线性子空间的和与直和(课堂PPT)
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子空间的直和
又 V1 V2是 Pn的子空间， P n V1 V2 .
§6.7 子空间的直和
再证 Pn V1 V2 .
任取 V1 V2, 即 V1且 V2 . 由 V1, 必有 Pn, 使A . 由 V2 , 有A 0. 从而 A A2 A( A ) A 0.
V1 V2 0
所以 Pn V1 V2 .
（3）Vi Vj 0,i 1,2,
ji
§6.7 子空间的直和
s
, s （4）dimW dimVi
i 1
例1 每一个n 维线性空间都可以表示成 n 个一维
子空间的直和.
证：设 1, 2 , , n 是 n 维线性空间V的一组基,
则 V L(1, 2 , , n ) L(1 ) L( 2 ) L( n )
s
是唯一的，则和 Vi 就称为直和，记作
i 1
V1 V2 Vs
§6.7 子空间的直和
2、判定
设 V1,V2 , ,Vs 都是线性空间V的子空间，则下面 四个条件等价:
s
（1）W Vi 是直和
i 1
（2）零向量分解式唯一，即
1 2 s 0, i Vi , 必有 i 0, i 1, 2, , s
§6.7 子空间的直和
A(k ) kA k0 0 V2 , k V2
故 V2 是 Pn的子空间.
§6.7 子空间的直和
（2）先证 P n V1 V2 .
任取 Pn, 有 A ( A ),
其中 A V1, 又 A( A ) A A2 A A 0 A V2 . 于是有 V1 V2 . Pn V1 V2 .
§6.7 子空间的直和
2、和 V1 V2是直和 V1 V2 0.
证：“ ”
若 1 2 0, 1 V1, 2 V2 .
§6.7 子空间的直和
再证 Pn V1 V2 .
任取 V1 V2, 即 V1且 V2 . 由 V1, 必有 Pn, 使A . 由 V2 , 有A 0. 从而 A A2 A( A ) A 0.
V1 V2 0
所以 Pn V1 V2 .
（3）Vi Vj 0,i 1,2,
ji
§6.7 子空间的直和
s
, s （4）dimW dimVi
i 1
例1 每一个n 维线性空间都可以表示成 n 个一维
子空间的直和.
证：设 1, 2 , , n 是 n 维线性空间V的一组基,
则 V L(1, 2 , , n ) L(1 ) L( 2 ) L( n )
s
是唯一的，则和 Vi 就称为直和，记作
i 1
V1 V2 Vs
§6.7 子空间的直和
2、判定
设 V1,V2 , ,Vs 都是线性空间V的子空间，则下面 四个条件等价:
s
（1）W Vi 是直和
i 1
（2）零向量分解式唯一，即
1 2 s 0, i Vi , 必有 i 0, i 1, 2, , s
§6.7 子空间的直和
A(k ) kA k0 0 V2 , k V2
故 V2 是 Pn的子空间.
§6.7 子空间的直和
（2）先证 P n V1 V2 .
任取 Pn, 有 A ( A ),
其中 A V1, 又 A( A ) A A2 A A 0 A V2 . 于是有 V1 V2 . Pn V1 V2 .
§6.7 子空间的直和
2、和 V1 V2是直和 V1 V2 0.
证：“ ”
若 1 2 0, 1 V1, 2 V2 .
高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教.
V1 V2 1 2 | 1 V1 , 2 V2
定理2：如果V1 ，V2是线性空间V的两个子空
间，那么它们的和 V1＋V2也是V的子空间。
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证明：由于0∈ V1，0∈ V2 ， 0＝0＋0∈ V1＋V2 ，因而V1＋V2 是非空集合， 如果＝ 1＋ 2 ， ＝ 1＋ 2 ∈ V1＋V2， 因1＋1∈ V1、 2＋2 ∈ V2 ， 有 ＋ ＝(1＋1)＋( 2＋2) ∈V1＋ V2 k=k (1＋ 2 )= k 1＋k 2 ∈V1＋ V2 因此V1+V2 是V的子集. 有限个子空间的和
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推论2 : 和V1 V2为直和的充分必要条件是 V1 V2 0 证明 : 必要性 V1 V2 , 0 ( ) 0 0 因为V1 V2是直和, 零元素的表示法唯一, 从而 0 , V1 V2 {0} 充分性 任意1 ,V1 , 2 V2 , 如果1 2 0, 有
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例1 在二位几何空间中,若V1,V2分别是x轴 与y轴,则V1∩V2={0}, V1+V2=R2. 例2 在三位几何空间中,若V1表示过原点的 直线,V2是过原点且与V1垂直的平面,则 V1∩V2={0}, V1+V2=R3.
