必修2直线与圆的位置关系2PPT课件
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2.5.1 直线与圆位置关系 课件(共23张PPT)
2
(
3
)
4 1 2= 1 > 0
因为
所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点．
由 2 − 3 + 2 = 0 ，解得1 = 2, 2 = 1.
把 1 = 2代入方程①，得 1 = 0 ；
把 2 = 1代入方程① ，得 2 = 3．
所以，直线 l 与圆的两个交点是：
（2，0），（1，3）
【分析】如图，点(2,1)位于圆: 2 + 2 = 1外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相切.我们设切线方
程为 − 1 = ( − 2), k为斜率.由直线与圆相切可求出k的值.
y
解法1：设切线的斜率为，则切线的方程为 − 1＝ − 2 ，
P.
即kx-y+1-2k=0
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，得
【分析】思路一 判断直线l与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；
思路二 可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系．
解法一：由直线 l 与圆的方程，得：
3x y 6 0,
2
2
x
y
2 y 4 0.
消去y，得 x 2 3x 2 0
①当切线l的斜率存在时, 即 − + 2 − = 0,
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，得
|2 − |
2
+1
= 1, 解得
3
=4 ,
y
.
P
此时，切线l的方程为3 − 4 + 5 = 0.
②当切线l的斜率不存在时,此时直线x=1也符合题意.
(
3
)
4 1 2= 1 > 0
因为
所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点．
由 2 − 3 + 2 = 0 ，解得1 = 2, 2 = 1.
把 1 = 2代入方程①，得 1 = 0 ；
把 2 = 1代入方程① ，得 2 = 3．
所以，直线 l 与圆的两个交点是：
（2，0），（1，3）
【分析】如图，点(2,1)位于圆: 2 + 2 = 1外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相切.我们设切线方
程为 − 1 = ( − 2), k为斜率.由直线与圆相切可求出k的值.
y
解法1：设切线的斜率为，则切线的方程为 − 1＝ − 2 ，
P.
即kx-y+1-2k=0
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，得
【分析】思路一 判断直线l与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；
思路二 可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系．
解法一：由直线 l 与圆的方程，得：
3x y 6 0,
2
2
x
y
2 y 4 0.
消去y，得 x 2 3x 2 0
①当切线l的斜率存在时, 即 − + 2 − = 0,
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，得
|2 − |
2
+1
= 1, 解得
3
=4 ,
y
.
P
此时，切线l的方程为3 − 4 + 5 = 0.
②当切线l的斜率不存在时,此时直线x=1也符合题意.
2.2.3.1 直线与圆的位置关系 课件(北师大必修2)
|AB|＝ x1－x22＋y1－y22 ＝ x1－x22＋[－3x1＋6－－3x2＋6]2 ＝ 1＋32x1－x22＝ 10[x1＋x22－4x1x2] ＝ 10×32－4×2＝ 10. ∴弦 AB 的长为 10.
法二：圆 C：x2＋y2－2y－4＝0 可化为 x2＋(y－1)2＝5. 其圆心坐标为 C(0,1)，半径 r＝ 5， |3×0＋1－6| 10 点 C(0,1)到直线 l 的距离为 d＝ ＝ ， 2 2 2 3 ＋1 |AB| 所以半弦长 ＝ r2－d2＝ 2 所以弦长|AB|＝ 10. 10 2 10 5 － ＝ . 2 2
[悟一法] 经过圆内一点的圆的切线不存在；经过圆上一 点的圆的切线有一条；经过圆外一点的圆的切线有 两条，若只求出一条，则说明另一条切线的斜率不 存在，切线为x＝x0的形式．
[通一类] 3．若直线l过点P(2,3)，且与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1 相切，求直线l的方程． 解：①若直线l的斜率存在，
的
x1＋x2 y1＋y2 几何意义是什么？ ， 呢？ 2 2 提示：该方程组的解恰好是直线与圆的交点 P、Q 的坐标，
x1＋x2 y1＋y2 即有 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，而( ， )恰为弦 PQ 的 2 2 中点坐标．
2．是否任意直线与圆的位置关系的判定都可以用 几何法与代数法这两种方法？ 提示：是．几何法与代数法是从不同的方面进行
形，数形结合利用勾股定理得到．
[通一类]
2．(2012· 临沂高一检测)已知关于 x，y 的方程 C：x ＋y － 2x－4y＋m＝0， (1)当 m 为何值时，方程 C 表示圆． (2)若圆 C 与直线 l：x＋2y－4＝0 相交于 M，N 两点， 4 且|MN|＝ ，求 m 的值． 5
人教A版数学必修2课件：4.2.1直线与圆的位置关系
仿照点和圆位置关系的 判定，怎样判断直线和 圆的位置关系呢？
二、直线与圆的位置关系的判定：
方法1：定义法 判断方法： (1)△＞0 直线与圆相交； 方法2：几何法
圆心到直线的距离d与 (3)△＜0 直线与圆相离. 直线与圆没有交点 半径r的大小关系
(d△ >r= ) 0 直线与圆相切； 1、相离 (2)
2 2
交于A, B两点.
x y 5 0 若弦长 A B 最大，则直线l的方程是2 ___________; x 2y 5 0 若弦长 A B 最短，则直线l的方程是___________.
