高一数学必修一经典题型举一反三——函数的概念重难点题型【解析版】
【高中数学经典】函数y=Asin(ωx+φ)的图象重难点题型(举一反三)
【高中数学】函数y=Asin （ωx+φ）的图象重难点题型【举一反三系列】【知识点1 用五点法作函数y=Asin （ωx+φ）的图象】用“五点法”作sin()y A x ωϕ=+的简图，主要是通过变量代换，设z x ωϕ=+，由z 取30,,,,222ππππ来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象.用“五点法”作图象的关键是点的选取，其中横坐标成等差数列，公差为4T .【知识点2 函数y=Asin （ωx+φ）中有关概念】()sin()0,0y A x A ωϕω=+>>表示一个振动量时，A 叫做振幅，2T πω=叫做周期，12f T ωπ==叫做频率，x ωϕ+叫做相位，x=0时的相位ϕ称为初相.【知识点3 由y=sinx 得图象通过变换得到y=Asin （ωx+φ）的图象】 1.振幅变换：sin()y A x ωϕ=+sin y A x x R =∈，(A>0且A≠1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A 倍得到的(横坐标不变)，它的值域[-A ，A]，最大值是A ，最小值是-A.若A<0可先作y=-Asinx 的图象，再以x 轴为对称轴翻折.A 称为振幅. 2.周期变换：函数()sin 01y x x R ωωω=∈>≠，且的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短()1ω>或伸长()01ω<<到原来的1ω倍(纵坐标不变).若0ω<则可用诱导公式将符号“提出”再作图.ω决定了函数的周期. 3.相位变换：函数()sin y x x R ϕ=+∈，(其中0ϕ≠)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当ϕ＞0时)或向右(当ϕ＜0时)平行移动ϕ个单位长度而得到.(用平移法注意讲清方向：“左加右减”).一般地，函数()sin()0,0y A x A x R ωϕω=+>>∈，的图象可以看作是用下面的方法得到的：(1) 先把y=sinx 的图象上所有的点向左(ϕ>0)或右(ϕ<0)平行移动ϕ个单位； (2) 再把所得各点的横坐标缩短()1ω>或伸长()01ω<<到原来的1ω倍(纵坐标不变)；(3) 再把所得各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A 倍(横坐标不变).【考点1 正、余型函数作图】【例1】（2019•岳麓区校级学业考试）知函数，x∈R．（1）填写下表，用“五点法”画在一个周期内的图象．x0π2π000（2）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．【分析】（1）利用三角函数求值完成表格，通过五点法作图化简函数的图象．（2）利用三角函数的周期公式以及正弦函数的单调区间的求法，求解即可．【答案】解：（1）填表和作图如下．（4分）x0π2π030﹣30（2）函数f（x）的最小正周期为，又，k∈Z，解得，所以函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z．【点睛】本题考查三角函数的图象的画法，三角函数的值的求法，函数的单调性以及函数的周期的求法，考查计算能力．【变式1-1】（2018秋•海淀区期末）已知函数．（Ⅰ）求T的最小正周期T；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）在给定的坐标系中作出函数的简图，并直接写出函数f（x）在区间上的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用正弦函数的周期公式即可计算得解；（Ⅱ）利用正弦函数的单调性即可求解；（Ⅲ）利用五点作图法即可画出函数f（x）在一个周期内的图象，根据正弦函数的性质即可求解．【答案】（本小题满分11分）解：（Ⅰ）．……………………（2分）（Ⅱ）由，k∈Z，……………………（4分）可得：，k∈Z．所以函数f（x）的单调递增区间是：，k∈Z．……………………（6分）（Ⅲ）列对应值表如下：2x+0π2πx﹣f（x）020﹣20通过描出五个关键点，再用光滑曲线顺次连接作出函数的简图如图所示．……………………（8分）可得函数在区间上的取值范围是．……………………（11分）注：中每一个端点正确给（1分），括号正确（1分）．【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，考查了五点法作函数y＝A sin（ωx+φ）的图象，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．【变式1-2】（2018秋•香坊区校级期末）某同学用“五点法”画函数，在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：ωx+φ0π2πxy＝A sin（ωx+φ）0300（1）请将上表数据补充完整；函数f（x）的解析式为f（x）＝（直接写出结果即可）；（2）根据表格中的数据作出f（x）一个周期的图象；（3）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．【分析】（1）由题意补充完整表格，写出f（x）的解析式；（2）根据表格中的数据作出f（x）一个周期的图象即可；（3）求出函数f（x）在区间上的最大值和最小值即可．【答案】解：（1）由题意，补充完整下表是；ωx+φ0π2πxy＝A sin（ωx+φ）030﹣30写出函数f（x）的解析式为f（x）＝3sin（2x﹣）；（2）根据表格中的数据作出f（x）一个周期的图象，如图所示；（3）函数f（x）＝3sin（2x﹣），x∈[﹣，0]，2x﹣∈[﹣，﹣]；∴x＝﹣时，f（x）在区间上取得最大值为﹣，x＝﹣时，f（x）取得最小值为﹣3．【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．【变式1-3】（2019•望花区校级学业考试）函数f（x）＝A sin（ωx﹣）+1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，（Ⅰ）求函数f（x）的解析式和当x∈[0，π]时f（x）的单调减区间；（Ⅱ）f（x）的图象向右平行移动个长度单位，再向下平移1个长度单位，得到g（x）的图象，用“五点法”作出g（x）在[0，π]内的大致图象．【分析】（Ⅰ）根据条件求出A，ω的值，即可求函数f（x）的解析式，结合函数的单调性即可求当x∈[0，π]时f（x）的单调减区间；（Ⅱ）根据三角函数的图象平移关系求出g（x）的解析式，利用五点法进行作图即可．【答案】解：（Ⅰ）∵函数f（x）的最大值是3，∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，∴最小正周期T＝π，∴ω＝2．（2分）所以f（x）＝2sin（2x﹣）+1令+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，即+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，（4分）∵x∈[0，π]，∴f（x）的单调减区间为[，]．（5分）（Ⅱ）依题意得g（x）＝f（x﹣）﹣1＝2sin（2x﹣），列表得：x0π2x﹣﹣0πg（x）﹣020﹣2﹣（7分）描点（0，﹣），（，0），（，2），（，0），（，﹣2），（π，﹣），（8分）连线得g（x）在[0，π]内的大致图象．（10分）【点睛】本题主要考查三角函数图象和性质，根据条件求出函数的解析式以及利用五点法作图是解决本题的关键．【考点2 图象变换与解析式】【例2】（2019秋•芜湖期末）给出下列8种图象变换方法：①图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的；②图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍；③图象上所有点的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的；④图象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍；⑤图象向右平移个单位；⑥图象向左平移个单位；⑦图象向右平移个单位；⑧图象向左平移个单位．请选择上述变换方法中的部分变换方法并按照一定顺序排列将函数y＝sin x的图象变换到函数的图象，要求写出每一种变换后得到的函数解析式．（只需给出一种方法即可）．【分析】利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【答案】解：将函数y＝sin x的图象向左平移个单位，可得y＝sin（x+）的图象；再把所得图象的横坐标变为原来的2倍，可得y＝sin（x+）的图象；再把所得图象的纵坐标变为原来的倍，可得y＝sin（x+）的图象．即按照⑥②③的顺序进行．【点睛】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．【变式2-1】说明由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换就能得到下列函数的图象：（1）y＝sin（x+）；（2）y＝sin（2x﹣）；（4）y＝5sin（3x﹣）；（3）y＝sin（x+）．【分析】由条件根据函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【答案】解：（1）把y＝sin x的图象向左平移个单位，可得y＝sin（x+）的图象；（2）把y＝sin x的图象向右平移个单位，可得y＝sin（x﹣）的图象；再把所得图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，可得y＝sin（2x﹣）的图象；（4）把y＝sin x的图象向右平移个单位，可得y＝sin（x﹣）的图象；再把所得图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，可得y＝sin（3x﹣）的图象；再把所得图象的纵坐标变为原来的5倍，横坐标不变，可得y＝5sin（3x﹣）的图象；（3）把y＝sin x的图象向左平移个单位，可得y＝sin（x+）的图象；再把所得图象的横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变，可得y＝sin（x+）的图象；再把所得图象的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，可得y＝sin（x+）的图象；【点睛】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．【变式2-2】y＝sin（﹣2x+）经过怎样变换得到y＝sin2x的图象．【分析】首先，化简函数y＝﹣sin（2x﹣），然后，结合图象平移进行求解即可．【答案】解：∵y＝sin（﹣2x+）＝﹣sin（2x﹣），先将该函数图象关于x轴对称，得到函数y＝sin（2x﹣），然后，再将所得函数图象向左平移个单位，得到函数y＝sin2x的图象，即为所求．【点睛】本题重点考查了三角函数图象平移变换，三角函数诱导公式等知识，属于中档题．解题关键是熟练应用平移变换．【变式2-3】请说明由函数y＝cos（x+）图象经过怎样的变换可得到y＝cos x的图象．【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【答案】解：把函数y＝cos（x+）图象的每一点的横坐标变为原来的一半，可得函数y＝cos（x+）的图象；再把所得图象向右平移个单位，可得到y＝cos x的图象．【点睛】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．【考点3 由图象求解析式】【例3】（2019春•静宁县校级期末）已知函数的部分图象如图所示，（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的单调增区间和对称中心坐标；【分析】（1）根据图象求出A，ω和φ，即可求函数f（x）的解析式；（2）根据正弦函数即可得到结论．【答案】解：（1）由题设图象知，A＝2，周期T＝2（﹣）＝π，∴ω＝＝2．∵点（，2）在函数图象上，∴2sin（2×+φ）＝2，即sin（+φ）＝1．又∵0＜φ＜，从而+φ＝，即φ＝．故函数f（x）的解析式为f（x）＝2sin（2x）．（2）由（1）可知f（x）＝2sin（2x）．令2x≤，可得：≤x≤∴f（x）的单调增区间[，]，k∈Z；令2x＝kπ，可得x＝，∴f（x）的对称中心坐标为（，0）．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系．【变式3-1】（2019春•秦州区校级期末）已知函数y＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的图象如图所示．（1）求这个函数的解析式，并指出它的振幅和初相；（2）求函数在区间[﹣，﹣]上的最大值和最小值，并指出取得最值时的x的值．【分析】（1）由函数图象观察可知A，可求函数的周期，由周期公式可得ω，由点（，2）在函数图象上，结合范围φ的范围，即可求得φ的值，即可求解．（2）由已知可求2x+∈[﹣，0]，利用正弦函数的图象与性质即可求解．【答案】解：（1）由函数图象可知，函数的最大值为2，最小值为﹣2，可得A＝2，又＝﹣（﹣），所以T＝π，可得：＝π，可得：ω＝2，所以函数的解析式为y＝2sin（2x+φ），因为函数的图象经过点（，2），所以2sin（+φ）＝2，可得：sin（+φ）＝1，又因为0＜φ＜，所以φ＝，所以函数的解析式为y＝2sin（2x+），其振幅是2，初相是．（2）因为：[﹣，﹣]，所以：2x+∈[﹣，0]，于是，当2x+＝0，即x＝﹣时，函数取得最大值0；当2x+＝﹣，即x＝﹣时，函数取得最小值﹣2．【点睛】本题主要考查了由y＝A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了数形结合思想，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题．【变式3-2】（2019春•湛江期末）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的一段图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若x∈[﹣，]，求函数f（x）的值域．【分析】（Ⅰ）由函数f（x）的一段图象求得A、T、ω和φ的值即可；（Ⅱ）由x∈[﹣，]求得2x+的取值范围，再利用正弦函数求得f（x）的最大和最小值即可．【答案】解：（Ⅰ）由函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的一段图象知，A＝2，＝﹣（﹣）＝，∴T＝＝π，解得ω＝2，又x＝﹣时，2sin（﹣×2+φ）＝2，﹣+φ＝，解得φ＝；∴函数f（x）的解析式为f（x）＝2sin（2x+）；（Ⅱ）x∈[﹣，]时，2x+∈[0，]，令2x+＝，解得x＝﹣，此时f（x）取得最大值为2；令2x+＝，解得x＝，此时f（x）取得最小值为﹣；∴函数f（x）的值域为[﹣，2]．【点睛】本题考查了函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的图象和性质的应用问题，是基础题．【变式3-3】（2019春•小店区校级期中）已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数，求函数y＝g（x）的最小正周期及单调递增区间．【分析】（1）根据三角函数的图象求出A，ω和φ的值即可求函数f（x）的解析式；（2）利用三角函数的平移变换可求g（x）的解析式，找出ω的值代入周期公式即可求出函数的最小正周期，根据正弦函数的单调递增区间即可得到f（x）的递增区间；【答案】解：（1）由图象知函数的周期T＝2（﹣）＝π，即ω＝＝＝2，则f（x）＝A sin（2x+φ），∵0＜φ＜，∴由五点对应法知2×+φ＝π，解得φ＝，即f（x）＝A sin（2x+），∵f（0）＝A sin＝A＝1，∴A＝2，即函数f（x）的解析式f（x）＝2sin（2x+）；（2）∵＝2sin[2（x﹣）+]＝2sin（2x﹣），∴函数f（x）的最小正周期为T＝＝π；由﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，解得：﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，则f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出A，ω和φ的值是解决本题的关键，综合考查三角函数的性质，属于中档题．【考点4 函数y=Asin（ωx+φ）性质的应用】【例4】（2018秋•温州期末）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将f（x）的图象先向右平移个单位，所得函数g（x）为奇函数，函数g（x）的最大值为2．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的单调增区间；（3）若，求f（x）的值域．【分析】（1）由周期求得ω，由函数g（x）为奇函数求得φ和b的值，从而得到函数f（x）的解析式．（2）令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可得到函数的增区间．（3）由已知可求2x+∈[，π]，利用正弦函数的性质可求sin（2x+）∈[0，1]，即可得解．【答案】（本题满分为10分）解：（1）∵＝2×，∴ω＝2，∴f（x）＝A sin（2x+φ）．又g（x）＝A sin[2（x﹣）+φ]为奇函数，且0＜φ＜π，则φ＝，A＝2，故f（x）＝2sin（2x+）…3分（2）令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得﹣+kπ≤x≤+kπ，（k∈Z），故函数的增区间为[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）…6分（3）∵，∴2x+∈[，π]，∴sin（2x+）∈[0，1]，∴f（x）＝2sin（2x+）∈[0，2]，可得若，f（x）的值域为：[0，2]．…10分【点睛】本题主要考查由函数y＝A sin（ωx+∅）的部分图象求解析式，正弦函数的单调性，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．（2019春•杨浦区校级期中）已知函数【变式4-1】的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+2π，﹣2）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）将函数y＝f（x）的图象向左平移a（a∈（0，2π））个单位后，得到的函数y＝g（x）是奇函数，求a的值．【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（2）由题意根据函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的奇偶性，求得a的值．【答案】解：（1）∵函数的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+2π，﹣2），∴A＝2，且•＝2π，∴ω＝．∴2cosφ＝1，∴cosφ＝，∴φ＝（舍去，不满足图象），或φ＝﹣，∴f（x）＝2cos（x﹣）．（2）将函数y＝f（x）的图象向左平移a（a∈（0，2π））个单位后，得到的函数y＝g（x）＝2cos（x+﹣）的图象，由于g（x）是奇函数，∴﹣＝，∴a＝．【点睛】本题主要考查由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．【变式4-2】（2018秋•遂宁期末）如图，函数的图象与y 轴交于点（0，1），若|f（x1）﹣f（x2）|＝4时，|x1﹣x2|的最小值为．（1）求θ和ω的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间与对称轴方程．【分析】（1）由特殊点的坐标求出φ的值，由周期求出ω，可得函数的解析式．（2）利用余弦函数的单调性和它的图象的对称性，求得函数f（x）的单调递增区间与对称轴方程．【答案】解：（1）∵函数的图象与y轴交于点（0，1），将x＝0，y＝1代入函数y＝2cos（ωx+θ）得，因为，所以．又因为|f（x1）﹣f（x2）|＝4时，|x1﹣x2|的最小值为．可知函数周期为T＝π，由ω＞0，所以．因此．（2）由，得，所以函数的单调递增区间为．由，得．所以函数f（x）图象的对称轴方程为．【点睛】本题主要考查由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由特殊点的坐标求出φ的值，由周期求出ω，余弦函数的单调性和它的图象的对称性，属于基础题．【变式4-3】（2019秋•大庆期末）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象与y 轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+2π，﹣2）．（1）求f（x）的解析式及x0的值；（2）求f（x）的增区间；（3）若x∈[﹣π，π]，求f（x）的值域．【分析】（1）利用函数图象确定函数的振幅，周期，利用f（0）＝1求出φ，求出f（x）的解析式，y 轴右侧的第一个最高点即可求出x0的值；（2）通过正弦函数的单调增区间，直接求函数f（x）的增区间；（3）通过x∈[﹣π，π]，求出x+的范围，然后利用正弦函数的值域求f（x）的值域．【答案】解：由图象以及题意可知A＝2，，T＝4π，ω＝＝，函数f（x）＝2sin（x+φ），因为f（0）＝1＝2sinφ，|φ|＜，所以φ＝．∴f（x）＝2sin（x+）．由图象f（x0）＝2sin（x0+）＝2，所以x0+＝k∈Z，因为在y轴右侧的第一个最高点的坐标分别为（x0，0），所以x0＝．（2）由，k∈Z，得，k∈Z，所以函数的单调增区间为．（3）∵x∈[﹣π，π]，∴x+，∴≤sin（x+）≤1．2sin（x+）≤2．所以函数的值域为：[]．【点睛】本题是中档题，考查函数解析式的求法，阿足协还是的单调增区间的求法，函数的值域的求法，考查计算能力．【考点5 数形结合思想】【例5】（2019秋•顺庆区校级期末）五点法作函数的图象时，所填的部分数据如下：x﹣ωx+φ﹣0πy﹣1131﹣1（1）根据表格提供数据求函数f（x）的解析式；（2）当时，方程f（x）＝m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．【分析】（1）由表中的最大值和最小值可得A的值，通过＝T，可求ω．根据对称中点坐标可知B＝1，图象过（﹣）带入求解φ，可得函数f（x）的解析式．（2）当时，求解内层的范围，结合三角函数的图象，数形结合法，f（x）＝m恰有两个不同的解，转化为f（x）与y＝m图象有两个交点的问题求解即可求实数m的取值范围．【答案】解：由表中的最大值为3，最小值为﹣1，可得A＝，由＝T，则T＝2π．∴，∵y＝2sin（ωx+φ）的最大值是2，故得B＝3﹣2＝1．此时函数f（x）＝2sin（x+φ）+1．∵图象过（﹣）带入可得：﹣1＝2sin（+φ）+1，可得：φ＝﹣，（k∈Z）．解得：φ＝，∵φ，∴φ＝﹣．故得函数f（x）的解析式为f（x）＝2sin（x﹣）+1（2）当时，则x﹣∈[0，]，令u＝x﹣，u∈[0，]，则y＝2sin u+1的图象与与y＝m图象有两个交点．从图象可以看出：当x＝时，函数f（）＝，y＝2sin u+1的图象与与y＝m图象有两个交点．那么：．∴实数m的取值范围是[，3）【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系．【变式5-1】（2019春•城关区校级期末）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ），x∈R（其中）的图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式及其对称方程；（2）当时，方程f（x）＝2a﹣3有两个不等的实根x1，x2，求实数a的取值范围，并求此时x1+x2的值．【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式，再根据正弦函数的图象的对称性，求出它的对称方程．（2）根据题意，当时，y＝f（x）的图象与直线y＝2a﹣3有两个不同的交点，可得，从而求得x1+x2的值．【答案】解：（1）由图知，．由，即，故，所以．又，所以，故．令则，所以f（x）的对称轴方程为．（2）∵，∴f（x）＝2sin（2x+）∈[﹣1，2]．所以方程f（x）＝2a﹣3有两个不等实根时，y＝f（x）的图象与直线y＝2a﹣3有两个不同的交点．∵，当时，f（x1）＝f（x2），所以，故．【点睛】本题主要考查由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．【变式5-2】（2019秋•香坊区校级月考）如图是函数的部分图象．（1）求函数f（x）表达式；（2）若函数f（x）满足方程，求在[0，2π]内的所有实数根之和．【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（2）由题意利用正弦函数的图象的对称性，求得结论．【答案】解：（1）根据函数的部分图象，可得A＝1，•＝﹣，求得ω＝2．再根据五点法作图，可得2+φ＝π，∴φ＝，∴f（x）＝sin（2x+）．（2）满足方程，在[0，2π]内，2x+∈[，]，共有4个根，设这4个根为x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则根据正弦函数的图象的对称性可得2x1++2x4+＝2 x2++2 x3+＝，故x1+x4＝x2+x3＝，∴在[0，2π]内所有实数根之和为x1+x2+x3+x4＝．【点睛】本题主要考查由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．【变式5-3】（2019春•郴州期末）如图为函数f（x）＝sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象．（Ⅰ）求函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的解析式；（Ⅱ）若x∈[0，]时，函数y＝[f（x）]2﹣2f（x）﹣m有零点，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据图象得到f（x）的周期，零点和最小值，从而得到f（x）的解析式；（Ⅱ）根据x的范围，得到f（x）的范围，再由函数y＝[f（x）]2﹣2f（x）﹣m有零点，可得方程m＝[f （x）]2﹣2f（x）有实根，解出[f（x）]2﹣2f（x）的范围即可得m的范围．【答案】解：（Ⅰ）由图象可知，，∴，ω＝2，∵，k∈Z，及|φ|＜，∴φ＝，而f（0）＝，A＞0，∴A＝，∴；（Ⅱ）∵x∈[0，]，∴，∴f（x）∈，又函数y＝[f（x）]2﹣2f（x）﹣m有零点，∴方程m＝[f（x）]2﹣2f（x）有实根，∵f（x）∈，∴[f（x）﹣1]2﹣1∈[﹣1，3]，因此，实数m的取值范围为[﹣1，3]．【点睛】本题考查了利用函数f（x）＝sin（ωx+φ）的部分图象求解析式和函数的零点，考查了数形结合思想和方程思想，属中档题．。
人教版高中数学必修一《函数的应用》重难点解析(含答案)
人教版数学必修一第三章《函数的应用》重难点解析第三章 课文目录 3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用重点：1．通过用“二分法”求方程近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系,初步形成用函数观点处理问题的意识.2．认识指数函数、对数函数、幂函数等 函数模型的增长差异,体会直线上升、指数爆炸、对数增长的差异. 难点：1．在利用“二分法”求方程近似解的过程中，对给定精确度的近似解的计算. 2．如何选择适当的函数模型分析和解决 实际问题.一、方程的根和函数的零点1．函数的零点给出三个具体函数的图象——设置问题研究情景，通过对函数图像的观察，归纳出结论：一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根，就是相应的二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴的交点的横坐标。
我们把使()0=x f 的实数x 叫做函数()x f y =的零点。
注意函数的零点与方程的根间的联系和区别，二者不能混为一谈。
例1 函数322--=x x y 的零点是（ ）A ．31=-=x x 或B ．()()030,1，或-C ．31-==x x 或D ．()()030,1，或- 函数的零点与方程的根——形数的结合的典范。
利用学生熟悉的二次函数的图象和性质，为理解函数的零点提供直观认识，为判定零点是否存在和求零点提供支持，使函数零点的求解与函数的变化建立联系。
为判断方程()0=x f 实数根的个数，只需观察函数()x f y =的图象与x 轴交点的个数——方程根的研究转化为函数零点的研究。
例2 判断方程062ln =-+x x 实根的个数。
2．函数零点存在的判定引导学生观察图象连续的函数的变化情况，让学生通过连续的函数值的变化情况认识到：当函数值由正变为负时必定经过一个零点； 当函数值由负变为正时必定经过一个零点。
由此概括得到函数零点存在的判定方法。
如果函数()x f y =在区间[]b a ,上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0<⋅b f a f ，那么，函数()x f y =在区间()b a ,内有零点，即存在()b a c ,∈，使得()0=c f ，这个c 也就是方程()0=x f 的根。
人教A版必修1第二章2.2.2对数函数及其性质重难点题型(举一反三)(含解析版)
2.2.2对数函数及其性质重难点题型【举一反三系列】【知识点1 对数函数的定义】1.对数函数的概念一般地，把函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).2.两种特殊的对数函数（1）常用对数函数：以10为底的对数函数x y lg =. （2）自然对数函数：以无理数e 为底的对数函数x y ln =. 【知识点2 对数函数的图象与性质】 对数函数的图象与性质列表如下：温馨提示：掌握对数函数的图象和性质，其关键是理解图象的特征，利用几何直观掌握函数的性质. 【知识点3 反函数】在指数函数)10(≠>=a a a y x ，中，x 是自变量，y 是x 的函数，其定义域是R ，值域是（0，+∞）；在对数函数)1,0(log ≠>=a a y x a 中，y 是自变量，x 是y 的函数，其定义域是R ，值域是（0，+∞）， 像这样的两个函数叫作互为反函数.【考点1 对数函数的概念】【例1】（2019秋•林芝县校级月考）下列函数是对数函数的是（）A．y＝log3（x+1）B．y＝log a（2x）（a＞0，且a≠1）C．y＝lnxD．【变式1-1】给出下列函数：①y＝x2；②y＝log3（x﹣1）；③y＝log x+1x；④y＝logπx．其中是对数函数的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式1-2】下列函数表达式中，是对数函数的有（）①y＝log x2；②y＝log a x（a∈R）③y＝log8x；④y＝lnx⑤y＝log x（x+2）；⑥y＝2log4x⑦y＝log2（x+1）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式1-3】下列函数中，是对数函数的个数为（）①y＝log a x2（a＞0，且a≠1）；②y＝log2x﹣1；③y＝2log8x；④y＝log x a（x＞0，且x≠1）；⑤y＝log5x；⑥y＝log a x（a＞0，a≠1）A．1B．2C．3D．4【考点2 利用对数函数的性质比较大小】【例2】（2019秋•福田区校级月考）设，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a【变式2-1】（2019秋•天山区校级月考）已知正实数a，b，c满足log a2＝2，log3b＝，c6＝7，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b【变式2-2】（2019秋•沙坪坝区校级月考）已知a＝log30.3，b＝30.3，c＝0.30.2，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a【变式2-3】（2019•西湖区校级模拟）下列关系式中，成立的是（）A．B．C．D．【考点3 与对数函数有关的函数图象识别】【例3】（2018秋•合阳县期末）已知a＞0，b＞0，且ab＝1，a≠1，则函数f（x）＝a x与函数g（x）＝﹣log b x在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【变式3-1】（2019•西湖区校级模拟）若当x∈R时，函数f（x）＝a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，则函数y＝log a||的图象大致为（）A．B．C．D．【变式3-2】（2018秋•船营区校级月考）函数f（x）＝的图象可能是（）A．B．C．D．【变式3-3】（2019秋•洛南县期末）函数y＝|lg（x+1）|的图象是（）A．B．C．D．【考点4 对数函数图象过定点问题】【例4】（2018秋•赣州期中）函数y＝log a（x﹣1）+log a（x+1）（a＞0且a≠1）的图象必过定点（）A．（）B．（0，﹣）C．（）D．（）【变式4-1】（2019秋•水富县校级月考）已知函数y＝3+log a（2x+3）（a＞0，a≠1）的图象必经过定点P，则P点坐标是（）A．（1，3）B．（﹣，4）C．（﹣1，3）D．（﹣1，4）【变式4-2】（2018秋•烟台期中）函数y＝log a（x+2）+a x+1+2（a＞0，且a≠1）的图象必经过的点是（）A．（0，2）B．（2，2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，3）【变式4-3】（2019秋•赣州期末）已知a＞0，a≠1，则f（x）＝log a的图象恒过点（）A．（1，0）B．（﹣2，0）C．（﹣1，0）D．（1，4）【考点5 有关对数函数奇偶性问题】【例5】（2018•肇庆二模）已知f（x）＝lg（10+x）+lg（10﹣x），则f（x）是（）A．f（x）是奇函数，且在（0，10）是增函数B．f（x）是偶函数，且在（0，10）是增函数C．f（x）是奇函数，且在（0，10）是减函数D．f（x）是偶函数，且在（0，10）是减函数【变式5-1】（2019秋•南充期末）已知函数f（x）＝log a（x﹣m）的图象过点（4，0）和（7，1），则f （x）在定义域上是（）A．增函数B．减函数C．奇函数D．偶函数【变式5-2】（2019秋•新宁县校级期中）对于函数，下列说法正确的是（）A．f（x）是奇函数B．f（x）是偶函数C．f（x）是非奇非偶函数D．f（x）既是奇函数又是偶函数【变式5-3】（2016春•石家庄校级月考）函数f（x）＝ln（1+2x），g（x）＝ln（1﹣2x），则f（x）+g（x）为（）A．奇函数B．偶函数C．既不是奇函数又不是偶函数D．既是奇函数又是偶函数【考点6 与对数函数有关的定义域问题】【例6】（2018秋•肇庆期末）函数y＝的定义域为（）A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（1，2）∪（2，+∞）D．（1，2）∪[3，+∞）【变式6-1】（2019•西湖区校级模拟）函数的定义域是（）A．B．C．D．【变式6-2】（2018秋•宜宾期末）函数y＝的定义域是（）A．（，+∞）B．（，1]C．（﹣∞，1]D．[1，+∞）【变式6-3】（2018春•连城县校级月考）函数y＝的定义域是（）A．[1，+∞）B．（，+∞）C．（1，+∞）D．（，1]【考点7 与对数函数有关的值域问题】【例7】（2019秋•南昌校级期中）函数y＝log4（2x+3﹣x2）值域为．【变式7-1】（2019春•赣榆区校级月考）函数的值域为．【变式7-2】（2019秋•九原区校级期末）函数y＝（x）2﹣x2+5 在2≤x≤4时的值域为．【变式7-3】（2019秋•松江区期末）函数的值域为．【考点8 与对数函数有关的最值问题】【例8】（2019秋•离石区校级月考）设x≥0，y≥0且x+2y＝，则函数u＝log0.5（8xy+4y2+1）的最大值为．【变式8-1】（2019秋•田阳县校级月考）函数f（x）＝log a（x+1）在[0，3]上的最大值与最小值的差为2，则a的值为．【变式8-2】（2019春•天津期末）若函数y＝log a（x2﹣ax+1）有最小值，则a的取值范围是．