二次函数图像与abc的关系专题训练

合集下载

二次函数的图像与性质专题训练

二次函数的图象与性质专题【知识点1 二次函数的配方法】二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)配方成顶点式y =a (x +b 2a )2+4ac−b 24a 2，对称轴为2b x a =−，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，．【题型1 二次函数的配方法】【例1】用配方法将下列函数化成y ＝a （x -h ）2+k 的形式，并指出抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标．（1）y ＝2x 2+4x -1 （2）y =12x 2﹣2x +3；（3）y ＝（1﹣x ）（1+2x ）；【知识点2 二次函数的五点绘图法】利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =−+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.【题型2 二次函数的五点绘图法】【例2】已知抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3（1）写出该抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、与x 、y 轴交点；（2）选取适当的数据填表格，并在直角坐标系内描点画出该抛物线的图象．【知识点3 二次函数的图象与各系数之间的关系】①二次项系数a ：a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． ②一次项系数b ：在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置，概括的说就是“左同右异”. ③常数项c ：总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．【题型3 二次函数的图象与各系数之间的关系】【例3-1】如图所示的四个二次函数图象分别对应 ①y =ax 2， ②y =bx 2， ③y =cx 2， ④y =dx 2，则a ，b ，c ，d 的大小关系为 .(用“>”连接)【例3-2】二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图像如图，下列结论：①abc>0；②2a+b=0；③当m≠1时，a+b>am2+bm；④a-b+c>0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，x1+x2=2．其中正确的有（）A．②④B．②⑤C．①②③D．②③⑤【例3-3】函数y＝ax2﹣a与y＝ax+a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【知识点4 二次函数图象的平移变换】平移步骤：①将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k=−+，确定其顶点坐标()h k，；②平移规律概括成八个字“左加右减，上加下减”．【题型4 二次函数图象的平移变换】【例4】要得到函数y＝﹣（x﹣2）2+3的图象，可以将函数y＝﹣（x﹣3）2的图象（）A．向右平移1个单位，再向上平移3个单位B．向右平移1个单位，再向下平移3个单位C．向左平移1个单位，再向上平移3个单位D．向左平移1个单位，再向下平移3个单位【知识点5 二次函数图象的对称变换】2y ax bx c=++关于x轴对称，得到2y ax bx c=−−−；关于y轴对称，得到2y ax bx c=−+；()2y a x h k=−+关于x轴对称，得到()2y a x h k=−−−；关于y轴对称，得到()2y a x h k=++；2y ax bx c=++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c=−+−；()2y a x h k=−+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=−+−；【题型5 二次函数图象的对称变换】【例5】在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+（2a﹣b）x+b+1与y＝﹣x2+（a+b）x+a﹣4关于x轴对称，则a+b的值为（）A．﹣5B．3C．5D．15【变式5-1】抛物线y＝﹣（x+2）2关于y轴对称的抛物线的表达式为．【变式5-2】在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x+3绕着原点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）A．y＝﹣（x﹣1）2﹣2 B．y＝﹣（x+1）2﹣2C．y＝﹣（x﹣1）2+2D．y＝﹣（x+1）2+2【题型6 利用二次函数的性质判断结论】【例6】对于抛物线y＝﹣2（x+1）2+3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝1：③顶点坐标为（﹣1，3）；④x＞﹣1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4【变式6-1】关于抛物线y ＝x 2﹣（a +1）x +a ﹣2，下列说法错误的是（）A ．开口向上B ．当a ＝2时，经过坐标原点OC ．不论a 为何值，都过定点（1，﹣2）D ．a ＞0时，对称轴在y 轴的左侧【变式6-2】对于二次函数y ＝x 2﹣2mx ﹣3，有下列结论：③ 它的图象与x 轴有两个交点；②如果当x ≤﹣1时，y 随x 的增大而减小，则m ＝﹣1；③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m ＝1；④如果当x ＝2时的函数值与x ＝8时的函数值相等，则m ＝5．其中一定正确的结论是．（把你认为正确结论的序号都填上）【题型7 利用二次函数的性质比较函数值】【例7】已知二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣3的自变量x 1，x 2，x 3对应的函数值分别为y 1，y 2，y 3．当﹣1＜x 1＜0， 1＜x 2＜2，x 3＞3时，y 1，y 2，y 3三者之间的大小关系是（）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 3＜y 1C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 2＜y 1＜y 3【变式7-1】抛物线y ＝x 2+x +2，点（2，a ），（﹣1，﹣b ），（3，c ），则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．c ＞a ＞bB ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞cD ．无法比较大小【变式7-2】已知点A （b ﹣m ，y 1），B （b ﹣n ，y 2），C （b +m+n 2，y 3）都在二次函数y ＝﹣x 2+2bx +c 的图象上，若0＜m ＜n ，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 3＜y 1C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 1＜y 3＜y 2 【题型8 利用二次函数的性质求字母的范围】【例8】已知抛物线y ＝﹣（x ﹣2）2+9，当m ≤x ≤5时，0≤y ≤9，则m 的值可以是（）A ．﹣2B ．1C ．3D ．4【变式8-1】若抛物线y ＝（x ﹣m ）（x ﹣m ﹣3）经过四个象限，则m 的取值范围是（）A ．m ＜﹣3B ．﹣1＜m ＜2C ．﹣3＜m ＜0D ．﹣2＜m ＜1【题型9 利用二次函数的性质求最值】【例9】若实数m 、n 满足m+n ＝2，则代数式2m 2+mn +m ﹣n 的最小值是_______．【变式9-2】抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）过A （4，4），B （2，m ）两点，点B 到抛物线对称轴的距离记为d ，满足0＜d ≤1，则实数m 的取值范围是（）A ．m ≤2或m ≥3B ．m ≤3或m ≥4C ．2＜m ＜3D ．3＜m ＜4*【题型10 二次函数给定范围内的最值问题】【例10】若二次函数y ＝﹣x 2+mx 在﹣1≤x ≤2时的最大值为3，那么m 的值是（）A ．﹣4或72B ．﹣2√3或72C ．﹣4 或2√3D ．﹣2√3或2 √3【变式10-1】已知二次函数y ＝mx 2+2mx +1（m ≠0）在﹣2≤x ≤2时有最小值﹣2，则m ＝（）A ．3B ．﹣3或38C ．3或−38D ．﹣3或−38 【变式10-2】若二次函数y ＝x 2﹣2x +5在m ≤x ≤m +1时的最小值为6，那么m 的值是．二次函数的图象与性质— 易错精选 —1. 二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下面五条信息：①c ＜0；②ab ＜0； ③a ﹣b +c ＞0；④2a ﹣3b ＝0；⑤c ﹣4b ＞0．你认为其中正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2. 如图是二次函数y ＝ax 2+bx +c 图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，给出四个结论：①abc ＞0；②2a ﹣b ＝0；③4ac ﹣b 2＜0；④若点B （﹣，y 1）、C （﹣，y 2）为函数图象上的两点，则y 1＞y 2；⑤am 2+bm ＜a ﹣b （m 为任意实数）；其中，正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．43. 在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，现给出以下结论：①abc ＜0；②c +2a ＜0；③9a ﹣3b +c ＝0；④a ﹣b ≥m （am +b ）（m 为实数），其中正确的结论有．（只填序号）4. 已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图像如图，有下列6个结论：①abc＜0；②b＜a ﹣c ；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b ；⑤a+b＜m （am+b ），（m≠1的实数）⑥2a+b+c＞0，其中正确的结论的有_____．5. 如图是抛物线21(0)y ax bx c a =++≠图像的一部分，抛物线的顶点坐标为(1,3)A ，与x 轴的一个交点为(4,0)B ，点A 和点B 均在直线2(0)y mx n m =+≠上.①20a b +=；②>0abc ；③抛物线与x 轴的另一个交点时(4,0)−；④方程23ax bx c ++=−有两个不相等的实数根；⑤4a b c m n −+<+；⑥不等式2mx n ax bx c +>++的解集为14x <<.上述六个结论中，其中正确的结论是_____________.（填写序号即可）6. 在同一个平面直角坐标系xOy 中，二次函数211y a x =，222y a x =，233y a x 的图象如图所示，则123,,a a a 的大小关系为___________（用“>”连接）．。

二次函数中各项系数abc与图像的关系

二次函数中各项系数a ，b ，c 与图像的关系一、首先就y=ax 2+bx+c （a≠0）中的a ，b ，c 对图像的作用归纳如下：1 a 的作用：决定开口方向：a > 0开口向上；a < 0开口向下；决定张口的大小：∣a ∣越大，抛物线的张口越小．2 b 的作用：b 和a 与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关．b 与a 同号，说明02<-a b ，则对称轴在y 轴的左边； b 与a 异号，说明−b 2a >0，则对称轴在y 轴的右边；特别的，b = 0，对称轴为y 轴．3 c 的作用：c 决定了抛物线与y 轴的交点纵坐标．抛物线与y 轴的交点（0，c ）c > 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴；c < 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴；特别的，c = 0，抛物线过原点．4 a,b,c 共同决定判别式?=b 2−4ac 的符号进而决定图象与x 轴的交点b 2−4ac >0 与x 轴两个交点b 2−4ac =0 与x 轴一个交点b 2−4ac <0 与x 轴没有交点5 几种特殊情况：x=1时，y=a + b + c ；x= -1时，y=a - b + c ．当x = 1时，① 若y > 0，则a + b + c >0；② 若y < 时0，则a + b + c < 0当x = -1时，① 若y > 0，则a - b + c >0；② 若y < 0，则a - b + c < 0．扩：x=2, y=4a + 2b + c ；x= -2, y=4a -2b + c ； x=3, y=9a +3 b + c ；x= -3, y=9a -3b + c 。

一．选择题（共8小题）1．已知二次函数y=ax 2+bx +c 的图象大致如图所示，则下列关系式中成立的是（）A ．a ＞0B ．b ＜0C ．c ＜0D ．b +2a ＞02．如果二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，那么下列不等式成立的是（）A ．a ＞0B ．b ＜0C ．ac ＜0D ．bc ＜0．3．已知二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc ＞0；②b ＜a +c ；③4a +2b +c ＞0；④b 2﹣4ac ＞0；其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，对于下列结论：①a ＜0；②b ＜0；③c ＞0；④2a +b=0；⑤a ﹣b +c ＜0，其中正确的个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个第3题图第4题图第5题图第6题图5．二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，给出下列四个结论：：①a ＜0；②b ＞0；③b 2﹣4ac ＞0；④a +b +c ＜0；其中结论正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图所示，抛物线y=ax 2+bx +c 的顶点为（﹣1，3），以下结论：①b 2﹣4ac ＜0；②4a ﹣2b +c ＜0；③2c﹣b=3；④a+3=c，其中正确的个数（）A．1 B．2 C．3 D．47．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，下列给出四个结论中，正确结论的个数是（）个①c＞0；②若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2；③2a﹣b=0；④＜0；⑤4a﹣2b+c＞0．A．2 B．3 C．4 D．58．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＞0；④当x＜时，y随x的增大而减小；⑤a+b+c＞0．其中正确的有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个二．填空题（共4小题）9．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大；其中结论正确有．10．一抛物线和抛物线y=﹣2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（﹣1，3），则该抛物线的解析式为．11．抛物线y=ax2+12x﹣19顶点横坐标是3，则a=．12．将二次函数y=x2+6x+5化为y=a（x﹣h）2+k的形式为．三．解答题（共7小题）13．已知：抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C（2，3）．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果此抛物线沿y轴平移一次后过点（﹣2，1），试确定这次平移的方向和距离．14．函数y=（m+2）是关于x的二次函数，求：（1）满足条件的m值；（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点．这时，当x为何值时，y随x的增大而增大？（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时，当x为何值时，y随x的增大而减小．15．已知二次函数的图象经过（0，0）（﹣1，﹣1），（1，9）三点．（1）求这个函数的解析式；（2）求这个函数图象的顶点坐标．16．已知抛物线的顶点坐标是（1，﹣4），且经过点（0，﹣3），求与该抛物线相应的二次函数表达式．17．已知二次函数y=x2﹣4x+5．（1）将y=x2﹣4x+5化成y=a （x﹣h）2+k的形式；（2）指出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；（3）当x取何值时，y随x的增大而增大？18．如图，二次函数的图象的顶点坐标为（1，），现将等腰直角三角板直角顶点放在原点O，一个锐角顶点A在此二次函数的图象上，而另一个锐角顶点B在第二象限，且点A的坐标为（2，1）．（1）求该二次函数的表达式；（2）判断点B是否在此二次函数的图象上，并说明理由．19．已知二次函数y=a（x﹣h）2，当x=4时有最大值，且此函数的图象经过点（1，﹣3）．（1）求此二次函数的解析式；（2）当x为何值时，y随x的增大而增大？。

二次函数与abc的关系题

二次函数与abc的关系题
二次函数一般形式为：y = ax^2 + bx + c
其中，a、b、c为常数。

与a，b，c的关系如下：
1. 当a>0时，二次函数的图像开口向上，对应的抛物线的开口朝上；
2. 当a<0时，二次函数的图像开口向下，对应的抛物线的开口朝下；
3. b决定了二次函数图像的偏移量，即左右平移或镜像；
- 当b > 0时，二次函数图像向左平移；
- 当b < 0时，二次函数图像向右平移；
4. c决定了二次函数图像的上下平移；
- 当c > 0时，二次函数图像向上平移；
- 当c < 0时，二次函数图像向下平移。

