分段函数的性质与应用
分段函数的性质
分段函数的性质分段函数是数学中重要的一种函数类型，即一个函数由若干段不同的部分组成，在每个部分内使用不同的函数式。
分段函数可以表示出许多实际问题中的关系，例如函数图像中的转折点、阶梯函数、指数函数等；因此，分段函数的性质对理解和应用这类函数非常重要。
本文将着重探讨分段函数的性质，包括定义域、值域、奇偶性、单调性、极限、导数等方面。
一、定义域和值域分段函数的定义域是指函数在哪些自变量的取值范围内有定义，而值域则是指函数可以取到的所有值的集合。
对于一个形如 $f(x)=\begin{cases} f_1(x), &x\in D_1\\ f_2(x),&x\in D_2 \end{cases}$ 的分段函数，其定义域为 $D=D_1\bigcupD_2$，即两个段所对应的自变量值域的并集。
对于值域，分段函数的取值范围取决于各段函数式的取值范围及其交集和并集。
例如，当 $f_1(x)$ 取最大值而 $f_2(x)$ 取最小值时，整个分段函数的取值范围即为两个取值范围的交集。
反之，当 $f_1(x)$ 取最小值而 $f_2(x)$ 取最大值时，整个分段函数的取值范围即为两个取值范围的并集。
二、奇偶性和周期性对于分段函数的奇偶性和周期性，需要分别讨论每个分段函数的性质。
当一个分段函数 $f(x)$ 的每一段函数 $f_i(x)$ 均为奇函数或偶函数时，整个分段函数也具有相应的奇偶性。
例如，当$f_1(x)$ 和 $f_2(x)$ 均为奇函数时，$f(x)$ 为奇函数；当$f_1(x)$ 和 $f_2(x)$ 均为偶函数时，$f(x)$ 为偶函数。
对于周期性，当每一段函数 $f_i(x)$ 均为周期为 $T$ 的函数时，整个分段函数 $f(x)$ 也具有周期 $T$。
三、单调性和极限对于分段函数的单调性和极限，也需要分别讨论每个分段函数的性质。
当一个分段函数 $f(x)$ 的每一段函数 $f_i(x)$ 均为单调递增或单调递减函数时，整个分段函数 $f(x)$ 也具有相应的单调性。
中考知识点分段函数
中考知识点分段函数一、定义域和值域分段函数的定义域和值域是由各个分段的定义域和值域确定的。
以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0 } 为例，其定义域为整个实数集，值域为 (-∞, +∞)。
二、分段函数的图像对于分段函数，要根据每个分段的函数表达式来绘制图像。
以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0} 为例，在x<0时，图像是一条斜率为1的直线，过原点，并且在x=0处有一个开口向上的拐点。
三、分段函数的连续性分段函数在分段点处可能不连续，需要通过计算极限来确定。
以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0} 为例，分段点x=0处的左极限等于0，右极限等于0，与f(0)=0相符，因此该分段函数在x=0处连续。
四、分段函数的性质1. 分段函数的奇偶性由各个分段的奇偶性决定。
以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0 } 为例，第一段函数x+3是奇函数，第二段函数2x是偶函数，所以整个分段函数为奇函数。
2. 分段函数的单调性由各个分段的单调性决定。
以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0 } 为例，第一段函数x+3是递增函数，第二段函数2x也是递增函数，所以整个分段函数是递增函数。
3. 分段函数的最大值和最小值在每个分段函数的最大值和最小值中取得。
以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0 } 为例，在第一段函数中，最小值为3，最大值不存在；在第二段函数中，最小值不存在，最大值也不存在。
四、分段函数的应用1. 分段函数可以描述现实生活中的一些问题，如电话费计费等。
以电话费计费为例，某通信公司的计费标准为：前50分钟，每分钟0.5元；超过50分钟，每分钟0.3元。
假设通话时长为x分钟，对应的通话费用为函数f(x) = { 0.5x,x<=50 0.3(x-50)+25, x>50 }。
分段函数知识点总结
分段函数知识点总结一、分段函数的定义分段函数是指在定义域上将函数分成若干段，每一段上使用不同的函数表达式来描述函数的行为。
它可以是由有限个函数组成的，也可以是由无限个函数组成的。
一般来说，分段函数的定义域可以被划分成有限个不相交的区域，每个区域内使用不同的函数表达式描述函数的行为。
例如，一个简单的分段函数可以是这样的：\[f(x) = \begin{cases}2x, & \text{ if } x < 0 \\x^2, & \text{ if } x \geq 0\end{cases}\]在这个例子中，定义域被分成两段：$x < 0$和$x \geq 0$，分别在这两个区域内使用不同的函数表达式来描述函数的行为。
二、分段函数的图像分段函数的图像通常是由多个部分组成的，每个部分对应于函数定义域中的一个区域。
因此，对于一个有限段的分段函数，其图像是由一些部分图像组成的；对于一个无限段的分段函数，则可能包含无限个部分图像。
以前面的例子$f(x) = \begin{cases}2x, & \text{ if } x < 0 \\x^2, & \text{ if } x \geq 0\end{cases}$为例，其图像可以通过分别画出$y = 2x$和$y = x^2$的图像来得到。
当然，我们也可以直接画出$f(x)$的图像，只需在$x = 0$处将两个部分对接起来即可。
对于无限段的分段函数，我们可能无法通过直接画出所有部分图像来得到完整的图像，但是我们可以通过分析函数表达式的性质来对函数的整体行为有所了解。
三、分段函数的性质分段函数可以具有各种不同的性质，这取决于定义域内不同区域上使用的函数表达式。
首先，在定义域的各个区域内，分段函数可以具有不同的函数性质。
在一个区域上，它可能是线性的；在另一个区域上，它可能是二次的，甚至是高次的多项式函数；在另一个区域上，它可能是指数函数、对数函数或者三角函数等。
分段函数及其在日常生活中的应用研究
分段函数及其在日常生活中的应用研究分段函数是指一种由两个或多个部分组成的函数，各个部分由不同的定义域和函数解析式。
在数学中，分段函数广泛应用于各种数学问题的求解，同时也在日常生活中有着丰富的应用研究。
1. 分段函数的概念分段函数是指在定义域上不同的区间内，函数有着不同的解析式。
通常来说，分段函数由若干段函数组成，每个段函数定义在一个区间上。
而这些段函数在各自的定义域上又具有不同的性质和特点。
在数学上，分段函数常常用于描述一些不连续的现象或问题，比如阶梯函数、绝对值函数等都是典型的分段函数的例子。
