第四章曲面的第二基本形式与曲面上的曲率
(整理)第四章曲面的第二基本形式与曲面上的曲率
第四章 曲面的第二基本形式与曲面上的曲率§5 曲面上的曲率概念利用上一节所作的准备，围绕曲面弯曲状况的刻画，本节将引入曲面上的基本的和重要的曲率概念，并简要讨论相关的几何体．一．主曲率定义1 曲面 S 上的点 P 处的法曲率关于切方向的两个最值，分别称为曲面 S 在点 P 处的主曲率；使得法曲率达到最值的两个切方向，分别称为曲面 S 在点 P 处的主方向．注记1 ① Weingarten 变换的特征值和特征方向，分别是曲面的主曲率和主方向．② 当两个主曲率 κ1(P ) ≠ κ2(P ) 时，曲面在点 P 处有且仅有正交的两组主方向，每一组的单位化向量分别就是Weingarten 变换的单位正交特征向量．而当两个主曲率 κ1(P ) = κ2(P ) 时，曲面在点 P 处的任何非零切向都是主方向，Weingarten 矩阵 ω(P ) = κ1(P )I 2 ，即 Ω(P ) = κ1(P )g (P ) ．主曲率和主方向的计算，自然归结为Weingarten 变换的特征值和特征方向的计算，也就是Weingarten 矩阵的特征值和特征方向的计算．即： ① 对于主曲率的算法，当易知Weingarten 矩阵 ω 之时，方程为 (4.3) 式，或直接写为(5.1) |ω - λI 2 | = 0 ；等价地，当易知系数矩阵 Ω 和 g 之时，其方程可变形为(5.2) |Ω - λg | = 0 ．② 对于主方向的算法，各种等价算式为a = a i r i ≠ 0 为主方向，即非零切方向 a 1:a 2 为主方向⇔ ∃λ , ∍(a 1, a 2)ω = λ(a 1, a 2) , (a 1, a 2) ≠ (0, 0)⇔ ∃λ , ∍(a 1, a 2)Ω = λ(a 1, a 2)g , (a 1, a 2) ≠ (0, 0)⇔ det. ⎝⎛⎭⎫(a 1, a 2)Ω (a 1, a 2)g = 0⇔(a2)2-a1a2 (a1)2g11g12g22Ω11Ω12Ω22= 0 ．主方向所对应的微分方程通常写为(5.3)(d u2)2-d u1d u2 (d u1)2g11g12g22Ω11Ω12Ω22= 0 ．定义2若曲面S在点P处的两个主曲率相等，则称点P为曲面S上的一个脐点．若曲面S处处为脐点，则称曲面S为全脐曲面．若脐点处的主曲率为零，则称之为平点；若脐点处的主曲率不为零，则称之为圆点．注记2全脐曲面S的法曲率只与点有关而不依赖于切向选取，故只有平面和球面两类；平面上各点为平点，球面上各点为圆点．全脐曲面主方向所对应的微分方程是蜕化的恒等式．二．Gauss曲率和平均曲率定义3对于正则曲面S，其在点P处的两个主曲率的乘积K，称为其在点P处的Gauss曲率或总曲率；其在点P处的两个主曲率的算术平均值H，称为其在点P处的平均曲率．注记3①注意到(4.4)-(4.5) 式，Gauss曲率和平均曲率分别具有用Weingarten矩阵或两个基本形式系数的表达式，分别列为(5.4)K=|ω|=|Ω||g|=LN-M2EG-F2,(5.5) H= tr.ω2=LG- 2MF+NE2(EG-F2)．②主曲率方程 (4.3) 式现可改写为(5.6)λ2- 2Hλ+K= 0 ；其中H 2-K= (κ1-κ2)24≥ 0 ．③Gauss曲率在容许参数变换下不变；平均曲率在保向参数变换下不变，在反向参数变换下变号．④当曲面三阶连续可微时，Gauss曲率和平均曲率分别是连续可微函数；此时，两个主曲率函数(5.7)κi=H±H2-K , i= 1, 2处处连续，并且在非脐点处连续可微．⑤ 平均曲率等于法曲率按切方向的积分平均值（留作习题）． ⑥ 平均曲率不是等距不变量．反例如圆柱面和平面．例1 证明可展曲面的Gauss 曲率 K ≡ 0 ．证明 对可展曲面 S 的直纹面参数化 r (u , v ) = a (u ) + v l (u ) ，由可展定义得知 n v ≡ 0 ，故其第二基本形式系数满足M = - r u ∙n v ≡ 0 , N = - r v ∙n v ≡ 0 ,于是K = LN - M 2 EG - F 2≡ 0 ． □ 在上例中，若取准线使 a '∙l ≡ 0 且 |l | ≡ 1 ，则可展曲面 S 的第一和第二基本形式系数矩阵同时对角化，Weingarten 矩阵则为特征值对角阵，而且(5.8) κ1 = L E, κ2 ≡ 0 ． 三．Gauss 映射和第三基本形式Gauss 在考察曲面的弯曲程度刻画时，注意到曲面的单位法向在单位球面上的行为对于曲面弯曲状况的反映，并进一步明确了两者的依赖程度，进而在曲面论中做出了卓有成效的工作．观察熟知的一些曲面，比如平面、圆柱面、圆锥面、椭球面、双叶双曲面、双曲抛物面等等，可以直观感受到单位法向不同的行为和曲面不同的弯曲状况之间有着密切联系．定义4 对于 C 3 正则曲面 S : r (u 1, u 2) 及其单位法向量场 n (u 1, u 2) ，曲面 S 到以原点为心的单位球面 S 2(1) 上的映射(5.9) G : S →S 2(1) r (u 1, u 2)→G (r (u 1, u 2)) = n (u 1, u 2)称为曲面 S 的Gauss 映射．二次微分形式图4-5(5.10) Ⅲ= d n∙d n称为曲面S的第三基本形式．性质①n1⨯n2=K r1⨯r2．②|K(P)|=limU收缩至P A(G(U))A(U)，其中P∈U⊂S, U为单连通区域，A(G(U)) 是G(U)⊂S2(1) 的面积，A(U) 是U⊂S的面积．③Ⅲ- 2HⅡ+KⅠ= 0 ．证明①由Weingarten公式得n1⨯n2= [-(ω11r1+ω12r2)]⨯[-(ω21r1+ω22r2)]=|ω|r1⨯r2=K r1⨯r2．②A(U) =⎰⎰r-1(U)| r1⨯r2| d u1d u2 ,A(G(U)) =⎰⎰r-1(U) | n1⨯n2| d u1d u2=⎰⎰r-1(U)|K|| r1⨯r2| d u1d u2．而由积分中值定理，∃P*∈U使⎰⎰r-1(U) |K|| r1⨯r2| d u1d u2=|K (P*)|⎰⎰r-1(U)| r1⨯r2| d u1d u2．故而lim U收缩至P A(G(U))A(U)= limP*→P|K (P*)|=|K (P)|．③结论用系数矩阵等价表示为(Ω g-1)g(Ω g-1)T- 2HΩ+K g≡ 0⇔Ω g-1Ω- 2HΩ+K g≡ 0⇔Ω g-1Ω g-1- 2HΩ g-1+K I2≡ 0⇔ωω- (tr.ω)ω+|ω|I2≡ 0 ．而最后的等式对于二阶方阵总成立（用特征值理论则知是显然的），用元素计算可直接验证为ωi kωk j- (tr.ω)ωi j+|ω|δi j=ωi1ω1j+ωi2ω2j- (ω11+ω22)ωi j+ (ω11ω22-ω12ω21)δi j≡ 0 ．□习题⒈对于螺面r= (u cos v , u sin v , u+v) ，试求：①主曲率κ1和κ2；②Gauss曲率和平均曲率．⒉试求球面的Gauss曲率和平均曲率与球面半径的关系．⒊试证：平均曲率等于法曲率按切方向的积分平均值，即 2πH(P) =⎰2πκ(P, θ) dθ．⒋试证：直纹面的Gauss曲率处处非正．⒌设正则曲面S: r(u1, u2) 当常数μ足够小时 1 - 2μH+μ2K> 0 ．按参数相同作对应曲面S*: r*(u1, u2) =r(u1, u2) +μn(u1, u2) ，其中n为曲面S的单位法向量场．试证：①S和S* 在对应点具有相同的单位法向和法线；②S和S* 在对应点的Weingarten矩阵具有关系式ω* =ω (I2-μω )-1；③S和S* 在对应点的Gauss曲率和平均曲率具有关系式K* =K1 - 2μH+μ2K，H* =H-μK1 - 2μH+μ2K；④S的曲率线对应于S* 的曲率线．⒍已知曲面S在一点处沿着一组等分周角的m个切方向的法曲率分别为κn(1), …,κn(m)，m> 2 ．试证：S在该点的平均曲率H=κn(1)+…+κn(m)m．⒎试证：曲面S的第三基本形式恒为零的充要条件为S是平面．。
§23_曲面的第二基本形式
L = r uu · n = −r u · n u = √M = r u v · n = −r u · n v = −r v · n u = √ N = r vv · n = −r v · n v = √§2.3 曲面的第二基本形式2.3.1 第二基本形式前面我们引进出了曲面的第一基本形式 I , 研究了曲面的一些内蕴性质, 即只依赖于曲 面本身, 而不依赖于曲面在空间中如何弯曲的几何性质. 在理论和实际应用中, 必须考虑曲 面在空间中的弯曲程度, 为此, 我们将引进曲面的另一个二次微分式.对正则 C k (k ≥ 2) 曲面 S : r = r (u, v ) , 单位法向量 n =r u ×r v|r u ×r v |作为参数 u, v 的函数,其微分表示为 dn = n u du + n v dv . 由于 0 = d (n · n ) = 2n · dn , 所以 dn 是切平面中的向 量. 令 II = −dr · dn , 称 II 为曲面 S 的 第二基本形式. 下面我们首先计算第二基本形式的 参数表示. 由于 dr = r u du + r v dv , 所以II = −dr · dn= −(r u du + r v dv ) · (n u du + n v dv )= Ldu 2 + 2Mdu dv + Ndv 2,其中 L = −r u · n u , M = −(r u · n v + r v · n u )/2, N = −r v · n v , 它们作为参数 u, v 的函 数, 称为曲面 S 的第二基本形式系数.由于 r u · n = 0, r v · n = 0, 两式分别关于 u, v 求偏导数, 我们有r uu · n + r u · n u = 0, r vu · n + r v · n u = 0,因此第二基本形式系数可以表示为r uv · n + r u · n v = 0, r vv · n + r v · n v = 0,(r uu , r u , r v ) EG − F 2, (r uv , r u , r v ) EG − F 2,(r vv , r u , r v )EG − F 2.另外, 因为 n · dr = 0 , 微分便得 d 2r · n = −dr · dn , 于是我们得到曲面的第二基本形式的 以下三种等价的表示II = Ldu 2 + 2Mdudv + Ndv 2= n · d 2r = −dr · dn.78+ g 2+ g 2f+ g 2f【例 1】 对平面, 因法向量 n 为常向量, 所以 II = −dn · dr ≡ 0.对中心径矢为 r 0, 半径为 a 的球面, 因其单位法矢量 n = a 1 (r − r 0) 或 n = a 1 (r 0 − r ), 于 是 II = −dn · dr = ± a 1 I .【例 2】 求旋转曲面 r (u, v ) = {f (v ) cos u, f (v ) sin u, g (v )} 的第二基本形式. 【解】 直接计算得到以下各量r uu = {−f cos u, −f sin u, 0}, r uv = {−f sin u, −f cos u, 0}, r vv = {f cos u, f sin u, g },n =f1 2{g cos u, g sin u, −f },因此L = r uu · n =−fg 2,M = r uv · n = 0, N = r vv · n =f g − f g 2.【例 3】 求曲面 z = f (x, y ) 的第二基本形式.【解】 我们知道: 曲面 z = f (x, y ) 可以写成向量形式r (u, v ) = {u, v, f (u, v )},直接计算得到以下各量r u = {1, 0, f u },r v = {0, 1, f v }, n =r u × r v |r u × r v |= 1 1 + f u 2 + f v 2{−f u , −f v , 1},r uu = {0, 0, f uu }, r uv = {0, 0, f uv }, r vv = {0, 0, f vv },因此L = n · r uu =M = n · r uv =N = n · r vv =f uu 1 + f u 2 + f v 2f uv 1 + f u 2 + f v 2f vv 1 + f u 2 + f v 2,,,79= [dr + d 2r + o (du 2 + dv 2)] · n= dr · n + d 2r · n + o (du 2 + dv 2)= II + o (du 2 + dv 2)曲面 z = f (x, y ) 的第二基本形式是II =1 1 + f u2 + f v 2[f uu du 2 + 2f uv dudv + f vv dv 2].2.3.2 第二基本形式的几何意义−−→对曲面 S : r = r (u, v ) 上的给定点 P (u, v ) 及其邻近点 Q (u + du, v + dv ) , 令 d = P Q · n ,−−→即位移向量 P Q 在点 P 处单位法向量 n 方向上的投影. |d| 即从 Q 点到 P 点切平面的垂直距 离, 而 d 的正负号依赖于 Q 点是位于 P 点切平面的一侧或另一侧, 换句话说, d 的正负号反 映曲面 S 在 P 点处的弯曲方向. 利用向量形式的 Tayloy 展开式及事实 n · r u = 0, n · r v = 0,有−−→ d = P Q · n = (r (u + du, v + dv ) − r (u, v )) · n 12 1212−−→由此可见, II 代表起点在 P 的位移向量 P Q 在法向量上投影的主要部分的二倍, 它描 述了 Q 点在法方向上相对于 P 的改变, 即描述了曲面在 P 0 点附近弯曲的状况.【例 4】容易验证平面 r (u, v ) = {u, v, 0} 与圆柱面 r (u, v ) = {cos u, sin u, v} 具有相同的第一基本形式 du 2 + dv 2, 但平面的第二基本形式 II ≡ 0 , 而圆柱面的第二基 本形式 II = −du 2, 这表明它们在空间中的形状完全不同(事实正是如此).与第一基本形式 I 不同, 曲面的第二基本形式II 作为 (du, dv ) 的二次型, 当 LN − M 2 > 0 时是正定或负定; 当 LN − M 2 < 0 时是不定的; 而当 LN − M 2 = 0 时是退化 的.下面定理表明, 第二基本形式在一点的值与这点邻近曲面形状的关系. 定理 3.1曲面上, 使第二基本形式正定或负定的点邻近, 曲面的形状是凸的(或凹的, 由法向选取决定); 在第二基本形式不定的点邻近, 曲面是马鞍型的.证明 设 P 0(u 0, v 0) 是曲面 S : r = r (u, v ) 上的任一取定点, 我们考察到 P 0 点切80平面的高度函数f(u, v) = (r(u, v)− r(u0, v0)) · n(u0, v0),由于f u = r u · n(u0, v0), f v = r v · n(u0, v0),所以f u(u0, v0) = f v(u0, v0) , 即(u0, v0) 是f的临界点. 在这一点, 高度函数f的二阶导数方阵(Hessian矩阵)为f uu f uv f vu f vv (u0, v0) =LMMN(u0, v0).因此, 当第二基本形式II在点(u0, v0) 正定或负定时, f(u0, v0) = 0 是最大值或最小值, 这说明曲面S的形状是凸或凹的(如图2(1)). 而当第二基本形式II在点(u0, v0) 既非正定也非负定时, f(u0, v0) = 0 既不是最大值也不是最小值, 因而曲面S在这点附近是马鞍型(如图2(2)).根据上述定理, 我们对曲面上的点进行如下分类:(1) 椭圆点—使LN − M 2 > 0 的点. 在椭圆点处, 第二基本形式沿任何方向都不变号, 而且曲面在椭圆点邻近总位于切平面的一侧(如图2(1)).(2) 双曲点—使LN − M 2 < 0 的点. 在双曲点的切平面上, 有通过该点的两条直线将切平面分成四部分, 第二基本形式在这四部分或为正, 或为负, 而沿这两条直线, 第二基本形式为零. 曲面在双曲点邻近位于切平面的两侧(如图2(2)).(3) 抛物点—使LN − M 2 = 0 , 且L2 + M 2 + N 2 = 0 的点. 在抛物点的切平面81du ¯ = ∂u ¯ du + ∂u ¯ dv, ¯ v v ¯ v ¯ ¯ ¯ v v ¯ ¯ v ¯ u v ¯上, 有通过该点的惟一一条直线, 沿这条直线, 第二基本形式为零; 而沿其它任何方向 第二基本形式都不变号(如图2(3)).(4) 平点 — 使 L = M = N = 0 的点.【例 5】对环面 r (θ, φ) = {(b + a sin φ) cos θ, (b + a sin φ) sin θ, a cos φ} , 其中a <b 是正常数, 参数 0 ≤ θ, φ ≤ 2π . 直接计算知L = r uu · n = (b + a sin φ) sin φ, M = r uv · n = 0, N = r vv · n = a,而且LN − M 2 = a (b + a sin φ) sin φ,注意到第二基本形式系数只依赖于参数 φ , 即沿参数曲线 φ = φ0 , 第二基本形式系数 为常数. 又因为 0 < a < b, a (b + a sin φ) > 0 , 所以 LN − M 2 与 sin φ 同号. 最后我们 得到环面上点的如下分类(如图3):(1) 参数 φ 满足 0 < φ < π 的点是椭圆点(对应环面的外侧点); (2) 参数 φ 满足 π < φ < 2π 的点是双曲点(对应环面的内侧点); (3) 参数 φ = 0 及 φ = π 的点是抛物点(对应环面的内外侧交界点).2.3.3 第二基本形式的性质 定理 3.2在容许相差一个正负号的意义下, 第二基本形式 II 与曲面 S 上正则参数 (u, v ) 的选取无关.证明 设 r = r (u, v ) 和 r = r (¯u, v ¯) 是曲面 S 的两个不同参数表示, 相应的单位法 向量分别为 n 和 n . 利用下面两组等式∂u ∂vd ¯ = ∂u du +∂v dv,及r u = r u ∂u + r ¯ ∂u , r v = r u ∂v + r ¯ ∂v ,82¯ ¯ ¯ ¯容易验证, dr = dr (或者直接利用一阶微分形式的不变性), 同理有 dn = ±dn (正负 号依赖于参数变换 (u, v ) → (¯u, v ¯) 是同向或反向参数变换). 因此dr · dn = ±dr · dn,即在同向参数变换下, 第二基本形式不变, 而在反向参数变换下, 第二基本形式改变 符号.定理 3.3 下改变符号.曲面的第二基本形式在 R 3 的刚性运动下不变; 而在 R 3 的反刚性运动证明 设 f : f (P ) = P · T + P 0 是 R 3 的任一刚性或反刚性变换, 曲面 S : r =r (u, v ) 在 f 下的像为 S ∗ : r ∗(u, v ) = f ◦ r (u, v ). 则r ∗u × r ∗v =(r u × r v ) · T , 当 det T = 1, −(r u × r v ) · T , 当 det T = −1,因此我们有 n ∗ = sgn(det T ). 又因为 dr ∗ = dr · T , 所以II ∗ = −dr ∗ · dn ∗ = −sgn(det T ) (dn · T ) · (dr · T ) = sgn(det T )II.注意到 det T = 1 或 −1 分别表示 f 是刚性运动或反刚性运动, 所以定理得证.83。
