机械系统摩擦动力学研究进展
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第 43 卷
第1期
力
学
进
展
Vol. 43 Jan. 25,
No. 1 2013
2013 年 1 月 25 日
ADVANCES IN MECHANICS
机械系统摩擦动力学研究进展 ∗
丁 千 † 翟红梅
天津大学力学系, 天津 300072
摘
要
摩擦环节对机械系统动力学行为有重要、甚至可能是关键的影响. 深入研究摩擦及摩擦动力学特点,
对于解决机械系统中摩擦带来的不利影响, 发挥其有利作用, 是非常重要的. 本文介绍和评述了机械系统摩擦 动力学的研究进展, 包括常用的摩擦模型及其特性, 摩擦系统自激振动、强迫振动和摩擦振动控制等. 除理论 研究方法之外, 重点讨论了制动噪声振动、摩擦耗能和多领域摩擦振动控制等摩擦动力学的应用研究. 关键词 机械系统, 摩擦, 自激振动, 制动噪声, 摩擦耗能, 振动控制 文献标识码: A 文章编号: DOI:10.6052/1000-0992-12-039
中图分类号: O322, TH113.1
1 引
言
摩擦是自然界普遍存在的现象, 引起的振动 广泛存在于人们生活和工程实际中. 在汽车轮胎、 离合器、刹车片、弓弦乐器和各种阻尼器的工作 中, 摩擦发挥了有利的作用. 但摩擦引起的异常振 动、 颤振和噪声等, 也会对机械的正常工作造成不 利影响. 因此摩擦动力学研究有着非常重要的理 论和实际意义. 摩擦现象十分复杂, 按摩擦副的不同情况分 类为滑动、 滚动摩擦, 静、 动摩擦, 干、 湿摩擦等 [1] . 滑动摩擦力作用于相对滑动 (趋势) 物体接触面的 切线方向, 滚动摩擦是物体接触部分发生形变时 产生的阻力矩. 车辆行驶中, 要求轮胎与地面之间 既不能打滑, 滚动阻力也不能太大, 因此采用有一 定形变的充气橡胶轮胎, 提供足够的滑动摩擦力, 并尽量减小滚动摩擦阻力. 在以硬质金属材料组 成的机械系统中, 滚动摩擦的影响一般很小. 干摩 擦是指在无润滑条件下的摩擦. 虽然在实际的环 境中, 摩擦表面可能存在着自然污染和氧化膜, 使 得摩擦系数显著改变, 但机械系统中的摩擦通常 按干摩擦处理, 主要是因为模型比较简单. 动力学系统中的干摩擦问题研究已持续了几 个世纪. 早期研究主要针对低维系统和低维摩擦
收稿日期 : 2012-03-20, 修回日期 : 2012-12-03
∗ 国家自然科学基金资助项目 †
力模型, 后来出现了构件干摩擦阻尼设计研究, 包 括各类梁、 板、 柔性转子等含摩擦的结构. 例如在 叶轮机械发展过程中, 利用干摩擦阻尼器进行叶 片减振 [2-3] . 随着科学技术的发展, 人们对结构、 机械和各类装备的动力学性能的要求也随之提高, 对摩擦导致的系统动力行为的深入了解, 是满足 这一要求的重要基础. 干摩擦动力学行为属于非光滑动力学的范畴. 非光滑动力系统研究涉及机械、航空航天、控制、 电力和神经网络等许多领域, 是一个年轻且活跃 的研究分支. 接触碰撞、摩擦和开关控制等是动 力学非光滑的主要来源, 导致系统产生特有的动 力学现象, 如擦切分岔、 边界碰撞及运动规律突变 等. 近几十年来, 机械系统的摩擦动力学研究取 得了可观的成果, 也有许多很好的专著和综述文 章 [4-11] . 结合作者的工作, 本文从摩擦特点和摩擦 力模型、 摩擦系统自激振动和强迫振动等方面, 综 述机械系统滑动干摩擦动力学近期的研究进展.
