第七节晶体振动的非简谐效应
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第七节晶体振动的非简谐效应
本节主要内容:
3.7.1 热膨胀
3.7.2 热传导
3.7.3 晶体的状态方程和热膨胀
§3.7 晶体的非简谐效应
简谐近似：
)
(0R R R
U
f -∝∂∂-=20220)(!21)(0
R R R U R U R
-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=222000
!21)()(δδδR R R U R U R U R U ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=+(1)在简谐近似的情况下，晶格原子振动可描述为3N 个线性独立的谐振子的迭加，各振子间不发生作用，也不交换能量；
(2)晶体中某种声子一旦产生，其数目就一直保持不变，既不能把能量传递给其他声子，也不能使自己处于热平衡状态。
用简谐近似理论不能解释晶体的热膨胀和热传导现象。晶体的非简谐效应：
⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=+333222000
00
!31!21)()(δδδδR R R R U R U R U R U R U 微扰项
声子间有
相互作用能量交换系统达到热平衡
两个声子通过非简谐项的作用，而产生第三个声子。这可以看成是两个声子的相互碰撞，最后产生第三个声子。
微扰项
声子间的相互作用遵循能量守恒和准动量守恒
123123m q q q K ωωω+=⎫
⎬
+=+⎭
碰撞前后系统准动量不变，对热流无影响。3
q x
q 1
q 2
q y
q ---正常过程( N 过程)；0m K =(1)---反常过程( U 过程)。
0m K ≠(2)3
q y
q x
q 1
q 2
q h
K 2
1q q +
3.7.1 热膨胀
热膨胀：在不施加压力的情况下，晶体体积随温度变化
的现象称为热膨胀。
假设有两个原子，一个在原点固定不动，另一个在平衡位置R 0附近作振动，离开平衡位置的位移用δ表示，势能在平衡位置附近展开：
⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=+333222000
00
!31!21)()(δδδδR R R R U R U R U R U R U 0
1.物理图象
R
0R 0
（1）简谐近似
2
22
000
!21)()(δδR
R U R U R U ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=+0
,r r A T =↑↑⇒R
U (r )
R 0
⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=+3
33222000
!31!21)()(δδδR
R R U R U R U R U 两原子间距不变，无热膨胀现象（2）非简谐效应
333222000
0!31!21)()(δδδR R R U R U R U R U ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=+
δ
+=↑↑⇒0,r r A T 两原子间距增大，有热膨胀现象。由玻尔兹曼统计，原子离开平衡位置的平均位移
⎰
⎰∞
∞
--∞
∞--=δ
δ
δδ
d e
d e
T
k u T
k u B B 2.理论计算
333222000
0!31!21)()(δδδR
R R U R U R U R U ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=+
,
0)(0=R U 取,!210
2
2c R U R =⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛∂∂令g R U R -=⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛∂∂0
33!31(c 、g 均为正常数。)
3
2
0)(δ
δδg c R U -=+⎰∞
∞
--≈δδδ
d e
B 2
T
k c ⎰
∞
∞
--δ
δd e
B T
k u (1)简谐近似：
=是δ的奇函数
0=δ在简谐近似下无热膨胀现象。
2
0δ
δc )R (U =+⎰⎰∞∞
--∞
∞--=
δ
δ
δδ
d e
d e B B T
k u T
k u
(2)非简谐效应:
⎰
∞
∞
--δ
δd e
B T
k u ⎰
∞
∞
---≈
δ
δδδd e
B 32)(T
k g c ⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭
⎫ ⎝⎛=π432
5B B /c T k T k g ⎰
∞
∞
---δ
δδd e
B 32)(T
k g c 2
1B π⎪⎭
⎫ ⎝⎛=c T k T
k c
g B 243=δ在非简谐效应下，有热膨胀现象。
3
2
0)(δ
δδg c R U -=+⎰⎰∞∞
--∞
∞--=
δ
δ
δδ
d e
d e B B T
k u T
k u 推导略