总结起来，a决定了抛物线的形状（开口向上或向下），b决定了抛物线的平移方向和程度，c决定了抛物线的上下平移。

最全二次函数概念图像与abc的关系专题训练完整版.doc

二次函数2y ax bx c =++图象的位置与abc 的关系归纳：二次函数2y ax bx c =++的对称轴为________,顶点坐标为______________ （1）a 的符号由决定：①开口方向向 ⇔ a 0；②开口方向向 ⇔ a 0. （2）b 的符号由决定；①对称轴在y 轴的左侧 ⇔b a 、； ②对称轴在y 轴的右侧 ⇔b a 、；③对称轴是y 轴 ⇔b0. ④由对称轴公式x=，可确定2a+b 的符号．（3）c 的符号由决定： ①抛物线与y 轴交于正半轴 ⇔c 0； ②抛物线与y 轴交于负半轴⇔c 0； ③抛物线过原点 ⇔c 0.（4）ac b 42-的符号由决定： ①抛物线与x 轴有交点⇔ b 2-4ac 0； ②抛物线与x 轴有交点⇔ b 2-4ac 0； ③抛物线与x 轴有交点⇔ b 2-4ac 0；（5）当x=1时，可确定a+b+c 的符号，当x=-1时，可确定a-b+c 的符号．【典型例题】已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列4个结论中：①abc>0；②b<a+c ；③4a+2b+c>0；④b 2-4ac>0； ⑤b=2a.正确的是（填序号）【课后作业】1.根据图象填空，：（1）a 0 ，b 0 ，c 0， abc 0. （2）b 2-4ac 0（3）c b a ++ 0；c b a +- 0；（4）当0>x 时，y 的取值范围是；当0>y 时，x 的取值范围是 .2.若一条抛物线c bx ax y ++=2的顶点在第二象限，交于y 有两个交点，则下列结论正确的是（）.A.a ﹥0,bc ﹥0;B.a ﹤0,bc ﹤0;C. a ﹤0, bc ﹥0;D.a ﹥0, bc ﹤03.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（）A 、ac ＜0B 、a-b+c ＞0C 、b=-4aD 、关于x 的方程ax 2+bx+c=0的根是x 1=-1，x 2=54、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，有下列结论：①b 2-4ac ＞0； ②abc ＞0；③8a+c ＞0； ④9a+3b+c ＜0 其中，正确结论的个数是（）A 、1B 、2C 、3D 、45．已知反比例函数xky =的图象在二、四象限，则二次函数222k x kx y +-=的图象大致为（）A6、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（） A 、a ＜0，b ＜0，c ＞0，b 2-4ac ＞0 B 、a ＞0，b ＜0，c ＞0，b 2-4ac ＜0 C 、a ＜0，b ＞0，c ＜0，b 2-4ac ＞0 D 、a ＜0，b ＞0，c ＞0，b 2-4ac ＞07、如图所示为二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象，在下列选项中错误的是（） A 、ac ＜0 B 、x ＞1时，y 随x 的增大而增大C 、a+b+c ＞0D 、方程ax 2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=38、已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）A 、a ＞0B 、b ＜0C 、c ＜0D 、a+b+c ＞09、小明从图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①0<c ；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->，你认为其中正确信息的个数有（）B ．C ．A．2个B．3个 C．4个 D．5个10、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＜0，则正确的结论是（）A、①②③④B、②④⑤C、②③④D、①④⑤11、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（12，1），下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac-b2=4a；④a+b+c＜0．其中正确结论的个数是（）A、1B、2C、3D、412、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（）A、ac＞0B、方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3C、2a-b=0D、当x＞0时，y随x的增大而减小13、已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0，②b2-4ac＜0，③a-b+c＞0，④4a-2b+c＜0，其中正确结论的个数是（）A、1B、2C、3D、414、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．其中正确的个数是（）15．二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：①a＜0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④＜0中，正确的结论有（）A． 1个B．2个C． 3个D．4个16、如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）b2-4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a-b＜0；（4）a+b+c＜0．你认为其中错误的有（）A、2个B、3个C、4个D、1个17．函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图，有以下结论：①b2﹣4c＜0；②c﹣b+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确结论的个数为（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 418．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（）2＞0 ③b＞0 ④c＞0 ⑤9a+3b+c＜0，则其中结论正确的个数是（）A、2个B、3个C、4个D、5个20、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（）A、ac＜0B、a-b+c＞0C、b=—4aD、关于x的方程ax2+bx+c=0的根是x1=—1，x2=521、已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①ac ＞0；②a-b+c ＜0；③当x ＜0时，y ＜0；④方程ax ²+bx+c=0（a ≠0）有两个大于-1的实数根．其中错误的结论有（）A 、②③B 、②④C 、①③D 、①④22、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论①a ，b 异号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=4时，x 的取值只能为0，结论正确的个数有（）个． A 、1 B 、2 C 、3 D 、423、二次函数y=-x 2+bx+c 的图象如图所示，下列几个结论：①对称轴为x=2；②当y ≤0时，x ＜0或x ＞4；③函数解析式为y=-x （x-4）；④当x ≤0时，y 随x 的增大而增大．其中正确的结论有（）A 、①②③④B 、①②③C 、①③④D 、①③ 24、如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论： ①b 2＞4ac ；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0．其中正确结论的个数是（）25、如图，抛物线y=ax +bx+c 与x 轴交于点A （﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与 y 轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论： ①当x ＞3时，y ＜0；②3a+b ＞0；③﹣1≤a ≤﹣；④≤n ≤4．其中正确的是（） ①② B ． ③④ C ． ①③ D ． ①③④26、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ＞0）的图象与x 轴交于点（﹣1，0），（x 1，0），且1＜x 1＜2，下列结论正确的个数为（）27、如图所示，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点(12)-，的横坐标分别为12x x ，，其中121x -<<-，201x <<，下列结论： ①420a b c -+<；②20a b -<；③1a <-；④284b a ac +>．其中正确的有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个28、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②b ＜a+c ；③2a+b=0；④a+b ＞m （am+b ）（m ≠1的实数）．其中正确的结论有（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个29、如图，抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是x=1，下列结论：①b ＜0；②（a+c ）2＞b2；③2a+b-c＞0；④3b＜2c．其中正确的结论有________（填上正确结论的序号）．30、已知：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b ＜0；③a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）；④（a+c）2＜b2；⑤a＞1．其中正确的项是（）A、①⑤B、①②⑤C、②⑤D、①③④31、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①a+b+c=0；②4a+b=0；③abc＜0；④4ac-b2＜0；⑤当x≠2时，总有4a+2b＞ax2+bx其中正确的有（填写正确结论的序号）．32、如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（x1，0），-3＜x1＜-2，对称轴为x=-1．给出四个结论：①abc＞0；②2a+b=0；③b2＞4ac；④a-b＞m（ma+b）（m≠-1的实数）；⑤3b+2c＞0．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个33、已知：抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）经过点（-1，0），且满足4a+2b+c＞0，以下结论：①a+b＞0；②a+c＞0；③-a+b+c＞0；④b2-2ac＞5a2，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个34.如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（-3，0），对称轴为x=-1．给出四个结论：①b2＞4ac；②b=-2a；③a-b+c=0；④b＞5a．其中正确结论是．赠送以下资料《二次函数的应用》中考题集锦10题已知抛物线222(0)y x mx m m =+-≠．（1）求证：该抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）过点(0)P n ，作y 轴的垂线交该抛物线于点A 和点B （点A 在点P 的左边），是否存在实数m n ，，使得2AP PB =？若存在，则求出m n ，满足的条件；若不存在，请说明理由．答案：解：（1）证法1：22229224m y x mx m x m ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，当0m ≠时，抛物线顶点的纵坐标为2904m -<， ∴顶点总在x 轴的下方．而该抛物线的开口向上，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．（或者，当0m ≠时，抛物线与y 轴的交点2(02)m -，在x 轴下方，而该抛物线的开口向上，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．）证法2 ：22241(2)9m m m ∆=-⨯⨯-=，当0m ≠时，290m >，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．（2）存在实数m n ，，使得2AP PB =．设点B 的坐标为()t n ，，由2AP PB =知，①当点B 在点P 的右边时，0t >，点A 的坐标为(2)t n -，且2t t -，是关于x 的方程222x mx m n +-=的两个实数根．2224(2)940m m n m n ∴∆=---=+>，即294n m >-．且(2)t t m +-=-（I ），2(2)t t m n -=--（II ）由（I ）得，t m =，即0m >．将t m =代入（II ）得，0n =．∴当0m >且0n =时，有2AP PB =．②当点B 在点P 的左边时，0t <，点A 的坐标为(2)t n ，，且2t t ，是关于x 的方程222x mx m n +-=的两个实数根．2224(2)940m m n m n ∴∆=---=+>，即 294n m >-．且2t t m +=-（I ），222t t m n =--（II ）由（I ）得，3mt =-，即0m >．将3m t =-代入（II ）得，2209n m =-且满足294n m >-．∴当0m >且2209n m =-时，有2AP PB =第11题一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离S （米）与时间t （秒）间的关系式为210S t t =+，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为（）Ａ．24米Ｂ．12米Ｃ．米Ｄ．6米答案：Ｂ第12题我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（1）中的一条折线表示．绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价z （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（2）的抛物线表示．)图(1)图(2)天)（1）直接写出图（1）中表示的市场销售单价y （元）与上市时间t （天）（0t >）的函数关系式；（2）求出图（2）中表示的种植成本单价z （元）与上市时间t （天）（0t >）的函数关系式；（3）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最大？（说明：市场销售单价和种植成本单价的单位：元／500克．）答案：解：（1）依题意，可建立的函数关系式为：2160(0120)380(120150)220(150180)5t t y t t t ⎧-+<<⎪⎪=<⎨⎪⎪+⎩，，． ≤ ≤≤ （2）由题目已知条件可设2(110)20z a t =-+．图象过点85(60)3，，2851(60110)203300a a ∴=-+∴=．． 21(110)20300z t ∴=-+ (0)t >．（3）设纯收益单价为W 元，则W =销售单价-成本单价．故22221160(110)20(0120)3300180(110)20(120150)3002120(110)20(150180)5300t t t W t t t t t ⎧-+---<<⎪⎪⎪=---<⎨⎪⎪+---⎪⎩，，． ≤ ≤≤ 化简得2221(10)100(0120)3001(110)60(120150)3001(170)56(150180)300t t W t t t t ⎧--+<<⎪⎪⎪=-+<⎨⎪⎪--+⎪⎩，，． ≤ ≤≤①当21(10)100(0120)300W t t =--+<<时，有10t =时，W 最大，最大值为100； ②当21(110)60(120150)300W t t =--+<≤时，由图象知，有120t =时，W 最大，最大值为2593； ③当21(170)56(150180)300W t t =--+≤≤时，有170t =时，W 最大，最大值为56．综上所述，在10t =时，纯收益单价有最大值，最大值为100元．第13题如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上），运动员乙在距O 点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取7=）（3）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取5=）答案：解：（1）（3分）如图，设第一次落地时，抛物线的表达式为2(6)4y a x =-+．由已知：当0x =时1y =．即1136412a a =+∴=-，． ∴表达式为21(6)412y x =--+．（或21112y x x =-++）（2）（3分）令210(6)4012y x =--+=，．212(6)4861360x x x ∴-===-<．≈，（舍去）．∴足球第一次落地距守门员约13米．（3）（4分）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为CD根据题意：CD EF =（即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位）212(6)412x ∴=--+解得1266x x =-=+1210CD x x ∴=-=．1361017BD ∴=-+=（米）．解法二：令21(6)4012x --+=．解得16x =-2613x =+．∴点C 坐标为（13，0）．设抛物线CND 为21()212y x k =--+．将C 点坐标代入得：21(13)2012k --+=．解得：11313k =-（舍去），2667518k =+++=．21(18)212y x =--+ 令210(18)212y x ==--+，0．118x =-21823x =+．23617BD ∴=-=（米）．解法三：由解法二知，18k =，所以2(1813)10CD =-=，所以(136)1017BD =-+=．答：他应再向前跑17米．第14题荆州市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜．通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费2.7万元；购置滴灌设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为0.9；另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支0.3万元．每公顷蔬菜年均可卖7.5万元．（1）基地的菜农共修建大棚x （公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为y （万元），写出y 关于x 的函数关系式．（2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得5万元收益，工作组应建议他修建多少公项大棚．（用分数表示即可）（3）除种子、化肥、农药投资只能当年受益外，其它设施3年内不需增加投资仍可继续使用．如果按3年计算，是否修建大棚面积越大收益越大？修建面积为多少时可以得到最大收益？请帮工作组为基地修建大棚提一项合理化建议．答案：（1）()227.5 2.70.90.30.9 4.5y x x x x x x =-++=-+．（2）当20.9 4.55x x -+=时，即2945500x x -+=，153x =，2103x =从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建53公顷大棚．（3）设3年内每年的平均收益为Z （万元）()()2227.50.90.30.30.3 6.30.310.533.075Z x x x x x x x =-++=-+=--+（10分）不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益．建议：①在大棚面积不超过10.5公顷时，可以扩大修建面积，这样会增加收益． ②大棚面积超过10.5公顷时，扩大面积会使收益下降．修建面积不宜盲目扩大．③当20.3 6.30x x -+=时，10x =，221x =．大棚面积超过21公顷时，不但不能收益，反而会亏本．（说其中一条即可）第15题一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品，每件的生产成本为18元，按定价40元出售，每月可销售20万件．为了增加销量，公司决定采取降价的办法，经市场调研，每降价1元，月销售量可增加2万件．（1）求出月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；（2）求出月销售利润z （万元）（利润＝售价－成本价）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；（3）请你通过（2）中的函数关系式及其大致图象帮助公司确定产品的销售单价范围，使月销售利润不低于480万元．答案：略．第16题一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m ，宽为2m ，隧道最高点P 位于AB 的中央且距地面6m ，建立如图所示的坐标系（1）求抛物线的解析式；（2）一辆货车高4m ，宽2m ，能否从该隧道内通过，为什么？（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？答案：（1）由题意可知抛物线经过点()()()024682A P B ，，，，，设抛物线的方程为2y ax bx c =++将A P D ，，三点的坐标代入抛物线方程．解得抛物线方程为21224y x x =-++ （2）令4y =，则有212244x x -++=解得1244x x =+=-212x x -=>∴货车可以通过．（3）由（2）可知21122x x -=>∴货车可以通过．第17题如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =，线段10EF =．在EF 上取一点M ，分别以EM MF ，为一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使矩形MFGN ∽矩形ABCD ．令MN x =，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？答案：解：矩形MFGN ∽矩形ABCD ，MN MFAD AB∴=． 2AB AD MN x ==，，2MF x ∴=．102EM EF MF x ∴=-=-． (102)S x x ∴=-2210x x =-+ 2525222x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∴当52x =时，S 有最大值为252．第18题某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A 种产品，则所获利润A y （万元）与投资金额x （万元）之间存在正比例函数关系：A y kx =，并且当投资5万元时，可获利润2万元．B A D MF信息二：如果单独投资B 种产品，则所获利润B y （万元）与投资金额x （万元）之间存在二次函数关系：2B y ax bx =+，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元．（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；（2）如果企业同时对A B ，两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？答案：解：（1）当5x =时，12250.4y k k ===，，， 0.4A y x ∴=，当2x =时， 2.4B y =；当4x =时， 3.2B y =．2.4423.2164a ba b=+⎧∴⎨=+⎩ 解得0.21.6a b =-⎧⎨=⎩∴20.2 1.6B y x x =-+．（2）设投资B 种商品x 万元，则投资A 种商品(10)x -万元，获得利润W 万元，根据题意可得220.2 1.60.4(10)0.2 1.24W x x x x x =-++-=-++ 20.2(3) 5.8W x ∴=--+当投资B 种商品3万元时，可以获得最大利润5.8万元，所以投资A 种商品7万元，B 种商品3万元，这样投资可以获得最大利润5.8万元．第19题如图所示，图（1）是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图，拱高为30m ，支柱3350m A B =，5根支柱1122334455A B A B A B A B A B ，，，，之间的距离均为15m ，1515B B A A ∥，将抛物线放在图（2）所示的直角坐标系中．（1）直接写出图（2）中点135B B B ，，的坐标；（2）求图（2）中抛物线的函数表达式；（3）求图（1）中支柱2244A B A B ，的长度．B 图(1)图(2)l答案：（1）1(30)B -，0，3(030)B ，，5(300)B ，；（2）设抛物线的表达式为(30)(30)y a x x =-+，把3(030)B ，代入得(030)(030)30y a =-+=． 130a =-∴． ∵所求抛物线的表达式为：1(30)(30)30y x x =--+．（3）4B ∵点的横坐标为15， 4B ∴的纵坐标4145(1530)(1530)302y =--+=． 3350A B =∵，拱高为30，∴立柱44458520(m)22A B =+=．由对称性知：224485(m)2A B A B ==。

二次函数abc的关系测试题及答案

二次函数中a、b、c的作用练习题1、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示;它与x轴的两个交点分别为﹣1;0; 3;0．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有A．3个 B．2个 C．1个 D．0个2、已知二次函数的图象如图所示;有下列5个结论：①；②；③；④；⑤;的实数其中正确的结论有 BA. 2个B. 3个C. 4个D. 53、小明从如图所示的二次函数的图象中;观察得出了下面五条信息：①；②；③；④；⑤;你认为其中正确信息的个数有A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4、已知二次函数的图象如图所示;有下列结论：①；②；③；④．其中;正确结论的个数是A. 1B. 2C. 3D. 45、已知抛物线y=ax2+bx+ca＞0的对称轴为直线x=-1;与x轴的一个交点为x 1;0;且0＜x1＜1;下列结论：①9a-3b+c＞0；②b＜a；③3a+c＞0．其中正确结论的个数是A．0 B．1 C．2 D．36、如图为抛物线y=ax2+bx+c的图象;A、B、C为抛物线与坐标轴的交点;且OA=OC=1;AB＞AO;下列几个结论：1abc＜0；2b＞2a；3a-b=-1；44a-2b+1＜0．其中正确的个数是A．4 B．3 C．2 D．1解：1∵该抛物线的开口向上;∴a＞0；又∵该抛物线的对称轴x=-＜0;∴b＞0；而该抛物线与y轴交于正半轴;故c＞0;∴abc＞0；故本选项错误；2由1知;a＞0;-＜0;∴b＞-2a；故本选项错误；3∵OA=OC=1;∴由图象知：C0;1;A-1;0;把C0;1代入y=ax2+bx+c得：c=1;把A-1;0代入y=ax2+bx+c得：a-b=-1;故本选项正确；4由3知;点A的坐标是-1;0．又∵AB＞AO;∴当x=-2时;y＜0;即4a-2b+1＜0；故本选项正确．综上所述;正确的个数是2个．故选C．7.如图所示;二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象经过点-1;2;且与x轴交点的横坐标为x1、x2;其中-2＜x1＜-1、0＜x2＜1．下列结论：①4a-2b+c＜0;②2a-b＜0;③a＜-1;④b2+8a＞4ac中;正确的结论是解：由图知：抛物线的开口向下;则a＜0；抛物线的对称轴x=- ＞-1;且c＞0；①由图可得：当x=-2时;y＜0;即4a-2b+c＜0;故①正确；②已知x=- ＞-1;且a＜0;所以2a-b＜0;故②正确；③已知抛物线经过-1;2;即a-b+c=21;由图知：当x=1时;y＜0;即a+b+c＜02;由①知：4a-2b+c＜03；联立12;得：a+c＜1；联立13得：2a-c＜-4；故3a＜-3;即a＜-1；所以③正确；④由于抛物线的对称轴大于-1;所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2;即：＞2;由于a＜0;所以4ac-b2＜8a;即b2+8a＞4ac;故④正确；因此正确的结论是①②③④．8已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示;则下列结论：①abc＞0；②a+b+c=2；③a＜；④b＞1．其中正确的结论是A．①②B．②③C．③④D．②④解：①∵抛物线的开口向上;∴a＞0;∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上;∴c＜0;∵对称轴为x=＜0;∴a、b同号;即b＞0;∴abc＜0;故本选项错误；②当x=1时;函数值为2;∴a+b+c=2；故本选项正确；③∵对称轴x=＞-1;解得：＜a;∵b＞1;∴a＞;故本选项错误；④当x=-1时;函数值＜0;即a-b+c＜0;1又a+b+c=2;将a+c=2-b代入1;2-2b＜0;∴b＞1故本选项正确；综上所述;其中正确的结论是②④；故选D．9、已知：抛物线y=ax2+bx+ca＜0经过点-1;0;且满足4a+2b+c＞0;以下结论：①a+b＞0；②a+c＞0；③-a+b+c＞0；④b2-2ac＞5a2;其中正确的个数有A．1个B．2个C．3个D．4个解：1因为抛物线y=ax2+bx+ca＜0经过点-1;0;所以原式可化为a-b+c=0----①;又因为4a+2b+c＞0----②;所以②-①得：3a+3b＞0;即a+b＞0；2②+①×2得;6a+3c＞0;即2a+c＞0;∴a+c＞-a;∵a＜0;∴-a＞0;故a+c＞0；3因为4a+2b+c＞0;可以看作y=ax2+bx+ca＜0当x=2时的值大于0;草图为：可见c＞0;∵a-b+c=0;∴-a+b-c=0;两边同时加2c得-a+b-c+2c=2c;整理得-a+b+c=2c＞0;即-a+b+c＞0；4∵过-1;0;代入得a-b+c=0;∴c=b-a;再代入4a+2b+c=3b+3a＞0;即b＞-a∴b＞0;a＜0;c=b-a ＞0;又将c=b-a代入b2-2ac=b2-2ab-a=b2-2ab+2a2;∵b2-2ab=bb-2a;b＞-a;b-2a＞-3a;并且b是正数;∴原式大于3a2．综上可知正确的个数有4个．故选D．10如图;是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分;图象过点A-3;0;对称轴为x=-1．给出四个结论：①b2＞4ac；②b=-2a；③a-b+c=0；④b＞5a．其中正确结论是．解：①∵图象与x轴有交点;对称轴为x==-1;与y轴的交点在y轴的正半轴上;又∵二次函数的图象是抛物线;∴与x轴有两个交点;∴b2-4ac＞0;即b2＞4ac;正确；②∵抛物线的开口向下;∴a＜0;∵与y轴的交点在y轴的正半轴上;∴c＞0;∵对称轴为x==-1;∴2a=b;∴2a+b=4a;a≠0;错误；③∵x=-1时y有最大值;由图象可知y≠0;错误；④把x=1;x=-3代入解析式得a+b+c=0;9a-3b+c=0;两边相加整理得5a-b=-c＜0;即5a＜b．故正确的为①④．1. B2. B3.C．提示：由二次函数的图象知;∴①；②；正确;由x=-1;③正确;由对称轴;得到∴④2a-3b=0是错误．的；x=2;把代入得⑤是正确的;故选C．4. C5.解：∵y=ax2+bx+ca＞0的对称轴为直线x=-1;与x轴的一个交点为x1;0;且0＜x1＜1;∴x=-3时;y=9a-3b+c＞0；∵对称轴是x=-1;则=-1;∴b=2a．∵a＞0;∴b＞a；再取x=1时;y=a+b+c=a+2a+c=3a+c＞0．∴①、③正确．故选C 6.。

