二阶线性偏微分方程的分类与小结
数学物理方法之二阶线性偏微分方程的分类
第十三章二阶线性偏微分方程的分类本章将介绍二阶线性偏微分方程的基本概念、分类方法和偏微分方程的标准化. 特别对于常系数的二阶线性偏微分方程的化简方法也进行了详细讨论，这对后面的偏微分方程求解是十分有用的.13.1 基本概念(1)偏微分方程含有未知多元函数及其偏导数的方程，如22222(,,,,,,,,,,)0u u u u u F x y u x y x y x y∂∂∂∂∂⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∂∂∂∂∂∂其中(,,)u x y ⋅⋅⋅是未知多元函数，而,,x y ⋅⋅⋅是未知变量；,,u u x y ∂∂⋅⋅⋅∂∂为u 的偏导数. 有时为了书写方便，通常记22,,,,x y xx u u u u u u x y x∂∂∂==⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∂∂∂(2)方程的阶偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称为方程的阶．(3)方程的次数偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数称为偏微分方程的次数．(4)线性方程一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所有偏导数的幂次数都是一次的，就称为线性方程，高于一次以上的方程称为非线性方程．(5)准线性方程一个偏微分方程，如果仅对方程中所有最高阶偏导数是线性的，则称方程为准线性方程．(6)自由项在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的项称为自由项．例13.1.2：方程的通解和特解概念二阶线性非齐次偏微分方程2xy u y x =−的通解为221(,)()()2u x y xy x y F x G y =−++其中(),()F x G y 是两个独立的任意函数．因为方程为例13.1.1：偏微分方程的分类（具体见课本P268）2241(,)252sin 2u x y xy x y x y =−+−+称为方程的特解．n 阶常微分方程的通解含有n 个任意常数，而n 阶偏微分方程的通解含有n 个任意函数．二阶的，所以是两个任意的函数．若给函数(),()F x G y 指定为特殊的4()25,()2sin F x x G y y =−=，则得到的解在数学物理方程的建立过程中，我们主要讨论了三种类型的偏微分方程：波动方程；热传导方程；稳定场方程．这三类方程描写了不同物理现象及其过程，后面我们将会看到它们的解也表现出各自不同的特点．我们在解析几何中知道对于二次实曲线22ax bxy cy dx ey f +++++=其中,,,,,a b c d e f 为常数，且设24b ac δ=−13.2二阶线性偏微分方程的分类上述二次曲线分别为双曲线、抛物线和椭圆．受此启发，下面我们来对二阶线性偏微分方程进行分类.下面主要以含两个自变量的二阶线性偏微分方程为例，进行理论分析．而对于更多个自变量的情形尽管要复杂一些，但讨论的基本方法是一样的．两个自变量(x, y )的二阶线性偏微分方程所具有的普遍形式为0,0,0δ>=<则当时，22222(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)u u u u u A x y B x y C x y D x y E x y F x y u G x y x x y y x y ∂∂∂∂∂+++++=∂∂∂∂∂∂（13.2.1）其中,,,,,,A B C D E F G 为(,)x y 的已知函数．定义为方程13.2.1的特征方程22(d )d d +(d )0A yB y xC x −=(13.2.3)它所对应的积分曲线族称为特征曲线族在具体求解方程(13.2.3)时，需要分三种情况讨论判别式24B AC ∆=−当判别式240B AC ∆=−>时，从方程(13.2.3)可以求得两个实函数解12(,) (,) x y C x y C φψ==及也就是说，偏微分方程(13.2.1)有两条实的特征线．于是，令13.2.1双曲型偏微分方程作变换并代入原方程原偏微分方程(13.2.1)变为：此变换是可逆的(,), (,)x y x y ξφηψ==2(,,,,)0u u u u ξηξηξη∂∂∂+Φ=∂∂∂∂21111((,)(,13.2.)(,)(,)4)u D u E u F u G ξηξηξηξηξηξη∂=+∂∂++或表示为此方程称为双曲线偏微分方程的第一种标准形式偏微分方程(13.2.4)变为：111122**22**(,(13.2)(,)(,)(.5),)u u D u E u F u G αβαβαβαβαβαβ∂∂−=+∂∂++2222(,,,,)u u u u u αβαβαβ∂∂∂∂−=Φ∂∂∂∂或表示为此方程称为双曲型偏微分方程的第二种标准形式2(,)tt xx u a u f x t =+波动方程即为双曲型偏微分方程或者进一步作变换,αξηβξη=+=−,22αβαβξη+−==或例13.2.1 原偏微分方程为:板书讲解解：△补充例题：学生自己先做，再演示答案222222y x 0x yu u ∂∂−=∂∂试将方程 化为标准方程。
