正余弦函数的图象与性质

精心整理

正、余弦函数的图象与性质

[知识回顾]

2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．

第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z o o o

34再从56．

7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=o ，1180π

=o ，180157.3π⎛⎫

=≈ ⎪⎝⎭

o

o ． 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，

2C r l =+，211

22

S lr r α==．

9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P

原点的距离是()0

r r=>，则sin

y

r

α=，cos x

r

α=，()

tan0

y

x

x

α=≠．

10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．

11、三角函数线：sinα=MP，cosα=OM，tanα=AT．

12、同角三角函数的基本关系：

222222

[考点例题精讲]

考点一：正余弦函数图象的应用

例1 利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合：

2

1

sin )1(≥

x 解：作出正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象： 由图形可以得到，满足条件的x 的集合为：Z k k k ∈⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡++,265,

26

ππππ

2

1

cos )2(≤

x 解：作出余弦函数y=cos ，x ∈[0，2π]的图象： 由图形可以得到，满足条件的x 的集合为：Z k k k ∈⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡++,235,

23

ππππ

考点二：求与正余弦函数有关的定义域问题 例2求下列函数的定义域：

(1)y ＝1+

x

sin 1

(2)y ＝x cos 解：(1)由1＋sin x ≠0，得sin x ≠－1即x ≠2

3π

＋2k π(k ∈Z ) ∴原函数的定义域为｛x ｜x ≠

23π

＋2k π，k ∈Z ｝ (2)由cos x ≥0得－2π

＋2k π≤x ≤2

π＋2k π(k ∈Z )

∴原函数的定义域为［－2π＋2k π，2

π

＋2k π］(k ∈Z )

方法小结：求三角函数的定义域实质就是解三角不等式（组）．一般可用三角函单调性

在2,22

2k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣

⎦

()k ∈Z 上是增函

数；

在32,22

2k k π

πππ⎡⎤++

⎢⎥⎣

⎦

()

k ∈Z 上是减函数．

在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；

在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函

数．

对称性

对称中心()(),0k k π∈Z 对称轴()2

x k k π

π=+∈Z

对称中心(),02

k k π

π⎛⎫

+∈Z ⎪⎝

⎭

对称轴()x k k π=∈Z

数的图象或三角函数线确定三角不等式的解．列三角不等式，既要考虑分式的分母不能为零；偶次方根被开方数大于等于零；对数的真数大于零及底数大于零且不等于1，又要考虑三角函数本身的定义域； 变式训练21：求下列函数的定义域和值域

解?(1)要使lgsinx 有意义，必须且只须sinx ＞0，解之， 得?2k π＜x ＜(2k+1)π，k ∈Z ． 又∵0＜sinx ≤1，∴-∞＜lgsinx ≤0．

∴定义域为(2k π，(2k+1)π)(k ∈Z)，值域为(-∞，0]．

变式训练22（选做）：求函数y ＝2

cos 1

cos 3++x x 的值域

解：由已知：cos x ＝

⇒--y y 312｜y

y --31

2｜＝｜cos x ｜≤1 ⇒y y --312)2≤1⇒3y 2＋2y －8≤0∴－2≤y ≤34∴y max ＝3

4

，y min ＝－2 求三角函数的值域的常用方法：①化为求代数函数的值域；②化为求sin()y A x B ωϕ=++的值域；③化为关于sin x （或cos x ）的二次函数式； 考点三：求正余弦函数的周期 例3求下列函数的周期：

(1)y ＝3cos x ，x ∈R ；(2)y ＝sin2x ，x ∈R ；(3)y ＝2sin(21x －6

π)，x ∈R

解：(1)∵y ＝cos x 的周期是2π

∴只有x 增到x ＋2π时，函数值才重复出现

∴y ＝3cos x ，x ∈R 的周期是2π

(2)令Z ＝2x ，那么x ∈R 必须并且只需Z ∈R ，且函数y ＝sin Z ，Z ∈R 的周期是2

π

即Z ＋2π＝2x ＋2π＝2(x ＋π)．

只有当x 至少增加到x ＋π，函数值才能重复出现

∴y ＝sin2x 的周期是π

(3)令Z ＝21

x －6

π，那么x ∈R 必须并且只需Z ∈R ，且函数y ＝2sin Z ，Z ∈R 的周期是2π，由于Z ＋2π＝(21x －6π)＋2π＝21(x ＋4π)－6

π，所以只有自变量x 至少要增加到x ＋4π，函数值才能重复取得，即T ＝4π是能使等式2sin ［21(x ＋T)－6

π］＝2sin(21x －6

π)成立的最小正数

从而y ＝2sin(2x －6

)，x ∈R 的周期是4π

从上述可看出，这些函数的周期仅与自变量x 的系数有关

方法小结：三角函数的周期问题一般利用sin()cos()y A x y A x ωϕωϕ=+=+或的周期为

2||

T π

ω=

即可。 考点四：求正余弦函数的最值

例4求使下列函数取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么

(1)y ＝cos x ＋1，x ∈R ；(2)y ＝sin2x ，x ∈R

解：(1)使函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 取得最大值的x 的集合，就是使函数y ＝cos x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合｛x ｜x ＝2k π，k ∈Z ｝

函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 的最大值是1＋1＝2

(2)令Z ＝2x ，那么x ∈R 必须并且只需Z ∈R ，

且使函数y ＝sin Z ，Z ∈R 取得最大值的Z 的集合是｛Z ｜Z ＝2

π＋2k π，k ∈Z ｝ 由2x ＝Z ＝2π＋2k π，得x ＝4

π＋k π

即使函数y ＝sin2x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合是｛x ｜x ＝4

π＋k π，k ∈Z ｝

函数y ＝sin2x ，x ∈R 的最大值是1

变式训练41：求下列函数的最大值与最小值：

(2)y=2cos 2

x+5sinx-4=-2sin 2

x+5sinx-2 ∵sinx ∈[-1，1]，