2. 分段函数在数学问题中的应用（1）优化问题在数学建模和优化问题中，分段函数常常被用来描述一些实际问题中的非线性关系。
某种产品的售价随销售数量而发生变化，可以用分段函数来描述其价格-数量关系，从而进行成本和利润的分析。
（2）几何问题在几何学中，分段函数也有着重要的应用。
比如描述线段、封闭图形等几何对象时，就可以用到分段函数。
这些分段函数可以描述线段在不同区间上的斜率、长度等特性，从而对几何问题进行分析和求解。
3. 分段函数在工程问题中的应用（1）控制系统在自动控制系统中，分段函数常常被用来描述控制信号和被控对象之间的关系。
在温度控制系统中，温度传感器检测到的温度信号会对应不同的控制策略，这时就可以用分段函数来描述温度信号和控制动作之间的关系。
（2）信号处理在通信系统或信号处理系统中，分段函数也有着重要的应用。
在调制解调过程中，对输入信号的不同部分可能需要不同的处理方式，这时就可以用到分段函数来描述输入信号和处理方式之间的关系。
4. 个人观点与总结从以上的介绍可以看出，分段函数在数学、工程和日常生活中都有着广泛的应用。
它不仅能够描述复杂的不连续关系，同时也能够对各种问题进行建模和求解。
在我看来，学习和理解分段函数的概念和应用，不仅可以帮助我们更好地理解数学和工程问题，同时也可以培养我们对复杂问题的分析和解决能力。
初二数学分段函数知识点详解
初二数学分段函数知识点详解分段函数是数学中一个非常重要的概念，在初二数学学习中也是一个重要的知识点。
本文将详细解释分段函数的概念、性质以及解题方法。
1. 概念分段函数是由两个或多个函数组成的函数，根据自变量所属的不同区间而有不同的表达式。
它的定义域分为多个不相交的区间，每个区间上都有一个函数与之对应。
常见的分段函数形式为以下两种：- 若自变量x属于[a, b]，则函数f(x) = g(x)，其中g(x)为定义在[a, b]上的函数。
- 若自变量x属于[a, b]，则函数f(x) = h(x)，其中h(x)为定义在(a, b)上的函数。
2. 性质分段函数具有以下几个性质：- 分段函数的定义域是所有子函数定义域的并集。
- 分段函数是连续函数的一个特例，它在每个子函数定义域内连续，但可能在定义域之间的交界处不连续。
- 分段函数的图像由各个子函数的图像拼接而成，形状可以是折线、曲线或是其他形式。
3. 解题方法解题时，我们需要分析函数的定义域以及每个子函数在其定义域内的表达式。
下面将通过一个具体的例子展示解题步骤：例题：已知函数f(x)由以下两个子函数组成：- 当x ≤ -2时，f(x) = 2x - 1；- 当x > -2时，f(x) = x^2 + 3x + 2。
解题步骤：- 首先，我们需要确定函数的定义域。
根据题目中的条件，可得到整个实数集作为函数的定义域，即f(x)的定义域为(-∞, +∞)。
- 其次，我们根据不同的定义域范围，写出子函数的表达式。
当x ≤ -2时，f(x) = 2x - 1；当x > -2时，f(x) = x^2 + 3x + 2。
- 最后，我们根据定义域的范围和子函数的表达式，可以画出函数f(x)的图像。
在x = -2这个点，需要考虑到分段函数的不连续性。
4. 例题解析我们将例题中的两个子函数进行分析：- 子函数1：f(x) = 2x - 1。
它的定义域为(-∞, -2]。
分段函数知识点总结整理
分段函数知识点总结整理分段函数是一种函数表达式，其定义域被分为几个部分，在每个部分，函数的表达式都是不同的。
分段函数在实际问题中有着广泛的应用，而对于学习者而言，掌握分段函数的知识是非常重要的。
本文将通过总结和整理分段函数的知识点，帮助读者更好地理解和掌握这一部分的数学知识。
1.分段函数的基本概念分段函数是由若干个部分组成的函数，每个部分都有自己的定义域和函数表达式。
通常来说，一般形式的分段函数可以表示为：\[ f(x) = \begin{cases} f_1(x), & a_1 \leq x < b_1 \\ f_2(x), & a_2 \leq x < b_2 \\ \vdots \\f_n(x), & a_n \leq x < b_n \\ \end{cases} \]其中，\[ f_1(x), f_2(x), \cdots, f_n(x) \] 分别为不同的函数表达式，\[ a_1, b_1, a_2, b_2,\cdots, a_n, b_n \] 分别为定义域的分割点。
在每个分段区间，函数的表达式可能不同，也可能相同。
2. 分段函数的图像分段函数的图像通常是由若干个部分的图像组成的。
在每个分段区间内，函数的图像可能是一条直线、一个曲线或者其他形式。
需要注意的是，不同分段区间之间可能存在间断点，这些间断点通常需要特别关注。
3. 分段函数的定义域和值域在讨论分段函数的定义域和值域时，需要分别对每个函数表达式的定义域和值域进行分析。
需要注意的是，整个分段函数的定义域和值域需要考虑到每个部分的定义域和值域的并集或交集。
4. 分段函数的性质分段函数的性质通常是由其各个部分的函数表达式决定的。
当各个函数表达式的性质不同的时候，在整体上，分段函数可能具有一些特殊的性质。
例如，分段函数可能是一个单调递增的函数、单调递减的函数或者是非单调的函数。
5. 分段函数的应用分段函数在实际问题中有着广泛的应用。
初二数学分段函数知识点解析
初二数学分段函数知识点解析分段函数是初中数学中的重要内容之一，它通过不同的定义域范围将一个函数分成若干个部分，每个部分使用不同的表达式描述。
分段函数在数学中的应用非常广泛，能够帮助我们更好地理解和解决实际问题。
本文将对初二数学分段函数的知识点进行解析，并以具体的例子来说明其应用。
一、什么是分段函数分段函数（piecewise function），又称离散函数，指的是在定义域上不同区间内可以有不同的表达式。
通常我们用一个大括号表示不同区间上的表达式，例如：\[ f(x)=\begin{cases}x+1, & x<0 \\x^2, & x\geq0\end{cases} \]这个函数在定义域上可以分为两个区间，即负无穷到0和0到正无穷，分别使用了x+1和x^2作为函数表达式。
二、分段函数的定义域和值域对于分段函数来说，每个区间上都有一个对应的函数表达式。
因此，我们需要确定每个区间的定义域。
在上面的例子中，第一个区间定义域为负无穷到0，第二个区间定义域为0到正无穷。
而对于整个分段函数的定义域，应该是各个区间定义域的并集。
在上面的例子中，整个函数的定义域为负无穷到正无穷，即(-∞, +∞)。
值域的确定需要分别计算每个区间的值域，然后取所有值域的并集。
对于上面的例子来说，第一个区间的值域为(-∞, 1)，第二个区间的值域为[0, +∞)。
因此，整个函数的值域为(-∞, 1]。
三、分段函数的图像和性质分段函数的图像通常由各个区间的图像组成。
在上面的例子中，第一个区间图像为一条斜率为1的直线，第二个区间图像为一条开口向上的抛物线。
