三角函数与解三角形知识整合-高考理科数学二轮复习微专题讲义

专题2 三角函数与解三角形

一、三角函数的图象与性质

1.正弦、余弦、正切函数的图象与性质是什么?

函数 y=sin x y=cos x y=tan x

图象

递增

区间 [2kπ-π2

,

2kπ+π

2

],k ∈Z

[2k π-π

,2k π],

k ∈Z

(kπ-π2,

kπ+π

2

),k ∈Z

递减 区间 [2kπ+π

2, 2kπ+3π2

],k ∈Z

[2k π,2

k π+π],

k ∈Z

无

奇偶

性

奇函数 偶函数 奇函数

对称 中心 (k π,0),k ∈Z

(kπ+

π2

,0),

k ∈Z

(kπ

2,0),k ∈Z

对称轴 x=k π+π

2, k ∈Z

x=k π,k ∈Z

无 周期

性 2π 2π π

2.求函数y=A sin(ωx+φ)的单调区间时应注意什么?

(1)注意ω的符号,不要把单调性或区间左右的值弄反;

(2)不要忘记写“+2k π”或“+k π”等,特别注意不要忘掉写“k ∈Z”;

(3)书写单调区间时,不要把弧度和角度混在一起.

3.三角函数的常用结论有哪些?

(1)对于y=A sin(ωx+φ),当φ=k π(k ∈Z)时,其为奇函数;当

φ=k π+π

2(k ∈Z)时,其为偶函数;对称轴方程可由ωx+φ=k π+π

2(k ∈Z)

求得.

(2)对于y=A cos(ωx+φ),当φ=k π+π

2(k ∈Z)时,其为奇函数;当

φ=k π(k ∈Z)时,其为偶函数;对称轴方程可由ωx+φ=k π(k ∈Z)求

得.

(3)对于y=A tan(ωx+φ),当φ=k π(k ∈Z)时,其为奇函数. 4.三角函数图象的两种常见变换是什么? (1)y=sin x

y=sin(x+φ)

y=sin(ωx+φ)

y=A sin(ωx+φ).(A>0,ω>0) (2)y=sin x

y=sin ωx

y=sin(ωx+φ)

y=A sin(ωx+φ).(A>0,ω>0)

二、三角恒等变换与解三角形

1.同角关系公式有哪些?如何记忆诱导公式?

(1)同角关系:sin 2α+cos 2α=1,

sinαcosα

=tan α.

(2)诱导公式,对于“kπ2

±α,k ∈Z 的三角函数值”与“角α的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆:奇变偶不变,符号看象限. 2.你能写出两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角、辅助角公式吗?

(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式: sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β; cos(α±β)=cos αcos β∓sin αsin β;

tan(α±β)=

tanα±tanβ1∓tanαtanβ

.

(2)二倍角公式:sin 2α=2sin αcos α,

cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α.

(3)辅助角公式:a sin x+b cos x=√a 2+b 2sin(x+φ),其中tan

φ=b

a .

3.在三角恒等变换中,常见的拆角、拼角技巧有哪些?

α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β),α=1

2[(α+β)+(α-β)]

,α+π

4=(α+β)-(β-π

4),α=(α+π

4)-π

4

.

4.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式是什么? 在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.

(1)正弦定理: 在△ABC 中,

a sinA =

b sinB =c

sinC

=2R (R 为△ABC 的外接圆半径). 变形:a=2R sin A ,sin A=a 2R

,a ∶b ∶c=sin A ∶sin B ∶sin C. (2)余弦定理:

在△ABC 中,a 2=b 2+c 2-2bc cos A. 变形:b 2

+c 2

-a 2

=2bc cos A ,cos A=b 2+c 2-a 2

2bc

.

(3)三角形面积公式:

S △ABC =1

2ab sin C=1

2bc sin A=1

2ac sin B.

5.已知三角形两边及其一边的对角,用正弦定理解三角形时要注意什么?

若运用正弦定理,则务必注意可能有两解,要结合具体情况进行取舍.在△ABC 中,A>B ⇔sin A>sin B.

三角函数与解三角形是高考考查的重点和热点.三角函数的定义、图象、性质以及简单的化简与求值主要以选择题、填空题的形式考查.其中同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和差公式、二倍角公式是解决化简、计算问题的工具,“角”的变换是三角恒等变换的核心.解三角形多以解答题的形式考查,常与三角恒等变换结合,主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.

一、选择题和填空题的命题特点

(一)三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点,考查主要从以下两个方面进行:(1)三角函数的图象,主要涉及图象变换以及由