大学微分几何的曲率与曲面积分计算
大学微分几何的曲率与曲面积分计算微分几何是数学中的一个分支，研究的是曲线、曲面等几何对象的性质及其与微积分的关系。
曲率和曲面积分是微分几何中的两个重要概念，在研究曲线和曲面特征时起到了关键作用。
一、曲线上的曲率计算曲线上的曲率是描述曲线弯曲程度的量度，可以通过计算曲线的曲率半径来确定。
假设有一个平面曲线C，其参数方程为r(t)=(x(t), y(t))，其中t是曲线上的参数。
我们可以通过以下步骤计算曲线C上的曲率：1. 计算曲线的切向量T(t)。
切向量是曲线在某一点的切线的方向向量，可以表示为:T(t) = (dx/dt, dy/dt) / √((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2)2. 计算曲线的单位切向量T'(t)。
单位切向量是切向量的归一化，即除以其模，可以表示为：T'(t) = T(t) / ||T(t)||3. 计算曲线的曲率K(t)。
曲率是刻画切线转动速度的量度，可以表示为：K(t) = ||T'(t)|| / ||r'(t)||4. 计算曲线的曲率半径R(t)。
曲率半径是曲率的倒数，可以表示为：R(t) = 1 / K(t)二、曲面上的曲率计算与曲线不同，曲面上的曲率不再是一个标量，而是一个张量。
曲面的曲率在每个点上有两个主曲率和两个主曲率方向。
设有一个曲面S，其参数方程为r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))，其中u和v是曲面上的参数。
我们可以通过以下步骤计算曲面S上的曲率：1. 计算曲面的法向量N(u, v)。
法向量是曲面在某一点的垂直于切平面的向量，可以表示为：N(u, v) = (rxu × rxv) / ||rxu × rxv||其中rxu和rxv分别表示对u和v求偏导数得到的向量，×表示向量的叉乘。
2. 计算曲面的第一基本形式E(u, v)、F(u, v)和G(u, v)。
曲面高数知识点总结
曲面高数知识点总结第一章曲面参数化1.1 曲面的定义在解析几何中，曲面是一个连续的二维流形；或者说，它是一个可以用二元实值函数的映射定义的连续函数。
这个映射把参数值的一个范围映射到一个参数的曲面上，比如(x, y)到f(x, y)。
参数的范围通常是一个矩形或者圆盘。
1.2 曲面参数化的意义曲面参数化是数学分析中常用的方法，通过参数化可以将曲面上的点表示为参数的函数，从而方便对曲面进行研究和分析。
曲面参数化的意义在于将曲面上的点与参数表示关联，使得曲面的性质和特征可以通过参数来描述和控制。
这为曲面的计算和应用提供了便利。
1.3 参数化公式一般来说，一个曲面的参数化可以写为：r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k其中，r(u, v)是曲面上的点的位置矢量，(u, v)是参数，x(u, v)，y(u, v)，z(u, v)分别是参数u和v的函数，i，j，k 是空间直角坐标系向量的基底。
1.4 参数化曲面的例子以球面为例，球面可以通过参数化方程表示为：r(θ, φ) = (Rsinθcosφ)i + (Rsinθsinφ)j + (Rcosθ)k其中，(θ, φ)是球面上的点的参数，R是球面的半径。
通过参数化方程可以很容易地描述球面上的任意点的位置。
第二章曲面切线和法线2.1 曲面的切线曲面上的每一点都有一个切平面，这个切平面与曲面在该点相切。
切平面可以用曲面的切线方向向量来描述，这个向量正是切平面的法线向量。
在参数化曲面上，切线方向向量可以通过对参数u和v分别求偏导数来得到。
2.2 曲面的法线曲面上的法线是垂直于曲面的一个向量，可以用曲面的梯度来表示。
在参数化曲面上，法线可以通过对参数u和v求叉积得到。
2.3 曲面切线和法线的计算计算曲面上某一点的切线和法线可以通过计算曲面参数化方程对参数的偏导数，并利用偏导数的性质和几何关系来确定切线和法线的方向。
通过切线和法线可以描述曲面的局部性质和特征，对于曲面上的微分几何和曲面的应用有很大的作用。
§4 Weingarten变换
第四章 曲面的第二基本形式与曲面上的曲率§4 Weingarten 变换Weingarten 公式刻画了曲面单位法向的运动状况，必然可以用以进一步了解曲面的弯曲状况．为了简化计算，也为了以后在更为抽象的几何对象上作类似的一般性讨论，本节将使用线性代数的语言讨论Weingarten 公式以及相关的线性变换．现改写Weingarten 公式为矩阵形式(4.1) d n = (d u 1, d u 2)⎝⎛⎠⎞n 1n 2 = −(d u 1, d u 2) ω ⎝⎛⎠⎞r 1r 2 = −(d u 1, d u 2) Ω g −1⎝⎛⎠⎞r 1r 2， 其中矩阵 ω 称为曲面在参数 (u 1, u 2) 下的Weingarten 矩阵．一．Weingarten 矩阵的性质⒈ 在参数变换下的行为在参数变换⎯u i =⎯u i (u 1, u 2) 下，记Jacobi 矩阵 J = ⎝⎛⎠⎞ ∂⎯u j∂u i 2×2 ，已知有 g = J ⎯g J T ，Ω = ± J ⎯Ω J T ．故(4.2) ω = ± (J ⎯Ω J T )(J ⎯g J T )−1 = ± J ⎯ω J −1 ．此式说明，Weingarten 矩阵在保向的不同参数下相似，从而其特征值在保向参数变换下不变，在反向参数变换下变号；其特征值方程(4.3) λ2 − tr.ω λ + |ω | = 0在保向参数变换下不变，从而其系数分别构成几何量(4.4) tr.ω = tr.(Ω g −1) =g 11Ω22 − 2g 12Ω12 + g 22Ω11 | g | = EN − 2FM + GL EG − F 2 ， (4.5) |ω | = |Ω g −1| = |Ω | | g | = LN − M 2 EG − F 2． ⒉ 实特征值与特征向量定理1 正则曲面上的Weingarten 矩阵 ω 具有两个实特征值．证明 考虑曲面上的函数f = (tr.ω)2 − 4 |ω | = (ω11 + ω22)2 − 4 (ω11ω22 − ω12ω21)= (ω11 − ω22)2 + 4 ω12ω21 ．由于它在参数变换下不变，故不妨设已经在正交参数网下考虑；此时，ω = Ω g −1 = ⎝⎛⎠⎞L M M N ⎝⎜⎛⎠⎟⎞1 E 00 1 G =⎝⎜⎛⎠⎟⎞L E M GME N G ， f = ⎝⎛⎠⎞L E − N G 2 + 4M 2EG ≥ 0 ． 故特征值方程 (4.3) 具有两个实根，即得结论． □注记 在正交网下，注意到Weingarten 矩阵 ω 的两个特征值相等时 M = 0从而 ω 对称，故由定理1结论进一步可知：在正则曲面上任何一点，矩阵 ω 可以实相似于实对角矩阵；特征值和特征向量都是实数．并且对两个实特征值 κ1 和 κ2 ，有 κ1 + κ2 = tr.ω , κ1κ2 = |ω | ．定理2 在正则曲面上任何一点 P ，Weingarten 矩阵 ω 的两个特征值在点 P 相等的充要条件为 ω 是单位矩阵的倍数，即基本形式系数矩阵 Ω 与 g 在点 P 成比例．证明 充分性显然．下证必要性，并总在点 P 考虑．取矩阵 ω 的互相独立的两个特征向量 (a i 1, a i 2) , i = 1, 2 ，使 (a i 1, a i 2)ω = κi (a i 1, a i 2) ，则矩阵 A = (a i j )2×2 是非奇异方阵，且 A ω = κ1I 2 A = κ1 A ．故此时有ω = A −1 (κ1 A ) = κ1I 2 ，Ω = ωg = κ1 g ． □推论 在正则曲面上任何一点 P ，Weingarten 矩阵 ω 的两个特征值在点 P 相等的充要条件点 P 处的法曲率与切向无关． 二．Weingarten 变换 与Euler 公式在 E 3 的正则曲面 S 上，其每一点 P 的切平面 T P 都具有 E 3 的诱导内积而成为二维欧氏空间 E 2 ．按Weingarten 公式 (4.1) 定义线性变换 (4.6) W : T P →T Pa = a i r i |P → W (a ) = a i W (r i |P ) ，其中定义W (r i |P ) = (ωi j r j )|P ，则称之为曲面 S 在点 P 处的切平面 T P 上的Weingarten 变换或Weingarten 映射．Weingarten 变换在切平面 T P 上的自然基 {r 1, r 2}|P 下的分量表示即为 (4.7) W : (1, 0) → (ω11, ω12) ,(0, 1) → (ω21, ω22) ,(a 1, a 2) → (a 1, a 2)ω = (a 1, a 2)Ωg −1 ；此即说明，Weingarten 变换在自然基 {r 1, r 2}|P 下以 ω|P 为表示矩阵．Weingarten 变换在切向微元上的作用为W (d r ) = W (d u i r i ) = (d u 1, d u 2)ω ⎝⎛⎠⎞r 1r 2 = −(d u 1, d u 2)⎝⎛⎠⎞n 1n 2= −d n ； Weingarten 公式 (4.1) 用Weingarten 变换反过来表达为(4.8) d n = −W (d r ) ．此式说明，Weingarten 变换不依赖于自然基的选取，是由曲面本身所确定的切平面到自身的线性变换．曲面的第二基本形式和法曲率用Weingarten 变换分别表达为(4.9) Ⅱ = −d n •d r = W (d r )•d r ，(4.10) κn (P , d r ) = −d n •d r d r •d r = W (d r )•d r d r •d r = W ⎝⎛⎠⎞ d r |d r | • d r |d r |． Weingarten 变换 W 的特征值即为 ω 的实特征值 κ1 和 κ2 ； W 的特征向量 ξ = ξ i r i |P ∈T P −{0} 对应于矩阵 ω 的实特征向量 (ξ 1, ξ 2)∈R 2−{(0, 0)} ．定理3 在正则曲面上任何一点 P ，Weingarten 变换 W 是 T P 上的自共轭线性变换，即：对 ∀a , b ∈T P ，成立 W (a )•b = a •W (b ) ．证明 在自然基 {r 1, r 2}|P 下，记 a = a i r i |P , b = b i r i |P ，则W (a )•b = (a 1, a 2)ω ⎝⎛⎠⎞r 1r 2 ⎝⎛⎠⎞r 1r 2T ⎝⎛⎠⎞b 1b 2 = (a 1, a 2)ω g ⎝⎛⎠⎞b 1b 2 = (a 1, a 2)Ω ⎝⎛⎠⎞b 1b 2 = (b 1, b 2)Ω ⎝⎛⎠⎞a 1a 2 = W (b )•a = a •W (b ) ． □推论1 对Weingarten 变换 W 的实特征值 κ1 和 κ2 ，存在对应的单位正交特征向量 ξi = ξi j r j ≠ 0 , i = 1, 2 ，即： W (ξi ) = κi ξi 且 ξi •ξ j = δij ．证明 取定曲面上一点 P 考虑．在 T P 上，有以下两种情形：① κ1 = κ2 ，则 W 以 T P 上的任何一个非零向量为特征向量，故取单位正交向量 ξi = ξi j r j ≠ 0 , i = 1, 2 ，即为单位正交特征向量．② κ1 ≠ κ2 ，则可取单位特征向量 ξi = ξi j r i ≠ 0 , i = 1, 2 ，使W (ξi ) = κi ξi ，i = 1, 2 ．此时，W (ξ1)•ξ2 = κ1ξ1•ξ2 , W (ξ2)•ξ1 = κ2ξ2•ξ1 ；故由自共轭性质可知两式相等，从而(κ1 − κ2)ξ1•ξ2 = 0 ，此即 ξ1•ξ2 = 0 ，即两特征向量正交．综合以上两种情形，得证． □推论2 给定Weingarten 变换 W 的实特征值 κ1 和 κ2 ，以及相应的单位正交特征向量 ξi = ξi j r j ≠ 0 , W (ξi ) = κi ξi 且 ξi •ξ j = δij ，i = 1, 2 ．对于任何 a = |a | (ξ1cos θ + ξ2sin θ) ∈T P −{0} ，成立(4.11) κn (P , a ) = κ1|P cos 2θ + κ2|P sin 2θ ；(4.12) min{κ1|P , κ2|P } ≤ κn (P , a ) ≤ max{κ1|P , κ2|P } ．证明 注意到 (4.10) 式以及特征向量的单位正交属性，由条件有κn (P , a ) = W ⎝⎛⎠⎞ a |a | • a |a |= [W (ξ1cos θ + ξ2sin θ)•(ξ1cos θ + ξ2sin θ)]|P= [κ1ξ1cos θ + κ2ξ2sin θ)•(ξ1cos θ + ξ2sin θ)]|P= κ1|P cos 2θ + κ2|P sin 2θ ．此即结论 (4.11) 式；且由此易得 (4.12) 式． □(4.11) 式称为Euler 公式．若将上述切方向和法曲率都视为夹角 θ 的函数，则Euler 公式改写为常见的形式(4.13) κn (P , θ ) = κ1(P ) cos 2θ + κ2(P ) sin 2θ ．从Euler 公式来看，曲面在一点附近的弯曲状况，主要依赖于两条法截线在该点的弯曲状况，这两条法截线的切向向量是Weingarten 变换的特征向量；这是Euler 截线法有效性的理论支持，同时也揭示出进一步考虑Weingarten 变换的特征值和特征方向的意义．以下两节将据此讨论．习 题⒈ 对于双曲抛物面 r = (u + v , u − v , uv ) ，试求：① Weingarten 矩阵 ω ；② Weingarten 变换 W 的特征值 κ1 和 κ2 ；③ 在点 (0, 0, 0) 处，Weingarten 变换的单位特征向量．⒉ 试证：在曲面上的任意一点之处，沿着两个正交的切方向的法曲率之和为常数． ⒊ 给定曲面上的一点，设此点处的Weingarten 变换 W 的两个特征值 κ1 ≠ κ2 ．在该点处，沿着任意两个夹固定角 θ0 的切方向的法曲率之和为常数，试证：θ0 是直角．⒋在曲面的Weingarten变换W之下，若a, b∈T P−{0} 满足W(a)•b= 0 ，则称两个切向a和b是相互共轭的．试证：① W的单位正交特征向量ξ1和ξ2在切点是相互共轭的；② 自然切向量场r1和r2处处相互共轭的充要条件为Ω12≡ 0 ；③ 切向量场a=a i r i和自身处处相互共轭的充要条件为a i a jΩij≡ 0 ．⒌ 回避线性变换语言，则采用下列所示步骤也可确定曲面在一点处的法曲率关于方向的最值情况．给定曲面在该点的两个基本形式系数矩阵g, Ω以及Weingarten矩阵ω，作二元实函数f(λ1, λ2) =λiΩijλjλi g ijλj , (λ1, λ2) ≠ (0, 0) ．试证：① f(μλ1, μλ2) = f(λ1, λ2) , ∀μ∈R−{0} ；② f一定存在最大值和最小值；③ f的最值是ω的两个特征值κ1和κ2，f的最值点是ω的两个特征方向向量；④ f取常值的充要条件是ω以任何非零向量为特征向量；⑤ 当f不取常值时，最值κ1≠κ2．并且，此时f的相应最值点 (ξi1, ξi2) 满足ξ1i g ijξ2j= 0 , ξ1iΩijξ2j= 0 ．。
§4 Weingarten变换
