函数模型的应用实例(Ⅲ)

合集下载

3函数模型的应用实例

探究点一一次、二次函数模型的应用
据市场分析，烟台某海鲜加工公司，当月产量在 10 吨至 25 吨时，月生产总成本 y(万元)可以看成月产量 x(吨) 的二次函数；当月产量为 10 吨时，月总成本为 20 万元；当月产量为 15 吨时，月总成本最低为 17.5 万元，为二次函数的顶点．
(1)写出月总成本 y(万元)关于月产量 x(吨)的函数关系； (2)已知该产品销售价为每吨 1.6 万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？
的价格为( B )
A．0.972 元
B．0.972a 元
C．0.96 元
D．0.96a 元
4．某音像社对外出租光盘的收费方法是：每张光盘在租出以后的头两天每天收费 0.8 元，以后每天收费 0.5 元，那么一张光盘在租出后的第 10 天应收租金___5_.6____元．
5．某人从 A 地出发，开汽车以 80 千米/小时的速度经 2 小时到达 B 地，在 B 地停留 2 小时，则汽车离开 A 地的距离 y(单位：千米)是时间 t(单位：小时)的函数，该函数的解析式是____y_＝__81_06_0t_，，__02_≤<_，飞机票价格为 y 元，则 y＝990000，－01＜ 0（x≤x－303，0），30＜x≤75，
(2)设旅行社获利 S 元，
(4 分)
则 S＝9x0（0x1－20105－00100，x）0＜－x1≤53000，0，30＜x≤75.
即 S＝9－001x0－（1x5－06000），20＋＜2x1≤03000，，30＜x≤75.(8 分)
[解] (1)设 y＝a(x－15)2＋17.5，将 x＝10， y＝20 代入上式，得 20＝25a＋17.5. 解得 a＝110.所以 y＝110(x－15)2＋17.5(10≤x≤25)． (2)设最大利润为 Q(x)，则 Q(x)＝1.6x－y＝1.6x－110x2－3x＋40 ＝－110(x－23)2＋12.9(10≤x≤25)．因为 x＝23∈[10，25]，所以月产量为 23 吨时，可获最大利润 12.9 万元．

函数模型的应用实例课件

解：由题意，知将产量随时间变化的离散量分别抽象为 A(1，1)，B(2，1.2)，C(3，1.3)，D(4，1.37)这 4 个数据．
(1)设模拟函数为 y＝ax＋b 时，将 B，C 两点的坐标代入函数式，得32aa＋＋bb＝＝11..32，，解得ab＝＝01..1，
所以有关系式 y＝0.1x＋1. 由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下，产量会每月上升 1 000 双，这是不太可能的．
过筛选，以指数函数模型为最佳，一是误差小，二是由于厂房新建，随着工人技术和管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但经过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而该指数函数模拟恰好反映了这种趋势．因此选用指数函数 y＝－0.8×0.5x＋1.4 比较接近客观实际．
类型 3 建立拟合函数解决实际问题(规范解答) [典例 3] (本小题满分 12 分)某个体经营者把开始六个月试销 A、B 两种商品的逐月投资金额与所获纯利润列成下表：
(3)设模拟函数为 y＝abx＋c 时，
将 A，B，C 三点的坐标代入函数式，
得aabb2＋＋cc＝＝11，.2，
① ②
ab3＋c＝1.3. ③
由①，得 ab＝1－c，代入②③，
得bb2（（11－－cc））＋＋cc＝＝11.2.3，.
则cc＝＝1111..32－－－－bbbb22，，解得bc＝＝10..45.，则 a＝1－b c＝－0.8. 所以有关系式 y＝－0.8×0.5x＋1.4. 结论为：当把 x＝4 代入得 y＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35. 比较上述三个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，如：增产的趋势和可能性．经
设 y＝kx＋b，取点(1，0.30)和(4，1.20)代入，得01..32＝＝k4＋ k＋b， b，解得kb＝＝00..3，所以 y＝0.3x.(8 分) 设第 7 个月投入 A，B 两种商品的资金分别为 x 万元、 (12－x)万元，总利润为 W 万元，那么 W＝yA＋yB＝－0.15(x－4)2＋2＋0.3(12－x)．所以 W＝－0.15(x－3)2＋0.15×9＋3.2.(10 分) 当 x＝3 时，W 取最大值，约为 4.55 万元，此时 B 商品的投资为 9 万元．(11 分)

