出版社.山东师范大学本科毕业论文（设计）题目审批表山东师范大学本科毕业论文（设计）开题报告论文题目：学院名称：专业：学生姓名：学号：指导教师：年月日山东师范大学本科毕业论文（设计）教师指导记录表指导教师意见评阅人意见答辩委员会意见学院学位分委员会意见山东师范大学本科毕业论文（设计）答辩记录表学院：（章）系别：专业：山东师范大学本科毕业论文（设计）摘要学院：专业：班级：山东师范大学本科毕业论文（设计）摘要学院：专业：班级：。
数学与应用数学毕业论文
数学与应用数学毕业论文数学与应用数学作为一门重要的学科，涉及到了各种数学理论和方法在现实生活中的应用。
在本篇毕业论文中，将着重探讨数学与应用数学领域的一些重要内容，并结合实际案例进行分析和讨论。
首先，我们将从数学的基础知识入手，探讨数学在解决实际问题中的应用。
数学的基础知识包括代数、几何、概率论等多个方面，这些基础知识为我们理解和应用数学打下了坚实的基础。
例如，在几何学中，我们可以运用几何知识来解决关于空间结构和形状的问题；在代数学中，我们可以利用代数方法来解决各种方程和不等式；在概率论中，我们可以用概率的概念来描述和分析随机事件的规律性。
接着，我们将重点讨论数学在金融领域中的应用。
金融数学是数学与应用数学领域中一个重要的分支，它将数学的方法和技巧应用到金融市场的建模和预测中。
例如，通过数学模型可以对金融市场的波动性进行分析和预测，从而帮助投资者制定有效的投资策略；又如，通过数学的方法可以对金融产品的定价进行准确计算，保证金融交易的稳定和有效性。
此外，我们还将探讨数学在人工智能和机器学习中的应用。
随着人工智能技术的快速发展，数学方法在机器学习领域中扮演了重要角色。
例如，通过数学模型可以对大数据进行分析和挖掘，从而发现数据中的隐藏规律；又如，通过数学的方法可以构建复杂的神经网络模型，实现对人工智能系统的训练和优化。
综上所述，数学与应用数学是一门重要的学科，它不仅包含丰富的基础知识，而且在各个领域中都有着广泛的应用。
通过本篇毕业论文的研究，我们可以更加深入地了解数学与应用数学领域的相关内容，并为今后的学习和研究提供参考和帮助。
希望本篇毕业论文能够对读者有所启发和帮助，谢谢！。
数学与应用数学专业的毕业论文
数学与应用数学专业的毕业论文数学与应用数学专业的毕业论文数学与应用数学专业是一门综合性较强的学科，它在现代科学和技术中扮演着重要的角色。
而毕业论文是数学与应用数学专业学生完成学业的重要环节之一，它不仅是对所学知识的总结与应用，更是对学生综合能力的考验。
本文将从数学与应用数学专业毕业论文的意义、选题与研究方法以及撰写技巧等方面进行探讨。
首先，数学与应用数学专业毕业论文的意义不仅在于对所学知识的运用，更重要的是培养学生的科研能力和创新思维。
在论文的选题和研究过程中，学生需要运用所学的数学理论和方法，分析和解决实际问题，这既需要扎实的数学基础，也需要学生具备独立思考和解决问题的能力。
通过论文的撰写，学生可以更好地理解和掌握所学的知识，并培养自己的科研兴趣和能力，为今后的学术研究或职业发展打下坚实的基础。
其次，选择合适的论文选题和研究方法是数学与应用数学专业毕业论文的关键。
在选题方面，学生可以结合自己的兴趣和实际需求，选择与数学与应用数学专业相关的研究领域或热点问题进行深入研究。
同时，还可以参考前人的研究成果，选择有一定研究价值和创新性的课题。
在研究方法方面，学生可以根据选题的特点和要求，选择合适的数学模型和分析方法进行研究。
例如，可以运用概率论和统计学方法来分析实际问题的概率分布和相关性，或者运用微分方程和数值计算方法来求解实际问题的解析解或数值解等。
然后，撰写数学与应用数学专业毕业论文需要注意一些技巧和规范。
首先，论文的结构应该清晰合理，包括引言、研究方法、实验结果与分析、结论等部分。
引言部分应该简要介绍研究背景和意义，明确研究目的和方法。
研究方法部分应该详细描述所采用的数学模型和分析方法，确保读者能够理解和复现实验过程。
