数列专题训练题目

数列（2）

【例1】（2018年高考北京卷 文）设{}n a 是等差数列，且123ln2,5ln2a a a =+=. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求12e e e n a a a +++.

【例2】（2019·镇江期末）已知等差数列{}n a 的公差为()d d 0≠，前n 项和为n S ，

且数列也为公差为d 的等差数列，则d =______．

【例3】（2019天津卷理19）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列.已知

1122334,622,24a b b a b a ===-=+，.

（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；

（2）设数列{}n c 满足111,22,1,,2,k k n k

k n c c b n +⎧<<==⎨=⎩其中*k ∈N . （i ）求数列(){}

221n n a c -的通项公式； （ii ）求()2*

1n

i i

i a c n =∈∑N .

【例4】（2019·临川一中实验学校高考模拟）已知数列{}n a 有0n a ≠，n S 是它

的前n 项和，13a =且222

13,2n n n S n a S n -=+≥．

（1）求证：数列{}1n n a a ++为等差数列. （2）求{}n a 的前n 项和n S .

【例5】（2019天津卷文18）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，公比大于0，已知113a b ==，23b a = ，3243b a =+. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；

（2）设数列{}n c 满足2

1,

,

,n n n c b

n ⎧⎪

=⎨⎪⎩为奇数为偶数求()*

112222n n

a c a c a c n N ++

+∈.

【例6】（2016年全国卷Ⅱ理17）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且28,171==S a ，

记][lg n n a b =，其中][x 表示不超过x 的最大整数，如1]99[lg ,0]9.0[==． （1）求101111,,b b b ；

（2）求数列{}n b 前1000项和．

【例7】（2019年高考北京卷 文）设{a n }是等差数列，a 1=–10，且a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列．

（1）求{a n }的通项公式；

（2）记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值．

练习

1.【2019年高考全国III 卷 理】)已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8

C ．4

D ．2

2.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m ﹣1＝﹣2，S m ＝0，S m +1＝3，则m ＝（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6

3.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问題:今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰:“我羊食半马”，马主曰:“我马食半牛”，今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟，羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半”，马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半”，打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还( )升粟？ A ．25

3

B ．

503

C ．

507

D ．

100

7

4.已知数列满足，且*11(1) ()n n n a a a n +-=-∈N ，则的整数部分是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

5.【2019年高考全国I 卷 理】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若2

1

4613

a a a ==，，则S 5=___________．

{}n a 3

4

1=

a 2015

21111a a a m +++=

6.【2019年高考全国I 卷 文】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若133

14

a S ==，，

则S 4=___________．

7.【2019年高考全国III 卷 理】记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则10

5

S S =________．

8.已知数列{}n a 满足对*,m n N ∀∈，都有m n m n a a a ++=成立，

72

a π

=，函数()f x =

2

sin 24cos 2

x

x +，记()n n y f a =，则数列{}n y 的前13项和为______．

9.【2019年高考全国II 卷 文】已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，

1322,216a a a ==+.

（1）求{}n a 的通项公式；

（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和．

10.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n +1＝λS n ﹣1，其中λ为常数． （1）证明：a n +2﹣a n ＝λ

（2）是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．

11.已知等差数列{}n a 满足32421,7a a a =-=，等比数列{}n b 满足

()35242b b b b +=+，且()2

*22n n b b n =∈N .

（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；

（2）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n c 满足

()*12

12n n n

c c c S n b b b ++⋯+=∈N ， 求{}n c 的前n 项和为n T .

12. 【2019·江苏高考真题】定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.

（1）已知等比数列{a n }满足：，求证:数列{a n }为“M －数列”；

（2）已知数列{b n }满足:，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；

②设m 为正整数，若存在“M－数列”{c n }，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有c k ≤b k ≤c k +1成立，求m 的最大值．

245132,440a a a a a a =-+=11

122

1,

n n n b S b b +==-