分段函数具有一些特殊的性质。
首先，分段函数的图像是不连续的，因为在不同的区间上使用了不同的表达式。
其次，分段函数可能具有端点处的间断点。
例如，在上面的例子中，函数在x=0处具有间断点，因为0既属于第一个区间也属于第二个区间。
四、分段函数的应用举例分段函数在实际问题中具有广泛的应用。
全国高考数学复习微专题：分段函数的性质与应用
分段函数的性质与应用分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同范围的值时所使用的解析式不同，所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的范围是否在发生变化。
即“分段函数——分段看” 一、基础知识：1、分段函数的定义域与值域——各段的并集2、分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。
3、分段函数对称性的判断：如果能够将每段的图像作出，则优先采用图像法，通过观察图像判断分段函数奇偶性。
如果不便作出，则只能通过代数方法比较()(),f x f x -的关系，要注意,x x -的范围以代入到正确的解析式。
4、分段函数分析要注意的几个问题（1）分段函数在图像上分为两类，连续型与断开型，判断的方法为将边界值代入每一段函数（其中一段是函数值，另外一段是临界值），若两个值相等，那么分段函数是连续的。
否则是断开的。
例如：()221,34,3x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩，将3x =代入两段解析式，计算结果相同，那么此分段函数图像即为一条连续的曲线，其性质便于分析。
再比如 ()221,31,3x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩中，两段解析式结果不同，进而分段函数的图像是断开的两段。
（2）每一个含绝对值的函数，都可以通过绝对值内部的符号讨论，将其转化为分段函数。
例如：()13f x x =-+，可转化为：()13,113,1x x f x x x -+≥⎧=⎨-+<⎩5、遇到分段函数要时刻盯住变量的范围，并根据变量的范围选择合适的解析式代入，若变量的范围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论6、如果分段函数每一段的解析式便于作图，则在解题时建议将分段函数的图像作出，以便必要时进行数形结合。
高考分段函数知识点
高考分段函数知识点高考是每个学生都将经历的一次重要考试，它对于一个人的人生道路具有至关重要的影响。
其中，数学科目一直被认为是让人头疼的科目之一。
而在数学中，分段函数是一个重要的知识点。
本文将向大家介绍高考分段函数的相关知识点。
一、分段函数的定义分段函数是指由两个或多个函数组成的函数，其定义域上按照不同的条件来确定函数表达式。
通常情况下，每个函数表达式只在特定的子区间上有效。
二、分段函数的表示方式在数学中，对于分段函数的表示方式有两种常见的形式，分别是符号函数和条件函数。
1. 符号函数：符号函数是一种用数系的符号表示函数。
一般来说，符号函数的定义可以写成 f(x) = {±1, x＞0或x＜0}，表示在不同的区间上函数取不同的值。
2. 条件函数：条件函数是一种用条件表达式表示函数的形式。
它的定义可以写成 f(x) = {f₁(x), x ∈ D₁；f₂(x), x ∈ D₂；f₃(x), x ∈D₃……}，其中D₁、D₂、D₃……表示不同的区间，f₁(x)、f₂(x)、f₃(x)……表示不同的函数表达式。
三、分段函数的性质1. 连续性：一段函数在其定义域上是否连续是其性质之一。
对于分段函数而言，每个子区间内的函数表达式都是连续的，即在各个子区间的边界处函数值存在且相等。
2. 求导性质：在求导过程中，需要根据不同的子区间分别对函数进行求导。
首先，找到函数在定义域内的各个子区间，然后对每个子区间内的函数进行求导，最后将求导结果合并。
3. 极值问题：对于分段函数来说，极值问题也是一个值得关注的问题。
因为分段函数在定义域的不同子区间内可能存在多个极值点，所以需要根据实际题目的条件来确定具体的极值点。
四、解题技巧1. 确定分段函数的子区间：在解答分段函数的题目时，首先需要确定函数的定义域和区间。
这一步是解题的基础，也是问题的关键。
2. 绘制函数图像：根据所给的函数表达式和子区间，可以尝试绘制出函数的图像。
七年级数学分段函数知识点
七年级数学分段函数知识点数学分段函数是七年级数学的一个重要知识点，它是由两个或多个线性函数组成的函数。
这些线性函数在不同的定义域上有不同的表现，因此需要在定义域上划分区间，进而构成一个分段函数。
本文将介绍数学分段函数的定义、图像、性质以及应用。
定义数学分段函数是由不同的线性函数组成的函数。
它的定义域被分成了若干个区间，每个区间内都对应一个不同的线性函数。
简言之，分段函数是由若干个区域组成，其中每个区域内对应一条线性函数。
例如，下面的函数就是一个分段函数：f(x) = 2x + 1 (x≤2)f(x) = x + 3 (x>2)这个函数在x≤2时等同于y=2x+1，而在x>2时等同于y=x+3。
图像数学分段函数的图像通常由不同的线性段组成。
每个段都是由一组坐标点来定义的。
例如，考虑上面的分段函数：f(x) = 2x + 1 (x≤2)f(x) = x + 3 (x>2)在x=2处这个函数取到了一个分界点，函数使用不同的线性段来定义。
因此，它的图像看起来像一个由两个直线段组成的图形。
性质1. 分段函数中的每条线性函数都是连续的。
2. 分段函数可以是单调上升的、单调下降的或者任意的。
3. 分段函数在每个区间内都有一个最大值或最小值。
应用分段函数在实际问题中经常出现。
例如，经济学中的“垃圾时间电费”，就是一个常见的分段函数。
在该问题中，电费以一定的费率计算。
然而，在某些时间段内，电费可能会受到不同的费率影响。
因此，用分段函数来计算不同时间段的电费就很有必要了。
总而言之，七年级数学中的分段函数是一个非常重要的知识点。
在掌握了基本的定义、图像、性质和应用之后，我们就可以灵活地应用这个函数来解决实际问题。
高三数学分段函数知识点
高三数学分段函数知识点分段函数是高中数学中的重要概念之一，广泛应用于各个领域的实际问题中。
在高三数学学习中，理解和掌握分段函数的知识点对于解题和理论应用都具有重要意义。
本文将为您介绍高三数学中与分段函数相关的知识点。
一、分段函数的定义与表达方式分段函数是由不同的函数规则在不同的定义域上确定的一种函数。
分段函数通常由若干段或多个函数规则组合而成，对于不同的自变量取值，函数的表达方式也不相同。
通常，分段函数可以用以下的形式表示：y = f(x)，x ∈ D，其中D为定义域。
在定义域D的不同区间上，函数f(x)可以用不同的函数表达式来表示。