实验结果与分析部分应该客观准确地呈现实验结果，并结合数学理论进行深入分析和讨论。
最后，结论部分应该总结研究成果，指出不足之处，并提出进一步研究的方向和建议。
此外，数学与应用数学专业毕业论文的撰写还需要注意语言表达的准确性和科学性。
数学与应用数学毕业论文范文
数学与应用数学毕业论文范文在数学领域里，应用数学占有重要的位置，理论上应用数学包括运筹学和线性代数，还有概率论及数理统计等学科。
下文是店铺为大家整理的关于数学与应用数学毕业论文的内容，欢迎大家阅读参考!数学与应用数学毕业论文篇1浅析高校目前的应用数学教学状况与改革策略在高校设立的学科中数学教学占有的位置不容忽视，加强数学教育就能够使学生在解决实际问题时更有把握，并且学生自身还可以构建其数学知识体系。
所以，在进行高效实际数学教学改革时，师生都对教学改革的观念加以重视，同时要慢慢的培养学生养成良好的学习习惯。
1 高校应用数学内在的意义高校应用数学这门学科非常重要，并且不同与以往的教学。
其一，是应用领域上的不同，高校应用数学的开始针对性特别的强，以往是数学有着较为传统的应用领域。
其二，应用数学主要关注的就是将理论知识联系到实际，可是，以往的数学主要就是对理论加以注重。
即使有很大的差异存在这两种数学中，可是这两种学科的内容是不能分离的，他们是一个整体，存在的差异也只是在针对性方面和教学目标方面[1].2 高校目前的应用数学的教学状况2.1 建立应用数学的有关课堂学生在深入学习应用数学知识后，可以对数学中的一些基础运算加以掌握，并且学生的思维能力也得到了提高，学生能够深入的分析数学中的所有问题，并在对所有问题应用所学的理论知识加以解决，对学生的数学理论知识的运用与创新能力进行培养，最后达到提升学生数学素养的目标。
大学生的教学课程就包括高等数学课程，并且高校还建立了与改课程有关的专人培养内容，对应用数学的学习有助于学习其他的学科，想要学好其他的课程，应用数学的学习必不可少[2].高校建立应用数学课堂，这样学生就能掌握数学的理论知识，学生的学习数学能力将会得到培养，同时增加学生的学习兴趣，学生的数学素养也会得到提高。
2.2 高校数学中出现的问题(1)在教学内容上有问题存在。
高校数学教学的内容上涵盖性较强，很多专业学生对数学的学习知识为基础理论，根本不能联系数学实践，所以，教学的领域根本不符合教学要求，并且，学生在整个学习的过程中对所有理论知识都不能深刻的理解，这都阻碍了学生积极主动的学习数学理论知识的想法。
数学与应用数学论文范文
数学与应用数学论文范文摘要：本文通过对数学与应用数学的研究问题的讨论和解决方案的提出，展示了数学在实际应用中的重要性和应用前景。
首先介绍了数学与应用数学的基本概念和研究领域，然后分析了数学在金融、工程、物理等领域中的应用案例，并提出了相关的数学模型和计算方法。
最后，指出了数学与应用数学的研究对于推动科技进步和社会发展的重要意义。
1. 引言数学与应用数学作为一门基础科学和应用科学，对于现代科学技术和社会经济的发展起着重要的推动和支撑作用。
本文旨在通过论述数学与应用数学的研究问题和解决方案，展示其在实际应用中的价值和前景。
2. 数学与应用数学的概念与研究领域2.1 数学的概念数学是一门研究数量、结构、变化以及空间等概念与关系的学科。
它通过逻辑推理和符号运算等方法，对现实世界中的问题进行抽象和建模，进而实现问题求解和事物探索。
2.2 应用数学的概念应用数学是将数学的理论和方法应用到实际问题中，通过数学模型的建立和计算方法的研究，解决现实世界中复杂的科学技术和社会经济问题。
2.3 研究领域数学与应用数学的研究领域广泛，包括但不限于以下几个方面：微积分与实分析、代数与数论、几何与拓扑、概率与统计、离散数学与应用、计算数学与科学计算等。
3. 数学在金融领域的应用3.1 金融数学模型金融领域常常涉及到股票、债券、期货、期权等复杂的金融工具和风险评估。