第四章 曲面的第二基本形式与曲面上的曲率§4 Weingarten 变换Weingarten 公式刻画了曲面单位法向的运动状况，必然可以用以进一步了解曲面的弯曲状况．为了简化计算，也为了以后在更为抽象的几何对象上作类似的一般性讨论，本节将使用线性代数的语言讨论Weingarten 公式以及相关的线性变换．现改写Weingarten 公式为矩阵形式(4.1) d n = (d u 1, d u 2)⎝⎛⎭⎫n 1n 2 = -(d u 1, d u 2) ω ⎝⎛⎭⎫r 1r 2 = -(d u 1, d u 2) Ω g -1⎝⎛⎭⎫r 1r 2， 其中矩阵 ω 称为曲面在参数 (u 1, u 2) 下的Weingarten 矩阵．一．Weingarten 矩阵的性质⒈ 在参数变换下的行为在参数变换⎺u i =⎺u i (u 1, u 2) 下，记Jacobi 矩阵 J = ⎝⎛⎭⎫ ∂⎺u j∂u i 2⨯2 ，已知有 g = J ⎺g J T ，Ω = ± J ⎺Ω J T ．故(4.2) ω = ± (J ⎺Ω J T )(J ⎺g J T )-1 = ± J ⎺ω J -1 ．此式说明，Weingarten 矩阵在保向的不同参数下相似，从而其特征值在保向参数变换下不变，在反向参数变换下变号；其特征值方程(4.3) λ2 - tr.ω λ + |ω | = 0在保向参数变换下不变，从而其系数分别构成几何量(4.4) tr.ω = tr.(Ω g -1) = g 11Ω22 - 2g 12Ω12 + g 22Ω11 | g | = EN - 2FM + GL EG - F 2， (4.5) |ω | = |Ω g -1| = |Ω | | g | = LN - M 2 EG - F 2． ⒉ 实特征值与特征向量定理1 正则曲面上的Weingarten 矩阵 ω 具有两个实特征值．证明 考虑曲面上的函数f = (tr.ω)2 - 4 |ω | = (ω11 + ω22)2 - 4 (ω11ω22 - ω12ω21)= (ω11 - ω22)2 + 4 ω12ω21 ．由于它在参数变换下不变，故不妨设已经在正交参数网下考虑；此时，ω = Ω g -1 = ⎝⎛⎭⎫L M M N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 E 00 1 G = ⎝ ⎛⎭⎪⎫L E M G M E N G ， f = ⎝⎛⎭⎫L E - N G 2 + 4M 2EG ≥ 0 ．故特征值方程 (4.3) 具有两个实根，即得结论． □注记 在正交网下，注意到Weingarten 矩阵 ω 的两个特征值相等时 M = 0从而 ω 对称，故由定理1结论进一步可知：在正则曲面上任何一点，矩阵 ω 可以实相似于实对角矩阵；特征值和特征向量都是实数．并且对两个实特征值 κ1 和 κ2 ，有 κ1 + κ2 = tr.ω , κ1κ2 = |ω | ．定理2 在正则曲面上任何一点 P ，Weingarten 矩阵 ω 的两个特征值在点 P 相等的充要条件为 ω 是单位矩阵的倍数，即基本形式系数矩阵 Ω 与 g 在点 P 成比例．证明 充分性显然．下证必要性，并总在点 P 考虑．取矩阵 ω 的互相独立的两个特征向量 (a i 1, a i 2) , i = 1, 2 ，使 (a i 1, a i 2)ω = κi (a i 1, a i 2) ，则矩阵 A = (a i j )2⨯2 是非奇异方阵，且 A ω = κ1I 2 A = κ1 A ．故此时有ω = A -1 (κ1 A ) = κ1I 2 ，Ω = ωg = κ1 g ． □推论 在正则曲面上任何一点 P ，Weingarten 矩阵 ω 的两个特征值在点 P 相等的充要条件点 P 处的法曲率与切向无关． 二．Weingarten 变换 与Euler 公式在 E 3 的正则曲面 S 上，其每一点 P 的切平面 T P 都具有 E 3 的诱导内积而成为二维欧氏空间 E 2 ．按Weingarten 公式 (4.1) 定义线性变换 (4.6) W : T P →T Pa = a i r i |P → W (a ) = a i W (r i |P ) ，其中定义W (r i |P ) = (ωi j r j )|P ，则称之为曲面 S 在点 P 处的切平面 T P 上的Weingarten 变换或Weingarten 映射．Weingarten 变换在切平面 T P 上的自然基 {r 1, r 2}|P 下的分量表示即为 (4.7) W : (1, 0) → (ω11, ω12) ,(0, 1) → (ω21, ω22) ,(a 1, a 2) → (a 1, a 2)ω = (a 1, a 2)Ωg -1 ；此即说明，Weingarten 变换在自然基 {r 1, r 2}|P 下以 ω|P 为表示矩阵．Weingarten 变换在切向微元上的作用为W (d r ) = W (d u i r i ) = (d u 1, d u 2)ω ⎝⎛⎭⎫r 1r 2 = -(d u 1, d u 2)⎝⎛⎭⎫n 1n 2= -d n ； Weingarten 公式 (4.1) 用Weingarten 变换反过来表达为(4.8) d n = -W (d r ) ．此式说明，Weingarten 变换不依赖于自然基的选取，是由曲面本身所确定的切平面到自身的线性变换．曲面的第二基本形式和法曲率用Weingarten 变换分别表达为(4.9) Ⅱ = -d n •d r = W (d r )•d r ，(4.10) κn (P , d r ) = -d n •d r d r •d r = W (d r )•d r d r •d r = W ⎝⎛⎭⎫ d r |d r | • d r |d r |． Weingarten 变换 W 的特征值即为 ω 的实特征值 κ1 和 κ2 ； W 的特征向量 ξ = ξ i r i |P ∈T P -{0} 对应于矩阵 ω 的实特征向量 (ξ 1, ξ 2)∈R 2-{(0, 0)} ．定理3 在正则曲面上任何一点 P ，Weingarten 变换 W 是 T P 上的自共轭线性变换，即：对 ∀a , b ∈T P ，成立 W (a )•b = a •W (b ) ．证明 在自然基 {r 1, r 2}|P 下，记 a = a i r i |P , b = b i r i |P ，则W (a )•b = (a 1, a 2)ω ⎝⎛⎭⎫r 1r 2 ⎝⎛⎭⎫r 1r 2T ⎝⎛⎭⎫b 1b 2= (a 1, a 2)ω g ⎝⎛⎭⎫b 1b 2 = (a 1, a 2)Ω ⎝⎛⎭⎫b 1b 2 = (b 1, b 2)Ω ⎝⎛⎭⎫a1a 2 = W (b )•a = a •W (b ) ． □推论1 对Weingarten 变换 W 的实特征值 κ1 和 κ2 ，存在对应的单位正交特征向量 ξi = ξi j r j ≠ 0 , i = 1, 2 ，即： W (ξi ) = κi ξi 且 ξi •ξ j = δij ．证明 取定曲面上一点 P 考虑．在 T P 上，有以下两种情形：① κ1 = κ2 ，则 W 以 T P 上的任何一个非零向量为特征向量，故取单位正交向量 ξi = ξi j r j ≠ 0 , i = 1, 2 ，即为单位正交特征向量．② κ1 ≠ κ2 ，则可取单位特征向量 ξi = ξi j r i ≠ 0 , i = 1, 2 ，使W (ξi ) = κi ξi ，i = 1, 2 ．此时，W (ξ1)•ξ2 = κ1ξ1•ξ2 , W (ξ2)•ξ1 = κ2ξ2•ξ1 ；故由自共轭性质可知两式相等，从而(κ1 - κ2)ξ1•ξ2 = 0 ，此即 ξ1•ξ2 = 0 ，即两特征向量正交．综合以上两种情形，得证． □推论2 给定Weingarten 变换 W 的实特征值 κ1 和 κ2 ，以及相应的单位正交特征向量 ξi = ξi j r j ≠ 0 , W (ξi ) = κi ξi 且 ξi •ξ j = δij ，i = 1, 2 ．对于任何 a = |a | (ξ1cos θ + ξ2sin θ) ∈T P -{0} ，成立(4.11) κn (P , a ) = κ1|P cos 2θ + κ2|P sin 2θ ；(4.12) min{κ1|P , κ2|P } ≤ κn (P , a ) ≤ max{κ1|P , κ2|P } ．证明 注意到 (4.10) 式以及特征向量的单位正交属性，由条件有κn (P , a ) = W ⎝⎛⎭⎫ a |a | • a |a |= [W (ξ1cos θ + ξ2sin θ)•(ξ1cos θ + ξ2sin θ)]|P= [κ1ξ1cos θ + κ2ξ2sin θ)•(ξ1cos θ + ξ2sin θ)]|P= κ1|P cos 2θ + κ2|P sin 2θ ．此即结论 (4.11) 式；且由此易得 (4.12) 式． □(4.11) 式称为Euler 公式．若将上述切方向和法曲率都视为夹角 θ 的函数，则Euler 公式改写为常见的形式(4.13) κn (P , θ ) = κ1(P ) cos 2θ + κ2(P ) sin 2θ ．从Euler 公式来看，曲面在一点附近的弯曲状况，主要依赖于两条法截线在该点的弯曲状况，这两条法截线的切向向量是Weingarten 变换的特征向量；这是Euler 截线法有效性的理论支持，同时也揭示出进一步考虑Weingarten 变换的特征值和特征方向的意义．以下两节将据此讨论．习 题⒈ 对于双曲抛物面 r = (u + v , u - v , uv ) ，试求：① Weingarten 矩阵 ω ；② Weingarten 变换 W 的特征值 κ1 和 κ2 ；③ 在点 (0, 0, 0) 处，Weingarten 变换的单位特征向量．⒉ 试证：在曲面上的任意一点之处，沿着两个正交的切方向的法曲率之和为常数． ⒊ 给定曲面上的一点，设此点处的Weingarten 变换 W 的两个特征值 κ1 ≠ κ2 ．在该点处，沿着任意两个夹固定角 θ0 的切方向的法曲率之和为常数，试证：θ0 是直角．⒋在曲面的Weingarten变换W之下，若a, b∈T P-{0} 满足W(a)•b= 0 ，则称两个切向a和b是相互共轭的．试证：①W的单位正交特征向量ξ1和ξ2在切点是相互共轭的；②自然切向量场r1和r2处处相互共轭的充要条件为Ω12≡ 0 ；③切向量场a=a i r i和自身处处相互共轭的充要条件为a i a jΩij≡ 0 ．⒌回避线性变换语言，则采用下列所示步骤也可确定曲面在一点处的法曲率关于方向的最值情况．给定曲面在该点的两个基本形式系数矩阵g, Ω以及Weingarten矩阵ω，作二元实函数f(λ1, λ2) =λiΩijλjλi g ijλj , (λ1, λ2) ≠ (0, 0) ．试证：①f(μλ1, μλ2) = f(λ1, λ2) , ∀μ∈R-{0} ；②f一定存在最大值和最小值；③f的最值是ω的两个特征值κ1和κ2，f的最值点是ω的两个特征方向向量；④f取常值的充要条件是ω以任何非零向量为特征向量；⑤当f不取常值时，最值κ1≠κ2．并且，此时f的相应最值点 (ξi1, ξi2) 满足ξ1i g ijξ2j= 0 , ξ1iΩijξ2j= 0 ．。
§6 曲面的特殊参数网
第四章曲面的第二基本形式与曲面上的曲率§6曲面的特殊参数网按照第三章§5定理1的一般性结论，本节具体讨论两种特殊参数网．一．曲率线和曲率线网鉴于主曲率和主方向在曲面弯曲程度刻画中的重要地位，利用主方向向量场构造相应的参数网将是有意义的．定义1若曲面S上的曲线C的切向总是S的主方向，则称曲线C为曲面S的一条曲率线．注记1①曲率线就是曲面上的主方向场的积分曲线．②对于全脐曲面而言，其上任意一条曲线都是曲率线；因而对于平面和球面而言，曲率线没有特别意义．而在曲面的非脐点处，有且仅有正交的主方向，因而对应有两条正交的曲率线．对于曲面S: r(u1, u2) 上的曲线C: u i=u i(s) , i= 1, 2 ，其单位切向T(s) =r i d u id s成为主方向的充要条件为沿C成立W(T) =λT，由(5.3) 式化为(6.1)( d u2d s)2- d u1d sd u2d s( d u1d s)2g11g12g22Ω11Ω12Ω22= 0 ．因而，曲率线微分方程由 (5.3) 式或由 (6.1) 式给定，也经常写为(6.2)(d u2)2-d u1d u2 (d u1)2E F GL M N= 0 ．例1对于正则的旋转面S: r(u, v) = ( f(v) cos u , f(v) sin u , h(v)) ，证明其经线和纬线都是曲率线．证明：易知旋转面S的相应基本形式系数分别为E=f 2 , F= 0 , G= (f')2+ (h')2 ,L = -f h '(f ')2 + (h ')2 , M = 0 , N = f "h ' - f 'h "(f ')2 + (h ')2, 故 S 的曲率线方程为d v 2 - d u d v d u 2 f 2 0 (f ')2 + (h ')2 -f h '(f ')2 + (h ')2 0 f "h ' - f 'h "(f ')2 + (h ')2= 0 ．对 S 的经线 v 线，u = const. 即 d u = 0 ，显然适合该方程；同理，对 S 的纬线 u 线，v = const. 即 d v = 0 ，同样适合该方程．故 S 的经、纬线都是曲率线． □从上例可见，旋转面上的经纬参数网是正交网并且坐标曲线都是曲率线．在曲面上，由处处正交的曲率线所构成的参数网通常称为正交曲率线网；而对于无脐点的曲面，若存在曲率线所构成的参数网，则该网处处正交，此时正交曲率线网也简称为曲率线网．关于曲率线网的性质有下列结果，列为定理．定理1 已知正则曲面 S : r (u , v ) ．① 若 S 的第一和第二基本形式系数矩阵处处同时对角化，即 F = M ≡ 0 ，则其两族坐标曲线都是曲率线，即 (u , v ) 参数网为正交曲率线网； ② 若 S 无脐点，并且 (u , v ) 坐标曲线都是曲率线，则 F = M ≡ 0 ； ③ 若 S 无脐点，则局部存在参数使坐标曲线网构成曲率线网．证明 ① 由曲率线微分方程，结论是显然的．② 由曲率线的定义知 r u 和 r v 都是主方向向量，并且由曲面正则性知道 r u 和 r v 是处处线性无关的．故由主方向的正交性知道 F ≡ 0 ．再由曲率线微分方程 (6.2) 式，将 d u :d v = 1:0 和 d u :d v = 0:1 分别代入，得0 0 1E 0 G L M N ≡ 0 ≡ 1 0 0E 0 G L M N．此即 EM ≡ 0 ≡ GM ，从而由第一基本形式的正定性得知 M ≡ 0 ．③ 此时两族单位正交主方向向量场在 S 上处处线性无关并且连续可微．故由第三章§5定理1即知，局部存在参数使两族坐标曲线分别为单位正交主方向向量场的两族积分曲线，此即构成曲率线网． □推论1 已知正则曲面 S : r (u , v ) 无脐点．则 (u , v ) 坐标曲线网构成曲率线网的充要条件为 S 的第一和第二基本形式系数矩阵处处同时对角化．注记2 ① 在无脐点 S 的曲率线网之下，Weingarten 矩阵简化为ω = Ω g -1 = ⎝⎛⎭⎫L 00 N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 E 0 0 1 G = ⎝ ⎛⎭⎪⎫L E 0 0 N G ； 此时主曲率分别简化为 κ1 = L E , κ2 = N G，相应的单位主方向分别简化为 ξ1 = r 1 E , ξ2 = r 2 G． ② 在曲面的孤立脐点附近，曲率线网的存在性和正交性在脐点处并不能保证．③ 对于全脐曲面，局部总存在正交曲率线网．此时正交曲率线网同样使第一和第二基本形式系数矩阵处处同时对角化．理由可参见定理的证明过程．曲率线的特征也可以用曲面单位法向的行为或法线的行为来刻画． 定理2（Rodriques 公式） 已知正则曲面 S : r (u 1, u 2) 的弧长参数化曲线 C : r (u 1(s ), u 2(s )) ．C 是曲率线的充要条件为：沿 C 存在函数 λ(s ) ，使 d n d s = - λ(s ) d r d s， 即沿 C 成立 d n = - λ(s ) d r ．证明 由曲率线定义和Weingarten 公式，下列条件等价是显然的：C 是曲率线⇔沿 C 存在函数 λ(s ) 使 W (T ) = λ(s ) T⇔沿 C 存在函数 λ(s ) 使 d n = - λ(s ) d r ． □推论2 正则曲面 S 上的曲线 C 是曲率线的充要条件为： S 的法线沿C 所织成的直纹面可展．证明 对于正则曲面 S : r (u 1, u 2) 上的弧长参数化曲线 C : a (s ) = r (u 1(s ), u 2(s )) ，记 l (s ) = n (u 1(s ), u 2(s )) ，S 的法线沿 C 所织成的直纹面即为 S *: r *(s , t ) = a (s ) + t l (s ) ．由直纹面可展的解析条件，S * 可展的解析条件化为0 = (a '(s ), l (s ), l '(s )) = ⎝⎛⎭⎫d r d s , n , d n d s ． 现若曲线 C 是曲率线，则由上式和Rodriques 公式即知 S * 可展．反之，若S* 可展，则由解析条件即知S的两个切向量d rd s和d nd s平行，从而沿C存在函数λ(s) 使 d n=-λ(s) d r．再由Rodriques公式即知曲线C是曲面S上的曲率线．□利用上面这个结论观察旋转面的经纬线，可直观看到例1的结果．在§8之中，曲率线网将用来讨论可展曲面的曲率特征．二．渐近曲线和渐近曲线网上面已经看到，作为法曲率关于方向的最值，主曲率是曲面上的重要几何量．接下来将简单介绍一下对应于法曲率零值的切方向场及其积分曲线．定义2若曲面S上在点P处沿切向a∈T P的法曲率取零值，则称切向a∈T P为S在点P处的一个渐近方向；若曲面S上的曲线C的切向量总是S 上的渐近方向，则称C为S的一条渐近曲线．注记3①从Euler公式易见，存在渐近方向的充要条件是曲面的Gauss曲率非正．②渐近方向a∈T P是T P上的Weingarten变换的自共轭方向，即W(a)•a= 0 ．③曲面上的直线一定是曲面上的渐近曲线．曲面S: r(u1, u2) 上渐近曲线的微分方程为Ωij d u i d u j= 0 ．在S上，由渐近曲线所构成的参数网通常称为渐近曲线网．类似于对曲率线网的讨论，对于渐近曲线网可证（留作习题）下述结论．定理3已知正则曲面S: r(u, v) ．则 (u, v) 坐标曲线网构成渐近曲线网的充要条件为S的第二基本形式系数满足Ω11=Ω22≡ 0 ．习题⒈对可展曲面，试证：直母线既是渐近曲线也是曲率线，并且过非脐点处的另一族曲率线是直母线的正交轨线．⒉设两张正则曲面S和S* 有正则交线C，并且S和S* 沿着C具有恒定的交角．试证：C是S的曲率线的充要条件为C是S* 的曲率线．⒊设两张可展曲面S和S* 有正则交线C，并且S和S* 的直母线分别沿着C处处正交于C．试证：S和S* 沿着C具有恒定的交角．⒋设曲面S上的一条曲率线C不是渐近曲线，并且C的密切平面与S的切平面具有恒定的交角．试证：C是平面曲线．⒌设正则曲面S由右手直角坐标系O-xyz下的隐式方程Q(x, y, z) = 0 确定．试证S的曲率线微分方程为d x d y d zQ x Q y Q zd Q x d Q y d Q z= 0 ．⒍证明定理3．⒎试证：若曲面在一点处具有三个两两不平行的渐近方向，则该点必为平点．⒏已知曲面S在每一点处具有负Gauss曲率．试证：曲面S在每一点处的主方向平分该点处的渐近方向．⒐设曲面S上的正则曲线C无逗留点．试证：C为S上的渐近曲线的充要条件为C的密切平面与S的切平面重合．⒑设无逗留点曲线C: u i=u i(s) 为曲面S: r(u1, u2) 上的弧长参数化渐近曲线，以τ为挠率函数．试证：沿曲线C，①S的Gauss曲率K=-τ 2；②τ=1|g|( d u2d s)2- d u1d sd u2d s( d u1d s)2g11g12g22Ω11Ω12Ω22．。
微分几何 曲面的第二基本形式PPT教案
u=u(s),v=v(s)
r ，r k，n ， ， n， 共面,设n， 夹角 ,则 n
II= r n(ds)2 k n(ds)2 k cos (ds)2 (ds)2 I
II k cos
Ldu2 2Mdudv Ndv2
I
Edu2 2Fdudv Gdv2
只要在p点及与C相切的曲线，这个值 不变， 这就是 曲面 在P点沿C方向的法曲率
0, n
r
s
r
v
r
s
r
v
vk . vk
L vk , M 0, N 0,
由于
LN M 2 0 。 ，所以曲面上的点都是抛物点
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3.4 曲面的渐近方向和共轭方向
定义:如果P点是曲面的双曲点,则它的 杜邦指 标线有 一对渐 近线, 我们把 沿渐近 线的方 向
称为曲面在P点的渐近方向.由解析几 何中二 次曲线 的理论 可知, 这两个 渐近方 向满足 方程
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设曲面上P点处的两个方向为 (d) du : dv,
和 ( ) u : v如果包含这两个方向的直线是P点 的杜邦指标线的共轭直径,则方向 (d )和( )称为曲
面的共轭方向.