【变式8-3】（2019秋•会宁县校级期中）已知函数f（x）＝2+log3x，x∈[1，9]，函数y＝[f（x）]2+f（x2）的最大值为．【考点9 与对数函数的单调性有关的问题】【例9】（2019春•吉林期末）已知函数f（x）＝log a（x+3）﹣log a（3﹣x），a＞0且a≠1．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断并证明函数f（x）的奇偶性；（3）若a＞1，指出函数的单调性，并求函数f（x）在区间[0，1]上的最大值．【变式9-1】（2018秋•南岗区校级期中）已知f（x）＝log a（a＞0，且a≠1，m≠﹣1）是定义在区间（﹣1，1）上的奇函数，（1）求f（0）的值和实数m的值；（2）判断函数f（x）在区间（﹣1，1）上的单调性，并说明理由；（3）若f（）＞0且f（b﹣2）+f（2b﹣2）＞0成立，求实数b的取值范围．【变式9-2】（2019秋•番禺区校级期中）已知函数．（1）求函数的定义域．（2）讨论函数f（x）的奇偶性．（3）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明．【变式9-3】（2019秋•荔湾区校级期末）已知函数f（x）＝log3（1+x）﹣log3（1﹣x）．（1）求函数f（x）定义域，并判断f（x）的奇偶性．（2）判断函数f（x）在定义域内的单调性，并用单调性定义证明你的结论．（3）解关于x的不等式f（1﹣x）+f（1﹣x2）＞0．2.2.2对数函数及其性质重难点题型【举一反三系列】【知识点1 对数函数的定义】 1.对数函数的概念一般地，把函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). 2.两种特殊的对数函数（1）常用对数函数：以10为底的对数函数x y lg =. （2）自然对数函数：以无理数e 为底的对数函数x y ln =. 【知识点2 对数函数的图象与性质】对数函数的图象与性质列表如下：温馨提示：掌握对数函数的图象和性质，其关键是理解图象的特征，利用几何直观掌握函数的性质. 【知识点3 反函数】在指数函数)10(≠>=a a a y x ，中，x 是自变量，y 是x 的函数，其定义域是R ，值域是（0，+∞）；在对数函数)1,0(log ≠>=a a y x a 中，y 是自变量，x 是y 的函数，其定义域是R ，值域是（0，+∞）， 像这样的两个函数叫作互为反函数.【考点1 对数函数的概念】【例1】（2019秋•林芝县校级月考）下列函数是对数函数的是（ ） A ．y ＝log 3（x +1）B．y＝log a（2x）（a＞0，且a≠1）C．y＝lnxD．【分析】根据对数函数的定义即可得出．【答案】解：根据对数函数的定义可得：只有y＝lnx为对数函数．故选：C．【点睛】本题考查了对数函数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【变式1-1】给出下列函数：①y＝x2；②y＝log3（x﹣1）；③y＝log x+1x；④y＝logπx．其中是对数函数的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由对数函数的定义依次判断即可．【答案】解：①y＝x2的真数为x2，故不是对数函数；②y＝log3（x﹣1）的真数为x﹣1，故不是对数函数；③y＝log x+1x的底数为x+1，故不是对数函数；④y＝logπx是对数函数；故选：A．【点睛】本题考查了对数函数的定义的应用．【变式1-2】下列函数表达式中，是对数函数的有（）①y＝log x2；②y＝log a x（a∈R）③y＝log8x；④y＝lnx⑤y＝log x（x+2）；⑥y＝2log4x⑦y＝log2（x+1）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据对数函数的定义，y＝log a x（a＞0，且a≠1），逐一分析给定函数是否为指数函数，可得结论．【答案】解：①y＝log x2不是对数函数；②y＝log a x（a∈R）不是对数函数；③y＝log8x是对数函数；④y＝lnx是对数函数；⑤y＝log x（x+2）不是对数函数；⑥y＝2log4x不是对数函数；⑦y＝log2（x+1）不是对数函数；综上所述，对数函数有2个，故选：B．【点睛】本题考查的知识点是对数函数的定义，熟练掌握对数函数的定义，是解答的关键．【变式1-3】下列函数中，是对数函数的个数为（）①y＝log a x2（a＞0，且a≠1）；②y＝log2x﹣1；③y＝2log8x；④y＝log x a（x＞0，且x≠1）；⑤y＝log5x；⑥y＝log a x（a＞0，a≠1）A．1B．2C．3D．4【分析】根据对数函数的定义进行判断即可．【答案】解：①y＝log a x2（a＞0，且a≠1），真数不是变量x，不是对数函数；②y＝log2x﹣1，不是对数函数；③y＝2log8x；系数不是1，不是对数函数④y＝log x a（x＞0，且x≠1），底数不是常数，不是对数函数；⑤y＝log5x，满足对数函数的定义，是对数函数；⑥y＝log a x（a＞0，a≠1）满足对数函数的定义，是对数函数，故是对数函数的有⑤⑥，共有2个，故选：B．【点睛】本题主要考查函数概念的判断，根据对数函数的定义是解决本题的关键．【考点2 利用对数函数的性质比较大小】【例2】（2019秋•福田区校级月考）设，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a【分析】根据对数的换底公式可得出，从而可得出2＜log420＜log315，且可得出，这样即可得出a，b，c的大小关系．【答案】解：，，，且log54＞log53＞0，∴，∴2＝log416＜log420＜log315，∴a＜c＜b．故选：C．【点睛】考查对数的换底公式，以及指数函数和对数函数的单调性，增函数的定义，不等式的性质．【变式2-1】（2019秋•天山区校级月考）已知正实数a，b，c满足log a2＝2，log3b＝，c6＝7，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b【分析】根据条件可得出，从而得出a6＝8，b6＝9且c6＝7，a，b，c都是正数，这样即可得出a，b，c的大小关系．【答案】解：∵log a2＝2，log3b＝，c6＝7，∴∴a6＝8，b6＝9，c6＝7，且a，b，c都是正数，∴c＜a＜b故选：C．【点睛】考查对数的定义，对数与指数的互化，以及指数的运算，幂函数的单调性．【变式2-2】（2019秋•沙坪坝区校级月考）已知a＝log30.3，b＝30.3，c＝0.30.2，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a【分析】容易得出，从而可得出a，b，c的大小关系．【答案】解：∵log30.3＜log31＝0，30.3＞30＝1，0＜0.30.2＜0.30＝1∴a＜c＜b．故选：B．【点睛】考查对数函数、指数函数的单调性，以及增函数、减函数的定义．【变式2-3】（2019•西湖区校级模拟）下列关系式中，成立的是（）A．B．C．D．【分析】容易得出，从而可得出正确的选项．【答案】解：∵log34＞log33＝1，0＜0.31.7＜0.30＝1，log0.310＜log0.31＝0，∴．故选：A．【点睛】考查对数函数和指数函数的单调性，增函数和减函数的定义．【考点3 与对数函数有关的函数图象识别】【例3】（2018秋•合阳县期末）已知a＞0，b＞0，且ab＝1，a≠1，则函数f（x）＝a x与函数g（x）＝﹣log b x在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据a与b的正负，利用指数函数与对数函数的性质判断即可确定出其图象．【答案】解：∵a＞0，b＞0，且ab＝1，a≠1，∴函数f（x）＝a x与函数g（x）＝﹣log b x在同一坐标系中的图象可能是，故选：B．【点睛】此题考查了指数函数与对数函数的图象，熟练掌握指数、对数函数的图象与性质是解本题的关键．【变式3-1】（2019•西湖区校级模拟）若当x∈R时，函数f（x）＝a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，则函数y＝log a||的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】由于当x∈R时，函数f（x）＝a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，利用指数函数的图象和性质可得0＜a＜1．先画出函数y＝log a|x|的图象，此函数是偶函数，当x＞0时，即为y＝log a x，而函数y＝log a||＝﹣log a|x|，即可得出图象．【答案】解：∵当x∈R时，函数f（x）＝a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1．因此，必有0＜a＜1．先画出函数y＝log a|x|的图象：红颜色的图象．而函数y＝log a||＝﹣log a|x|，其图象如黑颜色的图象．故选：B．【变式3-2】（2018秋•船营区校级月考）函数f（x）＝的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】先求出函数的定义域，再判断函数为奇函数，即图象关于原点对称，故可以排除BC，再根据函数值域，可排除D．【答案】解：∵f（x）＝，∴函数定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），∵，∴函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，故排除B、C，∵当0＜x＜1时，lnx＜0，∴f（x）＝＜0，x∈（0，1）故排除D．故选：A．【点睛】本题主要考查了绝对值函数以及函数的值域、奇偶性和单调性，属于基础题．【变式3-3】（2019秋•洛南县期末）函数y＝|lg（x+1）|的图象是（）A．B．C．D．【分析】本题研究一个对数型函数的图象特征，函数y＝|lg（x+1）|的图象可由函数y＝lg（x+1）的图象将X轴下方的部分翻折到X轴上部而得到，故首先要研究清楚函数y＝lg（x+1）的图象，由图象特征选出正确选项【答案】解：由于函数y＝lg（x+1）的图象可由函数y＝lgx的图象左移一个单位而得到，函数y＝lgx的图象与X轴的交点是（1，0），故函数y＝lg（x+1）的图象与X轴的交点是（0，0），即函数y＝|lg（x+1）|的图象与X轴的公共点是（0，0），考察四个选项中的图象只有A选项符合题意故选：A．【点睛】本题考查对数函数的图象与性质，解答本题关键是掌握住对数型函数的图象图象的变化规律，由这些规律得出函数y＝|lg（x+1）|的图象的特征，再由这些特征判断出函数图象应该是四个选项中的那一个【考点4 对数函数图象过定点问题】【例4】（2018秋•赣州期中）函数y＝log a（x﹣1）+log a（x+1）（a＞0且a≠1）的图象必过定点（）A．（）B．（0，﹣）C．（）D．（）【分析】根据对数函数的性质求出定点的坐标即可．【答案】解：y＝log a（x﹣1）+log a（x+1）＝log a（x2﹣1），令x2﹣1＝1，解得：x＝±，而x﹣1＞0，解得：x＞1，故x＝，故函数的图象过（，0），故选：C．【点睛】本题考查了对数函数的性质，考查特殊值问题，是一道基础题．【变式4-1】（2019秋•水富县校级月考）已知函数y＝3+log a（2x+3）（a＞0，a≠1）的图象必经过定点P，则P点坐标是（）A．（1，3）B．（﹣，4）C．（﹣1，3）D．（﹣1，4）【分析】令2x+3＝1，求得x的值，从而求得P点的坐标．【答案】解：令2x+3＝1，可得x＝﹣1，此时y＝3．即函数y＝3+log a（2x+3）（a＞0，a≠1））的图象必经过定点P的坐标为（﹣1，3）．故选：C．【点睛】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．【变式4-2】（2018秋•烟台期中）函数y＝log a（x+2）+a x+1+2（a＞0，且a≠1）的图象必经过的点是（）A．（0，2）B．（2，2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，3）【分析】根据log a1＝0，a0＝1，求出定点的坐标即可．【答案】解：令x+2＝1，解得：x＝﹣1，故y＝0+1+2＝3，故图象过（﹣1，3），故选：D．【点睛】本题考查了对数函数，指数函数的性质，根据log a1＝0，a0＝1是解题的关键．【变式4-3】（2019秋•赣州期末）已知a＞0，a≠1，则f（x）＝log a的图象恒过点（）A．（1，0）B．（﹣2，0）C．（﹣1，0）D．（1，4）【分析】令＝1，解得x＝﹣2，y＝0，进而得到f（x）＝log a的图象恒过点的坐标．【答案】解：令＝1，解得：x＝﹣2，故f（﹣2）＝log a1＝0恒成立，即f（x）＝log a的图象恒过点（﹣2，0），故选：B．【点睛】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．【考点5 有关对数函数奇偶性问题】【例5】（2018•肇庆二模）已知f（x）＝lg（10+x）+lg（10﹣x），则f（x）是（）A．f（x）是奇函数，且在（0，10）是增函数B．f（x）是偶函数，且在（0，10）是增函数C．f（x）是奇函数，且在（0，10）是减函数D．f（x）是偶函数，且在（0，10）是减函数【分析】求出函数的定义域，根据函数奇偶性的定义以及复合函数的单调性判断即可．【答案】解：由得：x∈（﹣10，10），故函数f（x）的定义域为（﹣10，10），关于原点对称，又由f（﹣x）＝lg（10﹣x）+lg（10+x）＝f（x），故函数f（x）为偶函数，而f（x）＝lg（10+x）+lg（10﹣x）＝lg（100﹣x2），y＝100﹣x2在（0，10）递减，y＝lgx在（0，10）递增，故函数f（x）在（0，10）递减，故选：D．【点睛】本题考查了函数的单调性和函数的奇偶性问题，考查转化思想，是一道基础题．【变式5-1】（2019秋•南充期末）已知函数f（x）＝log a（x﹣m）的图象过点（4，0）和（7，1），则f （x）在定义域上是（）A．增函数B．减函数C．奇函数D．偶函数【分析】把（4，0）和（7，1）代入f（x）列出方程组解出a，m，根据对数函数的性质判断．【答案】解：∵f（x）的图象过点（4，0）和（7，1），∴，解得．∴f（x）＝log4（x﹣3）．∴f（x）是增函数．∵f（x）的定义域是（3，+∞），不关于原点对称．∴f（x）为非奇非偶函数．故选：A．【点睛】本题考查了对数函数的性质，属于基础题．【变式5-2】（2019秋•新宁县校级期中）对于函数，下列说法正确的是（）A．f（x）是奇函数B．f（x）是偶函数C．f（x）是非奇非偶函数D．f（x）既是奇函数又是偶函数【分析】根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可．【答案】解：由＞0，解得：﹣1＜x＜1，故函数f（x）的定义域是（﹣1，1），关于原点对称，而f（﹣x）＝log2＝﹣log2＝﹣f（x），故f（x）是奇函数，故选：A．【点睛】本题考查了函数的奇偶性问题，是一道基础题．【变式5-3】（2016春•石家庄校级月考）函数f（x）＝ln（1+2x），g（x）＝ln（1﹣2x），则f（x）+g（x）为（）A．奇函数B．偶函数C．既不是奇函数又不是偶函数D．既是奇函数又是偶函数【分析】首先令h（x）＝f（x）+g（x），求出h（x）的定义域，而后用函数奇偶性定义求证．【答案】解：令h（x）＝f（x）+g（x）＝ln（2x+1）+ln（1﹣2x）由得：﹣＜x＜，h（x）定义域为（﹣，），∴h（﹣x）＝ln（1﹣2x）+ln（1+2x）＝h（x），所以，h（x）为偶函数．故选：B．【点睛】本题主要考查了奇偶函数的定义域要求，以及函数奇偶性定义，属基础题．【考点6 与对数函数有关的定义域问题】【例6】（2018秋•肇庆期末）函数y＝的定义域为（）A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（1，2）∪（2，+∞）D．（1，2）∪[3，+∞）【分析】根据分式的分母不为0，对数的真数大于0，建立关系式，解之即可．【答案】解：要使函数有意义则解得x＞1且x≠2∴函数的定义域为（1，2）∪（2，+∞）故选：C．【点睛】本题考查函数定义域的求解，属基础题，做这类题目的关键是找对自变量的限制条件．【变式6-1】（2019•西湖区校级模拟）函数的定义域是（）A．B．C．D．【分析】由函数的解析式列出不等式进行求解即可．【答案】解：由题意得，，解得x＞，则函数的定义域是，故选：C．【点睛】本题考查了函数的定义域的求法，属于基础题．【变式6-2】（2018秋•宜宾期末）函数y＝的定义域是（）A．（，+∞）B．（，1]C．（﹣∞，1]D．[1，+∞）【分析】首先由根式有意义得到log0.5（4x﹣3）≥0，然后求解对数不等式得到原函数的定义域．【答案】解：要使原函数有意义，则log0.5（4x﹣3）≥0，即0＜4x﹣3≤1，解得．所以原函数的定义域为（]．故选：B．【点睛】本题考查了对数函数定义域，训练了对数不等式的解法，是基础的计算题．【变式6-3】（2018春•连城县校级月考）函数y＝的定义域是（）A．[1，+∞）B．（，+∞）C．（1，+∞）D．（，1]【分析】利用对数的性质求解．【答案】解：函数y＝的定义域满足：，解得．故选：D．【点睛】本题考查对数函数的定义域的求法，解题时要注意对数性质的灵活运用，是基础题．【考点7 与对数函数有关的值域问题】【例7】（2019秋•南昌校级期中）函数y＝log4（2x+3﹣x2）值域为．【分析】运用复合函数的单调性分析函数最值，再通过配方求得值域．【答案】解：设u（x）＝2x+3﹣x2＝﹣（x﹣1）2+4，当x＝1时，u（x）取得最大值4，∵函数y＝log4x为（0，+∞）上的增函数，∴当u（x）取得最大值时，原函数取得最大值，即y max＝log4u（x）max＝log44＝1，因此，函数y＝log4（2x+3﹣x2）的值域为（﹣∞，1]，故填：（﹣∞，1]．【点睛】本题主要考查了函数值域的求法，涉及对数函数的单调性，用到配方法和二次函数的性质，属于基础题．【变式7-1】（2019春•赣榆区校级月考）函数的值域为．【分析】先将原函数y＝log0.5（x2+x+）转化为两个基本函数令t＝x2+x+＝（x+）2+，y＝log0.5t 的，再用复合函数的单调性求解．【答案】解：令t＝x2+x+＝（x+）2+∈[，+∞]，∵函数y＝log0.5t的在定义域上是减函数，∴y∈（﹣∞，2]；故答案为（﹣∞，2]．【点睛】本题主要考查用复合函数的单调性来求函数的值域，本题关键是求出二次函数的值域，属于基础题．【变式7-2】（2019秋•九原区校级期末）函数y＝（x）2﹣x2+5 在2≤x≤4时的值域为．【分析】利用换元法，令t＝由2≤x≤4 可得﹣1≤t≤﹣，由题意可得y＝＝（t﹣1）2+4，又因为函数在[﹣1，﹣]单调递减，从而可求函数的值域．【答案】解：令t＝，因为2≤x≤4，所以﹣1≤t≤﹣，则y＝＝（t﹣1）2+4，又因为函数在[﹣1，﹣]单调递减，当t＝﹣是函数有最小值，当t＝﹣1时函数有最大值8；故答案为：{y|}【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，换元法的应用，二次函数性质的应用及函数的单调性的应用，属于基础知识的简单综合试题．【变式7-3】（2019秋•松江区期末）函数的值域为．【分析】由函数的解析式可得，当x＜1时，f（x）＞；当x≥1时，f（x）≥0，综上可得f（x）的值域．【答案】解：由于函数，故当x＜1时，f（x）＝＞．当x≥1时，f（x）＝log2x≥log21＝0．综上可得，f（x）≥0，故函数的值域为[0，+∞），故答案为[0，+∞）．【点睛】本题主要考查求函数的值域，指数函数、对数函数的单调性的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．【考点8 与对数函数有关的最值问题】【例8】（2019秋•离石区校级月考）设x≥0，y≥0且x+2y＝，则函数u＝log0.5（8xy+4y2+1）的最大值为．【分析】由已知中x≥0，y≥0且x+2y＝，可得y∈[0，]，8xy+4y2+1＝﹣12y2+8y+1，结合二次函数的图象和性质及对数函数的图象和性质，可得答案．【答案】解：∵x+2y＝，∴x＝﹣2y，由x≥0，y≥0，可得y∈[0，]，则8xy+4y2+1＝﹣12y2+8y+1，令t＝﹣12y2+8y+1，当y∈[0，]时，t∈[1，]，又由u＝log0.5t为减函数，故当t＝1时函数u＝log0.5（8xy+4y2+1）的最大值为0，故答案为：0．【点睛】本题考查的知识点是对数函数的值域和最值，其中熟练掌握对数函数的图象和性质是解答的关键．【变式8-1】（2019秋•田阳县校级月考）函数f（x）＝log a（x+1）在[0，3]上的最大值与最小值的差为2，则a的值为．【分析】对a分a＞1与0＜a＜1两类讨论，利用函数的单调性即可．【答案】解：若a＞1，f（x）＝log a（x+1）在[0，3]上单调递增，∴f（x）max＝log a4＝2log a2，f（x）min＝log a1＝0，∵f（x）max﹣f（x）min＝2，∴2log a2﹣0＝2，∴log a2＝1，故a＝2；若0＜a＜1，f（x）＝log a（x+1）在[0，3]上单调递减，同理可得a＝．故答案为：2或．【点睛】本题考查对数函数的单调性与最值，考查分类讨论思想，属于中档题．【变式8-2】（2019春•天津期末）若函数y＝log a（x2﹣ax+1）有最小值，则a的取值范围是．【分析】先根据复合函数的单调性确定函数g（x）＝x2﹣ax+1的单调性，进而分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论：①当a＞1时，考虑对数函数的图象与性质得到x2﹣ax+1的函数值恒为正；②当0＜a＜1时，△＝a2﹣4＜0恒成立，x2﹣ax+1没有最大值，从而不能使得函数y＝log a（x2﹣ax+1）有最小值．最后取这两种情形的并集即可．【答案】解：令g（x）＝x2﹣ax+1（a＞0，且a≠1），①当a＞1时，y＝log a x在R+上单调递增，∴要使y＝log a（x2﹣ax+1）有最小值，必须g（x）min＞0，∴△＜0，解得﹣2＜a＜2∴1＜a＜2；②当0＜a＜1时，g（x）＝x2﹣ax+1没有最大值，从而不能使得函数y＝log a（x2﹣ax+1）有最小值，不符合题意．综上所述：1＜a＜2；故答案为：1＜a＜2．【点睛】本题考查对数函数的值域最值，着重考查复合函数的单调性，突出分类讨论与转化思想的考查，是中档题．【变式8-3】（2019秋•会宁县校级期中）已知函数f（x）＝2+log3x，x∈[1，9]，函数y＝[f（x）]2+f（x2）的最大值为．【分析】根据f（x）的定义域为[1，9]先求出y＝[f（x）]2+f（x2）的定义域为[1，3]，然后利用二次函数的最值再求函数g（x）＝[f（x）]2+f（x2）＝（2+log3x）2+（2+log3x2）＝（log3x+3）2﹣3的最大值．【答案】解：由f（x）的定义域为[1，9]可得y＝[f（x）]2+f（x2）的定义域为[1，3]，又g（x）＝（2+log3x）2+（2+log3x2）＝（log3x+3）2﹣3，∵1≤x≤3，∴0≤log3x≤1．∴当x＝3时，g（x）有最大值13．故答案为：13【点睛】根据f（x）的定义域，先求出g（x）的定义域是正确解题的关键步骤，属于易错题．【考点9 与对数函数的单调性有关的问题】【例9】（2019春•吉林期末）已知函数f（x）＝log a（x+3）﹣log a（3﹣x），a＞0且a≠1．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断并证明函数f（x）的奇偶性；（3）若a＞1，指出函数的单调性，并求函数f（x）在区间[0，1]上的最大值．【分析】（1）由题意可得，从而求定义域；（2）可判断函数f（x）是奇函数，再证明如下；（3）当a＞1时，由复合函数的单调性及四则运算可得f（x）为增函数，从而求最值．【答案】解：（1）由题意知，；解得，﹣3＜x＜3；故函数f（x）的定义域为（﹣3，3）；（2）函数f（x）是奇函数，证明如下，函数f（x）的定义域（﹣3，3）关于原点对称；则f（﹣x）＝log a（﹣x+3）﹣log a（3+x）＝﹣f（x），故函数f（x）是奇函数．（3）当a＞1时，由复合函数的单调性及四则运算可得，f（x）＝log a（x+3）﹣log a（3﹣x）为增函数，则函数f（x）在区间[0，1]上单调递增，故f max（x）＝f（1）＝log a2．【点睛】本题考查了函数的定义域，奇偶性，单调性，最值的判断与应用，属于基础题．【变式9-1】（2018秋•南岗区校级期中）已知f（x）＝log a（a＞0，且a≠1，m≠﹣1）是定义在区间（﹣1，1）上的奇函数，（1）求f（0）的值和实数m的值；（2）判断函数f（x）在区间（﹣1，1）上的单调性，并说明理由；（3）若f（）＞0且f（b﹣2）+f（2b﹣2）＞0成立，求实数b的取值范围．【分析】（1）根据奇函数的特性，可得f（0）＝0，再由f（﹣x）＝﹣f（x），m≠﹣1，可得实数m的值；（2）结合对数函数的图象和性质，及复合函数同增异减的原则，可得函数f（x）在区间（﹣1，1）上的单调性；（3）由f（）＞0，可得函数f（x）在区间（﹣1，1）上的单调递增，结合函数的定义域和奇偶性，解不等式，可得实数b的取值范围．【答案】解：（1）∵f（x）＝log a（a＞0，且a≠1，m≠﹣1）是定义在区间（﹣1，1）上的奇函数，∴f（0）＝0，且f（﹣x）＝﹣f（x），即＝﹣，即+＝＝log a1＝0，故m2＝1，又∵m≠﹣1，故m＝1，（2）由（1）得f（x）＝＝，令t＝，则t在区间（﹣1，1）上单调递减，当0＜a＜1时，y＝log a t为减函数，此时函数f（x）在区间（﹣1，1）上的单调递增；当a＞1时，y＝log a t为增函数，此时函数f（x）在区间（﹣1，1）上的单调递减；（3）若f（）＝＞0，则0＜a＜1，由（1）得，函数f（x）在区间（﹣1，1）上的单调递增，若f（b﹣2）+f（2b﹣2）＞0，则f（b﹣2）＞﹣f（2b﹣2），则f（b﹣2）＞f（2﹣2b），则﹣1＜2﹣2b＜b﹣2＜1，解得：b∈（，）【点睛】本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，难度不大，属于基础题．【变式9-2】（2019秋•番禺区校级期中）已知函数．（1）求函数的定义域．（2）讨论函数f（x）的奇偶性．（3）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明．【分析】（1）解不等式得出x的范围，从而得出函数f（x）的定义域；（2）将﹣x代入函数f（x）的解析式，利用对数的运算性质得到f（﹣x）＝﹣f（x），从而得出答案；（3）在区间（1，+∞）上任取x1＞x2＞1，作差f（x1）﹣f（x2），通过对数的运算性质以及对数函数的单调性得出差值f（x1）﹣f（x2）的符号，从而得出函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调性，再利用同样的方法可得出函数f（x）在区间（﹣∞，1）上的单调性．【答案】解：（1），零和负数无对数，，可得x＜﹣1或x＞1，则定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；（2）函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），关于原点对称，＝，因此，函数f（x）为奇函数；（3）函数f（x）在区间（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）上都是减函数，下面利用定义来证明．先利用定义证明函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调性．任取x1＞x2＞1，则＝＝，∵x1＞x2＞1，则x1x2+x2﹣x1﹣1＜x1x2+x1﹣x2﹣1，此时，g a1＝0，即f（x1）＜f（x2），所以，函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减，同理可证函数f（x）在区间（﹣∞，﹣1）上也为减函数．【点睛】本题考察函数的定义域的求解，考察对数型函数的奇偶性与单调性的定义，关键在于利用定义来判断函数的基本性质，以及熟悉定义法判断函数基本性质的基本步骤，属于中等题．【变式9-3】（2019秋•荔湾区校级期末）已知函数f（x）＝log3（1+x）﹣log3（1﹣x）．（1）求函数f（x）定义域，并判断f（x）的奇偶性．（2）判断函数f（x）在定义域内的单调性，并用单调性定义证明你的结论．（3）解关于x的不等式f（1﹣x）+f（1﹣x2）＞0．【分析】（1）根据对数函数的性质以及函数的定义域，根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可；（2）根据函数单调性的定义判断函数的单调性即可；（3）根据函数的单调性以及函数的奇偶性判断即可．【答案】解：（1）要使函数f（x）＝log3（1+x）﹣log3（1﹣x）有意义，必须满足，解得：﹣1＜x＜1，∴函数f（x）的定义域是（﹣1，1），综上所述，结论是：函数f（x）的定义域是（﹣1，1）．f（x）＝log3（1+x）﹣log3（1﹣x）＝log3（）．f（﹣x）＝log3＝﹣log3．∴f（x）为奇函数．（2）函数f（x）＝log3（），在区间（﹣1，1）上任取两个不同的自变量x1，x2，且设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝log3，又（1+x1）（1﹣x2）﹣（1﹣x1）（1+x2）＝2（x1﹣x2）＜0，即（1+x1）（1﹣x2）＜（1﹣x1）（1+x2），∵﹣1＜x1＜x2＜1，∴1+x1＞0，1﹣x2＞0，∵（1+x1）（1﹣x2）＞0，∴＜1，∴log3＜0，即f（x1）＞f（x2），∴函数f（x）是定义域内的单调递增函数．（3）∵f（x）为奇函数，∴f（1﹣x）+f（1﹣x2）＞0∴f（1﹣x）＞f（x2﹣1），又∵f（x）在定义域上单调递增，∴1﹣x＞x2﹣1，x2+x﹣2＜0，即（x+2）（x﹣1）＜0，∴﹣2＜x＜1，而，解得：0＜x＜，综上：0＜x＜1．【点睛】本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．。
专题1.3.2 函数的奇偶性重难点题型(举一反三)(解析版)
1.3.2 函数的奇偶性重难点题型【举一反三系列】知识链接举一反三【考点1 判断一般函数的奇偶性】【练1】下列函数为偶函数的是（）A．f（x）＝x2（﹣1＜x＜3）B．f（x）C．f（x）＝x4﹣1 D．f（x）＝x【思路分析】根据偶函数的定义和性质分别进行判断．【答案】解：A．函数f（x）的定义域关于原点不对称，∴函数f（x）为非奇非偶函数．B．函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，当f（x），为奇函数，不满足条件．C．函数f（x）的定义域为R，关于原点对称，f（﹣x）＝x4﹣1＝f（x），∴f（x）是偶函数，满足条件．D．函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数，不满足条件．故选：C．【练1.2】下列函数中是奇函数的为（）A．y＝x3﹣x2B．y＝|x﹣1| C．y＝﹣3x3+x D．y【思路分析】运用函数的奇偶性的定义，即可判断各个选项的奇偶性．【答案】解：对于A，y＝f（x）＝x3﹣x2，由f（﹣x）＝﹣x3﹣x2≠﹣f（x），且f（﹣x）≠f（x），可得f（x）为非奇非偶函数；对于B，y＝f（x）＝|x﹣1|，f（﹣x）＝|﹣x﹣1|≠﹣f（x），且f（﹣x）≠f（x），可得f（x）为非奇非偶函数；对于C，y＝f（x）＝﹣3x3+x，由f（﹣x）＝3x3﹣x＝﹣f（x），则f（x）为奇函数；对于D，y＝f（x）|x|，由f（﹣x）＝|﹣x|＝f（x），则f（x）为偶函数．故选：C．【练1.2】判断下列函数的奇偶性（1）f（x）＝|x+1|+|x﹣1|（2）f（x）（3）f（x）（4）f（x）＝x2，x∈[﹣2，3]．【思路分析】由题设条件可以看出，可以用函数奇偶性的定义对这个函数进行验证，以确定其性质．【答案】解：（1）∵函数f（x）＝|1+x|+|x﹣1|的定义域为R，关于原点对称，又f（﹣x）＝|﹣x+1|+|﹣x﹣1|＝|x+1|+|x﹣1|＝f（x）∴f（x）是偶函数；（2）定义域为R，关于原点对称，f（﹣x）f（x），∴f（x）是奇函数；（3）定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，非奇非偶函数；（4）定义域为{x∈[﹣2，3]，不关于原点对称，非奇非偶函数．【练1.3】判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）＝|x﹣2|+|x+2|（2）f（x）＝x（3）f（x）（4）f（x）（5）f（x）（6）f（x）（7）f（x）（8）f（x）【思路分析】先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断f（﹣x）与f（x）的关系，可得结论．【答案】解：（1）f（x）＝|x﹣2|+|x+2|，满足f（﹣x）＝f（x）恒成立，为偶函数；（2）f（x）＝x的定义域为（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞），不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数；（3）f（x）的定义域为{1}，不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数；（4）f（x）的定义域为{﹣1，1}，且f（x）＝0 恒成立，故函数即是奇函数，又是偶函数；（5）f（x）的定义域为[﹣2，2]，但f（﹣x）＝﹣f（x）与f（﹣x）＝f（x）均不恒成立，故为非奇非偶函数；（6）f（x）的定义域为[﹣2，2]，满足f（﹣x）＝﹣f（x）恒成立，为奇函数；（7）f（x）的定义域为[﹣2，2]，满足f（﹣x）＝f（x）恒成立，为偶函数；（8）f（x）的定义域为{﹣2，2}，且f（x）＝0 恒成立，故函数即是奇函数，又是偶函数．【考点2 判断分段函数的奇偶性】【练2】判断函数f（x），，，，的奇偶性．【思路分析】先判断函数的定义域是否关于原点对称，再逐段判断f（x）与f（﹣x）的关系，进而根据偶函数的定义，得到结论．【答案】解：函数f（x），，，，的定义域（﹣6，﹣1]∪[1，6）关于原点对称，当x∈（﹣6，﹣1]时，﹣x∈[1，6），此时f（x）＝（x+5）2﹣4，f（﹣x）＝（﹣x﹣5）2﹣4＝（x+5）2﹣4，即f（x）＝f（﹣x）；当x∈[1，6）时，﹣x∈（﹣6，﹣1]，此时f（x）＝（x﹣5）2﹣4，f（﹣x）＝（﹣x+5）2﹣4＝（x﹣5）2﹣4，即f（x）＝f（﹣x）；综上，f（x）＝f（﹣x）在定义域内恒成立，故数f（x），，，，为偶函数【练2.1】判断函数f（x）＜＞的奇偶性．【思路分析】函数f（x）的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），当x＞0时，有﹣x＜0，f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）为奇函数．【答案】解：∵函数f（x）的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），并且当x＞0时，有﹣x＜0，∴f（﹣x）＝（﹣x）[1﹣（﹣x）]＝﹣x（1+x）＝﹣f（x）（x＞0）．当x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）＝﹣x（1﹣x）＝﹣f（x）（x＜0）．故函数f（x）为奇函数．【练2.2】判断函数f（x），＞，＜的奇偶性．【思路分析】根据奇函数和偶函数的定义，思路分析函数是否满足定义，可得结论．【答案】解：f（x），＞，＜的定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，当x＞0时，﹣x＜0，此时f（x），f（﹣x），满足f（﹣x）＝﹣f（x），当x＜0时，﹣x＞0，此时f（x），f（﹣x），满足f（﹣x）＝﹣f（x），故函数f（x），＞，＜为奇函数．【练2.3】判断函数f（x）＜＞的奇偶性．【思路分析】按照函数的奇偶性的判断，首先求出函数的定义域，然后判断是否关于原点对称，如果对称，再利用奇偶性的定义判断f（﹣x）与f（x）的关系；如果不对称，函数是非奇非偶的函数．【答案】解：定义域为R，当x＜﹣1时，∵﹣x＞1，∴f（﹣x）＝﹣（﹣x）+3＝x+3＝f（x）；当x＞1时，∵﹣x＜﹣1，∴f（﹣x）＝﹣x+3＝f（x）；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）＝f（x）＝0，∴f（x）为偶函数．【考点3 判断抽象函数的奇偶性】【练3】函数f（x），g（x）在区间[﹣a，a]上都是奇函数，有下列结论：①f（x）+g（x）在区间[﹣a，a]上是奇函数；②f（x）﹣g（x）在区间[﹣a，a]上是奇函数；③f（x）•g（x）在区间[﹣a，a]上是偶函数．