【总一总★成竹在胸】
一、直线与圆的位置关系； 二、直线与圆的位置关系的判定； 三、直线与圆相交时弦长的求法。
(1)几何法：用弦心距d，半径r及 半弦构成直角三角形的三边
AB r d , d为弦心距，r为半径 2
2 2 2
y r
B
A
d O
x
(2)代数法：用弦长公式
AB 1 k x1 x2 1 k x1 x2 4x1 x2
2 2 2
1.直线x+y-2=0与圆x2+y2=2的位置关
相切 系为________ 2.直线x-y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1的
相离 位置关系为________
3.直线x+2y-1=0和圆x2-2x+y2-y+1=0 相交 的位置关系为________
直线和圆相交时, 如何来求弦长呢？
三、直线与圆相交时弦长的求法：
1 1 AB 1 y1 y2 1 k k
2
2Leabharlann y1 y2 2
2.3 第一课时 直线和圆的位置关系课件(北师大版数学必修2)
2
①当直线AB⊥x轴时，∵l过(4，－4)， ∴AB方程为x＝4，点C(1,2)到l的距离d＝|4－1|＝3， 满足题意． ②当AB与x轴不垂直时，设方程为 y＋4＝k(x－4)，即kx－y－4k－4＝0. |k－2－4k－4| 3 ∴d＝ ＝3，解得k＝－4. k2＋－12 3 ∴l的方程为y＋4＝－4(x－4)，即3x＋4y＋4＝0. 综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y＋4＝0.
1．已知P(x0，y0)在圆x2＋y2＝R2内，试判断直线x0x＋
y0y
＝R2与圆的位置关系． 解：∵点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝R2的内部，
2 ∴x2＋y0<R2. 0
又圆心O(0,0)到直线x0x＋y0y＝R2的距离为 |R2| R2 d＝ 2＝R， 2 2 > R x0 ＋y0 ∴直线x0x＋y0y＝R2与圆 x2＋y2＝R2相离．
r相比较，相比代数法，几何法显得要更方便些．
[例1]
当m为何值时，直线mx－y－1＝0与圆
x2＋y2－4x＝0相交、相切、相离？
[思路点拨] 利用代数法或几何法求解．代数法
注意判别式与交点个数的关系，几何法则要对圆心到直 线的距离与圆的半径的大小作比较．
[精解详析] 方程并化简得
法一：将直线mx－y－1＝0代入圆的
与直线y＝2x＋5相切的圆的方程．
解：法一：设圆的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 3－a2＋2－b2＝r2， b＝2a， 依题意得 |2a－b＋5| 22＋－12＝r，
a＝2， 解这个方程组，得b＝4， r＝ 5， ∴所求的圆的方程为：
4 a＝5， 8 或 b＝5， r＝ 5.
还记得巴金的《海上日出》吧，随着作家
①当直线AB⊥x轴时，∵l过(4，－4)， ∴AB方程为x＝4，点C(1,2)到l的距离d＝|4－1|＝3， 满足题意． ②当AB与x轴不垂直时，设方程为 y＋4＝k(x－4)，即kx－y－4k－4＝0. |k－2－4k－4| 3 ∴d＝ ＝3，解得k＝－4. k2＋－12 3 ∴l的方程为y＋4＝－4(x－4)，即3x＋4y＋4＝0. 综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y＋4＝0.
1．已知P(x0，y0)在圆x2＋y2＝R2内，试判断直线x0x＋
y0y
＝R2与圆的位置关系． 解：∵点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝R2的内部，
2 ∴x2＋y0<R2. 0
又圆心O(0,0)到直线x0x＋y0y＝R2的距离为 |R2| R2 d＝ 2＝R， 2 2 > R x0 ＋y0 ∴直线x0x＋y0y＝R2与圆 x2＋y2＝R2相离．
r相比较，相比代数法，几何法显得要更方便些．
[例1]
当m为何值时，直线mx－y－1＝0与圆
x2＋y2－4x＝0相交、相切、相离？
[思路点拨] 利用代数法或几何法求解．代数法
注意判别式与交点个数的关系，几何法则要对圆心到直 线的距离与圆的半径的大小作比较．
[精解详析] 方程并化简得
法一：将直线mx－y－1＝0代入圆的
与直线y＝2x＋5相切的圆的方程．
解：法一：设圆的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 3－a2＋2－b2＝r2， b＝2a， 依题意得 |2a－b＋5| 22＋－12＝r，
a＝2， 解这个方程组，得b＝4， r＝ 5， ∴所求的圆的方程为：
4 a＝5， 8 或 b＝5， r＝ 5.
还记得巴金的《海上日出》吧，随着作家
直线与圆的位置关系(第2课时)(课件)高二数学同步备课(人教A版2019选修一)
要使圆的面积最小，只需半径长r最小．
1
∵r＝2
4 1+λ
2
+ 4−λ
8
2
− 4 1 + 4λ
1
＝2
5 λ−
8 2
5
26
+
16
5
12
≥
1
2
37
16
2 5
＝
，
5
5
∴当λ＝ 5时，半径长r最小，此时圆的方程为x2＋y2＋ 5 x－ 5 y＋ 5 ＝0，
即 +
13 2
＋
5
6
4
− 5 2＝ 5.