3.2.2 函数模型的应用实例

【解析】将 x＝1，y＝100 代入 y＝alog2(x＋1)得，100＝alog2(1＋1)，解得 a＝100.所以 x＝7 时，y＝100log2(7＋1)＝300.
【答案】 A
2．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为 2 000 辆次，其中变速车存车费是每辆一次 0.8 元，普通车存车费是每辆一次 0.5 元，若普通车存车数为 x 辆次，存车费总收入为 y 元，则 y 关于 x 的函数关系式是( A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2 000) B．y＝0.3x＋1 600(0≤x≤2 000) C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2 000) D．y＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000) )
【解析】由题意知，变速车存车数为(2 000－x)辆次，则总收入 y＝0.5x＋(2 000－x)×0.8＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)．
【答案】 D
[小组合作型]
一次函数、二次函数模型的应用
商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少．把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件 300 元．现在这种羊毛衫的成本价是 100 元/件，商场以高于成本价的价格(标价)出售．问： (1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？ (2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的 75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？
即声强级为 60 分贝． I (2)当 Y＝0 时，即为 10lg －12＝0， 10 I 所以－12＝1，I＝10－12 W/m2，则能听到的最低声强为 10－12 W/m2. 10
【解】设 t 小时后，蓄水池中的存水量为 y 吨，则 y＝400＋60t－100 6t (0≤t≤24)，设 u＝ t，则 u∈[0， 2 6]， y＝60u －100

函数模型的应用实例

后的时间，则下列四个图象比较符
合此人走法的是（）
d
d
d
d
d0
d0
d0
d0
0 t0
(A)
t0 t0
(B)
t
0 （tC0 ) t 0
t0
(D)
t
例2、某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：
销售单价/元 6
7
8
9 10 11
3.2.2函数模型的应用实例
数学是预测的重要工具，而预测是管理和决策的依据，就像汽车的明亮的前灯一样，良好的预测展示的前景有助于决策者根据这些条件来采取行动．
在我们考察不同的预测方法之前，必须指出：预测既是一门科学，也是一门艺术．科学预测的力量在于：经过长期的实践，职业的预测者胜过那些没有受过专业训练的、非系统的、或使用非科学方法——例如根据月亮的盈亏来预测的人．我国数学工作者在对天气、台风、地震、病虫害、海浪等的研究方面进行过大量的统计，对数据进行处理，拟合出一些直线或曲线，用于进行预测和控制．例如，中科院系统对我国粮食产量的预测. 连续11年与实际产量的平均误差只有1％．
（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004
km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的
函数解析式，并作出相应的图象
v
90
解(1)阴影部分的面积为
80
70
501 801 901 751 651 360 60 50
阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程 40
例1：一辆汽车在某段路程中的行驶速
度与时间的关系如图：