数学在金融中的应用主要通过建立数学模型来解决这些问题，如布朗运动模型、风险价值模型等。
3.2 投资组合理论投资组合理论是金融数学的重要理论之一。
通过建立数学模型，可以根据相关的金融指标来优化投资组合，实现风险最小和收益最大的目标。
4. 数学在工程领域的应用4.1 工程优化问题工程领域经常需要解决最优化问题，如最小成本、最大效能等。
数学在工程中的应用主要通过建立数学模型和运用优化算法来解决这些问题，如线性规划、非线性规划等。
4.2 工程测量与控制工程测量与控制是工程中不可缺少的一环。
数学与应用数学专业本科毕业论文选题统计与分析
数学与应用数学专业本科毕业论文选题统计与分析数学与应用数学专业本科毕业论文选题统计与分析摘要：本文主要对数学与应用数学专业2014～2017届本科毕业论文的选题进行研究。
通过对毕业论文选题的来源和内容进行统计与分析，总结出论文选题中存在的一些问题，进而给出其相应的解决措施和建议。
关键词：数学与应用数学专业；毕业论文选题；统计；分析毕业论文是高等学校人才培养目标的重要环节，对培养学生初步的科研能力和运用知识分析问题、解决问题的能力有重要意义。
论文的选题是论文撰写的起点，也是最关键的部分。
选题是否符合专业人才培养目标，能否涵盖本专业多数主干课程的内容，难易程度是否适合，都对论文的质量有很大影响。
本文通过对近四年数学与应用数学专业（简称数学专业）本科毕业论文的指导和分析，总结论文选题方面存在的一些问题，并给出其相应的解决措施和建议。
一、研究对象?c研究方法（一）研究对象本文主要对西安财经学院数学专业2014～2017届285篇本科毕业论文的选题进行研究。
（二）研究方法1. 查阅资料法。
通过对学院的历届论文统计资料的研究，系统地整理和归纳出数学专业本科毕业论文选题的来源。
2. 数理统计法。
应用统计软件对整理归纳出的数据进行统计和分析。
3. 调查访问法。
为了积累大量素材，对学院教学副院长、部分指导老师和学生进行调查访问。
4. 归纳综合法。
采用归纳、综合等逻辑分析方法，客观地分析所研究的问题。
二、研究结果与分析（一）毕业论文的选题来源统计与分析论文选题来源主要是指导教师自主命题、学生参与指导教师课题以及学生自己拟定题目，即命题、课题、自拟。
表1统计了近四年论文选题来源的分布情况。
由表1知，平均61.05%的选题是命题，平均38.95%的选题是课题和自拟。
论文选题方式过于简单和单一，在一定程度上反映了教师在科研方面涉及面较窄和学生参与实践的能力和水平较低。
参与课题的论文比例有所提高，从最低17.95%上升到20.29%。
本科数学与应用数学毕业论文图论范文
本科数学与应用数学毕业论文图论范文我国传统数学教育模式内容相对陈旧、体系单一、知识面窄、偏重符号演算和解题技巧，脱离实际应用，缺乏应用数学知识解决实际问题的实践意识和能力，创新精神和创新能力不足。
然而，高科技信息时代的迅速发展对学生的数学素质又提出了新的要求，现有教育模式所培养的学生在某种程度上已经不能适应社会的需要。
实践表明，数学研究化图论能激发学生学习欲望，是培养学生主动探索、努力进取的学风和团结协作精神的有力措施；是数学知识和应用能力共同提高的最佳结合点；是启迪创新意识和创新思维、锻炼创新能力、培养高层次人才的一条重要途径。
因此高校教师在实际的教学过程中要把数学研究化图论的思想、方法及内容融入到当今的大学数学教学中去，是一种行之有效的素质教育方法。
本文主要从以下几个方面对图论部分的教学进行了讨论：一、整合教学资源，重视双基学习，激发学生兴趣图是一类相当广泛的实际问题的数学模型，有着极其丰富的内容，是数据结构等课程的先修内容。
学习时应掌握好图论的基本概念、基本方法、基本算法，善于把实际问题抽象为图论的问题，然后用图论的方法解决问题。
那在实际的教学过程中，要充分利用课堂上的时间让学生掌握好这些基本概念、基本方法、基本算法则是显示一名大学教师基本功的时候。