2 摩擦力特性和模型
摩擦界面性质和系统动力学之间有复杂的相 互影响, 摩擦力模型的精确与否, 与系统本身的动 态行为有关. 当构建一个系统模型时, 必须解决动
(10972154, 11272228)
E-mail: qding@tju.edu.cn
第 1 期
丁千等 : 机械系统摩擦动力学研究进展
113
力学本身与摩擦之间的强耦合问题, 包括选择合 适的摩擦力模型, 处理好计算中可能出现的障碍 等. 摩擦力的建模是很多工程领域中重要的步骤, 在接触力学、 动力学及控制、 地质力学、 结构动力 学等各领域中, 虽然对摩擦力的力学机理及建模 方式有着不同要求, 但基本要求都是使模型中各 要素的变化对于解决本领域问题的影响降低到最 小, 也就是希望得到最简单形式的模型. 但到目 前为止, 还不存在适用于所有领域的摩擦理论和 学说, 当然也很难得到普适、准确且简洁的摩擦 力模型. 机械系统摩擦动力学研究中的摩擦基本 上都是采用点 -- 点接触, 这种接触模型形式简单又 便于系统动力学分析. 如果采用面 -- 面接触摩擦模 型, 通常借助接触面有限元来计算, 但如果求解问 题涉及的接触面很多, 则求解工作会非常困难. 许多学者对摩擦力特性和模型进行了讨论和 综述. Berger [12] 较为全面地介绍了应用于不同领 域的摩擦模型和典型动态行为研究, 是一篇有代 表性的综述文献. 刘丽兰等 [13] 则介绍了机械系 统中的摩擦现象和常用的摩擦模型, 为研究中摩 擦模型的选用提供了参考. 本节对典型摩擦力特 性和常用模型做一简单介绍.
2.1
度的增加, 摩擦力反而下降, 即摩擦力 -- 速度曲线 出现负斜率部分 [16] . 负斜率实际上就是负黏性阻 尼项, 是引起不稳定的因素.
2.1.4 可变的最大静摩擦力
滑动开始前摩擦与位移的关系见图 1(a) [15] . 研究指出 [17-18] , 最大静摩擦力与驻留时间有关, 即 取决于外力的施加速率 (图 1(b)).
ᨽ᪺
᳔䴭ᨽ᪺
ԡ鼠 (a)ᨽ᪺Ϣԡ鼠ⱘ݇㋏
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摩擦力特性
ᮑࡴ䗳ᑺ (b)ব࣪ⱘ᳔䴭ᨽ᪺
摩擦力是两个接触表面间产生的切向作用力, 大小取决于接触面几何形状及布局, 接触物体材 料和润滑情况, 物体间相对速度、 位移等多方面因 素. 摩擦行为的共同特点是: 依赖于 (相对) 速度; 记忆效果, 即存在时滞或临界滑动位移; 零相对速 度附近的多值性; 静摩擦力与驻留时间有关; 预滑 动位移等.
2.1.1 库仑摩擦
图 1 可变的最大静摩擦力
2.1.5 预滑动位移 (Dahl 效应) Dahl 通过实验观察发现, 在静止物体开始滑
库仑摩擦中接触点相对不移动 (除非超过一 定界限), 摩擦力跟作用在摩擦面上的正压力成正 比, 跟外表的接触面积无关, 与运动方向相反, 而 与速度的幅值无关.
2.1.2 静摩擦
物体从静止开始到产生相对运动期间所受的 摩擦力 [14] , 不依赖于相对速度, 但与外力的大小 有关, 因此存在零相对速度附近的多值性. 最大静 摩擦力大于库仑摩擦力 [15] .