《函数模型的应用实例》教案

《函数模型的应用实例》教案第一章：引言1.1 课程背景本节课将引导学生了解函数模型在实际生活中的应用，通过具体的实例让学生感受函数模型的重要性。

1.2 教学目标（1）了解函数模型的概念及其在实际问题中的应用。

（2）通过实例分析，学会建立函数模型解决实际问题。

1.3 教学内容（1）函数模型的定义及其特点。

（2）函数模型在实际问题中的应用实例。

第二章：线性函数模型2.1 课程背景本节课将引导学生了解线性函数模型，并通过实例让学生学会如何建立线性函数模型解决实际问题。

2.2 教学目标（1）了解线性函数模型的定义及其特点。

（2）学会建立线性函数模型解决实际问题。

2.3 教学内容（1）线性函数模型的定义及其特点。

（2）线性函数模型在实际问题中的应用实例。

第三章：二次函数模型3.1 课程背景本节课将引导学生了解二次函数模型，并通过实例让学生学会如何建立二次函数模型解决实际问题。

3.2 教学目标（1）了解二次函数模型的定义及其特点。

（2）学会建立二次函数模型解决实际问题。

3.3 教学内容（1）二次函数模型的定义及其特点。

（2）二次函数模型在实际问题中的应用实例。

第四章：指数函数模型4.1 课程背景本节课将引导学生了解指数函数模型，并通过实例让学生学会如何建立指数函数模型解决实际问题。

4.2 教学目标（1）了解指数函数模型的定义及其特点。

（2）学会建立指数函数模型解决实际问题。

4.3 教学内容（1）指数函数模型的定义及其特点。

（2）指数函数模型在实际问题中的应用实例。

第五章：总结与拓展5.1 课程背景本节课将对前面所学的函数模型进行总结，并通过拓展实例让学生进一步感受函数模型在实际生活中的应用。

5.2 教学目标（1）总结本节课所学的内容，巩固所学知识。

（2）通过拓展实例，进一步感受函数模型在实际问题中的应用。

5.3 教学内容（1）对前面所学的函数模型进行总结。

（2）通过拓展实例，感受函数模型在实际问题中的应用。

必修一3-2-2函数模型的应用实例

课堂讲练互动
活页规范训练
名师点睛 1．利用确定函数模型求解实际问题这类应用题提供的变量关系是确定的，是以现实生活为原型设计的，其目的在于考查学生对数学语言的阅读、理解、表达与转化能力．求解时一般按以下几步进行： (1)阅读理解，认真审题，就是读懂题中的文字叙述，关键是找准题目中确定的相等关系，特别是隐含的相等关系；
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
2．利用拟合函数模型(近似函数模型)解决实际过程． (1)这类应用题提供的变量关系是不确定的，只是给出了两个变量的几组对应值(是搜集或用实验方法测定的)．为了降低难度，有时采用限定函数模型范围的方法．求解这种函数模型的一般步骤为：画散点图→选择函数模型→用待定系数法求函数模型 →检验，若符合实际，可用此函数模型解释实际问题，若不符合实际，则继续选择函数模型，重复操作过程．利用所得函数模型可解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
3．拟合函数模型的应用题求解步骤
想一想：数据拟合时，得到的函数为什么需要检验？提示因为根据已给的数据，作出散点图，根据散点图，一般是从我们比较熟悉的、最简单的函数作模拟，但所估计的函数有时可能误差较大或不切合客观实际，此时就要再改选其他函数模型．
课前训练
(2)引进数学符号，建立函数模型，把第一步分析得出的相等关系翻译成含有 x，y 的等式，即所谓建立了函数模型，这个函数模型可能含有一些待定的系数，则需要进一步用待定系数法或其他方法确定； (3)利用函数知识，如单调性、最值等，对函数模型予以解答，即所谓解答函数模型； (4)翻译成具体问题作答．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练

