正余弦函数的图象与性质

精心整理正、余弦函数的图象与性质[知识回顾]2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z o o o34再从56．7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=o ，1180π=o ，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭oo ． 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P原点的距离是()0r r=>，则sinyrα=，cos xrα=，()tan0yxxα=≠．10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．11、三角函数线：sinα=MP，cosα=OM，tanα=AT．12、同角三角函数的基本关系：222222[考点例题精讲]考点一：正余弦函数图象的应用例1 利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合：21sin )1(≥x 解：作出正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象： 由图形可以得到，满足条件的x 的集合为：Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,265,26ππππ21cos )2(≤x 解：作出余弦函数y=cos ，x ∈[0，2π]的图象： 由图形可以得到，满足条件的x 的集合为：Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,235,23ππππ考点二：求与正余弦函数有关的定义域问题 例2求下列函数的定义域：(1)y ＝1+xsin 1(2)y ＝x cos 解：(1)由1＋sin x ≠0，得sin x ≠－1即x ≠23π＋2k π(k ∈Z ) ∴原函数的定义域为｛x ｜x ≠23π＋2k π，k ∈Z ｝ (2)由cos x ≥0得－2π＋2k π≤x ≤2π＋2k π(k ∈Z )∴原函数的定义域为［－2π＋2k π，2π＋2k π］(k ∈Z )方法小结：求三角函数的定义域实质就是解三角不等式（组）．一般可用三角函单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数；在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z 对称轴()2x k k ππ=+∈Z对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z ⎪⎝⎭对称轴()x k k π=∈Z数的图象或三角函数线确定三角不等式的解．列三角不等式，既要考虑分式的分母不能为零；偶次方根被开方数大于等于零；对数的真数大于零及底数大于零且不等于1，又要考虑三角函数本身的定义域； 变式训练21：求下列函数的定义域和值域解?(1)要使lgsinx 有意义，必须且只须sinx ＞0，解之， 得?2k π＜x ＜(2k+1)π，k ∈Z ． 又∵0＜sinx ≤1，∴-∞＜lgsinx ≤0．∴定义域为(2k π，(2k+1)π)(k ∈Z)，值域为(-∞，0]．变式训练22（选做）：求函数y ＝2cos 1cos 3++x x 的值域解：由已知：cos x ＝⇒--y y 312｜yy --312｜＝｜cos x ｜≤1 ⇒y y --312)2≤1⇒3y 2＋2y －8≤0∴－2≤y ≤34∴y max ＝34，y min ＝－2 求三角函数的值域的常用方法：①化为求代数函数的值域；②化为求sin()y A x B ωϕ=++的值域；③化为关于sin x （或cos x ）的二次函数式； 考点三：求正余弦函数的周期 例3求下列函数的周期：(1)y ＝3cos x ，x ∈R ；(2)y ＝sin2x ，x ∈R ；(3)y ＝2sin(21x －6π)，x ∈R解：(1)∵y ＝cos x 的周期是2π∴只有x 增到x ＋2π时，函数值才重复出现∴y ＝3cos x ，x ∈R 的周期是2π(2)令Z ＝2x ，那么x ∈R 必须并且只需Z ∈R ，且函数y ＝sin Z ，Z ∈R 的周期是2π即Z ＋2π＝2x ＋2π＝2(x ＋π)．只有当x 至少增加到x ＋π，函数值才能重复出现∴y ＝sin2x 的周期是π(3)令Z ＝21x －6π，那么x ∈R 必须并且只需Z ∈R ，且函数y ＝2sin Z ，Z ∈R 的周期是2π，由于Z ＋2π＝(21x －6π)＋2π＝21(x ＋4π)－6π，所以只有自变量x 至少要增加到x ＋4π，函数值才能重复取得，即T ＝4π是能使等式2sin ［21(x ＋T)－6π］＝2sin(21x －6π)成立的最小正数从而y ＝2sin(2x －6)，x ∈R 的周期是4π从上述可看出，这些函数的周期仅与自变量x 的系数有关方法小结：三角函数的周期问题一般利用sin()cos()y A x y A x ωϕωϕ=+=+或的周期为2||T πω=即可。