2.1.3 Stribeck 效应
在相对滑动速度较低的范围内, 随着相对速
动过程中 (从 O 开始沿弹性摩擦力曲线 f (x) 上升, 见图 2), 当切向力小于最大静滑动摩擦力时, 物体 产生一个极小预位移而达到新的静止位置, 物体 开始滑动的极限位置对应最大静滑动摩擦力. 预 位移具有弹性, 即摩擦力消除后物体沿反向移动, 试图回到原位置, 但保留一定残余位移量 OA(沿 1-2-5 下降, 交 x 轴于 A 点), 即预滑动位移或 Dahl 效应. 不管在何种载荷下卸载再加载, 摩擦力总是 试图回到卸载时状态, 形成一个内循环 (即沿 2-33.′ 上升交于 1, 然后沿 f (x) 上升; 或沿 3-2-2.′ 下 降交于 2, 然后沿 2-5 至 5 后, 或沿 −f (−x) 下降或 沿 5-B -1 上升). 计算中要记住每个运动反向时的 摩擦状态, 直到该内循环封闭. 这种模型也称考虑 非局部记忆的滞后模型.
114
力
学
进
展
2013 年 第 43 卷
2.1.6 摩擦滞后 (记忆)
接触表面间相对运动速度发生改变时, 摩擦 力滞后一段时间 (几到几十毫秒) 才会改变的现 象 [19] . 速度变化时, 滞后现象导致摩擦力与速度 的关系曲线呈现一个迟滞环 (宽度随速度变化率 的增加而增加 [19-20] , 减速时的摩擦力的幅值低于 增速时的摩擦力的幅值), 如图 3 所示.
f fm f x Xm B f x A X '
上 述 摩 擦 特 性 中, 库 仑 摩 擦 、 静 摩 擦 和 Stribeck 效应属静态特性; 可变的最大静态摩擦 力、预滑动位移、摩擦滞后属动态特性.
2.2
摩擦力模型
根据摩擦现象是否由微分方程来描述, 可分 为静态摩擦模型和动态摩擦模型 [21] . 前者将摩擦 力描述为相对速度的函数, 后者将摩擦力描述为 相对速度和位移的函数. 实际上, 后者也包含摩擦 的静态特性, 能够较为真实地描述界面摩擦状态.
2.2.1 静态摩擦模型
提出了如图 4 所示 的理想干摩擦模型. 干摩擦力 f 是突然发生的, 且 与相对滑动速度 v 的关系如图 4(b) 所示.
[22]
(1) 库仑模型. Hartog
'
f (v ) = fc sgn(v )
(1)
图 2 预滑动位移
式中, fc 是库仑摩擦力 (fc = µ |fn |, µ 是摩擦系数, fn 是法向力), sgn(v ) 是符号函数. f 与位移的关 系及波形图见图 4(c), 图 4(d). 速度为零时, 摩擦 力是介于 fc 与 −fc 之间的任何值, 求解中的判断 非常烦琐. 为此, 发展了各种等效线性方法. 邓哈 达按耗散能量相等求出与干摩擦等效的黏性阻尼 力 [23] , 即 4 CωXm = fc (2) π 式中, C 为等效黏性阻尼系数, 且是频率 ω 和 Xm 的函数, 以此求得的近似解和精确解差异不大 [23] .
ᨽ᪺fc
ᨽ᪺
䗳ᑺ
图 3 迟滞环
fc 0 䗳ᑺv fc
(a) Ѹ䴶Ϟᑆᨽ᪺ൟ f ᨽ᪺f a fc o fc fc Xm X o fc a
(b) Coulomᨽ᪺
ωt
(c) ᨽ᪺Ϣԡ鼠݇㋏
(d) ᨽ᪺⊶ᔶ
图 4 库仑摩擦
第 1 期
丁千等 : 机械系统摩擦动力学研究进展
115
库仑摩擦以其简洁的表达式, 一度被广泛用 于补偿技术中. 但它只描述了动摩擦力, 没有考 虑最大静摩擦力与动摩擦力的差值, 在发生黏着 状态和反向运转的机械系统中很少可以用到该摩 擦模型. 由于计入摩擦模型, 导致系统动力学方程 是强非线性的, 理论求解非常复杂. 因此在解析分 析摩擦对系统动力学的影响时, 通常考虑简单的 库仑模型. 减振研究中最常用的不连续摩擦模型 就是库仑摩擦模型, 如涡轮机/汽轮机叶片系统的 摩擦阻尼, 颤振控制中的干摩擦等. (2) 静摩擦与库仑摩擦模型. 使系统从零速到 达一个稳态速度的力, 要比保持这个稳态速度所 需的力大, 即静摩擦要大于库仑摩擦. 因此得到静 态与库仑摩擦模型 [24] . v = 0, |fe | < fs fe , f= (3) fs sgn(fe ), v = 0, |fe | ≥ fs fc sgn(v ), v ̸= 0 式中, fe 为外力. 当 v =0 时, 摩擦力是外力的函数 而不是速度的函数；当 v ̸=0 时, 摩擦力仍可表示 为库仑摩擦的形式, 如图 5(a).