例3 线性空间Pn中,若V1是As×nx=0的解空 间,V2是Br×nx=0的解空间,
第八章 线性空间
§8.2 子空间及其交与和 子空间的直和
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子空间的交与和
子空间的交与和是Ｖ的子空间集合的 运算。由于两个子空间的并一般未必仍是 子空间，所以集合并的运算不是Ｖ的子空 间集合的运算。因此引入子空间的和。我 们切不可把子空间的和与集合的并混为一 谈，例如在Ｒ2中，若Ｘ，Ｙ分别表示 x 轴和 y 轴上所有点的集合，那么Ｘ和Ｙ 都是Ｒ2的子空间，且Ｘ＋Ｙ＝Ｒ2，显然 ≠Ｘ∪Ｙ。
《子空间的直和》课件
《子空间的直和》PPT课件
2023-2026
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目录
CATALOGUE
子空间的定义与性质子空间的直和子空间直和的应用子空间直和的扩展总结与展望
子空间的定义与性质
PART
01
子空间是线性空间的一个非空子集，它也是一个线性空间。
子空间
一种是基于向量的线性组合和数乘，另一种是基于子集和加法封闭性。
感谢观看
THANKS
END
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2023-2026
2023-2026
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解释
解释
在矩阵表示中，我们可以使用增广矩阵来表示子空间直和，其中每一列代表一个子空间的向量。
解释
通过在几何图形中绘制子空间的向量，我们可以直观地理解子空间直和的概念。
表示方法3
通过线性变换表示。
通过矩阵表示。
表示方法1
表示方法2
通过几何图形表示。
通过线性变换，我们可以将一个子空间的向量映射到另一个子空间，从而形成子空间直和。
子空间的直和
PART
02
子空间直和是一种数学概念，用于描述两个或多个子空间在更高维度空间中的合成。
定义
子空间直和可以看作是两个或多个子空间的“加法”，它们在更高维度的空间中形成一个新的子空间。
解释
考虑二维平面上的两个线性子空间，它们可以通过子空间直和的方式合成一个更高维度的子空间。
例子
性质1
子空间直和是封闭的。
矩阵分解
在奇异值分解中，子空间的直和可以用于理解和构造奇异值，这对于处理大规模数据和复杂矩阵非常有用。
矩阵的奇异值分解
信号的频谱分析
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目录
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子空间的定义与性质子空间的直和子空间直和的应用子空间直和的扩展总结与展望
子空间的定义与性质
PART
01
子空间是线性空间的一个非空子集，它也是一个线性空间。
子空间
一种是基于向量的线性组合和数乘，另一种是基于子集和加法封闭性。
感谢观看
THANKS
END
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解释
解释
在矩阵表示中，我们可以使用增广矩阵来表示子空间直和，其中每一列代表一个子空间的向量。
解释
通过在几何图形中绘制子空间的向量，我们可以直观地理解子空间直和的概念。
表示方法3
通过线性变换表示。
通过矩阵表示。
表示方法1
表示方法2
通过几何图形表示。
通过线性变换，我们可以将一个子空间的向量映射到另一个子空间，从而形成子空间直和。
子空间的直和
PART
02
子空间直和是一种数学概念，用于描述两个或多个子空间在更高维度空间中的合成。
定义
子空间直和可以看作是两个或多个子空间的“加法”，它们在更高维度的空间中形成一个新的子空间。
解释
考虑二维平面上的两个线性子空间，它们可以通过子空间直和的方式合成一个更高维度的子空间。
例子
性质1
子空间直和是封闭的。
矩阵分解
在奇异值分解中，子空间的直和可以用于理解和构造奇异值，这对于处理大规模数据和复杂矩阵非常有用。
矩阵的奇异值分解
信号的频谱分析
6.2 线性子空间的和与直和-文档资料
17
命题 2.8 的证明
证明:
18.11.2020
18
命题 2.8 的证明(2)所以18.1 Nhomakorabea.2020
=0
19
命题 2.8 的证明(3)
其中 于是
18.11.2020
则有 ={0} 所以
back
20
从线性子空间的和的定义很容易看出：
(3) 多个子空间的和：
18.11.2020
3
线性子空间的和的维数
以上 4 个线性子空间都是 2 维的
18.11.2020
4
线性子空间的和的维数(理论结果)
引理 2.3: 线性子空间中的线性无关的向
proof
量组可以被扩充成该子空间的一组基。
proof
proof
8
线性子空间的直和，补子空间
proof
18.11.2020
proof
9
多个线性子空间的直和
18.11.2020
proof
10
命题2.1的证明
证明：
所以 W 是线性子空间。
18.11.2020
back
11
命题 2.2 的证明
证明: 由定义, 有
18.11.2020
back
12
引理２.３的证明
18.11.2020
5
线性子空间的和的求法：例子
主元所在的列对应的向量组就是一个极大线性无关组
18.11.2020
6
线性子空间的和的求法：例子
基础解系:
18.11.2020
7
线性子空间的直和: 定义
下面介绍子空间的和的一种重要的特殊情形----直和.