二、分段函数的性质1. 定义域和值域：分段函数的定义域由各个函数规则的定义域的并集构成，值域则由各个子区间的值域的并集构成。
2. 连续性和间断点：分段函数在定义域上可能存在间断点。
常见的间断点有可去间断点（函数值可以通过修复后定义），跳跃间断点（函数在间断点处的左右极限存在，但不相等）和无穷间断点（函数在间断点处的左右极限至少有一个为无穷大）。
3. 单调性：针对不同函数规则的子区间，分段函数可以是递增的、递减的或不变的。
4. 极值点：分段函数在每个子区间内寻找最大值和最小值，可以通过求导或者构建不等式来确定。
三、分段函数的图像分段函数的图像通常是一个由多段连接而成的曲线，并且在不同的子区间上可能有不同的形态。
对于每一个子区间，我们可以先画出对应函数规则的图像，然后将这些图像进行连接。
在画图时，需要注意各个子区间的连接点和间断点的特殊处理，以及函数图像的平滑与连续性。
四、分段函数的应用分段函数广泛应用于各个领域的实际问题中，下面举几个例子：1. 费用函数：在一些商业模型中，根据不同的销售数量区间，利用分段函数可以比较准确地计算成本、利润等。
2. 税务计算：税务计算常常需要根据收入或利润的不同区间采用不同的税率，这也可以通过分段函数进行模拟计算。
3. 温度转换：将摄氏度和华氏度进行相互转换时，由于两种温度间存在不同的线性关系，可以使用分段函数表示。
分段函数及其在日常生活中的应用研究
标题：深度探索分段函数及其在日常生活中的应用研究一、概述分段函数作为数学中重要的概念，其在日常生活中的应用也是不可忽视的。
从简单的数学模型到复杂的实际问题，分段函数都能够提供有力的分析工具。
在本文中，我们将深入探讨分段函数的定义、性质以及在日常生活中的具体应用，并结合个人观点来全面了解这一概念。
二、分段函数的定义和性质1. 分段函数的定义分段函数是指在定义域的若干个子区间内，其函数值由不同的函数式子来定义的函数。
一般来说，分段函数可以分为线性分段函数、二次分段函数等不同类型。
当x≥0时，y=x；当 x<0 时，y=-x。
这就是一个简单的分段函数的定义。
2. 分段函数的性质分段函数的性质包括函数值的连续性、导数的计算以及函数图像的绘制等方面。
在任意一给定区间，分段函数都具有各自的函数式子和定义域，因此在计算导数和绘制函数图像时需要考虑到这一点。
这些性质对于从简单到复杂的分段函数来说都是通用的。
三、分段函数在日常生活中的应用1. 交通流量模型在城市交通规划中，常常需要通过分段函数来模拟不同时间段内的车辆流量。
早晚高峰期和平常时间的车辆密度就可以用分段函数来描述。
这对于优化交通信号灯的设置和道路设计都有着重要的指导意义。
2. 财务风险评估在金融领域，分段函数也经常被用来评估某个金融产品或投资组合的风险。
通过将不同的市场情况划分为不同的区间，可以更准确地评估风险的发生概率和程度，为投资决策提供科学依据。
3. 健康体能评估体育锻炼中，训练强度和时长的关系也可以用分段函数来描述。
通过分段函数模型，可以帮助运动员或普通人更合理地安排训练计划，避免过度或不足的训练对身体造成的不利影响。
四、个人观点和理解作为一种常见的数学模型，分段函数在解决实际问题中具有广泛的应用价值。
从数学原理到实际应用，我深刻认识到了分段函数的重要性。
通过深入学习和实际应用，我相信分段函数将对我的学习和工作产生深远的影响。
五、总结与回顾分段函数不仅仅是数学中的一个抽象概念，更是一个具有深刻应用价值的数学工具。
初中分段函数
初中分段函数引言分段函数是初中数学中的一个重要概念，它在数学的实际问题中有着广泛的应用。
本文将介绍初中分段函数的概念、性质和应用，并通过例题的形式进行深入讨论，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
什么是分段函数？分段函数，顾名思义，是由若干个函数在不同的区间上组成的函数。
其中，每个函数只在特定的区间上有效。
分段函数的定义方式如下：f (x )={ f 1(x )(x ∈D 1)f 2(x )(x ∈D 2)…f n (x )(x ∈D n )其中，f 1(x ),f 2(x ),…,f n (x )是若干个已知的函数，D 1,D 2,…,D n 是这些函数在定义域上的不相交的区间。
分段函数的性质分段函数的性质主要包括函数值、定义域和图像等方面。
### 函数值的计算 对于给定的自变量x ，需要根据x 所在的区间选择相应的函数进行计算。
首先根据x 的值确定x 所在的区间，然后再根据该区间的函数计算相应的函数值。
定义域的确定分段函数的定义域由各个函数的定义域的并集组成，即D =⋃i=1n D i 。
要确定定义域，需要考虑各个函数的定义域的交集和补集。
图像的绘制求解分段函数的图像时，需要将各个函数的图像拼接起来。
对于不同区间上的函数，可以先将每个函数的图像单独绘制出来，再将它们拼接在一起。
在连续区间的交界处，需要注意函数值是否连续。
分段函数的例题例题1给定分段函数f (x )={2x −1(x >1)x 2−3x(−1≤x ≤1)4−x(x <−1) 求以下函数值：1. f (2)2. f (−1)3. f (−2)解： 1. 根据x >1的条件，f (2)=2⋅2−1=3。
2. 根据−1≤x ≤1的条件，f (−1)=(−1)2−3⋅(−1)=4。
3. 根据x <−1的条件，f (−2)=4−(−2)=6。
例题2给定分段函数f (x )={x +2(x >−1)x 2(−3≤x ≤−1)3−x(x <−3)求以下定义域：1. f (x )的定义域2. f (x +1)的定义域解： 1. 根据x >−1的条件，f (x )的定义域是(−∞,−1)∪(−1,+∞)。
高中数学讲义：分段函数的性质与应用
分段函数的性质与应⽤分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同范围的值时所使用的解析式不同，所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的范围是否在发生变化。
即“分段函数——分段看”一、基础知识：1、分段函数的定义域与值域——各段的并集2、分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。
3、分段函数对称性的判断：如果能够将每段的图像作出，则优先采用图像法，通过观察图像判断分段函数奇偶性。
如果不便作出，则只能通过代数方法比较()(),f x f x -的关系，要注意,x x -的范围以代入到正确的解析式。
4、分段函数分析要注意的几个问题（1）分段函数在图像上分为两类，连续型与断开型，判断的方法为将边界值代入每一段函数（其中一段是函数值，另外一段是临界值），若两个值相等，那么分段函数是连续的。
否则是断开的。
例如：()221,34,3x x f x x x -£ì=í->î，将3x =代入两段解析式，计算结果相同，那么此分段函数图像即为一条连续的曲线，其性质便于分析。