由解析几何二次曲线理论杜邦指标线 两个共 轭 方 向 满 足
Lx2 2Mxy Ny2 1
L0 duu M0 (duv dvv) N0 dvv 0
,
1 p2 q2
t
N r yy n
,
1 p2 q2
：
其中
p
z , q x
z , y
s
2z ,r
xy
2z x 2
,
t
2z y 2
§8 特殊曲面的曲率特征
第四章 曲面的第二基本形式与曲面上的曲率§8 特殊曲面的曲率特征按照本章前面所建立的一般理论，本节将作一些具体讨论．一．可展曲面的曲率特征根据§5和§6的理论已经知道（参见§5例1和§6习题1），对可展曲面，直母线既是渐近曲线也是曲率线，并且过非脐点处的另一族曲率线是直母线的正交轨线；可展曲面的Gauss 曲率处处为零．换个角度来看，若按Gauss 曲率来衡量曲面的弯曲程度，则可展曲面是“平坦”的．这种看法与可展曲面局部等距对应于平面是相互印证的，这个现象的理论意义将在以后深入考虑．这里考虑其逆命题是否成立，即Gauss 曲率处处为零的曲面是否可展．定理1 若无脐点的曲面 S 的Gauss 曲率 K ≡ 0 ，则 S 可展．证法分析 不妨在正交曲率线网 (u 1, u 2) 下考虑，即设 F = M ≡ 0 ，且 W (r 1) = - n 1 = κ1r 1 ≠ 0 , W (r 2) = - n 2 = κ2r 2 ≡ 0 ,κ1 = L E ≠ 0 , κ2 = N G≡ 0 ． 由可展定义，要证明：① u 2 线是直线；② S 的切平面沿 u 2 线重合．其中若能证明第①条，则第②条是显然的．为证第①条，只要等价证明 u 2 线的单位切向与 u 2 无关，即 r 2 |r 2|只与 u 1 有关．现在容易知道的是 n 只与 u 1 有关，进而 n 1 也只与 u 1有关；由此可以考虑利用它们表示出 r 2 |r 2|． 证明 因曲面 S 无脐点，故存在正交曲率线网 (u 1, u 2) 使Weingarten 公式化为 n 1 = -κ1r 1 , n 2 = -κ2r 2 ．而Gauss 曲率 K = κ1κ2 ≡ 0 ，不妨设 κ2 ≡ 0 , κ1 ≠ 0 ，则有图4-6n1=-κ1r1≠0 , n2=-κ2r2≡ 0 ．此式说明n只与u1有关，可记为n=n(u1) ，从而n沿u2线平行，并且n1 =n1(u1) ≠0．注意到n1∥r1 , r2•r1≡ 0 , r2•n≡ 0 ，便得r2 |r2|=n⨯r1|r1|=-sgn(κ1) n⨯n1|n1|，此式右端只与u1有关，从而u2线是直线，曲面是直纹面且可展．□推论1对于无脐点的曲面，可展的充要条件是其Gauss曲率K≡ 0 ．二．曲面面积的第一变分公式肥皂膜的均匀张力通常使膜的表面达到一种极小面积值所对应的稳定状态．对于此种状态及其推广情形的研究，是近代和现代微分几何学中较为活跃和有意义的分支之一．为了考察曲面形变对于其面积的影响，可以利用变分法对于其面积进行一般化的讨论．下面将讨论较为简单的情形，对应的几何直观可以参照鼓膜的振动．考虑具有固定边界曲线的单参数正则曲面族Sβ :rβ: U→E3(u1, u2) →rβ(u1, u2) =ρ(u1, u2; β) ,β∈(-ε, ε) ，其中U⊂R2是具有光滑边界曲线的有界区域，并且假设ρ关于β∈(-ε, ε) 也是连续可微的，ε是某个正数．记曲面S=S0: r=r(u1, u2) =ρ(u1, u2; 0) ，通常称曲面族 { Sβ|β∈(-ε, ε)} 是曲面S的一个变分族．取曲面S的单位法向n=n(u1, u2) ，则曲面Sβ可表示为(8.1)ρ(u1, u2; β) =r(u1, u2) +μ(u1, u2; β) n(u1, u2) ，μ(u1, u2; 0) ≡ 0 ，其中μ(u1, u2; β) 是连续可微的，并且通常称其为曲面S的一个法向变分函数．为考虑曲面S的面积变分，首先表示出曲面Sβ的面积为(8.2)A(β) =A(Sβ) =⎰⎰U dσβ=⎰⎰U|ρ1⨯ρ2| d u1d u2，从而转化成考虑曲面S的面积的第一变分 d A(β)dβ|β= 0= ? 下列引理中的公式(8.3) 称为曲面面积的第一变分公式．引理对于上述曲面族 { Sβ|β∈(-ε, ε)} ，成立(8.3) d A(β)dβ|β= 0=-2⎰⎰U(∂μ∂β|β= 0)H dσ，其中H和 dσ分别为S的平均曲率和面积元素．证明由 (8.1) 式求导得ρi=r i+μi n+μn i=r i+μi n-μωi j r j , i= 1, 2 ，故有ρ1⨯ρ2= (r1+μ1n-μω1j r j)⨯(r2+μ2n-μω2j r j)= [(1 -μω11)r1-μω12r2+μ1n)]⨯[-μω21r1+ (1 -μω22)r2+μ2n]= [(1 -μω11)(1 -μω22) -μ2ω12ω21] r1⨯r2+ [(1 -μω11)μ2+μ1μω21] r1⨯n+ [(1 -μω22)μ1+μ2μω12] n⨯r2= [1 - 2Hμ+Kμ2] r1⨯r2+ [(1 -μω11)μ2+μ1μω21] r1⨯n+ [(1 -μω22)μ1+μ2μω12] n⨯r2．又由于μ(u1, u2; 0) ≡ 0 ，从而μ1(u1, u2; 0) ≡ 0 , μ2(u1, u2; 0) ≡ 0 ，故有(ρ1⨯ρ2)|β= 0=r1⨯r2 ,(∂∂β(ρ1⨯ρ2))|β= 0=-2 (∂μ∂β|β= 0)H r1⨯r2+ (μ2β|β= 0) r1⨯n+ (μ1β|β= 0) n⨯r2．进一步，注意到(∂∂β|ρ1⨯ρ2|)|β= 0=∂∂β(|ρ1⨯ρ2|2)2|ρ1⨯ρ2|2|β= 0=(∂∂β(ρ1⨯ρ2)•(ρ1⨯ρ2))|β= 0|r1⨯r2|=(∂∂β (ρ1⨯ρ2))|β= 0•n，则有(∂∂β|ρ1⨯ρ2|)|β= 0=-2 (∂μ∂β|β= 0)H|r1⨯r2|，d A(β) dβ|β= 0=⎰⎰U(∂∂β|ρ1⨯ρ2|)|β= 0 d u1d u2=⎰⎰U-2 (∂μ∂β|β= 0)H|r1⨯r2| d u1d u2=-2 ⎰⎰U (∂μ∂β|β= 0)H dσ．□当曲面S没有脐点时，上述计算可在曲率线网之下简化．曲面面积的第二变分公式较为复杂，有兴趣的读者可阅读相关专业文献．三．极小曲面定义若曲面的平均曲率恒为零，则称之为极小曲面．从曲面面积的第一变分公式易见，极小曲面在其任意一个变分族中达到面积变分的逗留值，从而成为变分族中具有最小面积值的曲面的候选对象．反之，若曲面S的平均曲率不恒为零，不妨设点P0∈S使H(P0) > 0 ，则存在点P0在参数平面上的小邻域U0⊂⎺U0⊂U和连续可微函数h使H(P) > 0 , ∀P∈U0 ;h(P0) > 0 ; h(P) {≥ 0 , P∈U0 ;= 0 , P∈U-U0 .构造曲面S的法向变分函数μ(P; β) =β h(P) ，则使-2 ⎰⎰U (∂μ∂β|β= 0)H dσ=-2 ⎰⎰U0hH dσ< 0 ．于是得到下列定理和推论．定理2曲面S为极小曲面的充要条件是S的面积在其任意变分族中总达到逗留值．推论2若曲面S的面积在其任意变分族中达到最小值，则S必为极小曲面．在一些特定条件下，确定极小曲面的过程可以转化为求解微分方程的过程，有时可以由平均曲率为零而得到比较容易求解的常微分方程．习题⒈证明双曲抛物面不可展．⒉证明单叶双曲面不可展．⒊对于无脐点的极小曲面S，试证：①S的Gauss曲率K< 0 ；②S的渐近曲线族构成正交参数网．⒋对于正则旋转面S: r(u, v) = ( v cos u , v sin u , f(v) ) ，试证：①若S可展，则或为平面，或为圆锥面；②若S极小，则或为平面，或为悬链面 (v cos u , v sin u , ±a ln(v+v2-a2 ) ) ．⒌对于Ennerper曲面S: r= (3(1+v2)u-u3, 3(1+u2)v-v3, 3(u2-v2)) ，试证：①S极小；②S的曲率线都是平面曲线．⒍对于正螺面S: r= ( v cos u , v sin u , b u ) , b= const. ≠ 0 ，试证：①S极小；②若极小直纹面无脐点，则必为正螺面．⒎证明直角坐标系O-xyz下的下列曲面是极小曲面：①z=a arctg yx , a= const. ≠ 0 ；②Scherk曲面z=1a lncos aycos ax , a= const. ≠ 0 ．⒏设直角坐标系O-xyz下的平移曲面z=ϕ(x) +ψ(y) 是极小曲面，证明其在相差一个常数的意义下可写为上题中的Scherk曲面．⒐已知曲面S: r=r(u1, u2) 的第一基本形式 d s2 =ρ2[(d u1)2+(d u2)2] , ρ=ρ(u1, u2) > 0 ．记∆=∂2(∂u1)2+∂2(∂u2)2，试证：曲面S极小的充要条件为∆r = 0．⒑设曲面S按Gauss映射的对应关系共形（即第一基本形式成比例）对应于单位球面．试证：S或为极小曲面，或为球面．。
曲面的第二基本形式在曲面论中的作用
曲面的第二基本形式在曲面论中的作用1 引言为了研究曲面在空间中的弯曲性而引入了曲面的第二基本形式，它近似等于曲面与切平面的有向距离的两倍，从而刻画了曲面离开切平面的弯曲程度，即曲面在空间中的弯曲性，并且与曲面的第一基本形式共同构成了曲面论的基本定理．从而确定了曲面一点附近的结构与形状．由此可见曲面的第二基本形式在曲面论中的作用举足轻重，同时由它引出的曲面的几何性质又是曲面论中的难点．本文将主要通过对曲面的各种曲率（如法曲率，测地曲率，主曲率等），曲面上的各种特殊曲线（如渐近线，曲率线等）和曲线网（如曲率网，共轭网等），曲面上点的类型（如椭圆点，双曲点等）等内容的讨论举例来阐述曲面的第二基本形式在曲面论中的作用．2 曲面的第二基本形式定义曲面的第二基本形式2C 类曲面():,S r r u v =r r ，曲线():C ()()(),r u s v s r s ==⎡⎤⎣⎦r r（s 为自然参数）为S 上过一固定点P 的曲线，π为S 在P 点的切平面，n r为曲面在P 点的单位法向量，则2222uu uv vv n rds n r du n r dudv n r dv ⋅=⋅+⋅+⋅r r r r r r r r && （１）令uu L r n =⋅r ，uv M r n =⋅r r ，vv N r n =⋅r r（２）则（１）式变为Ⅱ22222n d r n d r Ldu Mdudv Ndv =⋅=⋅=++rr rr（３） 称之为曲面的第二基本形式，它的系数L 、M 、N 称为曲面的第二类基本量．)8381](1[-P它就近似等于曲面到切平面有向距离的两倍． 此外，对关系式0n dr ⋅=r r微分得20dn dr n d r ⋅+⋅=r r r r所以曲面的第二基本形式也可写为Ⅱ2n d r dn dr =⋅=-⋅rr r r．一般来说曲面第二基本形式的这种表达方式主要应用于曲面相关性质的证明．计算曲面的第二基本形式 由于曲面的单位法向量u v u vr r n r r ⨯==⨯r r r r r r r代入（2）中得,,uu r r r L r n =⋅=r r r r r ，,,uv r r r M r n =⋅=r r r r r，,,vv r r r N r n =⋅=r r rr r ． 所以根据以上公式来计算曲面的第二基本形式．例1 计算球面{}cos cos ,cos sin ,sin r R R R θϕθϕθ=r的第二基本形式． 解 球面方程为{}cos cos ,cos sin ,sin r R R R θϕθϕθ=r，所以有{}cos sin ,cos cos ,0r R R ϕθϕθϕ=-r ，{}sin cos ,sin sin ,cos r R R R θθϕθϕθ=--r于是得22cos E r r R ϕϕθ=⋅=r r，0F r r ϕθ=⋅=r r ，2G r r R θθ=⋅=r r所以r r n ⨯=r r r {}cos cos ,cos sin ,sin θϕθϕθ=又{}cos cos ,cos sin ,0r R R ϕϕθϕθϕ=--r{}sin sin ,sin cos ,0r R R ϕθθϕθϕ=-r{}cos cos ,cos sin ,sin r R R R θθθϕθϕθ=---r，所以2cos L r n R ϕϕθ=⋅=-r r，0M r n ϕθ=⋅=r r ，N r n R θθ=⋅=-r r因而()2cos II R R θ=-+-．3 法曲率法曲率设():C ()()(),r u s v s r s ==⎡⎤⎣⎦r r为曲面S 上经过一固定点P 的一条曲线． k 为曲线(C )在P点的曲率，θ为βr 和n r间的夹角()0θπ≤≤，则有22222cos 2II Ldu Mdudv Ndv k I Edu Fdudv Gdv θ++==++ （４）对于曲面上的法截线()0C 有0n β=±r，00θ=或π，cos 1θ=±所以它的曲率0IIk I=于是我们将222222n II Ldu Mdudv Ndv k I Edu Fdudv Gdv ++==++ （５）称之为曲面在一点沿所取方向的法曲率．)159158](2[-PⅡ＞０时，0n k k =，法截面朝切面的正向弯曲； Ⅱ＜０时，0n k k =-，法截面朝切面的负向弯曲； Ⅱ＝０时，00n k k ==，法曲率和法截线曲率都等于零． 例１ 求抛物面()2212z ax by =+在()0,0点和方向():du dv 的法曲率． 解 抛物面方程为()221,,2r x y ax by ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭r求得1x x E r r =⋅=r r，0x y F r r =⋅=r r ，1y y G r r =⋅=r r xx L n r a =⋅=r r，0xy M n r =⋅=r r ，yy N n r b =⋅=r r所以2222n II adx bdy k I dx dy +==+．例2 利用法曲率公式n IIk I=证明在球面上对于任何曲纹坐标第一、二类基本量成比例． 证明 对于球面{}cos cos ,cos sin ,sin r R v u R v u R u =r可求得22222cos I R vdu R dv =+，222cos II R vdu Rdv =--所以球面上任意一点(),P u v 沿任意方向():du dv 的法曲率为1n II k I R==- 又222222n II Ldu Mdudv Ndv k I Edu Fdudv Gdv++==++ 得()()()2220RL E du RM F dudv RN G dv +=+++=．又因为对于任一方向()d 成立，故有()()()01,00100,1RL E du dv RM F du dv RN G du dv +===⎧⎪+===⎨⎪+===⎩所以()E F G R L M N===-． 梅尼埃（Meusnier ）定理 从（４）式和（５）式得cos n k k θ=．若设1R k=，1n n R k =，R 为曲线()C 的曲率半径，n R 为曲线()0C 的曲率半径，则cos n R R θ=．上式的几何意义就是:梅尼埃（Meusnier ）定理 曲面曲线()C 在给定点P 的曲率中心C 就是与曲线()C 具有共同切线的法截线()0C 上同一点P 的曲率中心0C 在曲线()C 的密切平面上的投影．)90](1[P４ 曲面上的各种曲率主曲率及欧拉(Euler)公式既然曲面上曲线的曲率都可以转化为法曲率来讨论，那么我们有必要对法曲率随方向变化的规律进行研究．定义 在曲面上一点P ，法曲率的每一个逗留值称为曲面在这一点的主曲率，而对应主曲率的方向称为曲面在此点的一个主方向．)164](2[P主方向满足方程()()()220EM FM du EN GL dudv FN GM dv -+-+-=．主曲率满足方程()()()22220NNEG F k LG MF NE k LN M ---++-=．曲面在非脐点处，由于主曲率方程的判别式△＞０，所以它有两个不相等的实根，因而曲面上非脐点处总有两个主方向．在脐点处，方程是恒等式，因而每一方向都是主方向．罗德里格（Rodrigues ）定理 若方向（d ）是主方向，当且仅当n dn k dr =-，n k 为曲面沿（d ）的法曲率．)97](1[P欧拉(Euler)公式:2212cos sin n k k k θθ=+θ是任意方向（ｄ）与ｕ－曲线的夹角．)100](1[P欧拉(Euler)公式告诉我们只要知道主方向，任何方向（ｄ）的法曲率都可以由方向（ｄ）和ｕ－曲线的夹角θ来确定．而主曲率与法曲率有着下面的关系:命题)101]([!P 曲面上一点（非脐点）的主曲率是曲面在这点所有方向的法曲率中的最大值和最小值．例1 确定抛物面()22z a x y=+在()0,0点的主曲率．解 抛物面的方程(){}22,,r x y a x y=+r可求得在()0,0处1E =，0F =，1G =；2L a =，0M =，2N a =把第一、二基本量代入主曲率方程（７）得()220N a k -=解得122k k a ==．例2 证明在曲面上给定点处，沿相互成为直角的方向的法曲率之为常数2H ． 证明 设该点相互成直角方向的法曲率分别为kn 和kn *，则由欧拉公式得2212cos sin n k k k θθ=+2212cos sin 22n k k k ππθθ*⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2212sin cos k k θθ=+所以12n n k k k k *+=+= 2H ．高斯(Gauss)曲率和平均曲率若1k ，2k 为曲面上一点的两个主曲率，则它们的乘积12k k 称之为曲面在这一点的高斯曲率（Gauss ），通常以K 表示，它们的平均数121()2k k +称之为曲面在这一点的平均曲率，通常以H 表示．)174](2[P根据主曲率的方程（５）利用二次方程根与系数的关系得2122LN M K k k EG F-==- ()12212()22LG MF NEH k k EG F -+=+=-． 因而主曲率的方程也可以表示为220N N k Hk K -+=．例１ 求正螺面{}cos ,sin ,r u v u v av =r的高斯曲率和平均曲率． 解 由正螺面方程{}cos ,sin ,r u v u v av =r得1E =，0F =，22G u a =+0uu L n r =⋅=r ，uv M n r a =⋅=-r ，0vv N n r =⋅=r r因此22222LN M a K EG F u a-==--+ ()()22220022LG MF NE H EG F u a -+===-+． 例2 如果曲面的平均曲率为零，则渐近线网构成正交网． 证明 因为曲面的平均曲率()2202LG MF NEH EG F -+==- 所以20LG MF NE -+=设曲面的曲纹坐标网为渐近线网，则0L N ==于是0M F ⋅=，即0F =(若0M =，则曲面上的点为脐点)所以曲纹坐标网为正交网，即渐近线构成正交网．5 曲面上点的类型杜邦(Dupin)指标线为了研究曲面上一点P 处法截线的法曲率的关系，在点P 的切平面上取点P 为原点，坐标曲线在P 点的切向量u r r 和v r r为基向量，n k 为对应方向(d )的法曲率为，1nk 为法曲率半径的绝对值，过点Ｐ方向（d ）画线段PN N 的轨迹称为曲面在点P 的杜邦(Dupin)指标线．)9291](1[-P杜邦(Dupin)指标线的方程为2221Ldx Mdxdy Ndy ++=±．曲面上点的分类利用杜邦(Dupin)指标线可以对曲面上的点进行分类，同时也可以通过一点的高斯曲率K 来对曲面上的点进行分类(如表5－2)．)64](3[P表5－2脐点:L M N==，其中圆点: ()(),,0,0,0L M N ≠，平点: 0L M N ===． 例 求曲面{}32,,r v u u v =+r上的抛物点的轨迹． 解 由{}32,,r v u u v =+r得241E u =+，1F =，491G v =+ 26L v =，0M =，12N uv =令322720uv LN M EG F-==- 则0u = 或 0v =所求抛物线的轨迹为{}{}3212,0,,0,,r v v r u u ==r r．6 曲面上的特殊曲线和曲线网曲率线及曲率网定义1 曲面上一曲线，如果它每一点的切方向都是主方向，则称它为曲率线．)98](1[P曲率线的微分方程为220dv dudv du E F G LMN-=． 定义2 两族曲率线构成的曲率线网称为曲率网．)98](1[P命题1 在不含有脐点的曲面上，任何正规坐标网都可以做成曲纹坐标网．)99](1[P命题2 曲纹坐标网为曲率网的充分必要条件是0F M ==．)99](1[P 例１ 确定螺旋面cos x u v =，sin y u v =，z cv =上的曲率线． 解 螺旋面方程{}cos ,sin ,r u v u v cv =r可以求得1E =，0F =，22G u c =+ 0L =，M =0N =由曲率线的方程得22221000dv dudv du u c -+= 化简得dv ±=积分得ln u v c =±+所以曲率线为1ln u v c +=，2ln u v c -=．