因此，教师在讲解最常用的概念如：无向图，有向图，顶点集，边集，n阶图，多重图，简单图，完全图，图的同构，入度，出度，度，孤立点等时，要细讲而精讲，要讲到根上，不仅要帮助学生理解每个概念的具体含义，更重要的是要引导学生总结规律，探索方法，培养能力。
教师要充分相信学生，注意从学生的思维角度去剖析问题，运用设疑、讨论、启发、诱导等方式，给他们充分的时间去思考、体会和消化。
二、积极采用多媒体教学，使抽象复杂的内容变得具体形象当然制作一个多媒体课件并不是简单的把书本上的概念和定理照搬到PPT上，而是用具体形象的媒体冲击同学的感官视觉效果，使其能从中更加深刻体会抽象的概念和定义。
数学与应用数学专业本科毕业论文标题
数学与应用数学专业本科毕业论文标题随着社会的不断发展和进步，数学在各个领域的应用也越来越广泛。
数学与应用数学专业的本科毕业论文是学生为了完成自己的学业而需要完成的一项重要任务。
在写本科毕业论文时，选择一个合适的题目非常重要，因为一个恰当的题目能够准确地揭示出论文的内容，为读者提供一个全面清晰的指引。
在本文中，将探讨一些适合数学与应用数学专业本科毕业论文的题目，以帮助学生在选择题目时作出合理的决策。
一、数学建模方面的论文题目1. 基于数学模型的交通流量分析与优化研究2. 应用数学方法建模的经济增长预测3. 基于生物数学建模的癌症传播研究4. 通过数学模型预测疫情蔓延的风险分析5. 数学模型在金融风险管理中的应用研究二、数值计算与算法方面的论文题目1. 数值求解常微分方程组的高效算法研究与应用2. 针对大型线性方程组的并行计算方法研究3. 基于有限元方法的流体力学问题数值模拟与分析4. 线性规划问题的算法优化研究5. 数值计算方法在图像处理中的应用研究三、概率统计与随机过程方面的论文题目1. 基于概率统计方法的财务风险定量分析2. 随机过程在股票市场预测中的应用研究3. 非参数统计方法在生存分析中的应用研究4. 最优化问题中的随机算法研究与应用5. 大数据分析中的蒙特卡罗模拟方法研究四、数据分析与机器学习方面的论文题目1. 基于机器学习算法的信用评分模型构建2. 数据挖掘方法在电商推荐系统中的应用研究3. 基于高维数据分析的异常检测方法研究4. 文本分类问题的特征选择算法研究5. 机器学习方法在医疗诊断中的应用研究五、优化理论与应用方面的论文题目1. 连续优化问题的改进算法与收敛性分析2. 多目标规划问题的帕累托最优解研究3. 优化问题中的次梯度方法研究4. 供应链优化问题的模型建立与分析5. 机器学习算法在组合优化问题中的应用研究六、教育与科普方面的论文题目1. 数学教育中的有效教学策略探究2. 数学启蒙教育的教学模式创新与实践3. 数学知识在生活中的应用与普及4. 数学游戏对儿童数学学习的影响研究5. 大众数学科普资源的开发与利用以上仅为数学与应用数学专业本科毕业论文的一些题目示例，希望能对有需要的学生提供一些参考和启发。
数学与应用数学本科毕业论文
数学与应用数学本科毕业论文数学与应用数学本科毕业论文随着科技的不断发展，数学在现代社会中的应用越来越广泛。
作为一门基础学科，数学为其他学科的研究提供了理论基础和方法论。
在数学专业的本科学习中，毕业论文是对学生综合能力的一次全面考察，也是对所学知识的应用与拓展。
本文将探讨数学与应用数学本科毕业论文的主题选择、研究方法和写作技巧。
一、主题选择数学与应用数学本科毕业论文的主题选择应该紧密结合实际应用，既要有一定的理论深度，又要有实际问题的解决方法。
可以从以下几个方面考虑：1. 数学模型与应用数学模型是将实际问题抽象化的数学描述，通过数学方法求解，得到问题的解决方案。
可以选择某个实际问题，通过建立数学模型，研究其解的存在性、唯一性、稳定性等性质。
例如，可以研究交通流量模型、生态系统模型、金融风险模型等。
2. 数学算法与计算方法数学算法是解决数学问题的具体步骤和方法，计算方法是利用数学算法解决实际问题的过程。
可以选择某个数学算法或计算方法进行研究，分析其优缺点、适用范围和改进方法。