再比如()221,31,3x x f x x x -£ì=í->î中，两段解析式结果不同，进而分段函数的图像是断开的两段。
（2）每一个含绝对值的函数，都可以通过绝对值内部的符号讨论，将其转化为分段函数。
例如：()13f x x =-+，可转化为：()13,113,1x x f x x x -+³ì=í-+<î5、遇到分段函数要时刻盯住变量的范围，并根据变量的范围选择合适的解析式代入，若变量的范围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论6、如果分段函数每一段的解析式便于作图，则在解题时建议将分段函数的图像作出，以便必要时进行数形结合。
分段函数的积分及应用
分段函数的积分及应用在数学分析中，分段函数是一个重要的概念，它不仅在理论上有深远影响，在实际应用中同样发挥着重要作用。
分段函数的积分，作为研究其性质的重要工具，可以帮助我们更好地理解复杂问题的规律。
在本文中，我们将详细探讨分段函数的定义、积分方法、积分的性质以及其在实际中的应用。
分段函数的定义分段函数是指在不同区间上有不同表达式的函数。
例如，设函数( f(x) ) 定义如下：[ f(x) =]这个函数在 ( x < 0 ) 的时候，其值为 ( x^2 )；在 ( 0 x <3 ) 的时候，其值为 ( 2x + 1 )；而在 ( x ) 的时候，其值为常数( 5 )。
这样的定义使得分段函数能够针对不同区域表现出不同的性质。
分段函数的积分对于分段函数来说，其积分通常也是分区间进行计算。
我们以上面的 ( f(x) ) 为例来说明如何进行定积分。
定义定积分定积分是用于求取被积区间内函数值总和的一种方式，表示为：[ _a^b f(x) dx ]其中，( a ) 和 ( b ) 是积分的上下限。
对于分段函数，我们要将整个区间划分成多个子区间，并针对每个子区间计算各自的积分。
积分计算步骤以 ( f(x) ) 为例，我们来计算其在区间 ( [-1, 4] ) 上的定积分：确定分割点：分析定义域，找到分段点。
这里我们有两个重要分割点：( x = 0 ) 和 ( x = 3 )。
拆分积分：根据上述定义，我们可以将定积分拆分为几个部分：[ {-1}^4 f(x) dx = {-1}^0 f(x) dx + {0}^3 f(x) dx +{3}^4 f(x) dx ]逐个计算：第一个部分：对于区间 ( [-1, 0] )，( f(x) = x^2 )，因此：[ {-1}^0 x^2 dx = {-1}^{0} = 0 - (-) = ]第二个部分：对于区间 ( [0, 3] )，( f(x) = 2x + 1 )，因此：[ {0}^3 (2x + 1) dx = [x^2 + x]{0}^{3} = (9 + 3) - (0 + 0) = 12 ]第三个部分：对于区间 ( [3, 4] )，( f(x) = 5 )，因此：[ {3}^4 5 dx = [5x]{3}^{4} = (20 - 15) = 5 ]汇总：将以上三个部分相加，即可得到最终结果：[ _{-1}^4 f(x) dx = + 12 + 5 = 17 + = 17.333… ]计算得到，定积分的值为 ( 17 )。
浅谈对分段函数的认识
浅谈对分段函数的认识分段函数是数学中的一类函数，其定义域被分成多个不同的区间，在每个区间中，函数可以有不同的表达式。
分段函数常见于几何学、物理学和工程学等领域中。
在这里，我们将探讨分段函数的概念、性质和应用。
分段函数的概念分段函数是一种由几个不同函数组成的函数，每个函数都在定义域的一个特定区间内定义。
由于每个函数的表达式不同，因此函数在不同区间内的行为也会有所不同。
一个分段函数的定义形式通常为：其中，f(x)表示函数，x表示自变量，a < x < b是一个给定的区间，c和d分别是给定区间上的常数。
在对分段函数进行计算和分析时，有一些通用的性质需要知道。
这些性质包括：1. 定义域：分段函数的定义域是由不同的区间组成。
因此，要计算函数的定义域，必须将每个区间内的条件求出并合并。
2. 奇偶性：分段函数的奇偶性可能会因为在不同的区间内有不同的函数表达式而异。
3. 连续性：在一些区间内分段函数可能是连续的，而在另外一些区间内则可能存在跳跃。
4. 极限：当x趋向于一个特定的值时，分段函数的极限可能会受到某些区间内的函数表达式的影响。
5. 导数和积分：分段函数的导函数和积分可以通过计算每个区间内的函数表达式来确定。
分段函数最常见的应用之一是在几何学中。
例如，一个多边形可以被描述为具有许多边缘的分段函数。
每个边缘在不同的区间内描述为不同的线性函数。
在这种情况下，分段函数可以让我们确定多边形的性质（如周长、面积等）。
分段函数还可以用于描述动态过程。
例如，一个跳水运动员从一个跳板上跳下，并通过不同的技术动作落入水中。
这种过程可以被描述为一个分段函数，其中每个区间内的函数表达式描述了运动员在不同的阶段所采取的不同动作。
此外，分段函数还可以在投资和风险管理领域中广泛应用，其中大量分析依赖于对于复杂的市场变化模型的建模。
总结。
分段函数的极值与最值
分段函数的极值与最值分段函数是一种由不同函数组合而成的函数形式，它包含了不同函数在不同区间的定义。
在实际问题中，我们常常遇到这样的情形：同一个问题可以用不同的函数来描述，而这些函数的定义域却有所不同，或者说同一个函数在不同的定义域范围内，其表现形式也不尽相同。
分段函数的研究，对于理解函数的本质、掌握其性质和解决实际问题都具有重要的意义。
本文将重点探讨分段函数的极值与最值及其应用。
一、分段函数的定义及基本性质分段函数的一般形式为：$$ y=f(x),\ x\in D $$其中，$D$ 分为 $n$ 个不相交的子集 $D_1,D_2,\cdots,D_n$，即：$$D=D_1\cup D_2\cup\cdots\cup D_n$$在 $D_i$ 上，$f(x)$ 由特定的函数形式表示，即：$$f(x)=\begin{cases}f_1(x),\ x\in D_1\\\ f_2(x),\ x\in D_2\\ \cdots\\ f_n(x),\ x\in D_n\end{cases} $$分段函数的定义域是其所有子集的并集，而值域则是各子函数的值域的并集。
分段函数在各子函数定义域范围内都是普通函数，具有普通函数的一般性质。
但由于各子函数之间在某些点存在“缝隙”，因此在分段点处无法取得定义，也就是说，在分段点处分段函数可能不连续。
为了便于研究其性质，我们通常只考虑每一段的连续性和单调性。
二、（一）分段函数的极值对于普通函数 $y=f(x)$，其极值即为导数为 $0$，或者在导数不存在的点取得的极值。
对于分段函数，我们同样可以通过求导得到其各段函数的极值点。
假设 $f(x)$ 在 $x_i$ 点的右侧是一段 $n$ 次可导的函数，那么可以通过求 $f(x)$ 在 $(x_i,x_i+\Delta x)$ 区间内的导数来确定$x_i$ 点的极值。
