第二章 静电场 镜像法

P
Oθ
Q/
R
r′
r
QZ
球坐标系
（2）由边界条件确定 Q 和 r
设 OQ b
r R2 a2 2Ra cos r R2 b2 2Rb cos
0 R0
Q Q

0
r r RR0
Q2
Q2

r2
r2
R R0
R R0
P
R0 O
r r
Q
Q
Q2 (R02 b2 ) 2Q2R0b cos Q2 (R02 a2 ) 2Q2R0a cos
可以看出，引入象电荷取代感应电荷，的确是
一种求解泊松方程的简洁方法。
镜像法所解决的问题中最常见的是导体表面作为边
界的情况，但也可用于绝缘介质分界面的场问题。
例2 设电容率分别为ε1和ε2的两种均匀介
质，以无限大平面为界。在介质1中
有一点电荷Q，求空间电势分布。
z
aQ
介质1
介质2
-a Q’
1 2 x
点电荷的镜像 点电荷与平面导体
Q
Q
Q
(a)
(b)
(c)
点电荷与球形导体
Q
o
oQ
(d)
(e)
各种简单边界的组合作为边界
Q Q
(a)
(b)
Q
(c)
线电荷的镜像
线电荷与平面导体
λ
λ
λ
(a)
(b)
(c)
线电荷与圆柱形导体
λ
o
oλ
(a)
(b)
平面与圆柱形边界的组合作为边界
λ λ λ
(a)
(b)
(c)
导体上的感应电荷密度为：

n
（1）镜像电荷与导体上的感应电荷不一定相等。
（2）由镜像法求出电势分布以后，由上式可求感应
电荷
Q


S
dS
n
电偶极子的镜像
p
p
(a)
(b)
p
(c)
p
op
o p
(d)
(e)
(f)
注意：镜像电荷的位置由边界形状决定，与电量 及界面性质无关。
应用举例
P
1. 接地无限大平面导体板附近有一点电荷， 求空间电势。
r′ r
解：根据唯一性定理左半空间 0
Q
z
右半空间，Q在（0，0，a）点，
Q/
a
电势满足泊松方程。
边界上
0 z0
从物理问题的对称性和边界条件考虑，设想在导体板左与电荷Q对 称的位置上放一个假想电荷Q’ ，然后把板抽去。 这样，没有改变 所考虑空间的电荷分布（即没有改变电势服从的泊松方程）
Z 因 任意的 Q2b Q2a
Q2 (R02 b2 ) Q2 (R02 a2 )
解得 ① b R02 a
② ba
Q R0Q a
Q Q
b R02 Q R0Q
a
a


Q 40
[
1

R2 a2 2Ra cos
0
ez

Q
40
1 (2a) 2
ez

Q
16 0 a 2
ez
导体板上的 感应电荷确 实可以用板 下方一个假 想电荷Q’代 替。
P r
导体板上部空
Q
间的电场可以
看作原电荷与
r’
镜象电荷共同
激发的电场。
场点P的电势
Q’
P 1 Q Q
4 0 r r
(Ra
/
R0 )2