其中正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【思路分析】运用奇偶性的定义，注意变形运算，对选项一一加以判断即可得到．【答案】解：函数f（x），g（x）在区间[﹣a，a]上都是奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝﹣g（x），①令F（x）＝f（x）+g（x），则F（﹣x）＝f（﹣x）+g（﹣x）＝﹣f（x）﹣g（x）＝﹣F（x），则为奇函数，故①对；②令H（x）＝f（x）﹣g（x），则H（﹣x）＝f（﹣x）﹣g（﹣x）＝﹣f（x）+g（x）＝﹣H（x），则为奇函数，故②对；③令R（x）＝f（x）•g（x），则R（﹣x）＝f（﹣x）g（﹣x）＝（﹣f（x））•（﹣g（x））＝R（x），则为偶函数，故③对．则正确个数为3，故选：D．【练3.1】设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．f（x）g（x）是偶函数B．|f（x）|g（x）是奇函数C．f（﹣x）是奇函数D．|g（x）|是奇函数【思路分析】由题意可得，|f（x）|为偶函数，|g（x）|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，从而得出结论．【答案】解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴f（﹣x）为奇函数，|f（x）|为偶函数，|g（x）|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f（x）g（x）为奇函数，|f（x）|g（x）为奇函数，故选：C．【练3.2】已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x，y∈R，都有f（x+y）＝f（x）+f（y），求证：f（x）是奇函数；【思路分析】利用赋值法即可求f（0），根据函数f（x）的奇偶性的定义，利用赋值法即可得到结论．【答案】解：∵f（x）对一切x，y∈R都有f（x+y）＝f（x）+f（y），令x＝y＝0，得：f（0）＝f（0）+f（0），∴f（0）＝0，令y＝﹣x，得f（x﹣x）＝f（x）+f（﹣x）＝f（0）＝0，∴f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）是奇函数．【练3.3】已知函数f（x），当a，b∈R时，恒有f（a）＝f（）+f（）．（1）若f（1）＝﹣2，求f（2），f（3）的值；（2）判断函数f（x）的奇偶性．【思路分析】（1）对于，可令，，则x+y＝a，从而得出f（x+y）＝f（x）+f（y），再根据f（1）＝﹣2即可求出f（2），f（3）的值；（2）根据上面，f（x+y）＝f（x）+f（y），令x＝y＝0即可求出f（0）＝0，而令y＝﹣x即可求出f（﹣x）＝﹣f（x），即得出f（x）是奇函数．【答案】解：（1）令，，则x+y＝a；∴f（x+y）＝f（x）+f（y）；∵f（1）＝﹣2；∴f（2）＝2f（1）＝﹣4，f（3）＝f（2）+f（1）＝﹣4﹣2＝﹣6；（2）由（1）知f（x+y）＝f（x）+f（y）；令x＝y＝0，得f（0+0）＝f（0）+f（0）；∴f（0）＝0；令y＝﹣x，得f（x﹣x）＝f（x）+f（﹣x）；∴f（0）＝f（x）+f（﹣x）＝0；∴f（﹣x）＝﹣f（x）；∴f（x）是奇函数．【考点4 利用函数的奇偶性求解析式】【练4】已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+2x，求函数f（x）（x∈R）的解析式；【思路分析】根据偶函数的性质进行转化求解即可．【答案】解：∵f（x）是偶函数，∴若x＞0，则﹣x＜0，则当﹣x＜0时，f（﹣x）＝x2﹣2x＝f（x），即当x＞0时，f（x）＝x2﹣2x．即f（x），，＞．【练4.1】已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x．（1）求f（0）及f（f（1））的值；（2）求函数f（x）在（﹣∞，0）上的解析式；【思路分析】（1）根据题意，由函数的解析式，将x＝0代入函数解析式即可得f（0）的值，同理可得f（1）的值，利用函数的奇偶性思路分析可得f（f（1））的值；（2）设x＜0，则﹣x＞0，由函数的解析式思路分析f（﹣x）的解析式，进而由函数的奇偶性思路分析可得答案；【答案】解：（1）根据题意，当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x；则f（0）＝0，f（1）＝1﹣2＝﹣1，又由函数f（x）为偶函数，则f（1）＝f（﹣1）＝﹣1，则f（f（1））＝f（﹣1）＝﹣1；（2）设x＜0，则﹣x＞0，则有f（﹣x）＝（﹣x）2﹣2（﹣x）＝x2+2x，又由函数f（x）为偶函数，则f（x）＝f（﹣x）＝x2+2x，则当x＜0时，f（x）＝x2+2x，【练4.2】已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x），求函数f（x）在R上的解析式；【思路分析】根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝0，设x＞0，则﹣x＜0，结合函数的奇偶性与奇偶性思路分析可得f（x）在（0，+∞）上的解析式，综合可得答案；【答案】解：根据题意，f（x）为定义在R上的函数f（x）是奇函数，则f（0）＝0，设x＞0，则﹣x＜0，则f（﹣x），又由f（x）为R上的奇函数，则f（x）＝﹣f（x），则f（x），＜，，＞；【练4.3】已知f（x）是实数集R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝﹣2x2+3x+1．（1）求f（0）的值；（2）求当x＜0时，f（x）的解析式；（3）求f（x）在R上的解析式．【思路分析】（1）直接利用函数的奇偶性求出函数的值．（2）利用函数的奇偶性求出函数的关系式．（3）利用分类讨论的思想求出函数的关系式．【答案】解：（1）∵f（x）是R上的奇函数，∴f（﹣0）＝﹣f（0），∴f（0）＝﹣f（0），∴2f（0）＝0，∴f（0）＝0…（4分）（2）当x＜0，即﹣x＞0时，f（﹣x）＝﹣2（﹣x）2+3（﹣x）+1＝﹣2x2﹣3x+1．由于f（x）是奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），∴﹣f（x）＝﹣2x2﹣3x+1，∴f（x）＝2x2+3x﹣1（x＜0）…（8分）（3）在实数集R上函数f（x）的解析式为：f（x）＞＜【考点5 利用函数的奇偶性求参数】【练5】设函数f（x）为奇函数，则a＝﹣1．【思路分析】一般由奇函数的定义应得出f（x）+f（﹣x）＝0，但对于本题来说，用此方程求参数的值运算较繁，因为f（x）+f（﹣x）＝0是一个恒成立的关系故可以代入特值得到关于参数的方程求a的值．【答案】解：∵函数为奇函数，∴f（x）+f（﹣x）＝0，∴f（1）+f（﹣1）＝0，即2（1+a）+0＝0，∴a＝﹣1．故应填﹣1．【练5.1】已知函数是奇函数，则实数a的取值范围是[﹣2，0）∪（0，2]．【思路分析】先求函数的定义域{x|﹣a≤x≤a，且x≠0，且x≠﹣4}，由题意可得g（x）＝|x+2|﹣2为奇函数，由奇函数的定义可得g（﹣x）＝﹣g（x）代入整理可得|x﹣2|+|x+2|＝4，结合函数的定义域可求a的范围【答案】解：由题意可得，函数的定义域为{x|﹣a≤x≤a，且x≠0，且x≠﹣4}∵函数是奇函数，且y是偶函数令g（x）＝|x+2|﹣2，则g（x）为奇函数∴g（﹣x）＝﹣g（x）即|﹣x+2|﹣2＝﹣|x+2|+2∴|x﹣2|+|x+2|＝4∴﹣2≤x≤2∴﹣2≤a≤2且a≠0故答案为：[﹣2，0）∪（0，2]【练5.2】若函数f（x）＝ax2+（2a2﹣a﹣1）x+1为偶函数，则实数a的值为（）A．1 B．C．1或D．0【思路分析】根据函数为偶函数，得到f（﹣x）＝f（x），建立方程即可求解a．【答案】解：∵函数f（x）＝ax2+（2a2﹣a﹣1）x+1为偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），即f（﹣x）＝ax2﹣（2a2﹣a﹣1）x+1＝ax2+（2a2﹣a﹣1）x+1，即﹣（2a2﹣a﹣1）＝2a2﹣a﹣1，∴2a2﹣a﹣1＝0，解得a＝1或a，故选：C．【练5.3】已知函数f（x）的定义域为（3﹣2a，a+1），且f（x﹣1）为偶函数，则实数a的值可以是（）A．B．2 C．4 D．6【思路分析】根据f（x﹣1）为偶函数，便知f（x﹣1）的定义域关于原点对称，而由f（x）的定义域即可求出函数f（x﹣1）的定义域为（4﹣2a，a+2），从而有4﹣2a+a+2＝0，这样即可求出a的值．【答案】解：f（x﹣1）为偶函数；∴f（x﹣1）的定义域关于原点对称；由3﹣2a＜x﹣1＜a+1得4﹣2a＜x＜a+2；∴4﹣2a+a+2＝0；∴a＝6．故选：D．【考点6 函数奇偶性与单调性综合】【练6】函数y＝f（x）在[1，3]上单调递减，且函数f（x+3）是偶函数，则下列结论成立的是（）A．f（2）＜f（π）＜f（5）B．f（π）＜f（2）＜f（5）C．f（2）＜f（5）＜f（π）D．f（5）＜f（π）＜f（2）【思路分析】根据函数f（x+3）是偶函数，即函数图象关于直线x＝3对称，将三个自变量转化到同一单调区间上，进而可得答案．【答案】解：∵函数y＝f（x）在[1，3]上单调递减，且函数f（x+3）是偶函数，∴f（π）＝f（6﹣π），f（5）＝f（1），∵f（6﹣π）＜f（2）＜f（1），∴f（π）＜f（2）＜f（5）故选：B．【练6.1】已知f（x）是定义在R上的偶函数，且有f（3）＞f（1）．则下列各式中一定成立的是（）A．f（﹣1）＜f（3）B．f（0）＜f（5）C．f（3）＞f（2）D．f（2）＞f（0）【思路分析】根据函数奇偶性的性质进行求解即可．【答案】解：∵函数f（x）是偶函数，∴由f（3）＞f（1）．得f（3）＞f（﹣1）．故选：A．【练6.2】若函数f（x）＝（x﹣2）（ax+b）为偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，则f（2﹣x）＞0的解集为（）A．{x|x＞4或x＜0} B．{x|﹣2＜x＜2} C．{x|x＞2或x＜﹣2} D．{x|0＜x＜4}【思路分析】由题意利用函数的奇偶性和单调性、二次函数的性质，求得f（2﹣x）＞0的解集．【答案】解：函数f（x）＝（x﹣2）（ax+b）＝ax2+（b﹣2a）x﹣2b为偶函数，∴b﹣2a＝0，b＝2a，f（x）＝ax2﹣4a．再根据f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴a＞0．令ax2﹣4a＝0，求得x＝±2，则由f（2﹣x）＞0，可得2﹣x＞2，或2﹣x＜﹣2，求得x＜0，或x＞4，故f（2﹣x）＞0的解集为{x|x＞4或x＜0}，故选：A．【练6.3】已知偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且f（﹣2）＝0，若f（x﹣2）＞0，则x的取值范围是（0，4）．【思路分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化为f（|x﹣2|）＞0，进行求解即可．【答案】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且f（﹣2）＝0，∴f（2）＝f（﹣2）＝0，则不等式f（x﹣2）＞0，等价为f（|x﹣2|）＞f（2），则|x﹣2|＜2，即﹣2＜x﹣2＜2，即0＜x＜4，即x的取值范围是（0，4），故答案为：（0，4）【考点7 函数性质的综合应用】【练7】已知函数f（x）的定义域是{x|x≠0}的一切实数，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1•x2）＝f（x1）+f（x2），且当x＞1时，f（x）＜0，f（2）＝﹣1．（1）求证：f（x）是偶函数；（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是减函数；（3）解不等式f（x2﹣1）＜2．【思路分析】（1）利用赋值法，结合函数奇偶性的定义进行证明即可．（2）利用单调性的定义，结合抽象函数之间的数值关系进行证明．（3）利用函数的单调性将不等式进行转化，解不等式即可．【答案】解：（1）由题意知，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1•x2）＝f（x1）+f（x2），令x1＝1，x2＝﹣1，代入上式得f（﹣1）＝f（﹣1）+f（1），解得f（1）＝0，令x1＝﹣1，x2＝﹣1，得，f（1）＝f（﹣1）+f（﹣1）＝0，解得f（﹣1）＝0，令x1＝﹣1，x2＝x代入上式，∴f（﹣x）＝f（﹣1•x）＝f（﹣1）+f（x）＝f（x），∴f（x）是偶函数．（2）y＝f（x）在（0，+∞）上的单调递减．证明：设x1，x2是（0，+∞）任意两个变量，且x1＜x2，设x2＝tx1，（t＞1），则f（x1）﹣f（x2）＝f（x1）﹣f（tx1）＝f（x1）﹣f（x1）﹣f（t）＝﹣f（t）∵当x＞1时，f（x）＜0；∴f（t）＜0，即f（x1）﹣f（x2）＝﹣f（t）＞0，∴f（x1）＞f（x2），即y＝f（x）在（0，+∞）上的单调递减．（3）∵f（2）＝﹣1，∴令x1＝2，x2，则f（2）＝f（2）+f（）＝f（1）＝0，则f（）＝﹣f（2）＝﹣（﹣1）＝1．f（）＝f（）＝f（）+f（）＝2f（）＝2×1＝2．则不等式f（x2﹣1）＜2等价为不等式f（x2﹣1）＜f（），∵f（x）在（0，+∞）上是减函数且函数f（x）是偶函数，∴x2﹣1＜或x2﹣1＞，即x2＜或x2＞，即＜x＜或x＞或x＜，即不等式的解集为{x|＜x＜或x＞或x＜}．【练7.1】设函数y＝f（x）的定义域为R，并且满足f（x﹣y）＝f（x）﹣f（y），且f（2）＝1，当x＞0时，f（x）＞0．（1）求f（0）的值；（2）判断函数f（x）的单调性，并给出证明；（3）如果f（x）+f（x+2）＜2，求x的取值范围．【思路分析】（1）令x＝y＝0，可得f（0﹣0）＝f（0）﹣f（0），即可得出f（0）．（2）任取x1，x2∈R，不妨设x1＞x2，则x1﹣x2＞0．根据当x＞0时，f（x）＞0．可得f（x1﹣x2）＝f（x1）﹣f（x2）＞0，∴即可得出单调性．（3）由f（x﹣y）＝f（x）﹣f（y），可得f（x）＝f（x﹣y）+f（y），可得2＝f（2）+f（2）＝f（4），于是f（x）+f（x+2）＜2，转化为：f（x）+f（x+2）＜f（4）．即f（x+2）＜f（4﹣x）．再利用函数y＝f（x）在定义域R上单调递增，即可得出．【答案】解：（1）令x＝y＝0，则f（0﹣0）＝f（0）﹣f（0），∴f（0）＝0．（2）函数y＝f（x）在定义域R上单调递增，理由如下：任取x1，x2∈R，不妨设x1＞x2，则x1﹣x2＞0．∵当x＞0时，f（x）＞0．∴f（x1﹣x2）＝f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴函数y＝f（x）在定义域R上单调递增．（3）∵f（x﹣y）＝f（x）﹣f（y）．∴f（x）＝f（x﹣y）+f（y），∴2＝1+1＝f（2）+f（2）＝f（2）+f（4﹣2）＝f（4），∵f（x）+f（x+2）＜2，∴f（x）+f（x+2）＜f（4）．∴f（x+2）＜f（4）﹣f（x）＝f（4﹣x）．∵函数y＝f（x）在定义域R上单调递增，∴x+2＜4﹣x，从而x＜1．∴x的取值范围为{x|x＜1}．【练7.2】已知关于x的函数f（x）＝x2﹣2ax+5．（1）若函数f（x）是偶函数，求实数a的值；（2）当a＞1时，对任意t∈[1，a]，记f（t）的最小值为n，f（t）的最大值为m，且n+m＝3，求实数a的值．【思路分析】（1）根据题意，由偶函数的性质可得f（﹣x）＝f（x），即x2+2ax+5＝x2﹣2ax+5，解可得a 的值，即可得答案；（2）根据题意，思路分析f（x）在[1，a]上单调递减，据此可得n、m的表达式，则有5﹣a2+6﹣2a＝3，即a2+2a﹣8＝0，解可得a的值，即可得答案．【答案】解：（1）根据题意，因为函数f（x）＝x2﹣2ax+5是偶函数，则有f（﹣x）＝f（x），即x2+2ax+5＝x2﹣2ax+5，变形可得a＝0．（2）根据题意，当a＞1时，函数f（x）＝x2﹣2ax+5在[1，a]上单调递减，所以n＝f（a）＝a2﹣2a•a+5＝5﹣a2，m＝f（1）＝1﹣2a+5＝6﹣2a，又n+m＝3，所以5﹣a2+6﹣2a＝3，即a2+2a﹣8＝0，解得a＝2，a＝﹣4（舍），所以a＝2．【练7.3】设函数y＝f（x）（x∈R且x≠0）对定义域内任意的x1，x2恒有f（x1•x2）＝f（x1）+f（x2）（1）求证：f（1）＝f（﹣1）＝0；（2）求证：y＝f（x）是偶函数；（3）若f（x）为（0，+∞）上的增函数，解不等式．【思路分析】（1）对定义域内任意的x1，x2恒有f（x1•x2）＝f（x1）+f（x2）分别对x1＝x2＝1赋值，即可证f（1）＝f（﹣1）＝0；（2）根据函数的奇偶性定义，只需要找到f（﹣x）与f（x）的关系即可答案问题，操作时可以令y＝﹣x 进行思路分析；（3）首先应充分利用好前两问题的结论对（3）问进行转化，再结合所给不等式找到抽象不等式：，结合单调性思路分析即可获得问题的答案．【答案】解：（1）令x1＝x2＝1，则f（1）＝f（1）+f（1）∴f（1）＝0令x1＝x2＝﹣1，则f（1）＝f（﹣1）+f（﹣1）∴f（﹣1）＝0（2）x∈{x|x∈R且x≠0}关于原点对称，令x1＝x，x2＝﹣1∴f（﹣x）＝f（x）+f（﹣1）＝f（x）∴f（x）＝f（﹣x）所以f（x）在{x|x∈R且x≠0}上是偶函数．（3）不等式．即∵f（x）在{x|x∈R且x≠0}上是偶函数且f（x）为（0，+∞）上的增函数，∴，解得：＜或＜或0＜x＜．。
高一数学必修一经典题型举一反三——函数中的数学思想【解析版】
.高一数学必修一经典题型举一反三（新课标）突破 3 函数中的数学思想【考查角度 1 分类讨论思想】方法导入本章分类讨论思想主要用于含参型函数、分段函数的性质研究 第 1 步：明确分类的标准；步骤第 2 步：分类研究各种情形下函数的性质；第 3 步：得出正确的结论.反思应用分类讨论思想解决问题的关键是对分类标准的确定，分类要做到不重不漏.【例 1】（2019 秋 小店区校级期中）已知定义在 R 上的奇函数 f （x ）），当 x ＞0 时，f （x ））＝2x +3．（1）求 f （x ））的解析式；（2）若 f （a ）＜7，求实数 a 的取值范围．【思路分析】（1）根据 f （x ）是定义在 R 上的奇函数，当 x ＞0 时，f （x ）＝2x +3．即可求解 x ＜0 的解析，可得结论；（2）根据 f （x ））的解析式，分类求解实数 a 的取值范围．【答案】解：（1）由题意，f （x ）是定义在 R 上的奇函数，f （﹣x ）＝﹣f （x ），f （0）＝0．当 x ＞0 时，f （x ）＝2x +3．那么：当 x ＜0，则﹣x ＞0，∴f （﹣x ）＝﹣2x +3．即﹣f （x ）＝﹣2x +3．∴f （x ）＝2x ﹣3， ＞故 f （x ））的解析式为： ，；， ＜（2）由 f （a ）＜7，当 a ＞0 时，可得 2a +3＜7，∴0＜a ＜2．当 a ＝0 时，可得 0＜7 成立．当 a ＜0 时，可得 2a ﹣3＜7，∴a ＜0．综上可得实数 a 的取值范围是（﹣∞，2）【点睛】本题考查了函数解析式的求法，以及分段函数不等式的解法，属于基础题．【练 1.1】已知函数 f （x ）＝x 2 （x ≠0）．（1）判断 f （x ）的奇偶性，并说明理由；（2）若 f （1）＝2，试判断 f （x ）在[2，+∞）上的单调性．【思路分析】（1）利用函数奇偶性的定义进行判断，要对 a 进行分类讨论．（2）由 f （1）＝2，确定 a 的值，然后利用单调性的定义进行判断和证明．【答案】解：（1）当 a ＝0 时，f （x ）＝x 2，f （﹣x ）＝f （x ），函数是偶函数．当 a ≠0 时，f （x ）＝x 2（x ≠0，常数 a ∈R ），取 x ＝±1，得 f （﹣1）+f （1）＝2≠0；f （﹣1）﹣f （1）＝﹣2a ≠0，∴f （﹣1）≠﹣f （1），f （﹣1）≠f （1）．∴函数 f （x ）既不是奇函数也不是偶函数．（2）若 f （1）＝2，即 1+a ＝2，解得 a ＝1，这时 f （x ）＝x 2 ．任取 x 1，x 2∈[2，+∞），且 x 1＜x 2，则 f （x 1）﹣f （x 2）（）＝（x 1﹣x 2）（x 1+x 2）＝（x 1﹣x 2）[（x 1+x 2）]，由于 x 1≥2，x 2≥2，且 x 1＜x 2，∴x 1﹣x 2＜0，x 1+x 2＞， 所以 f （x 1）＜f （x 2），故 f （x ）在[2，+∞）上是单调递增函数．【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，要熟练掌握函数奇偶性和单调性的应用．【练 1.2】（2019 春•龙凤区校级月考）已知二次函数 f （x ）的图象过点， ， ， ，且最小值为 ．（Ⅰ）求函数 f （x ）的解析式；（Ⅱ）函数 g （x ）＝f （x ）﹣x 2﹣（1+2m ）x +1（m ∈R ）在[2，+∞）上的最小值为﹣3，求实数 m 的值．g m ， f f 【思路分析】（Ⅰ）根据题意，分析 f （x ）的对称轴，设＞ ，将点（0，1）代入其解析式，解可得 a 的值，即可得答案；（Ⅱ）根据题意，求出 g （x ）的解析式，分 m ≤2 与 m ＞2 两种情况讨论，结合函数的最小值求出 m 的值，综合即可得答案．【答案】解：（Ⅰ）由题意得：二次函数f （x ）的图象过点 ， ， ， ，则 f （x ）的对称轴为对称轴，设 ＞ ，又 f （x ）的图象过点（0，1），代入得2x 2+x +1，，解得 a ＝2，故 f （x ）＝2x 2+x +1；（Ⅱ）由已知 g （x ）＝f （x ）﹣x 2﹣（1+2m ）x +1＝x 2﹣2mx+2，对称轴为直线 x ＝m ，开口向上，分两种情况：①当 m ≤2 时，函数 g （x ）在区间[2，+∞）单调递增，g （x ）min ＝g （2）＝6﹣4m ＝﹣3，得到 ，与 m＜2 矛盾．②当 m ＞2 时，函数 （x ）在区间[2， ）单调递减，在区间[m +∞）单调递增，从而，得到 或 舍掉与 m ＞2 矛盾；综上所述： ．【点睛】本题考查二次函数的性质，关键是求出该二次函数的解析式，属于基础题．【练 1.3】（2019 春•浉河区校级月考）已知函数 （x ）是定义在 R 上的偶函数，且当 x ≤0 时，（x ）＝x 2+2x ．（1）求函数 f （x ）（x ∈R ）的解析式；（2）若函数 g （x ）＝f （x ）﹣2ax +1（x ∈[1，2]），求函数 g （x ）的最小值 h （a ）的表达式．【思路分析】（1）根据偶函数的性质进行转化求解即可．（2）求出 g （x ）的表达式，结合一元二次函数最值性质进行求解即可．【答案】解：（1）∵f （x ）是偶函数，∴若 x ＞0，则﹣x ＜0，则当﹣x ＜0 时，f （﹣x ）＝x 2﹣2x ＝f （x ），即当 x ＞0 时，f （x ）＝x 2﹣2x ．..， 即 f （x ） ．，＞（2）当 x ∈[1，2]时，g （x ）＝f （x ）﹣2ax +1＝x 2﹣2x ﹣2ax +1＝x 2﹣（2+2a ）x +1，对称轴为 x ＝1+a ，若 1+a ≤1，即 a ≤0 时，g （x ）在[1，2]上为增函数，则 g （x ）的最小值为 h （a ）＝g （1）＝﹣2a ，若 1+a ≥2，即 a ≥1 时，g （x ）在[1，2]上为减函数，则 g （x ）的最小值为 h （a ）＝g （2）＝1﹣4a ，若 1＜1+a ＜2，即 0＜a ＜1 时，g （x ）的最小值为 h （a ）＝g （1+a ）＝﹣a 2﹣2a ，，即 h （a ） ，＜ ＜ ． ，【点睛】本题主要考查函数解析式的求解，结合偶函数的性质以及一元二次函数函数单调性的性质是解决本题的关键．【考查角度 2 数形结合思想】方法导入在函数问题中，数形结合思想常用于解方程、解不等式、求函数的值域等问题 第 1 步：构造函数；步骤第 2 步：画出函数图象；第 3 步：借助函数图象直观求解.反思以形助数是解决函数问题的常见手段，画准图象是求解的关键 【例 2】（2019•铁岭模拟）设奇函数 f （x ）的定义域为[﹣5，5]，若当 x ∈[0，5]时，f （x ）的图象如图，则不等式 f （x ）≤0 的解集为 [﹣2，0]∪[2，5] ．【思路分析】根据奇函数关于原点对称的性质即可得到结论．【答案】解：由图象可知：当 x ＞0 时，f （x ）≤0 解得 2≤x ≤5，f （x ）≥0 解得 0≤x ≤2；当 x ＜0 时，﹣x ＞0，因为 f （x ）为奇函数，所以 f （x ）≤0，【练2.2】对a，b∈R，记max{a，b}，f||即﹣f（﹣x）≤0⇒f（﹣x）≥0⇒0≤﹣x≤2，解得﹣2≤x≤0．综上，不等式f（x）≤0的解集为{x|﹣2≤x≤0，或2≤x≤5}．故答案为：[﹣2，0]∪[2，5]．【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据奇函数的对称性是解决本题的关键．【练2.1】（2019秋•清流县校级期中）已知奇函数f（x）在x≥0时的图象如图所示，则不等式xf（x）＜0的解集（﹣2，﹣1）∪（1，2）．．【思路分析】由f（x）是奇函数得函数图象关于原点对称，由xf（x）＜0可得x与f（x）符号相反，根据奇函数的对称性可求得结果【答案】解：∵xf（x）＜0①当x＞0时，f（x）＜0，结合函数的图象可得，1＜x＜2，（2）x＜0时，f（x）＞0，根据奇函数的图象关于原点对称可得，﹣2＜x＜﹣1，∴不等式xf（x）＜0的解集为（﹣2，﹣1）∪（1，2）．故答案为：（﹣2，﹣1）∪（1，2）．【点睛】由函数的奇偶性得出整个图象，分类讨论的思想得出函数值的正负，数形结合得出自变量的范围．，＜函数（x）＝max{|x+1|，x﹣2|}（x∈R）的最小值是．【思路分析】本题考查新定义函数的理解和解绝对值不等式的综合类问题．在解答时应先根据x+1|和|x﹣2|的大小关系，结合新定义给出函数f（x）的解析式，再通过画函数的图象即可获得问题的解答．【答案】解：由|x+1|≥|x﹣2|⇒（x+1）2≥（x﹣2）2⇒x，故f（x），＜其图象如右，则．故答案为：．【点睛】本题考查新定义函数的理解和解绝对值不等式等问题，属于中档题．在解答过程当中充分考查了同学们的创新思维，培养了良好的数学素养．【练2.3】（2018•丰台区一模）函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，函数f（x）的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）．①当x∈[﹣1，1]时，y的取值范围是[1，2]；②如果对任意x∈[a，b]（b＜0），都有y∈[﹣2，1]，那么b的最大值是﹣2．【思路分析】①根据f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，结合图象可得y的取值范围．②当x≥0时，设抛物线的方程为y＝ax2+b x+c，求解解析式，根据f（x）是定义域为R的偶函数，可得x＜0的解析式，令y＝1，可得x对应的值，结合图象可得b的最大值．【答案】解：①根据f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，当x∈[﹣1，1]时，值域为x∈[0，1]时相同，可得y的取值范围是[1，2]．②当x≥0时，设抛物线的方程为f（x）＝ax2+b x+c，图象过（0，1），（1，2），（3，﹣2），带入计算可得：a＝﹣1，b＝2，c＝1，∴f（x）＝﹣x2+2x+1，.当 x ＜0 时，﹣x ＞0．∴f （﹣x ）＝﹣x 2﹣2x +1即 f （x ）＝﹣x 2﹣2x +1．令 y ＝1，可得 1＝﹣x 2﹣2x +1．解得：x ＝﹣2．结合图象可得 b 的最大值为﹣2．故答案为：[1，2]；﹣2．【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系，偶函数的图象特征．属于基础题．【考查角度 3 转化思想】方法导入在本章中，转化思想常用于求函数值，解决不等式恒成立或有解等问题 第 1 步：寻找转化的途径；步骤第 2 步：将所给的问题转化为函数性质问题;第 3 步：通过研究函数的性质使问题转化求解.转化的过程是一个探索的过程，抓住函数的内在联系，通过一步一步转化才能反思使得结果慢慢显现出来.【例 3】（2019 春•嘉兴期末）已知函数 f （x ）＝x 2+ax +2．（Ⅰ）当 a ＝3 时，解不等式 f （x ）＜0；（Ⅱ）当 x ∈[1，2]时，f （x ）≥0 恒成立，求 a 的取值范围．【思路分析】（Ⅰ）当 a ＝3 时，利用二次不等式求解解不等式 f （x ）＜0 即可；（Ⅱ）当 x ∈[1，2]时，f （x ）≥0 恒成立，推出 a 的表达式，利用函数的单调性求解表达式的最大值，即可得到 a 的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）当 a ＝3 时，一元二次不等式 x 2+3x +2＜0 的解为﹣2＜x ＜﹣1（Ⅱ）当 x ∈[1，2]时，x 2+ax +2≥0 恒成立，即恒成立，令因，， 的最大值为故．【点睛】本题考查函数与方程的应用，考查转化思想以及函数的单调性的应用，考查计算能力．【练 3.1】（2019 春•哈尔滨期中）已知函数 f （x ）＝x 2+2x +a ．（1）当a＝2时，求不等式f（x）＞1的解集（2）若对于任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．【思路分析】（1）解一元二次不等式可得；（2）对于任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立⇔﹣a＜x2+2x＝（x+1）2﹣1，然后转化为最小值可得．【答案】解：（1）a＝2时，x2+2x+2＞1⇒x2+2x+1＞0⇒x≠﹣1，故不等式f（x）＞1的解集为{x|x≠﹣1}（2）对于任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立⇔﹣a＜x2+2x＝（x+1）2﹣1，∵x≥1，∴y＝（x+1）﹣1为递增函数，∴x＝1时，函数取得最小值3，∴﹣a＜3，∴a＞﹣3．【点睛】本题考查了函数恒成立问题，属中档题．【练3.2】已知定义在[﹣2，2]上的偶函数f（x）满足：当x∈[0，2]时，．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数g（x）＝ax﹣2﹣a（a＞0），若对于任意的x1，x2∈[﹣2，2]，都有g（x1）＜f（x2）成立，求实数a的取值范围．【思路分析】（1）根据题意，设x∈[﹣2，0]，则﹣x∈[0，2]，由函数的解析式可得f（﹣x）的解析式，进而利用函数奇偶性的性质分析可得f（x）的表达式，综合即可得答案；（2）根据题意，求出函数f（x）的最小值与g（x）的最大值，分析可得f（x）min＞g（x）max，解即可得答案．【答案】解：（1）根据题意，设x∈[﹣2，0]，则﹣x∈[0，2]，从而，因为f（x）定义x∈[﹣2，2]在偶函数，所以因此，，，，，（2）因为对任意x1，x2∈[﹣2，2]，都有g（x1）＜f（x2）成立，所以g（x）max＜f（x）min又因为f（x）是定义在[﹣2，2]上的偶函数．所以f（x）在区间[﹣2，0]和区间[0，2]上的值域相同．当x∈[﹣2，0]时，．设，则，函数化为，，，则f（x）min＝0又 g （x ）max ＝g （2）＝a ﹣2所以 a ﹣2＜0 即 a ＜2，因此，a 的取值范围为 0＜a ＜2．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数的恒成立问题，注意将恒成立问题转化为函数的最值问题．【练 3.3】（2019 秋•沈阳期中）已知定义在 R 上的函数 f （x ），对任意 a ，b ∈R ，都有 f （a +b ）＝f （a ）+f （b ），当 x ＞0 时，f （x ）＜0；（1）判断 f （x ）的奇偶性；（2）若 f （﹣kx 2）+f （kx ﹣2）＞0 对任意的 x ∈R 恒成立，求实数 k 的取值范围．【思路分析】（1）先计算 f （0），再令 b ＝﹣a 得出 f （a ）＝﹣f （a ），结论得证；（2）判断 f （x ）的单调性，根据函数性质和单调性列出恒等式求出 k 的范围．【答案】解：（1）令 a ＝b ＝0 可得 f （0）＝2f （0），∴f （0）＝0，令 b ＝﹣a 得 f （0）＝f （a ）+f （﹣a ）＝0，∴f （a ）＝﹣f （﹣a ），由 a 的任意选可知 f （x ）＝﹣f （x ）恒成立，∴函数 f （x ）在 R 上为奇函数．（2）设 x 1＜x 2，则 f （x 2）＝f （x 2﹣x 1+x 1）＝f （x 2﹣x 1）+f （x 1），∵x 1＜x 2，∴x 2﹣x 1＞0，∴f （x 2﹣x 1）＜0，∴f （x 2）﹣f （x 1）＝f （x 2﹣x 1）＜0，∴f （x ）是 R 上的减函数．∵f （﹣kx 2）+f （kx ﹣2）＞0 对任意的 x ∈R 恒成立，∴f （﹣kx 2+kx ﹣2）＞f （0）对任意的 x ∈R 恒成立，∴﹣kx 2+kx ﹣2＜0 对任意的 x ∈R 恒成立，当 k ＝0 时显然成立，当 k ≠0 时，得＜ ＜ ，解得 0＜k ＜8，综上所述 k 的范围为[0，8]【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性与单调性判断，函数恒成立问题，属于中档题．【趁热打铁】f 1．（2019 春•桂林期末）已知偶函数 f （x ）在[0，+∞）上单调递减，f （2）＝0，则满足不等式 f （x ）＞0的实数 x 的取值范围是 （﹣2，2） ．【思路分析】可以根据该函数在[0，+∞）上单调递减，（2）＝0，是偶函数，大体画出该函数图象的草图，结合图象可列出关于 x 的不等式．【答案】解：∵偶函数 f （x ）在[0，+∞）上单调递减，且 f （2）＝0，∴该函数在（﹣∞，0）上递增，且 f （﹣2）＝0，∴可画出该函数的图象的草图如下：可见，当﹣2＜x ＜2 时，f （x ）＞0．故答案为：（﹣2，2）．【点睛】抽象函数的问题常采用数形结合的方法解决问题，本题作为填空题，采用数形结合思想来解，既快捷，有准确．2．已知函数 f （x ）是定义在（﹣3，3）上的偶函数，当﹣3＜x ≤0 时，f （x ）的函数图象如图所示，则不等式 x •f （x ）≥0 的解集为{x|﹣1≤x ≤0 或 1≤x ＜3} ．【思路分析】结合函数的性质，函数的图象，对 x ≤0 和 x ≥0 进行讨论，分别求出不等式的解，最后求并集．【答案】解：当 x ≤0 时，由不等式 xf （x ）≥0，可得 f （x ）≤0，则﹣1≤x ≤0，∵函数 f （x ）是定义在（﹣3，3）上的偶函数，∴x ≥0 时，当 0≤x ≤1 时，f （x ）≤0，当 1≤x ＜3 时，f （x ）≥0，∴当 x ≥0 时，由不等式 xf （x ）≥0，可得 f （x ）≥0，则 1≤x ＜3，f ，f （f f∴不等式 xf （x ）≥0 的解集为：{x|﹣1≤x ≤0 或 1≤x ＜3}．故答案为：{x|﹣1≤x ≤0 或 1≤x ＜3}．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性及应用，考查运用分类法解决不等式的能力，本题属于中档题．3．如图所示，函数 y ＝f （x ）的图象由两条射线和三条线段组成，若∀x ∈R ，f （x ）＞f （x ﹣1），则正实数a 的取值范围为 （0， ） ．＜ 【思路分析】由已知中的函数图象可得（4a ）＝a （﹣4a ）＝﹣a ，若∀x ∈R ， x ）＞（x ﹣1），则 ，＜解不等式可得正实数 a 的取值范围．【答案】解：由已知可得：a ＞0，且 f （4a ）＝a ，f （﹣4a ）＝﹣a ，若∀x ∈R ，f （x ）＞f （x ﹣1），则＜，解得 a ＜ ，＜故正实数 a 的取值范围为：（0， ），故答案为：（0， ）【点睛】本题考查的知识点是函数的图象，其中根据已知分析出不等式组，是解答的关键．4．（2019 春•香坊区校级期末）已知函数 f （x ）＝2x 2﹣kx +8．（1）若函数 g （x ）＝f （x ）+2x 是偶函数，求 k 的值；（2）若函数 y ＝f （x ）在[﹣1，2]上，f （x ）≥2 恒成立，求 k 的取值范围．【思路分析】（1）利用函数的奇偶性，直接求解 k 的值即可．（2）利用函数恒成立，转化求解函数的最小值大于等于 2，求解即可．【答案】解：（1）函数 f （x ）＝2x 2﹣kx +8．函数 g （x ）＝2x 2﹣kx +8+2x 是偶函数，可得﹣k +2＝0，解得 k ＝2；（2）函数y＝2x2﹣kx+8在[﹣1，2]上，f（x）≥2恒成立，函数是二次函数，对称轴为x，当时，必有2+k+8≥2，解得k∈[﹣8，﹣4]，当∈（﹣1，2]时，有：，解得k∈（﹣4，4]，当∈（2，+∞）时，8﹣8k+8≥2，解得k，无解．综上所述，k的取值范围是：，．【点睛】本题考查函数的奇偶性，二次函数的最值的求法和不等式恒成立问题的解法，考查转化思想和分类讨论的思想，考查运算能力，属于中档题．5．（2019春•顺德区期末）设二次函数f（x）＝x2+mx．（Ⅰ）若对任意实数m∈[0，1]，f（x）＞0恒成立，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若存在x0∈[﹣3，4]，使得f（x0）≤﹣4成立，求实数m的取值范围．【思路分析】（I）m的范围已知，要求x的范围，所以要把m当成自变量，把x当成参数来考虑；（II）f（x）是开口向上的二次函数，性质比较清楚，所以直接讨论对称轴的位置即可．【答案】（I）由题意，xm+x2＞0对于m∈[0，1]恒成立，令g（m）＝xm+x2．i．当x＜0时，g（m）在[0，1]上单调递减，所以只需要g（1）＝x+x2＞0，解得x∈（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）；ii．当x＝0时，g（m）＝0，所以不成立；iii．当x＞0时，g（m）在[0，1]上单调递增，所以只需要g（0）＝x2＞0，解得x≠0．综上x∈（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）．（II）二次函数f（x）开口向上，对称轴为x．i．当m＞6时，＜3，所以f（x）在区间[﹣3，4]上单调递增．存在x∈[﹣3，4]，使得f（x0）≤﹣4，只需要f（﹣3）＝9﹣3m≤﹣4，解得m，又m＞6，所以m＞6；ii．当﹣8≤m≤6时，﹣34，所以f（x）在区间[﹣3，4]上得最小值为f（）．存在x∈[﹣3，4]，4，解得m≤﹣4或m≥4，又﹣8≤m≤6，所以m∈[﹣8，﹣4]使得f（x0）≤﹣4，只需要f（）∪[4，6]；iii．当m＜﹣8时，＞4，所以f（x）在区间[﹣3，4]上单调递减．存在x∈[﹣3，4]，使得f（x）≤﹣4，00只需要f（4）＝16+4m≤﹣4，解得m≤﹣5，又m＜﹣8，所以m＜﹣8．综上，m∈（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）．【点睛】（I）一般来讲，已知范围得变量要作为自变量，要求范围得变量要作为参数；（II）分参也可以完成解答，比较两种方法，选用顺手的方法即可．6．（2019春•温州期末）设函数f（x）＝mx2﹣2mx﹣3．（1）若m＝l，解不等式f（x）＞0：（2）若对一切实数x，f（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围．【思路分析】（1）将m＝l，代入不等式f（x）＞0，利用一元二次不等式求解即可；（2）若对一切实数x，f（x）＜0恒成立，讨论含有m的不等式，求解不等式可得实数m的取值范围．【答案】解：函数f（x）＝mx2﹣2mx﹣3．（1）若m＝l，解不等式f（x）＝x2﹣2x﹣3，f（x）＞0：即：f（x）＝x2﹣2x﹣3＞0，即：（x﹣3）（x+1）＞0，所以：此不等式的解集为：{x|x＞3或x＜﹣1}；（2）对一切实数x，f（x）＜0恒成立，讨论含有m的不等式，当m＝0时，f（x）＝﹣3＜0，符合题意，当m≠0时，由题意：m＜0，且4m2+12m＜0，解得：﹣3＜m＜0，综上：﹣3＜m≤0；故实数m的取值范围：{m|﹣3＜m≤0}．【点睛】本题主要考查了函数恒成立问题的求解，一元二次不等式的解法，分类讨论及转化思想的应用，属于中档题．7．（2019秋•文昌校级期中）已知函数f（x）＝|x﹣a|，g（x）＝x2+2ax+1（a为正常数），当x＝0时，函数f（x）＝g（x）．（1）求a的值；（2）求函数f（x）+g（x）的单调递增区间．【思路分析】（1）由题意可得f（0）＝g（0），解方程可得a；（2）讨论当x≥1时，当x＜1时，去掉绝对值，结合二次函数的单调性，即可得到所求增区间．【答案】解：（1）由题意，f（0）＝g（0），即|a|＝1又a＞0，所以a＝1；（2）f（x）+g（x）＝|x﹣1|+x2+2x+1，当x≥1时，f（x）+g（x）＝x2+3x，它在[1，+∞）上单调递增；当x＜1时，f（x）+g（x）＝x2+x+2，它在[，1）上单调递增．则函数f（x）+g（x）的单调递增区间为[1，+∞）∪[，1）＝[，+∞）．【点睛】本题考查函数的单调区间的求法，注意运用分类讨论思想方法，以及二次函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．。