二阶线性偏微分方程的分类与总结
物理学中的例子包括波动方程、热传导方程等。 力学中的例子包括弹性力学中的基本方程等。
按照应用分类
根据应用领域，可以 将二阶线性偏微分方 程分为工程、生物医 学、经济和环境科学 四类。
工程领域中的例子包 括电气工程中的传输 线方程、流体力学中 的Navier-Stokes方 程等。
生物医学领域中的例 子包括神经传导方程 、生物化学反应中的 质量传递方程等。
02
非奇异方程是指所有特征根均具有负实部的方程，而奇异方程至少存在一个具 有正实部的特征根。
03
在非奇异方程中，又可以根据波数和频率的关系分为稳定性、不稳定性、临界 稳定性和临界不稳定性的二阶线性偏微分分为物 理、几何和力学三类。
几何学中的例子包括拉普拉斯算子、热力学中的基本 方程等。
弹性力学
在弹性力学中，物体的位移和应力满足二阶线 性偏微分方程，该方程描述了物体的弹性变形 和应力分布及其随时间的变化。
在化学中的应用
化学反应速率
二阶线性偏微分方程可以描述化学反应的速率和反应过程的动态变化，以及反应条件对反 应速率的影响。
分子的振动
分子的振动运动满足一个二阶线性偏微分方程，该方程描述了分子振动频率和振幅随时间 的变化以及分子间的相互作用。
重点介绍了二阶线性偏微分方程在数学和物理学中的重要地 位和研究进展。
研究意义
研究二阶线性偏微分方程对于理解和研究自 然现象和实际问题具有重要意义。
对于数学和物理学的发展也具有重要价值， 同时对于解决实际问题提供理论支持和方法
指导。
研究目的
对二阶线性偏微分方程进行分类和总 结，梳理各种类型方程的特点和性质 。
要点三
结构力学
在结构力学中，物体的位移、应力和 变形满足二阶线性偏微分方程，该方 程描述了结构的力学行为随时间的变 化。
二阶线性偏微分方程的分类
1.双曲型
对于下列含常系数的第一种标准形式的双曲型标准方程还 可进一步化简
注：上式中用小写字母 大写字母代表某函数区别开来, 例如
代表常系数，以便与 ．为了化简，
我们不妨令
从而有
(10.4.2)
其中
由第二种标准形式的双曲型偏微分方程（含常系数）可以进 一步化简
注：上式中的“*”号不代表共轭，仅说明是另外的函数。如
与 是两个不同的函数。
2．抛物型偏微分方程
因为抛物型偏微分方程的判别式 线是一族实函数曲线． 其特征方程的解为
，所以特征曲
(10.3.5)
因此令 进行自变量变换，则原偏微分方程变为
(10.3.6)
上式称为抛物型偏微分方程的标准形式．
3.椭圆型偏微分方程
(10.4.3)
式中
均为常系数．若令
(10.4.4)
则有 (10.4.5)
其中
2.抛物型
对于含常系数的抛物型偏微分标准方程（含常系数）
（10.4.6）
还可以进一步化简．上式中小写字母
均为常系数．为了化简，不妨令源自从而有(10.4.7)
3.椭圆型
对于下列第一种标准形式的椭圆型标准方程(含常系数)
(10.4.8)
还可以进一步进行化简．上式中小写字母的 为常系数．
为了化简，不妨令
从而有
(10.4.9)
其中
10.5 线性偏微分方程解的特征
含有两个自变量的线性偏微分方程的一般形式也可以写成下 面的形式： 其中 L 是二阶线性偏微分算符，G是x,y的函数． 线性偏微分算符有以下两个基本特征：
其中
均为常数．进一步有如下结论：
偏微分方程(1)
对于固定时刻 t0 , G( x at0 )
只是自变量x的函数。
考虑时刻 t0 1, 由于 G( x at0 ) G( x a a(t0 1))
这说明弦上点x在时刻 t0 的振幅和弦上点x+a在时刻 t0 1 的振幅相同，或者说，弦上点x在时刻 t0 的振幅在时刻 t0 1
2 2i u Au Bu Cu D,
其中A,B,C,D都是 , 的已知函数。
例1.化标准形式并求通解 例2.化标准形式
uxx uxy 2u yy 0.
auxx 2auxy au yy bux cu y u 0. uxx 4uxy 5u yy ux 2u y 0.
新变量方程（1）化为标准形 u Au Bu Cu D,
其中A,B,C,D都是 , 的已知函数。
(2)当 0 时，特征线 ( x, y ) c.
令 ( x, y ), ( x, y ).