二次函数系数a、b、c与图像的关系填空题专题练习(含答案).doc

二次函数系数a 、b 、c 与图像的关系填空题专题练习1、二次函数y=-x2+bx+c 的图象如图所示，试确定b 、c 的符号；b ____________ 0, c ________ 0.(填不等号)5、已知函数y 二ax"+bx+c 的图象如图所示，则下列结论中:®abc>0；②b 二2。

；③a+b+c<0；④a-b+c>0.正确的是 _________ •0； (4) b 2-4ac_ 0.如图，已知抛物线y 二ax'+bx+c(aH0)经过原点和点(-2, 0),则2a -3b0.(填 >、V 或二) 象限.0； (3)c则直线y=abx+c 不过第6、已知如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（—1, 0）和点B,化简：如夕★如护的结杲为：①c;②b;③b—a;④a —b + 2c.其中正确的有________________ .7、二次函数y=-x2+bx + c的图象如图，则一次函数y=bx+c的图象不经过第_______________ 象限.8、若二次函数x2+bx+c的图象如图，则ac 0 （“V” “>”或“二”）9、已知二次函数y二ax'+bx+c（aH0）的图象如图所示，则在下列代数式：①ac；②a+b+c；③4a-2b+c；④2a+b；⑤圧-4ac中，值大于0的序号为__________________10、如图是二次函数y=ax2 + bx + c（a^0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b + c二0；②b>2a；③ax2+bx+c=0 的两根分别为一3 和1:④a—2b+c>0.其中正确的命题是 ______________ ・（只要求填写正确命题的序号）有以下结论：①abc>0；②a - b+c<0；③2d二b；④4a+2b+c>0；⑤若点（・2, y（）和（・3, y2）在该图象上，则yi>y2.其中正确的结论是 ______________ （填入正确结论的序号）.12、如图是二次函数ypx'+bx+c 的部分图像,在下列四个结论中正确的是 _________________① 不等式 ax 2+bx+c>0 的解集是-l<x<5；②a-b+c>0；③b 2-4ac>0；④4a+b<0.下列结论：①4a+b 二0；②9a+c>3b ；③8a+7b+2c>0；④当x>・1时，y 的值随x 值的增大而增大.其中正确的结论有 ______________________ （填序号）14>二次函数y=ax^+bx+c （aHO ）的图象如图所示，下列结论：①2a+b 二0；②a+c>b ；③抛物线与 x 轴的另一个交点为（3, 0）；④abc>0.其中正确的结论是 _____________________ （填写序号）.15、如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图彖的一部分，图彖过点A （ - 3, 0）,对称轴为直线X 二・1,给出四个结论:①b 2>4ac ；②2a+b 二0；③a+b+c>0；④若点B （ - 2. 5, yj , C （ - 0. 5, y 2）为函数图象上的两点，则yi<y2.其中正确结论是 __________________ ・图象过点（-1, 0）,对称轴为直线x=2,16、如图，是二次函数y=ax2+bx+c (aHO)的图象的一部分，给出下列命题：①abc<0；②b>2a；③a+b+c二0④ax'+bx+c二0的两根分别为・3和1；⑤8a+c>0. 其中正确的命题是____________________________ ・17>二次函数y=ax2+bx+c (aHO)的图象如图所示，下列结论:①2a+b>0；②abc<0；③b2 - 4ac>0；④a+b+c<0；⑤la・2b+c<0,其中正确的个数是______________________ .y八18、如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-l.且过点(0.5, 0),有下列结论：①abc>0；②a-2b+4c=0；③25a・ 10b+4c=0；④3b+2c>0；⑤a - b^m (am - b)；其中所有正确的结论是___________________ .(填写正确结论的序号)19、己知二次函数y=ax2+bx+c (aHO)的图象如图所示，纟合出以下结论: ®b2>4ac；②abc>0③2a-b=0；④8a+c<0；⑤9a+3b+c<0.其中结论正确的是___________ .(填正确结论的序号)x=l20、在二次函数y=ax2+bx+c的图彖如图所示，下列说法中：①b‘・4ac<0；②2占>0；③abc>0；®a-b-c>0,说法正确的是(填序号).21>已知二次函数y=ax2+bx+c (aHO)的图象如图所示，有下列5个结论：①c二0；②该抛物线的对称轴是直线x二・1；③当x=l时，y=2a；④am2+bm+a>0 (mH - 1)；⑤设A (100, yi) , B (・100, y2)在该抛物线上，则yi>y2.其中正确的结论有・(写出所有正确结论的序号)22、已知二次函数y=ax2+bx+c (aHO)的图象如图所示，则下列结论：①a+b+c<0；②a - b+c<0；③b+2a<0；④abc>0,其屮正确的是_________________ (填编号)23、如图是二次函数y=ax2+bx+c (aHO)图彖的一部分，现有下列结论：①abc<0；②b?・4ac+5> 0；③2a+b<0；④a-b+c<0；⑤抛物线y=ax2+bx+c (a^O)与x轴的另一个点坐标为(・1, 0), 其屮正确的是(把所有正确结论的序号都填在横线上)y八24、己知实数m, n满足m - n2=l,则代数式n/+2n2+4ni - 1的最小值等于_____________ •25、如图所示，己知二次函数y二ax'+bx+c的图象经过（-1, 0）和（0, -1）两点，则化简代数式_ 乎 + 4 + + 乎 _ 4 二 _______________ .\26如图，抛物线y二ax'+bx+c与x轴交于点A （・1, 0）,顶点坐标为（1, n）,与y轴的交点在（0, 2）、（0, 3）之间（包含端点），则下列结论：①当x>3时，y<0；②3a+b>0；③_2④3WnW4中，正确的是_______________27、已知二次函数y二ax'+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+cVO；②a - b+c> 1；③abc>0；④4a - 2b+c<0；其中正确的结论是 ______________28、已知二次函数ypx'+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（-1, 0） , （3, 0）.对于下列命题：①b-2a=0；②abc<0；③a-2b+4c<0；④8a+c>0.其中正确的有___________________________ .29、已知二次函数y=ax2+bx+c (aHO)的图象如图所示，下列结论:①bV0；②4a+2b+c<0； (3)a・b+c>0；④(a+c) 2<b2.其中正确的是___________________ (把所有正确结论的序号都填在横线上).30^己知二次函数y二ax'+bx + c的图象如图所示，则下列结论：①c二2；②b2—4ac<0；③当x=l时，y的最小值为a+b+c中，正确的有___________________31、已知二次函数y=ax'+bx+c(a^O)的图像如图所示，(1)给出三个结论：①『-4眈>0；②c>0；③b>0,其中正确结论的序号是： ___________ ・(2)给出三个结论：①9a+3b+c〈0：②2c>3b；③8a+c>0，其中正确结论的序号是：________________32、已知抛物线y=ax2+bx+c(a^0)经过点(一1, 0),且顶点在第一象限.有下•列三个结论：①a<0；②a+b+c>0；③一2a >0.其中止确的结论有______________ .丄33>如图，抛物线yi=a (x+2) 2 - 3与2 (x・3) ?+1交于点A(l, 3),过点A作x轴的平行线, 分别交两条抛物线于点B, C.则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②沪1；③当x=0 时，y2 - yi=4④2AB=3AC.34、如图，抛物线"曲"窈-3与卩飞“耳+1交于点八（］,3）,过点A作x轴的平行_2线，分别交两条抛物线于点B，C.则以下结论：①无论x収何值，乃的值总是正数；②■亍；③当x二0时，y2-yi二6；④AB+AC二10；⑤刃时乃°,其中正确结论的个数是： ________________ .35>函数y二x'+bx+c与y二x的图象如图所示，有以下结论：①b'-4c>0；②3b+c+6=0；③当lVx< 3时，x2+ （b - 1） x+c<0；④JQ+C? = 3迥.其屮正确的有 _______________ .36、如图抛物线y=ax2+bx+c与只轴的一个交点A在点（-2, 0）和（-1, 0）之间（包括这两个点）, 定点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，贝9：（1）_____________ abc 0（填或“〉”；（2）___________________________ 8的取值范围是.1、答案为：V >;2、答案为：(1)> (2)< (3)> (4)>；3、答案为：>；4、答案为：四;5、答案为：①③④.6、答案为：①③④;7、答案为：四；8、答案为：<；9、答案为:10、答案为11、答案为12、答案为13、答案为14、答案为15、答案为16、答案为17、答案为18、答案为19、答案为20、答案为21、答案为22、答案为23、答案为24、答案为25、答案为26、答案为27、答案为28、答案为29、答案为30、答案为31、答案为32、答案为33、答案为34、答案为35、答案为①②⑤；①③；②④.①③；①③；①④.①④.①③④⑤.3.①③⑤.①②⑤；②③④.①②④⑤.②③.②、④.2a；①③.①③.©:①③④.①③；①；①③①②③；①④.①②④⑤,②③④；参考答案36、答案为：<。

二次函数的图像与系数a、b、c的关系经典习题

A B CD yOx yO x yO x yO x yO x 一、二次函数图像与系数a 、b 、c 、关系1、二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠０）的图象如图2所示，则点c M b a ⎛⎫⎪⎝⎭，在（）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 2、如图，若a ＜0，b ＞0，c ＜0，则抛物线y=ax 2＋bx ＋c 的大致图象为（）3、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列说法不正确的是（）A 、240b ac ->B 、0a >C 、0c >D 、02ba-< 4、二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图3所示，则下列关于a ，b ，c 间关系的判断正确的是（） A 、ab ＜0 B 、bc ＜0 C 、a +b +c ＞0 D 、a -b +c ＜05、二次函数c bx ax y ++=2，图象如图所示，则反比例函数xab y =的图象的两个分支分别在第象限。

6、已知反比例函数xky =的图象如图所示，则二次函数222k x kx y +-=的图象大致为( )7、二次函数y=ax 2与一次函数y=ax ＋a 在同一坐标系中的图象大致为（）8、函数y=ax 2＋bx ＋c 和y=ax ＋b 在同一坐标系中，如图所示，则正确的是（）9、在同一直角坐标系内，二次函数y=ax 2＋（a ＋c ）x ＋c 与一次函数y=ax ＋c 的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（）10、二次函数y=ax 2＋bx ＋c 与一次函数y=ax ＋c 在同一坐标系中的图象大致是图中的（）11、在同一坐标系中，函数y=ax 2＋bx 与y=xb的图象大致是图中的（）12、已知a ＜0，b ＞0，c ＞0，那么抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 13、已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图1所示，则a ，b ，c 满足（）A ．a ＜0，b ＜0，c ＞0B ．a ＜0，b ＜0，c ＜0C ．a ＜0，b ＞0，c ＞0D ．a ＞0，b ＜0，c ＞014、二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠０）的图象如图2所示，则点c M b a ⎛⎫⎪⎝⎭，在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限15、已知二次函数2y ax bx c =++（其中000a b c >><，，），关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x 轴的交点至少有一个在y 轴的右侧．以上说法正确的个数为（）A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、⊿的符号的判定例1、下图中⊿0<的是（）（A ）（B ）（C ）（D ）（图3）练习：不论x 为何值,函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的值恒大于0的条件是( )A.a>0,△>0;B.a>0, △<0;C.a<0, △<0;D.a<0, △<0 三、含a 、b 的代数式符号的判定例1、抛物线y=x 2+2x-4的对称轴是直线（）.A.x=-2B.x=2C.x=-1D.x=1Oy x Oy x y x O y x O ..C A y xOy–1 3 3O xP1 -1O x =1yxy–1 3 3O xP 1 练习：二次函数)1)(3(2-+-=x x y 的图象的对称轴是直线________________．例2、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图3所示，则①20a b +>②20a b +<③02ba-<④20a b -<⑤20a b ->中正确的有________________________.(请写出序号即可)图4 图5练习：1、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图4所示，则下列说法不正确的是（） A ．240b ac ->B ．0a >C ．0c >D ．02ba-< 例1、如图5，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，且经过点P （3，0），则cb a +-的值为（）A. 0 B. －1 C. 1 D. 2练习：已知a －b ＋c=0 9a ＋3b ＋c=0,则二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图像的顶点可能在（）（A ）第一或第二象限；（B ）第三或第四象限；（C ）第一或第四象限；（D ）第二或第三象限例2已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，那么下列判断正确的是（）(A)abc ＞0 （B ）ac b 42-＞0(C)2a+b ＞0 （D ）c b a +-24＜0练习：1、已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，有下列4个结论：①0abc >；②b a c <+；③420a b c ++>；④240b ac ->；其中正确的结论有（）A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2、抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如图6，OA=OC ，则（）（A ） ac+1=b; （B ） ab+1=c; （C ）bc+1=a; （D ）以上都不是图4 图5 图6图2y 0 1x-1 图1O xy-11作业：1、若二次函数c bx ax y ++=2中，a ＜0，b ＞0，c ＜0，042>-ac b ，则此二次函数图像不经过（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2、当a>0, b<0,c>0时,下列图象有可能是抛物线y=ax 2+bx+c 的是（）3、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图1所示，则下列结论中，正确的个数是（）①0<++c b a ；②0>+-c b a ；③0>abc ；④a b 2= （A ）4（B ）3（C ）2 （D ）14、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图2所示，那么下列判断不正确的是（） (A)abc ＞0；（B ）ac b 42-＞0；(C)2a+b ＞0；（D ）c b a +-24＜05、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则 abc ，ac b 42-，b a +2，c b a ++这四个式子中，值为正数的有（）A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个6、二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图3所示，则下列关于a ，b ，c 间关系的判断正确的是（） A ．ab ＜0 B ．bc ＜0 C ．a +b +c ＞0 D ．a -b +c ＜07、(2008年安徽省)如图为二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象，在下列说法中：① ac ＜0； ②方程ax 2＋bx ＋c=0的根是x 1= －1, x 2= 3 ② a ＋b ＋c ＞0 ④当x ＞1时，y 随x 的增大而增大。

