质心运动定理
质心运动定理
质心运动定理
质心运动定理是质点系动量定理的另一种形式,可由质点系动量定理直接导出。
即将P＝Mvc代入质点系动量定理dP/dt＝∑Fe，得：Mdvc/dt＝∑Fe或Mac ＝∑Fe——称为质心运动定理.(∵ac＝dvc/dt)
即：质点系的质量M与质心加速度ac的乘积等于作用于质点系所有外力的矢量和(外力主矢量)。
可见：只有外力才能改变质点系质心的运动。
定理的推论
根据这个定理可推知：
①质点系的内力不能影响它的质心的运动；例如跳水运动员自跳板起跳后，不论他在空中再做何种动作，采取何种姿势，由于外力(重力)并未改变，所以运动员的质心在入水前仍沿抛物线轨迹运动；
②如果作用于质点系上外力的矢量和始终为零，则质点系的质心作匀速直线运动或保持静止；
③若作用于质点系上外力的矢量和在某轴上的投影始终为零，则质点系质心在该轴上的坐标匀速变化或保持不变。
2 质心 质心运动定理
将质心的位置矢量 rC 对时间t求导，可得出
质心运动的速度为
dri m drC i dt vC dt m
mi v i m
由此可得
mvC mi vi
上式等号右边就是质点系的总动量
p mv C
即：质点系的总动量等于它的总质量与它的质心的运动 速度的乘积。
质心、质心运动定理
质心 质心运动定理
一．质心
当我们把一匀质薄三角板斜 向抛出时，它的空间运动很 复杂，但实际观测表明，在 薄板上有一点C仍然在作抛 物线运动。C点的运动规律 就象把薄板的质量都集中在 C点，全部的外力也象时作 用在C点一样。这个特殊点C 就是质点系统的质心。
2
质心运动定理 证明： 质点系的总动量等于它的总质量与它的质心的动速度的乘积。
根据牛顿第二定律的微分形式
dp dv C F m ma C dt dt
上式表明无论质点怎样运动，质点系的总质量与质心加速 度的乘积总等于质点系所受全部外力的矢量和，这就是质 心运动定理。它对刚体同样适用。
4
质心运动守恒定理
质心运动守恒定理
质心运动守恒定理，也称为质心运动定理，是物理学中的一个重要定理，用于描述系统总质量的质心在不受外力作用时的运动特性。
质心是一个系统的所有质点的质量加权平均位置。
在不受外力作用的情况下，质心的运动有一个重要的特性：系统的质心以恒定的速度直线运动。
质心运动守恒定理的表述如下：
在一个封闭系统中，如果系统内部没有外力作用，那么系统的质心将以恒定的速度沿着直线运动。
这意味着，如果一个系统内部没有物体离开或进入，系统的总质量保持不变，而且系统的质心在运动过程中不会改变速度或方向。
质心运动守恒定理是一个非常有用的工具，特别在研究大规模物体组成的系统时，如行星运动、天体运动等。
需要注意的是，如果系统受到外力作用，那么质心运动守恒定理将不再适用，质心的运动将会受到外力的影响。
因此，在具体问题中，需要根据情况来判断是否可以应用质心运动守恒定理。
1/ 1。
3-4质心 质心运动定理 动量守恒定律
设燃气相对于火箭的喷气速度是一常量
火箭飞行
设火箭开始飞行的速度为零， 设火箭开始飞行的速度为零，质量为 M0 ，燃 料烧尽时， 料烧尽时，火箭剩下的质量为 M ，此时火箭能达 到的速度是
M0 dm v = ∫M0 u = u ln m M
M
火箭的 质量比
多级火箭
vn = ∑ ui ln Ni
上述结果表明，两小孩在纯内力作用下， 上述结果表明，两小孩在纯内力作用下，将在他们 共同的质心相遇。 共同的质心相遇。上述结果也可直接由质心运动定 律求出
动量守恒定律
例 一质量m = 50kg 的人站在一条质量为 m2 = 200kg， 1 的船的船头上。开始时船静止， 长度 l = 4m 的船的船头上。开始时船静止，试求当人走 到船尾时船移动的距离。（假定水的阻力不计。） 。（假定水的阻力不计 到船尾时船移动的距离。（假定水的阻力不计。） 解： 设 cb 表示 船本身的质心
α = 1800 θ
v2 0 因 tgθ = =1,θ = 45 , 所以 v1
α =1350
v3及 v2都成 1350 且三者都在同一平面内 即 v1和
动量守恒定律
例题3-10 质量为 1 和m2的两个小孩，在光滑水平冰面 质量为m 的两个小孩， 例题 上用绳彼此拉对方。开始时静止，相距为l。 上用绳彼此拉对方。开始时静止，相距为 。问他们将 在何处相遇？ 在何处相遇？