其中 ( x, y )是与 ( x, y )线性无关的任意函数，这样以 , 为新变量方程(1)化为标准形 u Au Bu Cu D, 其中A,B,C,D都是 , 的已知函数。 (3)当 0 时，令 1 ( ), 1 ( ). 以 , 为新 变量方程（1）化为标准形 u
表
示单位长度弦的质量，则长为dx的一小段弦的质量为
dx 。utt 是弦的加速度，及单位长度弦上所受的外力
大小为F(x,t).
则根据牛顿第二定律，有
dxutt FT , xdx sin 2 FT , x sin 1 F ( x, t )dx.
最新二阶线性偏微分方程的分类与小结
二阶线性偏微分方程的分类与小结第六章二阶线性偏微分方程的分类与小结一两个自变量的二阶线性方程1 方程变换与特征方程两个自变量的二阶线性偏微分方程总表示成«Skip Record If...»①它关于未知函数«Skip Record If...»及其一、二阶偏导数都是线性的，其中«Skip Record If...»都是自变量«Skip Record If...»的已知函数，假设它们的一阶偏导数在某平面区域«Skip Record If...»内都连续，而且«Skip Record If...»不全为0 。
设«Skip Record If...»是«Skip Record If...»内给定的一点，考虑在«Skip Record If...»的领域内对方程进行简化。
取自变量变换«Skip Record If...»,«Skip Record If...»其中它们具有二连续偏导数，而且在«Skip Record If...»处的雅可比行列式。
«Skip Record If...»«Skip Record If...»=«SkipRecord If...»根据隐函数存在定理，在«Skip Record If...»领域内存在逆变换,«Skip Record If...»,«Skip Record If...»因为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»将代入①使其变为«Skip Record If...»经过变换后，方程的阶数不会升高，由变换的可逆性，方程的阶数也不会降低，所以«Skip Record If...»不全为0。
二阶线性偏微分方程的分类与总结
05
二阶线性偏微分方程的数值求解方法
思想
将微分方程转化为一组差分方程，通过求解差分方程得到原微分方程的数值解。
有限差分法
步骤
选择适当的差分格式，将微分方程中的微分项和代数项离散化，构建差分方程并求解。
特点
简单直观，易于编程实现，但精度较低，适用于简单问题和一维问题。
思想
将微分方程所描述的区域划分成一系列离散的小单元，通过对每个小单元进行数值求解，得到原微分方程的数值解。
在工程中的应用
04
二阶线性偏微分方程的求解方法
行波法
要点三
概述
行波法是一种通过假设解的形式为行波函数，将偏微分方程转化为常微分方程进行求解的方法。
要点一
要点二
适用范围
适用于具有波形的二阶线性偏微分方程，如波动方程、热传导方程等。
步骤
选择适当的行波函数，将其代入原方程，通过常微分方程求解，最后反推出原方程的解。
特征点不都位于任意位置，形式为$a(x)u''+b(x)u'+c(x)u=f(x)$；
非齐次二阶线性偏微分方程
特征点一部分位于任意位置，一部分不位于任意位置。
混合二阶线性偏微分方程
确定初始条件下的二阶线性偏微分方程
周期初始条件下的二阶线性偏微分方程
自然边界条件下的二阶线性偏微分方程
按照初始条件
在时间轴上，当$t<0$时，因果关系为$u(t)=0$；当$t>0$时，因果关系为$u(t)=F(t)$；
要点三
分离变量法
概述
分离变量法是一种通过假设解的形式为多个变量的乘积，将偏微分方程转化为多个常微分方程进行求解的方法。
适用范围
第17讲第四章,二阶线性方程的特征理论
y0
i ydy dx 0
2 3 x i y2 c 3
故
有
x
2 3 和 y2 3
原方程化为
2u 2u 1 u 2 0 2 3
在椭圆区域 解得
y0
ydy dx 0
3 2 x ( y ) 2 c 3 3 2 x ( y ) 2 3 3 2 和 x ( y ) 2 3
n 2u aij biui cu f xi x j i 1 i , j 1 n
(2.1)
其中
aij ,bi (i, j 1,n),c 及 f 为已知函数。
问：在什么条件下一个超曲面
( x1 , x2 ,, xn ) 0
可以成为方程（2.1）的某个弱解u的弱间断面？
其特征为
x at c
作变换
和
x at c
x at
x at
有
和
2u 0
u F ( x at ) G( x at )
解得
例2 特里科米方程
2u 2u y 2 2 0 x y
其特征方程为
ydy 2 dx2 0
弱间断解 对于一个具有n个自变量的二阶方程来讲，若有一个函数u在某个n 维区间内有一阶连续偏导数，且在此区域内除一个（n-1）维光滑曲面 S外，有二阶连续偏导数，并处处满足方程，同时u的二阶偏导数在S上 的左右极限存在，那么称这个函数u为方程的弱间断解。
例如，对弦振动方程。其解为
f1 ( x at ) 和 f 2 ( x at )
(1.16)
其雅可比行列式为
x y a11a22 a12 2 2 2 ( y y ) 0 x y a11
二阶线性偏微分方程的分类与总结
特点
1
偏微分方程的意义
2
3
描述现实问题中多个变量之间的动态关系。
建立数学模型，为解决实际问题提供理论支持。
通过求解偏微分方程，可以预测未来的发展趋势，为决策提供依据。
二阶线性偏微分方程的分类
02
特征方程为多项式形式
特征方程为三角函数形式
分离变量法