例2 若曲面1S ，2S 交于一条曲线()C ，而且()C 是1S 的一条曲率线，则()C 也是2S 的曲率线的充要条件是1S ，2S 沿着()C 相交成固定角．证明 设1S ，2S 两曲面的切向量为1n ϖ，2n ρ，相交曲线()C :(,)r r u v =r r是一条曲率线．由罗德里格（Rodrigues ）定理知 11dn dr λ=r r．若()C 也是2S 的曲率线的充分必要条件为r d n d ϖϖ22λ=()1212dr n n dr λλ=⋅+r r r r 1200λλ=⋅+⋅0=12n n ⇔⋅=r r 常数()1212cos ,n n n n ⇔⋅∠=r r r r 常数()120,n n θ⇔∠=r r(常数)⇔沿()C 曲面1S ，2S 的夹角为定角．渐近曲线及渐近网定义1 曲面S 上一固定点P 处，使Ⅱ0=的方向称之为曲面在点P 的渐近方向．)93](1[P 定义2 若曲面S 上一条曲线()C 的切方向都是渐近方向，则称其为渐近曲线．)93](1[P 定义 3 如果曲面上的点都是双曲点，则曲面上存在两族渐近曲线，这两族渐近曲线称为曲面上的渐近网．)94](1[P渐近曲线的微分方程为2220Ldu Mdudv Ndv ++=．命题 1 曲面上一条曲线为渐近曲线的充要条件是或者它是一条直线，或者它在每一点的密切平面与曲面的切平面重合．)192](2[P命题2 曲面的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是0L N ==．)94](1[例1 求曲面2z xy =的渐近曲线． 解 由求曲面方程为 {}2,,r x y xy =r得41E y =+，32F xy =，2214G x y =+0L =，222214y M x y y =++，222214xN x y y =++由渐近曲线的微分方程得0dy = 与210dx dy x y+=所以渐近曲线为1y c = 或 22x y c =．例2 证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近曲线．证明 设曲线()C :()r r s =r r ，则主法线曲面S :()()r r s t s β=+r r r对s 微分得()()()()()()s r r s t s s t k s s βαατγ=+=+-+r r r r r r &&()()()1tk a s t s τγ=-+r r对t 微分得()t r s β=rr ．曲面S 的法向量()()()1s t N r r tk s t s γτα=⨯=--r r r r r沿曲线()C ，0t =，所以N γ=r r ，即N β⊥r r那么()cos cos ,cos 02n k k k N k πθβ==∠==r r 因此曲线()C 为渐近曲线．共轭网定义 曲面S 上两个方向dr r 与r δr ，若0dn r dr n δδ⋅=⋅=r r r r 则称它们为互相共轭的方向．若曲面S 上两族曲线的方向在每一点都是共轭方向，则这两族曲线构成共轭网．)69](3[P 命题 曲纹坐标网是共轭网的充要条件是0M =)95](1[P ．例 证明在曲面()()z f x g y =+上曲线族x =常数， y =常数构成共轭网．证明 曲面()()z f x g y =+的曲线族x =常数，若取x a =，则这族曲线的方程为()()z f a g y =+正是y -曲线，同理得y =常数，为x -曲线．由曲面方程{},,()()r x y f x g y =+r得0xy M n r =⋅=r r由上面的命题知，曲线族x =常数， y =常数构成共轭网．通过以上对曲面第二基本形式及其相关概念、性质的讨论以及对命题、例题的证明，说明关于曲面弯曲性的研究是由点到线，由线到网的讨论过程，曲面的第二基本形式无处不在，它贯穿于曲面弯曲性的始终，并与曲面的第一基本形式共同建构了曲面论的基本定理，从而确定了曲面的形状．。
微分几何陈维桓第四章讲稿
微分⼏何陈维桓第四章讲稿⽬录第四章曲⾯的第⼆基本形式 (50)§ 4.1 第⼆基本形式 (50)§ 4.2 法曲率 (52)§ 4.3 Weingarten映射和主曲率 (55)⼀、Gauss映射和W eingarten变换 (55)⼆、主曲率和主⽅向 (55)§ 4.4 主⽅向和主曲率的计算 (57)⼀、Gauss曲率和平均曲率 (57)⼆、Weingarten变换在⾃然基底下的矩阵 (59)三、第三基本形式 (61)§ 4.5 Dupin标形和曲⾯参数⽅程在⼀点的标准展开 (61)§ 4.6 某些特殊曲⾯ (64)⼀、Gauss曲率K为常数的旋转曲⾯ (65)⼆、旋转极⼩曲⾯ (66)第四章曲⾯的第⼆基本形式本章内容：第⼆基本形式，法曲率，Gauss 映射和Weingarten 变换，主⽅向与主曲率，Dupin 标形，某些特殊曲⾯计划学时：12学时，含习题课3学时. 难点：主⽅向与主曲率§ 4.1 第⼆基本形式设:(,)S r r u v = 为正则曲⾯，(,)n n u v = 是单位法向量. 向量函数(,)r u v的⼀阶微分为u v dr r du r dv =+，⼆阶微分为()222222u v u v uu uv vv d r d r du r dv r d u r d v r du r dudv r dv =+=++++ .由于0dr n ?= ，再微分⼀次，得2d r n dr dn ?=-? .定义⼆次微分式222II 2d r n dr dn Ldu Mdudv Ndv =?=-?=++ (1.6)称为曲⾯S 的第⼆基本形式(second fundamental form)，其中uu u u L r n r n =?=-? ，uv u v v u M r n r n r n =?=-?=-?，vv v v N r n r n =?=-? (1.4-5) 称为曲⾯S 的第⼆类基本量.第⼆基本形式的⼏何意义：刻划了曲⾯偏离切平⾯的程度，也就是曲⾯的弯曲程度.由微分的形式不变性可知第⼆基本形式在保持定向的参数变换下是不变的，⽽在改变定向的参数变换下会相差⼀个符号. 但是，在参数变换下第⼆类基本量,,L M N ⼀般都会改变.第⼆基本形式与空间坐标系的选取⽆关. 对曲⾯:(,)S r r u v =作参数变换(,),(,)u u uv v v uv == (1.7) 在新的参数下，u u v u v r r r u u ??=+?? ，v u v u v r r r v v=+ .因此(,)(,)u v uv uv u vu v u v r r r r r r u v v u u v=-=. (1.10)当(,)0(,)u v uv ?>? 时，n n = ，从⽽ I I ,,I Id r d nd r d n =-=-=；当(,)0(,)u v uv ?n =- ，从⽽ II ,,II dr d n dr dn =-==- . 在保持定向的参数变换下，第⼆类基本量有和第⼀类基本量相同的变化规律. 事实上，记参数变换(1.7)的Jacobi 矩阵为u vu uu v vvJ =. 则()()(),,,u vu uu v vvdu dv dudv dudv J== ??. (1.14) 从⽽T II (,)(,)(,)II LM du L M dudu L M du dv du dv J J du dv MN dv M N dv dvMN ==== ?，即有T L M L M J J M N M N = ? ?. (1.13) 例求平⾯(,,0)r u v =和圆柱⾯()cos ,sin ,u u a ar a a v = 的第⼆基本形式. 解. (1) 对平⾯，(1,0,0)(0,1,0)dr du dv =+ ，20d r =，所以II 0=.(2) 对圆柱⾯，()sin ,cos ,0u uu a a r =- ，()0,0,1v r = ，()cos ,sin ,0u u u v a a n r r =?= . 因此 ()11sin ,cos ,0u u u a a a a dn du r du =-= ， ()()211 II u v u a a dr dn r du r dv r du du =-?=-+?=- . □定理1.1 正则曲⾯S 是平⾯(或平⾯的⼀部分)，当且仅当S 的第⼆基本形式II 0≡. 证明 “?”平⾯S 的单位法向量n是常向量，故II 0dr dn =-?=. “?” 由0u n n ?= ，0u u n r L ?=-= ，0u v n r M ?=-= 得0u n = . 同理有0v n =. 所以0n n =是常向量. 于是0()0dr n d r n ?=?=. 故0r n C ?=. □定理 1.2正则曲⾯S 是球⾯(或球⾯的⼀部分)，当且仅当S 的第⼆基本形式是第⼀基本形式的⾮零倍数：II I λ≡，其中(,)u v λλ=是⾮零函数.证明 “?”不妨设球⼼为原点，半径为a . 则22r a = ，0r dr ?= ，1an r =. 从⽽211II I aadr dn dr =-?=-=-.“?”由条件，L E λ=，M F λ=，N G λ=(因为,du dv 是独⽴的变量). 所以()0u u u n r r L E λλ+?=-+= ，()0u u v n r r M F λλ+?=-+=.⼜()0u u n r n λ+?=. 故u u n r λ=-. (1) 同理有v v n r λ=-. (2)因为S 是三次以上连续可微的，uv vu n n =. 于是v u uv uv vu u v vu r r n n r r λλλλ--===--，即有v u u v r r λλ=. 由于,u v r r线性⽆关，0,0u v λλ==. 故λ是⾮零常数. 由(1)和(2)得()0u n r λ+= ，()0v n r λ+=.所以110()n r n r r λλλ+=+=是常向量. 从⽽S 上的点满⾜球⾯⽅程2210()r r λ-= . □课外作业：习题1(1,4,5)，2(3)，3，6§ 4.2 法曲率设:(),()C u u s v v s ==是曲⾯:(,)S r r u v =上过点p 的⼀条正则曲线，s 是C 的弧长参数，00(,)((0),(0))u v u v =为p 点的曲纹坐标. 则C 的单位切向量为du dvu v ds ds dr ds r r r α===+ . (2.3) 根据Frenet 公式，C 的曲率向量22222222()2()d r d u d vdu du dv dv u vuu uv vv ds ds ds ds dsds dsr r r r r κβα===++++ ， (2.4) 其中κ是C 的曲率. 设n 为S 的单位法向量，(,)n θβ=∠，则cos n θβ=? .定义函数000000(,,,):(0)cos (0)(0)(,)(0)(,)n n u v du dv n u v r n u v κκκθκβ===?=?(2.6)22000000(,)()2(,)(,)()du du dvdv ds ds ds dsL u v M u v N u v =++ (2.5) 称为曲⾯S 在p 点沿着切⽅向(,)du dv (即d r)的法曲率(normal curvature).注曲⾯上所有在p 点相切的曲线在p 点有相同的法曲率，并且在p 点这些曲线的曲率中⼼位于垂直于切⽅向的平⾯(C 的法平⾯∏)内的⼀个直径为1/||n κ的圆周上：曲率中⼼为11((0),(0))(0)((0),(0))cos (0)(0)nc r u v r u v βθβκκ=+=+.沿着曲线C ，有dr rds= . 由于s 是弧长参数，因此在p 点成⽴ 22200000(,)2(,)(,)d s d r d r E u v d u F u v d u d v G u vd v=?=++.定义2.1 在曲⾯S 上对应于参数(,)u v 的点p 处，沿着切⽅向(,)du dv 的法曲率为22222II (,,,)2In n Ldu M dudv Ndv u v du dv Edu Fdudv G dvκκ++===++. (2.8)注法曲率除了与点p 有关，还与切⽅向即⽐值:du dv 有关. 但是与切向量d r的⼤⼩⽆关. 上⾯的定义不要求以d r为切向量的曲线C 以弧长s 为参数.定义曲⾯S 上过p 点的⼀个切⽅向(,)d u d v 与p 点的法线确定的平⾯π称为由切⽅向(,)du dv 确定的法截⾯. 法截⾯π与曲⾯S 的交线称为该点的⼀条法截线.定理2.1 曲⾯S 在(,)u v 点，沿切⽅向(,)du dv 的法曲率n κ等于该切⽅向确定的法截线C 在相应的有向法截⾯π(以d r n ?为平⾯π的定向)中的相对曲率，即有n r κκ=.证明设该点是000(,)r r u v =，沿切⽅向(,)du dv 的单位切向量为000(,)()|u v uv r du r dv α=+，在00(,)u v 点的单位法向量为000(,)n n u v =. 则法截⾯的定向是00n α?，从⽽法截线C 的弧长参数⽅程为000()()()r s r x s y s n α=++，其中(0)(0)0x y ==. 因为00(0)(0)(0)r x y n α=+ 是S 的切向量，0(0)(0)0y r n =?= . 从⽽(0)1x = . 因此0(0)r α= 是由(,)du dv 确定的切⽅向. 由定义，沿切⽅向(,)du dv 的法曲率 0000(0)[(0)(0)](0)n r n x y n n y κα=?=+?=.另⼀⽅⾯，法截线C 在该点的相对曲率(0)(0)(0)(0)(0)r x y x y y κ=-= . 所以有n r κκ=. □例 (1) 平⾯的法曲率.在平⾯S 上，II 0≡. 所以在任意点p S ∈，沿任意切⽅向(,)du dv ，都有法曲率0n κ=.(2) 圆柱⾯()cos ,sin ,u u a ar a a v =的法曲率. 对圆柱⾯，由上⼀节的例，22I du dv =+，21II adu =-，所以222()dun a du dv κ+=-.(3) 球⾯()2():cos cos ,cos sin ,sin S a r a u v a u v a u = 的法曲率.由定理1.2，1II I a =-. 所以1n aκ=-是⾮零常数. □定理2.2 在曲⾯S 上任意⼀点p 处，法曲率必定在两个彼此正交的切⽅向上分别取到最⼤值和最⼩值.证明在固定点p ，,,,,,E F G L M N 都是常数，法曲率n κ仅与⽐值:du dv 有关. 取p 点邻近的正交参数⽹. 则任意单位切向量p dr T S ∈，可以写成12cos sin u v dr r du r dv e e θθ=+=+，其中12,u v e e ==，1(,)dr e θ=∠即,du dv θθ==.沿着切⽅向:du dv 的法曲率22()cos sin sinn n L N E G κκθθθθθ==++ ()θ∈R是R 上的连续可微周期函数，必定在闭区间[0,2]π上取到最⼤值和最⼩值.如果n κ是常值函数，则n κ在任意两个彼此正交的切⽅向上分别取到最⼤值和最⼩值. 设()n κθ不是常值函数，则它的最⼤值和最⼩值不相等. 通过对曲⾯作参数变换00cos sin u uv θθ=- ，00sin cos v u v θθ=+ ，不妨设在0θ=处()n κθ取到最⼤值(0)/n L E κ=. 由于()sin 22nN L G E κθθθ??'=-+ ?，(0)0n κ'==，并且/(/2)(0)/n n N G L E κπκ=≤=，有222()cos sin cos n L N NL N N E GG E G G κθθθθ??=+=+-≥ ?. 所以()n κθ在/2θπ=±处取到最⼩值/N G . □定义2.2在曲⾯S 上⼀个固定点p 处，法曲率取最⼤值和最⼩值的切⽅向称为曲⾯S 在该点的主⽅向(principal direction)，相应的法曲率称为S 在该点的主曲率(principal curvature).注由上⾯的推导过程可知，如果在p 点n κ不是常值函数，()()sin 2NL nGEκθθ'=-在闭区间[0,2]π上只有4个零点，所以在p 点n κ只有两个主曲率1/L E κ=，2/N G κ=. 于是有下⾯的Euler 公式：2212()cos sin n κθκθκθ=+，其中(,)u dr r θ=∠，12κκ>，并且12()n κκθκ≥≥.定义 2.3 (1) 在曲⾯S 上⼀点，使法曲率为零的切⽅向(,)du dv 称为该点的⼀个渐近⽅向(asymptotic direction).(2) 设C 是曲⾯S 上的⼀条曲线. 若C 上每⼀点的切向量都是曲⾯在该点的渐近⽅向，则称C 是曲⾯S 上的⼀条渐近曲线(asymptotic curve).在⼀点(,)u v 处，渐近⽅向(,)du dv 是⼆次⽅程 2220Ldu Mdudv Ndv ++= (2.5) 的解. 当20LN M-<时，有两个实渐近⽅向::du dv M L N M =-±=-当20LN M -=时，只有⼀个实渐近⽅向:::du dv M L N M =-=-；当20LN M ->时，没有实渐近⽅向.让(,)u v 变动，则(2.5)就是渐近曲线的微分⽅程. 如果在曲⾯上每⼀点，20LN M -<，则曲⾯上存在两个处处线性⽆关的渐近⽅向向量场. 根据第三章定理4.1，在曲⾯上有由渐近曲线构成的参数曲线⽹，称为渐近线⽹.定理2.3 参数曲线⽹是渐近线⽹的充分必要条件是：0L N ==.证明 “?” 在u -曲线上0,0dv du =≠. 由(2.5)得0L =. 同理可得0N =. “?” (2.5)现在成为0M dudv =. 因此u -曲线和v -曲线都是渐近曲线. □定理 2.4 设C 是曲⾯S 上的⼀条曲线. 则C 是渐近线，当且仅当C 是直线，或C 的密切平⾯与曲⾯的切平⾯重合.证明由公式cos (,)n n κκβ=∠可得. □课外作业：习题1，4，7.§ 4.3 Weingarten 映射和主曲率⼀、Gauss 映射和W eingarten 变换设:(,)S r r u v = (2(,)u v ∈Ω? )是⼀个正则曲⾯，(,)n n u v =是它的单位法向量. 向量函数(,)n u v 定义了⼀个映射2::(,)(,)n S u v n u v Ω→，其中2S 是3E 中的单位球⾯. 因为空间3E 中的点与它的位置向量是⼀⼀对应的，映射n诱导了映射12::(,)((,))(,)g n r S S r u v g r u v n u v -=→= . (3.1)这个映射2:g S S →称为Gauss 映射. 注意Gauss 映射的象不⼀定是2S 的⼀个区域.Gauss 映射g 的切映射2():p g p g T S T S *→是⼀个线性映射，满⾜()g dr dn *=，即 ()u v u v g r du r du n du n dv *+=+，p dr T S ?∈，p S ?∈. (3.2)特别有()u u g r n *= ，()v v g r n *=. (3.4)因为(,)n u v同时也是2()g p T S 的法向量，S 在(,)p u v 点的切平⾯与2S 在()g p 点的切平⾯是平⾏的，从⽽在⾃由向量的意义下可将2()g p T S 与p T S 等同.定义线性映射2():p p g p W g T S T S T S *=-→≡称为曲⾯S 在p 点的Weingarten 变换(Weingarten transformation).事实上，因为0u v n n n n ?=?= ，所以,u u p n n T S ∈. 由定义可知， ()()()u v uv p W d r W r d u r d v d n n d un d v T S =+=-=-+∈，p dr T S ?∈. (3.5)⼆、主曲率和主⽅向定理3.1 II ()W dr dr =?. □定理3.2 相对于切空间的内积，Weingarten 变换:p p W T S T S →是⾃共轭(对称)的，即()()W dr r dr W r δδ?=?，,p dr r T S δ?∈ .证明 ()()()u v u v W dr r dn r n du n dv r u r v δδδδ?=-?=-+?+L d u u M d u v M d v u N dδδδδ=+++ ()()()(u v uvr d u r d v n u n v d r n d r W r δδδδ=-+?+=?-=?. □根据线性变换理论，Weingarten 变换W 的2个特征值12,λλ都是实的(这2个特征值可能相等). 设12,p X X T S ∈分别是从属于它们的特征向量，即111()W X X λ= ，222()W X X λ= . 当12λλ≠时，12,X X所确定的切⽅向:du dv 和:u v δδ是唯⼀的，且相互正交. 当12λλ=时，p T S 中的任何⾮零向量都是特征向量. 因此仍然有两个相互正交的特征⽅向.定理3.3在曲⾯S 上任意⼀点p 处，W 的2个特征值12,λλ正好是曲⾯S 在p 点的主曲率，对应的特征⽅向是曲⾯S 在p 点的主⽅向.证明取p T S 的由W 的特征向量构成的单位正交基{}12,e e，使得111()W e e λ= ，222()W e e λ=， (3.12)并设12λλ≥.