函数模型在实际生活中的应用

函数模型在实际生活中的应用函数应用题涉及的题型比较多，下面谈谈函数模型在实际生活中的应用：一、一次函数模型例1 假如你计划买一部手机，而你的朋友给你推荐手机消费有三种可供选择，如下表：从经济角度考虑，哪一种手机卡更为合适？分析：这道题目的背景是消费问题，用表格的形式给出了已知条件，其中存在的数学等量关系为：月消费金额=月租费+每分钟通话费×月通话时间，从而建立月通话时间与月消费金额之间的一次函数关系式．解：设月通话总时间为x 分钟，则三种手机卡的月消费金额分别:连通卡：36.012+=y （)0≥x神州卡：x y 6.0=)0(≥x都市卡：x y 2.024+=)0(≥x 由 ⎩⎨⎧=+=x y x y 6.036.012 解得： ⎩⎨⎧==3050y x 由 ⎩⎨⎧+==x y x y 2.0246.0 解得： ⎩⎨⎧==3660y x 由 ⎩⎨⎧+=+=x y x y 36.0122.024 解得：⎩⎨⎧==3975y x 由图可知：①当500<≤x 时，选用神州行卡；② 当50=x 时，选用神州行卡或连通卡更为经济合适；③ 当7550<<x 时，选用连通卡更为经济合适；④ 当75=x 时，选用都市卡或连通卡；⑤ 当75>x 时选用都市卡更为经济合适．评注：在求解该问题时要注意找出其中数学量之间的关系，从而建立一定的函数关系式来求解．二、分段函数模型例2：某旅行社组团去风景旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到每张降为450元为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元．（1）写出飞机票的价格关于人数的函数；（2）每团人数为多少时，旅行设可获得最大利润？分析：注意价格与人数之间的关系，从而确定函数的解析式．解：（1）设旅行团人数为x 人，由题得075x <≤飞机票价格为y 元，则90090010(30)y x ⎧=⎨--⎩0303075x x <≤<≤即900120010y x ⎧=⎨-⎩0303075x x <≤<≤ （2）设旅行社获利S 元则90015000(120010)15000x S x x -⎧=⎨--⎩0303075x x <≤<≤ 即29001500010(60)21000x S x -⎧=⎨--+⎩0303075x x <≤<≤故当60x =时，旅行设可获得最大利润．评注：在对分段函数进行求最值时，一定要注意分析自变量的范围．三、二次函数模型二次函数是出现的比较多的函数模型，求解此类问题常常通过对其单调区间的讨论来求解．例3：某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．（I ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系P=f(t)；写出图二表求援种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)；（II ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg ，时间单位：天）分析：这是一个分段函数与二次函数相结合的应用题，可以根据函数图象写出解析式，从而利用二次函数来确定函数的最值问题．解：（1）由图可得市场售价与时间的函数关系为： f （t ）＝⎩⎨⎧≤<-≤≤-;300200,3002,2000,300t t t t 由图2可得种植成本与时间的函数关系为：g （t ）＝2001（t －150）2＋100，0≤t ≤300．（2）设t 时刻的纯收益为h （t ），则由题意得h （t ）＝f （t ）－g （t ），即h （t ）＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++-.300200,21025272001,2000,217521200122t t t t t t当0≤t ≤200时，配方整理得h （t ）＝－2001（t －50）2＋100，所以，当t ＝50时，h （t ）取得区间［0，200］上的最大值100；当200＜t ≤300时，配方整理得h （t ）＝－2001（t －350）2＋100，所以，当t ＝300时，h （t ）取得区间（200，300］上的最大值87.5．综上，由100＞87．5可知，h （t ）在区间［0，300］上可以取得最大值100，此时t ＝50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．评注：求本题的最值时一定要注意先求出每一定义域中每一段上的最值，然后来加以比较．四、函数()xb ax x f +=()0,>b a 模型这类函数的模型常常是通过均值定理或者函数的单调性求最值，此时要注意等号能否取到．例4：甲、乙两地相距120千米，汽车从甲地以速度v （千米／时）匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米／时.已知汽车每小时的运输成本（单位:元）由可变部分和固定部分组成：固定部分为64元；可变部分与速度 v 的平方成正比，比例系数为0.01. (1)求汽车每小时的运输成本w(元)(2)把全程运输成本y （元）表示为速度v （千米／时）的函数，并指出函数的定义域；(3)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？分析：本题可以先根据题意写出全程的运输成本，观察函数式的特点可以知道结合基本不等式来求解．解：（（1）分析可以得到6401.02+=v w ； (2)全程运输成本y （元）表示为速度v （千米／时）的函数关系式是：vv y 120)6401.0(2⋅+=，其中函数的定义域是]100,0(∈v ； (3)整理函数有)6401.0(120120)6401.0(2vv v v y +⋅=⋅+=, 根据基本不等式， 1926401.02120)6401.0(120=⋅⋅≥+⋅=v v v v y ，当且仅当]100,0(806401.0∈==v vv 即时，取等号成立，故汽车应以80千米／时的速度行驶，全程运输成本最小为192元．评注：对基本不等式的应用要注意“一正二定三相等”的特点．当然，涉及函数的应用问题还有很多，关键是确定用哪种类型的函数．。

函数模型在实际问题中的应用

函数模型在实际问题中的应用在我们的日常生活和工作中，数学的身影无处不在，而函数作为数学中的重要概念，更是有着广泛且实用的应用。

函数模型能够帮助我们理解和解决各种各样的实际问题，从经济领域的成本与收益分析，到物理世界中的运动规律描述，从环境科学中的资源分配，到工程技术中的优化设计，都离不开函数模型的助力。

先来说说经济领域中的成本与收益问题。

假设一家工厂生产某种产品，其生产成本 C 与产量 x 之间的关系可以用函数 C(x) ＝ ax ＋ b 来表示，其中 a 表示单位产品的变动成本，b 是固定成本。