适用范围：积分变换法适用于具有特定边界条件的二阶线性偏微分方程，如周期性边界、狄利克雷边界等。基本思想：利用傅里叶变换、拉普拉斯变换等积分变换方法，将偏微分方程转化为常微分方程，从而简化求解过程。步骤选择适当的积分变换函数，如傅里叶变换、拉普拉斯变换等。对原方程进行积分变换，得到变换后的常微分方程。求解常微分方程，得到原方程的解。通过反变换得到原方程的通解。
二阶线性偏微分方程的展望与发展
05
有限差分法
通过离散化偏微分方程，将连续的空间离散为多个离散点，并使用差分近似公式来计算每个离散点处的数值解。
有限元法
将连续的空间离散为多个小的单元，每个单元内使用线性函数来近似解，从而将偏微分方程转化为线性方程组进行求解。
谱方法
利用傅里叶变换等函数变换方法，将偏微分方程转化为常微分方程进行求解，具有高精度和高分辨率的优点。
《二阶线性偏微分方程的分类与总结》
xx年xx月xx日
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目录
二阶线性偏微分方程概述二阶线性偏微分方程的分类二阶线性偏微分方程的求解方法二阶线性偏微分方程的应用领域二阶线性偏微分方程的展望与发展二阶线性偏微分方程的案例分析
二阶线性偏微分方程概述
01
VS
二阶线性偏微分方程是包含未知函数及其偏导数的方程，且方程中未知函数的最高阶偏导数不超过二阶。
(整理)二阶线性偏微分方程的分类与小结.
第六章 二阶线性偏微分方程的分类与小结一 两个自变量的二阶线性方程 1 方程变换与特征方程两个自变量的二阶线性偏微分方程总表示成f cu u b u b u a u a u a y x yy xy xx =+++++212212112 ①它关于未知函数u 及其一、二阶偏导数都是线性的，其中f u c b b a a a ，，，，，，，21221211都是自变量y x ,的已知函数，假设它们的一阶偏 导数在某平面区域D 内都连续，而且221211a a a ，，不全为0 。
设),(000y x M 是D 内给定的一点，考虑在0M 的领域内对方程进行简化。
取自变量变换),(y x ξξ=,),(y x ηη=其中它们具有二连续偏导数，而且在0M 处的雅可比行列式。
=∂∂),(),(y x ηξyx yx ηηξξ =x y y x ηξηξ- 根据隐函数存在定理，在0M 领域内存在逆变换,),(ηξx x =,),(ηξy y =因为x x x u u u ηξξξ+=，y y y u u u ηξξξ+=xx xx x x x x xx u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 yy yy y y y y yy u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 xy xy y x x y y x x x xy u u u u u u ηξηηηξηξξξηξηηξηξξ+++++=)(将代入①使其变为F Cu u B u B u A u A u A =+++++ηξηηξηξξ212212112经过变换后，方程的阶数不会升高，由变换的可逆性，方程的阶数也不会降低，所以221211,,A A A 不全为0。
并可验证222112122211212))((x y y x a a a A A A ηξηξ--=-这表明，在可逆变换下22211212A A A -与2211212a a a -保持相同的正负号。
二阶偏微分方程分类
二阶偏微分方程分类二阶偏微分方程是指含有两个独立变量的二阶偏导数的方程。
在数学中，它是一个重要的研究对象，具有广泛的应用领域，如物理学、工程学、生物学等。
本文将对二阶偏微分方程进行分类和介绍。
一、常系数二阶线性偏微分方程常系数二阶线性偏微分方程是指系数不随自变量变化而保持不变的二阶线性偏微分方程。
它们可以写成以下形式：$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + a\frac{\partial u}{\partial x} + b\frac{\partial u}{\partial y} + cu = f(x,y)$$其中$a$、$b$、$c$为常数，$f(x,y)$为已知函数。
这类方程可以通过特征方程法求解。
二、非齐次线性偏微分方程非齐次线性偏微分方程是指右端项不为零的线性偏微分方程。
它们可以写成以下形式：$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = f(x,y)$$其中$f(x,y)$为已知函数。
这类方程可以通过格林函数法求解。
三、椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程是指二阶偏微分方程中的系数满足$b^2 - 4ac < 0$，即判别式小于零的方程。
它们可以写成以下形式：$$a\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2b\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + c\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = f(x,y)$$其中$a$、$b$、$c$为常数，$f(x,y)$为已知函数。
这类方程在物理学中有广泛的应用，如热传导方程和电场方程等。
四、双曲型偏微分方程双曲型偏微分方程是指二阶偏微分方程中的系数满足$b^2 - 4ac > 0$，即判别式大于零的方程。
二阶线性偏微分方程的分类与总结
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结§1 二阶方程的分类1． 证明两个自变量的二阶线性方程经过可逆变换后它的类型不会改变，也就是说，经可逆变换后2211212a a a -=∆的符号不变。