必要性是显然的, 下证充分性.
(汇总)子空间的直和.ppt
V1 V2 不含非零向量，即 V1 V2 0
情形2）是子空间的和的一种特殊情况
直和
.精品课件.
4
一、直和的定义
设 V1,V2 为线性空间V的两个子空间，若和 V1 V2
中每个向量 的分解式 1 2 , 1 V1,2 V
是唯一的，和 V1 V2就称为直和（direct sum）， 记作V1 V2 .
dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2
dim(V1 V2 ) 0
V1 V2 0
V1 V2 是直和. （由2、得之）
.精品课件.
11
总之，设 V1,V2 为线性空间V的子空间， 则下面四个条件等价: （1）V1 V2 是直和 （2）零向量分解式唯一
（3）V1 V2 0
（4）dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2
证：必要性.
若1 2 0, 1 V1,2 V2
V1 V2 是直和,
而0有分解式 0= 0 0,
1 0, 2 0.
.精品课件.
7
充分性.
1 2 1 2 , 1 , 1 V1 , 2 , 2 V2 于是 (1 1 ) (2 2 ) 0
其中 1 1 V1, 2 2 V2
在和V1 V2 中，向量的分解式不唯一.
而在和 V1 V3 中，向量 的分解式是唯一的，
所以和 V1 V2 不是直和，V1 V3 是直和.
.精品课件.
6
二、直和的判定
1、(定理8)和V1 V2 是直和的充要条件是零向量 分解式唯一，
即若 1 2 0,1 V1,2 V2 ，则必有 1 2 0.
V1 V2 L(1, 2 , , r ,1,2 , ,s ).
.精品课件.
15
情形2）是子空间的和的一种特殊情况
直和
.精品课件.
4
一、直和的定义
设 V1,V2 为线性空间V的两个子空间，若和 V1 V2
中每个向量 的分解式 1 2 , 1 V1,2 V
是唯一的，和 V1 V2就称为直和（direct sum）， 记作V1 V2 .
dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2
dim(V1 V2 ) 0
V1 V2 0
V1 V2 是直和. （由2、得之）
.精品课件.
11
总之，设 V1,V2 为线性空间V的子空间， 则下面四个条件等价: （1）V1 V2 是直和 （2）零向量分解式唯一
（3）V1 V2 0
（4）dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2
证：必要性.
若1 2 0, 1 V1,2 V2
V1 V2 是直和,
而0有分解式 0= 0 0,
1 0, 2 0.
.精品课件.
7
充分性.
1 2 1 2 , 1 , 1 V1 , 2 , 2 V2 于是 (1 1 ) (2 2 ) 0
其中 1 1 V1, 2 2 V2
在和V1 V2 中，向量的分解式不唯一.
而在和 V1 V3 中，向量 的分解式是唯一的，
所以和 V1 V2 不是直和，V1 V3 是直和.
.精品课件.
6
二、直和的判定
1、(定理8)和V1 V2 是直和的充要条件是零向量 分解式唯一，
即若 1 2 0,1 V1,2 V2 ，则必有 1 2 0.
V1 V2 L(1, 2 , , r ,1,2 , ,s ).