f fs fc v fc fs (a) f fs fslip
直线斜率由速度限 Dv 和滑动摩擦力确定. 这样, 摩擦力就成为相对速度的单值函数. v fs , v < |D | v Dv f= (4) f (v ), v ≥ D
c v
通过对 Dv 的调整, 可在一定程度上调节仿真结果 的精度. 但该模型即使在外力小于最大摩擦力 fs 时, 也允许物体加速, 实际上并不能真正仿真静摩 擦现象. 减小 Dv 虽可以提高精度也会导致积分步 长的减小, 数值计算上有困难. 该模型常用在发生黏着状态和反向运转的机 械系统中. (3) Stribeck 模型. 克服静摩擦力后, 摩擦力在 低速下先随速度的增加而减小, 然后才上升, 这一 现象被称为负斜率摩擦现象, 可以用指数模型来 描述 [25]
f (v ) = fc + (fs − fc )e−(v/vs )
δ
(5)
式中, fs 是最大静摩擦力, vs 是 Stribeck 速度, vs 和 δ 都是经验常数 (通常取 δ = 1 或 2). 当 δ = 1 时 为 Tustin 模型 [26] ; δ = 2 时为 Gauss 指数模型 [27] , 并与 Lorentzian 模型 [19] 近似等效
第1期
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Vol. 43 Jan. 25,
No. 1 2013
2013 年 1 月 25 日
ADVANCES IN MECHANICS
机械系统摩擦动力学研究进展 ∗
丁 千 † 翟红梅
天津大学力学系, 天津 300072
摘
要
摩擦环节对机械系统动力学行为有重要、甚至可能是关键的影响. 深入研究摩擦及摩擦动力学特点,
对于解决机械系统中摩擦带来的不利影响, 发挥其有利作用, 是非常重要的. 本文介绍和评述了机械系统摩擦 动力学的研究进展, 包括常用的摩擦模型及其特性, 摩擦系统自激振动、强迫振动和摩擦振动控制等. 除理论 研究方法之外, 重点讨论了制动噪声振动、摩擦耗能和多领域摩擦振动控制等摩擦动力学的应用研究. 关键词 机械系统, 摩擦, 自激振动, 制动噪声, 摩擦耗能, 振动控制 文献标识码: A 文章编号: DOI:10.6052/1000-0992-12-039
中图分类号: O322, TH113.1
1 引
言
摩擦是自然界普遍存在的现象, 引起的振动 广泛存在于人们生活和工程实际中. 在汽车轮胎、 离合器、刹车片、弓弦乐器和各种阻尼器的工作 中, 摩擦发挥了有利的作用. 但摩擦引起的异常振 动、 颤振和噪声等, 也会对机械的正常工作造成不 利影响. 因此摩擦动力学研究有着非常重要的理 论和实际意义. 摩擦现象十分复杂, 按摩擦副的不同情况分 类为滑动、 滚动摩擦, 静、 动摩擦, 干、 湿摩擦等 [1] . 滑动摩擦力作用于相对滑动 (趋势) 物体接触面的 切线方向, 滚动摩擦是物体接触部分发生形变时 产生的阻力矩. 车辆行驶中, 要求轮胎与地面之间 既不能打滑, 滚动阻力也不能太大, 因此采用有一 定形变的充气橡胶轮胎, 提供足够的滑动摩擦力, 并尽量减小滚动摩擦阻力. 在以硬质金属材料组 成的机械系统中, 滚动摩擦的影响一般很小. 干摩 擦是指在无润滑条件下的摩擦. 虽然在实际的环 境中, 摩擦表面可能存在着自然污染和氧化膜, 使 得摩擦系数显著改变, 但机械系统中的摩擦通常 按干摩擦处理, 主要是因为模型比较简单. 动力学系统中的干摩擦问题研究已持续了几 个世纪. 早期研究主要针对低维系统和低维摩擦