1.2.1 任意角的三角函数重难点题型(举一反三)(解析版)
1.2.1任意角的三角函数重难点题型【举一反三系列】【知识点1 三角函数的定义】1.任意角的三角函数定义2.三角函数的定义域：【知识点2 三角函数值的符号】第一象限角的各三角函数值都为正；第二象限角的正弦值为正，其余均为负；第三象限角的正切值为正，其余均为负；第四象限角的余弦值为正，其余均为负.注：一全正，二正弦，三正切，四余弦.【知识点3 诱导公式一】由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一：【知识点4 单位圆的三角函数线定义】如图（1）PM表示α角的正弦值，叫做正弦线.OM表示α角的余弦值，叫做余弦线.如图（2）AT表示α角的正切值，叫做正切线.注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负.【考点1 三角函数的定义】【分析】根据三角函数的定义，列方程求出m的值．【答案】解：角α的终边上一点(1,)P m，所以0m>，故选：B．【点睛】本题考查了三角函数的定义与应用问题，是基础题．A ．4B ．4±C ．3D ．3±【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得m 的值．故选：D ．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．)【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tan α的值．【答案】解：角故选：C ．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．【变式1-3】（2019春•牡丹江期末）角α的终边上一点(P a ，2)(0)a a ≠，则2sin cos (αα-= )【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，分类讨论求得结果． 【答案】解：α的终边上一点(P a ，2)(0)a a ≠， 555a a =，22555a a =，555a a=-，2555a a=-故选：D ．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 【考点2 利用象限角判断三角函数的符号】【例2】（2019春•湖北期中）下列命题成立的是( ) A ．若θ是第二象限角，则cos tan 0θθ< B ．若θ是第三象限角，则cos tan 0θθ> C ．若θ是第四象限角，则sin tan 0θθ< D ．若θ是第三象限角，则sin cos 0θθ>【分析】根据角所在的象限判断三角函数值的符号进行判断即可．【答案】解：若θ是第二象限角，则cos 0θ<，tan 0θ<，则cos tan 0θθ>，故A 错误， 若θ是第三象限角，则cos 0θ<，tan 0θ>，则cos tan 0θθ<，故B 错误， 若θ是第四象限角，则sin 0θ<，tan 0θ<，则sin tan 0θθ>，故C 错误， 若θ是第三象限角，则sin 0θ<，cos 0θ<，则sin cos 0θθ>，故D 正确， 故选：D ．【点睛】本题主要考查三角函数值符号的判断，结合角的象限与三角函数值符号的关系是解决本题的关键． 【变式2-1】（2019春•珠海期末）已知点(sin ,tan )M θθ在第三象限，则角θ在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】由题意可得sin 0θ<且tan 0θ<，分别求得θ的范围，取交集得答案． 【答案】解：由题意，00sin tan θθ<⎧⎨<⎩①②，由①知，θ为第三、第四或y 轴负半轴上的角； 由②知，θ为第二或第四象限角． 则角θ在第四象限． 故选：D ．【点睛】本题考查三角函数的象限符号，是基础题．【变式2-2】（2019春•玉山县校级月考）若sin cos 0θθ<，则θ在( ) A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第一、四象限D ．第二、四象限【分析】判断三角函数的符号，然后判断角所在象限即可．【答案】解：sin cos 0θθ<，可知sin θ与cos θ异号，说明θ在第或第四象限． 故选：D ．【点睛】本题考查三角函数的符号的判断，角所在象限，是基本知识的考查． 【变式2-3】（2018秋•安庆期末）式子sin1cos2tan4的符号为( )A．正B．负C．零D．不能确定【分析】由1，2，4分别表示第一、二、三象限的角，由此可得答案．【答案】解：1，2，4分别表示第一、二、三象限的角，<，tan40>．∴>，cos20sin10故选：B．【点睛】本题考查三角函数值的符号，是基础题．【考点3 利用诱导公式一判断三角函数的符号】【例3】（2019秋•武邑县校级期中）下列三角函数值的符号判断正确的是()【分析】根据角所在的象限、诱导公式、三角函数值的符号逐项判断即可．【答案】解：A、因为156︒在第二象限，所以sin1560︒>，故A错误；︒=︒+︒=︒，且196︒在第三象限，D、因为tan556tan(360196)tan196所以tan5560︒>，故D错误；故选：C．【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式，及三角函数在各象限的符号的应用，属于基础题．【变式3-1】（2019秋•西陵区校级期末）下列三角函数值的符号判断错误的是() A．sin1650︒<︒>D．tan3100︒>B．cos2800︒>C．tan1700【分析】直接利用诱导公式化简，判断符号即可．【答案】解：sin1650︒=︒>，正确；︒>，正确；cos280cos800tan1700︒=-︒<，正确；︒>，错误；tan310tan500故选：C．【点睛】本题考查诱导公式的应用，三角函数值的符号的判断，是基础题．【变式3-2】（2019春•武功县期中）下列值①sin(1000)-︒；④sin2是负值-︒；②cos(2200)-︒；③tan(10)的为()A．①B．②C．③D．④【分析】根据终边相同的角的三角函数值相同，利用三角函数符号判断方法，即可得出结论．【答案】解：①sin(1000)sin1000sin 2800-︒=-︒=-︒>； ②cos(2200)cos2200cos400-︒=︒=︒>； ③tan(10)tan100-︒=-︒<；综上，是负值的序号为③． 故选：C ．【点睛】本题考查了终边相同的角与三角函数符号判断问题，是基础题．【变式3-3】（2019秋•夷陵区校级月考）给出下列各函数值：①sin(1- 000)︒；②cos(2- 200)︒；③tan(10)-；A ．①④B ．②③C ．③⑤D ．④⑤【分析】利用诱导公式分别对五个选项进行化简整理，进而根据三角函数的性质判断正负． 【答案】解：①，sin(1000)sin(2360280)sin 280cos100-︒=-⨯︒-︒=-︒=︒>； ②，cos(2200)cos(636040)cos400-︒=-⨯︒-︒=︒>； ③，tan(10)tan(30.58)tan(0.58)0π-=-+=-<；，πsin2cos3tan40∴<．∴其中符号为负的是：③⑤．故选：C ．【点睛】本题主要考查了运用诱导公式化简求值，解题时应正确把握好函数值正负号的判定，是基础题． 【考点4 三角函数定义域】【分析】列出使函数有意义的不等式组，即由被开方数不小于零，得三角不等式组，分别利用正弦函数和余弦函数图象解三角不等式组即可【答案】解：要使函数有意义，需解得： （k ∈Z ）即2k π+≤x ≤2k π+π （k ∈Z ）故答案为Z ）【点睛】本题考查了函数定义域的求法，三角函数的图象和性质，解简单的三角不等式的方法 可．【答案】解：函数【点睛】本题考查了函数的概念，三角函数的定义域，解三角函数的不等式，属于中档题． 【分析】由绝对值的特点得到sin α-和0的关系，由正弦曲线和角的正弦值可以得到角的范围，写出角的范围后注意加上k 的取值． 【答案】解：|sin |sin αα=-，sin 0α∴-， sin 0α∴，由正弦曲线可以得到[2k αππ∈-，2]k π，k Z ∈， 故答案为：[2k ππ-，2]k π，k Z ∈【点睛】本题主要考查三角函数不等式，解题时最关键的是要掌握三角函数的图象，通过数形结合得到要求的角的范围，这个知识点应用非常广泛，可以和其他知识结合来考查．【变式4-3】求下列函数的定义域：（2）(2sin1)=-；y lg x【分析】利用函数的定义域以及三角函数线化简求解即可．【答案】解：（1）要使y＝有意义，可得cos x≥0，解得{x|﹣，k∈Z}；（2）要使y＝lg（2sin x﹣1）有意义，可得2sin x﹣1＞0，即：sin x，解得{x|，k∈Z}；（3）要使y＝有意义，可得sin x≠﹣1．所以函数的定义域为：{x|x＝﹣+2kπ，k∈Z}．【点睛】本题考查三角函数的定义域的求法，三角函数线的应用，考查计算能力．【考点5 利用诱导公式一化简求值】【例5】（2019春•娄星区期中）求下列各式的值：（2）sin1170cos1440tan1845︒+︒-︒【分析】（1）利用诱导公式进行恒等变形，再利用特殊角的三角函数值计算即可求出值；（1）利用诱导公式进行恒等变形，再利用特殊角的三角函数值计算即可求出值；【答案】（本题满分10分）（2）sin1170cos1440tan1845︒+︒-︒sin(336090)cos(43600)tan(536045)=⨯︒+︒+⨯︒+︒-⨯︒+︒ sin90cos0tan45=︒+︒-︒1=．【点睛】此题考查了运用诱导公式化简求值，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．【变式5-1】求下列各式的值（2）9cos2708cos03tan011sin180︒+︒+︒+︒．【分析】由特殊角的三角函数值即可计算得解．1(1)(1)=+-+-1=-．（2）9cos2708cos03tan011sin180︒+︒+︒+︒ 08100=+⨯++ 8=．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题． 【变式5-2】（2019春•船营区校级月考）计算下列各式的值： （1）sin(1395)cos1140cos(1020)sin750-︒︒+-︒︒； tan 4ππ； 【分析】（1）原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果． （2）利用诱导公式即可计算得解．【答案】解：（1）原式sin(144045)cos(108060)cos(108060)sin(72030)=-︒+︒︒+︒+-︒+︒︒+︒ sin45cos60cos60sin30=︒︒+︒︒tan 4ππ )0【点睛】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键，属于基础题． 【变式5-3】（2019春•平罗县校级期中）求下列各式的值 )cos(570)cos(1140)tan(210)sin(690)︒-︒-︒-︒-︒【分析】（1）利用诱导公式以及特殊角的三角函数化简求值即可． （2）利用诱导公式以及特殊角的三角函数化简求值即可． )cos(570)cos(1140)tan(210)sin(690)-︒-︒=-︒-︒25)sin cos tan 463πππ=+-【点睛】本题考查诱导公式的应用，三角函数化简求值，考查计算能力． 【考点6 利用三角函数线解不等式】【例6】（2019春•泗县校级月考）利用单位圆，求适合下列条件的角的集合：【分析】在单位圆中画出三角函数线． （1）由[0，2π）内，，结合正弦线得的解集；（2）由[0，2π）内，，结合余弦线得的解集．【答案】解：在单位圆内作三角函数线如图：（1）∵在[0，2π）内，，OA，OB分别为的终边，由正弦线可知，满足的角的终边在劣弧AB内，∴的解集为{α|}；（2））∵在[0，2π）内，，OC，OD分别为的终边，由余弦线可知，满足的终边在劣弧CD内，∴的解集为{α|}．【点睛】本题考查了三角函数线，考查了三角不等式的解法，训练了数形结合的解题思想方法，是中低档题．【变式6-1】求下列不等式的解集：【分析】作出单元圆，利用三角函数线进行求解即可．【答案】解：（1）正弦线大于0的角为x轴的上方，对应的角为2kπ＜x＜2kπ+π，k∈Z，则不等式的解集为（2kπ，2kπ+π），k∈Z．（2）余弦线小于0的角为y轴的左侧，对应的角为2kπ+＜x＜2kπ+，k∈Z，则不等式的解集为（2kπ+，2kπ+），k∈Z．（3）sin x＞对应的区域在阴影部分，对应角的范围为2kπ+＜x＜2kπ+，k∈Z，则不等式的解集为（2kπ+，2kπ+），k∈Z．（4）cos x≤﹣对应的区域在阴影部分，对应角的范围为2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z，则不等式的解集为[2kπ+，2kπ+]，k∈Z．【点睛】本题主要考查三角不等式的求解，利用三角函数的三角函数线是解决本题的关键．【变式6-2】利用三角函数线，写出满足下列条件的角x的集合：（2）tan x≥﹣1．【分析】根据三角函数线分别进行求解即可．【答案】解：（1）作出y＝﹣，交单位圆于B，C，则sin x＞﹣对应的区域为阴影部分，作出x＝，交单位圆于E，D，则cos x＞对应的区域为阴影部分OD，OE之间，则sin x＞﹣且cos x＞对应的区域为OC到OE之间，其中OC对应的角为﹣，OE对应的角为，则阴影部分对应的范围是2kπ﹣＜x＜2kπ+，k∈Z，即sin x＞﹣且cos x＞对应的范围是{x|2kπ﹣＜x＜2kπ+，k∈Z}（2）作出正切函数线AT＝﹣1，则tan x≥﹣1对应的区域为阴影部分，OT对应的角为﹣，则阴影部分对应的角的范围是kπ﹣≤x＜kπ+，即不等式的解集为{x|kπ﹣≤x＜kπ+，k∈Z}【点睛】本题主要考查三角函数对应不等式的求解，利用三角函数线是解决本题的关键．【变式6-3】利用三角函数线，写出满足下列条件的角x的集合．（3）tan x≥﹣1；【分析】作出单位圆，由三角函数值先求出角在[0，2π]内的取值范围，再由终边相同的角的概念加上周期，由此能求出满足条件的角x的集合．【答案】解：（1）由sin x，作出单位圆，如下图，∵sin x，∴，∴满足sin x≥的角x的集合为{x|2kπ+，k∈Z}．（2）由cos x≤，作出单位圆，如下图，∵cos x≤，∴，∴满足cos x≤的角x的集合为{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}．（3）由tan x≥﹣1，作出单位圆，如下图，∵tan x ≥﹣1，∴﹣≤x ＜， ∴满足tan x ≥﹣1的角x 的集合为{x |k π﹣，k ∈Z }． （4）由sin x ＞且cos x ＞，作出单位圆，如下图，∵sin x ＞且cos x ＞，∴，∴满足sin x ＞且cos x ＞x 的集合为{x |2k π+，k ∈Z }． 【点睛】本题考查角的取值范围的求法，是基础题，解题时要注意单位圆和三角函数线的合理运用．【考点7 利用三角函数线比较大小】【例7】比较下列各组数的大小：【分析】（1）根据余弦函数单调性的大小进行比较（2）利用三角函数的诱导公式以及作差法进行比较即可．704π<-cos(π∴-02πα<<则0sin(cos <cos(sin )α222ππ-<【点睛】本题主要考查三角函数值的大小比较，结合三角函数的诱导公式以及三角函数的单调性是解决本题的关键．【变式7-1】利用三角函数线比较下列各组三角函数值的大小：【分析】根据题意，依次作出各个角的三角函数值对应的三角函数线，进而比较大小即可得答案．【点睛】本题考查的知识点是三角函数线，三角函数值的大小比较，关键是掌握三角函数线的定义．【变式7-2】比较大小：可知：21AT AT >，可知：BD BC >，【点睛】本题考察了诱导公式的化简运用，正切线的画法，属于三角函数线的基础题目．【变式7-3】比较下列各组数的大小：【分析】根据三角函数线进行比较即可．）5 cos7π=在单位圆中作出对应的三角函数线如图，则余弦线为OM，正弦线为MP，（2）在单位圆中作出对应的三角函数线如图，则正切线为AT，正弦线为MP，则AT MP>，【点睛】本题主要考查三角函数值的大小比较，根据三角函数线是解决本题的关键．。
函数基础知识【九大题型】(举一反三)(沪科版)(解析版)
专题12.1 函数基础知识【九大题型】【沪科版】【题型1 常量与变量的确定】 (1)【题型2 函数的概念】 (3)【题型3 用描点法画函数的图像】 (5)【题型4 自变量取值范围的确定】 (11)【题型5 函数的解析式的确定】 (12)【题型7 函数图像的识别】 (16)【题型8 从函数的图像获取信息】 (18)【题型9 动点问题的函数图象】 (21)【知识点1 函数的概念】一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
注意：要判断一个关系式是不是函数，首先看这个变化过程中是否只有两个变量，其次看每一个x的值是否对应唯一确定的y值．【知识点2 求函数的值】(1)当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．(2)函数表达式中只有两个变量，给定一个变量的值，将其代入函数表达式即可求另一个变量的值，即给自变量的值可求函数值，给函数值可求自变量的值．【题型1 常量与变量的确定】【例1】（2022春•娄星区期末）下列说法不正确的是（）A．正方形面积公式S＝a2中有两个变量：S，aB．圆的面积公式S＝πr2中的π是常量C．在一个关系式中，用字母表示的量可能不是变量D．如果a＝b，那么a，b都是常量【分析】根据自变量与常量、因变量的定义解答．【解答】解：A 、正方形面积公式S ＝a 2中有两个变量：S ，a ，正确； B 、圆的面积公式S ＝πr 2中的π是常量，正确；C 、在一个关系式中，字母表示的量可能不是变量，正确；D 、如果a ＝b ，那么a ，b 都是变量，故错误． 故选：D ．【变式1-1】（2022春•鄠邑区期末）大家知道，冰层越厚，所承受的压力越大，这其中自变量是 冰层的厚度 ，因变量是 冰层所承受的压力 ． 【分析】根据常量与变量，即可解答．【解答】解：大家知道，冰层越厚，所承受的压力越大，这其中自变量是冰层的厚度，因变量是冰层所承受的压力；故答案为：冰层的厚度，冰层所承受的压力．【变式1-2】（2022春•砚山县校级期中）某水果店卖出的香蕉数量（千克）与售价（元）之间的关系如表：数量（千克） 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 … 售价（元）1.534.567.5910.5…上表反映了 两 个变量之间的关系，其中，自变量是 香蕉数量 ；因变量是 售价 ．【分析】首先根据表格，可得上表反映了两个变量（香蕉数量和售价）之间的关系；然后根据自变量、因变量的含义，判断出自变量、因变量各是哪个即可． 【解答】解：∵香蕉的售价随着香蕉数量的变化而变化，∴上表反映了两个变量之间的关系，其中，自变量是香蕉数量；因变量是售价． 故答案为：两、香蕉数量、售价．【变式1-3】（2022•莘县校级月考）某电信公司提供了一种移动通讯服务的收费标准，如下表：项目 月基本服务费月免费通话时间超出后每分收费标准40元150分0.6元则每月话费y （元）与每月通话时间x （分）之间有关系式y ={40(0≤x ≤150)0.6x −50(x ＞150)，在这个关系式中，常量是什么？变量是什么？【分析】根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，即可答题．【解答】解：在0≤x ≤150中，y ，40是常量，x 是变量；在x ＞150时，0.6，﹣50是常量，x ，y 是变量．【变式1-4】变量x，y之间的对应关系如下表所示：X﹣3﹣2﹣10123y105212510请你判断y是x的函数吗？x是y的函数吗？说说你的理由．【分析】直接利用函数的定义判断得出即可．【解答】解：由图表中数据可得出：x每取一个值y有唯一值与其对应，故y是x的函数；当y取一个值2，x有两个值﹣1，1与其对应用，故x不是y的函数．【题型2 函数的概念】【例2】（2022春•莆田期末）下列曲线中不能表示y是x的函数的是（）A．B．C．D．【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．由此即可得出结论．【解答】解：当x取一个值时，y有唯一的值与其对应，就说y是x的函数，x是自变量．选项C中的曲线，当x取一个值时，y的值可能有2个，不满足对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应．故C中曲线不能表示y是x的函数，故选：C．【变式2-1】（2022春•红谷滩区校级期末）下面每个选项中给出了某个变化过程中的两个变量x和y，其中y不是x的函数的选项是（）A．y：正方形的面积，x：这个正方形的周长B．y：某班学生的身高，x：这个班学生的学号C．y：圆的面积，x：这个圆的直径D ．y ：一个正数的平方根，x ：这个正数【分析】根据题意对各选项分析列出表达式，然后根据函数的定义分别判断即可得解． 【解答】解：A 、y ＝（14x ）2=116x 2，y 是x 的函数，故A 选项错误； B 、每一个学生对应一个身高，y 是x 的函数，故B 选项错误； C 、y ＝π（12x ）2=14πx 2，y 是x 的函数，故C 选项错误；D 、y ＝±√x ，每一个x 的值对应两个y 值，y 不是x 的函数，故D 选项正确． 故选：D ．【变式2-2】（2022•长安区期末）老师让同学们举一个y 是x 的函数的例子，同学们分别用表格、图象、函数表达式列举了如下4个x 、y 之间的关系：（其中k ，b 为常量）①气温x 1 2 0 1 日期y1234②③ y ＝kx +b④ y ＝|x |其中y 一定是x 的函数的是 ④ ．（填写所有正确的序号） 【分析】根据函数的定义判断即可．【解答】解：一般的，在一个变化过程中，有两个变量x 、y ，对于x 的每一个值，y 都有唯一的值和它对应，x 是自变量，y 是x 的函数， ①②③不符合定义，④符合定义， 故答案为④．【变式2-3】（2022春•汉阴县期末）变量x ，y 有如下关系：①x +y ＝10，②|y |＝x ，③y ＝|x ﹣3|，④y 2＝8x ．其中y 是x 的函数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】根据函数的定义可知，满足对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应的关系，据此即可确定函数的个数．【解答】解：y 是x 函数的是：①x +y ＝10；③y ＝|x ﹣3|； ②当x ＝1时，在|y |＝x 中，y ＝±1，则y 不是x 的函数；④当x＝1时，在y2＝8x中，y＝±√8，则y不是x的函数；故选：B．【知识点3 函数的图象】把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图像，用图像表示的函数关系，更为直观和形象．【题型3 用描点法画函数的图像】【例3】（2022春•镇平县月考）某班数学兴趣小组对函数y=1x−1+x+12的图象与性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）函数y=1x−1+x+12的自变量x的取值范围是x≠1；（2）下表是y与x的几组对应值．x…﹣3﹣2﹣1012y…−54−56−12−12−54x322345…y1345252m134…则表格中的m＝176；（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表格中各组对应值为坐标的点，请根据描出的点，画出该函数的图象，试写出该函数的一条性质．【分析】（1）分式中分母不为零，计算即可．（2）将x＝4代入函数解析式即可得出m的值．（3）将所描出的点用平滑的曲线连接得出图像，再观察图像写出函数的一条性质．【解答】（1）∵x﹣1≠0，可得x≠1，故答案为：x≠1；（2）将x＝4代入1x−1+x+12得，m=13+52=176；故答案为：176．（3）画出该函数图象如图所示：通过观察图象可得：函数图象关于点（1，1）中心对称（答案不唯一）．【变式3-1】（2022春•广饶县期末）某造纸厂每小时造纸1.5吨，2小时、3小时……各造纸多少吨？（1）把下表填写完整，在①②③处填写相应数值．造纸时间/时1234……造纸吨数/吨 1.5①3② 4.5③6……（2）根据表中的数据，在图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点，再把它们连起来．（3）根据图象判断，5小时造纸多少吨？【分析】（1）根据每小时造纸1.5吨解答即可；（2）根据（1）的数据解答即可；（3）根据图象解答即可．【解答】解：（1）造纸时间为2小时，则造纸吨数为1.5×2＝3（吨）；造纸时间为3小时，则造纸吨数为1.5×3＝4.5（吨）；造纸时间为4小时，则造纸吨数为1.5×4＝6（吨）；故答案为：3；4.5；6；（2）如图所示：（3）由图象可知，5小时造纸为7.5吨．【变式3-2】（2022春•梁平区期末）小奥根据学习函数的经验，对函数y=x2+2x的图象进行了探究．下面是小奥的探究过程，请补充完整：（1）函数y=x2+2x的自变量x的取值范围是x≠0；（2）下表是y与x的几组对应值，则m的值为﹣4，n的值为136；x…﹣5m﹣3﹣2﹣1−121212345…y…−2910−52−136﹣2−52−174174522n522910…（3）描点、连线在下面的格点图中，建立适当的平面直角坐标系xOy，描出上表中各对对应值为坐标的点（其中x为横坐标，y为纵坐标），并根据描出的点画出该函数的图象．【分析】（1 ）根据图象，可以写出x的取值范围；（2）将y=−52代入函数解析式中，求出x的值，再根据表格即可得到m的值，将x＝3代入函数解析式，求出y的值，即可得到n的值，本题得以解决；（3 ）建立平面直角坐标系，并在坐标系中描点，用平滑的曲线连接起来，即可解答本题．【解答】解：（1）由题意可得，函数y=x2+2x的自变量x的取值范围是x≠0．故答案为：x≠0；（2）当y=−52时，代入函数解析式中，可得−52=x2+2x，解得x＝﹣4或x＝﹣1，由表格可得m＝﹣4；当x＝3时，y=32+23=136．故答案为：﹣4，136；（3）函数图象如下：【变式3-3】（2022•襄州区模拟）数学活动：问题情境：有这样一个问题：探究函数y=1x +1的图象与性质．小明根据学习函数的经验，对函数y=1x+1的图象与性质进行了探究．问题解决：下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）函数y=1x+1的自变量x的取值范围是x≠0；（2）表是y与x的几组对应值．x…﹣4﹣3﹣2﹣1﹣m m1234…y (3)423120﹣132324354…求m的值；（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象．（4）结合函数的图象，写出该函数的性质（两条即可）．【分析】（1）根据分式中分母不能为0求出自变量x的取值范围即可，（2）根据图表可知当y＝3时x＝m，把y＝3代入解析式即可求得，（3）用平滑的曲线依次连接图中所描的点即可，（4）答案不唯一，可参考以下的角度：①该函数没有最大值或该函数没有最小值；②该函数在值不等于1；③增减性．【解答】解：（1）根据题意得：x≠0，即函数y=1x+1的自变量x的取值范围x≠0，故答案为：x≠0；（2）令1m +1=3，解得m=12，∴m=12．（3）用平滑的曲线依次连接图中所描的点，如下图所示：（4）观察函数图象，发现该函数没有最大值，也没有最小值，图象不经过原点，即该函数的两条性质：没有最大值，也没有最小值；图象不经过原点．【题型4 自变量取值范围的确定】中自变量x的取值范围是（）【例4】（2022春•扶沟县期末）函数y=√1x+3A．x＞﹣3B．x≥﹣3C．x＜﹣3D．x≠﹣3【分析】根据算术平方根定义得出被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：x+3＞0，解得：x＞﹣3，故选：A．中，自变量x的取值范围是（）【变式4-1】（2022春•昌平区期末）函数y=2xx−1A．x＜1B．x＞1C．x≠1D．x≠0【分析】根据分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：x﹣1≠0，解得：x≠1，故选：C．自变量的取值范围是x＞0．【变式4-2】（2022•渠县一模）函数y=√xx【分析】根据分式有意义的条件和算术平方根定义列出不等式组，求解即可．【解答】解：∵x≥0且x≠0，∴x＞0，故答案为x＞0．−√−x的图象上，那么点P应在平面直角坐【变式4-3】（2022•杭州模拟）已知p（x，y）在函数y=−1x2标系中的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】由函数的解析式可得x≠0且﹣x≥0，从而得出x的取值范围，再求得点P横、纵坐标的符号即可判断．−√−x的图象上，【解答】解：∵p（x，y）在函数y=−1x2∴x≠0且﹣x≥0，解得x＜0，则y＜0，∴点P在第三象限，故选：C．【题型5 函数的解析式的确定】【例5】（2022•金牛区校级期中）一根长度为30cm的弹簧，一端固定．如果另一端挂上物体，在正常的弹性限度内，所挂物体质量每增加1kg时，弹簧长度增加2cm，完成下列问题：①当挂物体重3kg时，弹簧总长度为36cm；②在正常的弹性限度内，如果用x表示所挂物体质量（单位kg），那么弹簧的总长度是多少厘米？③在正常的弹性限度内，若弹簧的总长度为40cm，那么它挂的物体质量是多少千克？【分析】（1）根据弹簧的长度加弹簧挂重物伸长的长度，可得答案；（2）根据弹簧的总长度等于弹簧挂重物伸长的长度加弹簧的长度，可得函数解析式；（3）根据函数值，可得相应自变量的值．【解答】解：①30+2×3＝36；故答案为：36；②弹簧的总长度等于弹簧挂重物伸长的长度加弹簧的长度，设弹簧的总长度为y，则y＝2x+30，③当y＝40时，2x+30＝40，解得x＝5，答：所挂重物的质量是5千克．【变式5-1】（2022春•文山州期末）某种洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的关系如折线图所示．根据图象解答下列问题：（1）在这个变化过程中，自变量和因变量分别是什么？（2）洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中水量为多少升？（3）已知洗衣机的排水速度为每分钟18升，求排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的关系式．【分析】（1）根据函数自变量与因变量的定义解决此题．（2）根据题意解决此题．（3）根据题意，列出函数关系式．【解答】解：（1）自变量是时间x，因变量是洗衣机中的水量y．（2）由图可知，洗衣机进水时间是4分钟，清洗时洗衣机中的水量为40升．（3）由题意得，y＝40﹣18x（0≤x＜15）．【变式5-2】（2022•莘县校级月考）为了加强公民节水意识，合理利用水资源，某市自来水公司对每户用水量进行了分段计费，每户每月用水量在规定立方米及以下的部分和超出部分标准不同．下表反映的是小亮家1﹣4月份用水量与应交水费情况：月份1234用水量（m3）681012费用（元）9121824小亮家12月份用水xm3（12月份用水量超过规定用水量），应交水费y元，则y关于x的函数关系式是y＝3x﹣12（x＞8）．【分析】根据表格判断出1，2月份未超过用水量，3，4月份超过用水量，可求关系式．【解答】解：由题得1﹣2月用水量增加2m3，水费增加3元，2﹣3月，3﹣4月水量增加2m3，水费增加6元，元，用水量∴1﹣2月用水量没有没有超过规定用水量8m3，用水量没超过规定用水量时，每立方米水费32超过规定用水量时，用水量每超过1m3，水费增加3元，×8+3（x﹣8）＝3x﹣12（x＞8），用水量超过规定用水量时，y与x的关系为y=32故答案为：y＝3x﹣12（x＞8）．【变式5-3】（2022•郫都区模拟）如图，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长和宽分别为y 和x ，则因变量y 与自变量x 的函数关系式为y ＝ y =1+π2x ．【分析】利用图示数据列出等式即可得出结论． 【解答】解：由题意得： 圆柱的上下底面圆的半径为14x ，圆柱的侧面展开图的长为：y −12x ， ∵圆柱的侧面展开图的长＝底面圆的周长， ∴y −12x ＝2π×14x ， ∴y =1+π2x ，故答案为：y =1+π2x ．【题型6 求自变量的值或函数值】【例6】（2022春•南岸区期末）地表以下岩层的温度y （℃）随着所处深度x （km ）的变化而变化，在某个地点y 与x 之间的关系可以近似地用关系式y ＝35x +20来表示，也可用表格表示，其中表格的部分数据如下表所示，则其中的m ，n 分别是（ ）x /℃ 1 2 4 m 9 10 y /km 55n160230335370A ．m ＝7，n ＝70B ．m ＝6，n ＝70C ．m ＝7，n ＝90D ．m ＝6，n ＝90【分析】根据函数关系式代入计算即可． 【解答】解：把x ＝2，y ＝n 代入y ＝35x +20得， n ＝35×2+20＝90，把x ＝m ，y ＝230代入y ＝35x +20得， 35m +20＝230， 解得m ＝6，故选：D ．