1 R02

2Ra
cos
]
(R

R0 )
0
(R R0)
② 球面感应 电荷分布
感


0

R
R R0


Q
4R0a
1
(1
R02 a2

2
R02 a2
)
3
R0 a
c
os


2
Q 4R0
(a2 R02 )
a2
R02
1

x2 y2 (z a)2
因为象电荷在左半空 间，所以舍去正号 解
1
]
x2 y2 (z a)2
讨论：（a）导体面上感应电荷分布



0

z
z0
2 (x2
Qa y2 a2 )3/2
Q dS Qa 2rdr Q Q
x2

y2
(z
a)2

交界面上 极化电荷 面密度
p
p1 p2

n1

P1

n2

P2

ez
( 1


(01)ez0) E11

ez
(

2
(

2

0
0 )ez
)E2
2

( 1


0
)
2

1
4 2
Q r

1
4 2
Q
x2
y2
(z b)2
1 2
(2)
下面由边界条件定Q'Q''和b，边界条件为：
1 z0 2 z0
(3)
1
1
z
z0
2
2
z
z0
(4)
E1t E2t 即 1 2
(5)
x z0 x z0
2 0 (r 2 a 2 )3/ 2
（b）电荷Q 产生的电场的电力线全部终止在导体面上 它与无导体时，两个等量异号电荷产生的电场在 右半空间完全相同。
（c）Q与 Q 位置对于导体板镜象对称，故这种方法称
为镜象法（又称电象法）
（d）导体对电荷Q 的作用力相当两点电荷间的作用力
F
Q2
40r 2
ez
3. 真空中有一半径R0的接地导体球，距球心 a > R0 处有一点电荷 Q，求空间各点电势。
解：（1）分析： 因导体球接地故球的电 势为零。根据镜象法原 则假想电荷应在球内。 因空间只有两个点电荷， 场应具有轴对称，故假 想电荷应在线上，即极 轴上。
1 [Q Q] 40 r r
Q感
b Q'
a
Q
S
E

ds

1
0
Q感
式中的
E
是象电荷Q'和真
实电荷Q共同产生的，即

S
E
ds

1
0
Q
即感应电荷的电量Q感等于象电荷的电量Q'。
根据上述例子，作如下几点讨论：
a) 导体球既不接地又不带电
这种情况与本例的差别仅在于边界条件，这里
常数 (未知) RR0
b)由于象电荷代替了真实的感应电荷或极化电荷的作用，因此 放置象电荷后，就认为原来的真实的导体或介质界面不存在。也 就是把整个空间看成是无界的均匀空间。并且其介电常数应是所 研究场域的介电常数。（实际是通过边界条件来确定假想电荷的 大小和位置）。
c)一旦用了假想（等效）电荷，不再考虑原来的电荷分布。
d)象电荷是虚构的，它只在产生电场方面与真实的感应电荷或 极化电荷有等效作用。而其电量并不一定与真实的感应电荷或真 实的极化电荷相等，不过在某些问题中，它们却恰好相等。
e)镜象法所适应的范围是：①所求区域有少许几个点电荷，它 产生的感应电荷一般可以用假想点电荷代替；②导体或介质的边 界面必是简单的规则的几何面（球面、柱面、平面）。
镜象法的理论基础
镜象法的理论基础是唯一性定理。其实质是在所研究的场域 外的适当地方，用实际上不存在的 “象电荷” 来代替真实的导体 感应电荷或介质的极化电荷对场点的作用。在代替的时候，必须 保证原有的场方程、边界条件不变，而象电荷的大小以及所外的 位置由Poisson's equation or Laplace's equation 和边界条件决定。
2R0a cos
3 2
Q感
感ds
S
S
感 R02
s in dd


R0 a
Q
感应电荷与 象电荷大小 相等
导体球接地后，感应电荷总量不为零，可认为电荷 Q Q R0Q 移到地中去了。
a
也可以这样证明：根据Gauss定理，对球作Gauss面，
即
Ro
这里要注意几点：
a) 唯一性定理要求所求电势必须满足原有电荷分布所满足的 Poisson’s equation or Laplace’s equation，即所研究空间的泊松方 程不能被改变（即自由点电荷位置、大小不能变）。因此，做替 代时，假想电荷必须放在所求区域之外。在唯一性定理保证下， 采用试探解，只要保证解满足泊松方程及边界条件即是正确解。
导体球不带电，即要求满足电中性条件


0

S

n
ds

0
显然，例3的解不满足电中性的条件，如果在球内再
添置一个象电荷 Q R0 Q ，则满足电中性条 a
件，为了不破坏导体是等位体的条件，由对称性知道， Q"必须放在球心处，于是