具体来说，我们可以分三种情况来讨论：1. 当 $n=0$ 时，即 $f(x)$ 在 $x_i$ 右侧是一个常函数，则其导数为 $0$，$x_i$ 就是 $f(x)$ 的极值点。
分段函数求定义域
分段函数求定义域分段函数是数学中的一种基本函数，它在不同的定义域内具有不同的函数表达式。
在实际问题中，经常需要求分段函数的定义域，以便对函数进行分析和运用。
本文将从分段函数的概念、性质和求解方法等方面进行详细阐述，帮助读者更好地理解和应用分段函数。
一、分段函数的概念分段函数是指在不同的定义域内，函数表达式有所不同的函数。
通常情况下，分段函数可以写成以下形式：$$f(x)=begin{cases}f_1(x),&xin D_1f_2(x),&xin D_2cdotsf_n(x),&xin D_nend{cases}$$其中，$D_1,D_2,cdots,D_n$为函数的不同定义域，$f_1(x),f_2(x),cdots,f_n(x)$为相应的函数表达式。
在定义域之外，函数值可以任意取定，通常为零或无穷大。
分段函数的图像通常是由多条曲线段组成的。
二、分段函数的性质分段函数具有以下性质：1. 分段函数的定义域为各个定义域的并集，即$D=bigcuplimits_{i=1}^nD_i$。
2. 分段函数在各个定义域内分别连续。
3. 分段函数在定义域之外可以任意取定函数值。
4. 分段函数的图像通常是由多条曲线段组成的。
5. 分段函数的导数和积分需要在各个定义域内分别计算。
三、分段函数的求解方法求解分段函数的定义域通常需要分别考虑各个定义域的交集和并集。
以下是具体的求解方法：1. 对于分段函数$f(x)=begin{cases}f_1(x),&xin D_1f_2(x),&xin D_2cdotsf_n(x),&xin D_nend{cases}$，首先需要确定各个定义域$D_1,D_2,cdots,D_n$的范围。
2. 然后，需要找到各个定义域的交集和并集。
对于交集$D_1cap D_2cap cdots cap D_n$，需要判断其是否非空，即是否存在$x$满足$xin D_1,xin D_2,cdots,xin D_n$。
高中高一分段函数知识点
高中高一分段函数知识点分段函数是高中数学中的重要内容之一，它在数学建模、经济学和物理学等领域都有广泛的应用。
本文将从定义、性质、图像以及实际应用等方面介绍高中高一阶段分段函数的知识点。
一、定义分段函数是由两个或多个函数段组成的函数，不同的自变量区间对应着不同的函数段。
通常，每个函数段的定义域和值域可以是不相交的。
二、性质1. 定义域和值域的确定：分段函数的定义域由各个函数段的定义域交集确定，而值域则根据各个函数段的值域并集确定。
2. 连续性：分段函数在函数段之间可能存在不连续点，即转折点或者分界点。
在这些点上，左右侧的函数值可以不相等。
3. 奇偶性：当分段函数的各个函数段都具有相同的奇偶性时，整个函数可以被归类为奇函数或偶函数。
4. 单调性：分段函数在每个函数段上可能具有不同的单调性，需要分别进行讨论。
5. 极值点：分段函数的极值点可以出现在函数段的内部转折点或者边界点上，需要分别计算。
三、图像绘制分段函数的图像可以帮助我们更好地理解函数的定义域、值域以及函数段之间的关系。
例如，考虑分段函数f(x) = \begin{cases} x^2, & x\geq 0\\ -x^2, & x<0 \end{cases}首先我们可以绘制函数y=x^2和y=-x^2的图像，然后根据x的正负值来确定在哪个函数段上取值。
四、实际应用分段函数在实际问题中具有广泛的应用。
以下是一些常见的实际应用场景：1. 电费计算：电费的计算往往是分段线性函数，不同的用电量对应着不同的电费标准。
2. 温度调节：空调的温度调节可以看作是一个分段函数，不同的温度区间对应着不同的制冷或者制热模式。
3. 运输成本：货物的运输成本往往是根据距离分段计算的，不同的距离区间对应着不同的运费标准。
4. 奖励机制：某些奖励机制可以设计为分段函数形式，根据不同的目标达成程度给予不同的奖励。
5. 税收计算：个人所得税或者企业利润税往往是分段函数，不同的收入水平对应着不同的税率。
分段函数与绝对值函数
分段函数与绝对值函数分段函数和绝对值函数是高中数学中的重要概念，它们在数学建模、函数图像的研究中有着广泛的应用。
本文将对分段函数和绝对值函数的定义、性质以及图像进行详细的讨论。
一、分段函数的定义与性质分段函数是指在定义域的不同区间上，具有不同显式表达的函数。
一般情况下，定义域会被分割成多个互不交叉的区间，在每个区间上，函数的表达式都可能不同。
例如，我们考虑定义在实数集上的一个分段函数f(x)，其定义域为实数集R。
当x小于0时，f(x)定义为x的相反数，即f(x)=-x；当x大于等于0时，f(x)定义为x的平方，即f(x)=x^2。
分段函数具有以下性质：1. 在每个分段上，函数的表达式都是具体的，可以根据定义直接计算函数值。
2. 在分段的交界处，函数值可能存在不连续的情况。
例如上述例子中，在x等于0处，f(x)的值由负数突变为非负数。
3. 分段函数的图像通常是由多个部分组成的，每个部分都有自己的特点，有时可以通过图像来更好地理解函数的性质。
二、绝对值函数的定义与性质绝对值函数是指给定一个实数x，其函数值等于x的绝对值，即f(x)=|x|。
绝对值函数具有以下性质：1. 函数的定义域是全体实数集R，即绝对值函数可以对任意实数进行定义。
2. 函数值始终为非负数，即绝对值函数的图像位于x轴的上半平面。
3. 函数的图像关于y轴对称，即对于任意x，有f(x)=f(-x)。
这是由于绝对值的性质决定的。
4. 在x等于0的点上，绝对值函数的值为0。
在x小于0的点上，绝对值函数的值为-x，在x大于0的点上，绝对值函数的值为x。
三、分段函数与绝对值函数的图像分段函数和绝对值函数在图像上都具有一些特点。
对于分段函数来说，每个分段的图像可以分别绘制。
