人教版八年级数学上册第十一章三角形11.2与三角形有关的角导学案

人教版八年级数学上册第十一章三角形11．2 与三角形有关的角导学案

11．2.1 三角形的内角

第1课时三角形的内角和

教学目标

1.会阐述三角形内角和定理．

2.会应用三角形内角和定理进行计算(求三角形的角的度数)．

情景导入

阅读教材P11～13，完成预习内容．

问题1 揭示三角形的内角和

1．幻灯片出示：解释“什么是三角形的内角”，并通过“内角三兄弟之争”的数学故事引出本节内容．

数学故事：在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结．可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了…….”“为什么？”老二很纳闷．同学们，你们知道其中的道理吗？

2．利用三角板的三个角之和为多少度来探索三角形的内角和．

30°＋60°＋90°＝180°45°＋45°＋90°＝180°

想一想：任意三角形的三个内角之和也为180°吗？

问题2 探索并证明三角形的内角和定理

做一做

1．在所准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码．

2．让学生动手把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处(如图2)，用量角器量出∠BCD的度数，可得到∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.

图1

3．剪下∠A，按图2拼在一起，从而还可得到∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.

图2 图3

4．把∠B和∠C剪下按图3拼在一起，用量角器量一量∠MAN的度数，会得到什么结果．想一想

如果我们不用剪、拼办法，可不可以用推理论证的方法来说明上面结论的正确性呢？

已知△ABC，说明∠A＋∠B＋∠C＝180°，你有几种方法？结合图1、图2、图3说明这个结论成立．

知识探究

三角形三个内角的和等于180°．

例题讲解

例1如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，AD是△ABC的角平分线．求∠ADB的度数．

解：由∠BAC ＝40°，AD 是△ABC 的角平分线， 得∠BAD ＝1

2

∠BAC ＝20°.

在△ABD 中，∠ADB ＝180°－∠B －∠BAD ＝180°－75°－20°＝85°.

【跟踪训练1】 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，且∠B ＝3∠BAD ，求∠B 的度数．

解：∵AD 平分∠BAC ， ∴∠BAD ＝1

2

∠BAC ，

∵∠BAC ＋∠B ＋∠C ＝180°，而∠B ＝3∠BAD ， ∴2∠BAD ＋3∠BAD ＋90°＝180°. ∴∠BAD ＝18°. ∴∠B ＝3∠BAD ＝54°.

例2 如图是A ，B ，C 三岛的平面图，C 岛在A 岛的北偏东50°方向，B 岛在A 岛的北偏东80°方向，C 岛在B 岛的北偏西40°方向．从B 岛看A ，C 两岛的视角∠ABC 是多少度？从C 岛看A ，B 两岛的视角∠ACB 呢？

【点拨】 A ，B ，C 三岛的连线构成△ABC ，所求的∠ACB 是△ABC 的一个内角，如果能求出∠CAB ，∠ABC ，就能求出∠ACB.

解：∠CAB ＝∠BAD －∠CAD ＝80°－50°＝30°. 由AD ∥BE ，得∠BAD ＋∠ABE ＝180°.

所以∠ABE ＝180°－∠BAD ＝180°－80°＝100°，

∠ABC＝∠ABE－∠EBC＝100°－40°＝60°.

在△ABC中，∠ACB＝180°－∠ABC－∠CAB

＝180°－60°－30°＝90°.

答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°.

【跟踪训练2】如图，轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A 位于北偏东60°方向上，求∠A的度数．

解：根据题意，得∠1＝∠2＝30°.

∵∠ACD＝60°，

∴∠ACB＝30°＋60°＝90°.

∵∠CBA＝75°－30°＝45°，

∴∠A＝180°－∠ACB－∠CBA

＝180°－90°－45°

＝45°.

巩固训练

1．在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝60°，则∠C的度数为(D)

A．80°B．90°C．20°D．100°

2．下面有关三角形内角的说法，正确的是(A)

A．一个三角形中最大的内角不能小于60°

B．一个三角形中可以有两个直角

C．一个三角形的三个内角能都大于60°

D．一个三角形的三个内角都能小于60°

3．如图是一块三角形木板的残余部分，量得∠A＝100°，∠B＝40°，则这块三角板的另一个角的度数是(B)

A．30°B．40°C．50°D．60°

4．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则∠C的度数为(C)

A．45°B．60°C．75°D．90°

5．在△ABC中，若∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝50°．

6．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上．若∠B＋∠C＝120°，则∠1＋∠2＝120°．

7．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.若∠A＝70°，则∠BOC的度数为125°．

课堂小结

会运用三角形内角和定理求三角形中内角的度数．

第2课时直角三角形的两个锐角互余

教学目标

1．通过三角形的内角和定理推导出直角三角形的两锐角互余．

2．理解并会运用直角三角形的两锐角互余及其逆定理．