收稿日期 : 2012-03-20, 修回日期 : 2012-12-03
∗ 国家自然科学基金资助项目 †
力模型, 后来出现了构件干摩擦阻尼设计研究, 包 括各类梁、 板、 柔性转子等含摩擦的结构. 例如在 叶轮机械发展过程中, 利用干摩擦阻尼器进行叶 片减振 [2-3] . 随着科学技术的发展, 人们对结构、 机械和各类装备的动力学性能的要求也随之提高, 对摩擦导致的系统动力行为的深入了解, 是满足 这一要求的重要基础. 干摩擦动力学行为属于非光滑动力学的范畴. 非光滑动力系统研究涉及机械、航空航天、控制、 电力和神经网络等许多领域, 是一个年轻且活跃 的研究分支. 接触碰撞、摩擦和开关控制等是动 力学非光滑的主要来源, 导致系统产生特有的动 力学现象, 如擦切分岔、 边界碰撞及运动规律突变 等. 近几十年来, 机械系统的摩擦动力学研究取 得了可观的成果, 也有许多很好的专著和综述文 章 [4-11] . 结合作者的工作, 本文从摩擦特点和摩擦 力模型、 摩擦系统自激振动和强迫振动等方面, 综 述机械系统滑动干摩擦动力学近期的研究进展.
2 摩擦力特性和模型
摩擦界面性质和系统动力学之间有复杂的相 互影响, 摩擦力模型的精确与否, 与系统本身的动 态行为有关. 当构建一个系统模型时, 必须解决动
(10972154, 11272228)
E-mail: qding@tju.edu.cn
第 1 期
丁千等 : 机械系统摩擦动力学研究进展
113
力学本身与摩擦之间的强耦合问题, 包括选择合 适的摩擦力模型, 处理好计算中可能出现的障碍 等. 摩擦力的建模是很多工程领域中重要的步骤, 在接触力学、 动力学及控制、 地质力学、 结构动力 学等各领域中, 虽然对摩擦力的力学机理及建模 方式有着不同要求, 但基本要求都是使模型中各 要素的变化对于解决本领域问题的影响降低到最 小, 也就是希望得到最简单形式的模型. 但到目 前为止, 还不存在适用于所有领域的摩擦理论和 学说, 当然也很难得到普适、准确且简洁的摩擦 力模型. 机械系统摩擦动力学研究中的摩擦基本 上都是采用点 -- 点接触, 这种接触模型形式简单又 便于系统动力学分析. 如果采用面 -- 面接触摩擦模 型, 通常借助接触面有限元来计算, 但如果求解问 题涉及的接触面很多, 则求解工作会非常困难. 许多学者对摩擦力特性和模型进行了讨论和 综述. Berger [12] 较为全面地介绍了应用于不同领 域的摩擦模型和典型动态行为研究, 是一篇有代 表性的综述文献. 刘丽兰等 [13] 则介绍了机械系 统中的摩擦现象和常用的摩擦模型, 为研究中摩 擦模型的选用提供了参考. 本节对典型摩擦力特 性和常用模型做一简单介绍.