对任意⼀个单位切向量p e T S ∈，可设 12cos sin e e e θθ=+. (3.13)则有121122()cos ()sin ()cos sin W e W e W e e e θθλθλθ=+=+. (3.14)于是沿切⽅向e的法曲率为2211221212II ()()I (cos sin )(cos sin )cos sin .n n W e ee ee e e e κκθλθλθθθλθλθ?===?=+?+=+由12λλ≥可知2222121121()cos ()()sin n λλλλθκθλλλθλ≤+-==--≤，并且()n κθ在0θ=时取最⼤值1λ，在/2θπ=时取最⼩值2λ. 所以12,λλ就是曲⾯S 在p 点的主曲率12,κκ，相应的切⽅向12,e e就是主⽅向. □注1 由定理可知沿特征⽅向:du dv 的法曲率n κ就是对应于特征向量d r的特征值：II()()I nW dr dr dr drdr dr dr dr λκλ??====?? . 注2 曲⾯S 在每⼀点p 有2个主曲率12,κκ. 当12κκ≠时，只有2个主⽅向，它们相互正交. 此时可取2个单位特征向量12,e e. 当12κκ=时，任何⽅向都是主⽅向. 此时可任取2个正交的单位特征向量12,e e.定理3.4(Euler 公式) 设{}12,e e是p 点的2个正交的单位特征向量，对应的主曲率为12,κκ.则对任意单位切向量12cos sin p X e e T S θθ=+∈，沿着X ⽅向的法曲率为2212()cos sin n κθκθκθ=+. (3.15)在曲⾯S 上⼀点p 处，如果12κκλ==，则由Euler 公式可知沿任何切⽅向:du dv ，都有II In κλ==， (3.16)即II I λ=. 这样的点称为脐点(umbilical point). 此时在该点有:::L E M F N G λ===. (3.17)当0λ=时，该点称为平点(planar point)；当0λ≠时，该点称为圆点(circle point).定理1.1和定理1.2的推论曲⾯S 是平⾯(或其⼀部分)，当且仅当S 上的点都是平点；曲⾯S 是球⾯(或其⼀部分)，当且仅当S 上的点都是圆点.定义3.1 设C 是曲⾯S 上的⼀条曲线. 若C 上每⼀点的切向量都是曲⾯在该点的主⽅向，则称C 是曲⾯S 上的⼀条曲率线(curvature line).定理 3.5(Rodriques 定理) 曲⾯:(,)S r r u v =上⼀条正则曲线:(),()C u u t v v t ==是曲率线的充分必要条件是：沿着曲线C ，()//()dn t dr t ，即((),())//((),())dn u t v t dr u t v t. 证明. 由定义，C 是曲率线，当且仅当对所有的t ，()dr t是Weingarten 变换的特征向量，即()()()()W dr t t dr t λ= ，也就是()()()()()dn t W dr t t dr t λ=-=-. □定理3.6 曲⾯S 上⼀条曲线C 是曲率线的充分必要条件是：曲⾯S 的沿着曲线C 的法线构成可展曲⾯.证明. 对曲⾯S 上任意⼀条曲线C ，曲⾯S 的沿着曲线C 的法线构成直纹⾯1:(,)((),())((),())S X X s t r u s v s t n u s v s ==+，其中s 是C 的弧长参数. 由于()()r s s α= 和()n s 是相互正交的单位向量，从⽽是线性⽆关的.1S 是可展曲⾯?()(),(),()0s n s n s α'≡()()()()(n s s s s n s λαµ'=+. 上式两边与()n t作内积可得()0s µ=，从⽽上式等价于 ()()()n s s s λα'=，这正好是曲线C 是曲率线的充分必要条件. □例3.1 求旋转⾯上的曲率线.解设旋转⾯的⽅程为()(,)()cos ,()sin ,()r u v f v u f v u g v =. 其中()0f v >，并且v 是经线的弧长参数，221f g ''+=. 则()sin ,cos ,0u r f u u =- ，()cos ,sin ,v r f u f u g '''=， ()cos ,sin ,u v r r f g u g u f '''?=- ，()cos ,sin ,n g u g u f '''=-. 由于()sin ,cos ,0u n g u u '=- ，()cos ,sin ,v n g u g u f ''''''=-，并且0f fg g ''''''+=，有0v v n r ?= ，0v v n r ?=. 所以u -曲线(纬线圆)和v -曲线(经线)都是曲率线. 当0g '=时，这个旋转⾯是平⾯，任何曲线都是曲率线. 当0g '≠时，1 g g f f -''''''=-. 如果f g f g a ''''''-=是常数，即经线是圆弧，则旋转⾯是球⾯.此时任何曲线都是曲率线. □例3.2 求可展曲⾯上的曲率线.解设可展曲⾯⽅程为(,)()()r u v a u vl u =+ . 已经知道它的单位法向量()n n u =与v ⽆关，沿着v -曲线(直母线)有0//v v n r =. 所以v -曲线是它的⼀族曲率线. 于是v -曲线的正交轨线是它的另⼀族曲率线. 如果可展曲⾯是平⾯，任何曲线都是曲率线. □课外作业：习题1，4，5§ 4.4 主⽅向和主曲率的计算⼀、Gauss 曲率和平均曲率设曲⾯S 的参数⽅程为(,)r r u v =，,,E F G 和,,L M N 分别是S 的第⼀、第⼆类基本量. 引理设λ是(,)p u v 点的主曲率，则λ满⾜0L E M F M FN Gλλλλ--=--， (4.4)即λ是⼆次⽅程222()(2)()0EG F LG M F NE LN M λλ---++-=的根，也就是⽅程220H K λλ-+= (4.8)的根，其中222()LG M F NEH EG F -+=-，22LN MK EG F -=-，分别称为曲⾯S 的平均曲率(或中曲率)(mean curvature)和Gauss 曲率(或总曲率)(Gaussian curvature). 换句话说，H λ= (4.9)证明. 设:du dv 是对应的主⽅向. 则有()W dr dr λ=，即()()u v u u n du n dv r du r dv λ-+=+.分别⽤,u v r r与上式两边作内积，得()Ldu M dv Edu Fdv λ+=+，()M du Ndv Fdu Gdv λ+=+.所以主⽅向:du dv 满⾜ ()()0,()()0.L E d u M F d v M F d uN G d v λλλλ-+-=??-+-=? (4.3)由于,du dv 不全为零，可得(4.4)式. □设12,κκ是(,)p u v 点的两个主曲率. 由根与系数的关系可得12222L G M F N EH E G Fκκ-++==-，2122LN M K EG Fκκ-==-. (4.6-7)因此1H κ=+，2H κ=-(4.9)p 点是脐点的充分必要条件是在p 点成⽴20H K ==.注⽅程(4.4)即(4.8)是Weingarten 变换的特征⽅程，在保持定向的参数变换下保持不变. 事实上，主曲率在保持定向的参数变换下不变，在反转定向的参数变换下相差⼀个符号. 因此平均曲率12()/2H κκ=+在保持定向的参数变换下不变，在反转定向的参数变换下相差⼀个符号. ⽽Gauss 曲率12K κκ=在参数变换下保持不变.定理4.1 假定曲⾯S 是3r ≥次连续可微的. 则主曲率函数12,κκ是连续的，且在⾮脐点邻近是2r -次连续可微的. □在脐点，20K H=≥，12H κκ==. 从⽽由II I H =可知L H E =，M HF =，N H G =，(4.3)中的两个⽅程成为恒等式. 此时，任何⽅向都是主⽅向.在⾮脐点，分别⽤1λκ=和2λκ=代⼊(4.3)，得到相应的主⽅向1111:():()():()d u d vM F L E N G M F κκκκ=---=--- (4.10) 和2222:():()():()u v M F L E N G M F δδκκκκ=---=---. (4.11)将(4.3)改写成()()0,()()0.L d u M d v E d u F d v M d u N d v F d uG d v λλ+-+=??+-+=? (4.12)由于1,λ-不全为零，有 0Ldu M dv E du F dv M du N dv F du G dv++=++， (4.14)即22()()()0FL EM du G L EN dudv G M FN dv -+-+-=. (4.15) 上式可写成220dv dudv du E F G LMN-=. (4.16)(4.14)或(4.15)或(4.16)就是曲⾯上曲率线的微分⽅程.定理4.2 设p 是曲⾯:(,)S r r u v =上⼀个固定点，它的曲纹坐标为00(,)u v . 则在该点参数曲线的切⽅向是相互正交的主⽅向，当且仅当在该点有00(,)0F u v =，00(,)0M u v =. 此时，曲⾯S 在该点的两个主曲率分别为00100(,)(,)L u v E u v κ=，00200(,)(,)N u v G u v κ=.证明必要性. 在00(,)p u v 点，u -曲线和v -曲线相互正交，故000000(,)(,)(,)0u v F u vr u v r u v =?=. (1) ⼜00(,)u r u v ，00(,)v r u v是W 的特征向量，故()0000100(,)(,)(,)u u un u v W r u v r u v κ-==， ()0000200(,)(,)(,)v v vn u v W r u v r u v κ-==. 分别⽤,u v r r与上⾯两式作内积得00(,)0M u v =，并且00100(,)(,)L u v E u v κ=，00200(,)(,)N u v G u v κ=. (4.17)充分性. 由条件，0000(,)(,)0u v r u v r u v ?= ，即00(,)u r u v ，00(,)v r u v相互正交. ⼜00000000(,)(,)(,)(,)0u v v u n u v r u v n u v r u v ?=?=.因此()000000(,)(,)//(,)u u u n u v W r u v r u v -= ，()000000(,)(,)//(,)v v vn u v W r u v r u v -=，即00(,)u r u v ，00(,)v r u v是W 的特征向量. □下⾯的两个定理是定理4.2的直接推论.定理4.3 参数曲线⽹是正交的曲率线⽹的充分必要条件是0F M ==，此时222212I ,II Edu G dv Edu G dv κκ=+=+. (4.18) 定理4.4 在⾮脐点，定理4.3中的参数曲线⽹局部总是存在的. □注若曲⾯S 上没有脐点，则可取正交的曲率线⽹作为参数曲线⽹. 事实上，此时由(4.10)和(4.11)可确定两个相互正交的主⽅向:du dv 和:u v δδ. 从⽽有两个相互正交的⾮零向量场u v dr r du r dv =+ 和u v r r u r v δδδ=+，它们是连续可微的. 根据第三章定理4.1，这样的参数曲线⽹是存在的.若曲⾯S 上的点都是脐点，则曲⾯上任意曲线都是曲率线，此时任何正交参数曲线⽹都是曲率线⽹. 但是在孤⽴脐点邻近，未必有正交的曲率线⽹作为参数曲线⽹.⼆、W eingarten 变换在⾃然基底下的矩阵我们知道{},u v r r是切空间p T S 的基，称为p T S 的⾃然基. 在这组基下，设Weingarten 变换的矩阵为11211222a a A a a ??=，即()()()11211222,(),(),u v u v u v a a n n W r W r r r a a ??--==， (4.19) 也就是11122122(),().u u u v v v u v n W r a r a r n W r a r a r -==+??-==+? 分别⽤,u v r r与上⾯⼆式作内积得11211222a a L M E F a a MN FG ??= ? ? ???. 因此11121212221a aE F LM G F LM A a a F G MN FE MN EG F --===--21G L F M G M F NE MF L E NF ME GF --??=---. (4.21) 代⼊(4.19)得()()1,,u v u v E F L M W r r r r F G MN -=()21,u v G L FM G M FN r r EM FL EN FM EG F --?=---. (4.22)我们知道Weingarten 变换W 的特征多项式 ()10()d e t 0EF L M f I A FG M N λλλλ-=-=- ?121E F E L F M E L F MF GF MG NF MG NEG F λλλλλλλλ-----==-----.其中I 是单位矩阵. W 的特征值12,κκ是特征多项式()f λ的根，与基的取法⽆关，从⽽Gauss 曲率2122det LN M K A EG Fκκ-===-和平均曲率12212trace 222()LG M F NE H A EG F κκ+-+===-与参数取法⽆关，是曲⾯的⼏何不变量.Gauss 曲率K 的⼏何意义：从(4.19)可得1112212211221221()()()u v u v u v u v u v n n a r a r a r a r a a a a r r K r r ?=+?+=-?=? .因此曲⾯S 上⼀个区域D 在Gauss 映射g 下的像()g D 的⾯积元素 0||||||||u v u v d n n dudv K r r dudv K d σσ=?=?= . (4.23)所以()g D 的⾯积()0()||()g D DA d K d g D σσ==.根据积分中值定理，存在pD ∈使得 ()|()|||()()()DA K pd K p A D g D σ==? .让区域D 收缩到⼀点p D ∈，取极限得到(())|()|lim()D pA g D K p A D →=. (4.25)这个公式是曲线论中||()limlim||s s s s sθθκ?→?→??==??的⼀个推⼴,其中θ?是曲线上⼀段由s 到s ?的弧在切线像α下的弧长.三、第三基本形式定义设(,)n u v 是曲⾯:(,)S r r u v =的单位法向量. ⼆次微分式22III 2dn dn e du f dudv g dv =?=++ (4.27)称为曲⾯S 的第三基本形式，其中()()22,,u u v v e n f n n g n ==?= . (4.28)注利⽤Gauss 映射，第三基本形式0III I g *=，其中0I 是单位球⾯2S 的第⼀基本形式. 定理4.5 曲⾯:(,)S r r u v =上的三个基本形式满⾜III 2II I 0H K -+=. 证明因为Weingarten 变换W 的特征多项式为2()2f H K λλλ=-+，所以 220W H W K I -+=.其中::p pI T S T S X X →是单位变换. 于是有 ()()()()()2()()()(2)()22.u u u u u u u uu u u e n n W r W r W r r H W K I r r H n K r r H L K E =?=?=?=-?=--?=-同理可得2u v f n n HM KF =?=- ，2u v g n n HN KG =?=-课外作业：习题2，4，6§ 4.5 Dupin 标形和曲⾯参数⽅程在⼀点的标准展开设(,)p u v 是曲⾯:(,)S r r u v = 上⼀个固定点，12,e e是p 点的两个相互正交的单位主向量 (即Weingarten 变换的特征向量)，对应的主曲率为12,κκ. 对单位切向量12cos sin e e e θθ=+([0,2]θπ∈)，沿该⽅向的法曲率为2212()cos sin n κθκθκθ=+. 当()0n κθ≠时，在p 点的切平⾯π中取⼀点q 使得)1211cos sin pq e e θθ==+. (5.3)p 点切平⾯π中这样的点q 的轨迹称为曲⾯S 在p 点的Dupin 标形(或标线indicatrix ).在平⾯π中取直⾓标架{}12;,p e e, 现在来导出Dupin 标线的⽅程.设轨迹上的点q 在此坐标系中的坐标为(,)x y . 则)1212cos sin xe ye pq e e θθ+==+.因此1x θ=，1y θ=. (5.4)由Euler 公式得到2212sgn(())n x y κκκθ+=. (5.5)这就是Dupin 标线的直⾓坐标⽅程，它是平⾯π中的⼆次曲线. 如果在平⾯π中取极坐标系，那么Dupin 标线的极坐标⽅程可由(5.3)⽴即得到：()ρρθ==当p 点的Gauss 曲率120K κκ=>时，()n κθ，1κ，2κ同号，Dupin 标线(5.5)是⼀个椭圆2212||||1x y κκ+=. (5.6) 当120K κκ=<时，1κ，2κ异号，Dupin 标线(5.5)是两对共轭双曲线2212||||1x y κκ-=±. (5.7)它们的公共渐近线的⽅向正是曲⾯S 在p 点的渐近⽅向00:cos :sin du dv θθ=.当120K κκ==时，若1κ，2κ不全为零，Dupin 标线(5.5)是两条平⾏直线x =±(20κ=) 或y =±(10κ=). (5.8)当p 点为平点，即120κκ==时，Dupin 标线不存在.定义. 设p S ∈，若()0K p >，则称p 点为曲⾯S 上的椭圆点；若()0K p <，则称p 点为曲⾯S 上的双曲点；若()0K p =，则称p 点为曲⾯S 上的抛物点.下⾯考察曲⾯S 在⼀点p 邻近的形状. 在p 点邻近取正交参数曲线⽹(,)u v ，使得p 点对应的参数为(0,0)，且(0,0)u r，(0,0)v r是p 点的两个单位主向量. 则(0,0)(0,0)(0,0)u v n r r =?，且在p 点有(0,0)(0,0)E G ==，(0,0)(0,0)0F M ==，1(0,0)L κ=，2(0,0)N κ=. (5.9)以标架{}123;(0,0),(0,0),(0,0)u v p e r e r e n === 建⽴3E 的坐标系. 根据Taylor 公式，(,)(0,0)(0,0)(0uvr u v r r u r v =++22212(0,0)2(0,0)(0,0)()u u u v v v r u r u v r v o ρ??+ +++?, (5.10)其中ρ=. 由于(0,0)0r p p == ，31(0,0)(0,0)uu r e L κ?==， 3(0,0)(0,0)0uv r e M ?==，32(0,0)(0,0)vv r e N κ?==， (5.11)(5.10)可化为()()()2221121232(,)()()()r u v u o e v o e u v oe ρρκκρ=++++++. (5.12)(5.12)称为曲⾯S 在p 点的标准展开.当ρ=我们得到S 的近似曲⾯S *，在标架{}123;,,p e e e 下，S *的参数⽅程为()221122(,),,()r u v u v u v κκ*=+ ，显式⽅程为 221122()z x y κκ=+. (5.14)直接计算可知近似曲⾯S *与原曲⾯S 在p 点相切(即它们的切平⾯相同). 并且沿着p 点切空间的任何相同的切⽅向，两者有相同的法曲率，即在p 点具有公共切⽅向的法截线有相同的曲率和相同的弯曲⽅向.在椭圆点p ，近似曲⾯S *是椭圆抛物⾯. S *在p 点是凸的.在双曲点p ，S *是双曲抛物⾯. S *在p 点不是凸的，且p 点的切平⾯与S *相交成两条直线，它们是S *上过p 点的两条渐近曲线.在⾮平点的抛物点p ，S *是抛物柱⾯，p 点的切平⾯与S *相交成⼀条直线，是S *上过p 点的渐近曲线.在平点p ，S *是平⾯. 此时，要考察曲⾯S 的近似形状，需要将Taylor 展式(5.10)展开到更⾼阶的项. 见例5.2.⽤平⾯12z =±去截近似曲⾯S *，再投影到p 点的切平⾯上，就得到p 点的Dupin 标线.例5.1 考察圆环⾯()(cos )cos ,(cos )sin ,sin r a r u v a r u v r u =++，2(,)u v ∈R上各种类型点的分布，其中常数,a r 满⾜0a r >>.解 ()sin cos ,sin sin ,cos u r r u v u v u =-- ，()(cos )sin ,cos ,0v r a r u v v =+-， ()(cos )cos cos ,cos sin ,sin u v r r r a r u u v u v u ?=-+ ，()cos cos ,cos sin ,sin n u v u v u =-.()1sin cos ,sin sin ,cos u u n u v u v u r r =-=- ，()cos cos sin ,cos ,0cos v v u n u v v r a r u=-=-+.所以两个主曲率为121cos ,cos u r a r uκκ=-=-+.Gauss 曲率和平均曲率分别为其中0a ≥. 