（三）典型例题
(2)常选特殊点作为直角坐标系的原点．
(3)尽量使已知点位于坐标轴上．
（三）典型例题
【巩固练习2】有一种大型商品，A，B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每
公里的运费A地是B地的两倍，若A，B两地相距10公里，顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总
费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？
逻辑推理的核心素养；通过直线与圆的综合问题
，提升数学运算的核心素养。
学目标
1.能正确理解直线与圆的方程，培养数学抽象的核心素养；
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题，培养数学运算、逻辑推理的核心素养.
3.体会坐标法解决平面几何问题的“三步曲”，培养数学运算、逻辑推理的核心素养.
【做一做1】(教材P95练习3改编)直线y＝x－1上的点到圆x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的最近距离为( C
A．2 2
B. 2－1
C．2 2－1
D．1
【做一做2】(教材P93例3改编)一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，
1
∵r＝2
4 1+λ
2
+ 4−λ
8
2
− 4 1 + 4λ
1
＝2
5 λ−
8 2
5
26
+
16
5
12
≥
1
2
37
16
2 5
＝
，
5
5
∴当λ＝ 5时，半径长r最小，此时圆的方程为x2＋y2＋ 5 x－ 5 y＋ 5 ＝0，
即 +
13 2
＋
5
6
4
− 5 2＝ 5.
（三）典型例题
(2)常选特殊点作为直角坐标系的原点．
(3)尽量使已知点位于坐标轴上．
（三）典型例题
【巩固练习2】有一种大型商品，A，B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每
公里的运费A地是B地的两倍，若A，B两地相距10公里，顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总
费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？
逻辑推理的核心素养；通过直线与圆的综合问题
，提升数学运算的核心素养。
学目标
1.能正确理解直线与圆的方程，培养数学抽象的核心素养；
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题，培养数学运算、逻辑推理的核心素养.
3.体会坐标法解决平面几何问题的“三步曲”，培养数学运算、逻辑推理的核心素养.
【做一做1】(教材P95练习3改编)直线y＝x－1上的点到圆x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的最近距离为( C
A．2 2
B. 2－1
C．2 2－1
D．1
【做一做2】(教材P93例3改编)一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，
2.2.3.1 直线与圆的位置关系 课件(北师大必修2)
[悟一法]
解决此类问题的关键是搞清直线与圆的位置和
直线与圆的公共点的个数间的等价关系．在处理直 线与圆的位置关系时，常用几何法，即比较圆心到 直线的距离和半径的大小，而不用代数法．
[通一类]
1．已知圆的方程是x2＋y2＝2，直线y＝x＋b，当b为何 值时，圆与直线相交、相切、相离？
解：如图，圆心O(0,0)到直线y＝x＋b的距离 |b| 为d＝ ， 2 圆的半径r＝ 2. ∴当d＝r，|b|＝2， 即b＝2或b＝－2时，圆与直线相切． ∵b为直线的截距，数形结合可知， 当－2＜b＜2时，直线与圆相交， 当b＞2或b＜－2时，直线与圆相离.
2
[悟一法]
1．代数法 (1)将直线与圆的方程联立，解得两交点，然后利 用两点间距离公式求弦长． (2)设直线的斜率为k，直线与圆联立，消去y后所 得方程两根为x1，x2，则弦长d＝|x2－x1| 1＋k2.
2．几何法 l 2 设弦长为l，弦心距为d，半径为r，则有( ) ＋d2＝r2， 2 故l＝2 r2－d2 ，即半弦长、弦心距、半径构成直线三角
的
x1＋x2 y1＋y2 几何意义是什么？ ， 呢？ 2 2 提示：该方程组的解恰好是直线与圆的交点 P、Q 的坐标，
x1＋x2 y1＋y2 即有 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，而( ， )恰为弦 PQ 的 2 2 中点坐标．
2．是否任意直线与圆的位置关系的判定都可以用 几何法与代数法这两种方法？ 提示：是．几何法与代数法是从不同的方面进行
[读教材·填要点]
位置关系 公共点个数 判定 方法 几何法：设圆心到直线的 |Aa＋Bb＋C| 距离d＝ A2＋B2 d < r D＝ r D >r 相交 相切 相离
2个
2-2-3直线与圆、圆与圆的位置关系(二)课件(北师大版必修二)
自学导引 1．判断圆与圆的位置关系 (1)几何法： O1： 圆 (x－x1)2＋(y－y1)2＝r2(r1＞0)， O2： 圆 (x－x2)2 1 ＋ (y － y2)2 ＝ r 2 (r2 ＞ 0) ， 两 圆 的 圆 心 距 d ＝ |O1O2| ＝ 2 x1－x22＋y1－y22， d＞r1＋r2⇔圆 O1 与圆 O2 相离，如图①所示； d＝r1＋r2⇔圆 O1 与圆 O2外切 ，如图②所示； |r1－r2|＜d＜r1＋r2⇔圆 O1 与圆 O2相交，如图③所示； d＝|r1－r2|⇔圆 O1 与圆 O2内切，如图④所示； d＜|r1－r2|⇔圆 O1 与圆 O2 内含，如图⑤所示．
规律方法
判断两圆的位置关系有两种方法：一是解由两圆方
程组成的方程组，若方程组无实数解，则两圆相离；若方程组 有两组相同的实数解，则两圆相切；若方程组有两组不同的实 数解， 则两圆相交； 二是通过讨论两圆半径与圆心距的关系． 第 一种方法在计算上比较繁琐，因此一般采用第二种方法．
【变式 1】 当实数 k 为何值时，两圆 C1：x2＋y2＋4x－6y＋12 ＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0 相交、相切、相离？ 解 将两圆的一般方程化为标准方程， C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1， C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k， 圆 C1 的圆心为 C1(－2,3)，半径 r1＝1； 圆 C2 的圆心为 C2(1,7)，半径 r2＝ 50－k(k＜50)． 从而|C1C2|＝ －2－12＋3－72＝5.