2.1
度的增加, 摩擦力反而下降, 即摩擦力 -- 速度曲线 出现负斜率部分 [16] . 负斜率实际上就是负黏性阻 尼项, 是引起不稳定的因素.
2.1.4 可变的最大静摩擦力
滑动开始前摩擦与位移的关系见图 1(a) [15] . 研究指出 [17-18] , 最大静摩擦力与驻留时间有关, 即 取决于外力的施加速率 (图 1(b)).
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摩擦力特性
ᮑࡴ䗳ᑺ (b)ব࣪ⱘ᳔䴭ᨽ᪺
摩擦力是两个接触表面间产生的切向作用力, 大小取决于接触面几何形状及布局, 接触物体材 料和润滑情况, 物体间相对速度、 位移等多方面因 素. 摩擦行为的共同特点是: 依赖于 (相对) 速度; 记忆效果, 即存在时滞或临界滑动位移; 零相对速 度附近的多值性; 静摩擦力与驻留时间有关; 预滑 动位移等.
2.1.1 库仑摩擦
图 1 可变的最大静摩擦力
2.1.5 预滑动位移 (Dahl 效应) Dahl 通过实验观察发现, 在静止物体开始滑
库仑摩擦中接触点相对不移动 (除非超过一 定界限), 摩擦力跟作用在摩擦面上的正压力成正 比, 跟外表的接触面积无关, 与运动方向相反, 而 与速度的幅值无关.
2.1.2 静摩擦
物体从静止开始到产生相对运动期间所受的 摩擦力 [14] , 不依赖于相对速度, 但与外力的大小 有关, 因此存在零相对速度附近的多值性. 最大静 摩擦力大于库仑摩擦力 [15] .
2.1.3 Stribeck 效应
在相对滑动速度较低的范围内, 随着相对速
动过程中 (从 O 开始沿弹性摩擦力曲线 f (x) 上升, 见图 2), 当切向力小于最大静滑动摩擦力时, 物体 产生一个极小预位移而达到新的静止位置, 物体 开始滑动的极限位置对应最大静滑动摩擦力. 预 位移具有弹性, 即摩擦力消除后物体沿反向移动, 试图回到原位置, 但保留一定残余位移量 OA(沿 1-2-5 下降, 交 x 轴于 A 点), 即预滑动位移或 Dahl 效应. 不管在何种载荷下卸载再加载, 摩擦力总是 试图回到卸载时状态, 形成一个内循环 (即沿 2-33.′ 上升交于 1, 然后沿 f (x) 上升; 或沿 3-2-2.′ 下 降交于 2, 然后沿 2-5 至 5 后, 或沿 −f (−x) 下降或 沿 5-B -1 上升). 计算中要记住每个运动反向时的 摩擦状态, 直到该内循环封闭. 这种模型也称考虑 非局部记忆的滞后模型.
114
力
学
进
展
2013 年 第 43 卷
2.1.6 摩擦滞后 (记忆)
接触表面间相对运动速度发生改变时, 摩擦 力滞后一段时间 (几到几十毫秒) 才会改变的现 象 [19] . 速度变化时, 滞后现象导致摩擦力与速度 的关系曲线呈现一个迟滞环 (宽度随速度变化率 的增加而增加 [19-20] , 减速时的摩擦力的幅值低于 增速时的摩擦力的幅值), 如图 3 所示.
f fm f x Xm B f x A X '
上 述 摩 擦 特 性 中, 库 仑 摩 擦 、 静 摩 擦 和 Stribeck 效应属静态特性; 可变的最大静态摩擦 力、预滑动位移、摩擦滞后属动态特性.
2.2
摩擦力模型
根据摩擦现象是否由微分方程来描述, 可分 为静态摩擦模型和动态摩擦模型 [21] . 前者将摩擦 力描述为相对速度的函数, 后者将摩擦力描述为 相对速度和位移的函数. 实际上, 后者也包含摩擦 的静态特性, 能够较为真实地描述界面摩擦状态.