【变式6-1】（2022春•双阳区月考）已知函数y =2x−1x+2中，当x ＝a 时的函数值为1，试求a 的值为 3 ．【分析】根据函数值与自变量的关系是一一对应的，代入函数值，可得自变量的值． 【解答】解：因为函数y =2x−1x+2中，当x ＝a 时的函数值为1，可得：2a−1a+2=1， 解得：a ＝3， 故答案为：3．【变式6-2】（2022春•微山县期末）已知函数y ={2x +1(x ≥0)4x(x ＜0)，当x ＝﹣2时，函数值y 为 ﹣8 ．【分析】先判断出x ＝﹣2时，所符合的关系式，然后将x ＝﹣2代入对应的函数关系式即可． 【解答】解：∵x ＝﹣2＜0， ∴y ＝4x ＝﹣2×4＝﹣8． 故答案为：﹣8．【变式6-3】（2022•江汉区校级月考）设f （x ）表示关于x 的函数，若f （m +n ）＝f （m ）+f （n ）+mn 9，且f （6）＝3，那么f （5）＝209．【分析】有已知求出f （2）和f （3）的值，把f （5）化为f （2+3）代入即可． 【解答】解：∵若f （m +n ）＝f （m ）+f （n ）+mn 9，f （6）＝3，∴f （6）＝f （2+4）＝f （2）+f （2+2）+89 ＝f （2）+f （2）+f （2）+49+89=3， ∴f （2）=59，f （6）＝f （3+3）＝2f （3）+99=3，∴f （3）＝1，∴f （5）＝f （2+3）＝f （2）+f （3）+2×39=59+1+69 =209，故答案为20．9【知识点3 函数的图象】把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图像，用图像表示的函数关系，更为直观和形象．【题型7 函数图像的识别】【例7】（2022春•芝罘区期末）如图，将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看作一个容器．然后对准玻璃杯口匀速注水，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部，则下面可以近似地刻画出容器最高水位h与注水时间t之间的变化情况的是（）A．B．C．D．【分析】根据用一注水管向小玻璃杯内注水，即可分段求出小水杯内水面的高度h（cm）与注水时间t （min）的函数图象．【解答】解：一注水管向小玻璃杯内注水，水面在逐渐升高，当小杯中水满时，开始向鱼缸内流，这时水位高度不变，当鱼缸水面高度与小杯一样后，再继续注水，水面高度在升高，升高的比开始慢．故选：D．【变式7-1】（2022•雅安）一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段后开始匀速行驶．过了一段时间，汽车到达下一个车站．乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶．下面的哪一幅图可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况（）A．B．C．D．【分析】横轴表示时间，纵轴表示速度，根据加速、匀速、减速，加速、匀速的变化情况，进行选择．【解答】解：公共汽车经历加速、匀速、减速到站，加速、匀速的过程，故选：B．【变式7-2】（2022•广陵区一模）如图，物理课上，老师将挂在弹簧测力计下端的铁块完全浸没在水中，然后缓慢匀速向上提起（不考虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的高度x（单位：cm）之间的函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，利用分类讨论的数学思想可以解答本题．【解答】解：由题意可知，铁块露出水面以前，F拉+F浮＝G，浮力不变，故此过程中弹簧的度数不变，当铁块慢慢露出水面开始，浮力减小，则拉力增加，当铁块完全露出水面后，拉力等于重力，故选：D．【变式7-3】（2022春•章丘区期末）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、G分别是边CD和BC 的中点，点F为正方形中心，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（）A．B．C．D．【分析】分析动点P在每段路径上的运动的过程中的面积增大、减小或不变的趋势即可．【解答】解：由点P的运动可知，当点P在GF、ED边上时△ABP的面积不变，则对应图象为平行于t 轴的线段，则B、C错误；点P在AD、EF、GB上运动时，△ABP的面积分别处于增、减变化过程，故D排除．故选：A．【题型8 从函数的图像获取信息】【例8】（2022春•呼和浩特期末）已知张强家、体育场、文具店在同一直线上．如图的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中x表示时间，y表示张强离家的距离．则下列说法正确的是（）A．张强从家到体育场的速度是503km/ℎB．体育场离文具店4千米C．张强在文具店逗留了15分D．张强从文具店回家的平均速度是370千米/分【分析】利用图象信息解决问题即可．【解答】解：观察图象可知：A．张强从家到体育场的速度是2.50.25=10千米/时，故A不符合题意；B．体育场离文具店2.5﹣1.5＝1千米，故B不符合题意；C．张强在文具店逗留了65﹣45＝20分钟，故C不符合题意；D．张强从文具店回家的平均速度=1.535=370千米/分，故D符合题意；故选：D．【变式8-1】（2022•开州区模拟）如图是自动测温仪记录的图象，它反映了某市的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化．下列从图象中得到的信息错误的是（）A．4点时气温达最低B．14点到24点之间气温持续下降C．0点到14点之间气温持续上升D．14点时气温达最高是8℃【分析】应用函数图象中的信息进行判定即可得出答案．【解答】解：A．由图象可得，4点时气温达最低为﹣3℃，所以A选项从图象中得到的信息正确，故A 选项不符合题意；B．由图象可得，14点到24点气温持续下降，所以B选项从图象中得到的信息正确，故B选项不符合题意；C．由图象可得，0点到4点气温持续下降，4点到14点气温持续上升，0点到14点气温先下降再上升，所以C选项从图象中得到的信息不正确，故C选项符合题意；D．由图象可知，14点时气温最高是8℃，所以D选项从图象中得到的信息正确，故D选项不符合题意．故选：C．【变式8-2】（2022•石家庄二模）如图（1）是两圆柱形联通容器（联通外体积忽略不计）．向甲容器匀速注水，甲容器的水面高度h（cm）随时间t（分）之间的函数关系如图（2）所示，根据提供的图象信息，若甲的底面半径为1cm，则乙容器底面半径为（）A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm【分析】由注满相同高度的水乙容器所需的时间为甲容器的4倍，结合甲容器的底面半径即可求出乙容器的底面半径，此题得解．【解答】解：观察函数图象可知：乙容器底面积为甲容器底面积的4倍，∴乙容器底面半径为2cm．故选：D．【变式8-3】（2022•綦江区期末）小强和爷爷去爬山，爷爷先出发一段时间后小强再出发，途中小强追上了爷爷并最终先爬到山顶，两人所爬的高度h（米）与小强出发后的时间t（分钟）的函数关系如图所示，下列结论正确的是（）A．爷爷比小强先出发20分钟B．小强爬山的速度是爷爷的2倍C．l1表示的是爷爷爬山的情况，l2表示的是小强爬山的情况D．山的高度是480米【分析】根据函数图象中的数据，可以得山的高度是720米；l1表示的是小强爬山的情况，l2表示的是爷爷爬山的情况；根据题意和函数图象中的数据，可以求出小强爬山的速度为12米/分，爷爷爬山的速度为6米/分；根据爷爷爬山的速度，结合图象可知爷爷比小强先出发：240÷6＝40（分钟）．【解答】解：由题意得：山的高度是720米，故选项D不合题意；l1表示的是小强爬山的情况，l2表示的是爷爷爬山的情况，故选项C不合题意；小强爬山的速度为：720÷60＝12（米/分），爷爷爬山的速度为：（720﹣240）÷80＝6（米/分），所以小强爬山的速度是爷爷的2倍，故选项B符合题意；爷比小强先出发：240÷6＝40（分钟），故选项A不合题意．故选：B．【题型9 动点问题的函数图象】【例9】（2022春•洪江市期末）如图1，矩形ABCD中，动点E从点C出发，速度为2cm/s，沿C→D→A →B方向运动至点B处停止．设点E运动的时间为xs，△BCE的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则四边形ABCD的面积为（）A．48cm2B．24cm2C．21cm2D．12cm2【分析】通过图2知，CD段，对应的函数是一次函数，此时CD＝6，而在DA段，△BCE的面积不变，故DA＝8，即可求解．【解答】解：由图象知，CD＝2×3＝6，DA＝2×（7﹣3）＝8，∴四边形ABCD的面积＝6×8＝48．故选：A．【变式9-1】（2022•武威模拟）如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，图中阴影部分△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形PQMN的面积为（）A．16B．20C．36D．45【分析】根据图2可得：当x＝4时，点R与点P重合，PN＝4，当x＝9时，点R与点Q重合，PQ＝5，进而可求得矩形PQMN的面积．【解答】解：由图2可知：当x＝4时，点R与点P重合，PN＝4，当x＝9时，点R与点Q重合，PQ＝5，所以矩形PQMN的面积为4×5＝20．故选：B．【变式9-2】（2022春•海淀区校级期中）已知点P为某个封闭图形边界上一定点，动点M从点P出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点M的运动时间为x，线段PM的长度为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（）A．B．C．D．【分析】先观察图象得到y与x的函数图象分四个部分，则可对有3边的封闭图形进行淘汰，利用圆的定义，P点在圆上运动时，y随x的变化先增大后减小，则可对A进行判断，从而得到正确选项．【解答】解：y与x的函数图象分四个部分，而D选项中的封闭图形有3条线段，其图象要分三个部分，所以D选项不正确；A选项中的封闭图形为圆，y随x的变化先增大后减小，所以A选项不正确；B，C选项为四边形，M点在四边上运动对应四段图象，且存在三个时间段，PM的长度相等，故C选项不正确．故选：B．【变式9-3】（2022•大同模拟）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点A出发，沿A﹣B﹣C﹣D方向运动至点D处停止．设点P运动的路程为x，△APD的面积为S，如果S关于x的函数图象如图2所示，则当x＝7时，点P应运动到（）A．点C处B．点D处C．点A处D．点B处【分析】根据点P的移动规律，点P的运动路程为0﹣4，4﹣7，9﹣11，所在线段为AB，BC，CD，那么当x＝7时，点P应运动到高不变的结束，即点C处．【解答】解：当P在BA上运动时，△DAP的面积不断增大；当P在CB运动时，DA一定，高为BA不变，此时面积不变；当P在CD上运动时，面积不断减小．∴当x＝7时，点R应运动到高不变的结束，即点C处．故选：A．。
高中数学最全必修一函数性质详解与知识点总结与题型详解
(经典)高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解分—、函数的概念与表示1、映射：(1)对映射定义的理解。
(2)判断一个对应是映射的方法。
一对多不是映射，多对一是映射集合A, B是平面直角坐标系上的两个点集，给定从A~B的映射f:(x,y)^(x^/.xy),求象(5, 2)的原象13•已知集合A到集合B= {0, 1, 2, 3}的映射f:x-x ijjUM合A中的元素最多有几个？写出元素最多时的集合A.2、函数。
构成函数概念的三要素①定义域②对应法则③值域两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同1、下列各对函数中，相同的是二、函数的解析式与定义域函数解析式的七种求法待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
= 2(X) lg X , g(x) 2lg xC、B、f (X) lg+u) - - ,g(v)=1 u”D、f (x) =x,1 vX +1--- ,()决1)+ Ig( - 2、一fX~ Xx 1 =厂 f (X) X2、M {x|0 x 2}, N {y |0 寻给出下列四个图形, 其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有y配凑法：已知复合函数f[g(x)]的表达式，求f(x)的解析式，f[g(x)]的表达式容易配成g(x)的运算形式时，常用配凑法。
但要注意所求函数f(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域。
例2已知f(x + 丁亍+ —(X 0尸，求f(x)的解析式2X X三、换元法：已知复合函数f[g(x)]的表达式时，还可以用换元法求心)的解析式。
与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
广+ = +广+例 3 已知f( x 1) x 2 x ,求 f (x 1)四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
+2 x y g x例4已知：函数y x 与 ()的图象关于点(2,3)对称，求g(x)的解析式五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过—— =1解方程组求得函数解析式。
高一数学必修1函数的概念考试题及答案解析
高一数学必修1函数的概念考试题及答案解析函数的概念是函数整章的核心概念,学会用函数的观点和方法解决数学问题,是高中数学主要的学习任务之一。
下面小编给大家带来的高一数学必修1函数的概念考试题及答案解析，希望对你有帮助。
高一数学函数的概念考试题及答案解析1.下列说法中正确的为()A.y=f(x)与y=f(t)表示同一个函数B.y=f(x)与y=f(x+1)不可能是同一函数C.f(x)=1与f(x)=x0表示同一函数D.定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数解析：选A.两个函数是否是同一个函数与所取的字母无关，判断两个函数是否相同，主要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同.2.下列函数完全相同的是()A.f(x)=|x|，g(x)=(x)2B.f(x)=|x|，g(x)=x2C.f(x)=|x|，g(x)=x2xD.f(x)=x2-9x-3，g(x)=x+3解析：选B.A、C、D的定义域均不同.3.函数y=1-x+x的定义域是()A.{x|x≤1}B.{x|x≥0}C.{x|x≥1或x≤0}D.{x|0≤x≤1}解析：选D.由1-x≥0x≥0，得0≤x≤1.4.图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x，y的对应关系，其中表示y是x的函数关系的有________.解析：由函数定义可知，任意作一条直线x=a，则与函数的图象至多有一个交点，对于本题而言，当-1≤a≤1时，直线x=a与函数的图象仅有一个交点，当a1或a-1时，直线x=a与函数的图象没有交点.从而表示y是x的函数关系的有(2)(3).答案：(2)(3)1.函数y=1x的定义域是()A.RB.{0}C.{x|x∈R，且x≠0}D.{x|x≠1}解析：选C.要使1x有意义，必有x≠0，即y=1x的定义域为{x|x∈R，且x≠0}.2.下列式子中不能表示函数y=f(x)的是()A.x=y2+1B.y=2x2+1C.x-2y=6D.x=y解析：选A.一个x对应的y值不唯一.3.下列说法正确的是()A.函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应B.函数的定义域和值域可以是空集C.函数的定义域和值域一定是数集D.函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了解析：选C.根据从集合A到集合B函数的定义可知，强调A中元素的任意性和B中对应元素的唯一性，所以A中的多个元素可以对应B中的同一个元素，从而选项A错误;同样由函数定义可知，A、B集合都是非空数集，故选项B错误;选项C正确;对于选项D，可以举例说明，如定义域、值域均为A={0,1}的函数，对应关系可以是x→x，x∈A，可以是x→x，x∈A，还可以是x→x2，x∈A.4.下列集合A到集合B的对应f是函数的是()A.A={-1,0,1}，B={0,1}，f：A中的数平方B.A={0,1}，B={-1,0,1}，f：A中的数开方C.A=Z，B=Q，f：A中的数取倒数D.A=R，B={正实数}，f：A中的数取绝对值解析：选A.按照函数定义，选项B中集合A中的元素1对应集合B 中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件;选项C中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应唯一函数值的要求;选项D中，集合A中的元素0在集合B 中没有元素与其对应，也不符合函数定义，只有选项A符合函数定义.5.下列各组函数表示相等函数的是()A.y=x2-3x-3与y=x+3(x≠3)B.y=x2-1与y=x-1C.y=x0(x≠0)与y=1(x≠0)D.y=2x+1，x∈Z与y=2x-1，x∈Z解析：选C.A、B与D对应法则都不同.6.设f：x→x2是集合A到集合B的函数，如果B={1,2}，则A∩B一定是()A.∅B.∅或{1}C.{1}D.∅或{2}解析：选B.由f：x→x2是集合A到集合B的函数，如果B={1,2}，则A={-1,1，-2，2}或A={-1,1，-2}或A={-1,1，2}或A={-1，2，-2}或A={1，-2，2}或A={-1，-2}或A={-1，2}或A={1，2}或A={1，-2}.所以A∩B=∅或{1}.7.若[a,3a-1]为一确定区间，则a的取值范围是________.解析：由题意3a-1a，则a12.答案：(12，+∞)8.函数y=x+103-2x的定义域是________.解析：要使函数有意义，需满足x+1≠03-2x0，即x32且x≠-1.答案：(-∞，-1)∪(-1，32)9.函数y=x2-2的定义域是{-1,0,1,2}，则其值域是________.解析：当x取-1,0,1,2时，y=-1，-2，-1,2，故函数值域为{-1，-2,2}.答案：{-1，-2,2}10.求下列函数的定义域：(1)y=-x2x2-3x-2;(2)y=34x+83x-2.解：(1)要使y=-x2x2-3x-2有意义，则必须-x≥0，2x2-3x-2≠0，解得x≤0且x≠-12，故所求函数的定义域为{x|x≤0，且x≠-12}.(2)要使y=34x+83x-2有意义，则必须3x-20，即x23，故所求函数的定义域为{x|x23}.11.已知f(x)=11+x(x∈R且x≠-1)，g(x)=x2+2(x∈R).(1)求f(2)，g(2)的值;(2)求f(g(2))的值.解：(1)∵f(x)=11+x，∴f(2)=11+2=13，又∵g(x)=x2+2，∴g(2)=22+2=6.(2)由(1)知g(2)=6，∴f(g(2))=f(6)=11+6=17.12.已知函数y=ax+1(a0且a为常数)在区间(-∞，1]上有意义，求实数a的取值范围.解：函数y=ax+1(a0且a为常数).∵ax+1≥0，a0，∴x≤-1a，即函数的定义域为(-∞，-1a].∵函数在区间(-∞，1]上有意义，∴(-∞，1]⊆(-∞，-1a]，∴-1a≥1，而a0，∴-1≤a0.即a的取值范围是[-1,0).。
高一数学对数函数-重难点题型精讲(举一反三)(解析版)
专题4.7 对数函数-重难点题型精讲1．对数函数的定义(1)对数函数的定义：一般地，函数y=(a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+ ).(2)判断一个函数是对数函数的依据：①形如y=；②底数a满足a>0，且a≠1；③真数是x；④定义域为(0,+).例如:y=是对数函数，而y=(x+1)，y.2．对数函数的图象与性质对数函数y=(a>0,且a≠1,x>0)的图象和性质如下表所示：3．底数a对对数函数图象的影响(1)底数a 与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”. 当a >1时，对数函数的图象“上升”; 当0<a <1时,对数函数的图象“下降”. (2)函数y =与 (a >0,且a ≠1)的图象关于x 轴对称.(3)底数的大小决定了图象相对位置的高低：无论是a >1还是0<a <1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大.①上下比较：在直线x =1的右侧,a >1时,a 越大,图象越靠近x 轴;0<a <1时,a 越小,图象越靠近x 轴; ②左右比较：比较图象与直线y =1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大.4．反函数比较幂值大小的方法：【题型1 对数（型）函数的定义域与值域】 【方法点拨】根据对数函数的定义，结合具体条件，进行求解即可.【例1】（2022·广东·高一阶段练习）函数y ＝√lgx ＋lg(5－3x )的定义域是（ ） A ．[0,53)B ．[1,53)C ．[0,53]D ．[1,53]【解题思路】根据对数函数、根式的性质列不等式求函数定义域. 【解答过程】由题设，{x >0lgx ≥05−3x >0，可得1≤x <53.所以函数定义域为[1,53).故选：B.【变式1-1】（2022·浙江·高二学业考试）函数f(x)=log2(x2−2x)的定义域为（）A．(−∞,0)B．(2,+∞)C．(0,2)D．(−∞,0)∪(2,+∞)【解题思路】根据对数的真数大于零，得到一元二次不等式，即可求解.【解答过程】解：由题可知x2−2x>0，即x(x−2)>0，解得x<0或x>2.故函数f(x)=log2(x2−2x)的定义域为(−∞,0)∪(2,+∞).故选：D.【变式1-2】（2022·山西运城·高二期末）已知函数f(x)=lg(x2+1),x∈[−1,3]，则f(x)的值域为（）A．[0,+∞)B．[0,1)C．[lg2,1]D．[0,1]【解题思路】首先求出x2+1的范围，然后可得答案.【解答过程】因为x∈[−1,3]，所以x2+1∈[1,10]，所以f(x)=lg(x2+1)∈[0,1]，故选：D.【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）函数y=ln(x−2)+1的值域为（）A．R B．(1,+∞)C．[1,+∞)D．(2,+∞)【解题思路】由y=lnx的值域为R可得y=ln(x−2)+1的值域为R.【解答过程】由对数函数y=lnx的值域为R，向右平移2个单位得函数y1=ln(x−2)的值域为R，则y=ln(x−2)+1的值域为R，故选：A.【题型2 对数式的大小比较】【方法点拨】比较对数值的大小，主要依据对数函数的单调性，同底时可直接利用相应的对数函数比较大小；不同底时，可借助中间量进行比较.【例2】（2022·黑龙江·高三开学考试）已知a=log32，b=log52，c=3a−1，则a，b，c的大小关系为（）A．a<b<c B．b<a<c C．c<a<b D．c<b<a【解题思路】根据对数恒等式，运算法则以及对数函数的单调性即可判断．【解答过程】因为c=3a-1=13×3log32=23，b=log52<log5√5=12，a=log32>log3√3=12，而23<32⇒2<323，a=log32<log3323=23，所以b<a<c．故选：B．【变式2-1】（2022·陕西·高三阶段练习（文））已知a=40.1，b=log32，c=log0.32，则（）A．a>c>b B．a>b>c C．b>a>c D．c>a>b【解题思路】根据指数函数、对数函数的单调性分别求出a，b，c的取值范围，即可求解.【解答过程】因为a=40.1>40=1，0=log31<b=log32<log33=1，c=log0.32<log0.31=0，所以a>b>c.故选：B.【变式2-2】（2022·河南·高三阶段练习（理））若a=0.50.3，b=log0.53，c=log0.30.2，则（）A．a>b>c B．a>c>bC．b>a>c D．c>a>b【解题思路】根据指数函数、对数函数的性质判断即可.【解答过程】因为0<a=0.50.3<0.50=1，b=log0.53<0，c=log0.30.2>log0.30.3=1，所以b<a<c.故选：D.【变式2-3】（2022·贵州·高三阶段练习（理））设a=log53，b=log0.30.2，c=0.543，则a，b，c的大小关系为（）A．a<c<b B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<b【解题思路】根据指对数的性质判断大小关系即可.=2−1>c=0.543=2−43，【解答过程】由b=log0.30.2>1>a=log53>log5√5=12所以c<a<b.故选：D.【题型3 解对数不等式】【方法点拨】对数不等式的三种考查类型：(1)形如m>n的不等式，借助y=x的单调性求解.(2)形如m>b的不等式，应将b化成以a为底数的对数式的形式(b=)，再借助y=x的单调性求解.(3)形如>(f(x),g(x)>0且不等于1,a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解.【例3】（2022·全国·高一课时练习）已知函数f(x)=log4(x−2)−log4(a−x)，f（3）=0，则不等式f(2x−5)≤0的解集为（）A．(72,4]B．（3，4）C．（2，5）D．(92,4]【解题思路】根据f（3）=0，可得方程f(3)=log4(3−2)−log4(a−3)=0，进而解得a=4，再列出不等式f(2x−5)≤0，可得log4(2x−7)−log4(9−2x)≤0，根据对数函数的单调性和定义域可得：{2x−7>09−2x>02x−7≤9−2x，可得答案.【解答过程】由题意得，f(3)=log4(3−2)−log4(a−3)=0，解得a=4，所以f(x)=log4(x−2)−log4(4−x)，所以f(2x−5)=log4(2x−7)−log4(9−2x).因为f(2x−5)≤0，所以log4(2x−7)−log4(9−2x)≤0，即log4(2x−7)≤log4(9−2x)，从而{2x−7>09−2x>02x−7≤9−2x，解得72<x≤4.故不等式f(2x−5)≤0的解集为(72,4].故选：A.【变式3-1】（2022·云南楚雄·高二期末）已知函数f(x)的图象与g(x)=log14x的图象关于x轴对称，则不等式f(3x)<f(2x+1)的解集为（）A．(0,+∞)B．(0,1)C．(0,12)D．(−∞,1)【解题思路】由f(x)与g(x)关于x轴对称得到f(x)的解析式，又由f(x)的单调性得到不等式，从而解出范围.【解答过程】已知函数f (x )的图象与g (x )=log 14x 的图象关于x 轴对称，所以f (x )=−g (x )=−log 14x =log 4x ，又 f (x )=log 4x 是(0,+∞)上的增函数， 所以0<3x <2x +1，解得0<x <1. 故选：B.【变式3-2】（2022·四川自贡·高一期末）已知f (x )是定义在R 上的奇函数，在区间[0,+∞)上为增函数，则不等式f (log 12x)>0的解集为（ ）A ．(−∞,1)B ．(1,+∞)C ．(0,1)D ．(0,+∞)【解题思路】由奇函数知f(0)=0，再结合单调性及f (log 12x)>0得log 12x >0，解不等式即可.【解答过程】由题意知：f(0)=0，又f (x )在区间[0,+∞)上为增函数，当x >0时，f(x)>f(0)=0， 当x <0时，f(x)<0，由f (log 12x)>0可得log 12x >0，解得0<x <1.故选：C.【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）定义在R 上的奇函数f(x)在(−∞,0]上单调递增，且f(−2)=−2，则不等式f(lgx)−f (lg 1x )>4的解集为（ ）A ．(0,1100) B ．(1100,+∞) C ．(0,100) D ．(100,+∞)【解题思路】利用函数为奇函数，将不等式转化为f(lgx)>f (2)，再利用函数的单调性求解. 【解答过程】因为函数f(x)为奇函数，所以f(−x)=−f (x )，又f(−2)=−2，f(2)=2，所以不等式f(lgx)−f (lg 1x )>4，可化为2f(lgx)>4=2f (2)， 即f(lgx)>f (2)，又因为f(x)在(−∞,0]上单调递增， 所以f(x)在R 上单调递增， 所以lgx >2， 解得x >100. 故选：D.【题型4 对数函数的图象及应用】【方法点拨】①对数函数图象的识别：对于所给函数解析式，研究函数的单调性、特殊值等，利用排除法，得出正确的函数图象.②对数函数图象的应用：对于与对数函数、对数型函数有关的函数的作图问题，一般宜用变换作图法作图，这样有利于从整体上把握函数的性质，从而利用对数函数的图象来比较大小、解不等式、求最值等.【例4】（2022·广东·高三阶段练习）函数y=|lg(x+1)|的图像是（）A．B．C．D．【解题思路】由函数y=lgx的图象与x轴的交点是(1,0)结合函数的平移变换得函数y=|lg(x+1)|的图象与x 轴的公共点是(0,0)，即可求解.【解答过程】由于函数y=lg(x+1)的图象可由函数y=lgx的图象左移一个单位而得到，函数y=lgx的图象与x轴的交点是(1,0)，故函数y=lg(x+1)的图象与x轴的交点是(0,0)，即函数y=|lg(x+1)|的图象与x轴的公共点是(0,0)，显然四个选项只有A选项满足.故选：A.【变式4-1】（2022·浙江·高一期中）函数y=lg|x+1|的图像的大致形状是（）A．B．C．D．【解题思路】求解函数的零点，根据排除法判断即可【解答过程】求lg|x+1|=0可得x+1=1或x+1=−1，解得x=0或x=−2，排除BCD；故选：A.【变式4-2】（2022·全国·高一课时练习）如图所示的曲线是对数函数y=log a x，y=log b x，y=log c x，y= log d x的图象，则a，b，c，d，1的大小关系为（）A．b>a>1>c>d B．a>b>1>c>d C．b>a>1>d>c D．a>b>1>d>c【解题思路】根据对数函数的图象性质即可求解.【解答过程】由图可知a>1，b>1，0<c<1，0<d<1．过点(0，1)作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左到右依次为c，d，a，b，显然b>a>1>d>c．故选：C．【变式4-3】（2022·全国·高一课时练习）已知函数f(x)=log a(x−b)（a>0且a≠1，a，b为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（）A．a>0，b<−1B．a>0，−1<b<0C ．0<a <1，b <−1D ．0<a <1，−1<b <0【解题思路】根据函数图象及对数函数的性质可求解.【解答过程】因为函数f (x )=log a (x −b )为减函数，所以0<a <1 又因为函数图象与x 轴的交点在正半轴，所以x =1+b >0，即b >−1 又因为函数图象与y 轴有交点，所以b <0，所以−1<b <0， 故选：D.【题型5 对数型复合函数性质的应用】 【方法点拨】借助对数函数的图象和性质来研究对数型复合函数的性质，再结合具体问题，进行求解即可.【例5】（2022·陕西·高三阶段练习（文））已知函数f (x )=log a (x +2)+log a (1−x )（a >0，且a ≠1）. (1)当a =2时，求f (x )的单调性.(2)是否存在实数a ，使得f (x )在[−1,34]上取得最大值2?若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）先求出函数的定义域，再利用换元法求解函数的单调区间，（2）令t =−x 2−x +2，则由−1≤x ≤34，得t =−(x +12)2+94的值域为[1116,94]，然后分0<a <1，a >1求函数的最大值，使其等于2，列方程可求出a 的值. 【解答过程】（1）由题意可得{x +2>0,1−x >0, 解得−2<x <1，即f (x )的定义域为(−2,1).当a =2时，f (x )=log 2(x +2)+log 2(1−x )=log 2(−x 2−x +2). 令t =−x 2−x +2（x ∈(−2,1)），则y =log 2t ， 对称轴为x =−12，则函数t =−x 2−x +2在(−2,−12)上单调递增，在[−12,1)上单调递减，因为y =log 2t 在定义域内递增，所以f (x )在(−2,−12)上单调递增，[−12,1)上单调递减. （2）f (x )=log a (x +2)+log a (1−x )=log a (−x 2−x +2)， 令t =−x 2−x +2， 因为−1≤x ≤34，所以t =−(x +12)2+94的值域为[1116,94].当0<a <1时，f (x )在[−1,34]上的最大值是log a1116，则log a 1116=2，即a 2=1116，解得a =√114； 当a >1时，f (x )在[−1,34]上的最大值是log a 94， 则log a 94=2，即a 2=94，解得a =32. 综上，a 的值为√114或32. 【变式5-1】（2022·甘肃·高三阶段练习（文））已知函数f (x )=log 12(3−2x −x 2).(1)求该函数的定义域； (2)求该函数的单调区间及值域.【解题思路】（1）令3−2x −x 2>0，解不等式即可求得定义域；（2）根据复合函数单调性的判断方法可确定f (x )的单调区间；利用二次函数最值的求法可求得μ≤4，结合对数函数单调性可求得值域. 【解答过程】（1）由3−2x −x 2>0得：−3<x <1，∴f (x )的定义域为(−3,1). （2）令μ=−x 2−2x +3，∴μ在(−3,−1)上单调递增；在(−1,1)上单调递减； 又f (μ)=log 12μ在(0,+∞)上单调递减，∴f (x )的单调递增区间为(−1,1)；单调递减区间为(−3,−1)， ∵μ≤−(−1)2−2×(−1)+3=4，∴log 12μ≥log 124=−2，∴f (x )的值域为[−2,+∞).【变式5-2】（2022·海南·高一期末）已知函数f (x )=log 4(x +1)+log 4(3−x )． (1)求f (x )的单调区间及最大值．(2)设函数g (x )=log 4[(m +2)x +4]，若不等式f (x )≤g (x )在x ∈(0,3)上恒成立，求实数m 的取值范围． 【解题思路】（1）首先确定f (x )的定义域，将其整理为f (x )=log 4[−(x −1)2+4]，利用复合函数单调性的判断方法得到单调性，结合单调性可求得最值；（2）根据对数函数单调性可将恒成立不等式转化为x 2+mx +1≥0，采用分离变量法可得m ≥ℎ(x )=−(x +1x )，结合对勾函数单调性可求得ℎ(x )max ，由此可得结果.【解答过程】(1)由{x +1>03−x >0得：−1<x <3，∴f (x )的定义域为(−1,3)； f (x )=log 4(x +1)+log 4(3−x )=log 4(−x 2+2x +3)=log 4[−(x −1)2+4]，令t (x )=−(x −1)2+4，则t (x )在(−1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，又y =log 4t 在定义域内单调递增，由复合函数单调性可知：f (x )的单调递增区间为(−1,1)，单调递减区间为(1,3)；由单调性可知：f (x )max =f (1)=log 44=1.(2)∵f (x )≤g (x )在(0,3)上恒成立，∴log 4(−x 2+2x +3)≤log 4[(m +2)x +4]，即−x 2+2x +3≤(m +2)x +4，∴x 2+mx +1≥0在(0,3)上恒成立，∴m ≥−x −1x =−(x +1x )；令ℎ(x )=−(x +1x)，则ℎ(x )在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减， ∴ℎ(x )max =ℎ(1)=−2，∴m ≥−2，即实数m 的取值范围为[−2,+∞).【变式5-3】（2022·江苏·高三开学考试）已知函数f(x)=log 12(x 2−mx −m)． (1)若m =1，求函数f(x)的定义域．(2)若函数f(x)的值域为R ，求实数m 的取值范围．(3)若函数f(x)在区间(−∞，1−√3)上是增函数，求实数m 的取值范围．【解题思路】（1）由对数的性质有x 2−x −1>0求解集，即可得定义域.（2）由题设(0,+∞)是y =x 2−mx −m 值域的子集，根据二次函数的性质有Δ≥0即可求m 的范围.（3）首先根据二次函数、对数函数的性质判断复合函数的单调区间，再由已知区间的单调性有{m2≥1−√3t(1−√3)≥0 ，即可求m 的范围.