例如，可以研究最优化算法、数值解法、数据挖掘算法等。
3. 数学与其他学科的交叉应用数学与其他学科的交叉应用是数学发展的重要方向之一。
可以选择某个学科领域，通过数学方法解决其相关问题。
例如，可以研究医学图像处理中的数学模型、物理学中的微分方程求解、经济学中的统计分析等。
二、研究方法数学与应用数学本科毕业论文的研究方法可以分为理论分析和实证研究两种。
1. 理论分析理论分析是通过推理和证明来研究问题的方法。
可以选择某个数学理论或方法，进行深入的推导和证明，分析其性质和应用。
例如，可以选择微分方程的解析解求解方法，通过推导和证明得到其解的形式和性质。
2. 实证研究实证研究是通过实际数据和实验来验证理论和方法的有效性和适用性。
可以选择某个实际问题，收集相关数据，进行统计分析和建模，验证数学方法的可行性和准确性。
例如，可以选择金融市场的波动性研究，通过收集股票价格数据，进行波动性分析和建模。
数学与应用数学毕业论文范文(精选)
数学与应用数学毕业论文范文（精选）毕业论文题目：数学模型在社会经济中的应用摘要随着社会的发展和经济的进步，人们越来越多地将数学模型应用到各个领域，改善人们的生活质量。
这篇文章将探讨数学模型在社会经济领域的应用，包括在商业管理、决策分析、金融市场、价格发放、核心技术研发、预测分析等方面的应用。
本文重点介绍了数学模型在商业管理领域的应用，例如投资分析，企业成本分析，以及在金融市场的应用，包括股票价格预测，投资组合管理，风险管理等。
本文最后介绍了人们在不同领域用数学模型解决实际问题的若干实例，以及可能发展的方向。
关键词：数学模型；商业管理；金融市场；实例AbstractWith the development of society and economic progress, more and more mathematical models are adopted in various fields, thus improving the quality of people's life. This paper will explore the application of mathematical models in social and economic fields, including business management, decision analysis, financial markets, price issue, core technology research and development, prediction analysis and so on. This paper mainly introduces the application of mathematical models in the field of business management, such as investment analysis, enterprise cost analysis, and in the field of financial market, includingstock price prediction, portfolio management, risk management and so on. Finally, this paper introduces several examples of people using mathematical models to solve practical problems in different fields, as well as the possible direction of development.。
数学与应用数学本科毕业论文
仿真算法设计与实现
01
数值计算方法
运用数值计算技术，如插值、拟 合、数值积分等，对模型进行求
解。
03
智能优化算法