3．两圆相交时公共弦长的求法． (1)若两圆相交时， 把两圆的方程作差消去 x2 和 y2 就得到两圆的 公共弦所在的直线方程． (2)求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再 结合勾股定理求弦长．
圆和圆的位置关系PPT课件
外 离
内 切
相 交
外 切
内 含
没有公共点
相 离
一个公共点
相切
两个公共点
相交
圆与圆的位置关系
圆心距：两圆心之间的距离
r 精彩源于发现
01
o1
02
R
03
o2
r
d
T
PART 02
R
d=R+r
o1
o2
r
R
T
d
d=R-r (R>r)
o1
1
o2
2
d
3
R
4
r
5
R-r<d<R+r (R>r)
6
d<R-r (R>r)
圆与圆的位置关系
武安市第一中学 李登鹏
人民教育出版社普通高中课程标准实验教科书A版数学必修2
点、直线与圆的位置关系
PART ONE
类似于我们所学过的直线与圆的位置关系,请指 出下列图片中圆与圆的位置关系?
做一做
在纸上画一个半径为3cm的☉O1，把一枚硬币当作另一个圆，在纸上向圆移动这枚硬币
02
切点
03
切点
01
相交:两圆有两个公共点时,叫两圆相交.
02
内切:两圆有一个公共点,并且除了公共点外,一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫两圆内切.
03
内含:两圆无公共点,并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫两圆内含.
特 例
章节一
外离
外切
相交
内切
内含(同心圆)
圆 和 圆 的 位 置 关 系
两圆的五种位置关系
感谢您的欣赏
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内 切
相 交
外 切
内 含
没有公共点
相 离
一个公共点
相切
两个公共点
相交
圆与圆的位置关系
圆心距：两圆心之间的距离
r 精彩源于发现
01
o1
02
R
03
o2
r
d
T
PART 02
R
d=R+r
o1
o2
r
R
T
d
d=R-r (R>r)
o1
1
o2
2
d
3
R
4
r
5
R-r<d<R+r (R>r)
6
d<R-r (R>r)
圆与圆的位置关系
武安市第一中学 李登鹏
人民教育出版社普通高中课程标准实验教科书A版数学必修2
点、直线与圆的位置关系
PART ONE
类似于我们所学过的直线与圆的位置关系,请指 出下列图片中圆与圆的位置关系?
做一做
在纸上画一个半径为3cm的☉O1，把一枚硬币当作另一个圆，在纸上向圆移动这枚硬币
02
切点
03
切点
01
相交:两圆有两个公共点时,叫两圆相交.
02
内切:两圆有一个公共点,并且除了公共点外,一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫两圆内切.
03
内含:两圆无公共点,并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫两圆内含.
特 例
章节一
外离
外切
相交
内切
内含(同心圆)
圆 和 圆 的 位 置 关 系
两圆的五种位置关系
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2-2-3直线与圆、圆与圆的位置关系(二)课件(北师大版必修二)
【解题流程】
[规范解答] 两圆方程相减，得公共弦 AB 所在的直线方程为 2(m＋1)x＋2(n ＋1)y－m2－1＝0，(2 分) 由于 A、B 两点平分圆 N 的圆周， 所以 A、B 为圆 N 直径的两个端点， 即直线 AB 过圆 N 的圆心 N.(4 分)
而 N(－1，－1)，所以－2(m＋1)－2(n＋1)－m2－1＝0， 即 m2＋2m＋2n＋5＝0， 即(m＋1)2＝－2(n＋2)(n≤－2)， 由于圆 M 的圆心 M(m，n)， 从而可知圆 M 的圆心 M 的轨迹方程为(x＋1)2＝－2(y＋2)，(9 分) 又圆 M 的半径 r＝ n2＋1≥ 5，(n≤－2)， 当且仅当 n＝－2，m＝－1 时半径取得最小值， ∴圆 M 的方程为 x2＋y2＋2x＋4y＝0.(12 分)
想一想：已知两个圆：x2＋y2＝1①与 x2＋(y－3)2＝1②，则由① 式减去②式，可得上述两圆的对称轴方程．将上述命题在曲线 仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而 已知命题应成为所推广命题的一个特例，推广命题是什么？ 提示 设圆方程(x－a)2 ＋(x－b)2 ＝r2 ①与(x－c)2 ＋(y－d)2 ＝r2
规律方法
两圆外切时常用圆心距等于半径之和求解，圆与直
线相切时，该圆心到这条直线的距离等于圆的半径，若已知切 点坐标，也可以用切点与圆心间的距离得圆的半径．
【变式 2】 求经过点 A(－2，－4)且与直线 l：x＋3y－26＝0 相 切于点 B(8,6)的圆的方程． 解 设所求圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则圆心
(2)代数法：圆 O1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，圆 O2：x2＋y2＋ D2x＋E2y＋F2＝0， 两圆的方程联立得方程组，则有： 方程组有两组不同的解⇔圆 O1 与圆 O2 相交； 方程组仅有一组解⇔圆 O1 与圆 O2 外切或内切； 方程组无解⇔圆 O1 与圆 O2 相离或内含
人教版数学必修2课件-直线与圆的位置关系
2. 看直线与圆组成的方程组有无实数解:
有解，则直线与圆有公共点： 有一组解，则直线与圆相切； 有两组解，则直线与圆相交；
小 结：
1. 利用直线与圆的位置直观特征导出几 何判定： 比较圆心到直线的距离d与圆的半径r.