.精品课件.
15
高等代数-6.5线性子空间
若为Pn的子空间，求出其维数与一组基.
解：W1 、W3是Pn的子空间， W2不是Pn的子空间.
事实上，W1 是n元齐次线性方程组
x1 x2 xn 0
①
的解空间. 所以，维W1 ＝n－1，①的一个基础解系
§6.5 线性子空间
1 (1, 1,0, ,0), 2 (1,0, 1,0, ,0),
② (＊)的一个基础解系就是解空间W的一组基.
§6.5 线性子空间
例5 判断下列子集合哪些是Pn的子空间： W1 {( x1, x2 , , xn ) x1 x2 xn 0, xi P} W2 {( x1, x2 , , xn ) x1 x2 xn 1, xi P}
W3 {( x1, x2, , xn1,0) xi P, i 1,2, , n 1}
为V的一组基．即在 V中必定可找到 n－m 个向量
m1,m2 , ,n ，使 1,2 , ,n为 V 的一组基．
证明：对n－m作数学归纳法． 当 n－m＝0时，即 n＝m，
1,2 , ,m 就是V的一组基. 定理成立．
假设当n－m＝k时结论成立.
§6.5 线性子空间
下面我们考虑 n－m＝k＋1 的情形．
§6.5 线性子空间
同理可得， L(1, 2 , , s ) L(1,2, ,r ) 故， L(1,2 , ,r ) L(1, 2 , , s )
2）设向量组 1,2 , ,r 的秩为 t，不妨设 1,2 , ,t (t r) 为它的一个极大无关组．
因为 1,2 , ,r 与 1,2 , ,t 等价， 所以,
1
3 1
,
1
3
(1 , 2
, 3 ,4
)
3 0 3
,
线性子空间的和与直和
有
线性空间与欧几里得空间
所以
有
back
15
定理 2.6 的证明
证明：由维数公式可以得到(2)与(3)的等价性。 下面证明(1)与(2)的等价性。
06.06.2020
线性空间与欧几里得空间
back
16
定理 2.7 的证明
back
由于基的扩充是不唯一的，所以当W是不平凡子空间时， 它的补子空间是不唯一的。
back
20
proof
10
命题2.1的证明
证明：
所以 W 是线性子空间。
06.06.2020
线性空间与欧几里得空间
back
11
命题 2.2 的证明
证明: 由定义, 有
06.06.2020
线性空间与欧几里得空间
back
12
引理２.３的证明
引理 2.3: 线性子空间中的线性无关的向量组可以 被扩充成该子空间的一组基。 证明:
7
线性子空间的直和: 定义
下面介绍子空间的和的一种重要的特殊情形----直和.
必要性是显然的, 下证充分性.
06.06.2020
线性空间与欧几里得空间
8
线性子空间的直和，补子空间
proof
06.06.2020
线性空间与欧几里得空间
proof
9
多个线性子空间的直和
06.06.2020
线性空间与欧几里得空间
proof
量组可以被扩充成该子空间的一组基。
proof
proof
06.06.2020
线性空间与欧几里得空间
5
线性子空间的和的求法：例子
主元所在的列对应的向量组就是一个极大线性无关组
子空间的交与和 PPT
两个不同的 2 维子空间，求 V1 ∩ V2 和 V1 + V2 ， 并指它们的几何意义.
解 因为 V1 和 V2 是两个不同的子空间，所以
1 , 2 , 3 线性无关，否则 3 可由 1 , 2 线性表示
从而 V1 = V2 与题设矛盾. 于是由子空间的交与和
的定义可得 V1 ∩ V2 = L(1 )，V1 + V2 = L(1 , 2 , 3 ) = R3 .
那么
+ = (1 + 1 ) + (2 + 2 ) .
又因为 V1 , V2 是子空间，故有
1 + 1 V1 ，2 + 2 V2 .
因此
+ V1 + V2 .
同样，
k = k1 + k2 V1 + V2 .
所以， V1 + V2 是 V 的子空间.
1. 定义 定义1 设 V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空
间, 称
V1 ∩V2 ={ | V1 且 V2 }
为 V1 , V2 的交.
2. 性质
定理 1 如果V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空
间, 那么它们的交V1 ∩V2 也是 V 的子空间.