中考数学复习之二次函数的图像与性质,考点过关与基础练习题

18. 二次函数的应用➢ 知识过关1.二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 图像与系数a 、b 、c 的关系(1) 如果抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴有两个交点，则一元二次方程02=++c bx ax 有两个_____实数根.(2) 如果抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴只有1个交点，则一元二次方程02=++c bx ax 有两个_____实数根.(3) 如果抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴无交点，则一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根.3. 二次函数与一次交点一次函数)0(≠+=k n kx y 的图像L 与二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程nkx y cbx ax y +=++=2{的解的个数确定 (1)方程组有两组不同的解⇔L 与G 有______交点； (2)方程组只有一组解⇔L 与G 只有______交点； (3)方程组无解⇔L 与G_______交点. 4. 二次函数的实际应用建立二次函数模型—求出二次函数解析式—结合函数解析式—解答问题.➢ 考点分类考点1 二次函数图像与系数的关系例1二次函数的图像如图所示，现有下列结论：①042>-ac b ；①a>0;①b>0；①c>0; ①039<++c b a ，则其中结论正确的有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个考点2二次函数的实际应用例2某文具店购进一批纪念册，线本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y(本)与每本纪念册的售价x(元)之间满足一次函数关系；当销售单价为22元时，销量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本.(1)请直接写出y 与x 的函数关系式；(2)当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ (3)设该文具店每周销售这种纪念册所获昨的利润为w 元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？考点3二次函数的综合应用例3如图所示，直线与抛物线相交于点A 和点B ，点P 是线段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作PC①x 轴于点C ，交抛物线于点D. (1)求抛物线的解析式；(2)是否存在这样的P 点，使线段PD 的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；(3)当①PAD 为直角三角形时，求点P 的坐标.➢真题演练1．二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．2．函数y＝|ax2+bx+c|（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象是由函数y＝ax2+bx+c（a＞0，b2﹣4ac ＞0）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（）①2a+b＝0；②c＝3；③abc＞0；④将图象向上平移1个单位后与直线y＝5有3个交点．A．①②B．①③C．②③④D．①③④3．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（0，1）．有以下四个结论：①abc＞0，②a﹣b+c＞1，③3a+c＜0，④若顶点坐标为（﹣1，2），当m≤x≤1时，y有最大值为2、最小值为﹣2，此时m的取值范围是﹣3≤m≤﹣1．其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个4．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象关于直线x＝1对称，与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点．若﹣2＜x1＜﹣1，则下列四个结论：①3＜x2＜4；②3a+2b＞0；③b2＞a+c+4ac；④a＞c＞b，正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，并与x轴交于A，B两点，若OA＝5OB，则下列结论中：①abc＞0；②（a+c）2﹣b2＝0；③9a+4c＜0；④若m为任意实数，则am2+bm+2b≥4a，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．46．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x=−12，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x 的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（）A．①③B．②④C．③④D．②③7．如图，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则下列结论：①abc＞0；②二次函数的最大值为a+b+c；③a﹣b+c＜0；④b2﹣4ac＜0；⑤当y＞0时，﹣1＜x＜3．⑥3a+c＝0；其中正确的结论有．8．公园草坪上，自动浇水喷头喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的离地高度y（米）关于水珠与喷头的水平距离x（米）的函数解折武是y=−13x2+43x（0≤x≤4）．那么水珠的最大离地高度是米．9．东方商厦将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销量就增加1个，为了获取最大利润，则应降价元．10．中国跳水队被称为“梦之队”，跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的抛物线．已知跳板AB长为1米，距水面的高OA为3米，C 为入水点，训练时跳水曲线在离起跳点B水平距离1米时达到距水面最大高度k米，分别以OC、OA所在直线为横轴和纵轴，点O为坐标原点建立平面直角坐标系．若跳水运动员在入水时点C与点O的距离在3.5米至4米（含3.5米和4米）才能达到训练要求，则k的取值范围是．11．随着我国经济、科技的进一步发展，我国的农业生产的机械化程度越来越高，过去的包产到户就不太适合机械化的种植，现在很多地区就出现了一种新的生产模式，很多农民把自己的承包地转租给种粮大户或者新型农村合作社，出现了大农田，这些农民则成为合作社里的工人，这样更有利于机械化种植．某地某种粮大户，去年种植优质水稻200亩，平均每亩收益480元．计划今年多承包一些土地，已知每增加一亩，每亩平均收益比去年每亩平均收益减少2元．（1）该大户今年应承租多少亩土地，才能使今年总收益达到96600元？（2）该大户今年应承租多少亩土地，可以使今年总收益最大，最大收益是多少？12．在新农村建设过程中，渣濑湾村采用“花”元素打造了一座花都村庄．如图，一农户用长为25m 的篱笆，一面利用墙，围成有两个小门且中间隔有一道篱笆的长方形花圃．已知小门宽为1m ，设花圃的宽AB 为x （m ），面积为S （m 2）．（1）求S 关于x 的函数表达式．（2）如果要围成面积为54m 2的花圃，AB 的长为多少米？（3）若墙的最大长度为10m ，则能围成的花圃的最大面积为多少？并求此时AB 的长．➢ 课后练习1．已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为x ＝1，与x 轴正半轴的交点为A （3，0），其部分图象如图所示，有下列结论：①abc ＞0； ②2c ﹣3b ＜0； ③5a +b +2c ＝0；④若B （43，y 1）、C （13，y 2）、D （−13，y 3）是抛物线上的三点，则y 1＜y 2＜y 3．其中正确结论的个数有（）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知抛物线y =12x 2﹣bx +c ，当x ＝1时，y ＜0；当x ＝2时，y ＜0．下列判断：①b 2＞2c ；②若c ＞1，则b ＞32；③已知点A （m 1，n 1），B （m 2，n 2）在抛物线y =12x 2﹣bx +c 上，当m 1＜m 2＜b 时，n 1＞n 2；④若方程12x 2﹣bx +c ＝0的两实数根为x 1，x 2，则x 1+x 2＞3．其中正确的有（）个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．如图是二次函数y ＝ax 2+bx +c 图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为直线x ＝﹣1，①b 2﹣4ac ＞0②4a +c ＜0③当﹣3≤x ≤1时，y ≥0④若B(−52，y 1)，C(−12，y 2)为函数图象上的两点，则y 1＞y 2，以上结论中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于点A （3，0），与y 轴的交点B 在（0，3）与（0，4）之间（不包括这两点），对称轴为直线x ＝1．下列结论：①abc ＜0；②43a +3b +c ＞0；③−43＜a ＜−1；④若x 1，x 2（x 1＜x 2）是方程ax 2+bx +c ＝m （m ＜0）的两个根，则有x 1＜﹣1＜3＜x 2．其中正确结论的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）与x 轴交于A （﹣3，0）、B 两点，与y 轴交于点C ，点（m ﹣5，n ）与点（3﹣m ，n ）也在该抛物线上．下列结论：①点B 的坐标为（1，0）；②方程ax 2+bx +c ﹣2＝0有两个不相等的实数根；③54a +c ＜0；④当x ＝﹣t 2﹣2时，y ≥c ．正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且抛物线经过点（1，0），下面给出了四个结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c＞0；③5a+c＜b；④a﹣b=13c．其中结论正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，物体从点A抛出，物体的高度y（m）与飞行时间t（s）近似满足函数关系式y=−1 5（t﹣3）2+5．（1）OA＝m．（2）在飞行过程中，若物体在某一个高度时总对应两个不同的时间，则t的取值范围是．8．某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是S＝﹣0.25t2+8t，无人机着陆后滑行秒才能停下来．9．图1是一个斜坡的横截面，tanα=12，斜坡顶端B与地面的距离为3米，为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，喷头A喷出的水柱在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分，设喷出水柱的竖直高度为y（单位：米）（水柱的竖直高度是指水柱与地面的距离），水柱与喷头A的水平距离为x（单位：米），图2记录了y与x 的相关数据，则y与x的函数关系式为．10．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2，则小球飞出s时，达到最大高度．11.开学季，福山振华量贩超市从厂家购进A、B两种型号的书包，两次购进书包的情况如表：进货批次A型书包（个）B型书包（个）总费用（元）一1002008000二20030013000（1）求A、B两种型号的书包进价各是多少元？（2）在销售过程中，A型书包因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B型书包的销售量，超市决定对B型书包进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B型书包降价多少元时，每天售出B型书包的利润达到最大？最大利润是多少？（3）第三次进货用10000元钱购进这两种书包，如果每销售出一个A型书包可获利9元，售出一个B型书包可获利6元，超市决定每售出一个A型书包就为当地“新冠疫情防控”捐b元用于购买防控物资．若A、B两种型号的书包在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b为多少？利润为多少？➢冲击A+已知△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC．（1）如图①，当∠BAC＝120°时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式：；（2）如图②，当∠BAC＝90°时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）如图③，若BC＝5，BD＝4，求ADAB+AC的值．。

专题训练(三) 二次函数图象信息题归类

专题训练(三) 二次函数图象信息题归类
4．[2018·安顺] 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图3－ ZT－5，分析下列四个结论：①abc＜0；②b2－4ac＞0；③3a＋c
＞0；④(a＋c)2＜b2.其中正确的结论有( B )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
图3－ZT－5
专题训练(三) 二次函数图象信息题归类
0，所以 ac＞0，选项 A 错误；由对称轴直线 x＝－2ba>0，知 b＜0，选项 B 正确；由抛物线与 x 轴有两个不同的交点，知 b2－4ac＞0，选项 C 错误；当 x＝1 时， y＞0，即 a＋b＋c＞0，选项 D 错误．
专题训练(三) 二次函数图象信息题归类
2．[2018·青岛] 已知一次函数 y＝bax＋c 的图象如图 3－ZT－2，则二次函数 y＝ax2＋bx＋c 在平面直角坐标系中的图象可能是( A )
特殊若a－b＋c>0，则x＝－1时，y>0
关系当对称轴为直线x＝1时，2a＋b＝0；当对称轴为直线x＝－1
时，2a－b＝0；判断2a＋b大于或小于0，看对称轴与直线x＝
1的位置关系；判断2a－b大于或小于0，看对称轴与直线x＝
－1的位置关系
专题训练(三) 二次函数图象信息题归类
类型之一利用二次函数图象考查以上表格中的问题
专题训练(三) 二次函数图象信息题归类
5．[2017·广安]如图3－ZT－6所示，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶
点为B(－1，3)，与x轴的交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，
以下结论：①b2－4ac＝0；②a＋b＋c>0；③2a－b＝0；④c－a
＝3.其中正确结论的个数是( B )

专题：二次函数系数abc与图象的关系(压轴题)

专题二次函数的图象与系数a 、b 、c 的关系1．（2019·黑龙江省中考模拟）如图，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象与x 轴正半轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，对称轴为直线x=2，且OA=OC ，则下列结论：①abc ＞0；①9a+3b+c ＜0；①c ＞﹣1；①关于x 的方程ax 2+bx+c=0（a≠0）有一个根为1a-，其中正确结论的个数为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】解：由图象开口向下，可知a<0，与y 轴的交点在x 轴的下方，可知c<0，又对称轴方程为x=2，所以02ba->，所以b>0，故①正确；由图象可知当x=3时，y>0，①9a+3b+c>0，故①错误；由图象可知OA<1，①OA=OC ，①OC<1，即-c<1，c>-1，故①正确：假设方程的一个根为x=1a -，把x=1a -代入方程可得10bc a a-+= ，整理可得ac-b+1=0，两边同时乘c 可得ac 2-bc+c=0，即方程有一个根为x=-c ，由①可知-c=OA ，而x=OA 是方程的根， ①x=-c 是方程的根，即假设成立，故①正确；综上可知正确的结论有三个；故答案为C.2．（2019·山东省初三二模）二次函数 y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，对称轴是直线 x ＝1，下列结论：①ab ＜0；①b 2＞4ac ；①a +b +2c ＜0；①3a +c ＜0．其中正确的是（） A ．①① B ．①①C ．①①①D ．①①①①【答案】C【解析】①抛物线开口向上，①a>0，①抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，①c<0，①ab<0，所以①正确； ①抛物线与x 轴有2个交点，①①=b 2-4ac>0，所以①正确； ①x=1时，y<0，①a+b+c<0，而c<0，①a+b+2c<0，所以①正确； ①抛物线的对称轴为直线x=-b2a=1，①b=-2a ，而x=-1时，y>0，即a-b+c>0，①a+2a+c>0，所以①错误．3．（2019·合肥市第四十八中学初三月考）如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象与x 轴交于点A （﹣1，0），与y 轴的交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc ＞0 ①4a+2b+c ＞0 ①4ac ﹣b 2＜8a ①13＜a ＜23①b ＞c ．其中含所有正确结论的选项是（） A ．①① B ．①①① C ．①①①D ．①①①①【答案】D 【解析】①①函数开口方向向上，①a ＞0；①对称轴在y 轴右侧，①ab 异号，①抛物线与y 轴交点在y 轴负半轴，①c ＜0，①abc ＞0，故①正确；①①图象与x 轴交于点A （﹣1，0），对称轴为直线x=1，①图象与x 轴的另一个交点为（3，0），①当x=2时，y ＜0，①4a+2b+c ＜0，故①错误；①①图象与x 轴交于点A （﹣1，0），①当x=﹣1时，y=()()211a b c -+⨯-+=0，①a ﹣b+c=0，即a=b ﹣c ，c=b ﹣a ，①对称轴为直线x=1，①2ba-=1，即b=﹣2a ，①c=b ﹣a=（﹣2a ）﹣a=﹣3a ，①4ac ﹣2b =4•a•（﹣3a ）﹣()22a -=216a -＜0，①8a ＞0，①4ac ﹣2b ＜8a ，故①正确；①①图象与y 轴的交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，①﹣2＜c ＜﹣1，①﹣2＜﹣3a ＜﹣1，①23＞a ＞13，故①正确；①①a ＞0，①b ﹣c ＞0，即b ＞c ，故①正确4．（2019·安徽省初三期末）抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为D （﹣1，2），与x 轴的一个交点A 在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b 2﹣4ac ＜0；①当x ＞﹣1时，y 随x 增大而减小；①a+b+c ＜0；①若方程ax 2+bx+c ﹣m=0没有实数根，则m ＞2； ①3a+c ＜0．其中正确结论的个数是（） A ．2个 B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C 【解析】（1）①抛物线与x 轴有两个交点，①b 2−4ac >0，①结论①不正确．（2）抛物线的对称轴x =−1，①当x >−1时，y 随x 增大而减小，①结论①正确．（3）①抛物线与x 轴的一个交点A 在点(−3,0)和(−2,0)之间，①抛物线与x 轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间，①当x =1时，y <0，①a +b +c <0，①结论①正确．（4）①y =ax 2+bx +c 的最大值是2，①方程ax 2+bx +c −m =0没有实数根，则m >2，①结论①正确．（5）①抛物线的对称轴x =2ba-=−1，①b =2a ， ①a +b +c <0，①a +2a +c <0，①3a +c <0，①结论①正确．综上，可得正确结论的序号是：①①①①,正确的结论有4个.5．（2019·山东省中考模拟）如图，已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x ＝1．有下列4个结论：①abc ＞0；①4a +2b +c ＞0；①2c ＜3b ；①a +b ＞m （am +b ）（m 是不等于1的实数）．其中正确的结论个数有（） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】解：①由图象可知：a ＜0，c ＞0， ①﹣2ba＞0，①b ＞0，①abc ＜0，故①错误； ①由对称知，当x ＝2时，函数值大于0，即y ＝4a+2b+c ＞0，故①正确； ①当x ＝3时函数值小于0，y ＝9a+3b+c ＜0，且x ＝2ba-＝1，即a ＝2b -，代入得9（2b-）+3b+c ＜0，得2c ＜3b ，故①正确； ①当x ＝1时，y 的值最大．此时，y ＝a+b+c ，而当x ＝m 时，y ＝am 2+bm+c ，所以a+b+c ＞am 2+bm+c ，故a+b ＞am 2+bm ，即a+b ＞m （am+b ），故①正确．6．（2019·山东省中考模拟）如图是二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的一部分，对称轴为12x =，且经过点（2，0）下列说法：①abc<0；①-2b+c=0；①4a+2b+c<0；①若(-52，y 1)，(52，y 2)是抛物线上的两点，则y 1<y 2；①1142a b +>m(am+b)其中(m≠12)其中说法正确的是A ．①①①①B ．①①C ．①①D ．①①①【答案】A【解析】解：①由抛物线的开口可知：a ＜0，又抛物线与y 轴的交点可知：c ＞0，对称轴−2ba>0，①b ＞0，①abc ＜0，故①正确； ①将（2，0）代入y=ax 2+bx+c （a≠0），①4a+2b+c=0， ①−221b a =，①a=-b ，①-4b+2b+c=0，①-2b+c=0，故①正确； ①由①可知：4a+2b+c=0，故①错误； ①由于抛物线的对称轴为x=12，①（−52，y 1）与（72，y 1）关于x=12对称，由于x ＞12时，y 随着x 的增大而减小， ①72＞52，①y 1＜y 2，故①正确； ①由图象可知：x=12时，y 可取得最大值，且最大值为14a+12b ，①m≠12①14a+12b+c ＞am 2+bm+c ，①14a+12b ＞m(am+b)，故①正确； 7．（2019·山东省中考模拟）如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =-，与x 轴的一个交点在()3,0-和()2,0-之间，其部分图象如图所示，则下列结论：()2140b ac ->；()22a b =；()3点17,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、23,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、35,4y ⎛⎫ ⎪⎝⎭是该抛物线上的点，则123y y y <<；()4320b c +<；()()5t at b a b +≤-（t 为任意实数）．其中正确结论的个数是（） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】（1）抛物线与x 轴有两个交点，所以方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）有两个不相等的实数根，所以b 2﹣4ac ＞0，此结论正确；（2）对称轴为x =﹣1=﹣2ba，即b =2a ，此结论正确；（3）由二次函数的对称性可得，x =54与x =﹣134的函数值相等，当x ＜﹣1时，y 随着x 的增大而增大，所以y 1＜y 3＜y 2，此结论错误；（4）由图像得，x =﹣3时，y ＜0，即9a ﹣3b +c ＜0，因为b =2a ，所以2b×9﹣3b +c ＜0，即3b +2c ＜0，此结论正确；（5）要证明t (at +b )≤a ﹣b ，即要证明at 2+bt +c ≤a ﹣b +c ，即要证明抛物线在x =﹣1时取最大值，由图像可得当x =﹣1时，y 最大，此结论正确. 正确结论的个数是4.8．（2018·江苏省中考模拟）二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，下列四个结论：①4a+c ＜0；①m （am+b ）+b ＞a （m≠﹣1）；①关于x 的一元二次方程ax 2+（b ﹣1）x+c=0没有实数根；①ak 4+bk 2＜a （k 2+1）2+b （k 2+1）（k 为常数）．其中正确结论的个数是（） A ．4个 B ．3个C ．2个D ．1个【答案】D 【解析】①因为二次函数的对称轴是直线x=﹣1，由图象可得左交点的横坐标大于﹣3，小于﹣2，所以﹣2ba=﹣1，可得b=2a ，当x=﹣3时，y ＜0，即9a ﹣3b+c ＜0，9a ﹣6a+c ＜0，3a+c ＜0， ①a ＜0，①4a+c ＜0，所以①选项结论正确；①①抛物线的对称轴是直线x=﹣1，①y=a ﹣b+c 的值最大，即把x=m （m≠﹣1）代入得：y=am 2+bm+c ＜a ﹣b+c ，①am 2+bm ＜a ﹣b ，m （am+b ）+b ＜a ，所以此选项结论不正确； ①ax 2+（b ﹣1）x+c=0，①=（b ﹣1）2﹣4ac ， ①a ＜0，c ＞0，①ac ＜0，①﹣4ac ＞0，①（b ﹣1）2≥0，①①＞0，①关于x 的一元二次方程ax 2+（b ﹣1）x+c=0有实数根； ①由图象得：当x ＞﹣1时，y 随x 的增大而减小，①当k 为常数时，0≤k 2≤k 2+1，①当x=k 2的值大于x=k 2+1的函数值，即ak4+bk2+c＞a（k2+1）2+b（k2+1）+c，ak4+bk2＞a（k2+1）2+b（k2+1），所以此选项结论不正确；。