它的母线是xO z 平⾯上的曲线：()z f x =. 则由()cos ,sin ,()u r v v f u '= ，()sin ,cos ,0v r u v u v =-.)()cos ,()sin ,1n f u v f u v ''=-- ，()0,0,()uu r f u ''= ，()sin ,cos ,0uv r v v =-，()cos ,sin ,0vv r u v u v =--.可得()21E f '=+，0F =，2G u =， (6.2)L ''=，0M =，N '=. (6.3)因此参数曲线⽹是正交的曲率线⽹. 由定理4.2，主曲率为()13/221L f E f κ''=='+， ()21/221N f Gu f κ'=='+.于是Gauss 曲率和平均曲率分别为 ()221f f K u f '''='+， ()23/22(1)21f f uf H u f ''''++='+. (6.4)⼀、Gauss 曲率K 为常数的旋转曲⾯如果K 是常数，则函数()f u 应满⾜()2211K u f ''=-??'+??. (6.5) 积分得到2211C K u f =-'+， (6.6)其中C 为积分常数. 即有2221C Ku f C Ku-+'=-.于是()f u =±?. (6.7)1.若0K =，则()f u Au B =+，其中A =，B 为积分常数. 当0A =时，S 是平⾯；当0A ≠时，S 是圆锥⾯. 另⼀个0K =的旋转曲⾯是圆柱⾯()cos ,sin ,r a v a v u =，它不能写成(6.1)的形式.2.若0K >，令21a K =(0a >). 则由(6.6)可知0C >. 设2C b =(0b >). (6.7)化为()f u =±?. (6.9)若21b =，则()f u c =±=+?. (6.10)于是S 是由xO z 平⾯上的半圆弧222()x z c a +-=(0x u =>)绕z 轴旋转⽽成的球⾯.当21b >或201b <<时，由(6.9)定义的函数()f u 仍然存在，但旋转曲⾯S 不是球⾯，虽然S 的Gauss 曲率也是常数21a K =.3.若0K <，令21aK =-(0a >).则由(6.6)可知1C <.设21C b =-(0b >). (6.7)可化为()f u =±?. (6.11)若21b =，则[]()ln(sec tan )sin f u a c u=±=±+-+?，其中arccosu a=. 不妨设积分常数0c =. 则旋转曲⾯S 的母线是xO z 平⾯上的两条曳物线[]c o s ,l n (s ec t a n )s i n .x u az a ==??=±+-? (6.13)其中0z >的⼀⽀绕z 轴旋转⽽得的旋转曲⾯S 称为伪球⾯，它的参数⽅程为[]()c o s c o s ,c o s s i n ,l n (s e c t a n )s i n r a a a ?θ?θ=+-， (,)(0,/2)(0,?θππ∈?. (6.14)当21b >或201b <<时，由(6.11)定义的函数()f u 给出Gauss 曲率为负常数的旋转曲⾯的其他例⼦.⼆、旋转极⼩曲⾯平均曲率0H ≡的曲⾯称为极⼩曲⾯. 现在我们来研究有哪些旋转极⼩曲⾯. 由(6.4)可知函数()f u 应满⾜2(1)0f f uf ''''++=. (6.16)也就是()211f uf f ''=-''+.则()()222222ln()ln(1)2ln 1f f f f u uf f '''''''??-+==-=-??'+.积分得2221f Cf u'='+， (6.17)其中积分常数0C ≥.如果0C =，则()f u A =是常数，从⽽S 是平⾯z A =.如果2C a =，0a >. 则22211u C f u-='+，即f '=±故(()ln f u a u c ??=±=±++. (6.19)不妨设积分常数ln c a =-. 令(ln ua. 则cosh u a t =，S 的参数⽅程可改写为()cosh cos ,cosh sin ,r a t v a t v at =，(,)(0,2)t v π∈? .这个旋转极⼩曲⾯S 称为悬链⾯.⽤变分法可以证明，如果在所有以给定曲线C 为边界的曲⾯中，S 的⾯积达到最⼩值，则S ⼀定是极⼩曲⾯.极⼩曲⾯是微分⼏何研究的重要课题之⼀. ⼀百多年来，数学家们在关于以已知曲线为边界的极⼩曲⾯的存在性的Plateau 问题，⼤范围极⼩曲⾯的性质，极⼩曲⾯在⾼维的推⼴⽅⾯作了⼤量的⼯作，取得了丰富的成果.在极⼩曲⾯上，Gauss 曲率21210K κκκ==-≤，只有平点或双曲点. 在双曲点，2个渐进⽅向是正交的. 事实上，根据Euler 公式，渐近⽅向与主⽅向的夹⾓θ满⾜cos 20θ=.著名的Bernstein 定理是说：极⼩图只能是平⾯，即习题6中的⼆阶偏微分⽅程22(1)2(1)0y xx x y xy x yy f f f f f f f +-++=的定义在全平⾯上的解只能是线性函数.平均曲率H 为⾮零常数的曲⾯，即常平均曲率曲⾯，也是微分⼏何研究的⼀个重要课题. 课外作业：习题2，4，6。
曲面的第二基本形式
§2.3 曲面的第二基本形式一、曲面的第二基本形式二、曲面曲线的曲率三、Dupin指标线四、曲面的渐近方向和共轭方向五、曲面的主方向和曲率线六、曲面的主曲率、Gauss曲率和平均曲率七、曲面在一点邻近的结构八、Gauss映射一、曲面的第二基本形式SQπn单位法向量δ(,)(,)(,),uu u v u v L r u v n =⋅ 其中,uv M r n =⋅ .vv N r n =⋅222II d d 2d d d ,n r L u M u v N v ==++ 曲面的第二基为本形式称(,),(,),(,).L u v M u v N u v 称为曲面的第二类基本量PP '2II d d n r n ⋅⇒=-=例P114-23. Meusnier(梅尼埃)定理00.P C P C ΓΓΓΓ曲面曲线在给定点的曲率中心就是与曲线具有共同切线的法截线上同一个点的曲率中心在曲线的密切平面上的投影Meusnier 定理揭示了平面截线与法截线之间的联系.请理解课本内容后及时独立地完成如下作业！P114: 3，4, 5补充作业题32.3.2.()(,)()()C r u R u v r u vr u '=+ 求类曲线的切线面().u v c c +=上的曲线为常数的法曲率2.3.1.(,)(cos ,sin ,sin 2)r u v u v u v v =求曲面的第一类基本形式和第二类基本形式.4. 根据Dupin指标线的形状对切点进行分类(1)椭圆点20LN M ->(2)双曲点20LN M -<(3)抛物点2,,0LN M L M N ⎧-=⎨⎩不同时为(4)平点0L M N ===Dupin 指标线不存在请理解课本内容后及时独立地完成如下作业！P115: 24补充作业题232.3.3.(,)(,,)r u v u v u v =+ 求曲面上的抛物点、.椭圆点和双曲点的集合2.渐近曲线每一点的切方向都是渐近方向的曲面曲线.渐近曲线的微分方程22L u v u M u v u v N u v v++=(,)d2(,)d d(,)d0P93 命题1如果曲面上有直线则它一定是曲面的渐近曲线,. P94 命题2曲面在渐近曲线上一点处的切平面一定是渐近曲线的密切平面.3. 渐近网如果曲面上的点都是双曲点,则每个点处都有两个不相切的渐近方向,在曲面上会有两族渐近曲线,称曲面上这两族曲线为的渐近网.P94 命题30.L N≡≡曲纹坐标网为渐近网的充要条件是.此时渐近曲线的微分方程就渐近网的微分方程是4. 共轭方向直径一族平行弦的中点的轨迹.直径AB 的共轭直径AB 平行于的弦的中点的轨迹.Dupin ,,.P P 设曲面上点处的某两个切方向所在的某直线段是点处指标线的共轭直径则称这两个切方向互共轭曲面的为共轭方向相共轭方向的等价定义(d)d :d (δ)δ:δ.d δ(d δd δ)d δ0P P P L u u M u v v u N P u v u v v v +++===曲面的共轭曲面上点处的两个切方向和为当方向当且仅共轭其他等价定义d δ0n r ⋅=⇔ d 0n r δ⇔⋅= 渐近方向为自共轭方向.,,.如果曲面上的两族曲线使得过曲面上的每一点此两族曲线的两条曲线的切方向都是共轭方向则称这曲面的族曲线为共轭网两5. 共轭网共轭网的微分方程(已知一族曲线, 求它的共轭曲线族)(,)d δ(,)(d δd δ)(,)d δ0.L u v u u M u v u v v u N u v v v +++=P96 命题4(,)0.M u v ≡曲纹坐标网为共轭网的充要条件是2. 主方向判别定理(Rodrigues(罗德里格斯)定理)(d)(d :d )d d ;u v n r λλ=∃=是主方向的充要条件是使,(d).n n k k λ=-在上述条件下有其中为沿方向的法曲率曲率线网及其应用(Ref: Spectral Quadrangulation with Orientation and Alignment Control)(Ref: Extracting lines of curvature from noisy point clouds,,.对于曲面上任意两族不相切的曲线族都可以通过参数选择使其成为曲纹坐标网,,,特别地在不含脐点的曲面上可以经过参数选择使曲率线网成为曲纹坐标网.P99 命题5(,)(,)0.F u v M u v ≡≡曲面上的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是例如(,)(()cos ,()sin ,()),0,r t t t t F M θϕθϕθψ=≡≡在旋转面中它的曲纹坐标网就是曲率线网.请理解课本内容后及时独立地完成如下作业！P114: 13补充作业题求曲面上的脐点xyz2.3.5.1.六、曲面的主曲率、Gauss 曲率和平均曲率1. 主曲率主方向上曲面上一点处的法曲率.沿曲率线即：曲面方向的上一点处法曲率.2. Euler 公式()法曲率随着切方向变化映的规律反2212cos sin n k k k θθ=+SπP1k 2k nk θ请理解课本内容后及时独立地完成如下作业！补充作业题2.3.6.2.xy z =求双曲抛物面的两个主曲率之比122.3.7.(cos ,sin ,)Gauss ,.r u v u v u v K H k k =+求螺旋面的曲率、平均曲率和主曲率2.3.8.,Gauss .S S K H 证明：如果曲面上的渐近曲线网的夹角是常数则曲面的曲率和平均曲率的平方成比例P114: 18.1()d 2()d nP开口向下的抛物线开口向上的抛物线开口向下的抛物线)00(,2)πθπθ+-(2π-1(d 2()d nP。
微分几何曲面论曲面的第二基本形式
(5 )若(曲 S ):z 面 f(x ,y)则 .r {x ,y ,z (x ,y )， }
于 r r x xx 是 {{0 1 ,,0 0,,rp }} ， ， r rxyy{{00,,10,,qs}}， ， ryy{0,0,t}，
其
中 p
f ，q x
fy，r 2 xf2， sx2fy， t2 yf2 .
(1 4 a 2 x 2 )d2 x 8 a 2 xy d (1 4 x a 2 y d 2 )d2 y .y
I I r d2 x 2 s dx dty d2
1 p 2 q 2
1 p 2 q 2
1 p 2 q 2
2 a
d2x
2 a
d2y
14 a2x24 a2y2
14 a2x24 a2y2
E r 2 R 2c2 o,F sr r 0 ,G r 2R 2,
n rr
EGF2
R 2c 1o sR R s ce io 1 n c ssio ns R R cso e i2 c n s so in sR c e 0 3o s
{c c o o ,c ss o s s i,s n i} n
与定义比较可知：
L r u n u r u n u , M r un v r u n v rvnu, N r v v n r v n v . ( 4 ) 事I 实 上I ，d n d n r d r 0 ， d n d r n 2 d r 0 ， 故 I n I 2 d r d n d r .
例4 在球面上验证梅尼埃定 理. 证：
(C )C . P
n (C 0 )
3.3 杜邦(Dupin)指标线
II Ld 2u 2Md uNd2 dvv knI Ed 2u 2Fd uG d2 d v v
第四章曲面论基本定理
（25）
求曲面 z = f ( x, y ) 的 Christoffel 记号。 因为已经给出了曲面方程，我们用运动公式（ 16 ）出发直接求 Γ
α βγ
，曲面的参数
方程是
r ( x, y ) = ( x, y, f ( x, y )),
因此 x, y 分别对应于 u , u .Γ
1 2 1 11 就是 xx
γ Dβ = −bβ γ
γ
γ
（15）
由于 n 是单位向量场，故从（ 11）式得到 Dβ = 0 ，综上所述， （ 11 ）式成为
∂rα = Γγ αβ rγ + bαβ n β ∂u ∂n = −b γ r β γ ∂u β
现在我们来求 Γ
γ αβ
（16）
。
在（ 16 ）的第一式两边点乘 rξ ，则得
实际上，
（8）
g 11 g 21
g 12 1 g 22 = g 22 g − g 21
− g 12 。 g11
（9）
采用上述记号，曲面上的自然标架就成为 {r , r1 , r2 , n} ，要考虑的是自然标架场的运动 公式。着先，标架原点的微商根据定义为
（13）
下在我们引进用第一类基本量（ g αβ ） 将一组带指标的量的上指标或下指标下降或上升 的概念。命
bβ = bβξ g γξ
把 bβ 看成是将 bβγ 的指标 v 借助于（ g
γ bβ = bβξ g γξ
γ
（14 ）
αβ
γ
）上升的结果，这个过程是可逆的。即
（ bβ ）这组量与（ bβγ ）是彼此 故 bβγ 恰是将 bβ 的指标借助于（ g αβ ）下降的结果。 决定的。这样，所求的系数是
§6 曲面的特殊参数网
第四章 曲面的第二基本形式与曲面上的曲率§6曲面的特殊参数网按照第三章§5定理1的一般性结论，本节具体讨论两种特殊参数网．一．曲率线和曲率线网鉴于主曲率和主方向在曲面弯曲程度刻画中的重要地位，利用主方向向量场构造相应的参数网将是有意义的．定义1若曲面S上的曲线C的切向总是S的主方向，则称曲线C为曲面S的一条曲率线．注记1① 曲率线就是曲面上的主方向场的积分曲线．② 对于全脐曲面而言，其上任意一条曲线都是曲率线；因而对于平面和球面而言，曲率线没有特别意义．而在曲面的非脐点处，有且仅有正交的主方向，因而对应有两条正交的曲率线．对于曲面S: r(u1, u2) 上的曲线C: u i=u i(s) , i= 1, 2 ，其单位切向T(s) =r i d u id s成为主方向的充要条件为沿C成立W(T) =λT，由(5.3) 式化为(6.1)( d u2d s)2− d u1d sd u2d s( d u1d s)2g11g12g22Ω11Ω12Ω22= 0 ．因而，曲率线微分方程由 (5.3) 式或由 (6.1) 式给定，也经常写为(6.2)(d u2)2−d u1d u2 (d u1)2E F GL M N= 0 ．例1对于正则的旋转面S: r(u, v) = ( f(v) cos u , f(v) sin u , h(v)) ，证明其经线和纬线都是曲率线．证明：易知旋转面S的相应基本形式系数分别为E=f 2 , F= 0 , G= (f′)2+ (h′)2 ,L = −f h ′(f ′)2 + (h ′)2 , M = 0 , N = f ″h ′ − f ′h ″(f ′)2 + (h ′)2, 故 S 的曲率线方程为d v 2 − d u d v d u 2f 2 0 (f ′)2 + (h ′)2 −f h ′(f ′)2 + (h ′)2 0 f ″h ′ − f ′h ″(f ′)2 + (h ′)2= 0 ． 对 S 的经线 v 线，u = const. 即 d u = 0 ，显然适合该方程；同理，对 S 的纬线 u 线，v = const. 即 d v = 0 ，同样适合该方程．故 S 的经、纬线都是曲率线． □从上例可见，旋转面上的经纬参数网是正交网并且坐标曲线都是曲率线．在曲面上，由处处正交的曲率线所构成的参数网通常称为正交曲率线网；而对于无脐点的曲面，若存在曲率线所构成的参数网，则该网处处正交，此时正交曲率线网也简称为曲率线网．关于曲率线网的性质有下列结果，列为定理．定理1 已知正则曲面 S : r (u , v ) ．① 若 S 的第一和第二基本形式系数矩阵处处同时对角化，即 F = M ≡ 0 ，则其两族坐标曲线都是曲率线，即 (u , v ) 参数网为正交曲率线网； ② 若 S 无脐点，并且 (u , v ) 坐标曲线都是曲率线，则 F = M ≡ 0 ； ③ 若 S 无脐点，则局部存在参数使坐标曲线网构成曲率线网．证明 ① 由曲率线微分方程，结论是显然的．② 由曲率线的定义知 r u 和 r v 都是主方向向量，并且由曲面正则性知道 r u 和 r v 是处处线性无关的．故由主方向的正交性知道 F ≡ 0 ．再由曲率线微分方程 (6.2) 式，将 d u :d v = 1:0 和 d u :d v = 0:1 分别代入，得0 0 1E 0 G L M N≡ 0 ≡ 1 0 0E 0 G L M N ． 此即 EM ≡ 0 ≡ GM ，从而由第一基本形式的正定性得知 M ≡ 0 ．③ 此时两族单位正交主方向向量场在 S 上处处线性无关并且连续可微．故由第三章§5定理1即知，局部存在参数使两族坐标曲线分别为单位正交主方向向量场的两族积分曲线，此即构成曲率线网． □推论1 已知正则曲面 S : r (u , v ) 无脐点．则 (u , v ) 坐标曲线网构成曲率线网的充要条件为 S 的第一和第二基本形式系数矩阵处处同时对角化．注记2 ① 在无脐点 S 的曲率线网之下，Weingarten 矩阵简化为ω = Ω g −1 = ⎝⎛⎠⎞L 00 N ⎝⎜⎛⎠⎟⎞1 E 0 0 1 G = ⎝⎜⎛⎠⎟⎞L E 0 0 N G ；此时主曲率分别简化为 κ1 = L E , κ2 = N G ，相应的单位主方向分别简化为ξ1 = r 1 E , ξ2 = r 2 G． ② 在曲面的孤立脐点附近，曲率线网的存在性和正交性在脐点处并不能保证．③ 对于全脐曲面，局部总存在正交曲率线网．此时正交曲率线网同样使第一和第二基本形式系数矩阵处处同时对角化．理由可参见定理的证明过程．曲率线的特征也可以用曲面单位法向的行为或法线的行为来刻画． 定理2（Rodriques 公式） 已知正则曲面 S : r (u 1, u 2) 的弧长参数化曲线 C : r (u 1(s ), u 2(s )) ．C 是曲率线的充要条件为：沿 C 存在函数 λ(s ) ，使d n d s = − λ(s ) d r d s ，即沿 C 成立 d n = − λ(s ) d r ．证明 由曲率线定义和Weingarten 公式，下列条件等价是显然的：C 是曲率线⇔沿 C 存在函数 λ(s ) 使 W (T ) = λ(s ) T⇔沿 C 存在函数 λ(s ) 使 d n = − λ(s ) d r ． □推论2 正则曲面 S 上的曲线 C 是曲率线的充要条件为： S 的法线沿C 所织成的直纹面可展．证明 对于正则曲面 S : r (u 1, u 2) 上的弧长参数化曲线 C : a (s ) = r (u 1(s ), u 2(s )) ，记 l (s ) = n (u 1(s ), u 2(s )) ，S 的法线沿 C 所织成的直纹面即为 S *: r *(s , t ) = a (s ) + t l (s ) ．由直纹面可展的解析条件，S * 可展的解析条件化为0 = (a ′(s ), l (s ), l ′(s )) = ⎝⎛⎠⎞d r d s , n , d n d s ． 现若曲线 C 是曲率线，则由上式和Rodriques 公式即知 S * 可展．反之，若S* 可展，则由解析条件即知S的两个切向量d rd s和d nd s平行，从而沿C存在函数λ(s) 使 d n=−λ(s) d r．再由Rodriques公式即知曲线C是曲面S上的曲率线． □利用上面这个结论观察旋转面的经纬线，可直观看到例1的结果．在§8之中，曲率线网将用来讨论可展曲面的曲率特征．二．渐近曲线和渐近曲线网上面已经看到，作为法曲率关于方向的最值，主曲率是曲面上的重要几何量．接下来将简单介绍一下对应于法曲率零值的切方向场及其积分曲线．定义2若曲面S上在点P处沿切向a∈T P的法曲率取零值，则称切向a∈T P为S在点P处的一个渐近方向；若曲面S上的曲线C的切向量总是S 上的渐近方向，则称C为S的一条渐近曲线．注记3① 从Euler公式易见，存在渐近方向的充要条件是曲面的Gauss曲率非正．② 渐近方向a∈T P是T P上的Weingarten变换的自共轭方向，即W(a)•a= 0 ．③ 曲面上的直线一定是曲面上的渐近曲线．曲面S: r(u1, u2) 上渐近曲线的微分方程为Ωij d u i d u j= 0 ．在S上，由渐近曲线所构成的参数网通常称为渐近曲线网．类似于对曲率线网的讨论，对于渐近曲线网可证（留作习题）下述结论．定理3已知正则曲面S: r(u, v) ．则 (u, v) 坐标曲线网构成渐近曲线网的充要条件为S的第二基本形式系数满足Ω11=Ω22≡ 0 ．习 题⒈对可展曲面，试证：直母线既是渐近曲线也是曲率线，并且过非脐点处的另一族曲率线是直母线的正交轨线．⒉设两张正则曲面S和S* 有正则交线C，并且S和S* 沿着C具有恒定的交角．试证：C是S的曲率线的充要条件为C是S* 的曲率线．⒊ 设两张可展曲面S和S* 有正则交线C，并且S和S* 的直母线分别沿着C处处正交于C．试证：S和S* 沿着C具有恒定的交角．⒋设曲面S上的一条曲率线C不是渐近曲线，并且C的密切平面与S的切平面具有恒定的交角．试证：C是平面曲线．⒌ 设正则曲面S由右手直角坐标系O-xyz下的隐式方程Q(x, y, z) = 0 确定．试证S的曲率线微分方程为d x d y d zQ x Q y Q zd Q x d Q y d Q z= 0 ．⒍ 证明定理3．⒎ 试证：若曲面在一点处具有三个两两不平行的渐近方向，则该点必为平点．⒏已知曲面S在每一点处具有负Gauss曲率．试证：曲面S在每一点处的主方向平分该点处的渐近方向．⒐ 设曲面S上的正则曲线C无逗留点．试证：C为S上的渐近曲线的充要条件为C的密切平面与S的切平面重合．⒑ 设无逗留点曲线C: u i=u i(s) 为曲面S: r(u1, u2) 上的弧长参数化渐近曲线，以τ为挠率函数．试证：沿曲线C，① S的Gauss曲率Κ=−τ 2；② τ=1|g|( d u2d s)2− d u1d sd u2d s( d u1d s)2g11g12g22Ω11Ω12Ω22．。