证明 首先，由 0 V1 ， 0 V2 ，可知 0
我们来证明，向量组
1 , 2 , …, m , 1 , …, s - m , 1 , …, t - m
是 V1 + V2 的一组基. 这样， V1 + V2 的维数就等于 s + t - m , 因而维数公式成立.
因为
所以
V1 = L(1 , 2 , …, m , 1 , …, s - m ) , V2 = L(1 , 2 , …, m , 1 , …, t - m ) .
解 因为 V1 和 V2 是两个不同的子空间，所以
1 , 2 , 3 线性无关，否则 3 可由 1 , 2 线性表示
从而 V1 = V2 与题设矛盾. 于是由子空间的交与和
的定义可得 V1 ∩ V2 = L(1 )，V1 + V2 = L(1 , 2 , 3 ) = R3 .
那么
+ = (1 + 1 ) + (2 + 2 ) .
又因为 V1 , V2 是子空间，故有
1 + 1 V1 ，2 + 2 V2 .
因此
+ V1 + V2 .
同样，
k = k1 + k2 V1 + V2 .
所以， V1 + V2 是 V 的子空间.
1. 定义 定义1 设 V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空
间, 称
V1 ∩V2 ={ | V1 且 V2 }
为 V1 , V2 的交.
2. 性质
定理 1 如果V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空
间, 那么它们的交V1 ∩V2 也是 V 的子空间.
证明 首先，由 0 V1 ， 0 V2 ，可知 0
我们来证明，向量组
1 , 2 , …, m , 1 , …, s - m , 1 , …, t - m
是 V1 + V2 的一组基. 这样， V1 + V2 的维数就等于 s + t - m , 因而维数公式成立.
因为
所以
V1 = L(1 , 2 , …, m , 1 , …, s - m ) , V2 = L(1 , 2 , …, m , 1 , …, t - m ) .
6.2 线性子空间的和与直和(上课材料)
13
定理2.4的证明
证明:
注意到
只要证明 线性无关
14 公开课
定理 2.4 的证明(2)
设
有 即
公开课
所以
有
back
15
定理 2.6 的证明
证明：由维数公式可以得到(2)与(3)的等价性。 下面证明(1)与(2)的等价性。
公开课
back
16
定理 2.7 的证明
back
由于基的扩充是不唯一的，所以当W是不平凡子空间时， 它的补子空间是不唯一的。
3 公开课
线性子空间的和的维数
以上 4 个线性子空间都是 2 维的
4 公开课
线性子空间的和的维数(理论结果)
引理 2.3: 线性子空间中的线性无关的向
proof
量组可以被扩充成该子空间的一组基。
proof
proof
5 公开课
线性子空间的和的求法：例子
主元所在的列对应的向量组就是一个极大线性无关组
§2 线性子空间的和与直和
线性子空间的和 线性子空间的和的维数公式 线性子空间的和的基的求法 线性子空间的直和
1 公开课
线性子空间的和
两个线性子空间的交是线性子空间，但两个线性子空间 的并集一般不是线性子空间。
也是一个线性子空间，
公开课
则集合
proof
2
线性子空间的和(2)
从线性子空间的和的定义很容易看出： (3) 多个子空间的和：
6 公开课
线性子空间的和的求法：例子
基础解系:
7 公开课
线性子空间的直和: 定义
下面介绍子空间的和的一种重要的特殊情形----直和.
必要性是显然的, 下证充分性.
定理2.4的证明
证明:
注意到
只要证明 线性无关
14 公开课
定理 2.4 的证明(2)
设
有 即
公开课
所以
有
back
15
定理 2.6 的证明
证明：由维数公式可以得到(2)与(3)的等价性。 下面证明(1)与(2)的等价性。
公开课
back
16
定理 2.7 的证明
back
由于基的扩充是不唯一的，所以当W是不平凡子空间时， 它的补子空间是不唯一的。
3 公开课
线性子空间的和的维数
以上 4 个线性子空间都是 2 维的
4 公开课
线性子空间的和的维数(理论结果)
引理 2.3: 线性子空间中的线性无关的向
proof
量组可以被扩充成该子空间的一组基。
proof
proof
5 公开课
线性子空间的和的求法：例子
主元所在的列对应的向量组就是一个极大线性无关组
§2 线性子空间的和与直和
线性子空间的和 线性子空间的和的维数公式 线性子空间的和的基的求法 线性子空间的直和
1 公开课
线性子空间的和
两个线性子空间的交是线性子空间，但两个线性子空间 的并集一般不是线性子空间。
也是一个线性子空间，
公开课
则集合
proof
2
线性子空间的和(2)
从线性子空间的和的定义很容易看出： (3) 多个子空间的和：
6 公开课
线性子空间的和的求法：例子
基础解系:
7 公开课
线性子空间的直和: 定义
下面介绍子空间的和的一种重要的特殊情形----直和.