证：因两个自变量的二阶线性方程一般形式为fcu u b u b u a u a u a y x yy xy xx =+++++212212112经可逆变换 ⎩⎨⎧==),(),(y x y x ηηξξ 0),(),(≠y x D D ηξ化为 f u c u b u a u a u a =++++ηηηξηξξ22212112其中 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+++=++=22212211222212111222212211112)(2y y x x y y x y y x x x yy x x a a a a a a a a a a a a ηηηηηξηξηξηξξξξξ所以 y x y x y x y x x y y x a a a a a a a ηηξξηηξξηξηξ2211112222122221112222)(+-+=-=∆22221112222222211),(),())(()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆=--=+-y x D D a a a a a x y y x y x y x ηξηξηξηξξη因0),(),(2>⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x D D ηξ，故∆与∆同号，即类型不变。
2． 判定下述方程的类型（1）022=-yy xx u y u x （2）0)(2=++yy xx u y x u （3）0=+yy xx xyu u（4）)010001(sgn 0sgn 2sgn ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==++x x x x xu u yu yyxy xx(5) 0424=+++-zz yy xz xy xx u u u u u 解：(1)022=-yy xx u y u x因 022>=∆y x 当0,0≠≠y x 时0,0=>∆x 或0=y 时0=∆。
偏微分方程分类
目的：从数学上表示出二阶线性偏微分方程的共性与差异.1一、二阶线性偏微分方程的分类二、两个自变量的二阶方程的化简三、两个自变量二阶常系数方程的化简设为自变量，二阶线性偏微分方程的形状：111222122xx xy yy x ya u a u a u bub u cu f +++++=(),x y 其中是关于在区域Ω上的实值函数，且连续可微。
11122212,,,,,,a a a b b c f ,x y12211220,a a a Δ≡−>若在区域Ω上某点()00,x y 则称111222122xx xy yy x y a u a u a u bu b u cu f+++++=在点为双曲型的。
()00,x y12211220,a a a Δ≡−=若在区域Ω上某点()00,x y 则称111222122xx xy yy x y a u a u a u bu b u cu f+++++=在点为抛物型的。
()00,x y12211220,a a a Δ≡−<若在区域Ω上某点()00,x y 则称111222122xx xy yy x y a u a u a u bu b u cu f+++++=在点为椭圆型的。
()00,x y12211220,a a a Δ≡−>若在区域Ω上每一点有()00,x y 则称111222122xx xy yy x y a u a u a u bu b u cu f+++++=在内为双曲型的。
Ω12211220,a a a Δ≡−=若在区域Ω上每一点有()00,x y 则称111222122xx xy yy x y a u a u a u bu b u cu f+++++=在内为抛物型的。
Ω12211220,a a a Δ≡−<若在区域Ω上每一点有()00,x y 则称111222122xx xy yy x y a u a u a u bu b u cu f+++++=在内为椭圆型的。
二阶线性偏微分分类与总结
§1 二阶线性偏微分方程的分类
§1.1 两个自变量的方程 §1.2 两个自变量的二阶线性
偏微分方程的化简
§1.3 方程的分类
§1 二阶线性偏微分方程的分类
§1-1 两个自变量的方程
遵循由简单到复杂的认知规律，我们先研究两个自变量的二 阶线性偏微分方程的分类问题。
前面遇到的一维热传导方程、弦振动方程和二维拉普拉斯 方程都是两个自变量的二阶线性偏微分方程。不过它们的形式 特殊，若用(x,y)记自变量，一般的二阶线性方程总可以写成如 下的形状
a11 0；。a22 0
这样就达到了简化方程(4.1)的主部的目的。下面考察这种 选取的可能性。
§1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简
我们知道，方程(4.8)的求解可以转化为下述常微分方程在 (x,y)平面上的积分曲线问题：
a11(
dy dx
)2
2a12
dy dx
a22
0
4.9
设φ1(x,y)=c 是方程(4.9)的一族积分曲线，则z=φ1(x,y)是方程(4.8) 的一个解。称方程(4.9)的积分曲线为方程(4.8)的特征线，方程 (4.9)有时也称为方程(4.8)的特征方程。
课本上从物理角度对上述解的光滑性差异进行了解释。下面的图形形象 地反映了不同类型方程的解的光滑性。
2） 解的极值性质
热传导方程和拉普拉斯方程都存在极值原理，但它们所采 取的形式是有区别的。拉普拉斯方程解的极值只可能存在于 边界。至于热传导方程，区域内部的最大值不能超过区域初 始时刻和边界面上的最大值。双曲型方程通常不存在极值原 理，这是因为波在叠加时可以出现扰动增大的情况。
3） 影响区和依赖区
