【奥赛】小学数学竞赛:圆柱与圆锥.教师版解题技巧 培优 易错 难
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立体图形 表面积
体积
圆柱
h
r
222π2πS rh r =+=+圆柱侧面积个底面积
2πV r h =圆柱
圆锥h r
22ππ360
n
S l r =+=
+圆锥侧面积底面积 注:l 是母线,即从顶点到底面圆上的线段长 21
π3
V r h =圆锥体
板块一 圆柱与圆锥
【例 1】 如图,用高都是1米,底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体.问这个物体
的表面积是多少平方米?(π取3.14)
11
1
1
1.5
0.5
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 从上面看到图形是右上图,所以上下底面积和为22 3.14 1.514.13⨯⨯=(立方米),侧面积为
2 3.14(0.51 1.5)118.84⨯⨯++⨯=(立方米),所以该物体的表面积是14.1318.8432.97+=(立方米).
【答案】32.97
【例 2】 有一个圆柱体的零件,高10厘米,底面直径是6厘米,零件的一端有一个圆柱形的圆孔,圆孔的
直径是4厘米,孔深5厘米(见右图).如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆,那么一共要涂多少平方厘米?
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 涂漆的面积等于大圆柱表面积与小圆柱侧面积之和,为
例题精讲
圆柱与圆锥
26
6π10π()24π560π18π20π98π307.722
⨯+⨯⨯+⨯=++==(平方厘米).
【答案】307.72
【例 3】 (希望杯2试试题)圆柱体的侧面展开,放平,是边长分别为10厘米和12厘米的长方形,那么这
个圆柱体的体积是________立方厘米.(结果用π表示)
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 当圆柱的高是12厘米时体积为210300
π()122ππ⨯⨯=(立方厘米)
当圆柱的高是12厘米时体积为212360π()102ππ⨯⨯=(立方厘米).所以圆柱体的体积为300
π
立方厘米
或360π立方厘米.
【答案】300π立方厘米或360
π
立方厘米
【例 4】 如右图,是一个长方形铁皮,利用图中的阴影部分,刚好能做成一个油桶(接头处忽略不计),求
这个油桶的容积.(π 3.14=)
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 圆的直径为:()16.561 3.144÷+=(米),而油桶的高为2个直径长,即为:428(m)⨯=,故体积为100.48立方米.
【答案】100.48立方米
【巩固】如图,有一张长方形铁皮,剪下图中两个圆及一块长方形,正好可以做成1个圆柱体,这个圆柱体
的底面半径为10厘米,那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米?(π 3.14=)
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 做成的圆柱体的侧面是由中间的长方形卷成的,可见这个长方形的长与旁边的圆的周长相等,则剪
下的长方形的长,即圆柱体底面圆的周长为:2π1062.8⨯⨯=(厘米), 原来的长方形的面积为:10462.81022056⨯+⨯⨯=()()(平方厘米).
【答案】2056
【例 5】 把一个高是8厘米的圆柱体,沿水平方向锯去2厘米后,剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体
表面积减少12.56平方厘米.原来的圆柱体的体积是多少立方厘米?
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 沿水平方向锯去2厘米后,剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少的部分为减掉的2厘
米圆柱体的侧面积,所以原来圆柱体的底面周长为12.562 6.28÷=厘米,底面半径为6.28 3.1421÷÷=厘米,所以原来的圆柱体的体积是2π188π25.12⨯⨯==(立方厘米).
【答案】25.12
【巩固】一个圆柱体底面周长和高相等.如果高缩短4厘米,表面积就减少50.24平方厘米.求这个圆柱体的
表面积是多少?
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 圆柱体底面周长和高相等,说明圆柱体侧面展开是一个正方形.高缩短4厘米,表面积就减少50.24
平方厘米.阴影部分的面积为圆柱体表面积减少部分,值是50.24平方厘米,所以底面周长是50.24412.56÷=(厘米),侧面积是:12.5612.56157.7536⨯=(平方厘米),两个底面积是:
()2
3.1412.56 3.142225.12⨯÷÷⨯=(平方厘米).所以表面积为:157.753625.12182.8736+=(平方厘米).
【答案】182.8736
【例 6】 (两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)一个圆柱体形状的木棒,沿着底面直径竖直切成
两部分.已知这两部分的表面积之和比圆柱体的表面积大22008cm ,则这个圆柱体木棒的侧面积是________2cm .(π取3.14
)
第2题
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据题意可知,切开后表面积增加的就是两个长方形纵切面.
设圆柱体底面半径为r ,高为h ,那么切成的两部分比原来的圆柱题表面积大: 2222008(cm )r h ⨯⨯=,所以2502(cm )r h ⨯=,所以,圆柱体侧面积为:
22π2 3.145023152.56(cm )r h ⨯⨯⨯=⨯⨯=.
【答案】3152.56
【巩固】已知圆柱体的高是10厘米,由底面圆心垂直切开,把圆柱分成相等的两半,表面积增加了40平方厘
米,求圆柱体的体积.(π3=)
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 圆柱切开后表面积增加的是两个长方形的纵切面,长方形的长等于圆柱体的高为10厘米,宽为圆柱
底面的直径,设为2r ,则210240r ⨯⨯=,1r =(厘米).圆柱体积为:2π11030⨯⨯=(立方厘米).
【答案】30
【例 7】 一个圆柱体的体积是50.24立方厘米,底面半径是2厘米.将它的底面平均分成若干个扇形后,再
截开拼成一个和它等底等高的长方体,表面积增加了多少平方厘米? (π 3.14=)
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 从图中可以看出,拼成的长方体的底面积与原来圆柱体的底面积相同,长方体的前后两个侧面面积
与原来圆柱体的侧面面积相等,所以增加的表面积就是长方体左右两个侧面的面积. (法1)这两个侧面都是长方形,且长等于原来圆柱体的高,宽等于圆柱体底面半径.
可知,圆柱体的高为()
250.24 3.1424÷⨯=(厘米),所以增加的表面积为24216⨯⨯=(平方厘米); (法2)根据长方体的体积公式推导.增加的两个面是长方体的侧面,侧面面积与长方体的长的乘积就是长方体的体积.由于长方体的体积与圆柱体的体积相等,为50.24立方厘米,而拼成的长方体的长