借鉴自然现象和生物行为，设计 智能优化算法，如遗传算法、蚁 群算法等，用于求解优化问题。
02
蒙特卡罗方法
基于概率统计理论，通过随机抽 样模拟系统行为，适用于复杂系
统仿真。
04
并行计算技术
数学与应用数学本科毕业论 文
2024-01-09
目录
• 引言 • 数学与应用数学基础理论 • 应用数学领域研究 • 数学建模与仿真分析 • 数学与应用数学前沿研究 • 结论与展望
01
引言
研究背景和意义
数学与应用数学的发展
简要介绍数学与应用数学的历史发展 、主要分支以及在各个领域的应用情 况。
研究的重要性
研究平面上的点、直线和二次曲线的 性质，包括坐标法、向量法和解析法 等。
研究在射影变换下图形的不变性质和 变化规律，包括射影平面、射影空间 和射影变换等。
空间解析几何
研究三维空间中的点、直线和平面的 性质，包括空间向量的运算、空间直 角坐标系和空间曲线与曲面等。
概率论与数理统计
1 2 3
概率论基础
数学与应用数学的发展需要广泛的学术交流与合作。未来可以积极参加学术会议、研讨会等活动，与同 行专家进行深入交流和讨论，共同推动数学与应用数学的进步和发展。
感谢您的观看
THANKS
研究线性规划问题的理论、算法及其在经济管理、交通运输等领域 的应用。
非线性规划
研究非线性规划问题的求解方法，如梯度法、牛顿法等，并探讨其 在机器学习、人工智能等领域的应用。
组合优化
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毕业论文
题 目 试论新建本科院校数学与应用数学 专业程序设计语言课程设置与教学
教学点 专业 年级 姓名 指导教师
泸州教学点 数学与应用数学
2012 级
定稿日期：2013 年 10 月 30 日
四川理工学院成人教育学院
毕业论文任务书
学生姓名 论文题目
接受任务日期 指导教师（签名）
关键字：应用数学 课程 教材建设 实践教学 教学手段
2009 年 4 月我校升格为本科院校,数学与应用数学本科专业是首批升本专业 之一,教学内容改革和课程体系设置是我们学习本科教育、研究本科教育和实践 本科教育的重要工作。教育部在《关于进一步深化本科教学改革全面提高教学质 量的若干意见》中明确指出,要深化教学内容改革,坚持知识、能力和素质协调发 展,继续深化人才培养模式、课程体系、教学内容和教学方法等方面的改革,实现 注重知识传授向更加重视能力和素质培养的转变[1]。高等院校必须紧跟社会发 展需求,构建科学、合理的具有特色的教学与实践模式,以保证人才培养质量的全 面提高。实现人才培养目标落实在人才培养方案制定和实施上,而人才培养方案 的核心内容是课程体系设置,因而课程体系设置和教学是一个关键的问题。
2) 第 3 学期开设 VB,总 54 学时(其中理论 36 学时,实验 18 学时),侧重讲 解可视化编程技术、可视化编程环境的使用等;
3) 第 4 学期选修 C++或 Java,总 72 学时(其中理论 54 学时,实验 18 学时), 侧重讲解面向对象设计方法、类及其对象等;
4) 第 5 学期开设数值计算软件 Matlab,总 72 学时(其中理论 18 学时,实验 54 学时),侧重讲解矩阵运算、绘制函数和数据图形、实现算法、创建用户界面、 连接其他编程语言的程序等;
四、程序设计语言课程的教材建设
教材建设是程序设计语言课程教学的重要组成部分,是教学指导思想、培养 目标和课程基本要求的具体体现[6]。教材建设过程中充分考虑到数学与应用数 学的专业特点,以应用为目的和出发点,选择教育部推荐的“十一五”规划教材、 获省部级以上优秀教材奖的教材,或者著名大学编写的实用性较强的教材,如谭 浩强教授编写的《C 语言程序设计》。鼓励教师参加各类规划教材、重点教材的 编写工作,提升专业教材建设的水平层次和竞争力。
内 容
写作能力、口头表达能力得到一定的提高。
目
2．培养学生正确的设计思想、理论联系实际的工作作风和严肃认真的科学态度。