大学_微分几何初步(陈维桓著) 课后答案下载_1
微分几何初步(陈维桓著) 课后答案下载微分几何初步(陈维桓著)内容介绍绪论第一章预备知识1标架2向量函数第二章曲线论1参数曲线2曲线的弧长3曲线的`曲率和Frenet标架4挠率和Frenet公式5曲线论基本定理6曲线在一点的标准展开7平面曲线第三章曲面的第一基本形式1曲面的定义2切平面和法线3曲面的第一基本形式4曲面上正交参数曲线网的存在性5保长对应和保角对应6可展曲面第四章曲面的第二基本形式1第二基本形式2法曲率3 Gauss映射和Weingarten映射4主方向和主曲率的计算5 Dupin标形和曲面在一点的标准展开 6某些特殊曲面第五章曲面论基本定理1 自然标架的运动公式2曲面的唯一性定理3曲面论基本方程4曲面的存在性定理5 Gauss定理第六章测地曲率和测地线1测地曲率和测地挠率2测地线3测地坐标系4常曲率曲面5曲面上切向量的平行移动6 Gauss—Bonnet公式第七章活动标架和外微分法1外形式2外微分3 E3中的标架族4曲面上的标架场5曲面上的曲线附录1关于常微分方程的几个定理2一阶偏微分方程组的可积性3张量索引微分几何初步(陈维桓著)目录《微分几何初步》是北京大学数学系微分几何课程的教材。
主要讲述三维欧氏空间中曲线和曲面的局部理论，内容包括：预备知识，曲线论，曲面的第一基本形式，曲面的第二基本形式，曲面论基本定理，测地曲率和测地线，活动标架和外微分法。
另有附录叙述了《微分几何初步》所用的微分方程的定理，并介绍了张量的概念。
《微分几何初步》力图向近代微分几何的语言和方法靠近，因此在讲述时尽量结合现代流形的概念，并且自始至终使用附属在曲线、曲面上的标架场，对外微分形式有相当详细的介绍。
《微分几何初步》叙述深入浅出，条理清楚，论证严密，突出几何想法，便于读者理解与掌握。
《微分几何初步》可作为综合大学及高等师范院校的微分几何课程教材，也可作为高等教育自学考试的教学参考书。
曲面的第二基本形式
§2.3 曲面的第二基本形式一、曲面的第二基本形式二、曲面曲线的曲率三、Dupin指标线四、曲面的渐近方向和共轭方向五、曲面的主方向和曲率线六、曲面的主曲率、Gauss曲率和平均曲率七、曲面在一点邻近的结构八、Gauss映射一、曲面的第二基本形式SQπn单位法向量δ(,)(,)(,),uu u v u v L r u v n =⋅ 其中,uv M r n =⋅ .vv N r n =⋅222II d d 2d d d ,n r L u M u v N v ==++ 曲面的第二基为本形式称(,),(,),(,).L u v M u v N u v 称为曲面的第二类基本量PP '2II d d n r n ⋅⇒=-=例P114-23. Meusnier(梅尼埃)定理00.P C P C ΓΓΓΓ曲面曲线在给定点的曲率中心就是与曲线具有共同切线的法截线上同一个点的曲率中心在曲线的密切平面上的投影Meusnier 定理揭示了平面截线与法截线之间的联系.请理解课本内容后及时独立地完成如下作业！P114: 3，4, 5补充作业题32.3.2.()(,)()()C r u R u v r u vr u '=+ 求类曲线的切线面().u v c c +=上的曲线为常数的法曲率2.3.1.(,)(cos ,sin ,sin 2)r u v u v u v v =求曲面的第一类基本形式和第二类基本形式.4. 根据Dupin指标线的形状对切点进行分类(1)椭圆点20LN M ->(2)双曲点20LN M -<(3)抛物点2,,0LN M L M N ⎧-=⎨⎩不同时为(4)平点0L M N ===Dupin 指标线不存在请理解课本内容后及时独立地完成如下作业！P115: 24补充作业题232.3.3.(,)(,,)r u v u v u v =+ 求曲面上的抛物点、.椭圆点和双曲点的集合2.渐近曲线每一点的切方向都是渐近方向的曲面曲线.渐近曲线的微分方程22L u v u M u v u v N u v v++=(,)d2(,)d d(,)d0P93 命题1如果曲面上有直线则它一定是曲面的渐近曲线,. P94 命题2曲面在渐近曲线上一点处的切平面一定是渐近曲线的密切平面.3. 渐近网如果曲面上的点都是双曲点,则每个点处都有两个不相切的渐近方向,在曲面上会有两族渐近曲线,称曲面上这两族曲线为的渐近网.P94 命题30.L N≡≡曲纹坐标网为渐近网的充要条件是.此时渐近曲线的微分方程就渐近网的微分方程是4. 共轭方向直径一族平行弦的中点的轨迹.直径AB 的共轭直径AB 平行于的弦的中点的轨迹.Dupin ,,.P P 设曲面上点处的某两个切方向所在的某直线段是点处指标线的共轭直径则称这两个切方向互共轭曲面的为共轭方向相共轭方向的等价定义(d)d :d (δ)δ:δ.d δ(d δd δ)d δ0P P P L u u M u v v u N P u v u v v v +++===曲面的共轭曲面上点处的两个切方向和为当方向当且仅共轭其他等价定义d δ0n r ⋅=⇔ d 0n r δ⇔⋅= 渐近方向为自共轭方向.,,.如果曲面上的两族曲线使得过曲面上的每一点此两族曲线的两条曲线的切方向都是共轭方向则称这曲面的族曲线为共轭网两5. 共轭网共轭网的微分方程(已知一族曲线, 求它的共轭曲线族)(,)d δ(,)(d δd δ)(,)d δ0.L u v u u M u v u v v u N u v v v +++=P96 命题4(,)0.M u v ≡曲纹坐标网为共轭网的充要条件是2. 主方向判别定理(Rodrigues(罗德里格斯)定理)(d)(d :d )d d ;u v n r λλ=∃=是主方向的充要条件是使,(d).n n k k λ=-在上述条件下有其中为沿方向的法曲率曲率线网及其应用(Ref: Spectral Quadrangulation with Orientation and Alignment Control)(Ref: Extracting lines of curvature from noisy point clouds,,.对于曲面上任意两族不相切的曲线族都可以通过参数选择使其成为曲纹坐标网,,,特别地在不含脐点的曲面上可以经过参数选择使曲率线网成为曲纹坐标网.P99 命题5(,)(,)0.F u v M u v ≡≡曲面上的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是例如(,)(()cos ,()sin ,()),0,r t t t t F M θϕθϕθψ=≡≡在旋转面中它的曲纹坐标网就是曲率线网.请理解课本内容后及时独立地完成如下作业！P114: 13补充作业题求曲面上的脐点xyz2.3.5.1.六、曲面的主曲率、Gauss 曲率和平均曲率1. 主曲率主方向上曲面上一点处的法曲率.沿曲率线即：曲面方向的上一点处法曲率.2. Euler 公式()法曲率随着切方向变化映的规律反2212cos sin n k k k θθ=+SπP1k 2k nk θ请理解课本内容后及时独立地完成如下作业！补充作业题2.3.6.2.xy z =求双曲抛物面的两个主曲率之比122.3.7.(cos ,sin ,)Gauss ,.r u v u v u v K H k k =+求螺旋面的曲率、平均曲率和主曲率2.3.8.,Gauss .S S K H 证明：如果曲面上的渐近曲线网的夹角是常数则曲面的曲率和平均曲率的平方成比例P114: 18.1()d 2()d nP开口向下的抛物线开口向上的抛物线开口向下的抛物线)00(,2)πθπθ+-(2π-1(d 2()d nP。
第四章曲面论基本定理
∂r = rα ∂u α
另外，既然 r1 , r2 , n 是线性无关的，不妨假定。
（10 ）
∂rα γ = Γ αβ rγ + Cαβ n, ∂u β ∂n = D γ β r + D n γ β ∂u β
其中 Γ
γ αβ
（11）
， Cαβ ， Dβ ， D β 都是待定系数。
（25）
求曲面 z = f ( x, y ) 的 Christoffel 记号。 因为已经给出了曲面方程，我们用运动公式（ 16 ）出发直接求 Γ
α βγ
，曲面的参数
方程是
r ( x, y ) = ( x, y, f ( x, y )),
因此 x, y 分别对应于 u , u .Γ
1 2 1 11 就是 xx
Γ111 = Γ122 Γ212
1 ∂E 1 ∂E , , Γ112 =Γ121 = 2 ∂u 2 ∂u ∂F 1 ∂G ∂F 1 ∂E , Γ211 = , = − − ∂v 2 ∂u ∂u 2 ∂v 1 ∂G 1 ∂G = Γ221 = , Γ222 = 2 ∂u 2 ∂v
（23）
Γ 111 =
Γ 212 = Γ 2 21 = Γ 2 22
如果取正交参数曲线网，则 F≡ 0 ，上面的公式便大大化简了：
Γ 111 = Γ
例 解
2 11
1 ∂ ln E 1 ∂ ln E 1 ∂G , Γ 112 = Γ1 21 = , Γ1 22 = − , 2 ∂u 2 ∂v 2 E ∂u 1 ∂E 1 ∂ ln G 1 ∂ ln G =− , Γ 2 12 = Γ 2 21 = , Γ 2 22 = . 2G ∂v 2 ∂u 2 ∂v
曲面张量和曲面第二基本形式
曲面张量和曲面第二基本形式说到“曲面张量”和“曲面第二基本形式”，哎呀，这两个词听上去就挺让人头疼的，感觉像是数学里的“高深黑科技”，对吧？但是不得不说，它们真的很有意思！如果你一开始觉得它们像是从外星飞来的难懂术语，别急，我来给你捋捋，一点一点拆开，让你明明白白地搞懂。
你想啊，我们日常生活中，看到的东西其实不都可以当作曲面来理解吗？比如那波浪起伏的大海，或者走到山顶看下去，看到的那一片连绵的山脉，不都是曲面吗？简单来说，曲面就是一种“弯曲”的表面，不管是大海还是山脉，它们的表面都不是平坦的，对吧？它们是弯的、有高低起伏的，所以我们需要一种工具，来描述这种弯曲。
哎，你瞧，这时候“曲面张量”就派上了用场。
它的工作就是把这个曲面的弯曲程度给量化出来，告诉我们这个曲面在不同地方弯曲的“强度”到底是多少。
你可以理解成它是在测量曲面弯曲的“深浅”程度，像一个特别敏感的“弯曲探测器”，可以帮你判断这个曲面究竟“多弯”！你是不是觉得，哎，这听起来就像是一个不显眼但非常有用的工具呢？可别小看它，曲面张量可真是大有来头！想象一下，如果你站在一个有点像布料的表面上，布料上有皱褶，或者像我们平时在健身房做的俯卧撑垫子，刚开始还是平的，但如果你对它施加点压力，布料就会发生变化，变得弯曲。
这个弯曲的变化，你可能看不清楚，但“曲面张量”却能帮你精确地测出来，告诉你哪里弯得多，哪里弯得少，这样一来，科学家就可以用它来解决很多现实问题，比如物理学里的引力场，或者是天文学里的星体运动，甚至工程上的结构设计都能借用它来分析。
好啦，聊完了曲面张量，咱们再说说“曲面第二基本形式”。
这个名字听起来是不是特别高大上？其实它的本质也是为了帮助我们理解曲面。
简单点讲，第二基本形式是“曲面上的弯曲度量”。
你可以把它看作是给曲面“打分”的一种方式。
就像你去看电影，评分网站上总会有个“打分”对吧？这个评分决定了电影是不是值得你浪费时间去看，而曲面第二基本形式就是给这个“弯曲”打分，告诉你这个地方弯曲得有多厉害，或者更具体点，它还会告诉你这个地方的“弯曲方向”。
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第四章 曲面的第二基本形式与曲面上的曲率
§5 曲面上的曲率概念
利用上一节所作的准备，围绕曲面弯曲状况的刻画，本节将引入曲面上的基本的和重要的曲率概念，并简要讨论相关的几何体．
一．主曲率
定义1 曲面 S 上的点 P 处的法曲率关于切方向的两个最值，分别称为曲面 S 在点 P 处的主曲率；使得法曲率达到最值的两个切方向，分别称为曲面 S 在点 P 处的主方向．
注记1 ① Weingarten 变换的特征值和特征方向，分别是曲面的主曲率和主方向．
② 当两个主曲率 κ1(P ) ≠ κ2(P ) 时，曲面在点 P 处有且仅有正交的两组主方向，每一组的单位化向量分别就是Weingarten 变换的单位正交特征向量．而当两个主曲率 κ1(P ) = κ2(P ) 时，曲面在点 P 处的任何非零切向都是主方向，Weingarten 矩阵 ω(P ) = κ1(P )I 2 ，即 Ω(P ) = κ1(P )g (P ) ．
主曲率和主方向的计算，自然归结为Weingarten 变换的特征值和特征方向的计算，也就是Weingarten 矩阵的特征值和特征方向的计算．即： ① 对于主曲率的算法，当易知Weingarten 矩阵 ω 之时，方程为 (4.3) 式，或直接写为
(5.1) |ω - λI 2 | = 0 ；
等价地，当易知系数矩阵 Ω 和 g 之时，其方程可变形为
(5.2) |Ω - λg | = 0 ．
② 对于主方向的算法，各种等价算式为
a = a i r i ≠ 0 为主方向，即非零切方向 a 1:a 2 为主方向
⇔ ∃λ , ∍(a 1, a 2)ω = λ(a 1, a 2) , (a 1, a 2) ≠ (0, 0)
⇔ ∃λ , ∍(a 1, a 2)Ω = λ(a 1, a 2)g , (a 1, a 2) ≠ (0, 0)
⇔ det. ⎝⎛⎭⎫(a 1, a 2
)Ω (a 1, a 2)g = 0
⇔(a2)2-a1a2 (a1)2
g11g12g22
Ω11Ω12Ω22
= 0 ．
主方向所对应的微分方程通常写为
(5.3)
(d u2)2-d u1d u2 (d u1)2
g11g12g22
Ω11Ω12Ω22
= 0 ．
定义2若曲面S在点P处的两个主曲率相等，则称点P为曲面S上
的一个脐点．若曲面S处处为脐点，则称曲面S为全脐曲面．若脐点处的主曲率为零，则称之为平点；若脐点处的主曲率不为零，则称之为圆点．
注记2全脐曲面S的法曲率只与点有关而不依赖于切向选取，故只有平面和球面两类；平面上各点为平点，球面上各点为圆点．全脐曲面主方向所对应的微分方程是蜕化的恒等式．
二．Gauss曲率和平均曲率
定义3对于正则曲面S，其在点P处的两个主曲率的乘积K，称为其在点P处的Gauss曲率或总曲率；其在点P处的两个主曲率的算术平均值H，称为其在点P处的平均曲率．
注记3①注意到(4.4)-(4.5) 式，Gauss曲率和平均曲率分别具有用Weingarten矩阵或两个基本形式系数的表达式，分别列为
(5.4)K=|ω|=|Ω|
|g|
=
LN-M2
EG-F2
,
(5.5) H= tr.ω
2=
LG- 2MF+NE
2(EG-F2)
．
②主曲率方程 (4.3) 式现可改写为
(5.6)λ2- 2Hλ+K= 0 ；
其中H 2-K= (κ1-κ2)2
4≥ 0 ．
③Gauss曲率在容许参数变换下不变；平均曲率在保向参数变换下不变，在反向参数变换下变号．
④当曲面三阶连续可微时，Gauss曲率和平均曲率分别是连续可微函数；此时，两个主曲率函数
(5.7)κi=H±H2-K , i= 1, 2
处处连续，并且在非脐点处连续可微．
⑤ 平均曲率等于法曲率按切方向的积分平均值（留作习题）． ⑥ 平均曲率不是等距不变量．反例如圆柱面和平面．
例1 证明可展曲面的Gauss 曲率 K ≡ 0 ．
证明 对可展曲面 S 的直纹面参数化 r (u , v ) = a (u ) + v l (u ) ，由可展定义得知 n v ≡ 0 ，故其第二基本形式系数满足
M = - r u ∙n v ≡ 0 , N = - r v ∙n v ≡ 0 ,
于是
K = LN - M 2 EG - F 2
≡ 0 ． □ 在上例中，若取准线使 a '∙l ≡ 0 且 |l | ≡ 1 ，则可展曲面 S 的第一和第二基本形式系数矩阵同时对角化，Weingarten 矩阵则为特征值对角阵，而且
(5.8) κ1 = L E
, κ2 ≡ 0 ． 三．Gauss 映射和第三基本形式
Gauss 在考察曲面的弯
曲程度刻画时，注意到曲面
的单位法向在单位球面上的
行为对于曲面弯曲状况的反
映，并进一步明确了两者的
依赖程度，进而在曲面论中
做出了卓有成效的工作．观
察熟知的一些曲面，比如平
面、圆柱面、圆锥面、椭球
面、双叶双曲面、双曲抛物面等等，可以直观感受到单位法向不同的行为
和曲面不同的弯曲状况之间有着密切联系．
定义4 对于 C 3 正则曲面 S : r (u 1, u 2) 及其单位法向量场 n (u 1, u 2) ，曲面 S 到以原点为心的单位球面 S 2(1) 上的映射
(5.9) G : S →S 2(1) r (u 1, u 2)→G (r (u 1, u 2)) = n (u 1, u 2)
称为曲面 S 的Gauss 映射．二次微分形式
图4-5
(5.10) Ⅲ= d n∙d n
称为曲面S的第三基本形式．性质①n1⨯n2=K r1⨯r2．
②|K(P)|=lim
U收缩至P A(G(U))
A(U)，其中P∈U⊂S, U为单连通区域，
A(G(U)) 是G(U)⊂S2(1) 的面积，A(U) 是U⊂S的面积．
③Ⅲ- 2HⅡ+KⅠ= 0 ．
证明①由Weingarten公式得
n1⨯n2= [-(ω11r1+ω12r2)]⨯[-(ω21r1+ω22r2)]
=|ω|r1⨯r2=K r1⨯r2．
②A(U) =⎰⎰
r-1(U)
| r1⨯r2| d u1d u2 ,
A(G(U)) =⎰⎰
r-1(U) | n1⨯n2| d u1d u2=⎰⎰
r-1(U)
|K|| r1⨯r2| d u1d u2．
而由积分中值定理，∃P*∈U使
⎰⎰r-1(U) |K|| r1⨯r2| d u1d u2=|K (P*)|⎰⎰
r-1(U)
| r1⨯r2| d u1d u2．
故而
lim U收缩至P A(G(U))
A(U)= lim
P*→P
|K (P*)|=|K (P)|．
③结论用系数矩阵等价表示为
(Ω g-1)g(Ω g-1)T- 2HΩ+K g≡ 0
⇔Ω g-1Ω- 2HΩ+K g≡ 0
⇔Ω g-1Ω g-1- 2HΩ g-1+K I2≡ 0
⇔ωω- (tr.ω)ω+|ω|I2≡ 0 ．
而最后的等式对于二阶方阵总成立（用特征值理论则知是显然的），用元
素计算可直接验证为
ωi kωk j- (tr.ω)ωi j+|ω|δi j
=ωi1ω1j+ωi2ω2j- (ω11+ω22)ωi j+ (ω11ω22-ω12ω21)δi j≡ 0 ．□
习题
⒈对于螺面r= (u cos v , u sin v , u+v) ，试求：
①主曲率κ1和κ2；
②Gauss曲率和平均曲率．
⒉试求球面的Gauss曲率和平均曲率与球面半径的关系．
⒊试证：平均曲率等于法曲率按切方向的积分平均值，即 2πH(P) =⎰2π
κ(P, θ) dθ．
⒋试证：直纹面的Gauss曲率处处非正．
⒌设正则曲面S: r(u1, u2) 当常数μ足够小时 1 - 2μH+μ2K> 0 ．按参数相同作对应曲
面S*: r*(u1, u2) =r(u1, u2) +μn(u1, u2) ，其中n为曲面S的单位法向量场．试证：
①S和S* 在对应点具有相同的单位法向和法线；
②S和S* 在对应点的Weingarten矩阵具有关系式ω* =ω (I2-μω )-1；
③S和S* 在对应点的Gauss曲率和平均曲率具有关系式
K* =
K
1 - 2μH+μ2K
，H* =
H-μK
1 - 2μH+μ2K
；
④S的曲率线对应于S* 的曲率线．
⒍已知曲面S在一点处沿着一组等分周角的m个切方向的法曲率分别为κn(1), …,
κn(m)，m> 2 ．试证：S在该点的平均曲率H=κn(1)+…+κn(m)
m．
⒎试证：曲面S的第三基本形式恒为零的充要条件为S是平面．。