从影响区和依赖区来看，三类方程也有很大区别。波动方 程的扰动是以有限速度传播的，因而其影响区和依赖区是锥 体状的。对热传导方程而言，其扰动传播进行的十分迅速， 某个点的其影响区是该点以上的整个上半平面，依赖区是整 个初始值区间。拉普拉斯方程表示定常状态或平衡状态，因 此不存在扰动传播的问题。
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结§1 二阶方程的分类1． 证明两个自变量的二阶线性方程经过可逆变换后它的类型不会改变，也就是说，经可逆变换后2211212a a a -=∆的符号不变。
证：因两个自变量的二阶线性方程一般形式为fcu u b u b u a u a u a y x yy xy xx =+++++212212112经可逆变换 ⎩⎨⎧==),(),(y x y x ηηξξ0),(),(≠y x D D ηξ 化为 f u c u b u a u a u a =++++ηηηξηξξ22212112其中 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+++=++=22212211222212111222212211112)(2y y x x y y x y y x x x yy x x a a a a a a a a a a a a ηηηηηξηξηξηξξξξξ所以 y x y x y x y x x y y xa a a a a a a ηηξξηηξξηξηξ2211112222122221112222)(+-+=-=∆22221112222222211),(),())(()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆=--=+-y x D D a a a a a x y y x y x y x ηξηξηξηξξη因0),(),(2>⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x D D ηξ，故∆与∆同号，即类型不变。
2． 判定下述方程的类型（1）022=-yy xx u y u x （2）0)(2=++yy xx u y x u （3）0=+yy xx xyu u（4）)010001(sgn 0sgn 2sgn ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==++x x x x xu u yu yyxy xx(5) 0424=+++-zz yy xz xy xx u u u u u 解：(1)022=-yy xx u y u x因 022>=∆y x 当0,0≠≠y x 时0,0=>∆x 或0=y 时0=∆。
二阶线性偏微分方程的分类与小结6页word文档
第六章 二阶线性偏微分方程的分类与小结一 两个自变量的二阶线性方程 1 方程变换与特征方程两个自变量的二阶线性偏微分方程总表示成fcu u b u b u a u a u a y x yy xy xx =+++++212212112 ①它关于未知函数u 及其一、二阶偏导数都是线性的，其中fu c b b a a a ，，，，，，，21221211都是自变量y x ,的已知函数，假设它们的一阶偏 导数在某平面区域D 内都连续，而且221211a a a ，，不全为0 。
设),(000y x M 是D 内给定的一点，考虑在0M 的领域内对方程进行简化。
取自变量变换),(y x ξξ=,),(y x ηη=其中它们具有二连续偏导数，而且在0M 处的雅可比行列式。
=∂∂),(),(y x ηξyx yx ηηξξ =x y y x ηξηξ- 根据隐函数存在定理，在0M 领域内存在逆变换,),(ηξx x =,),(ηξy y =因为x x x u u u ηξξξ+=，y y y u u u ηξξξ+= xx xx x x x x xx u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222yy yy y y y y yy u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 xy xy y x x y y x x x xy u u u u u u ηξηηηξηξξξηξηηξηξξ+++++=)(将代入①使其变为F Cu u B u B u A u A u A =+++++ηξηηξηξξ212212112经过变换后，方程的阶数不会升高，由变换的可逆性，方程的阶数也不会降低，所以221211,,A A A 不全为0。
并可验证222112122211212))((x y y x a a a A A A ηξηξ--=-这表明，在可逆变换下22211212A A A -与2211212a a a -保持相同的正负号。
[理学]二阶线性微分方程的分类
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第四章
二阶线性偏微分方程的分类与总结
一、 二阶线性方程的分类 二、 二阶线性方程的特征理论
三、三类方程的比较
四、先验估计
1、两个自变量的方程
一、 二阶线性方程的分类
一般二阶线性方程
a11uxx 2a12uxy a22u yy b1ux b2u y cu f ,(1.1)
有
u u y u ( 2 ) x x 2u 2u y 2 2u y u 2 y 2u 2 ( 2 ) 2 ( 2 ) 2 2 3 x x x x u u 1 y x 2u 2u 1 2 2 2 y x 2u 2u y 1 u 2 ( 3 ) 2 xy x x
2 a a dy 12 12 a11a22 , dx a11 2 a12 a12 a11a22 dy . dx a11
（1） 双曲型：
（2） 抛物型： （3） 椭圆型：
（4） 混合型：
a a11a22 0. a a11a22 0. a a11a22 0.