标 进一步训练和提高学生的设计能力、计算能力、使用计算机的能力和文字表达等基本
技能
论
文
1、字数要求：本科论文不少于 5000 字，设、关键字(词)、目录、正文、结论（结语）、参考
1
应该说数学与应用数学方向是非师范教育,培养目标主要不是教师,然而事 实并非如此,新建地方本科院校的数学与应用数学专业的非师方向与建设历史较 长的综合大学和理工科大学的数学与应用数学专业不同,后者的培养目标主要是 数学研究和应用人才[3]。如果我们也把培养目标定位在数学研究和应用人才上, 这不符合实际情况,至少目前是这样。虽然将来有为数不多的学生考上研究生, 并能够做数学研究和应用工作,有部分同学继续学习与数学学科关系紧密的应用 技术类专业,如管理学、经济学、计算机科学或相关的理工科专业,但大多数学生 主要还是从事基础教育师资的,所以我们的课程体系设置应该根据这些实际情况 有针对性地改革。
数学与应用数学本科专业的前身是数学教育专业,自 1978 年学校成立招生 办学以来,数学教育专业就是学校首批师范类全日制专科的招生专业之一,至今 毕业生人数已达 1 500 人。除此之外,从建校开始,数学系就曾与云南师范大学 联合办学招收全日制本科数学教育专业学生 61 人,随着教育事业的发展,社会对 数学教师的需求逐渐增大,对专业和学历的要求也越来越高,从 1998 年起又连续 办了五届本科成人教育函授班,毕业生人数 383 人。
求
文献、致谢、附录等几部分构成。
[1] 成宝芝,郭险峰,郭宗光,等. 电子信息工程专业教学与实践模式研究
[J]. 大庆师范学院学报,2009(3):142-144.
[2] 王涛. 今日应用数学与高师应用数学教育的特殊意义[J].云南师范大学
学报,1999(2):66-69.
参
[3] 刘绍武,莫海平,韩超. 新建地方本科院校数学与应用数学专业课程体系
随着高等教育的大众化与普及化,新建本科院校要想在激烈竞争的教育市场 中取得一席之地,除了抓好本科层次教育外,还应适当发展专科生、研究生层次的 教育,教材建设应体现多样性、层次性;同时,还应注重学科性质和专业特色,选用 教材应体现出程序设计语言课与专业课、基础学科和培训教材的联系和差异[7]。 程序设计语言课程选用的教材不仅能传授最新的知识、体现教材的学科特色,而 且应考虑教师主体的自身需求和受教育者兴趣、态度、接受能力等个别差异,充 分调动教师的“教”和学生的“学”。
5) 第 6 学期选修中小学课件制作,总 72 学时(其中理论 18 学时,实验 54 学 时),侧重讲解课件制作技术,为学生进行教育实习做好准备;
6) 第 7、8 学期学生忙于实习、找工作、写毕业论文和报考硕士研究生等, 学习理论性较强的内容,效果不好,开设综合性较强的数学工具软件及其应用课 程,如 Mathematica 或 Maple,总 54 学时(其中理论 18 学时,实验 54 学时),侧重 讲解数值计算与符号演算。
二、程序设计语言课程的重要性
正如自然语言是人类社会交流的工具一样,计算机语言也是应用者和计算机 之间进行交流的一种工具。全国大学生数学建模比赛、电子设计比赛、“挑战杯” 全国大学生课外学术科技作品竞赛等尚需一批既懂专业又懂程序设计语言的学 生去实践。而对于常用的计算机辅助教学软件,其管理和维护也需要使用者掌握 程序设计语言。目前,虽然软硬件技术平台在飞速发展,但还没有一个不使用程序 设计语言就能进行软件开发的环境,要使学生毕业后进行软件开发工作,就需要 较 深 入 地 掌 握 先 进 的 可 视 化 开 发 工 具 , 如 Visual C++ 、 Java Builder 、 VisualBasic、PowerBuilder、Delphi 等,但是目前的课程设置,还不能较好地满 足社会对毕业生的要求。