2. 看直线与圆组成的方程组有无实数解:
有解，则直线与圆有公共点： 有一组解，则直线与圆相切； 有两组解，则直线与圆相交；
例4. 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，
接到气象台的台风预报: 台风中心位于轮
船正西70km处，受影响的范围是半径长
为30km的圆形区域. 已知港口位于台风中
心正北40km处， 如果这艘轮船不
y 港口
改航线，那么
它是否会受到台
风的影响？
O
轮船 x
小 结：
设直线l：Ax＋By＋C＝0， 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
无解，则直线与圆相离.
例2.直线y＝x与圆x2＋(y－1)2＝r2相切， 求r的值.
例3. 已知过点M(－3, －3)的直线l被 圆x2＋y2＋4y－21＝0所截得的弦长 为 4 5, 求直线l的方程.
练习.
已知直线l：3x y 2 3 0， 圆C：x2 y2 4，
求直线l被圆C截得的弦长.
(2) 圆心到直线的距离与半径的关系:
Aa Bb C d
A2 B2
a. 如果d＜r，直线与圆相交； b. 如果d＝r，直线与圆相切； c. 如果d＞r，直线与圆相离.
2. 在初中我们怎样判断直线与圆的位置 关系？现在，如何用直线和圆的方程 判断它们之间的位置关系？
讲授新课
例1. 已知直线l: 3x＋y－6＝0和圆心为 C的圆x2＋y2－2y－4＝0，判断直线l 与圆的位置关系；如果相交，求出它 们交点的坐标.
有解，则直线与圆有公共点： 有一组解，则直线与圆相切； 有两组解，则直线与圆相交；
小 结：
1. 利用直线与圆的位置直观特征导出几 何判定： 比较圆心到直线的距离d与圆的半径r.
2. 看直线与圆组成的方程组有无实数解:
有解，则直线与圆有公共点： 有一组解，则直线与圆相切； 有两组解，则直线与圆相交；
例4. 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，
接到气象台的台风预报: 台风中心位于轮
船正西70km处，受影响的范围是半径长
为30km的圆形区域. 已知港口位于台风中
心正北40km处， 如果这艘轮船不
y 港口
改航线，那么
它是否会受到台
风的影响？
O
轮船 x
小 结：
设直线l：Ax＋By＋C＝0， 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
无解，则直线与圆相离.
例2.直线y＝x与圆x2＋(y－1)2＝r2相切， 求r的值.
例3. 已知过点M(－3, －3)的直线l被 圆x2＋y2＋4y－21＝0所截得的弦长 为 4 5, 求直线l的方程.
练习.
已知直线l：3x y 2 3 0， 圆C：x2 y2 4，
求直线l被圆C截得的弦长.
(2) 圆心到直线的距离与半径的关系:
Aa Bb C d
A2 B2
a. 如果d＜r，直线与圆相交； b. 如果d＝r，直线与圆相切； c. 如果d＞r，直线与圆相离.
2. 在初中我们怎样判断直线与圆的位置 关系？现在，如何用直线和圆的方程 判断它们之间的位置关系？
讲授新课
例1. 已知直线l: 3x＋y－6＝0和圆心为 C的圆x2＋y2－2y－4＝0，判断直线l 与圆的位置关系；如果相交，求出它 们交点的坐标.
人教课标版(B版)高中数学必修2《直线与圆的位置关系》教学课件2
4(b 2)(b 2)
当-2<b<2时， >0,方程组有两组不同实 数解，直线与圆有两个公共点。
当b=2或b=-2时， =0，方程组有两组相 同实数解，直线与圆只有一个公共点。
当b<-2或b>2时， <0,方程组没有实 数解，因此直线与圆没有公共点。
以上就是直线与圆相交、相切、相离的 三种情况
3.圆的一般方程：
_x_2_+__y_2_+_D__x_+_E__y_+_F_=__0_(_其__中__D_2_+__E_2_-___
4F>0) ( D , E )
圆心为 2 半2径为
1 D2 E2 4F 2
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系:
(1)直线与圆相交，有两个公共点； (2)直线与圆相切，只有一个公共点； (3)直线与圆相离，没有公共点；
圆心坐标是（１，０），半径长 r=1． 圆心到直线３x＋４y＋２＝０的距离是
d
|
3
0
2
|
1
5
因为d=r，所以直线３x＋４y＋２＝０与圆相切．
③已知直线L：y＝x+6,圆Ｃ: x2 y2－2y 4 0 试判断直线L与圆
Ｃ有无公共点，有几个公共点．
解：圆Ｃ的圆心坐标是（０，１），半径长r= 5 ，圆心
的距离d= | 0 0 50 | = 10 5
而圆的半径长是10，所以直线与圆相切。
圆心与切点连线所得直线的方程为3x+4y=
3x
4y
，
0
得
x 8
y
6
切点坐标是（８，－６）
②判断直线３x＋４y＋２＝０与圆 x2 y2－2x 0 的
2.5.1 直线与圆的位置关系(共27张PPT)
(1)求直线l的方程;
(2)若圆C的圆心为点(3,0),直线l被该圆所截得的弦长为2
2
,求圆C的标准方程.