而产品的销售收益 R 与产量 x 的关系可以用函数 R(x) ＝ px 来表示，其中 p 是单位产品的销售价格。

那么，工厂要想获得利润，就需要考虑收益大于成本，即R(x) ＞C(x)，通过这样的函数关系，我们可以确定最佳的产量，使得利润最大化。

再看物理中的运动问题。

比如一个物体做自由落体运动，其下落的距离 h 与时间 t 的关系可以用函数 h ＝ 1/2gt²来表示，其中 g 是重力加速度。

通过这个函数，我们可以计算出物体在不同时刻所处的位置，从而预测其运动轨迹。

在环境科学中，函数模型也发挥着重要作用。

例如，研究某个区域的水资源分配问题。

假设该区域的水资源总量是固定的，而不同部门的用水需求可以用函数表示。

通过建立这些函数关系，我们可以合理地规划水资源的分配，以满足各个部门的需求，同时保证水资源的可持续利用。

工程技术方面，以桥梁的设计为例。

桥梁的承重能力与桥梁的结构参数之间存在着函数关系。

工程师们需要通过建立准确的函数模型，来确定桥梁的最佳设计方案，既要保证桥梁的安全性，又要控制建设成本。

让我们通过一个具体的例子来更深入地理解函数模型的应用。

假设我们要设计一个矩形的花坛，花坛的周长为一定值 L。

我们知道矩形的周长 L ＝ 2(x ＋ y)，其中 x 和 y 分别是矩形的长和宽。

而花坛的面积 S ＝ xy。

函数模型的应用实

后，体积变为
4 9
a
.若一个新丸体积变为 8 a,
27
则需经过的天数为( )
A125天
B100天
C75天
D50天
练习3
将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了取得最大利润，每个售价应定为( )
A.95元 C.105元
B.100元 D.110元
例6 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表
身高 60 70 80 90 /cm
体重 6.13 7.90 9.99 12.15 /kg
100 110
15.02 17.50
120 130 140 150 160 170
20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
(1)根据表所提供的数据,能否建立恰当的函数模型, 使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高 x cm 的函数关系?试写出这个函数模型的解析式.
由图象可知,当x<1500件时,该公司亏损; 当x=1500件时,公司不赔不赚; 当x>1500件时,公司赢利.
练习5：某地区今年1月、2月、3月，患某种传染病的人数分别为52,61,68，为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型乙选择了模型（其中y是患病人数，x为月份数。a,b,c,p,q， r都是常数)，结果4月，5月，6月份的患病人数分别为74,78，83，你认为谁选择的模型较好？
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
x
60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170

【精选】函数模型的应用实例

增长模型： y＝y0ert 其中t表示经过的时间，y0 表示 t＝0时的
人口数，r表示人口的年平均增长率．下表是1950～1959年我国的人口数据资料：
年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959
人数/万人 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207
每间每天房价 20元 18元 16元 14元
住房率
65％ 75％ 85％ 95％
要使每天收入达到最高，每间定价应为（ C）
A.20元 B.18元 C.16元 D.14元
知识小结
解决函数应用问题的基本步骤：
年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 人数/万人 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207
函数模型应用实例
根据表中数据作出散点图．
年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 人数/万人 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207
增长模型： y＝y0ert 其中t表示经过的时间，y0 表示 t＝0时的
人口数，r表示人口的年平均增长率．下表是1950～1959年我国的人口数据资料：
年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959
人数/万人 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207

高中数学-函数模型的应用实例

y0 55196，则我国在1951~1959年期间的人口增长模型为
y 55196e0.0221t，t N
从该图可以看出，所得模型与1950~1959 年的实际人口数据基本吻合。
y
70000 65000 60000 55000 50000
0
2
4
6
8
t
（2）将y=130 000代入
y 55196e0.0221t
(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.0001)，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；
(2)如果按表中数据的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？
因为 Байду номын сангаасi
ai ai 1 ，所以可以得出 ai 1
路程前的读数为2004km，试建立汽车行
驶这段路程时汽车里程表读数 s km与时
间 t h的函y数解析式，并作出相应的图像。
90 80 70
60
50
40
30
20
10
t
123 45
y
2400 2300
2200
2100
2000
x
123 45
2:人口问题是当今世界各国普遍关注的问题。认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。早在1798 年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型:
函数模型的应用实例
1:一辆汽车在某段路程中的行驶速
度与时间的关系如图:
y (Km/h)
90
90
80
80
75
70
65
60 50 50

3.2.2函数模型的应用实例(Ⅲ)

§3.2.2函数模型的应用实例（Ⅲ）一、学习目标1、能够收集图表数据信息，建立拟合函数解决实际问题。

2、体验收集图表数据信息、拟合数据的过程与方法，体会函数拟合的思想方法。

二、学习重点、难点：重点：收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模解决实际问题。

难点：对数据信息进行拟合，建立起函数模型，并进行模型修正。

三、教学设想（一）创设情景，揭示课题2003年5月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目，马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了要供决策部门参考的应用软件。

