第二章 共轴球面系统中的光路计算公式汇总
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第二章 共轴球面系统(1)
符号规则的应用举例：
20º 20º
20º 20º
100
100
符号规则的应用举例：
光路图中所有几何量一律以绝对值标注，负号则
表示该几何量的方位。 应用一定形式的公式可进行各种光路的正确计算。 推导公式时，也要使用符号规则，以便使导出的 公式具有普遍性。
举例：
透镜的结构参数： r1 = 10
d=5
n1 = 1.0 n1’ = n2 = 1.5163 (K9)
r2 = -50
n2’ = 1.0
§ 2-3
近轴成像
当U很小时，U’ ，I与I’ 也相应很小，则这 些角度的正弦值可近似地用弧度值来代替， 并改用小写字母 u，u’ ，i，i’ 来表示。此时， 其他各量均用相应小写字母来表示。 此时，由于u角很小，光线很靠近光轴， 这样的光线称为近轴光线（或称傍轴光线）。 近轴光线所在的区域，称为近轴区（或称傍 轴区）(Paraxial region)。
〈讨论〉
③ 当一物点位于反射镜的球心时，此时 I= -I″= 0 ，即说明从球心发出的 光线被球面镜反射后，反射光线按原 路返回；也就是说，从C点发出的任 何光线经球面镜反射后，仍会聚于C点。
何谓理想光学系统？
此即是把近轴区成完善像的范围扩 大到整个光学系统的任意空间；亦即当 任意大范围的物体以任意宽的光束经光 学系统后均能成完善像的光学系统。
A
-u
C
A’ B’
- u’
O
-l’ -l
球面反射镜的成像特性
1、焦距公式：
f ′= f = r / 2 2、物像关系：
（2-18）
1 / l′+ 1 / l = 2 / r
β=-l’/l α= - β 2 γ= -1 / β
几何光学 第二章 球面和球面系统
1 反射面只是折射面在 n ' n 的特殊情况 2 平面是半径为无穷大的球面
因此首先讨论球面系统是最有意义的 本章我们首先讨论光线经单个折射球面时的计算方法， 有了这个方法就可以方便的解决光线经过整个球面系统的 计算问题
图2-1
如图所示是一条在纸平面上的光经球面折射的光路。对于单个球面，凡经过 球心的直线就是其光轴，光轴与球面的交点成为顶点，球面的半径用r表示。 物方截距：从顶点O到入射光线与光轴交点A的距离L 物方倾斜角：入射光线与光轴的夹角U 相应的L‘、U’称为像方截距和像方倾斜角
图2-3
n ' n n ' n 对于公式 l' l r
分别另l 和l ' 可得
n' f ' r n ' n n f r n ' n
根据光焦度定义式和以上两式，可得出光焦度和焦 距之间有如下关系：
n' n f' f f' f n' n f ' f r
C
F’
O
O
F’
C
-f ’
f’
-r
r
2.5 共轴球面系统
B1 n1 n’1=n2 u’1 r1 C1 A’1 A2 u 2 -y’1 -y2 B’ B2
1
n’2=n3
O2 r2 C2 -u’2 B’2 B3 A’2 A3 O3 h3
y1
A1 -u1
O1 h1
-l1
l’1 d1
-l2
l’2 d2
-l3
在公式中
lr i u r n i' i n' u' u i i' i' l' rr u'
因此首先讨论球面系统是最有意义的 本章我们首先讨论光线经单个折射球面时的计算方法， 有了这个方法就可以方便的解决光线经过整个球面系统的 计算问题
图2-1
如图所示是一条在纸平面上的光经球面折射的光路。对于单个球面，凡经过 球心的直线就是其光轴，光轴与球面的交点成为顶点，球面的半径用r表示。 物方截距：从顶点O到入射光线与光轴交点A的距离L 物方倾斜角：入射光线与光轴的夹角U 相应的L‘、U’称为像方截距和像方倾斜角
图2-3
n ' n n ' n 对于公式 l' l r
分别另l 和l ' 可得
n' f ' r n ' n n f r n ' n
根据光焦度定义式和以上两式，可得出光焦度和焦 距之间有如下关系：
n' n f' f f' f n' n f ' f r
C
F’
O
O
F’
C
-f ’
f’
-r
r
2.5 共轴球面系统
B1 n1 n’1=n2 u’1 r1 C1 A’1 A2 u 2 -y’1 -y2 B’ B2
1
n’2=n3
O2 r2 C2 -u’2 B’2 B3 A’2 A3 O3 h3
y1
A1 -u1
O1 h1
-l1
l’1 d1
-l2
l’2 d2
-l3
在公式中
lr i u r n i' i n' u' u i i' i' l' rr u'