(d m)(v u)
火箭飞行
由于火箭不受外力的作用， 由于火箭不受外力的作用，系统的总动量保持不 变。根据动量受恒定律
mv = (m + d m)(v + d v) + (d m)(v u)
化简
dm d v = u m dm ∫v1 d v = ∫m1 u m m v2 v1 = u ln 1 m2
质心运动定理
质心运动定理3、质心运动定理质心运动定理问题：内力是否影响质心的运动？(e)1d ()d n C ii mv F t==∑由(e)1d d n C ii v m F t ==∑得(e)1nC ii ma F ==∑或质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系外力的矢量和.－－质心运动定理质心运动定理与动力学基本方程有何相似与不同之处？质心运动定理常量质心运动定理质心运动定理内力不能改变质心的运动汽车发动机的气体压力是原动力通过传动机构使主动轮转动地面摩擦力(e)1nC ii ma F ==∑ma F=质点系质心的运动可看成质点的运动，此质点集中了质点系的质量及其所受的力爆破山石通过质心运动轨迹， 确定石块堆落地点 ma F=是公理，描述质点运动状态变化规律(e)1nC ii ma F ==∑是导出定理，描述质心运动状态变化规律质心运动守恒定律(e)Cx xma F=∑(e)Cy yma F=∑(e)Cz zma F=∑2(e)Cnv m F ρ=∑(e)C t v m F t =∑d d (e)0bF=∑在直角坐标轴上的投影式为:在自然轴上的投影式为:(e)F ∑≡若 则 常矢量 C v =(e)0xF∑≡若 则 常量 =Cxv若初始静止，质心位置不变 若初始速度投影等于0， 质心在该轴坐标不变质心运动定理均质曲柄AB长为r,质量为m1,假设受力偶作用以不变的角速度ω转动,并带动滑槽连杆以及与它固连的活塞D ,如图所示.滑槽、连杆、活塞总质量为m2,质心在点C .在活塞上作用一恒力F .不计摩擦及滑块B的质量,求:作用在曲柄轴A处的最大水平约束力Fx .例1t m m m m r t x a C Cxωωcos 2d d 2121222⎪⎭⎫⎝⎛++-==tm m r F F x ωωcos 2212⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫⎝⎛++=212m ax2m m r F F ω最大水平约束力为应用质心运动定理()FF a m m x Cx -=+21()21211cos cos 2m m b r m r m x C +⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=ϕϕ分析整体，受力如图所示。
123质心运动定理理论力学
y A
A, Co
, C
, B
B mg
x
FN
解：以均质杆AB为研究对象，并以杆AB铅直时的 轴线为 y轴，建立图示坐标系。AB杆倒下过程中所受外力 有：重力mg，光滑水平面的法向反力FN， 杆在倒下的过程中有：
? FRex ? Fixe ? 0
即质点系动量在 x方向上守恒，
又：t=0时杆处于静止 故质心运动在x方向上守 恒，有：
§12.3 质心运动定理
一、质量中心
质点系在力的作用下，其运动状 态与各质点的质量及其相互的位 置都有关系，即与质点系的质量 分布状况有关。
1.定义：
? rc ?
mi ri m
（12.10）
由式 (12.10)所定义的质心位置反映出质点系质量分布的一种
特征质心的概念及其运动在质点系（ 特别是刚体）动力学中
具有重要地位。
? mi ri
rc ? 2.质心的力学意义
m
① 若质点系中各质点的质量相等，则：
rc
?
m r1 ? m r2 ? ......? m m? m? ......? m
rn
? ? r1 ? r2 ? ......? rn ? n
1 n ri
1/n 与 i 无关，为公因子。
（12.11）
式中: ri系数 1/n 表示第 i个质点的质量在质点系质量中 所占的比例，质心的矢径rc即为各质点的平均矢径。
（1）
x2 ? ecos? t y2 ? esin? t （2）
(3) 代入质心坐标公式得 质心 c 的运动方程：
? ??
xc
?
m2 m1 ? m2
e cos?
t
?