这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要、分析报告说，就全国而论，菲非典病人延迟隔离1天，就医人数将增加1000人左右，推迟两天约增加工能力100人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府示采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人。

这项研究在充分考虑传染病控制中心每日工资发布的数据，建立了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做了分析预测。

本例建立教学模型的过程，实际上就是对收集来的数据信息进行拟合，从而找到近似度比较高的拟合函数。

（二）尝试实践探求新知例1．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值发下表（身高：cm；体重：kg）身高60 70 80 90 100 110 体重6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 身高120 130 140 150 160 170 体重20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.051）根据表中提供的数据，建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重与身高ykg与身高xcm的函数模型的解析式。

03函数模型的应用实例.doc

函数模型的应用实例北京四中苗金利一、知识要点：1、审清题意：2、建立文字数量关系式：3、转化为数学模型：4、解决数学问题：5、返本还原：二、典型例题例题1、为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d，例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为( )A．4，6，1，7 B．7，6，1，4 C．6，4，1，7 D．1，6，4，7 解析：例题2、某环线地铁按内、外环线同时运行,内、外环线的长均为30千米(忽略内、外环线长度差异).(1)当9列列车同时在内环线上运行时,要使内环线乘客最长候车时间为10分钟,求内环线列车的最小平均速度;(2)新调整的方案要求内环线列车平均速度为25千米/小时,外环线列车平均速度为30千米/小时.现内、外环线共有18列列车全部投入运行,要使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟,问:内、外环线应各投入几列列车运行?解析：例题3、在一条笔直的工艺流水线上有三个工作台，将工艺流水线用如图所示的数轴表示，各工作台的坐标分别为123x ,x ,x ，每个工作台上有若干名工人．现要在1x 与3x 之间修建一个零件供应站，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短．（1）若每个工作台上只有一名工人，试确定供应站的位置；（2）设三个工作台从左到右的人数依次为2，1，3，试确定供应站的位置，并求所有工人到供应站的距离之和的最小值．解析：例题4、提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为 60千米/小时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．（Ⅰ）当0≤x ≤200时，求函数v （x ）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f （x ）=xv （x ）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）解析：。

几个常见函数模型的应用

高三数学复习小专题几个常见函数模型的应用一、函数x ex y =的性质应用1.（2014年天津理）已知函数()x f x x ae =-)(R a ∈，R x ∈.已知函数()y f x =有两个零点12,x x ，且12x x <.（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）证明：21x x 随着a 的减小而增大；（Ⅲ）证明：12x x +随着a 的减小而增大.二、函数xe y x=的性质应用2.（2014年山东理）设函数22()(ln )x e f x k x x x=-+（k 为常数， 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数）.（Ⅰ）当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围.三、函数x xe y =的性质应用3.已知函数x e x f x +=)(，2)(-=xa x g . (1)若0>x 时)()(x g x f >恒成立，求a 的取值范围；(2)讨论函数)()()(x g x f x F -=的零点的个数.四、函数xx y ln =的性质应用4.（2014年湖北理）π为圆周率，e=2.718 28…为自然对数的底数. （Ⅰ）求函数xx x f ln )(=的单调区间；（Ⅱ）求e 3，3e ，e π，πe ，3π，π3这6个数中的最大数与最小数.（Ⅲ）将e 3，3e ，e π，πe ，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.5.(2013年北京理科)设L 为曲线C ：xx y ln =在点（1,0）处的切线. （1）求L 的方程；（2）证明：除切点（1,0）之外，曲线C 在直线L 的下方.6.求证：3≥n 时，).()1(1*+∈+>N n n n n n五、函数xx y ln =的性质应用5.已知函数xx x f ln )(=，1)(+=ax x g . (1)若)()()(x g x f x h +=在),1(+∞上为减函数，求实数a 的取值范围；(2)若存在],1(,221e x x ∈，使得)(')(')(221x g x f x f -≤成立，求实数a 的取值范围.六、函数x x y ln =的性质应用6.设函数1()ln -=+x xbe f x ae x x ，曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线为(1)2y e x =-+. (Ⅰ)求,a b ；（Ⅱ）证明：()1f x >.。