解:(1)由已知得:
2x-y-3 = 0,
x = 2,
解得
y = 1,
4x-3y-5 = 0,
∴两直线交点为(2,1).
设直线l的斜率为k1,∵l与x+y-2=0垂直,
∴k1=1,
∵l过点(2,1),∴l的方程为y-1=x-2,即x-y-1=0;
|2-1--1|
心(2,1)到直线 mx-y-m-1=0 的距离 d=
当
当
当
1+2
=
|-2|
1+2
.
4
d<2,即 m>0 或 m<- 时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点;
3
4
d=2,即 m=0 或 m=-3时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点;
4
d>2,即- <m<0 时,直线与圆相离,即直线与圆没有公共点.
轴,建立直角坐标系,设圆心为 C,水面所在弦的端点为 A、
B,则由已知得 A(6,-2).
设圆的半径为 r,则 C(0,-r),即圆的方程为
x2+(y+r)2=r2.①
将点 A 的坐标为(6,-2)代入方程①,解得 r=10.
∴ 圆的方程为 x2+(y+10)2=100.②
当水面下降 1 米后,可设点 A′的坐标为(x0,-3)(x0＞3),
当m为何值时,直线与圆
(1)有两个公共点;
(2)只有一个公共点;
(3)没有公共点?
思路分析:可联立方程组,由方程组解的个数判断,也可求出圆心到直线
直线与圆的位置关系(共2课时)课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
所以|a－2|＝2，解得a＝4或a＝0.
练一练
例3 圆x2＋y2＝9的弦过点P(1,2)，当弦长最短时，求弦所在直线的方程？
解：已知圆心O(0,0)，当弦长最短时，该弦所在直线与过点P(1,2)的直径垂直，
总结
圆的最长弦与最短弦
已知直线l过圆内一点：
(1) 当l过圆心时，被圆截得的弦长最长，最长弦是直径，即为
2 + + = 0
直线与圆相交
直线与圆相切
直线与圆有两个公共点
直线与圆有一个公共点
0
0
直线与圆相离
直线与圆没有公共点
0
01
新知1——直线与圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系
F2：
代数法
d
Aa Bb C
A B
2
2
∟
F1：
几何法
d
r
d<r
相切
相离
r
r
d
∟
图示
相交
d
2 + 2 + + + = 0
A(x1,y1)
|AB| =
(1, 1)、(2, 2)
B(x2,y2)
(x2 − x1 )2 +(y2 − y1 )2
02
新知2——圆的弦长问题
2.相交－弦长公式
几何法：(勾股定理)
C
r d
AB = 2 r2 − d2
A
B
C
代数法：(两点间距离公式) |AB| = (x2 − x1 )2 +(y2 − y1 )2
(1)若相交，则d < r，即
(2)若相切，则d = r，即
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解；方法二，可以
依据圆心到直线的距离 与半径长的关系，判断 直线与圆的位置关系。
yL B
C● 0
A x
2020/12/9
图4.2-2 6
解法一：由直线L与圆的方程，得
{ 3xy60
①
x2y22y40
②
消去y ，得 x23x20
因为
⊿= (3)241210
所以，直线L与圆相交，有两个公共点。
2020/12/9
1 D2 E2 4F 2
2020/12/9
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2
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直线与圆的位置关系圆和圆的位置关系
两圆的位 置关系
图形
d与R， 公切线 r的关系 的条数
外离
d>R+r 4
公切线长
外切
d=R+r 3
相交
R-r<d<R+r 2
内切
d=R-r 1
内含
0≤d<R-r
0
2020/12/9
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2020/12/9
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14
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直线与圆的位置关系
二、代数方法。主要步骤：
把直线方程与圆的方程联立成方程组
利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程
求出其Δ的值
3
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直线与圆的位置关系
问题1：你知道直 线和圆的位置关系
有几种？
2020/12/9
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4
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直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系的判断方法: 一般地,已知直线Ax+By+C=0(A,B不同时为 零)
和的圆距(离位x-为置a)2d+(y| A-b相aA)离22B=rbB22,C则|圆相则心切(a,b)到此相直交线
2.圆的标准方程为：_(x__-_a_)2_+__(_y_-_b_)_2_=r2
圆心为__（__a_，__b_) 半径为__r____
3.圆的一般方程：
_x_2_+__y_2_+_D__x_+_E__y_+_F_=__0_(_其__中__D_2_+__E_2_-___
4F>0)
圆心为
(
D 2
,半E2径) 为
点Ｏ到直线L的距离 圆Ｏ的半径长r=3
d|0028 |283.5 65 65
因为３.５＞３，所以，这艘轮船不必改变航线，不会受
到台风的影响． y