? ??
4.4 质心 质心运动定理
大学物理 第三次修订本
17
第4章 冲量和动量
在第二级火箭燃料耗尽时, 火箭主体的 速度达到了v2 , 由公式得
v v0 uln
M0 M
v2 v1 uln N 2
在第三级火箭燃料耗尽时, 火箭主体最后 达到的速度为v, 应满足
M v [(M dM )(v dv) (dM )(v dv u )]
即
M dv udM 0
v
0
积分得 v
dv u
M
dM M
0
M0
v v 0 u(ln M ln M 0 ) 0 v v 0 u ln
M0 M
12
大学物理 第三次修订本
第4章 冲量和动量
16
第4章 冲量和动量
例3有一个三级火箭, 第一级火箭脱落前的质量 比为 N1 , 第二级火箭刚发动时火箭的质量与第 二级火箭燃料耗尽时火箭的质量之比为 N2 , 第 三级火箭刚点燃时火箭的质量与燃料耗尽时火 箭的质量之比为N3 。 若取N1 = N2 = N3 = 7.4；各级火箭的喷射速 度都为u =2.5kms-1。不计重力影响, 求该火箭最 后达到的速度。
第4章 冲量和动量
各级火箭中燃料烧完后, 火箭的速率为
v1 u ln N1
v2 v1 u ln N 2
v3 v2 u ln N 3
若火箭粒子流的喷射速率u=2.5kms-1，每 一级的质量比分别为N1=4, N2=3, N3=2, 可得: v3=7.93kms-1。
大学物理 第三次修订本
ri
rc
mi
质心运动定理讲解
质心运动定理讲解
质心运动定理指的是质点系的质心以恒定的速度沿着直线运动，
且其所受合外力等于其质量与加速度的积。
这个定理结合了牛顿第二
定律和质点系的质心公式，表达了质心运动的关键性质。
牛顿第二定律指出，物体受到的合外力等于其质量乘以加速度。
对于质点系，可以将其看成一个由若干个质点组成的系统。
此时，质
点系的质心可以看作是其所有质点质量之和的加权平均值。
因此，如
果我们知道了质点系受到的合外力，就可以计算出质点系的总加速度，从而推导出质心的运动规律。
具体来说，如果质点系受到的合外力为F，质点系的质量为M，
质心的速度为v，则根据牛顿第二定律有F=Ma。
又根据质点系的质心
公式，有Mv=Σmivi，其中Σmivi表示所有质点的质量与速度之积之和。
这里我们假设质点系并不发生转动，因此质心的速度与角速度均
为常数。
将上述两个式子联立，可以得到Mv=F/a，也就是质心的加速度与外力和质点系质量之比相等。
因此，质心的运动可以看成是一个受到
恒定加速度的匀加速直线运动，其速度随时间线性增加。
总之，质心运动定理给出了描述质点系运动的一个关键性质。
通
过计算质心的加速度，我们可以推导出质心的运动规律，从而了解整
个质点系的运动情况。
2_9质心与质心运动定理
例3 有质量为2m的弹丸，从地面斜抛出去，它的落 地点为xC 。如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相 等的两碎片。其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水 平抛出，它们同时落地。问第二块碎片落在何处。
解： 在爆炸的前后，质心始终
只受重力的作用，因此， 质心的轨迹为一抛物线， 它的落地点为xc 。
m1 x1 m2 x2 xC m1 m2 mx2 xC 2m
dV r 2 dz
而
r a sin z a cos , 2 dV a sin d a cos
a 1 cos d cos
3 2
r a sin
z
z a cos x
a
0 设 u cos ，则 v z dV zdV a 4 1 1 u2 udu 2 a 3 zc 0 3 V dV
x1c R
y
O
x
1 2 小圆板质量为 m1 R， 4 质心坐标为
2
3 余下的质量为 m2 R 2，质心坐标用 x 2 c表示，则 4
1 3 2 R R R 2 x2 c 2 4 0 4 2 R
R x2c 6
例2
求半径为a的均质半圆球的质心
解：如图，以球心O为原点建立坐标系.将半球体划 分为若干半径为r厚为dz的平板状薄圆，体积元为dV
令
