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青岛市中考数学

23 题汇编

1.(07 年中考 )提出问题：如图①，在四边形 ABCD 中， P 是 AD 边上任意一点， PBC 与 ABC 和 DBC 的面积之间有什么关系？ 探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手 :

⑴当 AP

1

AD 时 (如图② )：

2

Q AP 1 AD, ABP 和 ABD 的高相等，

2

S

ABP

1 S ABD .

2

Q PD AD AP

1

AD , CDP 和 图①

CDA 的高相等，

2

S CDP 1 S CDA

2

图②

S PBC S 四边形

ABCD

S ABP

S

CDP

S 四边形

ABCD

1

S ABD

1

S CDA

2

2

⑵ 当 AP

1

AD 时 ， 探 求 S PBC 与 S ABC

和

S 四边形

ABCD

1

S

四边形 ABCD

S

DBC

1 S 四边形 ABCD S ABC

3

2

2

1

S DBC 1 S ABC

2

2

S DBC 之间的关系，写出求解过程；

⑶当 AP 1

AD 时， S PBC 与 S ABC 和 S DBC 之间的关系式为：

__________________________ ；

6

⑷一般的，当 AP

1

AD (n 表示正整数 )时，探求 S PBC 与 S

ABC

和

S DBC

之间的关系

,写出求解过程；

n

问题解决：当 AP

m

AD ( 0

m

1)时， S PBC 与 S ABC 和 S DBC 之间的关系式为 :__________________.

n

n

2. (08 年中考 )：某学校共有18 个教学班，每班的学生数都是40 人 .了解学生余上网情况，学校打算

做一次抽，如果要确保全校抽取出来的学生中至少有10 人在同一班，那么全校最少需要抽取多少名学生？

建立模型：解决上面的“ ”，我先建立并研究下面从口袋中摸球的数学模型.

在不透明的口袋中装有、黄、白三种色的小球各20 个 (除色外完全相同)，要确保从口袋中随机摸出的小球至

少有 10 个是同色的，最少需要摸出多少个小球？

了找到解决的法，我可以把上述化，

⑴我首先考最的情况：即要确保从口袋中摸出的小球至少有 2 个是同色的，最少需摸出多少个小球？

假若从袋中随机摸出 3 个小球，它的色可能会出多种情况，其中最不利的情况就是它的色各不相同，那

么只需再从袋中摸出 1 个小球就可确保至少有 2 个小球同色，即最少需摸出的小球的个数是： 1 3 4 (如①)；

⑵若要确保从口袋中摸出的小球至少有 3 个是同色的呢？

我只需在⑴的基上，再从袋中摸出 3 个小球，就可确保至少有 3 个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：

13 2 7 (如②)；

⑶若要确保从口袋中摸出的小球至少有 4 个是同色的呢？

我只需在⑵的基上，再从袋中摸出 3 个小球，就可以确保至少有 4 个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1 3 3 10(如③)；

⋯⋯

⑽若要确保从口袋中摸出的小球至少有10 个是同色的呢？

我只需在⑼的基上，再从袋中摸出 3 个小球，就可以确保至少有10 个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：

1 310 128 (如⑩).

黄

9 个

黄黄

9 个

黄

黄黄

⋯

黄黄黄黄

白白白白白白白白白白或黄或白或黄或白或黄或白或黄或白

①②③⑩

模型拓展一：在不透明的口袋中装有、黄、白、、五种色的小球各20 个 ( 除色外完全相同) ，从袋中随机摸球：

⑴若要确保摸出的小球至少有 2 个同色，最少需摸出小球的个数是___________________ ；

⑵若要确保摸出的小球至少有10 个同色，最少需摸出小球的个数是___________________；

⑶若要确保摸出的小球至少有n 个同色 (n<20) ，最少需摸出小球的个数是___________________.

模型拓展二：在不透明的口袋中装有m 种色的小球各20 个 ( 除色外完全相同) ，从袋中随机摸球：

⑴若要确保摸出的小球至少有 2 个同色，最少需摸出小球的个数是___________________ ；

⑵若要确保摸出的小球至少有n 个同色 (n<20) ，最少需摸出小球的个数是___________________.

解决：⑴ 把本中的“ ” 化一个从口袋中摸球的数学模型；

⑵根据⑴中建立的数学模型，求出全校最少需要抽取多少名学生.

3.(09 年中考 )我们在解决数学问题时，经常采用“转化”(或“化归” )的思想方法，把待解决的问题，通过某种转化

过程，归结到一类已解决或比较容易解决的问题.

譬如在学习一元一次方程的解法以后，进一步研究二元一次方程组的解法时，我们通常采用“消元”的方法，把二元一

次方程组转化为一元一次方程；再譬如，在学习了三角形内角和定理以后，进一步研究多边形的内角和问题时，我

们通常借助添加辅助线，把多边形转化为三角形，从而解决问题.

问题提出：如何把一个正方形分割成n( n9 )个小正方形？

为解决上面问题，我们先来研究两种简单的“基本分割法”.

基本分割法1：如图①，把一个正方形分割成 4 个小正方形，即在原来 1 个正方形的基础上增加了 3 个正方形 .

基本分割法2：如图②，把一个正方形分割成 6 个小正方形，即在原来 1 个正方形的基础上增加了 5 个正方形 .

图①图②图③图④图⑤图⑥

问题解决：有了上述两种“基本分割法”后，我们就可以把一个正方形分割成n( n9 )个小正方形.

⑴把一个正方形分割成9 个小正方形 .

一种方法：如图③，把图①中的任意 1 个小正方形按“基本分割法2”进行分割，就可增加 5 个小正方形，从而分割成4+5=9( 个 )小正方形 .

另一种方法：如图④，把图②中的任意 1 个小正方形按“基本分割法1”进行分割，就可增加 3 个小正方形，从而分割成 6+3=9( 个 )小正方形 .

⑵把一个正方形分割成10 个小正方形 .

方法：如图⑤，把图①中的任意 2 个小正方形按“基本分割法1”进行分割，就可增加3× 2 个小正方形，从而分割成 4+3× 2=10( 个 )小正方形 .

⑶请你参照上述分割方法，把图⑥给出的正方形分割成11 个小正方形 ( 用钢笔或圆珠笔画出草图即可，不用说明分割

方法 ).

⑷把一个正方形分割成 n( n 9 )个小正方形 .

方法：通过“基本分割法 1”“基本分割法 2”或其组合把一个正方形分割成9 个、 10 个、 11 个小正方形，再在此基础上每使用 1 次“基本分割法 1”，就可增加 3 个小正方形，从而把一个正方形分割成12 个、 13 个、 14 个小正方形，以此类推，即可把一个正方形分割成n( n 9)个小正方形 .

从上面的方法可以看出，解决问题的关键就是找到两种基本分割法，然后通过这两种基本分割法或其组合把正方形

分割成 n( n 9 )个小正方形 .

n( n 9 )个小正三角形 .

类比应用：仿照上面的方法，我们可以把一个正三角形分割成

⑴基本分割法 1：把一个正三角形分割成 4 个小正三角形(请你在图 a 中画出草图 ).

⑵基本分割法 2：把一个正三角形分割成 6 个小正三角形(请你在图 b 中画出草图 ).

⑶分别把图 c、图 d 和图 e 种的正三角形分割成9 个、 10个和 11 个小正三角形 (用钢笔或圆珠笔画出草图即可，不用说

明分割方法 ).

图 a图b

⑷请你写出把一个正三角形分割成答：

图 c图d

n( n9 )个小正三角形的分割方法

图 e

(只写出分割方法，不用画图).