专题01 二次函数图象与系数a、b、c相关的判断问题-2022中考数学二次函数重点题型全国通用解析版

专题01 二次函数图象与系数a 、b 、c 相关结论的判断问题一、单选题1．（2021·山东烟台招远市中考一模）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④30a c +<；⑤1c a ->．其中所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．①③④C ．①②③④D ．①②③④⑤【答案】D【分析】从抛物线的开口方向，对称轴，与坐标轴的交点，函数的增减性等去分析判断即可．【详解】∵从图象上看出,直线x =1与抛物线的交点位于第四象限，∴0a b c ++<，故①正确；∵从图象上看出,直线x = -1时，函数有最大值，y =a -b +c ，当x =0时，函数值为y =c =1，∴1a b c -+>，故②正确；∵-12b a=-＜0， ∴ab ＞0，∵c =1,∴0abc >，故③正确；∵0a b c ++<，b =2a ，∴30a c +<，故④正确；∵1a b c -+>，b =2a ，∴1c a ->，故⑤正确．故选D ．2．（2021·四川广安市中考真题）二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列结论：①0abc >，②420a b c -+<，③()a b x ax b -≥+，④30a c +<，正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，与y 轴交点可得a ，b ，c 的符号，从而判断①；再根据二次函数的对称性，与x 轴的交点可得当x =-2时，y ＞0，可判断②；再根据x =-1时，y 取最大值可得a -b +c ≥ax 2+bx +c ，从而判断③；最后根据x =1时，y =a +b +c ，结合b =2a ，可判断④．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵对称轴为直线x =-1，即12b a-=-， ∴b =2a ，则b ＜0，∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c ＞0，∴abc ＞0，故①正确；∵抛物线对称轴为直线x =-1，与x 轴的一个交点横坐标在0和1之间，则与x 轴的另一个交点在-2和-3之间，∴当x =-2时，y =4a -2b +c ＞0，故②错误；∵x =-1时，y =ax 2+bx +c 的最大值是a -b +c ，∴a -b +c ≥ax 2+bx +c ，∴a -b ≥ax 2+bx ，即a -b ≥x （ax +b ），故③正确；∵当x =1时，y =a +b +c ＜0，b =2a ，∴a +2a +c =3a +c ＜0，故④正确；故选：C ．【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）③常数项c 决定抛物线与y 轴交点．抛物线与y 轴交于（0，c ）．3．（2021·广东肇庆市九年级月考）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，给出以下结论：①24b ac >；②0abc >；③20a b -=；④80a c +<；⑤930a b c ++<．其中结论正确的个数有( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】观察抛物线与x 轴的交点情况即可对①作出判断；根据抛物线的开口方向、对称轴的位置及抛物线与y 轴的交点位置即可对②作出判断；根据抛物线的对称轴为直线x =1，即可对③作出判断；观察图象当x =-2时，y >0，从而可对④作出判断；观察图象当x =3时，y <0，从而可对⑤作出判断．【详解】抛物线与x 轴有两个交点，240b ac ∴->，即24b ac >，故①正确；抛物线开口向上，0a ∴>，对称轴在y 轴的右侧，0b ∴<，抛物线与y 轴交于负半轴，0c ∴<，0abc ∴>，故②正确；12b a-=， 20a b ∴+=，故③错误；2x =-时，0y >，420a b c ∴-+>，即80a c +>，故④错误；根据抛物线的对称性可知，当3x =时，0y <，930a b c ∴++<，故⑤正确，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及数形结合；对于此类问题，一般是看抛物线的开口方向可确定a 的符号、看对称轴的位置可确定b 的符号、看抛物线与y 轴的交点位置确定c 的符号，看抛物线与x 轴交点的个数确定判别式的符号，根据函数图象可确定2ax bx c ++的符号．关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．4．（2021·黑龙江牡丹江市中考真题）如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点为（1，n ），与x 轴的一个交点B （3，0），与y 轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间．下列结论中：①ab c >0；②﹣2＜b 53<-；③（a ＋c ）2﹣b 2＝0；④2c ﹣a ＜2n ，则正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】根据二次函数的图象和性质逐一进行判断即可【详解】解：∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的开口向上，∴a ＞0，∵抛物线线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点坐标为（1，n ），∴对称轴x =12b a-=， ∴b =-2a ＜0，∵抛物线与y 轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间∴-3＜c ＜-2＜0， ∴ab c>0；故①正确； ∵抛物线线x 轴的一个交点B （3，0），∴9a +3b +c =0，抛物线线x 轴的一个交点（-1，0），∵b =-2a∴c =32b ， ∴-3＜32b ＜-2， ∴﹣2＜b 43<-，故②错误； ∵抛物线线x 轴的一个交点（-1，0），∴a -b +c =0，∴（a ＋c ）2﹣b 2＝（a +b +c ）（a -b +c ）=0，故③正确；∵a ＞0，∴-a ＜0∵b =-2a∴3a +2b =-a ＜0∴2c ﹣a ＞2（a +b +c ），∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点为（1，n ），∴a +b +c =n ，∴2c ﹣a ＞2n ；故④错误；故选：B【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0），明确以下几点：①二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；③常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）．5．（2021·湖北荆门中考真题）抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数）开口向下且过点(1,0)A ，(,0)B m （21m -<<-），下列结论：①20b c +>；②20a c +<；③ (1)0a m b c +-+>；④若方程()(1)10a x m x ---=有两个不相等的实数根，则244ac b a -<．其中正确结论的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A【分析】根据已知条件可判断0c >，0a b <<，据此逐项分析解题即可．【详解】解：抛物线开口向下0a ∴<把(1,0)A ，(,0)B m 代入2y ax bx c =++得200a b c am bm c ++=⎧⎨++=⎩2am bm a b ∴+=+20am bm a b ∴+--=(1)()0m am a b -++=21m -<<-0am a b ∴++=,(1)am c a m b ∴=+=-0c ∴>110m ∴-<+<10m +<11022m +∴-<< 1022b a∴-<-< 10b a∴>> 0a b ∴<<①220b c b a b b a +=--=->，故①正确；②220a c a a b a b +=--=-<，故②正确；③ (1)2230a m b c b c b a b b a +-+=-+=---=-->，故③正确；；④若方程()(1)10a x m x ---=有两个不相等的实数根，即2(1)10ax a m x am -++-=22(1)4(1)a m a am ∆=+--222(1)44a m a m a =+-+2244a b b a a a--=-⋅+ 22444b a ab a =+++24()4b a a b a =+++2440b ac a =-+>244ac b a ∴-<，故④正确，即正确结论的个数是4，故选：A ．6．（2021·四川达州市中考真题）如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）经过点()2,0，且对称轴为直线12x =，有下列结论：①0abc >；②0a b +>；③4230a b c ++<；④无论a ，b ，c 取何值，抛物线一定经过,02c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；⑤2440am bm b +-≥．其中正确结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】 ①根据图象开口向上，对称轴位置，与y 轴交点分别判断出a ,b ,c 的正负 ②根据对称轴公式2b x a =-，12x =判断,a b 的大小关系 ③根据2x =时，0y =，比较423a b c ++与0的大小；④根据抛物线的对称性，得到2x =与1x =-时的函数值相等结合②的结论判断即可⑤根据抛物线对称轴找到顶点坐标的纵坐标，比较任意一点与顶点的纵坐标值，即比较函数值的大小即可判断结论．【详解】①图象开口朝上，故0a > ，根据对称轴“左同右异”可知0b <，图象与y 轴交点位于x 轴下方，可知c <00abc ∴>故①正确； ②122b x a =-=得=-a b 0a b ∴+=故②错误；③2y ax bx c =++经过()2,0420a b c ∴++=又由①得c <04230a b c ∴++<故③正确；④根据抛物线的对称性，得到2x =与1x =-时的函数值相等∴ 当1x =-时0y =，即0a b c -+=a b =-20a c ∴+=即12c a=- ∴ 2y ax bx c =++经过,02c a ⎛⎫⎪⎝⎭，即经过(1,0)- 故④正确； ⑤当12x =时,1142y a b c =++, 当x m =时,2y am bm c =++ 0a > ∴ 函数有最小值1142a b c ++∴ 21142am bm c a b c ++≥++ 化简得2440am bm b +-≥，故⑤正确．综上所述：①③④⑤正确．故选D ．【点睛】本题考查二次函数图象与性质，二次函数解析式中系数与图象的关系，结合图象逐项分析,结已知条件得出结论是解题的关键．7．（2021·广西福绵九年级期中）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴为直线1x =，给出下列结论：①0abc >；②当2x >时，0y >；③80a c +>；④30a b +<，其中正确的结论有( )A ．①②B ．①③C ．①③④D ．②④【答案】B【分析】该函数开口方向向上，则a ＞0，由对称轴可知，b ＝−2a ＜0，与y 轴交点在y 轴负半轴，则c ＜0，再根据一些特殊点，比如x ＝1，x ＝−1，顶点等进行判断即可．【详解】解：函数开口方向向上，0a ∴>，对称轴为直线1x =，即12b a-=， 20b a ∴=-<，抛物线与y 轴交点在y 轴负半轴，0c ∴<，0abc ∴>，故①正确，由图象可知，当0x =时，0y c =<，由函数的对称性可知，2x =时，0y c =<，且当1x >时，y 随x 的增大而增大，故②错误，当2x =-时，420y a b c =-+>，即80a c +>，故③正确，320a b a b a a +=++=>，故④错误，综上，正确的是①③，故选：B ．【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换是解题关键．8．（2021·山东日照中考真题）抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴是直线1x =-，其图象如图所示．下列结论：①0abc <；②()()2242a c b +<；③若()11,x y 和()22,x y 是抛物线上的两点，则当1211x x +>+时，12y y <；④抛物线的顶点坐标为()1,m -，则关于x 的方程21ax bx c m ++=-无实数根．其中正确结论的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【分析】 ①由图象开口方向，对称轴位置，与y 轴交点位置判断a ，b ，c 符号．②把2x =±分别代入函数解析式，结合图象可得22(4)(2)a c b +-的结果符号为负．③由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点y 值越大．④由抛物线顶点纵坐标为m 可得2ax bx c m ++，从而进行判断21ax bx c m ++=-无实数根．【详解】解：①抛物线图象开口向上，0a ∴>，对称轴在直线y 轴左侧，a ∴，b 同号，0b >，抛物线与y 轴交点在x 轴下方，0c ∴<，0abc ∴<，故①正确．②22(4)(2)(42)(42)a c b a c b a c b +-=+++-，当2x =时242ax bx c a c b ++=++，由图象可得420a c b ++>，当2x =-时，242ax bx c a c b ++=+-，由图象可得420a c b +-<，22(4)(2)0a c b ∴+-<，即22(4)(2)a c b +<，故②正确．③11|1||(1)|x x +=--，22|1||(1)|x x +=--，12|1||1|x x +>+，∴点1(x ，1)y 到对称轴的距离大于点2(x ，2)y 到对称轴的距离，12|y y ∴>，故③错误． ④抛物线的顶点坐标为(1,)m -，y m ∴，2ax bx c m ∴++，21ax bx c m ∴++=-无实数根．故④正确，综上所述，①②④正确，故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，解题关键是熟练掌握二次函数2(0)y ax bx c a =++≠中a ，b ，c 与函数图象的关系．9．（2021·山东枣庄中考真题）二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，对称轴为12x =，且经过点()2,0．下列说法：①0abc <；②20b c -+=；③420a b c ++<；④若11,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，25,2y ⎛⎫ ⎪⎝⎭是抛物线上的两点，则12y y <；⑤()14b c m am b c +>++（其中12m ≠）．正确的结论有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B【分析】先根据抛物线开口向下、与y 轴的交点位于y 轴正半轴0,0a c <>，再根据对称轴可得0b a =->，由此可判断结论①；将点()2,0代入二次函数的解析式可判断结论②③；根据二次函数的对称轴可得其增减性，由此可判断结论④；利用二次函数的性质可求出其最大值，由此即可得判断结论⑤．【详解】解：抛物线的开口向下，与y 轴的交点位于y 轴正半轴，0,0a c ∴<>，抛物线的对称轴为122b x a =-=， 0b a ∴=->， 0abc ∴<，则结论①正确；将点()2,0代入二次函数的解析式得：420a b c ++=，则结论③错误；将=-a b 代入得：20b c -+=，则结论②正确；抛物线的对称轴为12x =， 32x ∴=和12x =-时的函数值相等，即都为1y ，又当12x ≥时，y 随x 的增大而减小，且3522<， 12y y ∴>，则结论④错误；由函数图象可知，当12x =时，y 取得最大值，最大值为1111142424a b c b b c b c ++=-++=+， 12m ≠， 214b c am bm c +>++∴，即1()4b c m am b c +>++，结论⑤正确；综上，正确的结论有①②⑤，共3个，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．10．（2021·山东日照九年级月考）如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()3,0-，其对称轴为直线12x =-，结合图象分析下列结论：①0abc >；②30a c +>；③当0x <时，y 随x 的增大而增大；④一元二次方程20cx bx a ++=的两根分别为113x =-，212x =；⑤若(),m n m n <为方程()()3230a x x +-+=的两个根，则3m <-且2n >，其中正确的结论有（）个．A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】根据题意和函数图象中的数据，利用二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：由函数图象可得，0a <，0b <，0c >，则0abc >，故①正确；122b a -=-，得a b =， 3x =-时，930y a bc =-+=，60a c ∴+=，6c a ∴=-，33630a c a a a ∴+=-=->，故②正确；由图象可知，当12x <-时，y 随x 的增大而增大，当102x -<<时，y 随x 的增大而减小，故③错误；抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点(3,0)-，其对称轴为直线12x =-，∴该抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为(2,0)， 20ax bx c ∴++=的两个根为13x =-，22x =， 211()0a b c x x ∴+⋅+=的两个根为13x =-，22x =，∴一元二次方程20cx bx a ++=的两根分别为113x =-，212x =，故④正确；该函数与x 轴的两个交点为(3,0)-，(2,0)，∴该函数的解析式可以为(3)(2)y a x x =+-，当3y =-时，3(3)(2)a x x -=+-∴当3y =-对应的x 的值一个小于3-，一个大于2，∴若m ，()n m n <为方程(3)(2)30a x x +-+=的两个根，则3m <-且2n >，故⑤错误；故选：B ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、根与系数的关系、抛物线与x 轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．11．（2021·四川省宜宾市中考一模）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，图象过点(1,0)-，对称轴为直线2x =，下列结论：①40a b +=；93a c b +>；③8720a b c ++>；④若点()13,A y -、点21,2B y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、点37,2C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭在该函数图象上，则132y y y <<；⑤若方程(1)(53a x x +-=-)的两根为1x 和2x ，且12x x <，则1215x x <-<<；⑥44a b b a+=-，其中正确的结论有（）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】A【分析】利用对称轴方程得到−2b a＝2，则b ＝−4a ，于是可对①进行判断；利用x ＝−3时，y ＜0可对②进行判断；利用图象过点（−1，0）得到a −b ＋c ＝0，把b ＝−4a 代入得到c ＝−5a ，则8a ＋7b ＋2c ＝−30a ，然后利用a ＜0可对③进行判断；根据二次函数的性质，通过比较A 、B 、C 点到对称轴的距离的大小得到y 1＜y 2＜y 3．则可对④进行判断．根据抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（5，0），则抛物线解析式为y ＝a （x ＋1）（x −5），所以方程a （x ＋1）（x −5）＝−3的两根x 1和x 2为抛物线y ＝a （x ＋1）（x −5）与直线y ＝−3的交点的横坐标，于是结合函数图象可对⑤进行判断；根据b ＝−4a ，可对⑥进行判断．【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x ＝−2b a＝2， ∴b ＝−4a ，即4a ＋b ＝0，所以①正确；∵x ＝−3时，y ＜0，∴9a −3b ＋c ＜0，即9a ＋c ＜3b ，所以②错误；∵抛物线经过点（−1，0），∴a −b ＋c ＝0，而b ＝−4a ，∴a ＋4a ＋c ＝0，则c ＝−5a ，∴8a ＋7b ＋2c ＝8a −28a −10a ＝−30a ，∵a ＜0，∴8a ＋7b ＋2c ＞0，所以③正确；∵点A （−3，y 1）到直线x ＝2的距离最大、点C （72，y 3）到直线x ＝2的距离最小，抛物线开口向下，∴y 1＜y 2＜y 3．所以④错误．∵抛物线的对称轴为直线x ＝2，抛物线与x 轴的一个交点坐标为（−1，0），∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（5，0），∴抛物线解析式为y ＝a （x ＋1）（x −5），∴方程a （x ＋1）（x −5）＝−3的两根x 1和x 2为抛物线y ＝a （x ＋1）（x −5）与直线y ＝−3的交点的横坐标，∴x 1＜−1＜5＜x 2；所以⑤正确；∵b ＝−4a ， ∴()()4145a b b a +=-+-=-，故⑥错误；故选A ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）．抛物线与x 轴交点个数由判别式确定：Δ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；Δ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；Δ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．12．（2021·黑龙江齐齐哈尔中考真题）如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的一部分与x 轴的一个交点坐标为()1,0，对称轴为1x =-，结合图象给出下列结论：①0a b c ++=；②20a b c -+<；③关于x 的一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的两根分别为-3和1；④若点()14,y -，()22,y -，()33,y 均在二次函数图象上，则123y y y <<；⑤()a b m am b -<+（m 为任意实数）．其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据二次函数的图象及性质逐项分析即可判断．【详解】解：∵二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的一部分与x 轴的一个交点坐标为()1,0， ∴当x =1时，0a b c ++=，故结论①正确；根据函数图象可知，当10x y =-<，，即0a b c -+<，对称轴为1x =-，即12b a -=-，根据抛物线开口向上，得0a ＞，∴20b a =＞，∴0a b c b -+-<，即20a b c -+<，故结论②正确；根据抛物线与x 轴的一个交点为()1,0，对称轴为1x =-可知：抛物线与x 轴的另一个交点为(-3，0)，∴关于x 的一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的两根分别为-3和1，故结论③正确；根据函数图象可知：213y y y <<，故结论④错误；当x m =时，2()y am bm c m am b c =++=++，∴当1m =-时，()a b c m am b c -+=++，即()a b m am b -=+，故结论⑤错误，综上：①②③正确，故选：C ．【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，正确理解二次函数与方程的关系．二、填空题13．（2021·北京师大附中九年级月考）二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，下列结论：①abc ＜0；②3a +c ＜0；③b 2﹣4ac ＞0；④16a +4b +c ＞0．其中正确结论的个数是：___．【答案】3【分析】根据二次函数图象的性质（开口方向、对称轴、与坐标轴交点以及特殊点的值），确定对应代数值的符号即可．【详解】解：图象开口方向向上，所以0a >，对称轴为12b a-=，20b a =-< 图象与y 轴交点在x 轴下方，∴0c <∴0abc >，①错误；由图象可得，当1x =-时，0y <，即0a b c -+<，∴30a c +<，②正确；图象与x 轴有两个交点，∴240b ac ->，③正确；由图象可知，当2x =-时，0y >，又因为(2,)y -关于1x =对称的点为(4,)y∴当4x =时，0y >，即1640a b c ++>，④正确所以正确的个数为3故答案为3【点睛】此题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是根据函数图象确定出对应代数值的符号．14．（2021·湖北新洲九年级月考）抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线1x =-，部分图象如图所示，下列判断中：①0abc >；②20a b -=；③240b ac ->；④420a b c ++>；其中判断正确的选项是____________．【答案】②③④【分析】利用抛物线开口方向得到a ＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b ＝2a ＞0，利用抛物线与y 轴的交点位置得到c ＜0，则可对①进行判断；利用对称轴方程可对②判断；利用抛物线与x 轴交点个数可对③进行判断；利用当x =2时，y ＞0，可对④判断．【详解】解：∵抛物线开口向上，∴a ＞0，∵抛物线的对称轴为直线x ＝2b a-＝−1， ∴b ＝2a ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴c ＜0，∴abc ＜0，所以①错误；∵b ＝2a ，∴20a b -=，所以②正确；∵抛物线与x 轴有2个交点，∴Δ＝240b ac ->，所以③正确；∵当x =2时，y ＞0，∴420a b c ++>，所以④正确．故答案是：②③④．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）．抛物线与x 轴交点个数由判别式确定：Δ＝b 2−4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；Δ＝b 2−4ac ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；Δ＝b 2−4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．15．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分；图象过点(3,0)A -，对称轴为1x =-，给出四个结论：①24b ac >；②20a b +=；③0a b c -+=；④5a b <．其中正确的是__________．（填序号）【答案】①④【分析】①由图象与x 轴有交点，对称轴为x ＝2b a-＝﹣1，与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，可以推出b 2﹣4ac ＞0，可对①进行判断；②由抛物线的开口向下知a ＜0，与y 轴的交点在y 轴的正半轴上得到c ＞0，由对称轴为x ＝2b a -＝﹣1，可对②进行分析判断；③由x ＝﹣1时y 有最大值，由图象可知y ≠0，可对③进行分析判断；④把x ＝1，x ＝﹣3代入解析式得a +b +c ＝0，9a ﹣3b +c ＝0，两边相加整理得5a ﹣b ＝﹣c ＜0，即5a ＜b ，即可对④进行判断．【详解】①∵图象与x 轴有交点，对称轴为x ＝2b a-＝﹣1，与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，又∵二次函数的图象是抛物线，∴与x 轴有两个交点， ∴b 2﹣4ac ＞0，即b 2＞4ac ，故①正确；②∵抛物线的开口向下，∴a ＜0，∵与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，∴c ＞0，∵对称轴为x ＝2b a-＝﹣1， ∴2a ＝b ，∴2a +b ＝4a ，a ≠0，故②错误；③∵x ＝﹣1时y 有最大值，由图象可知y ≠0，故③错误；④把x ＝1，x ＝﹣3代入解析式得a +b +c ＝0，9a ﹣3b +c ＝0，两边相加整理得5a ﹣b ＝﹣c ＜0，即5a ＜b ，故④正确；故答案为：①④．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数y ＝ax 2+bx +c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定，要注意数形结合思想的运用．16．（2021·贵州黔东南中考真题）如图，二次函数()2=++0y ax bx c a ≠的函数图象经过点（1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为1x 、2x ，其中－1＜1x ＜0，1＜2x ＜2，下列结论：①0abc >；②20a b +<；③420a b c -+>；④当()12x m m =<<时，22am bm c <+-；⑤1b > ，其中正确的有 ___________．（填写正确的序号）【答案】②④⑤【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、与x 轴、y 轴的交点坐标以及过特殊点时系数a 、b 、c 满足的关系等知识进行综合判断即可．【详解】解：抛物线开口向下，a ＜0，对称轴在y 轴的右侧，a 、b 异号，因此b ＞0，与y 轴的交点在正半轴，c ＞0，所以abc ＜0，故①错误；对称轴在0～1之间，于是有0＜-2b a＜1，又a ＜0，所以2a +b ＜0，故②正确；当x =-2时，y =4a -b +c ＜0，故③错误；当x =m （1＜m ＜2）时，y =am 2+bm +c ＜2，所以am 2+bm ＜2-c ，故④正确；当x =-1时，y =a -b +c ＜0，当x =1时，y =a +b +c =2，所以-2b ＜-2，即b ＞1，故⑤正确；综上所述，正确的结论有：②④⑤，故答案为：②④⑤．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，不等式的性质等知识，掌握抛物线的所处的位置与系数a 、b 、c 满足的关系是正确判断的前提．17．（2021·山东泰安中考真题）如图是抛物线2y ax bx c =++的部分图象，图象过点(3,0)，对称轴为直线1x =，有下列四个结论：①0abc >；②0a b c -+=；③y 的最大值为3；④方程210ax bx c +++=有实数根．其中正确的为________（将所有正确结论的序号都填入）．【答案】②④【分析】根据二次函数的图象与性质对各项进行判断即可．【详解】解：∵抛物线的开口向下，与y 轴的交点在y 轴的正半轴，∴a ＜0，c ＞0，∵抛物线的对称轴为直线x =1， ∴﹣2b a=1，即b =﹣2a ＞0 ∴abc ＜0，故①错误；∵抛物线与x 轴的一个交点坐标为（3，0），∴根据对称性，与x 轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），∴a ﹣b +c =0，故②正确；根据图象，y 是有最大值，但不一定是3，故③错误；由210ax bx c +++=得2=1ax bx c ++﹣，根据图象，抛物线与直线y =﹣1有交点，∴210ax bx c +++=有实数根，故④正确，综上，正确的为②④，故答案为：②④．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，会利用数形结合思想解决问题是解答的关键．18．（2021·山东济宁中考真题）如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴的正半轴交于点A ，对称轴为直线1x =，下面结论：①0abc <；②20a b +=；③30a c +>；④方程()20y ax bx c a =++≠必有一个根大于1-且小于0．其中正确的是____（只填序号）．【答案】①②④．【分析】根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立．【详解】解：由图象可得，a ＜0，b ＞0，c ＞0，则abc ＜0，故①正确；∵-2b a=1， ∴b =-2a ，∴2a +b =0，故②正确；∵函数图象与x 轴的正半轴交点在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x =1， ∴函数图象与x 轴的另一个交点在点（0，0）和点（-1，0）之间，故④正确；∴当x =-1时，y =a -b +c ＜0，∴y =a +2a +c ＜0，∴3a +c ＜0，故③错误；故答案为：①②④．19．（2021·湖北武汉市九年级月考）如图，二次函数()20y ax bx c a =++>的图象与x 轴交于两点()1,0x ，()2,0，其中101x <<，下列四个结论①0abc <；②20a c -<；③240a b c ++>；④44a b b a+<-，正确的序号是__________．【答案】①④【分析】根据抛物线开口向上,抛物线对称轴,抛物线与y 轴的交点可判断①正确；根据图象与x 轴交于两点（x 1，0），（2，0）和对称轴的位置可判断②错误；当x 12=时，y 的值为14a 12+b +c ，结合对称轴可判断③错误；根据对称轴12b a-＞；可得2a +b ＜0，变形可判断④正确；【详解】解：①∵抛物线开口向上，∴a ＞0，∵抛物线对称轴在y 轴的右侧，∴b ＜0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0，∴abc ＜0，所以①正确；②∵图象与x 轴交于两点（x 1，0），（2，0），其中0＜x 1＜1， ∴2021222b a ++-＜＜，∴1322b a -＜＜，当322b a -＜时，b ＞﹣3a ， ∵当x ＝2时，y ＝4a +2b +c ＝0，∴b ＝﹣2a 12-c ， ∴﹣2a 12-c ＞﹣3a ， ∴2a ﹣c ＞0，故②错误；③当x 12=时，y 的值为14a 12+b +c ，给14a 12+b +c 乘以4，即可化为a +2b +4c ， ∵抛物线的对称轴在1322b a -＜＜， ∴x 12=关于对称轴对称点的横坐标在32和52之间，由图象可知在32和2之间y 为负值，2和52之间y 为正值， ∴a +2b +4c 与0的关系不能确定，故③错误； ④∵12b a-＞， ∴2a +b ＜0，∴（2a +b ）2＞0，4a 2+b 2+4ab ＞0，4a 2+b 2＞﹣4ab ，∵a ＞0，b ＜0，∴ab ＜0， ∴2244a b ab+-＜，即44a b b a+-＜，故④正确．故答案：①④．20．（2021·湖北武汉市九年级月考）抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()2,0-、()1,0x ，其中110x -<<，0c <，下列四个结论：①0abc >；②20a c -<；③()()30a b a b -->；④若m ，n （m n <）为关于x 的方程()()1210a x x x +-+=的两个根，则32m n -<+<-．其中正确的结论是______（填写序号）．【答案】②④【分析】由题意可知，a ＜0，c ＜0，由对称轴可知得出b ＜0，故判断①；由当x ＝−2时，y ＝0和当x ＝−1时，y ＞0可以判断②；由当x ＝−1时，a −b ＋c ＞0和322b a --＞，可以判断③；y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a （x ＋2）（x −x 1）向上平移1个单位得到，对称轴不变，可以判断④．【详解】解：∵抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()2,0-、()1,0x ，其中110x -<<，0c <，∴抛物线的大致形状为∴a ＜0，对称轴2b a-＜0， ∴b ＜0， ∴0abc ＜，故①错误；∵当2x =-时，0y =，即420a b c -+=①，当1x =-时，0y ＞，即0a b c -+＞②，由①得：24b a c =+，把24b a c =+代入②×2得：2(4)+20a a c c -+＞，整理得：2a c -＜0，故②正确；当1x =-时，+a b c -＞0，∴0a b c --＞＞，又∵322b a --＞， ∴30＜-a b ，∴()(3)0a b a b --＜，故③错误；∵1(2)()10a x x x +-+=，即y '为21(2)()y ax bx c a a x x =++=+-向上平移1个单位得到，∴12,m n x -＜＞， ∴3122m n +--＜＜， ∴32m n -+-＜＜，故④正确；故答案为：②④．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）；△决定抛物线与x 轴交点个数：Δ＝b 2−4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；Δ＝b 2−4ac ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；Δ＝b 2−4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．。