m1r1 m2 r2 rc m1 m2
（2）n个质点系统
分量形式
xc
i
rc
mi ri
m
i
i i
i
i
m x m
i i i
i
3.3 质心 质心运动定理
i
F iX 0
PX 0
画系统 受力图 M V X m x 0
x VX X
是m相对于小车的速度
VX m M m
X
8
第3章动量与角动量
VX
m M m
t 0
XX 来自t 0V X dt
m M m
t 0
dt X
M 例3 如图 已知： , m , l ，地面光滑。 m , l mg 起初：单摆水平，静止。 求：下摆至 时，车的位移。 V
o
N
X
以此例即将说明 动量守恒和质心速度不变是同义语。 动量守恒的问题也可以利用 质心速度不变来解。 解： 法一 用动量守恒定律 选 M + m 为系统
M
Mg
4
ac
i
m iai / m i
i
t2 t1
F外 d t
P P0
dP
第3章动量与角动量
讨论
F外
1）质点系动量定理微分和积分形式： t dP m a c （ F外 ） F d t P P0
dt
2
t1
外
2) 质心的运动，该质点集中整个系统质量，并集中系统 受的外力，代替质点系整体的平动。
i
说明: 1）不太大的物体的质心与重心重合； 2）均匀分布的物体，质心在几何中心； 3）质心是位置的加权平均值，质心处不一定有质量； 4）具有可加性，计算时可分解。
2 第3章动量与角动量
例1 已知一半圆环半径为 R，质量为M。
求 它的质心位置。
解 建坐标系如图
质心运动定理公式
质心运动定理公式
《质心运动定理公式》是物理学中一个重要的定理，它描述了质点在牛顿力学中的运动规律。
它指出，在牛顿力学中，一个质点的运动轨迹是一个椭圆，其中质心是椭圆的中心，它是质点的动量的守恒定律的结果。
质心运动定理的公式为：质点的轨迹方程为：
x²/a²+y²/b²=1，其中a为椭圆的长轴，b为椭圆的短轴，x为质点的横坐标，y为质点的纵
坐标。
质心运动定理公式的发现对物理学的发展具有重要意义，它可以用来描述质点运动的轨迹，也可以用来解释物体运动的规律，比如太阳系中行星的运动轨迹就是椭圆，它们的轨迹就是质心运动定理的结果。
此外，质心运动定理公式也可以用来描述其他物理现象，比如电子在原子核中的运动轨迹也是椭圆，它们的运动轨迹也是质心运动定理的结果。
质心运动定理公式是一个重要的定理，它可以用来描述物体运动的规律，为物理学的发展做出了重要贡献。
质心运动定理讲解
质心运动定理讲解
质心运动定理是物理学中的一个重要定理，它描述了一个物体的质心在外力作用下的运动规律。
质心是一个物体的所有质点的平均位置，它是一个重要的物理量，可以用来描述物体的运动状态。
根据质心运动定理，一个物体的质心在外力作用下的运动规律可以用以下公式表示：
F = ma
其中，F表示物体所受的外力，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。
这个公式表明，一个物体所受的外力越大，它的加速度就越大，质心的运动速度也就越快。
质心运动定理的应用非常广泛，它可以用来解释很多物理现象。
例如，当一个物体受到一个施加在它上面的力时，它的质心会向着力的方向运动。
这个现象可以用质心运动定理来解释，因为当一个物体受到外力时，它的质心会受到相同的力，从而产生加速度，导致质心运动。
质心运动定理还可以用来解释物体的旋转运动。
当一个物体旋转时，它的质心也会随着旋转，但是质心的运动速度和旋转速度是不同的。
这个现象可以用质心运动定理来解释，因为当一个物体旋转时，它的质心会受到向心力的作用，从而产生向心加速度，导致质心运动。
质心运动定理是物理学中一个非常重要的定理，它可以用来解释很多物理现象。
通过理解和应用质心运动定理，我们可以更好地理解物体的运动规律，从而更好地掌握物理学知识。
质心运动定理表达式
质心运动定理表达式
质心运动定理是一种在物理学中使用的定理，它定义了一个物体在受外力作用时，其运动轨迹对于半径等于质心处运动轨迹的投影是什么。
质心运动定理的数学表达式是：速度矢量的和等于两个外力矢量的和乘以质心距离的倒数（P2-P1）。
质心运动定理可以在物理学中应用于多种情况。