【解答过程】（1）由题设，x 2−x −1>0，则x >1+√52或x <1−√52， 所以函数定义域为(−∞,1−√52)∪(1+√52,+∞).（2）由函数f(x)的值域为R ，则(0,+∞)是y =x 2−mx −m 值域的子集，所以Δ=m 2+4m ≥0，即m ∈(−∞,−4]∪[0,+∞).（3）由t =x 2−mx −m 在(−∞,m 2)上递减，在(m2,+∞)上递增，而y =log 12t 在定义域上递减， 所以f(x)在(−∞,m 2)上递增，在(m2,+∞)上递减， 又f(x)在(−∞,1−√3)上是增函数，故{m 2≥1−√3t(1−√3)≥0，可得2≥m ≥2(1−√3). 【题型6 对数函数的实际应用】【方法点拨】从实际问题出发，建立对数（型）函数模型，借助对数函数的图象和性质进行解题，注意要满足实际条件.【例6】（2021·全国·高一专题练习）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为V (m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q ，研究中发现V 与log 3Q 100成正比，且当Q ＝900时，V ＝1. （1）求出V 关于Q 的函数解析式；（2）计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时耗氧量的单位数．【解题思路】（1）根据成正比的性质，结合代入法进行求解即可；（2）利用代入法，结合对数与指数式互化公式进行求解即可.【解答过程】解：（1）设V ＝k ·log 3Q 100，∵当Q ＝900时，V ＝1，∴1＝k ·log 3900100，∴k ＝12，∴V 关于Q 的函数解析式为V =12log 3Q 100;（2）令V ＝1.5，则1.5=12log 3Q 100⇒log 3Q100=3⇒Q100=33=27，∴Q ＝2 700，即一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时耗氧量为2700个单位．【变式6-1】（2022·全国·高一课时练习）近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v =v 0ln Mm 计算火箭的最大速度v （单位：m/s ）．其中v 0（单位m/s ）是喷流相对速度，m （单位：kg ）是火箭（除推进剂外）的质量，M （单位：kg ）是推进剂与火箭质量的总和，M m 称为“总质比”，已知A 型火箭的喷流相对速度为2000m/s ． 参考数据：ln230≈5.4，1.648<e 0.5<1.649．(1)当总质比为230时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；(2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的13，若要使火箭的最大速度增加500 m/s，记此时在材料更新和技术改进前的总质比为T，求不小于T的最小整数？【解题思路】（1）运用代入法直接求解即可；（2）根据题意列出不等式，结合对数的运算性质和已知题中所给的参考数据进行求解即可.【解答过程】(1)当总质比为230时，v=2000ln230≈2000×5.4=10800，即A型火箭的最大速度为10800m/s.(2)A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，所以A型火箭的喷流相对速度为2000×1.5=3000m/s，总质比为M3m，由题意得：3000ln M3m −2000ln Mm≥500⇒ln M27m ≥0.5⇒M27m≥e0.5⇒Mm≥27e0.5，因为1.648<e0.5<1.649，所以44.496<27e0.5<44.523，即44.496<T<44.523，所以不小于T的最小整数为45．【变式6-2】（2022·全国·高二课时练习）每年红嘴鸥都从西伯利亚飞越数千公里来到美丽的昆明过冬，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v=12log3x100−lgx0，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数x0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（结果保留到整数位.参考数据：lg5≈0.70，31.4≈4.66）(1)若x0=5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位.(2)若雄鸟的飞行速度为1.3km/min，雌鸟的飞行速度为0.8km/min，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍.【解题思路】（1）将x0=5，v=0代入函数解析式，求出x的值即可答案；（2）设出雄鸟每分钟的耗氧量和雌鸟每分钟耗氧量，得到方程组，两式相减后得到x1x2=3，得到答案.【解答过程】（1）将x0=5，v=0代入函数v=12log3x100−lgx0，得：12log3x100−lg5=0，因为lg5≈0.70，所以log3x100=2lg5≈1.40，所以x100=31.40≈4.66，所以x=466.答：候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量约为466个单位.（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为x 1，雌鸟每分钟耗氧量为x 2，由题意可得：{1.3=12log 3x1100−lgx 00.8=12log 3x 2100−lgx 0 ， 两式相减可得：12=12log 3x 1x 2，所以log 3x 1x 2=1，即x 1x 2=3，答：此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍.【变式6-3】（2022·全国·高一课时练习）学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有90分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y 与当天锻炼时间x （单位：分）的函数关系，要求及图示如下：（1）函数是区间[0,90]上的增函数；（2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（3）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；（4）每天最多得分不超过6分.现有三个函数模型①y =kx +b (k >0)，②y =k ⋅1.2x +b (k >0)，③y =klog 2(x15+2)+n (k >0)供选择.(1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由，再根据所给信息求出函数的解析式；(2)求每天得分不少于4.5分，至少需要锻炼多少分钟.（注：√2≈1.414，结果保留整数）【解题思路】（1）根据图像和函数性质选择模型，再将（0，0），（30，3）代入求解系数即可.（2）将x =4.5代入解析式即可.【解答过程】（1）第一步：分析题中每个模型的特点对于模型一，当k >0时，匀速增长；对于模型二，当k >0时，先慢后快增长；对于模型三，当k >0时，先快后慢增长.第二步：根据题中材料和题图选择合适的函数模型从题图看应选择先快后慢增长的函数模型，故选y =klog 2(x15+2)+n .第三步：把题图中的两点代入选好的模型中，得到函数解析式将（0，0），（30，3）代入解析式得到{k+n=0klog24+n=3，即{k+n=02k+n=3，解得k=3,n=−3，即y=3log2(x15+2)−3.第四步：验证模型是否合适当x=90时，y=3log2(6+2)−3=6，满足每天得分最高不超过6分的条件.所以函数的解析式为y=3log2(x15+2)−3.（2）由y=3log2(x15+2)−3≥4.5，得log2(x15+2)≥2.5=log2252，得x15+2≥252=4√2≈5.656，得x≥54.84，所以每天得分不少于4.5分，至少需要运动55分钟.。
专题3 一次函数的图象与性质-重难点题型(举一反三)(浙教版)(解析版)
专题5.3 一次函数的图象与性质-重难点题型【浙教版】函数图像一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。
A．B．C．D．【解题思路】先判断出a是负数，c是正数，然后根据一次函数图象与系数的关系确定图象经过的象限以及与y轴的交点的位置即可得解．【解答过程】解：∵a+b+c＝0，且a＜b＜c，∵a＜0，c＞0，（b的正负情况不能确定），∵﹣a＞0，﹣c＜0，∵函数y＝﹣cx﹣a的图象经过二、一、四象限．故选：B．【变式1-1】函数y＝ax+b﹣2的图象如图所示，则函数y＝﹣ax﹣b的大致图象是（）A．B．C．D．【解题思路】根据一次函数的图象的性质确定a和b的符号，进而解答即可．【解答过程】解：由函数y＝ax+b﹣2的图象可得：a＜0，b﹣2＝0，∵a＜0，b＝2＞0，所以函数y＝﹣ax﹣b的大致图象经过第一、四、三象限，故选：C．【变式1-2】（2019•杭州）已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是（）A．B．C．D．【解题思路】根据直线判断出a、b的符号，然后根据a、b的符号判断出直线经过的象限即可，做出判断．【解答过程】解：A、由图可知：直线y1＝ax+b，a＞0，b＞0．∵直线y2＝bx+a经过一、二、三象限，故A正确；B、由图可知：直线y1＝ax+b，a＜0，b＞0．∵直线y2＝bx+a经过一、四、三象限，故B错误；C、由图可知：直线y1＝ax+b，a＜0，b＞0．∵直线y2＝bx+a经过一、二、四象限，交点不对，故C错误；D、由图可知：直线y1＝ax+b，a＜0，b＜0，∵直线y2＝bx+a经过二、三、四象限，故D错误．故选：A．【变式1-3】函数y＝|x﹣2|的图象大致是（）A．B．C．D．【解题思路】由绝对值的性质知，该图象的函数值y≥0，且函数图象经过点（2，0），由此得到正确的函数图象．【解答过程】解：∵y＝|x﹣2|≥0．∵选项A、D错误．又∵函数图象经过点（2，0），∵选项B错误，选项C正确．故选：C．【题型2 正比例函数的图象】【例2】如图，三个正比例函数的图象分别对应函数关系式：∵y＝ax，∵y＝bx，∵y＝cx，将a，b，c从小到大排列并用“＜”连接为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b【解题思路】根据直线所过象限可得a＜0，b＞0，c＞0，再根据直线陡的情况可判断出b＞c，进而得到答案．【解答过程】解：根据三个函数图象所在象限可得a＜0，b＞0，c＞0，再根据直线越陡，|k|越大，则b＞c．则b＞c＞a，即a＜c＜b．故选：D．【变式2-1】（2020秋•达川区期末）如图，四个一次函数y＝ax，y＝bx，y＝cx+1，y＝dx ﹣3的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是（）A．b＞a＞d＞c B．a＞b＞c＞d C．a＞b＞d＞c D．b＞a＞c＞d 【解题思路】根据一次函数图象的性质分析．【解答过程】解：由图象可得：a＞0，b＞0，c＜0，d＜0，且a＞b，c＞d，故选：B．【变式2-2】（2021秋•茂名期中）直线y＝2kx的图象如图所示，则y＝（k﹣2）x+1﹣k的图象大致是（）A．B．C．D．【解题思路】根据正比例函数t＝2kx的图象可以判断k的正负，从而可以判断k﹣2与1﹣k的正负，从而可以得到y＝（k﹣2）x+1﹣k图象经过哪几个象限，从而可以解答本题．【解答过程】解：由题意知2k＜0，即k＜0，则k﹣2＜0，1﹣k＞0，∵y＝（k﹣2）x+1﹣k的图象经过第一，二，四象限，故选：A．【变式2-3】（2021春•新田县期末）如图，直线l1∵x轴于点（1，0），直线l2∵x轴于点（2，0），直线l3∵x轴于点（3，0），…直线l n∵x轴于点（n，0）．函数y＝x的图象与直线l1，l2，l3，…，l n分别交于点A1，A2，A3，…，A n；函数y＝3x的图象与直线l1，l2，l3，…，l n分别交于点B1，B2，B3，…，B n，如果∵OA1B1的面积记的作S1，四边形A1A2B2B1的面积记作S2，四边形A2A3B3B2的面积记作S3，…四边形A n﹣1A n B n B n﹣1的面积记作S n，那么S2021＝4041．【解题思路】四边形A n﹣1A n B n B n﹣1是梯形，算出梯形的下底A n B n，上底A n﹣1B n﹣1，高是1，取n ＝2021，用梯形的面积公式即可．【解答过程】解：由题意得：A n （n ，n ），B n （n ，3n ）， ∵A n B n ＝3n ﹣n ＝2n ，同理：A n ﹣1B n ﹣1＝2（n ﹣1），∵S 四边形A n−1A n B n B n−1=12×1×[2n +2(n −1)]=2n −1， ∵S 2021＝2×2021﹣1＝4041， 故答案为4041．A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限【解题思路】由y ﹣3与x +5成正比例，可设y ﹣3＝k （x +5），整理得：y ＝kx +5k +3．把x ＝﹣2代入得不等式，可解得k ＜﹣1，再判断5k +3的符号即可． 【解答过程】解：∵y ﹣3与x +5成正比例， ∵设y ﹣3＝k （x +5），整理得：y ＝kx +5k +3． 当x ＝﹣2时，y ＜0，即﹣2k +5k +3＜0，整理得3k +3＜0， 解得：k ＜﹣1． ∵k ＜﹣1， ∵5k +3＜﹣2，∵y ＝kx +5k +3的图象经过第二、三、四象限． 故选：D ．【变式3-1】（2021•黄州区校级自主招生）已知过点（2，3）的直线y ＝ax +b （a ≠0）不经过第四象限，设s ＝a ﹣2b ，则s 的取值范围是（ ） A ．32≤s ＜6B ．﹣3＜s ≤3C ．﹣6＜s ≤32D ．32≤s ≤5【解题思路】根据题意得出a ＞0，b ≥0，即可推出得0＜a ≤32，从而求得s 的取值范围．【解答过程】解：∵过点（2，3）的直线y＝ax+b（a≠0）不经过第四象限，∵a＞0，b≥0，将（2，3）代入直线y＝ax+b，3＝2a+b，b＝3﹣2a∵{a＞03−2a≥0，解得0＜a≤3 2，s＝a﹣2b＝a﹣2×（3﹣2a）＝5a﹣6，a＝0时，s＝﹣6，a=32，s=32，故﹣6＜s≤3 2．故选：C．【变式3-2】（2021春•忠县期末）已知一次函数y＝（5﹣a）x+a+1的图象不经过第四象限，且关于x的分式方程102−x =2−axx−2有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（）A．6B．7C．8D．9【解题思路】由一次函数y＝（5﹣a）x+a+1的图象不经过第四象限求出a的取值范围，把分式方程解出，再根据式方程有整数解，a的取值范围确定a的值，最后算出结果．【解答过程】解：∵y＝（5﹣a）x+a+1的图象不经过第四象限，∵{5−a＞0a+1≥0，∵﹣1≤a＜5．10 2−x =2−axx−2，整理得，102−x =2+ax2−x，10＝2（2﹣x）+ax，（2﹣a）x＝﹣6，x=−62−a，∵分式方程有整数解，﹣1≤a＜5，∵a＝﹣1、0、1、3、4，∵（﹣1）+0+1+3+4＝7．故选：B．【变式3-3】（2021•渝中区模拟）若关于x 的一元一次不等式组{23x ＞x −14x +1≥a恰有3个整数解，且一次函数y ＝（a ﹣2）x +a +1不经过第三象限，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．1【解题思路】根据关于x 的一元一次不等式组{23x ＞x −14x +1≥a恰有3个整数解，可以求得a的取值范围，再根据一次函数y ＝（a ﹣2）x +a +1不经过第三象限，可以得到a 的取值范围，结合不等式组和一次函数可以得到最后a 的取值范围，从而可以写出满足条件的a 的整数值，然后相加即可．【解答过程】解：由不等式组{23x ＞x −14x +1≥a ，得a−14≤x ＜3，∵关于x 的一元一次不等式组{23x ＞x −14x +1≥a恰有3个整数解，∵﹣1＜a−14≤0， 解得﹣3＜a ≤1，∵一次函数y ＝（a ﹣2）x +a +1不经过第三象限， ∵a ﹣2＜0且a +1≥0， ∵﹣1≤a ＜2， 又∵﹣3＜a ≤1， ∵﹣1≤a ≤1，∵整数a 的值是﹣1，0，1，∵所有满足条件的整数a 的值之和是：﹣1+0+1＝0， 故选：C ．【题型4 一次函数图象与系数的关系】【例4】（2021春•鄢陵县期末）已知A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）是一次函数y ＝（2﹣m ）x +3图象上两点，且（x 1﹣x 2）（y 1﹣y 2）＜0，则m 的取值范围为 m ＞2 ．【解题思路】根据（x 1﹣x 2）（y 1﹣y 2）＜0，得出y 随x 的增大而减小，再根据2﹣m ＜0，求出其取值范围即可．【解答过程】解：（x 1﹣x 2）（y 1﹣y 2）＜0， 即：{x 1−x 2＞0y 1−y 2＜0或{x 1−x 2＜0y 1−y 2＞0，也就是，y 随x 的增大而减小， 因此，2﹣m ＜0，解得，m ＞2，故答案为：m＞2．【变式4-1】如图，平面直角坐标系中，若点A（3，0）、B（4，1）到一次函数y＝kx+4（k≠0）图象的距离相等，则k的值为k＝±1．【解题思路】根据一次函数y＝kx+4（k≠0）图象一定过点（0，4），点A（3，0）、B （4，1）到一次函数y＝kx+4（k≠0）图象的距离相等，可分为两种情况进行解答，即，∵当直线y＝kx+4（k≠0）与直线AB平行时，∵当直线y＝kx+4（k≠0）与直线AB不平行时分别进行解答即可．【解答过程】解：一次函数y＝kx+4（k≠0）图象一定过（0，4）点，∵当直线y＝kx+4（k≠0）与直线AB平行时，如图1，设直线AB的关系式为y＝kx+b，把A（3，0），B（4，1）代入得，{3k+b=04k+b=1，解得，k＝1，b＝﹣3，∵一次函数y＝kx+4（k≠0）中的k＝1，∵当直线y＝kx+4（k≠0）与直线AB不平行时，如图2，则：直线y＝kx+4（k≠0）一定过点C，点C的坐标为（4，0），代入得，4k+4＝0，解得，k＝﹣1，因此，k＝1或k＝﹣1．故答案为：k＝±1．【变式4-2】（2020•成都模拟）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx﹣1（k≠0）与直线x＝﹣k，y＝﹣k分别交于点A，B．直线x＝﹣k与y＝﹣k交于点C．记线段AB，BC，AC围成的区域（不含边界）为W；横，纵坐标都是整数的点叫做整点．（1）当k＝﹣2时，区域W内的整点个数为6；（2）若区域W内没有整点，则k的取值范围是0＜k≤1或k＝2．【解题思路】（1）将k＝﹣2代入解析式，求得A、B、C三点坐标，并作出图形，便可求得W区域内的整数点个数；（2）分三种情况解答：当k＜0时，区域内必含有坐标原点，故不符合题意；当0＜k≤1时，W内点的横坐标在k到0之间，无整点，进而得0＜k≤1时，W内无整点；当1＜k≤2时，W内可能存在的整数点横坐标只能为﹣1，此时边界上两点坐标为（﹣1，﹣k）和（﹣1，﹣k﹣1），当k不为整数时，其上必有整点，但k＝2时，只有两个边界点为整点，故W内无整点；当k＞2时，横坐标为﹣2的边界点为（﹣2，﹣k）和（﹣2，﹣2k﹣1），线段长度为k+1＞3，故必有整点．【解答过程】解：（1）直线l：y＝kx﹣1＝﹣2x﹣1，直线x＝﹣k＝2，y＝﹣k＝2，∵A（2，﹣5），B（−32，2），C（2，2），在W区域内有6个整数点：（0，0），（0，1），（1，0），（1，1），（1，﹣1），（1，﹣2），故答案为6；（2）当k＜0时，则x＝﹣k＞0，y＝﹣k＞0，∵区域内必含有坐标原点，故不符合题意；当0＜k ≤1时，W 内点的横坐标在﹣1到0之间，不存在整点，故0＜k ≤1时W 内无整点； 当1＜k ≤2时，W 内可能存在的整数点横坐标只能为﹣1，此时边界上两点坐标为M （﹣1，﹣k ）和N （﹣1，﹣k ﹣1），MN ＝1，此时当k 不为整数时，其上必有整点，但k ＝2时，只有两个边界点为整点，故W 内无整点；当k ＞2时，横坐标为﹣2的边界点为（﹣2，﹣k ）和（﹣2，﹣2k ﹣1），线段长度为k +1＞3，故必有整点．综上所述：0＜k ≤1或k ＝2时，W 内没有整点．故答案为：0＜k ≤1或k ＝2．【变式4-3】已知一次函数y ＝（6+3m ）x +（n ﹣2）．求（1）当m ，n 为何值时，y 值随x 的增大而减小，且与y 轴交点在x 轴下方？（2）当m ，n 为何值时，此一次函数也是正比例函数？（3）当m ＝﹣1，n ＝﹣2时，设此一次函数与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，并求出∵AOB 的面积（O 为坐标原点）【解题思路】（1）根据一次函数的性质结合一次函数单调递减，即可得出关于m 、n 的一元一次不等式，解不等式即可得出m 、n 的取值范围；（2）由此一次函数也是正比例函数，可得出关于m 、n 的一元一次方程，解方程即可得出结论；（3）代入m 、n 的值，再根据一次函数图象上点的坐标特征找出点A 、B 的坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论．【解答过程】解：（1）∵y 值随x 的增大而减小，且与y 轴交点在x 轴下方，∵6+3m ＜0，解得m ＜﹣2，n ﹣2＜0，解得n ＜2；（2）∵此一次函数也是正比例函数，∵n ﹣2＝0且6+3m ≠0，解得n ＝2且m ≠﹣2；（3）当m ＝﹣1，n ＝﹣2时，一次函数的解析式为y ＝3x ﹣4，当x ＝0时，y ＝﹣4，∵点B 的坐标为（0，﹣4）；当y ＝0时，x =43，∵点A 的坐标为（43，0）．∵S ∵AOB =12OA •OB =12×43×4=83．【题型5 一次函数图象上点的坐标特征】【例5】已知一次函数y ＝（6+3m ）x +（n ﹣2）．求（1）当m ，n 为何值时，y 值随x 的增大而减小，且与y 轴交点在x 轴下方？（2）当m ，n 为何值时，此一次函数也是正比例函数？（3）当m ＝﹣1，n ＝﹣2时，设此一次函数与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，并求出∵AOB 的面积（O 为坐标原点）【解题思路】（1）根据一次函数的性质结合一次函数单调递减，即可得出关于m 、n 的一元一次不等式，解不等式即可得出m 、n 的取值范围；（2）由此一次函数也是正比例函数，可得出关于m 、n 的一元一次方程，解方程即可得出结论；（3）代入m 、n 的值，再根据一次函数图象上点的坐标特征找出点A 、B 的坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论．【解答过程】解：（1）∵y 值随x 的增大而减小，且与y 轴交点在x 轴下方，∵6+3m ＜0，解得m ＜﹣2，n ﹣2＜0，解得n ＜2；（2）∵此一次函数也是正比例函数，∵n ﹣2＝0且6+3m ≠0，解得n ＝2且m ≠﹣2；（3）当m ＝﹣1，n ＝﹣2时，一次函数的解析式为y ＝3x ﹣4，当x ＝0时，y ＝﹣4，∵点B 的坐标为（0，﹣4）；当y ＝0时，x =43，∵点A 的坐标为（43，0）．∵S ∵AOB =12OA •OB =12×43×4=83．【变式5-1】如图，直线y ＝2x +3与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ．（1）求∵AOB 的面积；（2）过B 点作直线BP 与x 轴相交于P ，∵ABP 的面积是92，求点P 的坐标．【解题思路】（1）把x ＝0，y ＝0分别代入函数解析式，即可求得相应的y 、x 的值，则易得点OA 、OB 的值，然后根据三角形面积公式求得即可；（2）由B 、A 的坐标易求：OB ＝3，OA =32．然后由三角形面积公式得到S ∵ABP =12AP •OB =92，则AP ＝3，由此可以求得m 的值【解答过程】解：（1）由x ＝0得：y ＝3，即：B （0，3）．由y ＝0得：2x +3＝0，解得：x =−32，即：A （−32，0），∵OA =32，OB ＝3，∵∵AOB 的面积：12×3×32=94；（2）由B （0，3）、A （−32，0）得：OB ＝3，OA =32，∵S ∵ABP =12AP •OB =92，∵32AP =92，解得：AP ＝3．∵P 点坐标为（1.5，0）或（﹣4.5，0）．【变式5-2】如图，直线y ＝kx +6与x 轴y 轴分别相交于点E ，F ．点E 的坐标（8，0），点A 的坐标为（6，0）．点P （x ，y ）是第一象限内的直线上的一个动点（点P 不与点E ，F 重合）．（1）求k 的值；（2）在点P 运动的过程中，求出∵OP A 的面积S 与x 的函数关系式．（3）若∵OP A 的面积为278，求此时点P 的坐标．【解题思路】（1）直接把点E 的坐标代入直线y ＝kx +6求出k 的值即可；（2）过点P 作PD ∵OA 于点D ，用x 表示出PD 的长，根据三角形的面积公式即可得出结论；（3）把∵OP A 的面积为278代入（2）中关系式，求出x 的值，把x 的值代入直线y =−34x +6即可得出结论．【解答过程】解：（1）∵直线y ＝kx +6与x 轴交于点E ，且点E 的坐标（8，0） ∵8k +6＝0，解得k =−34，∵y =−34x +6；（2）过点P 作PD ∵OA 于点D ， ∵点P （x ，y ）是第一象限内的直线上的一个动点∵PD =−34x +6．∵点A 的坐标为（6，0）∵S =12×6×（−34x +6）=−94x +18；（3）∵∵OP A 的面积为278，∵−94x +18=278，解得x =132，将x =132代入y =−34x +6得y =98，∵P （132，98）．【变式5-3】（2021春•青县期末）如图，直线y ＝﹣x +10与x 轴、y 轴分别交于点B ，C ，点A 的坐标为（8，0），P （x ，y ）是直线y ＝﹣x +10在第一象限内一个动点．（1）求∵OP A 的面积S 与x 的函数关系式，并写出自变量的x 的取值范围；（2）当∵OP A 的面积为10时，求点P 的坐标．【解题思路】（1）根据三角形的面积公式S ∵OP A =12OA •y ，然后把y 转换成x ，即可求得∵OP A 的面积S 与x 的函数关系式；（2）把s ＝10代入S ＝﹣4x +40，求得x 的值，把x 的值代入y ＝﹣x +10即可求得P 的坐标．【解答过程】解（1）∵A （8，0），∵OA ＝8，S =12OA •|y P |=12×8×（﹣x +10）＝﹣4x +40，（0＜x ＜10）．（2）当S ＝10时，则﹣4x +40＝10，解得x =152，当x =152时，y =−152+10=52，∵当∵OP A 的面积为10时，点P 的坐标为（152，52）．【题型6 一次函数图象与几何变换】【例6】已知一次函数y ＝kx +b 的图象过点A （﹣4，﹣2）和点B （2，4）（1）求直线AB 的解析式；（2）将直线AB 平移，使其经过原点O ，则线段AB 扫过的面积为 12 ．【解题思路】（1）将A 、B 两点的坐标代入y ＝kx +b ，利用待定系数法即可求出直线AB 的解析式；（2）先利用平移规律求出直线AB 平移后的解析式，进而求出线段AB 扫过的面积．【解答过程】解：（1）∵一次函数y ＝kx +b 的图象过点A （﹣4，﹣2）和点B （2，4），∵{−4k +b =−22k +b =4，解得{k =1b =2，∵直线AB 的解析式为y ＝x +2；（2）设直线AB 平移后的解析式为y ＝x +n ，将原点（0，0）代入，得n ＝0，∵直线AB 平移后的解析式为y ＝x ，∵将直线AB 向下平移2个单位得到直线A ′B ′，如图，则A ′（﹣4，﹣4），B ′（2，2），∵平行四边形AA ′B ′B 的面积＝2×（4+2）＝12．即线段AB 扫过的面积为12．故答案为12．【变式6-1】若直线y＝kx+3与直线y＝2x+b关于直线x＝1对称，则k、b值分别为（）A．k＝2、b＝﹣3B．k＝﹣2、b＝﹣3C．k＝﹣2、b＝1D．k＝﹣2、b＝﹣1【解题思路】先求出一次函数y＝kx+3与y轴交点关于直线x＝1的对称点，得到b的值，再求出一次函数y＝2x+b与y轴交点关于直线x＝1的对称点，代入一次函数y＝kx+3，求出k的值即可．【解答过程】解：∵一次函数y＝kx+3与y轴交点为（0，3），∵点（0，3）关于直线x＝1的对称点为（2，3），代入直线y＝2x+b，可得4+b＝3，解得b＝﹣1，一次函数y＝2x﹣1与y轴交点为（0，﹣1），（0，﹣1）关于直线x＝1的对称点为（2，﹣1），代入直线y＝kx+3，可得2k+3＝﹣1，解得k＝﹣2．故选：D．【变式6-2】（2018春•沙坪坝区校级期末）如图：一次函数y=13x+2交y轴于A，交y＝3x﹣6于B，y＝3x﹣6交x轴于C，直线BC顺时针旋转45°得到直线CD．（1）求点B的坐标；（2）求四边形ABCO的面积；（3）求直线CD的解析式．【解题思路】（1）构建方程组即可解决问题；（2）求出A、C两点坐标，根据S四边形ABCO＝S∵OCB+S∵AOB计算即可；（3）如图，将线段BC绕点B逆时针旋转90得到C′．由题意可知点C′在直线CD上，求出点C ′坐标，利用待定系数法即可解决问题；【解答过程】解：（1）由{y =13x +2y =3x −6，解得{x =3y =3，∵B （3，3）．（2）由题意A （0，2），C （2，0），∵S 四边形ABCO ＝S ∵OCB +S ∵AOB =12×2×3+12×2×3＝6．（3）如图，将线段BC 绕点B 逆时针旋转90得到C ′．∵∵BCC ′是等腰直角三角形，∵BCD ＝45°，∵点C ′在直线CD 上，由（2）可知，C （2，0）．∵B （3，3），由旋转的性质可知，C ′（6，2），设直线CD 的解析式为y ＝kx +b ，则有{6k +b =22k +b =0，解得{k =12b =−1， ∵直线CD 的解析式为y =12x ﹣1．【变式6-3】（2018•沙坪坝区模拟）如图，正比例函数y ＝kx （k ≠0）的图象过点A （2，﹣3）．直线y ＝x +b 沿y 轴平行移动，与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ，与直线OA 交于点D ．（1）若点D 在线段OA 上（含端点），求b 的取值范围；（2）当点A 关于直线BC 的对称点A '恰好落在y 轴上时，求∵OBD 的面积．【解题思路】（1）将O 点和A 点的坐标分别代入y ＝x +b ，即可求得b 的值，从而求得b 的取值范围；（2）根据直线y ＝x +b 易求得OB ＝OC ，即可得出∵OCB ＝45°，根据轴对称的性质易求得∵ACD ＝45°．即可求得∵ACO ＝90°，从而求得C 的纵坐标为﹣3，得出C 的坐标为（0，﹣3），即可求得直线y ＝x ﹣3，然后联立方程求得交点D 的坐标，根据三角形面积公式即可求得∵OBD 的面积．【解答过程】解：（1）当点D 和点O 重合时，将点O （0，0）代入y ＝x +b 中，得b ＝0，当点D 和点A 重合时，将点A （2，﹣3）代入y ＝x +b 中，得﹣3＝2+b ，即b ＝﹣5，∵b 的取值范围是﹣5≤b ≤0；（2）将点A （2，﹣3）代入y ＝kx 中，得﹣3＝2k ，即k =−32，∵直线OA 的解析式为y =−32x ，在y ＝x +b 中，令y ＝0，则x ＝﹣b ，∵B （﹣b ，0），即OB ＝|b |，∵OB ＝OC ，又∵∵BOC ＝90°，∵∵OCB ＝∵OBC ＝45°，∵点A 关于直线BC 的对称点A '恰好落在y 轴上，∵CD 垂直平分AA ′，∵CA ＝CA ′，∵∵ACD ＝∵OCB ＝45°，∵∵ACO ＝90°，∵OC ＝|y A |＝3，∵OB ＝OC ＝3，即C （0，﹣3），将点C （0，﹣3）代入y ＝x +b 中，得﹣3＝0+b ，∵b ＝﹣3，∵直线BC 的解析式为y ＝x ﹣3，由{y =−32xy =x −3得{x =65y =−95，∵D （65，−95），∵S ∵OBD =12OB •|y D |=12×3×95=2710．。
高一数学必修一经典题型举一反三(新课标)——第一章 集合与函数的概念单元测试【解析版】