对于上述的例子f(x)=-x (x小于0)和f(x)=x^2 (x大于等于0)，它们的图像分别是一条直线和一个抛物线，它们在x等于0的点上相交并产生一个从负数突变为非负数的现象。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学微专题之——分段函数【考纲要求】【考题分析】【命题规律】分段函数是高考考查的重点和热点，主要考查分段函数求值、分段函数值域与最值、分段函数的图像与性质、分段函数方程、分段函数不等式等，考查分类整合、转化与化归、函数与方程、数形结合等数学思想与方法，考题多为填空题，难度为中档题或难题.【基础知识】若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数. 分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同范围的值时所使用的解析式不同，所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的范围是否在发生变化．即“分段函数——分段看” ．【题型分析】【题型一】求函数值【例1】(2017·盐城中学一模)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x(x ≤0)，log 3x (x >0)，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝________.【解析】∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9. 【方法技巧归纳】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．【例2】设函数()()cos ,011,0x x f x f x x π>⎧=⎨+-≤⎩，则103f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为_________ 【解析】由()f x 解析式可知，只有0x >，才能得到具体的数值，0x <时只能依靠()()11f x f x =+-向0x > 正数进行靠拢。
由此可得：107412123433333f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而221cos 332f π⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 10932f⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭【方法技巧归纳】含有抽象函数的分段函数，在处理里首先要明确目标，即让自变量向有具体解析式的部分靠拢，其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）比如在本题中：()()0,11x f x f x <=+-可以立即为间隔为1的自变量，函数值差1，其作用在于自变量取负数时，可以不断1+直至取到正数。
理解到这两点，问题自然迎刃而解。
【练习】1.设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ＋2，x ≤0，－x 2，x ＞0.若f (f (a ))＝2，则实数a ＝________.【解析】当a ＞0时，f (a )＝－a 2＜0，f (f (a ))＝a 4－2a 2＋2＝2，解得a ＝2(a ＝0与a ＝－2舍去)．当a ≤0时，f (a )＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1＞0，f (f (a ))＝－(a 2＋2a ＋2)2＝2，此方程无解．所以a ＝ 2.2. (2016·苏州暑假测试)已知实数m ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －m ，x ≤2，－x －2m ，x >2.若f (2－m )＝f (2＋m )，则m 的值为_____________．【解析】当m >0时，2－m <2,2＋m >2，所以3(2－m )－m ＝－(2＋m )－2m ，所以m ＝8；当m <0时，2－m >2，2＋m <2，所以3(2＋m )－m ＝－(2－m )－2m ，所以m ＝－83.故m 的值为8或－83. 【题型二】解不等式【例3】(2017·南京、盐城模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x2＋1，x ≤0，－(x －1)2，x >0，则不等式f (x )≥－1的解集是_______． 【解析】当x ≤0时，由题意得2x+1≥-1，解之得－4≤x ≤0，当x>0时，由题意得-(x -1)2≥－1,解之得0<x ≤2.综上f (x )≥－1的解集为{x |－4≤x }．【方法技巧归纳】分段函数的不等式问题：利用分类整合思想，化为若干个不等式组问题，解出各个不等式组的解集，其并集就是所求不等式的解集.【例4】已知函数()2123,021,0x x x x f x x +⎧-++≤⎪=⎨+>⎪⎩，则不等式()()283f x f x x +<+的解集为___________【解析】本题如果通过分类讨论将不等式变为具体不等式求解，则难点有二：一是要顾及28,3x x x ++的范围，则需要分的情况太多；二是具体的不等式可能是多项式与指数式混在一起的不等式，不易进行求解。
所以考虑先搁置代数方法，去分析()f x 的图像性质，发现()f x 的两段解析式均可作图，所以考虑作出()f x 的图像，从而发现()f x 是增函数，从而无论28,3x x x ++在哪个范围，()()228383f x f x x x x x +<+⇒+<+，从而解得：4x <-或2x > 答案：()(),42,-∞-+∞【方法技巧归纳】含分段函数的不等式在处理上通常是两种方法：一种是利用代数手段，通过对x 进行分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解。
另一种是通过作出分段函数的图象，数形结合，利用图像的特点解不等式。
【练习】3. 已知函数f (x )={12x -1,x ≥0,1x,x <0,若f (a )>a ,则实数a 的取值范围是 .4. (2017·如皋一模)已知函数f (x )={2x +1,x >0,0,x =0,2x -1,x <0,则不等式f (x 2-2)+f (x )<0的解集为 .【题型三】分段函数的图像与性质【例5】 (2017·南通调研)若函数f (x )＝⎩⎨⎧x (x －b )，x ≥0，ax (x ＋2)，x <0(a ，b ∈R )为奇函数，则f (a ＋b )的值为________．【解析】法一 特殊值法 a=-1,b=2, f (a ＋b )=-1. 法二 二次函数的顶点关于原点对称【例6】 (2017·无锡期末)设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．【解析】作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4. 【方法技巧归纳】①分段函数的图像：分段函数有几段它的图像就由几条曲线组成,作图的关键就是根据每段函数的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图像，作图时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同之处不可有两个以上的点。