例如，在分析多部件系统的运动特性时，可以使用质心运动定理来描述它们之间的运动关系。
比如，可以用质心运动定理来求解车轮系统中每个部件的运动关系，也可以用它来研究悬挂系统中悬挂点与质心之间的运动特性。
此外，质心运动定理还可以用来描述复杂的摩擦力学系统中物体之间的运动特性；还有，它还可用来检验重力势能场和摩擦力场影响的运动特性，以及多体系统中的动力学。
另外，质心运动定理还被广泛应用于船舶分析和控制系统的设计中，并可以用来确定摇杆系统的运动特性，并对船只在自由和受控状态下的运动进行预测和模拟。
总而言之，质心运动定理是一种在多种应用领域都有重要应用的定理，可以用来查明受外力作用时物体的移动历程。
正是有了这个定理，我们才能更加清楚的掌握复杂物理问题，从而做出更好的解决方案。
质心-质心运动定理
一、 质心(the center of mass)
质心位矢
rc
mir i m
坐标
xc
mi
x i
m
yc
mi
y i
m
z
ri
o x
mi
rc
m2
m1 r1
y
zc
mi zi m
对于质量连续分布的系统
rc
rdm
m
例: 已知一半圆环半径为 R，质量为m ，
y
d
求: 它的质心位置。 解: 建坐标系如图 取 dl
dm
dl
M
R
Rd
M
d
C dm
0.64R
o
x
x Rcos y Rsin
yc
ydm
Rsin M d
0
0.64R
M
M
xc
xdm
R cos M d
0
0
M
M
二、质心运动定理(theorem of the motion of center of mass)
1. 质心的速度
vc drc d (
解:炮弹炸裂前后所受外力始终是重力,所以炮弹炸裂
对质心运动没有影响, m1和m2落地时, 炮弹的质心坐标
为 xc= 2R0
y
由 xc
mi xi 得
mi
o
m1x1 m2 x2 m1 m2
2R0
m1 m2 炮弹质心轨迹
x1=R0 xc=2R0
x x2=?
将 x1 = R0
代入得 x2 = 5R0
miri )
mi
dri dt
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动量定理
动量定理、质心运动定理、动量守恒定理
求加速度、 约束力
求速度 取矩轴约束力不出现，可求加速度
动量矩定理
– 对固定点、质心的动量矩定理
动能定理
只出现做功的力，可求速度加速度
– 动能定理（微分和积分形式）、机械能守恒定理
方便解决只有一个运动未知量(一个自由度)的问题
解题思路
J 0a M FR cos 45
（3）由质心运动定理求Fx、Fy 2 2 ( M 0 . 586 kR ) 质心加速度 a Ra cx 3mR 4 acy R 2 ( M 2 Rmg 0.343kR2 ) 应用质心运动定理
macx Fx F cos 45 macy Fy P F cos 45
3mR
将质心加速度代入
2 Fx M 0.196kR 3R Fy 3.667 mg 1.043kR 4.189 M R
解： 可用质心运动定理求约束力。因此，需求 出质心的加速度。质心作圆周运动，故有 切向与法向加速度，先求、a。
（1）求
由动能定理
T1 0
1 1 3 2 2 2 2 T2 J 0 mR mR mR2 2 2 22 4
k 2 2 w M P 2 R (1 2 ) 2 k M P 2 R [0 (2 2 R 2 R) 2 ] 2
M 2Rmg 2.343kR2
பைடு நூலகம்
（2）求a 由转动微分方程
4 2 ( M 2 Rmg 0 . 343 kR ) 2 3mR
2
1 3 2 mR a M k ( 2 2 R 2 R ) R 2 2 解得 a 2( M 0.586kR2 ) / 3mR2
分析受力和运动 从问题类型和所求的未知量出发选择定理 列公式求解
刚体系问题类型
求速度、加速度、未知内力、约束力 运动未知量只有一个 运动未知量多个
例: 匀质圆盘质量为m，半径为R，弹簧刚度为k，CA＝2R为弹 簧原长，在常力矩 M作用下，由最低位置无初速度地在铅垂平 面内绕轴O向上转。试求达到最高位置时，轴承O的约束力。