高一数学必修一经典题型举一反三（新课标）第一章集合与函数的概念单元测试（一）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）（2019秋•桂林期末）集合A＝{x|x2＝x}中所含元素为（）A．0，1B．﹣1，1C．﹣1，0D．1【思路分析】根据题意，解方程x2＝x可得x的值，由集合的意义即可得答案．【答案】解：根据题意，x2＝x⇒x＝0或1，则A＝{0，1}，其中的元素为0、1，故选：A．【点睛】本题考查集合的表示法，注意集合的描述法，属于基础题．2．（5分）（2018秋•东阳市校级月考）设集合A＝{x|x＞2}，则（）A．∅∈A B．0∈A C．2∈A D．【思路分析】由集合A＝{x|x＞2}，得∅⊊A，0∉A，2∉A，∈A．【答案】解：∵集合A＝{x|x＞2}，∴∅⊊A，故A错误；0∉A，故B错误；2∉A，故C错误；∈A，故D正确．故选：D．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．3．（5分）（2019秋•兴宁区校级月考）已知集合A＝{0，1，2}，B＝{x|﹣2＜x＜2}，则（）A．A∩B＝{0，1}C．A∪B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}B．A∪B＝{x|﹣2＜x＜2} D．A∩B＝{x|0＜x＜2}【思路分析】利用交集定义直接求解．【答案】解：∵集合A＝{0，1，2}，B＝{x|﹣2＜x＜2}，∴A∩B＝{0，1}．故选：A．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集、子集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．（5分）（2019秋•天津期中）设全集为U＝{n|n∈N*且n＜9}，集合S＝{1，3，5}，T＝{3，6}，则∁U（S∪T）等于（）A．∅B．{2，4，7，8}C．{1，3，5，6}D．{2，4，6，8}【思路分析】用列举法写出全集U，根据并集与补集的定义运算即可．【答案】解：全集为U＝{n|n∈N*且n＜9}＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合S＝{1，3，5}，T＝{3，6}，∴S∪T＝{1，3，5，6}，（S∪T）＝{2，4，7，8}．∴∁U故选：B．【点睛】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．5．（5分）（2019秋•故城县校级月考）下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．f（x）＝|x|，g（x）B．f（x），g（x）＝（）2C．f（x），g（x）＝x+1D．f（x），g（x）【思路分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．【答案】解：对于A，函数f（x）＝|x|（x∈R），与函数g（x）|x|（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于B，函数f（x）|x|（x∈R），与函数g（x）x（x≥0）的定义域不同，不是同一函数；对于C，函数f（x）x+1（x≠1），与函数g（x）＝x+1（x∈R）的定义域不同，不是同一函数；对于D，函数f（x）（x≥﹣1），与函数g（x）（x≤﹣1或x≥1）的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数．故选：A．【点睛】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题目．6．（5分）（2019秋•咸阳期末）已知函数f（x+1）＝3x+2，则f（x）的解析式是（）A．f（x）＝3x+2B．f（x）＝3x+1C．f（x）＝3x﹣1D．f（x）＝3x+4【思路分析】换元法整体代入求解．【答案】解：设t＝x+1，∵函数f（x+1）＝3x+2＝3（x+1）﹣1∴函数f（t）＝3t﹣1，即函数f（x）＝3x﹣1故选：C．【点睛】本题考查了函数解析式的求解，很容易．7．（5分）（2019•常熟市校级模拟）定义域为R的函数y＝f（x）的值域为[a，b]，则函数y＝f（x+a）的值域为（）A．[2a，a+b]B．[a，b]C．[0，b﹣a]D．[﹣a，a+b]【思路分析】考虑函数的三要素，只要2个函数的定义域和值域相同，函数的值域也就相同．【答案】解：∵定义域为R的函数y＝f（x）的值域为[a，b]，而函数y＝f（x+a）的定义域也是R，对应法则相同，故值域也一样，故选：B．【点睛】本题考查函数的三要素．8．（5分）（2019秋•宛城区校级月考）已知全集U＝R，A＝{x|x2﹣3x﹣4＞0}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，则如图所示的阴影部分所表示的集合为（）A．{x|﹣2≤x＜4}B．{x|x≤2或x≥4}C．{x|﹣2≤x≤﹣1}D．{x|﹣1≤x≤2}【思路分析】阴影部分所表示的集合为B∩∁U A，解不等式求出集合A，可得答案．【答案】解：阴影部分所表示的集合为B∩∁U A，∵A＝{x|x2﹣3x﹣4＞0}＝{x|x＜﹣1，或x＞4}，U＝R，A＝{x|﹣1≤x≤4}，∴∁U又∵B＝{x|﹣2≤x≤2}，A＝{x|﹣1≤x≤2}，∴B∩∁U故选：D．【点睛】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，二次不等式的解法，难度中档．9．（5分）（2019秋•滨州期末）已知函数f（x）＝x，则函数y＝f（x）的大致图象为（）A．B．C．D．【思路分析】①当x＞0时，f（x），由基本不等式知：，且当x＝1时取等号，即x＝1时，函数有最小值2，排除BC，②当x＜0时，考虑函数f（x）＝x的单调性，可选出答案．【答案】解：①当x＞0时，f（x），由基本不等式知：，且当x＝1时取等号，即x＝1时，函数有最小值2，排除BC，②当x＜0时，f（x）＝x，因为x、都是增函数，故函数f（x）＝x为增函数，只有D符合，故选：D．【点睛】本题主要考查函数的图象与函数的性质，分类讨论函数的性质时解题的关键．10．（5分）（2018秋•深圳期末）下面有四个命题（1）集合N中最小的数是1；（2）若﹣a不属于N，则a属于N；（3）若a∈N，b∈N，则a+b的最小值为2；（4）x2+1＝2x的解可表示为{1，1}．其中正确命题的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个【思路分析】根据N表示自然数集，包括0和正整数，判断①②③的正确性；根据集合中元素的互异性判定④是否正确．【答案】解：∵集合N中含0，∴①×；∵N表示自然数集，﹣0.5∉N，0.5∉N，∴②×；∵0∈N，1∈N，∴③×；根据列举法表示集合中元素的互异性，④×；故选：A．【点睛】本题借助考查命题的真假判断，考查了自然数集的表示及集合中元素的性质，集合中元素性质：无序性、确定性、互异性．11．（5分）（2019秋•江西期末）若函数y＝f（x）的值域为[，3]，则函数F（x）＝f（x﹣1）的值域是（）A．[，3]B．[2，]C．[，]D．[3，]【思路分析】由函数y＝f（x）的值域为[，3]，可知f（x﹣1）∈[，3]，换元后利用“对勾”函数的单调性求得答案．【答案】解：∵y＝f（x）的值域为[，3]，∴t＝f（x﹣1）∈[，3]，g（t）＝F（x）＝f（x﹣1）在[，1]上为减函数，在[1，3]上为增函数，又g（）2，g（1）＝2，g（3）＝3．∴函数F（x）＝f（x﹣1）的值域是[2，]．故选：B．【点睛】本题考查函数的值域的求法，训练了利用函数单调性求函数的值域，是中档题．12．（5分）（2019秋•钦南区校级月考）对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”，法则如下：当m，n都是正奇数时，m※n＝m+n；当m，n不全为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M＝{（a，b）|a※b＝16，a∈N*，b∈N*}的真子集的个数是（）A．27﹣1B．211﹣1C．213﹣1D．214﹣1【思路分析】由所给的定义，对a※b＝16，a∈N*，b∈N*进行分类讨论，分两个数都是正奇数，与两个数不全为正奇数，两类进行讨论，确定出元素的个数即可求出集合M＝{（a，b）|a※b＝16，a∈N*，b∈N*}的真子集的个数．【答案】解：由题意，当m，n都是正奇数时，m※n＝m+n；当m，n不全为正奇数时，m※n＝mn；若a，b都是正奇数，则由a※b＝16，可得a+b＝16，此时符合条件的数对为（1，15），（3，13）， (15)1）满足条件的共8个；若m，n不全为正奇数时，m※n＝mn，由a※b＝16，可得ab＝16，则符合条件的数对分别为（1，16），（2，8），（4，4），（8，2），（16，1）共5个；故集合M＝{（a，b）|a※b＝16，a∈N*，b∈N*}中的元素个数是13，所以集合M＝{（a，b）|a※b＝16，a∈N*，b∈N*}的真子集的个数是213﹣1．故选：C．【点睛】本题考查元素与集合关系的判断，正确解答本量题的关键是正确理解所给的定义及熟练运用分类讨论的思想进行列举，本题属于基本题，二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2018秋•沙坪坝区校级月考）方程x2﹣（p﹣1）x+q＝0的解集为A，方程x2+（q﹣1）x+p＝0的解集为B，已知A∩B＝{﹣2}，则A∪B＝{﹣2，﹣1，1}．【思路分析】根据A∩B＝{﹣2}即可得出﹣2∈A，且﹣2∈B，从而得出关于p，q的方程组，解出p，q即可得出集合A，B，然后进行并集的运算即可．【答案】解：∵A∩B＝{﹣2}；∴﹣2∈A，﹣2∈B；∴；解得；则方程x2﹣（p﹣1）x+q＝0可以化简为x2+3x+2＝0，解得x＝﹣1或﹣2，∴A＝{﹣2，﹣1}；方程x2+（q﹣1）x+p＝0可以化简为x2+x﹣2＝0，解得x＝﹣2，或1，∴B＝{﹣2，1}；∴A∪B＝{﹣2，﹣1，1}．故答案为：{﹣2，﹣1，1}．【点睛】考查交集、并集的定义及运算，一元二次方程的解法，元素与集合的关系．，14．（5分）（2019秋•顺义区期末）已知函数f（x），则f（2）+f（﹣2）＝4．，＜f f【思路分析】根据已知中函数 f （x ），， ＜，将 x ＝±2 代入可得答案．【答案】解：∵函数 f （x ），， ＜，∴f （2）＝4，f （﹣2）＝f （﹣1）＝f （0）＝0f （2）+f （﹣2）＝4，故答案为：4【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题．15．（5 分）（2019 秋•盐湖区校级期中）已知函数 （x ）为 R 上的奇函数，当 x ≥0 时，（x ）＝x （1）， 当 x ＜0 时，f （x ）＝．【思路分析】利用 f （x ）是奇函数，当 x ≥0 时，f （x ）＝x （1），即可求解当 x ＜0 时的解析式．【答案】解：函数 f （x ）为 R 上的奇函数，即 f （﹣x ）＝﹣f （x ）当 x ≥0 时，f （x ）＝x （1）， 那么当 x ＜0 时，﹣x ＞0，则 f （﹣x ） ，由 f （﹣x ）＝﹣f （x ）可得 f （x ）故答案为：【点睛】本题考查了函数解析式的求法，利用了函数是奇函数的性质，属于基础题．16．（5 分）函数 y 的定义域为 R ，则 a 的取值范围是 [ ，+∞） ．【思路分析】根据函数的定义域为 R ，建立条件即可得到结论．【答案】解：∵函数 y的定义域为 R ，∴等价为 ax 2+（1﹣2a ）x +a +1≥0 恒成立，若 a ＝0，则不等式等价为 x ≥﹣1，此时不满足条件．若 a ≠0，要满足条件，则＞即，解得 a ，故答案为：[ ，+∞）＞，a a ∁ B ＝{5，6，7，8，9，10}，【点睛】本题主要考查函数定义域的应用，根据一元二次不等式恒成立的性质是解决本题的关键．三．解答题（共 6 小题，满分 70 分）17．（10 分）（2019 春•莲湖区校级期末）若 a ，b ∈R ，集合 ， ，， ， ，求 b ﹣a 的值【思路分析】根据题意，有 的意义，可得 a ≠0，而可得{1， +b ， }中必有 a +b ＝0，进而可得：②；分别解①②可得 a 、b 的值，进而计算可得答案．【答案】解：由 ，，， ， ，可知 a ≠0，则只能 a +b ＝0，①或则有以下对应关系：①或 ②；由①得，符合题意；②无解；则 b ﹣a ＝2；故 b ﹣a ＝2．【点睛】本题考查集合相等的意义，注意从元素的特点进行分析，即在本题中，根据 的意义，可得 a ≠0，而可得在{1，a +b ，a }中必有 a +b ＝0．18．（12 分）（2019 秋•上饶期中）已知全集 U ＝{x|x ≤10，x ∈N }，A ＝{0，2，4，6，8}，B ＝{x|x ∈U ，x＜5}（1）求 M ＝{x|x ∈A 且 x ∉B }；（2）求（∁U A ）∩（∁U B ）．【思路分析】（1）根据题意，用列举法表示集合 B ，分析属于 A 但不属于 B 的元素，即可得答案；（2）根据题意，由集合 A 、B 求出∁U A 、∁U B ，由交集的定义计算可得（∁U A ）∩（∁U B ），即可得答案．【答案】解：（1）由题意可得，B ＝{0，1，2，3，4}，M ＝{x|x ∈A 且 x ∉B }＝{6，8}；（2）∁U A ＝{1，3，5，9，10}，U （∁U A ）∩（∁U B ）＝{5，7，9，10}．【点睛】本题考查集合的混合运算，解题时注意集合间计算的顺序．19．（12分）已知函数f（x）．（1）求函数的定义域；（2）求f（﹣3），f（）的值；（3）当a＞0时，求f（a），f（a﹣1）的值．【思路分析】（1）由，解得函数的定义域；（2）将﹣3，代入可得：f（﹣3），f（）的值；（3）将a，a﹣1代入可得：f（a），f（a﹣1）的值．【答案】解：（1）由得：x∈[﹣3，﹣2）∪（﹣2，+∞），故函数的定义域为：[﹣3，﹣2）∪（﹣2，+∞）；（2）∵f（x）．∴f（﹣3）＝﹣1，f（），．（3）∵f（x）∴当a＞0时，f（a），f（a﹣1）．【点睛】本题考查的知识点是函数求值，难度不大，属于基础题．20．（12分）（2019秋•西岗区校级期中）已知函数f（x）＝x（x≠0）（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性；（Ⅱ）求证：函数f（x）在（0，+∞）为单调增函数；（Ⅲ）求满足f（x）＞0的x的取值范围．【思路分析】（Ⅰ）求出定义域为{x|x≠0且x∈R}，关于原点对称，再计算f（﹣x），与f（x）比较即可得到奇偶性；（Ⅱ）运用单调性的定义，注意作差、变形、定符号、下结论等步骤；（Ⅲ）讨论x＞0，x＜0，求出f（x）的零点，再由单调性即可解得所求取值范围．，【答案】（Ⅰ）解：定义域为{x|x ≠0 且 x ∈R }，关于原点对称，由于 f （﹣x ）＝﹣xf （x ），所以 f （x ）为奇函数；（Ⅱ）证明：任取 ＞ ＞ ，＞ ，所以 f （x ）在（0，+∞）为单调增函数；（Ⅲ）解：f （x ）＝0 解得 x ＝±1，所以零点为±1，当 x ＞0 时，由（Ⅱ）可得 f （x ）＞0 即 f （x ）＞f （1）的 x 的取值范围为（1，+∞），又该函数为奇函数，所以当 x ＜0 时，由（Ⅱ）可得f （x ）＞0 即 f （x ）＞f （﹣1）的 x 的取值范围为（﹣1，0），综上：所以＞ 解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）．【点睛】本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性的判断和单调性的判断，考查运算能力，属于中档题和易错题．21．（12 分）（2019 秋•慈溪市校级期中）已知函数 f （x ）＝x 2+a|x ﹣1|，a 为常数．（1）当 a ＝2 时，求函数 f （x ）在[0，2]上的最小值和最大值；（2）若函数 f （x ）在[0，+∞）上单调递增，求实数 a 的取值范围．【思路分析】（1）去掉绝对值符号，化为分段函数，配方利用二次函数求最值；（2）去掉绝对值符号，化为分段函数，配方利用二次函数的单调性，使函数在两段上都递增，且x ≥1 时的最小值大于 x ≤1 时的最大值．【答案】解：（1）当 a ＝2 时，所以当 x ∈[1，2]时，[f （x ）]max ＝6，[f （x ）]min ＝1 当 x ∈[0，1]时，[f （x ）]max ＝2，[f （x ）]min ＝1所以 f （x ）在[0，2]上的最大值为 6，最小值为 1．， ，， ＜ ， ＜（2）因为，， ＜ ， ＜而 f （x ）在[0，+∞）上单调递增所以当 x ≥1 时，f （x ）必单调递增，得即 a ≥﹣2当 0≤x ＜1 时，f （x ）亦必单调递增，得即 a ≤0f y xf f 且 11+a ﹣a ≥11﹣a +a 恒成立，故所求实数 a 的取值范围为[﹣2，0]．【点睛】本题主要考查函数的性质，特别是二次函数的单调性与求最值的方法，研究分段函数时要两段上统筹兼顾，属于中档题．22．（12 分）（2019 秋•凯里市校级期末）已知：函数 （x ）对一切实数 x ， 都有 （x +y ）﹣（y ）＝ （x +2y +1）成立，且 f （1）＝0．（1）求 f （0）的值．（2）求 f （x ）的解析式．（3）已知 a ∈R ，设 P ：当 ＜ ＜ 时，不等式 f （x ）+3＜2x +a 恒成立；Q ：当 x ∈[﹣2，2]时，g （x ）＝f（x ）﹣ax 是单调函数．如果满足 P 成立的 a 的集合记为 A ，满足 Q 成立的 a 的集合记为 B ，求 A ∩∁R B （R为全集）．【思路分析】（1）对抽象函数满足的函数值关系的理解和把握是解决该问题的关键，对自变量适当的赋值可以解决该问题，结合已知条件可以赋 x ＝﹣1，y ＝1 求出 f （0）；（2）在（1）基础上赋值 y ＝0 可以实现求解 f （x ）的解析式的问题；（3）利用（2）中求得的函数的解析式，结合恒成立问题的求解策略，即转化为相应的二次函数最值问题求出集合 A ，利用二次函数的单调性求解策略求出集合 B ．【答案】解：（1）令 x ＝﹣1，y ＝1，则由已知 f （0）﹣f （1）＝﹣1（﹣1+2+1）∴f （0）＝﹣2（2）令 y ＝0，则 f （x ）﹣f （0）＝x （x +1）又∵f （0）＝﹣2∴f （x ）＝x 2+x ﹣2（3）不等式 f （x ）+3＜2x +a 即 x 2+x ﹣2+3＜2x +a也就是 x 2﹣x +1＜a ．由于当 ＜ ＜ 时， ＜＜ ，又 x 2﹣x +1 ＜ 恒成立，故 A ＝{a|a ≥1}，g （x ）＝x 2+x ﹣2﹣ax ＝x 2+（1﹣a ）x ﹣2 对称轴 x，又 g （x ）在[﹣2，2]上是单调函数，故有∴B ＝{a|a ≤﹣3，或 a ≥5}，∁R B ＝{a|﹣3＜a ＜5} ∴A ∩∁R B ＝{a |1≤a ＜5}．，或 ，【点睛】本题考查抽象函数解析式的求解，考查赋值法求函数值、函数解析式的思想，考查恒成立问题的解决方法、考查二次函数单调性的影响因素，考查学生的转化与化归能力，属于中档题．。
专题2 一次函数与正比例函数-重难点题型(举一反三)(浙教版)(解析版)
专题5.2 一次函数与正比例函数-重难点题型【浙教版】【例1】（2021春•娄星区期末）在下列函数中：①y＝﹣8x；②y=32x+1；③y=√x+1；④y＝﹣8x2+5；⑤y＝﹣0.5x﹣1，一次函数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解题思路】根据一次函数的解析式y＝kx+b（k≠0）判定一次函数即可．【解答过程】解：∵一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），y＝﹣8x，y=32x+1，y＝﹣0.5x﹣1符合一次函数解析式形式，∴一次函数有①②⑤，故选：C．【变式1-1】（2020秋•肥西县校级月考）下列函数：（1）y＝3x；（2）y＝2x﹣1；（3）y=1 x；（4）y＝x2﹣1；（5）y=−x8中，是一次函数的有（）个A．4B．3C．2D．1【解题思路】直接利用一次函数的定义分析得出答案．【解答过程】解：（1）y＝3x是正比例函数，也是一次函数；（2）y＝2x﹣1是一次函数；（3）y=1x的分母含有自变量x，不是一次函数；（4）y＝x2﹣1是二次函数，不是一次函数；（5）y=−x8是正比例函数，也是一次函数．是一次函数的有3个，故选：B．【变式1-2】（2021春•汉阴县期末）在①y＝﹣8x：②y=−3x：③y=√x+1；④y＝﹣5x2+1：⑤y＝0.5x﹣3中，一次函数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解题思路】根据一次函数的定义解答即可．【解答过程】解：在①y＝﹣8x：②y=−3x：③y=√x+1；④y＝﹣5x2+1：⑤y＝0.5x﹣3中，一次函数有①y＝﹣8x；⑤y＝0.5x﹣3．故选：B．【变式1-3】下列语句中，y与x是一次函数关系的有（）个（1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系（2）圆的面积y（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系；（3）一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这个棵树的高度为y厘米，y与x的关系；（4）某种大米的单价是2.2元/千克，当购买大米x千克大米时，花费y元，y与x的关系．A．1B．4C．3D．2【解题思路】根据一次函数的定义逐个判断即可．【解答过程】解：汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x （时）之间的关系，是一次函数；圆的面积y（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系，不是一次函数；一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这个棵树的高度为y厘米，y与x的关系，是一次函数；某种大米的单价是2.2元/千克，当购买大米x千克大米时，花费y元，y与x的关系，是一次函数，所以共3个一次函数，故选：C．【题型2 利用一次函数的概念求值】【例2】（2021春•昭通期末）若y＝（k﹣2）x|k﹣1|+1表示一次函数，则k等于（）A．0B．2C．0或2D．﹣2或0【解题思路】依据一次函数的定义可知|k﹣1|＝1且k﹣2≠0，从而可求得k的值．【解答过程】解：∵函数y＝（k﹣2）x|k﹣1|+3是一次函数，∴|k﹣1|＝1且（k﹣2）≠0，解得：k＝0．故选：A．【变式2-1】（2021春•雨花区期中）若函数y＝（m+2）x|m|﹣1﹣5是一次函数，则m的值为（）A．±2B．2C．﹣2D．±1【解题思路】根据一次函数y＝kx+b（k≠0）求解．【解答过程】解：∵|m|﹣1＝1，∴m＝±2，又∵m+2≠0，∴m≠﹣2，∴m＝2，故选：B．【变式2-2】（2021春•杨浦区期末）如果y＝kx+x+k是一次函数，那么k的取值范围是k ≠﹣1．【解题思路】根据一次函数的定义条件直接解答即可．【解答过程】解：∵y＝kx+x+k是一次函数，∴k+1≠0．故答案为：k≠﹣1．【变式2-3】已知y＝（k﹣1）x|k|+（k2﹣4）是一次函数．（1）求k的值；（2）求x＝3时，y的值；（3）当y＝0时，x的值．【解题思路】（1）直接利用一次函数的定义得出k的值即可；（2）利用（1）中所求，再利用x＝3时，求出y的值即可；（3）利用（1）中所求，再利用y＝0时，求出x的值即可．【解答过程】解：（1）由题意可得：|k|＝1，k﹣1≠0，解得：k＝﹣1；（2）当x＝3时，y＝﹣2x﹣3＝﹣9；（3）当y＝0时，0＝﹣2x﹣3，解得：x=−3 2．【题型3 正比例函数的概念】【例3】（2021春•萝北县期末）若y ＝（m +2）x +m 2﹣4是关于x 的正比例函数，则常数m ＝ 2 ．【解题思路】依据正比例函数的定义求解即可．【解答过程】解：∵y ＝（m +2）x +m 2﹣4是关于x 的正比例函数，∴m +2≠0，m 2﹣4＝0，解得：m ＝2．故答案为：2．【变式3-1】函数y ＝（k +1）x k 2是正比例函数，则常数k 的值为 1 ．【解题思路】根据正比例函数的定义可得出关于k 的方程，即可得出k 的值．【解答过程】解：k +1≠0，k 2＝1，∴k ＝1．故填1．【变式3-2】已知函数y ＝mx +25﹣m 是正比例函数，则该函数的表达式为 y ＝25x ．【解题思路】根据正比例函数的定义求解即可．【解答过程】解：由题意，得25﹣m ＝0，解得m ＝25，该函数的表达式为y ＝25x ，故答案为：y ＝25x ．【变式3-3】已知函数y ＝2x 2a +b +a +2b 是正比例函数，则a ＝23 ．【解题思路】根据正比例函数的定义进行选择即可．【解答过程】解：∵函数y ＝2x 2a +b +a +2b 是正比例函数，∴2a +b ＝1，a +2b ＝0，解得a =23，故答案为23．【例4】已知y +2与x ﹣1成正比例，且当x ＝3时，y ＝4．（1）求y 与x 之间的函数表达式；（2）当y ＝1时，求x 的值．【解题思路】（1）已知y +2与x ﹣1成正比例，即可以设y +2＝k （x ﹣1），把x ＝3，y ＝4代入即可求得k 的值，从而求得函数解析式；（2）在解析式中令y ＝1即可求得x 的值．【解答过程】解：（1）设y +2＝k （x ﹣1），把x ＝3，y ＝4代入得：4+2＝k （3﹣1） 解得：k ＝3，则函数的解析式是：y +2＝3（x ﹣1）即y ＝3x ﹣5；（2）当y ＝1时，3x ﹣5＝1．解得x ＝2．【变式4-1】已知y ﹣1与x +2成正比例，且x ＝﹣1时，y ＝3．（1）求y 与x 之间的关系式；（2）它的图象经过点（m ﹣1，m +1），求m 的值．【解题思路】（1）根据y ﹣1与x +2成正比例，设y ﹣1＝k （x +2），把x 与y 的值代入求出k 的值，即可确定出关系式；（2）把点（m ﹣1，m +1）代入一次函数解析式求出m 的值即可．【解答过程】解：（1）根据题意：设y ﹣1＝k （x +2），把x ＝﹣1，y ＝3代入得：3﹣1＝k （﹣1+2），解得：k ＝2．则y 与x 函数关系式为y ＝2（x +2）+1＝2x +5；（2）把点（m ﹣1，m +1）代入y ＝2x +5得：m +1＝2（m ﹣1）+5解得m ＝﹣2．【变式4-2】直线AB 与x 轴交于点A （2，0），与y 轴交于点B （0，﹣4）．（1）求直线AB 的解析式．（2）若直线CD 与AB 平行，且直线CD 与y 轴的交点与B 点相距2个单位，则直线CD 的解析式为 y ＝2x ﹣2或y ＝2x ﹣6 ．【解题思路】（1）由点A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB 的解析式；（2）找出在y 轴上与B 点相距2个单位的点的坐标，再结合直线CD 与AB 平行，即可得出直线CD 的解析式．【解答过程】解：（1）设直线AB 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），将点A （2，0）、B （0，﹣4）代入y ＝kx +b 中，{2k +b =0b =−4，解得：{k =2b =−4，∴直线AB 的解析式为y ＝2x ﹣4．（2）在y 轴上与B 点相距2个单位的点的坐标为（0，﹣2）或（0，﹣6）．又∵直线CD 与AB 平行，∴直线CD 的解析式为y ＝2x ﹣2或y ＝2x ﹣6．故答案为：y ＝2x ﹣2或y ＝2x ﹣6．【变式4-3】已知一次函数y ＝kx +b ，当x ＝2时y 的值是﹣1，当x ＝﹣1时y 的值是5．（1）求此一次函数的解析式；（2）若点P （m ，n ）是此函数图象上的一点，﹣3≤m ≤2，求n 的最大值．【解题思路】（1）把x ＝2，y ＝﹣1代入函数y ＝kx +b ，得出方程组，求出方程组的解即可；（2）根据函数的性质得出m ＝﹣3时n 最大，代入求出即可．【解答过程】解：（1）依题意得：{2k +b =−1−k +b =5，解得：{k =−2b =3.，所以一次函数的解析式是y ＝﹣2x +3；（2）∵由（1）可得，y ＝﹣2x +3，∴k ＝﹣2＜0，y 随x 的增大而减小，又∵点P （m ，n ） 是此函数图象上的一点，﹣3≤m ≤2，∴把m ＝﹣3代入得出n 的最大值是﹣2×（﹣3）+3＝9，即n 的最大值是9．【题型5 用待定系数法求正比例函数解析式】【例5】（2020秋•青山区期中）已知正比例函数过点A （2，﹣4），点P 在此正比例函数的图象上，若坐标轴上有一点B （0，4）且三角形ABP 的面积为8．求：（1）过点A 的正比例函数关系式；（2）点P 的坐标．【解题思路】（1）设正比例函数的解析式为y ＝kx （k ≠0），再把A （2，﹣4）代入即可求出k 的值；（2）设出P 点坐标，再分x ＜0与x ＞0两种情况进行讨论．【解答过程】解：（1）设正比例函数为y＝kx（k≠0），∵A（2，﹣4），∴﹣4＝2k，解得k＝﹣2，∴正比例函数的解析式为：y＝﹣2x．（2）设P（x，﹣2x）如图1所示，当x＜0时，S△ABP＝S△PBO+S△ABO＝﹣4x÷2+4×2÷2＝8，解得x＝﹣2，∴P（﹣2，4）；②如图2所示，当x＞0时S△ABP＝S△PBO﹣S△ABO＝4x÷2﹣4×2÷2＝8，解得x＝6．∴P（6，﹣12）．综上所述，P点坐标为（﹣2，4），（6，﹣12）．【变式5-1】已知函数y＝mx+25﹣m是正比例函数，则该函数的表达式为y＝25x．【解题思路】根据正比例函数的定义求解即可．【解过程答】解：由题意，得25﹣m＝0，解得m＝25，该函数的表达式为y＝25x，故答案为：y＝25x．【变式5-2】若y＝y1+y2且y1与x成正比例，y2与（x﹣3）成正比例，当x＝1时y＝3，当x＝﹣1时y＝9，当x＝3时y的值．【解题思路】设y1＝ax，y2＝k（x﹣3），由当x＝1时y＝3，当x＝﹣1时y＝9可得关于a、k的两个等式，联立方程组即可求出a，k，得出y关于x的函数关系式，再把x＝3代入，求解即可．【解答过程】解：设y1＝ax，y2＝k（x﹣3），∴y＝ax+k（x﹣3）．由当x ＝1时y ＝3，当x ＝﹣1时y ＝9可得，{3=a +k(1−3)9=−a +k(−1−3)，解得：{a =−1k =−2，∴y 与x 之间的关系式为：y ＝﹣x ﹣2（x ﹣3），即y ＝﹣3x +6；∴当x ＝3时，y ＝﹣3×3+6＝﹣3．【变式5-3】已知一个正比例函数和一个一次函数的图象交于点P （﹣2，2），且一次函数的图象与y 轴相交于点Q （0，4）．（1）求这两个函数的解析式．（2）在同一坐标系内，分别画出这两个函数的图象．（3）求出△POQ 的面积．【解题思路】（1）设正比例函数解析式为y ＝mx ，一次函数解析式为y ＝nx +4，将（﹣2，2）代入可得出两个解析式．（2）运用两点法确定直线所在的位置．（3）面积=12|OQ |•|P 横坐标|，由此可得出面积．【解答过程】解：设正比例函数解析式为y ＝mx ，一次函数解析式为y ＝nx +4， 将（﹣2，2）代入可得2＝﹣2m ，2＝﹣2n +4，解得：m ＝﹣1，n ＝1，∴函数解析式为：y ＝﹣x ；y ＝x +4．（2）根据过点（﹣2.2）及（0，4）可画出一次函数图象，根据（0，0）及（﹣2，2）可画出正比例函数图象．（3）面积=12|OQ |•|P 横坐标|=12×2×4＝4．【题型6 一次函数解析式与三角形面积问题】【例6】（2021春•赣州期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AC 与直线AB 交y 轴于点A ，直线AC 与x 轴交于点C ，直线AB 与x 轴交于点B ，已知A （0，4），B （2，0）．（1）求直线AB 的解析式；（2）若S △ABC ＝12，求点C 的坐标．【解题思路】（1）利用待定系数法求直线AB 的关系式；（2）根据S △ABC ＝12，可求出OC ，进而确定点C 坐标．【解答过程】解：（1）设直线AB 的关系式为y ＝kx +b ，将A （0，4），B （2，0）代入得，b ＝4，2k +b ＝0，即k ＝﹣2，b ＝4，∴直线AB 的关系式为y ＝﹣2x +4；（2）∵S △ABC ＝12，∴12BC •OA ＝12，又∵OA ＝4，OB ＝2，∴BC ＝6，∴OC ＝BC ﹣OB ＝6﹣2＝4，∴点C （﹣4，0）．【变式6-1】（2021春•阿荣旗期末）已知：一次函数的图象与x 轴交于点A （1，0），与y 轴交于点B （0，﹣2）．（1）求一次函数的解析式；（2）若直线AB 上的有一点C ，且S △BOC ＝2，求点C 的坐标．【解题思路】（1）设直线AB 的解析式为y ＝kx +b ，将点A （1，0）、点B （0，﹣2）分别代入解析式即可组成方程组，从而得到AB 的解析式；（2）设点C 的坐标为（x ，y ），根据三角形面积公式以及S △BOC ＝2求出C 的横坐标，再代入直线即可求出y 的值，从而得到其坐标．【解答过程】解：（1）设直线AB 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），∵直线AB 过点A （1，0）、点B （0，﹣2），∴{k +b =0b =−2，解得{k =2b =−2，∴直线AB 的解析式为y ＝2x ﹣2．（2）设点C 的坐标为（x ，y ），∵S △BOC ＝2，∴12•2•|x |＝2，解得x ＝±2，∴y ＝2×2﹣2＝2或y ＝2×（﹣2）﹣2＝﹣6，∴点C 的坐标是（2，2）或（﹣2，﹣6）．【变式6-2】（2020秋•泰兴市期末）如图，已知一次函数y ＝kx +b 的图象经过A （﹣2，﹣1），B （1，3）两点，并且交x 轴于点C ，交y 轴于点D ．（1）求该一次函数的表达式；（2）求△AOB 的面积．【解题思路】（1）先把A 点和B 点坐标代入y ＝kx +b 得到关于k 、b 的方程组，解方程组得到k 、b 的值，从而得到一次函数的解析式；（2）先确定D 点坐标，然后根据三角形面积公式和△AOB 的面积＝S △AOD +S △BOD 进行计算．【解答过程】解：（1）把A （﹣2，﹣1），B （1，3）代入y ＝kx +b 得{−2k +b =−1k +b =3，解得{k =43b =53．所以一次函数解析式为y =43x +53；（2）把x ＝0代入y =43x +53，得y =53，所以D 点坐标为（0，53），所以△AOB 的面积＝S △AOD +S △BOD=12×53×2+12×53×1=52．【变式6-3】（2021春•雄县期末）如图，直线l 1经过点A （0，2）和C （6，﹣2），点B 的坐标为（4，2），点P 是线段AB 上的动点（点P 不与点A 重合）．直线l 2：y ＝kx +2k 经过点P ，并与l 1交于点M ，过点P 作PN ⊥l 2，交l 1于点N ．（1）求l 1的函数表达式；（2）当k =49时，①求点M 的坐标；②求S △APM ．【解题思路】（1）设l 1的函数表达式为y ＝k 1x +b （k ≠0），把点A 与点C 的坐标代入即可求出l 1函数表达式；（2）①把k 的值代入求出l 2表达式，与l 1联立方程组求解，即可得到点M 的坐标； ②把y ＝2代入l 2求出x 的值，得到点P 的坐标，求出点M 到AP 的距离，即可求出△APM 的面积．【解答过程】解：（1）设l 1的函数表达式为y ＝k 1x +b （k ≠0）， 将点A （0，2）和C （6，﹣2）代入得：{b =26k 1+b =−2，解得{k 1=−23b =2， ∴l 1的表达式为y =−23x +2；（2）①当k =49时， l 2的表达式为y =49x +89， 联立得：{y =−23x +2y =49x +89，解得{x =1y =43，则交点M （1，43）；②当y ＝2时，有2=49x +89， 解得：x =52，∴P （52，2），∴点M 到直线AP 的距离是2−43=23， ∴S △APM =12×52×23=56。
人教版高中数学必修一《函数的应用》重难点解析(含答案)
人教版数学必修一第三章《函数的应用》重难点解析第三章 课文目录 3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用重点：1．通过用“二分法”求方程近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系,初步形成用函数观点处理问题的意识.2．认识指数函数、对数函数、幂函数等 函数模型的增长差异,体会直线上升、指数爆炸、对数增长的差异. 难点：1．在利用“二分法”求方程近似解的过程中，对给定精确度的近似解的计算. 2．如何选择适当的函数模型分析和解决 实际问题.一、方程的根和函数的零点1．函数的零点给出三个具体函数的图象——设置问题研究情景，通过对函数图像的观察，归纳出结论：一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根，就是相应的二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴的交点的横坐标。
我们把使()0=x f 的实数x 叫做函数()x f y =的零点。
注意函数的零点与方程的根间的联系和区别，二者不能混为一谈。
例1 函数322--=x x y 的零点是（ ）A ．31=-=x x 或B ．()()030,1，或-C ．31-==x x 或D ．()()030,1，或- 函数的零点与方程的根——形数的结合的典范。
利用学生熟悉的二次函数的图象和性质，为理解函数的零点提供直观认识，为判定零点是否存在和求零点提供支持，使函数零点的求解与函数的变化建立联系。
为判断方程()0=x f 实数根的个数，只需观察函数()x f y =的图象与x 轴交点的个数——方程根的研究转化为函数零点的研究。
例2 判断方程062ln =-+x x 实根的个数。
2．函数零点存在的判定引导学生观察图象连续的函数的变化情况，让学生通过连续的函数值的变化情况认识到：当函数值由正变为负时必定经过一个零点； 当函数值由负变为正时必定经过一个零点。
由此概括得到函数零点存在的判定方法。
如果函数()x f y =在区间[]b a ,上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0<⋅b f a f ，那么，函数()x f y =在区间()b a ,内有零点，即存在()b a c ,∈，使得()0=c f ，这个c 也就是方程()0=x f 的根。
第01章 集合与函数的概念章末重难点题型(举一反三)-2019-2020学年高一数学必修一举一反三
姓名，年级：时间：第一章集合与函数的概念章末重难点题型【举一反三系列】【考查角度1 集合中元素的个数】【考情分析】给定一个或多个集合和一些限制条件，求出其中某个特定集合中元素的个数,一般为选择题难度不大。
【考法解读】结合题设条件，利用枚举法列举出所有元素，剔除重复元素即可确定集合中元素的个数.【例1】(2019春•衡水校级月考）已知集合A＝{0，1,2，3}，集合B＝{(x，y)｜x∈A，y ∈A，x≠y，x+y∈A｝,则B中所含元素的个数为( ）A．3 B．6 C．8 D．10【分析】通过x的取值,确定y的取值，推出B中所含元素的个数．【答案】解：当x＝0时，y＝1，2,3;满足集合B．当x＝1时，y＝0,2；满足集合B．当x＝2时,y＝0，1；满足集合B．当x＝3时，y＝0．满足集合B．共有8个元素．故选:C．【点睛】本题考查集合的基本运算,元素与集合的关系，考查计算能力．【变式1—1】（2019•嘉兴模拟）若集合A＝｛1，2，3｝,B＝｛（x,y）|x+y﹣4＞0，x，y∈A｝，则集合B中的元素个数为（）A．9 B．6 C．4 D．3【分析】通过列举可得x，y∈A的数对共9对,再寻找符合题意的（x，y）,即为集合B中的元素个数．【答案】解：通过列举，可知x,y∈A的数对共9对,即（1，1），(1,2)，(1，3），（2，1），（2，2）,（2,3），(3，1），（3，2），（3，3）共9种，∵B＝｛（x，y)|x+y﹣4＞0，x,y∈A}，∴易得(2，3),（3，2)，（3，3)满足x+y﹣4＞0，∴集合B中的元素个数共3个．故选:D．【点睛】列举题目中的几种不同情况，注意做到不重不漏,考查学生的分析能力，属于基础题．【变式1-2】（2019秋•湖北校级月考）已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)丨x ∈A，y∈A，｜x﹣y｜∈A｝，则B中所含元素的个数为（）A．6 B．12 C．16 D．20【分析】依题意,x∈A,y∈A，｜x﹣y|∈A，可求得集合B的元素个数,从而可得答案．【答案】解:∵A＝{1，2，3,4，5},B＝{(x,y)|x∈A，y∈A，｜x﹣y｜∈A},∴当｜x﹣y|＝1时，（1，2），（2，3)，（3，4)，（4，5），(2,1），(3，2），(4，3）,（5，4）;当|x﹣y|＝2时，（1，3），（2，4）,（3，5），（3，1)，(4，2)，(5，3）；当|x﹣y|＝3时，(1，4），（2,5）,（4，1)，(5，2），当｜x﹣y|＝4时，(1，5）,（5，1)B＝{（x,y)丨x∈A，y∈A,|x﹣y|∈A｝,中元素的个数是20个．故选：D．【点睛】本题考查集合中元素个数的最值，理解题意是关键，考查排列组合的应用，考查分析运算能力，属于中档题．【变式1-3】（2019秋•沙坪坝区校级月考）已知A＝{1,2，3}，B＝{2,3，4,5},D＝｛(x，y）|x∈A∩B,y∈A∪B｝,则D中所含元素个数为（）A．8 B．10 C．16 D．25【分析】求出A与B的交集,确定出x,求出A与B的并集，确定出y，即可确定出D，做出判断．【答案】解：∵A＝{1,2，3｝,B＝{2，3，4,5｝，∴A∩B＝{2,3}，A∪B＝｛1,2，3,4，5｝，∵D＝{(x,y）｜x∈A∩B,y∈A∪B｝，则D中所含元素为（2，1）；（2，2）；（2,3）；(2，4）;（2，5）;（3，1）；（3，2)；（3,3）;（3，4）；（3，5)个数为10．故选：B．【点睛】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．【考查角度2 判断集合间的关系】【考情分析】给定两个集合，考查两个集合间的包含、相等关系，这类试题难度很小，一般为送分题.【考法解读】认真分析两集合中的元素,结合集合间的包含、相等的定义即可获解.【例2】(2019春•和平区校级月考）已知集合M＝｛x|（x﹣1)(x﹣2）≤0｝，N＝｛x｜x ＞0}，则( ）A．N⊆M B．M⊆N C．M∩N＝∅D．M∪N＝R【分析】利用集合的子集真子集关系，集合的基本运算可得正确选项．【答案】解：已知集合M＝｛x|（x﹣1)(x﹣2）≤0｝＝｛x|1≤x≤2｝，N＝{x｜x＞0}，则由集合的运算和集合的关系可得:M⊆N，B正确;故选:B．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，集合间的关系，比较基础．【变式2-1】已知集合M＝{x|x＝+,k∈Z｝，N＝｛x｜x＝+，k∈Z｝,则（) A．M＝N B．M⫋N C．N⫋M D．M∩N＝∅【分析】将集合M，N中的表达式形式改为一致，由N的元素都是M的元素，即可得出结论．【答案】解：M＝｛x|x＝+，k∈Z}＝{x｜，k∈Z｝,N＝{x|x＝+,k∈Z}＝｛x|,k∈Z}，∵k+2（k∈Z)为整数，而2k+1(k∈Z）为奇数，∴集合M、N的关系为N⊊M．故选：C．【点睛】本题考查集合的关系判断，考查学生分析解决问题的能力，属基础题．【变式2-2】（2018秋•安庆期中)下列各组集合中,表示同一集合的是（）A．M＝｛(3,2）}，N＝｛(2,3）｝B．M＝｛3,2｝，N＝{2,3｝C．M＝{（x,y）｜x+y＝1}，N＝{y|x+y＝1｝D．M＝｛1，2}，N＝｛（1，2）}【分析】根据题意，结合集合相等的意义，即其中的元素完全相同；依次分析选项，A中：M、N都是点集，但(2，3）与（3，2）是不同的点，则M、N是不同的集合，B中:M、N都是数集，都表示2，3两个数,是同一个集合,对于C:M是点集,而N是数集，则M、N是不同的集合，D中：M是数集，N是点集，则M、N是不同的集合,综合可得答案．【答案】解：根据集合的定义，依次分析选项可得：对于A：M、N都是点集，（2，3）与（3，2）是不同的点，则M、N是不同的集合，故不符合;对于B:M、N都是数集,都表示2，3两个数，是同一个集合，符合要求；对于C：M是点集，表示直线x+y＝1上所有的点,而N是数集,表示函数x+y＝1的值域，则M、N是不同的集合，故不符合;对于D：M是数集，表示1，2两个数，N是点集,则M、N是不同的集合，故不符合；故选：B．【点睛】本题考查集合的概念与集合相等的意义,解题的关键在于分析集合的意义，认清集合中元素的性质．【变式2-3】（2018秋•张家口期末）设集合P＝｛y|y＝x2+1），M＝｛x｜y＝x2+1}，则集合M与集合P的关系是（)A．M＝P B．P∈M C．M⊊P D．P⊊M【分析】由函数的定义域及值域得:P＝，M＝R，即P⊊M，得解【答案】解：因为y＝x2+1≥1，即P＝，M＝｛x|y＝x2+1｝＝R，所以P⊊M,故选：D．【点睛】本题考查了集合的表示及函数的定义域及值域，属简单题【考查角度3 集合间的运算】【考情分析】给你两个集合，考查两集合间的交、并、补或它们的综合运算的结果，这是高考中考查集合的最常见形式。