外

Q
4 0
(R2

a2
Baidu Nhomakorabea
1
1
2R cos ) 2
(R R0 )
（3）讨论：
R2

R04
R0 / a / a2 2RR02
cos
] /a
(R

R0 )
1
(Ra / R0 )2 R02 2Ra cos
① Q Q ，Q发出的电
力线一部分会聚到导体球
面上，剩余传到无穷远。


Q 4
0
[
1

R2 a2 2Ra cos
1
z
z0
( 2


0
)
2
z
z0

(1 2 ) 0Qa
2 1 (1 2 ) x 2 y 2 a 2
3 2
Q所受的库仑力等于
它的像电荷Q'对它的
作用力，即
F
QQ
4 1 2a2
2
ez

(1 2 )Q2 16 1(1 2 )a2
镜象法的具体应用
用镜象法解题大致可按以下步骤进行 ： a)正确写出电势应满足的微分方程及给定的边界条件； （坐标系选择仍然根据边界形状来定） b)根据给定的边界条件计算象电荷的电量和所在位置； c)由已知电荷及象电荷写出势的解析形式； d) 根据需要要求出场强、电荷分布以及电场作用力、 电容等。
镜像法往往比分离变量法简单，但它只 能用于一些特殊的边界情况。
将(1) (2)两式带入 (3)并取x=y=0,可得到
Q Q Q
(6)
1a 2b
将(1) (2)两式带入 (4)并取x=y=0,可得到
Q Q Q
(7)
a2
b2
将(1) (2)两式带入 (5)，消去分子中的x后，再取x=y=0,
Q Q
1a3

Q
2b3
设电量为 Q，位置为（0，0，a ）
1 [
Q

Q
]
40 x2 y2 (z a)2 x2 y2 (z a)2
由边界条件确定 Q、a和
0 z0
Q

x2 y2 a2
Q x2 y2 a2
唯一解是
Q [ 40
Q Q, a a
a=b
由以上三式解得
所以
Q 1 2 Q 1 2
Q 2 2 Q 1 2
1

Q
4 1

1
1 2
x2 y2 (z a)2 1 2
2 2 (1 2 )
Q x2 y2 (z a)2
(8)
1


外

Q
4 0
(R2
a2
1
1
2R cos ) 2

(R2

(R2

R04 a2
R0 a 2R R02
a
1
cos ) 2

R0 R
a

(R R0 )
再由
内 RR0
外 RR0
得到
内

Q
4 0R0

Q
4 0a
b)导体球不接地其电势为U0 这种情况与例3的差别仍然在边界条件，这里
内 RR0 U0
U0 是已知常数，导体球的电势为U0，相当于在球心 处放置了电量为 4 0U0R0 的点电荷，显然，其解为

Q x2 y2 (z a)2
1 2
再考虑介质ε2中的电势φ2，这时我们不能用上面的像电 荷Q'来计算ε2区域内的电势。这是因为，按照电像法， 像电荷必须在所考虑的区域之外。所以，我们现在把在ε2 区域外的电荷Q及其引起的极化电荷合起来，用ε2区域外 的一个像电荷Q''来统一考虑。设z>0上半空间的介质ε1全 部换为介质ε2 ，并在z=b处有一电荷Q'' ，则z<0下半空间 里任一点的电势为
解：先考虑介质1 中的电势，设想将下半空间换成 与上半空间一样，并在z=-a处有Q的像电荷Q' 来代替分界面上极化电荷对上半空间场的影响。 则在Z>0的区域，空间一点的电势为
`1

1
4 1
(Q r

Q) r
(1)

1
4 1

x2

y2
Q (z

a)2
1 2
§2.4 镜 象 法 Method of images
根据前面的讨论知道：在所考虑的区域内没有 自由电荷分布时，可用Laplace's equation求解场分 布；在所考虑的区域内有自由电荷分布时，用 Poisson's equation 求解场分布。
如果在所考虑的区域内只有一个或者几个点电 荷，区域边界是导体或介质界面，这类问题又如何 求解？这就是本节主要研究的：解决这类问题的一 种特殊方法— 称为镜象法。