②分段函数的奇偶性：先看定义域是否关于原点对称，不对称就不是奇（偶）函数，再由x >0,x -<0 ,分别代入各段函数式计算)(x f 与)(x f -的值，若有)(x f =)(x f --,当x =0有定义时0)0(=f ，则)(x f 是奇函数；若有f(x)=)(x f -，则)(x f 是偶函数.③分段函数的单调性：分别判断出各段函数在其定义区间的单调性结合图象处理分段函数的问题. 【练习】5．已知函数22()12,()2f x x g x x x =-=-，若(),()()()(),()()g x f x g x F x f x f x g x ≥⎧=⎨<⎩，则()F x 的值域是______________解析：()F x 是一个分段函数，其分段标准以()(),f x g x 的大小为界，所以第一步先确定好x 的取值，解不等式：()()22122f x g x x x x ≥⇒-≥-，解得：113x -≤≤，故()2212,13112,13x x x F x x x or x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪-<->⎪⎩ ，分别求出每段最值，再取并集即可.答案：7,9⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦6．已知函数(2)1(1)()log (1)aa x x f x x x --≤⎧=⎨>⎩，若()f x 在(),-∞+∞单调递增，则实数a 的取值范围是_________思路：若()f x 在(),-∞+∞单调增，则在R 上任取12x x <，均有()()12f x f x <，在任取中就包含12,x x 均在同一段取值的情况，所以可得要想在R 上单调增，起码每一段的解析式也应当是单调递增的，由此可得：201a a ->⎧⎨>⎩ ，但仅仅满足这个条件是不够的。
还有一种取值可能为12,x x 不在同一段取值，若也满足12x x <，均有()()12f x f x <，通过作图可发现需要左边函数的最大值不大于右边函数的最小值。
代入1x =，有左段≤右端，即21log 103a a a --≤=⇒≤ 综上所述可得：(]2,3a ∈【题型四】函数与方程【例7】函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点个数为________．【解析】当x ≤0时，令x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3；当x >0时，令－2＋ln x ＝0，解得x ＝e 2.所以函数f(x)有两个零点．【方法技巧归纳】令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．利用代数法求分段函数的零点时，一定要注意函数表达式所对应的自变量的范围，即通过解方程得到的零点一定要检验．【例8】(常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）)已知函数()22,{ 52,x x af x x x x a+>=++≤的图象与函数()2g x x =的图象恰有三个不同的公共点，则实数a 的取值范围为________.【解析】原问题等价于()()2h x f x x =-有三个不同的零点，由题意可得： ()()22,2{ 32,x x ah x f x x x x x a-+>=-=++， 而方程−x +2=0的解为2,方程x 2+3x +2=0的解为−1，−2；若函数()()2h x f x x =-有三个不同的零点，则2122a a <⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，所以实数a 的取值范围为［－1,2) ．【方法技巧归纳】较复杂的函数零点个数问题，常转化为对应方程解得个数问题，再通过移项、局部分离等方法转化为两边都是熟悉函数的方程解得个数问题，再转化为这两个函数的交点个数问题，画出对应函数的函数的图象，恰当运用数形结合思想能准确快速地解决问题． 【练习】7.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －x 2，x ≥0，3x，x ＜0，若函数g (x )＝|f (x )|－3x ＋b 有三个零点，则实数b 的取值范围为________． 解析:当直线3y x b =-与3(0)y x x=-<相切时，6b =-；当直线3y x b =-与24(04)y x x x =-≤≤相切时，14b =-；当直线3y x b =-与24(4)y x x x =->不相切，由图可知实数b 的取值范围为1(,6)(,0]4-∞--． 8. (2016·镇江期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x >0，12－⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋x ，x ≤0.若关于x 的方程f (x )＝kx－k 至少有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围为___________．【解析】如图，作出函数f (x )和直线y ＝kx －k 的图象，且直线y ＝kx －k 过点(1,0)．当直线y ＝kx －k 与函数f (x )＝x 2－x 的图象相切时，有唯一公共点，此时切线的斜率为1＝k .又直线y ＝kx －k 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，即k ＝－13时，函数f (x )的图象与直线y ＝kx －k 只有两个公共点．则由图象可知，当k ≥－13,且k ≠1时，直线y ＝kx －k 与函数f (x )的图象至少有两个不同的交点，即原方程至少有两个不相等的实数根，故实数k 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1∪(1，＋∞)．【课外检测】1．已知⎩⎨⎧≤<-≤=)0(,sin 2),0(,)(2πx x x x x f ，若3)]([0=x f f ，则=0x __________.1.解析：若()(]00,f x π∈，则()()0032sin 3sin 2f x f x -=⇒=-，无解；若()00f x ≤，则()()20033f x f x =⇒=-，由解析式可得：002sin 330x x x ππ⎧-=-⎪⇒=⎨<≤⎪⎩或023x π=2．函数()34,22,21x x f x x x -≤⎧⎪=⎨>⎪-⎩，则不等式()1f x ≥的解集是________．思路：首先要把()1f x ≥转变为具体的不等式，由于()f x 是分段函数，所以要对x 的范围分类讨论以代入不同的解析式：当2x ≤时，()1341f x x ≥⇒-≥，可解得：1x ≤-或53x ≥。