专题训练(二) 二次函数系数a,b,c与图象的关系

专题训练(二)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的系数a,b,c与图象的关系知识储备二次函数y=ax2+bx+c的图象与字母系数a,b,c 之间的关系:项目字母字母的符号图象的特征a a>0 开口向上a<0 开口向下bb=0 对称轴为y轴ab>0(b与a同号) 对称轴在y轴左侧ab<0(b与a异号) 对称轴在y轴右侧c c=0 经过原点c>0 与y轴正半轴相交c<0 与y轴负半轴相交b2-4ac b2-4ac=0与x轴有一个交点(顶点)b2-4ac>0 与x轴有两个交点b2-4ac<0 与x轴没有交点特殊关系当x=1时,y=a+b+c;当x=-1时,y=a-b+c当x=2时,y=4a+2b+c;当x=-2时,y=4a-2b+c若a+b+c>0,则当x=1时,y>0若a-b+c>0,则当x=-1时,y>0当对称轴为直线x=1时,2a+b=0;当对称轴为直线x=-1时,2a-b=0;判断2a+b的值大于还是小于0,看对称轴与直线x=1的位置关系;判断2a-b的值大于还是小于0,看对称轴与直线x=-1的位置关系▶类型一利用二次函数图象考查以上表格中的问题1.[2020·宁波江北区期末]二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图1所示,则下列关系式错误的是()A.a<0B.b>0C.b2-4ac>0D.a+b+c<0图 1 图22.[2020·宁波]如图2,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴正半轴交于点C,它的对称轴为直线x=-1.则下列选项中正确的是A.abc<0 B.4ac-b2>0C.c-a>0D.当x=-n2-2(n为实数)时,y≥c3.在同一平面直角坐标系内,二次函数y=ax2+bx+b(a≠0)与一次函数y=ax+b的图象可能是()图 3▶类型二利用二次函数图象考查ma+nc或mb+nc(m,n为非零整数)与0的关系4.如图4,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1.给出下列结论:①ac<0;②b2-4ac>0;③2a-b=0;④a-b+c=0.其中,正确的结论有()图4A.1个B.2个C.3个D.4个5.[2020·遵义改编]抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=-2,抛物线与x轴的一个交点在点(-4, 0)和点(-3,0)之间,其部分图象如图5所示,下列结论中正确的有()①4a-b=0;②c≤3a;③关于x的方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根;④b2+2b>4ac.图5A.1个B.2个C.3个D.4个▶类型三利用二次函数图象考查am2+bm+c(a≠0,a,b,c为常数)与a+b+c的关系6.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为直线x=1,其图象如图6所示,现有下列结论:①abc>0,②b-2a<0,③a-b+c>0,④a+b>n(an+b)(n ≠1),⑤2c<3b.其中正确的是()A.①③B.②⑤C.③④D.④⑤图6 图77.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的一部分如图7所示,与x轴的一个交点坐标为(4,0),抛物线的对称轴是直线x=1,有下列结论:①abc>0;②2a+b=0;③方程ax2+bx+c=3有两个不相等的实数根;④抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(-2,0);⑤若点A(m,n)在该抛物线上,则am2+bm+c≤a+b+c.其中正确的有() A.5个B.4个C.3个D.2个▶类型四利用二次函数图象解一元二次方程或不等式8.若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点(2,0)且平行于y轴的直线,则关于x的方程x2+bx=5的解为()A.x1=0,x2=4B.x1=1,x2=5C.x1=1,x2=-5D.x1=-1,x2=59.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图8所示,则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解是()图8A.x<-1B.x>3C.-1<x<3D.x<-1或x>3▶类型五利用一次函数、二次函数的图象解一元二次方程或不等式10.如图9所示,一次函数y1=kx+n(k≠0)与二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象相交于A(-1,5),B(9,2)两点,则关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解为()图9A.-1≤x≤9B.-1≤x<9C.-1<x≤9D.x≤-1或x≥911.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)和正比例函数y=23x的图象如图10所示,则方程ax2+（32b x+c=0的两根之和()图10A.大于0B.等于0C.小于0D.不能确定专题二教师详解详析1.D[解析] 抛物线开口向下,则a<0,所以A选项的关系式正确;抛物线的对称轴在y轴的右侧,a,b异号,则b>0,所以B选项的关系式正确;抛物线与x轴有2个交点,则b2-4ac>0,所以C选项的关系式正确;当x=1时,y>0,则a+b+c>0,所以D选项的关系式错误.故选D.2.D[解析] ∵二次函数图象的对称轴为直线x=-1,∴-b2a=-1,∴b=2a.又∵a>0,∴b>0.∵抛物线与y轴正半轴交于点C,∴c>0,∴abc>0,故A错误;∵抛物线与x轴有两个不同的交点,∴b2-4ac>0,∴4ac-b2<0,故B错误;∵b=2a,∴当x=-1时,y=a-b+c=c-a<0,故C 错误;当x=-n2-2(n为实数)时,y=a(-n2-2)2+b(-n2-2)+c=a(-n2-2)2+2a(-n2-2)+c=a( n2+1)2-a+c.∵n为实数,∴n2≥0,(n2+1)2≥1.又∵a>0,∴a(n2+1)2-a≥0,∴y≥c,故D正确,因此本题选D.3.C4.C[解析] ∵抛物线开口向下,∴a<0.∵抛物线交y轴于正半轴,∴c>0,∴ac<0,故①正确;∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,故②正确;∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴-b2a=1,∴-b=2a,∴2a+b=0,故③错误;∵抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称,∴点(3,0)关于直线x=1的对称点为(-1,0),即抛物线经过点(-1,0),∴a-b+c=0,故④正确.综上可知,正确的结论有①②④,共3个.5.C[解析] 由-b2a=-2,得4a-b=0,故①正确;由抛物线与x轴的一个交点在点(-4,0)和点(-3,0)之间,当x≤-2时,y随x的增大而增大,可知当x=-3时,y>0,由抛物线的对称性可知,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0.又4a=b,∴a-4a+c>0,即c>3a.故②错误; 由图象得,关于x的方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根正确; 由4ac-b24a=3,得4ac-b2=12a,∴4ac=12a+b2=3b+b2.易知a<0,b<0,c<0,∴4ac<2b+b2 ,故④正确.故选C.6.D[解析] ①由图象可知:a<0,b>0,c>0,∴abc<0,故此选项错误;②当x=-2时,y=4a-2b+c<0,即b-2a>c2>0,故此选项错误;③当x=-1时,y=a-b+c<0,故此选项错误;④当x=1时,y的值最大,此时,y=a+b+c,而当x=n 时,y=an2+bn+c,所以a+b+c>an2+bn+c(n≠1),故a+b>an2+bn,即a+b>n(an+b)(n≠1),故此选项正确.⑤由抛物线的对称性可知当x=3时函数值小于0,即y=9a+3b+c<0.∵抛物线的对称轴为直线x=-b2a=1,∴a=-b2,代入9a+3b+c<0,得9-b2 +3b+c<0,得2c<3b,故此选项正确;故④⑤正确.因此本题选D.7.B8.D9.D[解析] 根据图象可知,当y=0时,对应的x的值分别为x1=-1,x2=3.当y>0时,函数的图象在x轴的上方,由左边一段图象可知x<-1,由右边一段图象可知x>3.因此,当函数值y>0时,x的取值范围是x<-1或x>3.故选D.10.A[解析] 由图象可以看出:二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)和一次函数y1=kx+n(k≠0)的图象的交点的横坐标分别为-1,9.而当y1≥y2时,对应的图象正好在两交点之间,所以-1≤x≤9.故选A.11.A。

二次函数的图像与性质经典练习题(11套)附带详细答案

练习一1．二次函数的图像开口向＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿，顶点坐标是＿＿＿＿，图像有最＿＿＿点，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而增大，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而减小。

2．关于，，的图像，下列说法中不正确的是（） A ．顶点相同 B ．对称轴相同 C ．图像形状相同 D ．最低点相同 3．两条抛物线与在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（） A ．顶点相同 B ．对称轴相同 C ．开口方向相反 D ．都有最小值 4．在抛物线上，当y ＜0时，x 的取值范围应为（） A ．x ＞0 B ．x ＜0 C ．x ≠0 D ．x ≥0 5．对于抛物线与下列命题中错误的是（） A ．两条抛物线关于轴对称 B ．两条抛物线关于原点对称 C ．两条抛物线各自关于轴对称 D ．两条抛物线没有公共点 6．抛物线y=－b ＋3的对称轴是＿＿＿，顶点是＿＿＿。

7．抛物线y=－－4的开口向＿＿＿，顶点坐标＿＿＿，对称轴＿＿＿，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而增大，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而减小。

8．抛物线的顶点坐标是（）A ．（1，3）B ．（1，3）C ．（1，3）D ．（1，3）9．已知抛物线的顶点为（1，2），且通过（1，10），则这条抛物线的表达式为（） A ．y=3－2 B ．y=3＋22y ax =213y x =2y x =23y x =2y x =2y x =-2y x =-2y x =2y x =-x y 2x 21(2)2x +22(1)3y x =+-------2(1)x -2(1)x +C ．y=3－2D ．y=－3－210．二次函数的图像向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得新函数表达式为（）A ．y=a ＋3B ．y=a －3C ．y=a ＋3D ．y=a －3 11．抛物线的顶点坐标是（）A ．（2，0）B ．（2，-2）C ．（2，-8）D ．（-2，-8）12．对抛物线y=－3与y=－＋4的说法不正确的是（） A ．抛物线的形状相同 B ．抛物线的顶点相同 C ．抛物线对称轴相同 D ．抛物线的开口方向相反13．函数y=a ＋c 与y=ax ＋c(a ≠0)在同一坐标系内的图像是图中的（）14．化为y=为a 的形式是＿＿＿＿，图像的开口向＿＿＿＿，顶点是＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿。