B
2020/12/9
0
A
x
11
归纳小结：直线与圆的位置关系的判断方法有两种：
①代数法：通过直线
方程与圆的方程所组成的 方程组成的方程组，根据 解的个数来研究，若有两 组不同的实数解，即⊿＞ ０，则相交；若有两组相 同的实数解，即⊿＝０， 则相切；若无实数解，即 ⊿＜０，则相离．
| 0050|
的距离d=
5
= 10
而圆的半径长是10，所以直线与圆相切。 圆心与切点连线所得直线的方程为3x+4y=0
解方程组
4x 3x
3y 4y
50 0
，
得
x y
8 6
切点坐标是（８，－６）
2020/12/9
9
②判断直线３x＋４y＋２＝０与圆 x2y2－2x0的位置关
系．
解：方程 x2y2－ 2x0经过配方，得 (x1)2y2 1
圆心坐标是（１，０），半径长r=`1． 圆心到直线３x＋４y＋２＝０的距离是
d|302|
1
5
因为d=r，所以直线３x＋４y＋２＝０与圆相切．
③已知直线L：y＝x+6,圆Ｃ: x2y2－ 2y40试判断直线L与圆
Ｃ有无公共点，有几个公共点．
解：圆Ｃ的圆心坐标是（０，１），半径长r=
直线y＝x+6的距离 d 5 2 5 2
7
解法二：圆 x2y22y40可化为 x2(y1)2 5，其
圆心C的坐标为（0，1），半径长为 5 ，点C（0，1）到直 线L的距离
| 3016| 5 d＝ 32 12 ＝ 10
25
= 10 =
2.5 ＜
5
所以，直线L与圆相交，有两个公共点．
由 x23x20，解得
x x 1 =2 ， 2 ＝１．
把 把
x 1 =2代入方程①，得 y 1
x 2＝１代入方程①，得
＝０；
y 2 ＝３．
所以，直线L圆相交，它们的坐标分别是Ａ（２，０），Ｂ （１，３）．
2020/12/9
8
巩固练习：
①判断直线４x－３y=50与圆 x2 y2 100的位置关系．如
果相交，求出交点坐标．
解：因为圆心O（0，0）到直线４x－３y=50
d与r
d>r
d=r
d<r
图形
r d
交点个数 0个
2020/12/9
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r d
1个
r d
2个 5
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例1 如图4.2-2，已知直线L：3x+y-6=0和圆心为C的圆
x2y22y40，判断直线L与圆的位置关系；如 果相交，求它们交点的坐标。
分析：方法一，判
断直线L与圆的位置关 系，就是看由它们的方 程组成的方程有无实数
书少成天才功山小才就=有艰是不在苦百路分学于的勤之劳习勤一为动，的径奋+老灵正，感确学来努，的百海徒力方分无法之伤才+崖九少悲能十苦谈九成空作的话汗舟功水！！
高中数学第二册(上)
高中数学第七章 直线与圆的方程课件
2020/12/9
：黄伟 E-mail:
1
пятница, 12
直线与圆的位置关系
1. 直线方程的一般式 为:__A_x_+__B_y_+__C_=__0_(_A_,_B_不__同__时______ 为零)
若Δ<0 则直线与圆相离
若Δ=0 则直线与圆相切
若Δ>0 则直线与圆相交
2020/12/9
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反之成立
13
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直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系判断方法：
一、几何方法。主要步骤：
把直线方程化为一般式,利用圆的方程求出圆 心和半径
利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离
作判断: 当d>r时，直线与圆相离；当d=r时， 直线与圆相切;当d<r时，直线与圆相交
所以直线L与圆Ｃ无公共点．
5 ，圆心到
2020/12/9
10
④试解本节引言中的问题．
解：以台风中心为原点，东西方向为x 轴，建立如图所示
的直角坐标系，其中，取１０km为单位长度，这样，受
台风影响的圆形区域所对应的圆Ｏ方程为 x2 y2 9
轮船航线所在直线L的方程为4x+7y-28=0
问题归结为圆Ｏ与直线L有无公共点。
②几何法：由圆心
到直线的距离d与半径r 的大小来判断：当d<r时， 直线与圆相交；当d=r时， 直线与圆相切；当d>r时， 直线与圆相离．
2020/12/9
12
直线与圆的位置关系
判断直线与圆的位置关系的方法2 (代数法): 将直线方程与圆的方程联立成方程组, 利用消元法消去一个元后,得到关于另一 个元的一元二次方程,求出其Δ的值，然后 比较判别式Δ与0的大小关系,
依据圆心到直线的距离 与半径长的关系，判断 直线与圆的位置关系。
yL B
C● 0
A x
2020/12/9
图4.2-2 6
解法一：由直线L与圆的方程，得
{ 3xy60
①
x2y22y40
②
消去y ，得 x23x20
因为
⊿= (3)241210
所以，直线L与圆相交，有两个公共点。
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直线与圆的位置关系圆和圆的位置关系
两圆的位 置关系
图形
d与R， 公切线 r的关系 的条数
外离
d>R+r 4
公切线长
外切
d=R+r 3
相交
R-r<d<R+r 2
内切
d=R-r 1
内含
0≤d<R-r
0
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直线与圆的位置关系
二、代数方法。主要步骤：
把直线方程与圆的方程联立成方程组
利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程
求出其Δ的值
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直线与圆的位置关系
问题1：你知道直 线和圆的位置关系
有几种？