考点四：求正余弦函数的最值例4求使下列函数取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么(1)y ＝cos x ＋1，x ∈R ；(2)y ＝sin2x ，x ∈R解：(1)使函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 取得最大值的x 的集合，就是使函数y ＝cos x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合｛x ｜x ＝2k π，k ∈Z ｝函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 的最大值是1＋1＝2(2)令Z ＝2x ，那么x ∈R 必须并且只需Z ∈R ，且使函数y ＝sin Z ，Z ∈R 取得最大值的Z 的集合是｛Z ｜Z ＝2π＋2k π，k ∈Z ｝ 由2x ＝Z ＝2π＋2k π，得x ＝4π＋k π即使函数y ＝sin2x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合是｛x ｜x ＝4π＋k π，k ∈Z ｝函数y ＝sin2x ，x ∈R 的最大值是1变式训练41：求下列函数的最大值与最小值：(2)y=2cos 2x+5sinx-4=-2sin 2x+5sinx-2 ∵sinx ∈[-1，1]，变式训练42（选做）：求函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋85a －23(0≤x ≤2π)的最大值解：∵y ＝1－cos 2x ＋a cos x ＋85a －23＝－(cos x －2a )2＋42a ＋85a －21∴当0≤a ≤2时，cos x ＝2a ，y max ＝42a ＋85a －21当a ＞2时，cos x ＝1，y max ＝813a －23 当a ＜0时，cos x ＝0，y max ＝8a －2考点五：利用单调性，比较正余弦函数值的大小例5：比较下列各组数的大小．分析?化为同名函数，进而利用增减性来比较函数值的大小． 解?(1)sin194°=sin(180°+14°)=-sin14° cos160°=cos(180°-20°)=-cos20°=-sin70° ∵0＜14°＜70°＜90°，∴sin14°＜sin70°，从而-sin14°＞-sin70°，即 sin194°＞cos160°．而y=cosx 在[0，π]上是减函数， 故由0＜1.39＜1.47＜1.5＜π可得 cos1.5＜cos1.47＜cos1.39变式训练51：不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0(1)sin(－18π)－sin(－10π)；(2)cos(－523π)－cos(－417π)． 解：(1)∵－2π＜－10π＜－18π＜2π．且函数y ＝sin x ，x ∈［－2π，2π］是增函数∴sin(－10π)＜sin(－18π)即sin(－18π)－sin(－10π)＞0(2)cos(－523π)＝cos 523π＝cos 53πcos(－417π)＝cos 417π＝cos 4π∵0＜4π＜53π＜π且函数y ＝cos x ，x ∈［0，π］是减函数∴cos 53π＜cos 4π即cos 53π－cos 4π＜0∴cos(－523π)－cos(－417π)＜0考点六：求正余弦函数的单调区间例6：函数y ＝sin(x ＋4)在什么区间上是增函数?解：函数y ＝sin x 在下列区间上是增函数：2k π－2π＜x ＜2k π＋2π(k ∈Z )∴函数y ＝sin(x ＋4π)为增函数，当且仅当2k π－2π＜x ＋4π＜2k π＋2π即2k π－3π＜x ＜2k π＋4π(k ∈Z )为所求变式训练61：求下列函数的单调区间解(1)设u=2x当u ∈[(2k-1)π，2k π](k ∈Z)时，cosu 递增； 当u ∈[2k π，(2k+1)π](k ∈Z)时，cosu 递减．变式训练62（选做）：求函数y ＝－cos x 的单调区间解：由y ＝－cos x 的图象可知： 单调增区间为［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z ) 单调减区间为［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z ) 变式训练63（选做）：求函数y ＝sin21x-π的单调增区间 误解：令ｕ＝21x-π ∵y ＝sin ｕ在［2k π－2π，2k π＋2π］(k ∈Z )上递增 ∴2k π－2π≤21x -π≤2k π＋2π解得－4k ≤x ≤－4k ＋2∴原函数的单调递增区间为［－4k ，－4k ＋2］(k ∈Z ) 分析：上述解答貌似正确，实则错误，错误的原因是，令ｕ＝21x-π，忽视了ｕ是x 的减函数，未考虑复合后单调性的变化正解如下：解法一：令ｕ＝2π，则u 是x 的减函数 又∵y ＝sin ｕ在［2k π＋2π，2k π＋23π］(k ∈Z )上为减函数，∴原函数在［2k π＋2π，2k π＋23π］(k ∈Z )上递增设2k π＋2π≤21x -π≤2k π＋23π解得－4k －2≤x ≤－4k (k ∈Z )∴原函数在［－4k －2，－4k ］(k ∈Z )上单调递增 解法二：将原函数变形为y ＝－sin 21-x π 因此只需求sin 21-x π＝y 的减区间即可 ∵ｕ＝21-x π为增函数 ∴只需求sin ｕ的递减区间 ∴2k π＋2π≤21-x π≤2k π＋23π解之得：4k +2≤x ≤4k +4(k ∈Z )∴原函数的单调递增区间为［4k ＋2，4k ＋4］(k ∈Z ) 考点七：其他方面的应用（选做）例7?下列函数中是奇函数的为∴(D)为奇函数，应选(D)．函数不具有奇偶性．说明：奇(偶)函数的定义域必须对称于原点，这是奇(偶)函数必须满足的条件，解题时不可忽视．[拓展与提高]1、函数tan cos y x x =的部分图象是2、函数y =－x ·cos x 的部分图象是()3、1sin [,222y x y x x ππ==∈-函数与在内有多少个交点？4、sin y x y x x R ==∈函数与在内有多少个交点？ 564π5，2π3）7 8、910,x 则。