二次函数系数abc与图像关系练习题

二次函数系数a、b、c与图像的关系知识要点二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．（4）b2-4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2-4ac＞0；1个交点，b2-4ac=0；没有交点，b2-4ac＜0．（5）当x=1时，可确定a+b+c的符号，当x=-1时，可确定a-b+c 的符号．（6）由对称轴公式x=，可确定2a+b的符号．一．选择题（共9小题）1．（2014?威海）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．42．（2014?仙游县二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（）A．③④B．②③C．①④D．①②③3．（2014?南阳二模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：①a＜0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④＜0中，正确的结论有（）A．1个B2个C3个D．4个．．4．（2014?襄城区模拟）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图，有以下结论：①b2﹣4c＜0；②c﹣b+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．45．（2014?宜城市模拟）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（）A．①②B．②③C．②③④D．①②④6．（2014?莆田质检）如图，二次函数y=x2+（2﹣m）x+m﹣3的图象交y轴于负半轴，对称轴在y轴的右侧，则m的取值范围是（）A．m＞2B．m＜3C．m＞3D．2＜m＜37．（2014?玉林一模）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．（2014?乐山市中区模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④≤n≤4．其中正确的是（）A．①②B．③④C．①③D．①③④9．（2014?齐齐哈尔二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），（x1，0），且1＜x1＜2，下列结论正确的个数为（）①b＜0；②c＜0；③a+c＜0；④4a﹣2b+c＞0．A．1个B．2个C．3个D．4个10、（2011?重庆）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）A、a＞0B、b＜0C、c＜0D、a+b+c＞011、（2011?雅安）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＜0，则正确的结论是（）A、①②③④B、②④⑤C、②③④D、①④⑤12、（2011?孝感）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（ 12，1），下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac-b2=4a；④a+b+c＜0．其中正确结论的个数是（）A、1B、2C、3D、4答案一．选择题（共9小题）1．（2014?威海）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4考点：二次函数图象与系数的关系．分由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及析：抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：抛物线与y轴交于原点，c=0，（故①正确）；该抛物线的对称轴是：，直线x=﹣1，（故②正确）；当x=1时，y=a+b+c∵对称轴是直线x=﹣1，∴﹣b/2a=﹣1，b=2a，又∵c=0，∴y=3a，（故③错误）；x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，x=﹣1对应的函数值为y=a﹣b+c，又∵x=﹣1时函数取得最小值，∴a﹣b+c＜am2+bm+c，即a﹣b＜am2+bm，∵b=2a，∴am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．（故④正确）．故选：C．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．2．（2014?仙游县二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（）A．③④B．②③C．①④D．①②③考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：①当x=1时，y=a+b+c=0，故①错误；②当x=﹣1时，图象与x轴交点负半轴明显大于﹣1，∴y=a﹣b+c＜0，故②正确；③由抛物线的开口向下知a＜0，∵对称轴为0＜x=﹣＜1，∴2a+b＜0，故③正确；④对称轴为x=﹣＞0，a＜0∴a、b异号，即b＞0，由图知抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0∴abc＜0，故④错误；∴正确结论的序号为②③．故选：B．点评：二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=﹣判断符号；（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c ＞0；否则c＜0；（4）当x=1时，可以确定y=a+b+c的值；当x=﹣1时，可以确定y=a﹣b+c的值．3．（2014?南阳二模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：①a＜0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④＜0中，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：①∵图象开口向下，∴a＜0；故本选项正确；②∵该二次函数的图象与y轴交于正半轴，∴c＞0；故本选项正确；③∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个不相同交点，∴根的判别式△=b2﹣4ac＞0；故本选项正确；④∵对称轴x=﹣＞0，∴＜0；故本选项正确；综上所述，正确的结论有4个．故选D．点本题主要考查了二次函数的图象和性质，解答本题关键是掌握评：二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定，做题时要注意数形结合思想的运用，同学们加强训练即可掌握，属于基础题．4．（2014?襄城区模拟）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图，有以下结论：①b2﹣4c＜0；②c﹣b+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b ﹣1）x+c＜0．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4考二次函数图象与系数的关系．点：分析：由函数y=x2+bx+c与x轴无交点，可得b2﹣4c＜0；当x=﹣1时，y=1﹣b+c＞0；当x=3时，y=9+3b+c=3；当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c＜x，继而可求得答案．解答：解：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4ac＜0；故①正确；当x=﹣1时，y=1﹣b+c＞0，故②错误；∵当x=3时，y=9+3b+c=3，∴3b+c+6=0；③正确；∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正确．故选C．点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．5．（2014?宜城市模拟）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（）A．①②B．②③C．②③④D．①②④考点：二次函数图象与系数的关系．分根据抛物线开口方向得到a＞0，根据抛物线的对称轴得b=2a＞0，则2a﹣b=0，则可对②进行判断；根据抛物线与y轴的交点析：在x轴下方得到c＜0，则abc＜0，于是可对①进行判断；由于x=﹣2时，y＜0，则得到4a﹣2b+c＜0，则可对③进行判断；通过点（﹣5，y1）和点（2，y2）离对称轴的远近对④进行判断．解答：解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴为直线x=﹣=﹣1，∴b=2a＞0，则2a﹣b=0，所以②正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＜0，所以①正确；∵x=2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0，所以③错误；∵点（﹣5，y1）离对称轴要比点（2，y2）离对称轴要远，∴y1＞y2，所以④正确．故选D．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c （a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a ＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab ＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）．抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．6．（2014?莆田质检）如图，二次函数y=x2+（2﹣m）x+m﹣3的图象交y轴于负半轴，对称轴在y轴的右侧，则m的取值范围是（）A．m＞2B．m＜3C．m＞3D．2＜m＜3考点：二次函数图象与系数的关系．分由于二次函数的对称轴在y轴右侧，根据对称轴的公式即可得到关于m的不等式，由图象交y轴于负半轴也可得到关于m的析：不等式，再求两个不等式的公共部分即可得解．解答：解：∵二次函数y=x2+（2﹣m）x+m﹣3的图象交y轴于负半轴，∴m﹣3＜0，解得m＜3，∵对称轴在y轴的右侧，∴x=，解得m＞2，∴2＜m＜3．故选：D．点评：此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是利用对称轴的公式以及图象与y轴的交点解决问题．7．（2014?玉林一模）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：∵抛物线的开口方向向下，∴a＜0；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；由图象可知：对称轴x==﹣1，∴2a=b，2a+b=4a，∵a≠0，∴2a+b≠0，②错误；∵图象过点A（﹣3，0），∴9a﹣3b+c=0，2a=b，所以9a﹣6a+c=0，c=﹣3a，③正确；∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0由图象可知：当x=1时y=0，∴a+b+c=0，④正确．故选C．点评：考查了二次函数图象与系数的关系，解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．8．（2014?乐山市中区模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④≤n≤4．其中正确的是（）A．①②B．③④C．①③D．①③④考点：二次函数图象与系数的关系．分析：①由抛物线的对称轴为直线x=1，一个交点A（﹣1，0），得到另一个交点坐标，利用图象即可对于选项①作出判断；②根据抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴方程求得b与a的关系是b=﹣2a，将其代入（3a+b），并判定其符号；③根据两根之积=﹣3，得到a=，然后根据c的取值范围利用不等式的性质来求a的取值范围；④把顶点坐标代入函数解析式得到n=a+b+c=c，利用c的取值范围可以求得n的取值范围．解答：解：①∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴直线是x=1，∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），∴根据图示知，当x＞3时，y＜0．故①正确；②根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．∵对称轴x==1，∴b=﹣2a，∴3a+b=3a﹣2a=a＜0，即3a+b＜0．故②错误；③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（﹣1，0），（3，0），∴﹣1×3=﹣3，=﹣3，则a=．∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），∴2≤c≤3，∴﹣1≤≤，即﹣1≤a≤．故③正确；④根据题意知，a=，=1，∴b=﹣2a=，∴n=a+b+c=c．∵2≤c≤3，≤≤4，≤n≤4．故④正确．综上所述，正确的说法有①③④．故选D．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．9．（2014?齐齐哈尔二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），（x1，0），且1＜x1＜2，下列结论正确的个数为（）①b＜0；②c＜0；③a+c＜0；④4a﹣2b+c＞0．A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系．分由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交析：点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：①∵y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），（x1，0），且1＜x1＜2，∴对称轴在y轴的右侧，即：﹣＞0，∵a＞0∴b＜0，故①正确；②显然函数图象与y轴交于负半轴，∴c＜0正确；③∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，即a+c=b，∵b＜0，∴a+c＜0正确；④∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），且a＞0，∴当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c＞0，故④正确，故选D．点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．。

二次函数系数abc符号的关系

y
解析：⑴根据题意得：
,
3
解得
所以抛物线的解析式为
－1 O
x
⑵令
解得
根据图象可得当函数值y为正数时，自变量x的取值范围是
y
ox
y
o
x
四、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的几个特
例：
y
y=a+b+c
1、当x=1 时，
y=a-b+c
2、当x= -1时， y=4a+2b+c
-2 -1 o 1 2
x
3、当x=2时，
y=4a-2b+c
…………… ……………
练4习、:当二x=次-2函时数， y=ax2+bx+c(a≠0)的图
练习：１、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象
如图所示，则a、b、c的符号为（ B ） y
A、a<0,b>0,c>0 B、a<0,b>0,c<0
C、a<0,b<0,c>0 D、a<0,b<0,c<0 o
x
2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象
如图所示，则a、b、c的符号为（ A ）
△
△＝０时抛物线与x轴有一个交点
△＜０时抛物线于x轴没有交点
练习：填空
（1）函数y=ax2 +bx+c（a 0）的函数值恒为正的
条件为：
，恒为负的条件为：
。
（2）已知抛物线y=ax2 +bx+c的图象在x轴的下方，
则方程ax2 +bx+c 0的解的情况为

初中数学专题训练：二次函数图象与a,b,c,b2-4ac等符号问题(含答案)

初中数学专题训练：二次函数图象与a,b,c,b2－4ac等符号问题（含答案）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征与a,b,c及判别式b2－4ac的符号之间的关系：一、选择题1．已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数,a≠0),下列结论正确的是( )A．当a＝1时,函数图象过点(－1,1)B．当a＝－2时,函数图象与x轴没有交点C．若a＞0,则当x≥1时,y随x的增大而减小D．若a＜0,则当x≤1时,y随x的增大而增大2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图2－ZT－1所示,则下列关系式错误的是( )图2－ZT－1A．a＜0B．b＞0C．b2－4ac＞0D．a＋b＋c＜03．以x为自变量的二次函数y＝x2－2(b－2)x＋b2－1的图象不经过第三象限,则实数b 的取值范围是( )A．b≥54B．b≥1或b≤－1C．b≥2 D．1≤b≤24．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图2－ZT－2所示,则正比例函数y＝(b＋c)x与反比例函数y＝a－b－cx在同一坐标系中的大致图象是( )图2－ZT－2图2－ZT－35．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与反比例函数y＝bx的图象在第一象限有一个公共点,其横坐标为1,则一次函数y＝bx＋ac的图象可能是( )图2－ZT－46．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图2－ZT－5所示,对称轴是直线x＝1.下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a＋b＋2c＜0；④3a＋c＜0.其中正确的是( )图2－ZT－5A．①④ B．②④C ．①②③D ．①②③④7．如图2－ZT －6,抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象交x 轴于点A (－2,0)和点B ,交y 轴负半轴于点C ,且OB ＝OC .下列结论：①2b －c ＝2；②a ＝12；③ac ＝b －1；④a ＋bc ＞0,其中正确的结论有( )图2－ZT －6A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为直线x ＝－2,与x 轴的一个交点在(－3,0)和(－4,0)之间,其部分图象如图2－ZT －7所示,则下列结论：①4a －b ＝0；②c ＜0；③－3a ＋c ＞0；④4a －2b ＞at 2＋bt (t 为实数)；⑤点⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，y 1,⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，y 2,⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 3是该抛物线上的点,则y 1＜y 2＜y 3.正确的结论有( )图2－ZT －7A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题9．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的一部分如图2－ZT －8所示,则a 的取值范围是________．图2－ZT－810．如图2－ZT－9是抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的一部分,抛物线的顶点坐标是A(1,3),与x轴的一个交点是B(4,0),直线y＝mx＋n(m≠0)与抛物线交于A,B两点,下列结论：2①abc＞0；②方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是(－1,0)；④当1＜x＜4时,有y2＞y1；⑤x(ax＋b)≤a＋b.其中正确的结论是________．(只填写序号)图2－ZT－911．如图2－ZT－10,二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴在y轴的右侧,其图象与x 轴交于点A(－1,0),C(x2,0),且与y轴交于点B(0,－2),小强得到以下结论：①0＜a＜2；②－1＜b＜0；③c＝－1；④当|a|＝|b|时,x2＞5－1.以上结论中,正确的结论序号是________．图2－ZT－1012．如图2－ZT－11,二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象的顶点为D,其图象与x轴的交点A,B的横坐标分别为－1,3,与y轴负半轴交于点C.在下面五个结论中：①2a－b＝0；②a＋b＋c>0；③c＝－3a；④当a＝12时,△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a的值可以有四个．其中正确的结论是________(只填序号)．图2－ZT－11三、解答题13．如图2－ZT－12,二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于B,C两点,交y轴于点A.(1)根据图象确定a,b,c的符号；(2)如果OC＝OA＝13OB,BC＝4,求这个二次函数的表达式．图2－ZT－1214．已知函数y＝ax2＋bx＋c,若a＞0,b＜0,c＜0,则这个函数的图象与x轴交点的情况是怎样的？若无交点,请说明理由；若有交点,请说明有几个交点及交点分别在x轴的哪个半轴上．详解详析二次函数图象与a,b,c,b2－4ac等符号问题1．[答案] D2．[解析] D 抛物线开口向下,则a＜0,所以A选项的关系式正确；抛物线的对称轴在y轴的右侧,a,b异号,则b＞0,所以B选项的关系式正确；抛物线与x轴有2个交点,则b2－4ac＞0,所以C选项的关系式正确；当x＝1时,y＞0,即a＋b＋c＞0,所以D选项的关系式错误．3．[答案] A4．[答案] C5．[解析] B 由公共点的横坐标为1,且在反比例函数y＝bx的图象上,当x＝1时,y＝b,即公共点的坐标为(1,b)．又点(1,b)在抛物线上,得a＋b＋c＝b,即a＋c＝0.由a≠0知ac＜0,一次函数y＝bx＋ac的图象与y轴的交点在负半轴上,而反比例函数y＝bx的图象的一支在第一象限,故b＞0,一次函数的图象满足y随x的增大而增大,选项B符合条件．故选B.6．[解析] C ①抛物线的开口向上,所以a>0.抛物线的对称轴为直线x＝－b2a＝1,所以b<0,所以ab＜0.所以①正确；②抛物线与x轴有两个交点,所以b2－4ac>0,所以b2＞4ac.所以②正确；③由图象知,当x＝1时,y＝a＋b＋c<0.又抛物线与y轴交于负半轴,所以c<0,所以a＋b ＋2c＜0.所以③正确；④由抛物线的对称性知当x ＝3时,y ＝9a ＋3b ＋c>0.又－b2a＝1,所以b ＝－2a,所以3a ＋c>0.所以④错误．综上可知,正确的是①②③.故选C.7．[解析] C 在y ＝ax 2＋bx ＋c 中,当x ＝0时y ＝c,∴C(0,c),∴OC ＝－c.∵OB＝OC,∴B(－c,0)．∵A(－2,0),∴－c,－2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个不相等的实数根,∴－c·(－2)＝c a .∵c≠0,∴a ＝12,②正确；∵－c,－2是一元二次方程12x 2＋bx ＋c ＝0的两个不相等的实数根,∴－c ＋(－2)＝－b12,即2b －c ＝2,①正确；把B(－c,0)代入y ＝ax 2＋bx ＋c,得0＝a(－c)2＋b·(－c)＋c,即ac 2－bc ＋c ＝0.∵c≠0,∴ac －b ＋1＝0,∴ac ＝b －1,③正确；∵抛物线开口向上,∴a ＞0.∵抛物线的对称轴在x 轴左侧,∴－b2a ＜0,∴b ＞0,∴a ＋b ＞0.∵抛物线与y 轴负半轴交于点C,∴c ＜0.∴a ＋bc＜0,④错误．8．[解析] B ∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的对称轴为直线x ＝－2,∴－b2a＝－2,∴4a －b ＝0,故①正确；∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的对称轴为直线x ＝－2,与x 轴的一个交点在(－3,0)和(－4,0)之间,∴另一个交点位于(－1,0)和(0,0)之间,∴抛物线与y 轴的交点在原点的下方,∴c ＜0.故②正确；∵4a －b ＝0,∴b ＝4a.∵当x ＝－3时,y ＝9a －3b ＋c ＝9a －12a ＋c ＝－3a ＋c>0,故③正确；∵4a －b ＝0,∴b ＝4a,∴at 2＋bt －(4a －2b)＝at 2＋4at －(4a －2×4a)＝at 2＋4at ＋4a ＝a(t 2＋4t ＋4)＝a(t ＋2)2.∵t 为实数,a ＜0,∴a(t ＋2)2≤0,∴at 2＋bt －(4a －2b)≤0,∴at 2＋bt≤4a－2b,即4a －2b≥at 2＋bt,∴④错误；∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，y 1,⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，y 2,⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 3是该抛物线上的点,∴将它们描在图象上可得由图象可知：y1<y3<y2,故⑤错误．综上所述,正确的有3个．故选B.9．[答案] －1＜a＜0[解析] ∵抛物线开口向下,∴a＜0.∵函数图象过点(0,1),∴c＝1.∵函数图象过点(1,0),∴a＋b＋c＝0,∴b＝－(a＋c)＝－(a＋1)．由题意知,当x＝－1时,应有y＞0,∴a－b＋c＞0,∴a＋(a＋1)＋1＞0,∴a＞－1,∴a的取值范围是－1＜a＜0.10．[答案] ②⑤[解析] ①根据函数图象的开口方向、对称轴、与y轴交点可知,a＜0,b＞0,c＞0,故abc＜0；②根据函数图象的顶点坐标可知,方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根,即x1＝x2＝1；③根据抛物线的对称性可知,抛物线与x轴的另一个交点是(－2,0)；④根据函数图象,当1＜x＜4时,有y2＜y1；⑤当x＝1时,y＝a＋b＋c＝3≥x(ax＋b)＋c,∴x(ax＋b)≤a＋b.故正确的结论有②⑤.11．[答案] ①④[解析] 由抛物线的开口向上可知,a ＞0,且抛物线经过点A(－1,0),B(0,－2),对称轴在y 轴的右侧可得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，c ＝－2，－b2a >0，即a －b ＝2,b ＜0,故a ＝2＋b ＜2.综合可知0＜a ＜2；由a －b ＝2可得a ＝b ＋2,将其代入0＜a ＜2中,得0＜b ＋2＜2,即－2＜b ＜0；当|a|＝|b|时,因为a ＞0,b ＜0,故有a ＝－b.又a －b ＝2,可得a ＝1,b ＝－1. 故原函数为y ＝x 2－x －2,当y ＝0时,即有x 2－x －2＝0,解得x 1＝－1,x 2＝2, 此时x 2＝2＞5－1.故答案为：①④. 12．[答案] ③④[解析] ∵抛物线与x 轴的交点A,B 的横坐标分别为－1,3,∴AB ＝4,对称轴为直线x ＝－b2a＝1,∴b ＝－2a,即2a ＋b ＝0.故①错误；根据图象知,当x ＝1时,y ＜0,即a ＋b ＋c ＜0.故②错误；∵点A 的坐标为(－1,0),∴a －b ＋c ＝0,而b ＝－2a,∴a ＋2a ＋c ＝0,即c ＝－3a.故③正确；当a ＝12时,b ＝－1,c ＝－32,抛物线的函数表达式为y ＝12x 2－x －32.设对称轴直线x ＝1与x 轴的交点为E,∴把x ＝1代入y ＝12x 2－x －32,得y ＝12－1－32＝－2,∴点D 的坐标为(1,－2),∴AE ＝2,BE ＝2,DE ＝2,∴△ADE 和△BDE 都为等腰直角三角形,∴△ABD 为等腰直角三角形．故④正确；要使△ACB 为等腰三角形,则必须保证AB ＝BC ＝4或AB ＝AC ＝4或AC ＝BC,当AB ＝BC ＝4时,∵BO ＝3,△BOC 为直角三角形,OC 的长为|c|,∴c 2＝16－9＝7.∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上,∴c ＝－7,与2a ＋b ＝0,a －b ＋c ＝0联立组成方程组,解得a ＝73；当AB ＝AC ＝4时,∵AO ＝1,△AOC 为直角三角形,OC 的长为|c|,∴c 2＝16－1＝15. ∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上,∴c ＝－15,与2a ＋b ＝0,a －b ＋c ＝0联立组成方程组,解得a ＝153；当AC ＝BC 时,在△AOC 中,AC 2＝1＋c 2,在△BOC 中,BC 2＝c 2＋9.∵AC ＝BC,∴1＋c 2＝c 2＋9,此方程无解．∴只有两个a 值满足条件．故⑤错误．综上所述,正确的结论是③④.13．解：(1)∵抛物线开口向上,∴a>0. 又∵对称轴x ＝－b2a<0, ∴a,b 同号,即b>0.∵抛物线与y 轴交于负半轴,∴c<0. 综上所述,a>0,b>0,c<0. (2)∵OC＝OA ＝13OB,BC ＝4,∴点A 的坐标为(0,－1),点B 的坐标为(－3,0),点C 的坐标为(1,0)．把A,B,C 三点的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c 中,可得⎩⎨⎧－1＝c ，0＝9a －3b ＋c ，0＝a ＋b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝23，c ＝－1，∴该二次函数的表达式是y ＝13x 2＋23x －1.14．[全品导学号：63422210]解：∵a＞0,b ＜0,c ＜0,∴b 2－4ac ＞0, ∴这个函数图象与x 轴有两个交点．设这个函数图象与x 轴的交点坐标为(x 1,0),(x 2,0)． ∵x 1·x 2＝ca ,a ＞0,c ＜0,∴x 1·x 2＜0,∴这个函数图象与x轴有两个交点,一个交点在x轴的正半轴上,另一个交点在x轴的负半轴上．。

