分段函数的性质与应用

高中数学微专题之——

分段函数【考纲要求】

【考题分析】

【命题规律】

分段函数是高考考查的重点和热点，主要考查分段函数求值、分段函数值域与最值、分段函数的图像与性质、分段函数方程、分段函数不等式等，考查分类整合、转化与化归、函数与方程、数形结合等数学思想与方法，考题多为填空题，难度为中档题或难题.

【基础知识】

若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数. 分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同范围的值时所使用的解析式不同，所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的范围是否在发生变化．即“分段函数——分段看” ．

【题型分析】

【题型一】求函数值

【例1】(2017·盐城中学一模)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

⎝ ⎛⎭⎪⎫13x

(x ≤0)，log 3x (x >0)，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤

f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝________.

【解析】∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫13－2

＝9. 【方法技巧归纳】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．

【例2】设函数()()cos ,0

11,0

x x f x f x x π>⎧=⎨+-≤⎩，则

103f ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

的值为_________ 【解析】由()f x 解析式可知，只有0x >，才能得到具体的数值，0x <时只能依靠()()11f x f x =+-向0x > 正数进行靠拢。由此可得：

107412123433333f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

-=--=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，而

221cos 332f π⎛⎫

==- ⎪⎝⎭ 10932f

⎛⎫

∴-=- ⎪

⎝⎭

【方法技巧归纳】含有抽象函数的分段函数，在处理里首先要明确目标，即让自

变量向有具体解析式的部分靠拢，其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）比如在本题中：()()0,11x f x f x <=+-可以立即为间隔为1的自变量，函数值差1，其作用在于自变量取负数时，可以不断1+直至取到正数。理解到这两点，问题自然迎刃而解。 【练习】

1.设函数f (x )＝⎩⎨⎧

x 2＋2x ＋2，x ≤0，

－x 2，x ＞0.

若f (f (a ))＝2，则实数a ＝________.

【解析】当a ＞0时，f (a )＝－a 2＜0，f (f (a ))＝a 4－2a 2＋2＝2，解得a ＝2(a ＝0与a ＝－2舍去)．当a ≤0时，f (a )＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1＞0，f (f (a ))＝－(a 2＋2a ＋2)2＝2，此方程无解．所以a ＝ 2.

2. (2016·苏州暑假测试)已知实数m ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧

3x －m ，x ≤2，

－x －2m ，x >2.若f (2

－m )＝f (2＋m )，则m 的值为_____________．

【解析】当m >0时，2－m <2,2＋m >2，所以3(2－m )－m ＝－(2＋m )－2m ，所以m ＝8；当m <0时，2－m >2，2＋m <2，所以3(2＋m )－m ＝－(2－m )－2m ，所以m ＝－83.故m 的值为8或－8

3. 【题型二】解不等式

【例3】(2017·南京、盐城模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

x

2＋1，x ≤0，

－(x －1)2，x >0，则不等式

f (x )≥－1的解集是_______． 【解析】当x ≤0时，由题意得

2

x

+1≥-1，解之得－4≤x ≤0，当x>0时，由题意得-(x -1)2≥－1,解之得0

【方法技巧归纳】分段函数的不等式问题：利用分类整合思想，化为若干个不等式组问题，解出各个不等式组的解集，其并集就是所求不等式的解集.

【例4】已知函数()2123,0

21,0

x x x x f x x +⎧-++≤⎪=⎨+>⎪⎩，则不等式()()

283f x f x x +<+的

解集为___________

【解析】本题如果通过分类讨论将不等式变为具体不等式求解，则难点有二：一是要顾及28,3x x x ++的范围，则需要分的情况太多；二是具体的不等式可能是多项式与指数式混在一起的不等式，不易进行求解。所以考虑先搁置代数方法，去分析()f x 的图像性质，发现()f x 的两段解析式均可作图，所以考虑作出()f x 的图像，从而发现()f x 是增函数，从而无论28,3x x x ++在哪个范围，

()()228383f x f x x x x x +<+⇒+<+，从而解得：4x <-或2x > 答案：()

(),42,-∞-+∞

【方法技巧归纳】含分段函数的不等式在处理上通常是两种方法：一种是利用代数手段，通过对x 进行分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解。另一种是通过作出分段函数的图象，数形结合，利用图像的特点解不等式。 【练习】

3. 已知函数

f (x )={1

2x -1,x ≥0,1

x

,x <0,

若f (a )>a ,则实数a 的取值范围是 .

4. (2017·如皋一模)已知函数f (x )={2x +1,x >0,

0,x =0,2x -1,x <0,则不等式f (x 2-2)+f (x )<0的

解集为 .

【题型三】分段函数的图像与性质

【例5】 (2017·南通调研)若函数f (x )＝⎩⎨

⎧

x (x －b )，x ≥0，

ax (x ＋2)，x <0(a ，b ∈R )为奇函

数，则f (a ＋b )的值为________．

【解析】法一 特殊值法 a=-1,b=2, f (a ＋b )=-1. 法二 二次函数的顶点关于原点对称

【例6】 (2017·无锡期末)设函数f (x )＝⎩⎨⎧

－x 2＋4x ，x ≤4，

log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区

间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．

【解析】作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4. 【方法技巧归纳】①分段函数的图像：分段函数有几段它的图像就由几条曲线组成,作图