有隐函数定理,则一般的二阶线性方程可以化为
a11u 2a12u a 22u b1u b2u cu f ,(1.4)
所以
a11 a11 x2 2a12 x y a22 y2 a12 a11 x x a12 ( x y y x ) a22 y y 2 2 a a 2 a a 12 x y 22 y 22 11 x
有u( x, y) u( (x, y), ( x, y))
u x u x u x u u u y y y 2 2 u u 2 u u xx x x x x u xx u xx u xy u x y u ( x y y x ) u x y u xy u xy 2 2 u yy u y 2u y y u y u yy u yy
二阶线性方程的分类
利用（3），即可得 1 ( x, y) 满足（2）。 为了得到（3）的特征线，对此拆解成两个方程
2 a a dy 12 12 a11a22 , dx a11 2 a a dy 12 12 a11a22 . dx a11
a11U 2a12U a22U bU 1 b2U cU f , a11dy2 2a12dxdy a22dx2 0. d1 ( x, y) 1x ( x, y)dx 1y ( x, y)dy 0,
两族不同的实曲线，分别记为 i ( x, y) c, i 1,2. 假设 i 关于 ( x, y ) 偏导数均不为零，则变换 1 ( x, y), 2 ( x, y) 是可逆变换：因为
2 2 a a a a a a 1x dy1 dy2 12 12 11 22 2 x 12 12 a11a22 , , 1 y dx a11 2 y dx a11
为了避免引入复函数，作变换
Re ( x, y) 1 ( x, y), Re( x, y) 2 ( x, y),
则上述两函数是线性无关的。事实上，因 2 a11 x (a12 i a12 a11a22 ) y , 则分离实部与虚部，有 2 a a a a a 11 x 12 y 11 22 12 y , 2 a a a a a 12 y 11 22 12 y 11 x
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第六章 二阶线性偏微分方程的分类与小结
一 两个自变量的二阶线性方程 1 方程变换与特征方程
两个自变量的二阶线性偏微分方程总表示成
f cu u b u b u a u a u a y x yy xy xx =+++++212212112 ①
它关于未知函数u 及其一、二阶偏导数都是线性的，其中f u c b b a a a ，，，，，，，21221211都是自变量y x ,的已知函数，假设它们的一阶偏 导数在某平面区域D 内都连续，而且221211a a a ，，不全为0 。
设),(000y x M 是D 内给定的一点，考虑在0M 的领域内对方程进行简化。
取自变量变换
),(y x ξξ=,),(y x ηη=
其中它们具有二连续偏导数，而且在0M 处的雅可比行列式。
=
∂∂),(),(y x ηξy
x y
x ηηξξ =x y y x ηξηξ- 根据隐函数存在定理，在0M 领域内存在逆变换,
),(ηξx x =,),(ηξy y =
因为
x x x u u u ηξξξ+=，y y y u u u ηξξξ+=
xx xx x x x x xx u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 yy yy y y y y yy u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 xy xy y x x y y x x x xy u u u u u u ηξηηηξηξξξηξηηξηξξ+++++=)(
将代入①使其变为
F Cu u B u B u A u A u A =+++++ηξηηξηξξ212212112
经过变换后，方程的阶数不会升高，由变换的可逆性，方程的阶数也不会降低，所以221211,,A A A 不全为0。
并可验证
222112122211212))((x y y x a a a A A A ηξηξ--=-
这表明，在可逆变换下2
22112
12A A A -与22112
12
a a a -保持相同的正负号。
定理 在0M 的领域内，不为常数的函数),(y x ϕ是偏微分方程022*******=++y y x x a a a ϕϕϕϕ之解的充分必要条件是：
C y x ≡),(ϕ是常微分方程的
0)(2)(22212211=++dx a dxdy a dy a
通解。
2 方程的类型及其标准形式
根据以上结论简化方程的问题归结为寻求其特征曲线。
为此将特征方程分解成两个方程：
11
22
11
2
12
12
a a a a a dx dy -+=，11
22
11
2
12
12
a
a
a a a dz dy --=