2.2.1 静态摩擦模型
提出了如图 4 所示 的理想干摩擦模型. 干摩擦力 f 是突然发生的, 且 与相对滑动速度 v 的关系如图 4(b) 所示.
[22]
(1) 库仑模型. Hartog
'
f (v ) = fc sgn(v )
(1)
图 2 预滑动位移
式中, fc 是库仑摩擦力 (fc = µ |fn |, µ 是摩擦系数, fn 是法向力), sgn(v ) 是符号函数. f 与位移的关 系及波形图见图 4(c), 图 4(d). 速度为零时, 摩擦 力是介于 fc 与 −fc 之间的任何值, 求解中的判断 非常烦琐. 为此, 发展了各种等效线性方法. 邓哈 达按耗散能量相等求出与干摩擦等效的黏性阻尼 力 [23] , 即 4 CωXm = fc (2) π 式中, C 为等效黏性阻尼系数, 且是频率 ω 和 Xm 的函数, 以此求得的近似解和精确解差异不大 [23] .
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图 3 迟滞环
fc 0 䗳ᑺv fc
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(b) Coulomᨽ᪺
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(c) ᨽ᪺Ϣԡ鼠݇㋏
(d) ᨽ᪺⊶ᔶ
图 4 库仑摩擦
第 1 期
丁千等 : 机械系统摩擦动力学研究进展
115
库仑摩擦以其简洁的表达式, 一度被广泛用 于补偿技术中. 但它只描述了动摩擦力, 没有考 虑最大静摩擦力与动摩擦力的差值, 在发生黏着 状态和反向运转的机械系统中很少可以用到该摩 擦模型. 由于计入摩擦模型, 导致系统动力学方程 是强非线性的, 理论求解非常复杂. 因此在解析分 析摩擦对系统动力学的影响时, 通常考虑简单的 库仑模型. 减振研究中最常用的不连续摩擦模型 就是库仑摩擦模型, 如涡轮机/汽轮机叶片系统的 摩擦阻尼, 颤振控制中的干摩擦等. (2) 静摩擦与库仑摩擦模型. 使系统从零速到 达一个稳态速度的力, 要比保持这个稳态速度所 需的力大, 即静摩擦要大于库仑摩擦. 因此得到静 态与库仑摩擦模型 [24] . v = 0, |fe | < fs fe , f= (3) fs sgn(fe ), v = 0, |fe | ≥ fs fc sgn(v ), v ̸= 0 式中, fe 为外力. 当 v =0 时, 摩擦力是外力的函数 而不是速度的函数；当 v ̸=0 时, 摩擦力仍可表示 为库仑摩擦的形式, 如图 5(a).
f fs fc v fc fs (a) f fs fslip
直线斜率由速度限 Dv 和滑动摩擦力确定. 这样, 摩擦力就成为相对速度的单值函数. v fs , v < |D | v Dv f= (4) f (v ), v ≥ D
c v
通过对 Dv 的调整, 可在一定程度上调节仿真结果 的精度. 但该模型即使在外力小于最大摩擦力 fs 时, 也允许物体加速, 实际上并不能真正仿真静摩 擦现象. 减小 Dv 虽可以提高精度也会导致积分步 长的减小, 数值计算上有困难. 该模型常用在发生黏着状态和反向运转的机 械系统中. (3) Stribeck 模型. 克服静摩擦力后, 摩擦力在 低速下先随速度的增加而减小, 然后才上升, 这一 现象被称为负斜率摩擦现象, 可以用指数模型来 描述 [25]
f (v ) = fc + (fs − fc )e−(v/vs )
δ
(5)
式中, fs 是最大静摩擦力, vs 是 Stribeck 速度, vs 和 δ 都是经验常数 (通常取 δ = 1 或 2). 当 δ = 1 时 为 Tustin 模型 [26] ; δ = 2 时为 Gauss 指数模型 [27] , 并与 Lorentzian 模型 [19] 近似等效