中考数学一轮复习《二次函数的图像与性质》练习题(含答案)

中考数学一轮复习《二次函数的图像与性质》练习题（含答案）课时1二次函数图象与性质、抛物线与系数a、b、c的关系(建议答题时间：20分钟)1. (2017长沙)抛物线y＝2(x－3)2＋4的顶点坐标是()A. (3，4)B. (－3，4)C. (3，－4)D. (2，4)2. (2017金华)对于二次函数y＝－(x－1)2＋2的图象与性质，下列说法正确的是()A. 对称轴是直线x＝1，最小值是2B. 对称轴是直线x＝1，最大值是2C. 对称轴是直线x＝－1，最小值是2D. 对称轴是直线x＝－1，最大值是23. (2017连云港)已知抛物线y＝ax2(a＞0)过A(－2，y1)、B(1，y2)两点，则下列关系式一定正确的是()A. y1＞0＞y2B. y2＞0＞y1C. y1＞y2＞0D. y2＞y1＞04. (人教九上41页第6题改编)对于二次函数y＝－3x2－12x－3，下面说法错误的是()A. 抛物线的对称轴是x＝－2B. x＝－2时，函数存在最大值9C. 当x＞－2时，y随x增大而减小D. 抛物线与x轴没有交点5. (2017眉山)若一次函数y＝(a＋1)x＋a的图象过第一、三、四象限，则二次函数y＝ax2－ax()A. 有最大值a4B. 有最大值－a4C. 有最小值a4D. 有最小值－a46. (2017广州)a≠0，函数y＝ax与y＝－ax2＋a在同一直角坐标系中的大致图象可能是()7. (2017重庆巴蜀月考)已知二次函数y＝a2x＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，下列结论中正确的是()A. abc＞0B. b＝2aC. a＋c＞D. 4a＋2b＋c＞0第7题图第9题图第11题图8. (2017乐山)已知二次函数y＝x2－2mx(m为常数)，当－1≤x≤2时，函数值y的最小值为－2，则m的值是()A. 32B. 2 C.32或 2 D. －32或 29. (2017日照)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为(4，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②4a＋b＋c＝0；③a－b＋c<0；④抛物线的顶点坐标为(2，b)；⑤当x<2时，y随x增大而增大．其中结论正确的是()A. ①②③B. ③④⑤C. ①②④D. ①④⑤10. (2017广州)当x＝________时，二次函数y＝x2－2x＋6有最小值________．11. (2017兰州)如图，若抛物线y＝ax2＋bx＋c上的P(4，0)，Q两点关于它的对称轴x＝1对称，则点Q的坐标为________．课时2 抛物线的平移、解析式的确定、与方程(不等式)的关系(建议答题时间：20分钟)1. (2017重庆南开模拟)将二次函数y ＝(x －1)2＋2的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则新的二次函数解析式为( )A . y ＝(x －3)2－1B . y ＝(x ＋1)2＋5C . y ＝(x ＋1)2－1D . y ＝(x －3)2＋52. (2017徐州)若函数y ＝x 2－2x ＋b 的图象与坐标轴有三个交点，则b 的取值范围是( )A . b ＜1且b ≠0B . b ＞1C . 0＜b ＜1D . b ＜13. (2017苏州)二次函数y ＝ax 2＋1的图象经过点(－2，0)，则关于x 的方程a (x －2)2＋1＝0的实数根为( )A . x 1＝0，x 2＝4B . x 1＝－2，x 2＝6C . x 1＝32，x 2＝52D . x 1＝－4，x 2＝04. (2017绵阳)将二次函数y ＝x 2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y ＝2x ＋b 的图象有公共点，则实数b 的取值范围是( )A . b ＞8B . b ＞－8C . b ≥8D . b ≥－85. (2017天津)已知抛物线y ＝x 2－4x ＋3与x 轴相交于点A ，B (点A 在点B 左侧)，顶点为M ，平移该抛物线，使点M 平移后的对应点M ′落在x 轴上，点B 平移后的对应点B ′落在y 轴上，则平移后的抛物线解析式为( )A . y ＝x 2＋2x ＋1B . y ＝x 2＋2x －1C . y ＝x 2－2x ＋1D . y ＝x 2－2x －16. (2017随州)对于二次函数y ＝x 2－2mx －3，下列结论错误的是( )A . 它的图象与x 轴有两个交点B . 方程x 2－2mx ＝3的两根之积为－3C . 它的图象的对称轴在y 轴的右侧D . x ＜m 时，y 随x 的增大而减小7. (2018原创)在－2，－1，0，1，2五个数字中，任取一个作为a ，使不等式组⎩⎨⎧x ＋a ≥01－x ＞x ＋2无解，且函数y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋12a ＋1的图象与x 轴只有一个交点，那么a 的值为( )A . 0B . 0或－2C . 2或－2D . 0，2或－28. (2017青岛)若抛物线y ＝x 2－6x ＋m 与x 轴没有交点，则m 的取值范围是________．9. 注重开放探究(2017上海)已知一个二次函数的图像开口向上，顶点坐标为(0，－1)，那么这个二次函数的解析式可以是________．(只需写一个)10. (2017武汉)已知关于x 的二次函数y ＝ax 2＋(a 2－1)x －a 的图象与x 轴的一个交点的坐标为(m ，0)．若2＜m ＜3，则a 的取值范围是________．11. (2017鄂州)已知正方形ABCD 中A (1，1)、B (1，2)、C (2，2)、D (2，1)，有一抛物线y ＝(x ＋1)2向下平移m 个单位(m >0)与正方形ABCD 的边(包括四个顶点)有交点，则m 的取值范围是________．12. (2017杭州)在平面直角坐标系中，设二次函数y 1＝(x ＋a )(x －a －1)，其中a ≠0.(1)若函数y 1的图象经过点(1，－2)，求函数y 1的表达式；(2)若一次函数y 2＝ax ＋b 的图象与y 1的图象经过x 轴上同一点，探究实数a ，b 满足的关系式；(3)已知点P (x 0，m )和Q (1，n )在函数y 1的图象上．若m <n ，求x 0的取值范围．答案第1课时二次函数图象与性质，抛物线与系数a 、b 、c 的关系1. A2. B3. C 【解析】画出抛物线y ＝ax 2(a ＞0)的草图如解图，根据图象可知，y 1＞0，y 2＞0，且y 1＞y 2.第3题解图4. D 【解析】由y ＝－3x 2－12x －3＝－3(x ＋2)2＋9，可知对称轴是x ＝－2，选项A 正确；抛物线的开口向下，顶点坐标是(－2，9)，当x ＝－2时，y 存在最大值9，选项B 正确；开口向下，当x ＞－2时，图象处于对称轴的右边，y 随x 增大而减小，选项C 正确；当y ＝0时，一元二次方程－3x 2－12x －3＝0有实数解，所以抛物线与x 轴有交点，选项D 错误．5. B 【解析】∵一次函数y ＝(a ＋1)x ＋a 的图象过第一、三、四象限，∴⎩⎨⎧a ＋1＞0a ＜0，解得－1＜a ＜0，∵二次函数y ＝ax 2－ax ＝a (x －12)2－a 4，又∵－1＜a ＜0，∴二次函数y ＝ax 2－ax 有最大值，且最大值为－a 4.6. D 【解析】如果a ＞0，则反比例函数y ＝a x 图象在第一、三象限，二次函数y＝－ax 2＋a 图象开口向下，排除A ；二次函数图象与y 轴交点(0，a )在y 轴正半轴，排除B ；如果a ＜0，则反比例函数y ＝a x图象在第二、四象限，二次函数y ＝－ax 2＋a 图象开口向上，排除C ；故选D .7. D 【解析】观察函数图象，抛物线开口向下，则a ＜0.对称轴在y 轴右边，则a 、b 异号，∴b ＞0.抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，则c ＞0，∴abc ＜0，选项A 错误；由抛物线的对称轴x ＝－b 2a ＝1，∴b ＝－2a ，选项B 错误；当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＜0，∴a ＋c ＜b ，选项C 错误；根据对称性可知，当x ＝2时，y＝4a ＋2b ＋c ＞0，选项D 正确．8. D 【解析】因为二次函数的对称轴为x ＝m ，所以对称轴不确定，因此需要讨论研究x 的范围与对称轴的位置关系，①当m ≥2时，此时－1≤x ≤2落在对称轴的左边，当x ＝2时y 取得最小值－2，即－2＝22－2m ×2，解得m ＝32＜2(舍)；②当－1<m <2时，此时在对称轴x ＝m 处取得最小值－2，即－2＝m 2－2m ·m ，解得m ＝－2或m ＝2，又－1<m <2，故m ＝2；③当m ≤－1时，此时－1≤x ≤2落在对称轴的右边，当x ＝－1时y 取得最小值－2，即－2＝(－1)2－2m ×(－1)，解得m ＝－32，综上所述，m ＝－32或 2.9. C 【解析】∵抛物线与x 轴交于(4，0)，对称轴为x ＝2，∴抛物线与x 轴的另一个交点为(0，0)．故①正确；∵抛物线经过原点，∴c ＝0.∵抛物线的对称轴为x ＝2，即－b 2a ＝2，∴4a ＋b ＝0，∴4a ＋b ＋c ＝0，故②正确；当x ＝－1时，抛物线的函数图象在x 轴上方，∴a (－1)2＋(－1)b ＋c >0，即a －b ＋c >0，故③错误；∵c ＝0，4a ＋b ＝0，∴抛物线的解析式为y ＝－b 4x 2＋bx ＝－b 4(x －2)2＋b ，∴抛物线的顶点坐标为(2，b )，故④正确；由图象可知，抛物线开口向上，对称轴为x ＝2，当x <2时，y 随x 的增大而减小．故⑤错误．综上所述，①②④正确．10. 1，5 11.(－2，0)第2课时抛物线的平移、解析式的确定、与方程(不等式)的关系1. C2. A3. A 【解析】∵二次函数y ＝ax 2＋1的图象经过点(－2，0)，∴代入得a (－2)2＋1＝0，解得a ＝－14，∴所求方程为－14(x －2)2＋1＝0，解方程得x 1＝0，x 2＝4.4. D 【解析】将二次函数y ＝x 2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的函数为y ＝(x －3)2－1，与一次函数联立得⎩⎨⎧y ＝（x －3）2－1y ＝2x ＋b ，整理得x 2－8x ＋8－b ＝0，∵两个函数图象有公共点，∴方程x 2－8x ＋8－b ＝0有解，则(－8)2－4(8－b )≥0，解得b ≥－8.5. A 【解析】∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点，∴令y ＝0，即x 2－4x ＋3＝0，解得，x 1＝1，x 2＝3，∴A (1，0)，B (3，0)，∵y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∴M (2，－1)．∵要使平移后的抛物线的顶点在x 轴上，需将图象向上平移1个单位，要使点B 平移后的对应点落在y 轴上，需向左平移3个单位，∴M ′(－1，0)，则平移后二次函数的解析式为y ＝(x ＋1)2，即y ＝x 2＋2x ＋1.6. C 【解析】∵Δ＝(－2m )2－4×1×(－3)＝4m 2＋12＞0，∴图象与x 轴有两个交点，A 正确；令y ＝0得：x 2－2mx －3＝0，方程的解即抛物线与x 轴交点的横坐标，由A 知图象与x 轴有两个交点，故方程有两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系可得两根之积为c a ＝－31＝－3，B 正确；根据抛物线对称轴公式可得对称轴为x ＝－b 2a ＝－－2m 2＝m ，∵m 的值不能确定，故对称轴是否在y 轴的右侧不能确定，C 错误；∵a ＝1＞0，抛物线开口向上，∴对称轴的左侧的函数值y 随x 的增大而减小，由C 知抛物线对称轴为x ＝m ，∴当x ＜m 时，y 随x 的增大而减小，D 正确，故选C .7. B 【解析】解不等式x ＋a ≥0得x ≥－a ，解不等式1－x >x ＋2得x ＜－12，因为不等式组无解，故－a ≥－12，解得a ≤12；当a ≠0时，b 2－4ac ＝(a ＋2)2－4a (12a ＋1)＝0，解得a ＝2或－2，当a ＝0时，函数是一次函数，图象与x 轴有一个交点，所以当a ＝0，2或－2时，图象与x 轴只有一个交点，但a ≤12，∴a ＝0或－2.8. m >9 9. y ＝x 2－1(答案不唯一)10. 13＜a ＜12或3＜a ＜－2 【解析】令y ＝0，即ax 2＋(a 2－1)x －a ＝0，(ax －1)(x＋a )＝0，∴关于x 的二次函数y ＝ax 2＋(a 2－1)x －a 的图象与x 轴的交点为(1a ，0)和(－a ，0)，即m ＝1a 或m ＝－a ，又∵2＜m ＜3，则13＜a ＜12或－3＜a ＜－2.11. 2≤m ≤8 【解析】∵将抛物线y ＝(x ＋1)2向下平移m 个单位，得到抛物线y ＝(x ＋1)2－m ，由平移后抛物线与正方形ABCD 的边有交点，则当点B 在抛物线上时，m 取最小值，此时(1＋1)2－m ＝2，解得m ＝2，当点D 在抛物线上时，m 取最大值，此时(2＋1)2－m ＝1，解得m ＝8，综上所述，m 的取值范围是2≤m ≤8.12. 解：(1)由题意知(1＋a )(1－a －1)＝－2，即a (a ＋1)＝2，∵y 1＝x 2－x －a (a ＋1)，∴y1＝x2－x－2；(2)由题意知，函数y1的图象与x轴交于点(－a，0)和(a＋1，0)，当y2的图象过点(－a，0)时，得－a2＋b＝0；当y2的图象过点(a＋1，0)时，得a2＋a＋b＝0；(3)由题意知，函数y1的图象的对称轴为直线x＝12，所以点Q(1，n)与点(0，n)关于直线x＝12对称．因为函数y1的图象开口向上，所以当m＜n时，0＜x0＜1.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。