(1) 若在0M 的邻域内022112
12>-a a a 时，方程可以化为
=-ββααu u _
__2_1F u C u B u B +++βα，该式称为双曲线方
程的标准形式，其中_
_
_
2_
1,,,F C B B 是自变量βα、的已知函数。
(2) 若0M 的邻域内022112
12=-a a a 时，可将方程简化成
F Cu u B u B u A =+++ηξηη2122，该式称为抛物型方程
的标准形式，其中F C B B A ,,,,2122是自变量ηξ、的已知函数。
(3) 若0M 的邻域内022112
12<-a a a 时，可将方程简化成
F Cu u B u B u u A =++++ηξηηξξ2111)(，该式称为椭圆
型方程的标准形式，其中F C B B A ,,,,2111是自变量
ηξ、的已知函数。
总之，根据22112
12a a a -的正负号能将
yy xy xx u a u a u a 2212112++ f cu u b u b y x =+++21简化成三种标准
形式。
定义 若在区域D 中),(000y x M 点处满足022112
12>-a a a (或
是=0，或是<0)，则称方程
yy xy xx u a u a u a 2212112++f cu u b u b y x =+++21在该点0M 处是
双曲线的(或是抛物型的，或是椭圆型的)。
二 n 个自变量的二阶线性方程 1 方程的分类
n 个自变量的二阶线性偏微分方程一般可以表示成
f cu u b u u a n
i x i
n j i x x ij
i
j
i
=++∑∑==1
1
, ①
其中ij a ，i b ，c ，f 都是自变量n x x ,...,1的已知函数，假设它们在n 维空间中某一区域Ω内连续，而且不全为0。
在区域Ω内某点),...,(0010n x x M 处，由二阶导数项的系数可构成相应的二次型
),...,(1n q λλ=∑=n
j i x x ij j
i
a 1
,λλ=λλ)(ij T a ②
其中T n ),...,(1λλλ=，而)(ij a 是n 阶对称矩阵。
定义2 如果在点0M 的二次型②为非退化且是不定的，即它恰有n 个非零特征值，而且特征值的符号不全相同，则称方程①在点0M 是双曲线型。
如果其中1-n 个非零特征值同号，只有一个非零特征值与它们异号，则称方程在点0M 是狭义双曲线型的。
如果其中不只一个非零特征值是异号的，则称方程在点0M 是超双曲线型的。
定义3 如果在点0M 的二次型②为非退化的，即它至少有一个零特征值，则称方程①在点0M 是抛物型。
如果只有一个零特征值，而另外1-n 个非零特征值同号，则称方程在点
0M 是狭义抛物型的。
如果是其它有零特征值的情形，则称
方程在点0M 是广义抛物型的。
定义4 如果在点0M 的二次型②为正定或负定的，即它恰有
n 个同号的非零特征值，则称方程在0M 点是椭圆型的。
2 方程的简化
当方程①中二阶偏导数项的系数ij a 全是常数时，相应的二次型②是常系数实二次型。
根据线性代数的理论，运用配方法或者正交变换法，总可找到一个可逆线性变换
μλ)(ij
p =，即
∑==n
i k
ik
p 1
μλ n i , (1)
其中)(ij p 是可逆矩阵，将二次型),...,(1n q λλ化成标准形
),...,(1n Q μμ，即
),...,(1n q λλ=λλ)(ij T a =μμ))(()(ij ij T ij T p a p =
=2211...n n u εμε++=),...,(1n Q μμ
其中))(()(ij ij T
ij p a p =⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡n εε . 1，而且i ε=1或-1或0。
可取转置矩阵T ij p )(构造自变量可逆线性变换x p T ij )(=ξ，
即
∑==n
k k
ki
i
x p 1
ξ，n i , (1)
就能将在区域Ω内方程①简化为
∑∑==+n
i i
n i i
i
i
i B 1
1
ξεξμμε+F Cu =。
三 小结
前面各章的各种定解问题具有的一个共同的特点――偏微分方程与定解条件关于未知函数及其导数都是线性的，称这些业解问题都是线性问题。
线性问题普遍成立有叠加原理。
叠加原理是前面各章介绍的各种方法的基础。
另一方面，二阶偏微分方程可以分成双曲线型、抛物型和椭圆型，由于它们描述了物理与工程技术中不同的自然现象，所以，它们不仅在二阶偏导数项系数的代数方面有差异，而且在定解条件与性态方程有本质区别。
常系数齐次波动方程、热传导方程和拉普拉斯方程分别是三类方程的典型代表。
为了使定解问题能反映实际现象的客观规律，而且符合数学上适定性的要求，对于不同类型的偏 微分方程，需要给予足够、恰当的定解条件。
另外，定解条件是否保证定解问题是适定的，还与解的含义有关。