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直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系的判断方法: 一般地,已知直线Ax+By+C=0(A,B不同时为 零)
和的圆距(离位x-为置a)2d+(y| A-b相aA)离22B=rbB22,C则|圆相则心切(a,b)到此相直交线
2.圆的标准方程为：_(x__-_a_)2_+__(_y_-_b_)_2_=r2
圆心为__（__a_，__b_) 半径为__r____
3.圆的一般方程：
_x_2_+__y_2_+_D__x_+_E__y_+_F_=__0_(_其__中__D_2_+__E_2_-___
4F>0)
圆心为
(
D 2
,半E2径) 为
点Ｏ到直线L的距离 圆Ｏ的半径长r=3
d|0028 |283.5 65 65
因为３.５＞３，所以，这艘轮船不必改变航线，不会受
到台风的影响． y
B
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0
A
x
11
归纳小结：直线与圆的位置关系的判断方法有两种：
①代数法：通过直线
方程与圆的方程所组成的 方程组成的方程组，根据 解的个数来研究，若有两 组不同的实数解，即⊿＞ ０，则相交；若有两组相 同的实数解，即⊿＝０， 则相切；若无实数解，即 ⊿＜０，则相离．
| 0050|
的距离d=
5
= 10
而圆的半径长是10，所以直线与圆相切。 圆心与切点连线所得直线的方程为3x+4y=0
解方程组
4x 3x
3y 4y
50 0
，
得
x y
8 6
切点坐标是（８，－６）
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9
②判断直线３x＋４y＋２＝０与圆 x2y2－2x0的位置关
系．
解：方程 x2y2－ 2x0经过配方，得 (x1)2y2 1
圆心坐标是（１，０），半径长r=`1． 圆心到直线３x＋４y＋２＝０的距离是
d|302|
1
5
因为d=r，所以直线３x＋４y＋２＝０与圆相切．
③已知直线L：y＝x+6,圆Ｃ: x2y2－ 2y40试判断直线L与圆
Ｃ有无公共点，有几个公共点．
解：圆Ｃ的圆心坐标是（０，１），半径长r=
直线y＝x+6的距离 d 5 2 5 2
7
解法二：圆 x2y22y40可化为 x2(y1)2 5，其
圆心C的坐标为（0，1），半径长为 5 ，点C（0，1）到直 线L的距离
| 3016| 5 d＝ 32 12 ＝ 10
25
= 10 =
2.5 ＜
5
所以，直线L与圆相交，有两个公共点．
由 x23x20，解得
x x 1 =2 ， 2 ＝１．
把 把
x 1 =2代入方程①，得 y 1
x 2＝１代入方程①，得
＝０；
y 2 ＝３．
所以，直线L圆相交，它们的坐标分别是Ａ（２，０），Ｂ （１，３）．
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巩固练习：
①判断直线４x－３y=50与圆 x2 y2 100的位置关系．如
果相交，求出交点坐标．
解：因为圆心O（0，0）到直线４x－３y=50
d与r
d>r
d=r
d<r
图形
r d
交点个数 0个
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r d
2个 5
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例1 如图4.2-2，已知直线L：3x+y-6=0和圆心为C的圆
x2y22y40，判断直线L与圆的位置关系；如 果相交，求它们交点的坐标。
分析：方法一，判
断直线L与圆的位置关 系，就是看由它们的方 程组成的方程有无实数
书少成天才功山小才就=有艰是不在苦百路分学于的勤之劳习勤一为动，的径奋+老灵正，感确学来努，的百海徒力方分无法之伤才+崖九少悲能十苦谈九成空作的话汗舟功水！！
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高中数学第七章 直线与圆的方程课件
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直线与圆的位置关系
1. 直线方程的一般式 为:__A_x_+__B_y_+__C_=__0_(_A_,_B_不__同__时______ 为零)
若Δ<0 则直线与圆相离
若Δ=0 则直线与圆相切
若Δ>0 则直线与圆相交
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直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系判断方法：
一、几何方法。主要步骤：
把直线方程化为一般式,利用圆的方程求出圆 心和半径
利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离
作判断: 当d>r时，直线与圆相离；当d=r时， 直线与圆相切;当d<r时，直线与圆相交
所以直线L与圆Ｃ无公共点．
5 ，圆心到
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④试解本节引言中的问题．
解：以台风中心为原点，东西方向为x 轴，建立如图所示
的直角坐标系，其中，取１０km为单位长度，这样，受
台风影响的圆形区域所对应的圆Ｏ方程为 x2 y2 9
轮船航线所在直线L的方程为4x+7y-28=0
问题归结为圆Ｏ与直线L有无公共点。
②几何法：由圆心
到直线的距离d与半径r 的大小来判断：当d<r时， 直线与圆相交；当d=r时， 直线与圆相切；当d>r时， 直线与圆相离．
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直线与圆的位置关系
判断直线与圆的位置关系的方法2 (代数法): 将直线方程与圆的方程联立成方程组, 利用消元法消去一个元后,得到关于另一 个元的一元二次方程,求出其Δ的值，然后 比较判别式Δ与0的大小关系,