必要性是显然的, 下证充分性.
§5子空间的交与和直和
1 = ( 0 , b2 , b 3 , … , bn ) W ,
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9
k R 为任意实数. 因为
1 + 1 = ( 0 , a2 + b2, a3 + b3, … , an + bn) W ,
k1 = ( 0 , ka2 , ka3 , … , kan ) W , 即 W 对加法和数量乘法都是封闭的，所以W 是 Rn 的子空间. 取 e2 = (0 , 1 , 0 , … , 0 ) , e3 = (0 , 0 , 1 , … , 0 ) , ………….. en = (0 , 0 , 0 , … , 1 ) .
( A B) A B A B
所以A B W1 . 又设k P , 于是
( kA) kA kA
所以kA W1 . 故W1是P nn的子空间.
设A, B W2 , 则A A, B B, 于是
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8
( A B) A B A B ( A B)
首页上页下页返回结束的解空间那么v就是齐次方程组33在一个线性空间中有首页上页下页返回结束34四维数公式如果是线性空间首页上页下页返回结束如果这个基是空集下面的讨论中不出现但讨论同样能进行35首页上页下页返回结束36首页上页下页返回结束37由第一个等式而由第二个等式因而从而有首页上页下页返回结束38由于线性无关又得线性无关因而它是的一组基首页上页下页返回结束39从维数公式可以看到和的维数往往要比维数的和来得小
是 m + 1 维的. 因为 n - ( m + 1 ) = ( n - m ) -1 = k ,
由归纳法假设， L(1 , 2 , … , m , m +1 ) 的基 1 , 2 , … , m , m +1 可以扩充为整个空间的基. 根据归纳法原理, 定理得证.
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线性子空间的和的求法：例子
主元所在的列对应的向量组就是一个极大线性无关组
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线性子空间的和的求法：例子
基础解系:
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线性子空间的直和: 定义
下面介绍子空间的和的一种重要的特殊情形----直和.
必要性是显然的, 下证充分性.
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引理 2.3: 线性子空间中的线性无关的向量组可以 被扩充成该子空间的一组基。 证明:
如果这个向量组不是W的基, 则用同样的方法扩充 线性无关的向量组, 直到不能扩充为止． 最后得到W的一组基.
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定理2.4的证明
证明:
只要证明 线性无关
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注意到
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定理 2.4 的证明(2)
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线性子空间的直和，补子空间
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多个线性子空间的直和
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命题2.1的证明
证明：
所以 W 是线性子空间。
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命题 2.2 的证明
证明: 由定义, 有
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引理２.３的证明
设
有 即
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所以
有
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定理 2.6 的证明
证明：由维数公式可以得到(2)与(3)的等价性。 下面证明(1)与(2)的等价性。
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定理 2.7 的证明
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由于基的扩充是不唯一的，所以当W是不平凡子空间时， 它的补子空间是不唯一的。
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§2 线性子空间的和与直和
线性子空间的和 线性子空间的和的维数公式 线性子空间的和的基的求法 线性子空间的直和
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线性子空间的和
两个线性子空间的交是线性子空间，但两个线性子空间 的并集一般不是线性子空间。
也是一个线性子空间，
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则集合
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线性子空间的和(2)
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命题 2.8 的证明
证明:
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命题 2.8 的证明(2)
所以
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=0
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命题 2.8 的证明(3)
其中 于是
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则有 ={0} 所以
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从线性子空间的和的定义很容易看出：
(3) 多个子空间的和：
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3Leabharlann 线性子空间的和的维数以上 4 个线性子空间都是 2 维的
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线性子空间的和的维数(理论结果)
引理 2.3: 线性子空间中的线性无关的向
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量组可以被扩充成该子空间的一组基。
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