高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解
必修一函数性质及题型分析例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f例2 已知221)1(xx x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式例5 设,)1(2)()(x xf x f x f =-满足求)(x f例6 设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,11)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式 例7 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f2（1） ()x 已知f 的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。
（2） (21)x x 已知f －的定义域是[-1,3],求f()的定义域四．六．函数的周期性：1．（定义）若⇔≠=+)0)(()(T x f T x f )(x f 是周期函数，T 是它的一个周期。
说明：nT 也是)(x f 的周期（推广）若)()(b x f a x f +=+，则)(x f 是周期函数，a b -是它的一个周期2．若)()(x f a x f -=+；)(1)(x f a x f =+；)(1)(x f a x f -=+；则)(x f 周期是2a]2,0[∈x 时22)(x x x f -=⑴求证：)(x f 是周期函数；⑵当]4,2[∈x 时，求)(x f 的解析式； ⑶计算：七、单调性奇偶性综合1、(2014·安徽)若函数f(x)(x ∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝⎩⎨⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ， 1＜x ≤2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝________.5162、已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x －4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，则( ) A ．f(－25)＜f(11)＜f(80) B ．f(80)＜f(11)＜f(－25) C ．f(11)＜f(80)＜f(－25) D ．f(－25)＜f(80)＜f(11)3、已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，则满足不等式f(2x －1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53成立的x 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，43 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，43 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，434、(2015·湖北省襄阳市高三第一次调研)设f(x)为奇函数且在(－∞，0)内是增函数，f(－2)＝0，则xf(x)>0的解集为( )A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0，2)C ．(－2，0)∪(2，＋∞)D ．(－2，0)∪(0，2)5、(2014·课标Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x －1)>0，则x 的取值范围是_________．(－1，3)．6、(2014·全国大纲)奇函数f(x)的定义域为R ，若f(x ＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝( )A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．17、设定义在[－2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1－m)＜f(m)，则实数m 的取值范围是________________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，128、设函数f(x)＝x3＋x ，若0≤θ≤π2时，f(mcos θ)＋f(1－m)>0恒成立，求实数m 的取值(－∞，1)5.抽象函数单调性判断例：已知函数)(x f 的定义域是),0(+∞，当1>x 时，0)(>x f ，且)()()(y f x f xy f += ⑴求)1(f ，⑵证明)(x f 在定义域上是增函数⑶如果1)31(-=f ，求满足不等式)21()(--x f x f ≥2的x 的取值范围例：已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数； (2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．例：已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0. (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2.1．幂的有关概念(1)零指数幂)0(10≠=a a (2)负整数指数幂()10,n n a a n N a-*=≠∈(3)正分数指数幂()0,,,1m n m na a a m n N n *=>∈>； (5)负分数指数幂()10,,,1m nm nmnaa m n N n a a-*==>∈>(6)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2．有理数指数幂的性质()()10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈ ()()()20,,sr rs a a a r s Q =>∈ ()()()30,0,rr r ab a b a b r Q =>>∈3．根式根式的性质:当n 是奇数，则a a n n =；当n 是偶数，则⎩⎨⎧<-≥==00a aa aa a n n4．对数(1)对数的概念:如果)1,0(≠>=a a N a b ,那么b 叫做以a 为底N 的对数,记)1,0(log ≠>=a a N b a(2)对数的性质：①零与负数没有对数 ②01log =a ③1log =a a (3)对数的运算性质 logMN=logM+logN对数换底公式：)10,10,0(log log log ≠>≠>>=m m a a N aNN m m a 且且 对数的降幂公式：)10,0(log log ≠>>=a a N N mnN a n a m 且 (1) 213323121)()1.0()4()41(----⨯b a ab (2)1.0lg 10lg 5lg 2lg 125lg 8lg ⋅--+1、 指数函数y=a x 与对数函数y=log a x (a>0 , a ≠1)互为反函数名称指数函数对数函数一般形式Y=a x (a>0且a≠1) y=logax (a>0 , a≠1)定义域(-∞,+ ∞) (0,+ ∞)值域(0,+ ∞) (-∞,+ ∞)过定点（０，1）（1，０）图象指数函数y=a x与对数函数y=logax (a>0 , a≠1)图象关于y=x对称单调性a>1,在(-∞,+ ∞)上为增函数０＜a<1, 在(-∞,+ ∞)上为减函数a>1,在(0,+ ∞)上为增函数０＜a<1, 在(0,+ ∞)上为减函数值分布y>1 ? y<1? y>0? y<0?2. 比较两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理）记住下列特殊值为底数的函数图象：3、研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制4、指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论1、（1）)35lg(lg xxy-+=的定义域为_______；（2）312-=xy的值域为_________；（3）)lg(2xxy+-=的递增区间为___________，值域为___________2、（1）041log212≤-x，则________∈x3、要使函数ay xx421++=在(]1,∞-∈x上0>y恒成立。
高一数学必修一经典题型举一反三(新课标)——第一章 集合与函数的概念单元测试(二)【解析版】
高一数学必修一经典题型举一反三（新课标）第一章集合与函数的概念单元测试（二）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）（2018秋•三明期中）已知集合A＝{12，a2+4a，a﹣2}，且﹣3∈A，则a＝（）A．﹣1 B．﹣3或﹣1 C．3 D．﹣3【思路分析】由集合A＝{12，a2+4a，a﹣2}，且﹣3∈A，得a2+4a＝﹣3或a﹣2＝﹣3，由此能求出结果．【答案】解：∵集合A＝{12，a2+4a，a﹣2}，且﹣3∈A，∴a2+4a＝﹣3或a﹣2＝﹣3，解得a＝﹣1，或a＝﹣3，当a＝﹣1时，A＝{12，﹣3，﹣3}，不合题意，当a＝﹣3时，A＝{12，﹣3，﹣5}，符合题意．综上，a＝﹣3．故选：D．【点睛】本题考查实数值的求法，考查元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）（2018秋•沙河口区校级期中）已知全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，集合A＝{x|x （x2﹣1）＝0}，集合B＝{x|x∈N|x2≤9}，则（∁U A）∩B＝（）A．{﹣3，﹣2，2，3} B．{2，3}C．{1，2，3} D．{0，1，2，3}【思路分析】求出集合A，B的等价条件，结合补集交集的定义进行求解即可．【答案】解：A＝{x|x（x2﹣1）＝0}＝{0，1，﹣1}，B＝{x|x∈N|x2≤9}＝{0，1，2，3}，则∁U A＝{x|x≠0，1，﹣1}，则（∁U A）∩B＝{2，3}，故选：B．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，结合交集补集的定义是解决本题的关键．3．（5分）（2018秋•赣州期中）图中的阴影表示的集合是（）A．（∁U A）∩B B．（∁U B）∩B C．∁U（A∩B）D．∁U（A∪B）【思路分析】根据阴影部分集合元素的特点确定集合的关系．【答案】解：由图象可知，阴影部分的元素是由属于集合B，但不属于集合A的元素构成，则对应的集合为（∁U A）∩B．故选：A．【点睛】本题主要考查集合关系的判断，利用Venn图是解决此类问题的基本方法，比较基础．4．（5分）（2019春•湖北期中）已知A＝{x|（x﹣a+1）（x﹣a）＞0}，＞，若B是A的真子集，则a的取值范围为（）A．a≤﹣2 B．a≤﹣2或a≥2C．a≥2D．﹣2≤a≤1【思路分析】分别求出集合A和B，利用真子集性质能求出a的取值范围．【答案】解：A＝{x|（x﹣a+1）（x﹣a）＞0}＝{x|x＜a﹣1或x＞a}，＞{x|﹣2＜x＜1}，B是A的真子集，∴a≤﹣2或a﹣1≥1，解得a≤﹣2或a≥2，∴a的取值范围是a≤﹣2或a≥2．故选：B．【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查真子集定义、不等式性质等基础知识，是基础题．5．（5分）（2018秋•福安市校级期中）下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．f（x）＝x2，g（x）＝x3B．f（x），g（x）＝（）2C．f（x），g（x）＝xD．f（x）＝|x|，g（x），，＜【思路分析】根据解析式不同即可判断选项A，B的两函数都不是同一函数，而根据定义域不同即可判断选项C的两函数不是同一函数，只能选D．【答案】解：A．f（x）＝x2，g（x）＝x3，解析式不同，不是同一函数；B.，，解析式不同，不是同一函数；C.的定义域为{x|x≠0}，g（x）＝x的定义域为R，定义域不同，不是同一函数；D.＜，＜，解析式和定义域都相同，表示同一函数．故选：D．【点睛】考查函数的定义，判断两函数是否为同一函数的方法：看定义域和解析式是否都相同．6．（5分）（2018秋•定远县期中）已知函数y＝f（x）的图象关于直线x＝﹣1对称，且当x∈（0，+∞）时，有f（x），当x∈（﹣∞，﹣2）时，f（x）的解析式为（）A．f（x）B．f（x）C．f（x）D．f（x）【思路分析】画出满足条件的函数的图象，集合图象求出函数的解析式即可．【答案】解：如图示：，显然f（x），关于x＝﹣1对称的f（x）的解析式是f（x），故选：D．【点睛】本题考查了求函数的解析式问题，考查数形结合思想，是一道基础题．7．（5分）（2018秋•九龙坡区校级期中）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f （x）﹣g（x）＝x3+x2+2，则f（1）+g（1）＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【思路分析】根据f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数可得f（1）+g（1）＝f（﹣1）﹣g（﹣1）．【答案】解：根据f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数可得：f（1）+g（1）＝f（﹣1）﹣g（﹣1）＝（﹣1）3+（﹣1）2+2＝2．故选：D．【点睛】本题考查了函数奇偶性的性质与判断，属中档题．8．（5分）（2019春•九台区期中）若f（x）是偶函数且在（0，+∞）上减函数，又f（﹣3）＝1，则不等式f（x）＜1的解集为（）A．{x|x＞3或﹣3＜x＜0} B．{x|x＜﹣3或0＜x＜3}C．{x|x＜﹣3或x＞3} D．{x|﹣3＜x＜0或0＜x＜3}【思路分析】利用f（x）是偶函数，f（﹣3）＝1，不等式转化为f（|x|）＜f（3），再利用函数的单调性，即可求得结论．【答案】解：∵f（x）是偶函数，f（﹣3）＝1，∴f（3）＝1∵f（x）＜1∴f（|x|）＜f（3）∵f（x）在（0，+∞）上减函数，∴|x|＞3∴x|x＜﹣3或x＞3∴不等式f（x）＜1的解集为{x|x＜﹣3或x＞3}故选：C．【点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键．9．（5分）（2018秋•会宁县校级期中）已知f（x），，＜则不等式x+（x+2）•f（x+2）≤5的解集是（）A．[﹣2，1] B．（﹣∞，﹣2] C．，D．，【思路分析】由题意可得，①当x+2≥0时，f（x+2）＝1，代入所求不等式可求x，②当x+2＜0即x＜﹣2时，f（x+2）＝﹣1，代入所求不等式可求x，从而可得原不等式的解集【答案】解：①当x+2≥0时，即x≥﹣2，f（x+2）＝1由x+（x+2）•f（x+2）≤5可得x+x+2≤5∴x即﹣2≤x当x+2＜0即x＜﹣2时，f（x+2）＝﹣1由x+（x+2）•f（x+2）≤5可得x﹣（x+2）≤5即﹣2≤5∴x＜﹣2综上，不等式的解集为{x|x}故选：D．【点睛】本题主要考查了一次不等式的解法的应用，解题的关键是对已知的x进行分类讨论以确定f（x+2）的解析式10．（5分）（2018秋•大武口区校级月考）设P，Q是两个集合，定义集合P﹣Q＝{x|x∈P，x∉Q}为P，Q 的“差集”，已知＜，Q＝{x||x﹣2|＜1}，那么Q﹣P等于（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|0＜x≤1}C．{x|1≤x＜2} D．{x|2≤x＜3}【思路分析】先解出集合P，Q，根据集合P﹣Q的定义即可求出Q﹣P．【答案】解：解＜得，0＜x＜2；∴P＝{x|0＜x＜2}，且Q＝{x|1＜x＜3}；∴Q﹣P＝{x∈Q，x∉P}＝{x|2≤x＜3}．故选：D．【点睛】考查对差集定义的理解，描述法表示集合的定义及表示形式，元素与集合的关系．11．（5分）（2018秋•五华区校级期中）若函数，＜，满足对任意实数x1≠x2，都有＞成立，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．1≤a＜3 C．＜D．a＜3【思路分析】可根据对任意实数x1≠x2，都有＞成立，得出f（x）在R上单调递增，从而得出＞，解出a的范围即可．【答案】解：∵对任意实数x1≠x2，都有＞成立；∴f（x）在R上是增函数；∴＞；解得＜．故选：C．【点睛】考查增函数的定义，以及一次函数和二次函数的单调性，分段函数的单调性．12．（5分）（2019秋•安阳期中）已知函数f（x）的值域为，，则函数的值域为（）A．，B．，C．，D．，，【思路分析】利用换元法转化为二次函数问题即可求解值域．【答案】解：设，则f（x），f（x）∈，，∴2≥t．则，函数g（t）的对称轴t＝1，当t＝1时，g（t）取得最大值为1，当t＝2时，g（t）取得最小值为，∴函数的值域是[，1]故选：B．【点睛】本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2019春•海安县校级月考）已知函数f（x）＝x2﹣2x在区间[﹣1，t]上的最大值为3，则实数t的取值范围是（﹣1，3]．【思路分析】根据题意，求出f（x）的对称轴，分析其开口方向，又由f（﹣1）＝f（3）＝3，结合二次函数的性质分析可得答案．【答案】解：根据题意，函数f（x）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，其对称轴为x＝1，开口向上，又由f（﹣1）＝f（3）＝3，若f（x）在区间[﹣1，t]上的最大值为3，则有﹣1＜t≤3，即实数t的取值范围是（﹣1，3]；故答案为：（﹣1，3]．【点睛】本题考查二次函数的性质以及应用，涉及二次函数的最值，属于基础题．14．（5分）（2018秋•香坊区校级月考）已知M＝{a﹣3，2a﹣1，a2+1}，N＝{﹣2，4a﹣3，3a﹣1}，若M ＝N，则实数a的值为1．【思路分析】根据M＝N即可得出a﹣3＝﹣2，或2a﹣1＝﹣2，然后分别求出a，验证是否满足M＝N即可得出a的值．【答案】解：∵M＝N；∴a﹣3＝﹣2时，a＝1，M＝{﹣2，1，2}，N＝{﹣2，1，2}，满足M＝N；2a﹣1＝﹣2时，a，M＝{，﹣2，}，N＝{﹣2，﹣5，}，不满M＝N；∴a＝1．故答案为：1．【点睛】考查列举法的定义，元素与集合的关系，以及集合相等的概念．15．（5分）（2019春•海安县校级月考）已知函数f（x）的定义域为（﹣2，2），函数g（x）＝f（x﹣1）+f（3﹣2x）的定义域为（，）．【思路分析】利用复合函数的定义域求法，结合函数f（x）的定义域为（﹣2，2），求g（x）的定义域即可．【答案】解：∵函数f（x）的定义域为（﹣2，2），要使函数g（x）＝f（x﹣1）+f（3﹣2x）的解析式有意义，则＜＜＜＜，解得：＜＜．∴函数g（x）的定义域为（，）．故答案为：（，）．【点睛】本题主要考查复合函数定义域的求法，要求熟练掌握复合函数变量之间的关系即可，是基础题．16．（5分）（2019春•杨浦区校级期末）设A，B是实数集R的两个子集，对于x∈R，定义：m ，∉，，n ，∉，，若对任意x∈R，m+n＝1，则A，B，R满足的关系式为A＝∁R B；或B＝∁R A；．【思路分析】对任意x∈R，m+n＝1，则m，n的值一个为0，另一个为1，可得：x∈A时，必有x∉B，或x ∈B时，必有x∉A，即可得出A，B的关系．【答案】解：对任意x∈R，m+n＝1，则m，n的值一个为0，另一个为1，可得：x∈A时，必有x∉B，或x∈B时，必有x∉A，即可得出A，B，R满足的关系式为：A＝∁R B；或B＝∁R A；故答案为：A＝∁R B；或B＝∁R A；【点睛】本题考查集合的补集，属于基础题．三．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2018秋•东城区期末）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣x﹣12≤0}，非空集合B＝{x|m﹣1≤x≤2m+3}．（Ⅰ）求当m＝﹣3时，∁U（A∪B）；（Ⅱ）若B⊆A，求实数m的取值范围．【思路分析】（Ⅰ）求出集合A，B的等价条件，结合并集，补集的定义进行求解即可（Ⅱ）根据B⊆A，建立不等式关系进行求解即可【答案】解：（Ⅰ）A＝{x|x2﹣x﹣12≤0}＝{x|﹣3≤x≤4}，当m＝﹣3时，B＝{x|﹣4≤x≤﹣3}．则A∪B＝{x|﹣4≤x≤4}，∁U（A∪B）＝{x|x＞4或x＜﹣4}．（Ⅱ）若B⊆A，则，得，即﹣2≤m，即实数m的取值范围是[﹣2，]．【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及基本关系的应用，求出集合的等价条件是解决本题的关键．18．（12分）（2018秋•太湖县校级期中）已知函数f（x）＝x2﹣1，g（x），，＜．（1）求f（g（2）和g（f（2））的值；（2）求f（g（x））和g（f（x））的解析式．【思路分析】（1）直接代解析式；（2）求f（g（x））时，按照x≥0和x＜0两种情况讨论；求g（f（x））时，按照f（x）≥0和f（x）＜0两种情况讨论．【答案】解：（1）f（g（2））＝f（2﹣1）＝f（1）＝1﹣1＝0；g（f（2））＝g（22﹣1）＝g（3）＝3﹣1＝2；（2）当x≥0时，g（x）＝x﹣1，f（g（x））＝f（x﹣1）＝（x﹣1）2﹣1＝x2﹣2x；当x＜0时，g（x）＝2﹣x，f（g（x））＝f（2﹣x）＝（2﹣x）2﹣1＝x2﹣4x+3；∴f（g（x））＜，当f（x）＝x2﹣1≥0，即x≤﹣1或x≥1时，g（f（x））＝g（x2﹣1）＝x2﹣1﹣1＝x2﹣2；当f（x）＝x2﹣1＜0，即﹣1＜x＜1时，g（f（x））＝g（x2﹣1）＝2﹣（x2﹣1）＝3﹣x2，∴g（f（x））或＜＜．【点睛】本题考查了函数解析式的求解方法．属中档题．19．（12分）（2019春•福州期中）已知关于x的不等式[ax﹣（a﹣2）]•（x+1）＞0的解集为集合P．（1）当a＞0时，求集合P；（2）若{x|﹣3＜x＜﹣1}⊆P，求实数a的取值范围．【思路分析】本题考查的是集合元素的分布以及集合与集合间的运算问题．（1）当a＞0时，在解答时可先讨论a，根据[ax﹣（a﹣2）]•（x+1）＞0求解集合P，（2）若{x|﹣3＜x＜﹣1}⊆P，由集合间的关系讨论a解得a的范围即可．【答案】解：（1）当a＞0时，关于x的一元二次方程[ax﹣（a﹣2）]•（x+1）＝0的根为x1，x2＝﹣1，当＞1，即：a＞1时，解得：x＞或x＜﹣1，当1，即：a＝1时，解得：x≠﹣1，当＜1，即：0＜a＜1时，解得：x＜或x＞﹣1，故答案为：当a＞1时，解得：P＝{x|x＜﹣1 或x＞}当a＝1时，解得：P＝{x|x≠﹣1}，当0＜a＜1时，解得：P＝{x|x＜或x＞﹣1}，（2）方法一：当a＝0时，原不等式可化为2（x+1）＞0，解得：x＞﹣1，即：P＝{x|x＞﹣1}，当a＜0时，解得：﹣1＜x＜，即：P＝{x|﹣1＜x＜}，当0＜a＜1时，解得：x＜或x＞﹣1，即：P＝{x|x＜或x＞﹣1}，当a＞1时，解得：P＝{x|x＜﹣1 或x＞}当a＝1时，解得：P＝{x|x≠﹣1}，∵{x|﹣3＜x＜﹣1}⊆P，则：a≥1成立；∴实数a的取值范围为：[1，+∞）．方法二：∵{x|﹣3＜x＜﹣1}⊆P则当x∈{x|﹣3＜x＜﹣1}时，原不等式可化为ax﹣（a﹣2）＜0恒成立，解得：a≥1∴实数a的取值范围为：[1，+∞）．【点睛】本题考查的是集合元素的分布以及集合与集合间的运算问题．在解答的过程中要仔细体会集合运算的特点、几何元素的特点、分类讨论的思想以及问题转化的思想在题目当中的应用．此题属于集运算与不等式于一体的综合问题，值得同学们认真反思和归纳，属于中档题．20．（12分）（2019春•九台区期中）已知函数f（x）是定义域为[﹣1，1]上的奇函数，且（1）求f（x）的解析式．（2）用定义证明：f（x）在[﹣1，1]上是增函数．（3）若实数t满足f（2t﹣1）+f（t﹣1）＜0，求实数t的范围．【思路分析】（1）根据题意，由奇函数的定义可得f（0）＝0，即有f（0）0，解可得b＝0，又由f （1），计算可得a的值，即可得答案；（2）设﹣1≤x1≤x2≤1，由作差法分析可得答案；（3）根据题意，原不等式变形可得，解可得t的取值范围，即可得答案．＜【答案】解：（1）根据题意，函数f（x）是定义域在（﹣1，1）上的奇函数，则f（0）＝0，即有f（0）0，解可得b＝0，则f（x），又由，则f（1），则a＝1，f（x）；（2）证明：设﹣1≤x1≤x2≤1，则f（x1）﹣f（x2），又由﹣1≤x1≤x2≤1，则x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＞0，则f（x1）＜f（x2），故f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（3）根据题意，f（2t﹣1）+f（t﹣1）＜0，即f（2t﹣1）＜﹣f（t﹣1）＝f（1﹣t），，解可得0≤t＜；则有＜即t的取值范围为[0，）．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的总应用，涉及不等式的解法，属于基础题．21．（12分）（2019春•温州期中）已知函数f（x）＝x2﹣2（a﹣1）x+4．（Ⅰ）若f（x）为偶函数，求f（x）在[﹣1，2]上的值域；（Ⅱ）若f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，求f（x）在[1，a]上的最大值．【思路分析】（Ⅰ）求出函数的对称轴，由偶函数的性质分析可得a﹣1＝0，解可得a＝1，即可得函数的解析式，由二次函数的性质分析可得答案；（Ⅱ）根据题意，由二次函数的性质分析可得a﹣1≥2，则a≥3；分析函数f（x）在区间[1，a]上的单调性，求出并比较f（1）、f（a）的值，即可得答案．【答案】解：（Ⅰ）根据题意，函数f（x）＝x2﹣2（a﹣1）x+4，为二次函数，其对称轴为x＝a﹣1，若f（x）为偶函数，则a﹣1＝0，解可得a＝1；则f（x）＝x2+4，又由﹣1≤x≤2，则有4≤f（x）≤8，即函数f（x）的值域为[4，8]；（Ⅱ）根据题意，函数f（x）＝x2﹣2（a﹣1）x+4，为二次函数，其对称轴为x＝a﹣1，若f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，则a﹣1≥2，则a≥3；又由1＜a﹣1＜a，则f（x）在区间[1，a﹣1]上递减，在[a﹣1，a]递增，且f（1）＝7﹣2a，f（a）＝﹣a2+2a+4，f（1）﹣f（a）＝（7﹣2a）﹣（﹣a2+2a+4）＝a2﹣4a+3＝（a﹣2）2﹣1，又由a≥3，则f（1）≥f（a），则f（x）在[1，a]上的最大值为f（1）＝7﹣2a．【点睛】本题考查二次函数的性质，涉及二次函数的单调性以及最值，属于基础题．22．（12分）（2019春•福田区校级期中）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a＞b＞c）的图象上有两点A（m1，f（m1）），B（m2，f（m2））（m1≠m20．函数f（x）满足f（1）＝0，且（a+f（m1））（a+f（m2））＝0．（1）求证：﹣2＜＜；（2）求证：b≥0；（3）能否保证f（m1+3）和f（m2+3）中至少有一个为正数？请证明你的结论．【思路分析】（1）由f（1）＝0，且a＞b＞c，可判断a＞0，c＜0且b＝﹣a﹣c，所以a＞﹣a﹣c＞c，从而可证明；（2）由已知可知f（m1）＝﹣a或f（m2）＝﹣a，即m1或m2是方程f（x）＝﹣a的一个实根，即ax2+bx+c+a ＝0的有根，结合二次方程的实根存在条件即可证；（3）由f（x）＝0的两根中，其中一根为1，另一根为，结合二次方程的根的存在及二次函数的单调性可证．【答案】（1）证明：f（1）＝a+b+c＝0，且a＞b＞c，所以a＞0，c＜0，因为b＝﹣a﹣c，所以a＞﹣a﹣c＞c，所以＜＜，（2）因为（a+f（m1））（a+f（m2））＝0．所以f（m1）＝﹣a或f（m2）＝﹣a，即m1或m2是方程f（x）＝﹣a的一个实根，即ax2+bx+c+a＝0的有根，所以△＝b2﹣4a（a+c）≥0，因为b＝﹣a﹣c，所以b2≥4a（a+c）＝﹣4ab，即b（b+4a）≥0，即b（3a﹣c）≥0，因为3a﹣c＞0，所以b≥0（3）设f（x）＝0的两根为x1，x2，显然其中一根为1，另一根为设f（x）＝a（x﹣1）（x），若f（m1）＝﹣a，则a（m1﹣1）（m2）＝﹣a＜0所以＜＜，所以＞＞又函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，所以f（m1+3）＞f（1）＝0．同理当f（m2）＝﹣a时，f（m2+3）＞0所以f（m1+3），f（m2+3）中至少有一个是正数．【点睛】本题主要考查了二次方程的根的存在及二次不等式的求解，二次函数性质的综合应用，属于中档试题。
高一数学重点题型及解析
高一数学重点题型及解析高一数学是学习数学的关键时期，不仅是基础知识的打好基础，也是为以后深入学习数学打下扎实的基础。
下面我们就来看一下高一数学的重点题型及解析。
一、函数与方程在高一数学中，函数与方程是一个非常重要的内容。
其中，函数的概念和性质是学习的重点之一。
学生要掌握函数的定义、函数的图像、函数的增减性以及函数的奇偶性等基本概念。
在解题中，要能够灵活运用这些概念，对函数进行分析，找到函数的最值和零点等关键点。
另外，方程也是高一数学中的一个难点，特别是一元二次方程的解法。
学生需要掌握求解一元二次方程的方法，包括因式分解、配方法、求根公式等。
在解题过程中，要注意化简方程、整理数据，确保每一步的推导都是正确的。
二、几何几何是高一数学中不可或缺的一部分。
学生需要掌握平面几何和空间几何的基本知识，包括线段、角、三角形、圆等基本图形的性质和计算方法。
在解题中，要善于运用各种几何定理，进行推导和证明，加深对几何概念的理解。
特别是在平面几何中，学生要注意构图的方法，合理利用角平分线、垂直平分线等几何工具，帮助解题。
同时，要注意几何问题与代数问题的结合，通过建立几何方程，将几何问题转化为代数问题，进行求解。
三、概率与统计概率与统计是高一数学中的另一个重要内容。
学生需要了解概率的基本概念和性质，包括事件的概率、互斥事件、独立事件等。
在解题中，要能够理解概率计算的方法，包括古典概型、几何概型、条件概率等，灵活运用这些知识，解决各种概率问题。
另外，统计也是高一数学中的一个难点。
学生需要掌握统计数据的整理、分析和表达方法，包括频数分布表、频数分布直方图、频数分布折线图等。
在解题中，要能够根据给定的数据，进行数据分析和统计推断，找到数据的规律和特点。
综上所述，高一数学的重点题型主要包括函数与方程、几何、概率与统计等内容。
在学习和解题过程中，学生需要注重理论知识的掌握和实际运用能力的培养，提高数学思维和解决问题的能力，为将来的学习打下坚实的基础。
高一数学知识点及典型题型
高一数学知识点及典型题型第一章：函数与方程本章主要介绍函数和方程的基本概念、性质以及相关的典型题型。
其中包括以下几个重点知识点：1. 函数的概念和性质函数是一种特殊的关系，它将一个自变量和一个因变量联系起来。
函数有定义域、值域和图像等重要概念。
在解题中，需要根据函数的性质进行分析，如奇偶性、单调性等。
2. 一次函数与二次函数一次函数的表达式为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
二次函数的表达式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
这两种函数在图像、性质以及解题方法上都有所不同，需要熟练掌握。
3. 指数函数与对数函数指数函数和对数函数是数学中的重要概念。
指数函数的表达式为y = a^x，其中a为底数。
对数函数的表达式为y = log_a(x)，其中a为底数。
在解题过程中，需要应用换底公式等相关知识。
4. 线性方程组线性方程组是由多个线性方程组成的方程集合。
通过解线性方程组可以求出未知数的值。
解线性方程组的方法有代入法、消元法等，需要根据实际情况选择合适的解题方法。
5. 二元一次方程组二元一次方程组是一种特殊的线性方程组，其含有两个未知数。
通过消元法、代入法或Cramer法则等方法可以解决这类方程组。
6. 二次方程与一元二次方程组二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，解二次方程可以使用公式法、配方法和因式分解法等。
一元二次方程组是由两个一元二次方程组成的方程组，解题时可以使用消元法等方法。
7. 不等式与不等式组不等式是数学中常见的关系式，解不等式可以通过绘制数轴、分析符号、利用性质等方法。
不等式组是由多个不等式组成的方程集合，解不等式组时需要考虑多个不等式的同时满足条件。
典型题型举例：1. 已知函数f(x) = 2x + 3，求f(-1)的值。
2. 解方程组：{ 2x + y = 5{ 3x - y = 13. 解不等式组：{ x + y ≥ 4{ 2x - y < 7总结：高一数学的函数与方程是后续学习的重要基础，通过熟练掌握基本概念和解题方法，可以提高数学解题的能力。
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高一数学必修一经典题型举一反三（新课标）
函数的概念重难点题型
知识链接
举一反三
【考点 1 函数的概念—图象】
【练1】设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有（）
①②③④
A．①②③④B．①②③C．②③D．②
【思路分析】利用函数的定义域与函数的值域判断函数的图象即可．
【答案】解：①图象不满足函数的定义域，不正确；
②③满足函数的定义域以及函数的值域，正确；
④不满足函数的定义，
故选：C．
【练 1.1】设集合P＝{x|0≤x≤2}，Q＝{y|0≤x≤2}，则图中能表示P到Q的函数的是（）
（1）（2）（3）（4）
A．（1）（2）（3）（4）B．（1）（3）（4）
C．（4）D．（3）
【思路分析】根据函数的定义，依据图象作出判断．
【答案】解：根据函数的定义，在定义域内的任何一个x值，都唯一对应一个y值，
故（1）、（4）正确；
（2）中定义域内的1对应了2个函数值，（3）中定义域(1，2]内的x值，没有对应的y值，故（2）、（3）。