随着社会经济的发展,社会对大学生能力和知识的要求在不断变化,已经从 单纯的专业能力,向综合能力和综合知识转变。这个转变也直接对大学生产生了 影响,计算机、外语、金融类课程越来越受到学生的重视[4]。而对于学生的个人 发展来说,程序设计语言课对学生综合素质和能力的培养也起着重要的作用。学 生报考硕士研究生时,除了报考基础数学和学科教学法方向外,还可以报考计算 机、自动化、经济类等方向,这些学生学习程序设计语言对他们考研大有益处。
专业班级
2012 级数学与应用数学
试论新建本科院校数学与应用数学专业程序设计语言课程设置与教学
2013 年 5 月 26 日
完成任务日期
2013 年 10 月 30 日
指导教师单位
论
1．通过毕业论文时间教学环节，使我们所学的基础理论、专业知识、基本技能得
文 到不同的巩固、深化、提高，学会用文献检索、调查研究、综合分析等方法编写报告，
五、程序设计语言课程的教学改革
（一）加强实践教学,注重能力培养 程序设计语言是一类实践性很强的课程,知识点的掌握与能力的培养在很大 程度上有赖于学生上机的实践。加强实践教学环节的目的是培养学生的编程能 力、解决实际问题的能力以及综合运用知识的能力;培养学生团队精神、创新精 神和提高学生研究性学习能力。实践教学在今后的教学中应该起更大的作用,很 多教学内容可以通过实验课教学形式讲授,在教学计划中需列出一定比例的实践 教学课时安排,以保证实践教学质量。 实践教学应以学生为主,教师以行动引导学生为辅,充分发挥学生的主观能 动性。程序设计语言课程的实验中,一部分是验证教材的知识点,这对知识的理 解、掌握和巩固是必要的。在此基础上,教师可设计属于应用型的实验内容,以培
考 资
构建研究[J]. 绥化学院学报,2009(5):145-147.
料
[4] 张侨平,严启平. 关于数学与应用数学专业课程设置与教学方法的调查报
告[J].湖北大学学报,2006(3):244-247.
[5] 王文豪,张亚红,陈晓兵. 数据结构课程教学改革研究与探讨[J]. 大庆
师范学院学报,2009(5):156-159.
试论新建本科院校数学与应用数学专业程序设计语言
课程设置与教学
姓名
摘 要：程序设计语言课程是数学与应用数学专业的基础课,设置合理的课 程体系是新建本科院校人才培养模式的一个重要环节,以专业需求和培养学生综 合素质为目的,根据目前流行的程序设计语言,从课程选择与设置、教材建设、加 强实践教学和改进教学手段等方面做了探讨。
从培养学生编程能力的侧重点不同,程序设计语言课程也可分为两个层次, 语言级程序设计,重在语言(如 C、C++)级程序设计技术与原理;工具级程序设计, 重在利用工具(如 VC++、VB、Delphi)开发应用程序。无论选用哪种语言,都应讲 解程序设计的基础知识与基本编程技术。
由于不同的要求和学时所限,在程序设计语言课程设置中可以采用“1+X” 的方案,其中 X 部分由各新建本科院校自定,即:大学计算机基础+若干必修∕选 修课程。在规划必修∕选修课程时,可根据数学与应用数学专业的定位和学生的 发展方向,制定合适的必修和选修课程,也可将典型核心课程整合,构造新课程, 如运筹学、数学建模等课程。
一、充分认识数学与应用数学本科专业
数学正形成三大分支: 基础数学、计算数学和应用数学。基础数学,即传统 的纯粹数学理论,如拓扑学、泛函分析、抽象代数、微分几何等。计算数学,即计 算机与数学相结合形成的直接应用于生产、服务和管理等方面的技术产品,它由 数学模型和算法构成,通常表现为软件的形式,如快速报价系统软件、中长期天气 预报软件、计算机模拟技术等。应用数学,用数学的观点、理论、方法去理解自 然和社会,把实际问题运用数学的语言和方法,通过抽象化建立描述问题的数学 模型,然后选择或创造合适的数学工具,并借助计算机求解该模型,最后通过模拟 或实践修正该模型,使之达到最优[2]。本专业培养掌握数学学科的基本理论与基 本方法,具备运用数学知识、使用计算机解决实际问题的能力,受到科学研究的初 步训练,能在科技、教育和经济部门从事研究、教学工作或在生产经营及管理部 门从事实际应用、开发研究和管理工作的高级专门人才。