+第2章球面和共轴系统
说明：1）β>0，y与y’同号，成正像，反之倒像。
2）β>0，l与l’同号，物像虚实相反，反之相同。
3）|β|>1,放大像，反之为缩小像。
利用公式就可以由任意位置和大小的物体，求得单个折射球面所成的近轴像的大小和位置。
2.2
推导：如图所示，ΔABC～ΔA’B’C 。则 -y/y’=(l’-r)/(-l+r)
该式说明：在近轴区域内，l’是l的函数，与u无关，这 表明轴上物点在近轴区域内成完善像。这个像点称为高 斯像点。
2.1
• 使用变换公式的优缺点：
• （1）方便
• （2）在一定条件下是方便的，实际当中有的光 线的孔径角U比较小，至少中心部分是如此。 • （3）将用上式算出 l ' 作为像点位置作为标准位 置，称为高斯像点，设法使 U 角的光线与光轴
k n 2 ' 2 n3 ' 2 2 3 n2 n3
2.3 3.球面反射镜成像
凹面镜成像
凸面镜成像
2.3
1）球面反射镜的物像 位置关系 由 n' n n' n l' l r 当 n' n, 1 1 2 l' l r 2）成像倍率
2.1 2.实际光线经过单个折射球面的光路计算公式
已知：折射球面曲率半径r，介质折射率n和n’， 物方坐标L和U。 求：像方坐标L’和U’。
三角形AEC中应用正弦定律，得到
0 sin( 180 I) sin( U ) L r r
则
sin U sin I (Lr) r
根据折射定律
2.3 2.共轭球面系统的倍率计算
1）.垂轴倍率β
y 2 y y k k 1 y y y y 1 1 y 3 k
2）β>0，l与l’同号，物像虚实相反，反之相同。
3）|β|>1,放大像，反之为缩小像。
利用公式就可以由任意位置和大小的物体，求得单个折射球面所成的近轴像的大小和位置。
2.2
推导：如图所示，ΔABC～ΔA’B’C 。则 -y/y’=(l’-r)/(-l+r)
该式说明：在近轴区域内，l’是l的函数，与u无关，这 表明轴上物点在近轴区域内成完善像。这个像点称为高 斯像点。
2.1
• 使用变换公式的优缺点：
• （1）方便
• （2）在一定条件下是方便的，实际当中有的光 线的孔径角U比较小，至少中心部分是如此。 • （3）将用上式算出 l ' 作为像点位置作为标准位 置，称为高斯像点，设法使 U 角的光线与光轴
k n 2 ' 2 n3 ' 2 2 3 n2 n3
2.3 3.球面反射镜成像
凹面镜成像
凸面镜成像
2.3
1）球面反射镜的物像 位置关系 由 n' n n' n l' l r 当 n' n, 1 1 2 l' l r 2）成像倍率
2.1 2.实际光线经过单个折射球面的光路计算公式
已知：折射球面曲率半径r，介质折射率n和n’， 物方坐标L和U。 求：像方坐标L’和U’。
三角形AEC中应用正弦定律，得到
0 sin( 180 I) sin( U ) L r r
则
sin U sin I (Lr) r
根据折射定律
2.3 2.共轭球面系统的倍率计算
1）.垂轴倍率β
y 2 y y k k 1 y y y y 1 1 y 3 k
第二章 共轴球面系统(二)
= l2u2 l'1 u'1d1u'1 ,l3u3 l'2 u'2 d2u'2 , lkuk l'k1 uk1 dk1uk1
共轴球面系统的过渡公式（3-2）
lu l'u' h
l1u1 l'1 u'1 h1 ,l2u2 l'2 u'2 h2 ,
l2u2 l'1 u'1d1u'1 ,l3u3 l'2 u'2 d2u'2 , lkuk l'k1 uk1 dk1uk1
拉格朗日- 赫姆霍兹恒等式
y' nl'
y n'l
lu l'u'
J为拉赫不变量 nuy n'u' y' J
题 例 1：在一直径为30cm的球形玻璃鱼缸内盛满水，鱼缸中
心处有一条小鱼，求缸外观察者看到鱼的位置及放大率！
解： n n n n l' l r
n' 4 ,l 15, r 15代入 3
定义：通过一定光学系统所成的像对光轴的 垂直高度与物本身对光轴的垂直高度的比。
公式：
y'
y
近轴区的放大率
-u
u’
近轴区的放大率----横向放大率
y'
y
y' l'r y l r
n(1 1) n'(1 1)
rl
r l'
物像位置关系式
n l r n' l' r
rl
rl'
l r l' r n' l nl'
n'k 2
共轴球面系统的过渡公式（3-2）
lu l'u' h
l1u1 l'1 u'1 h1 ,l2u2 l'2 u'2 h2 ,
l2u2 l'1 u'1d1u'1 ,l3u3 l'2 u'2 d2u'2 , lkuk l'k1 uk1 dk1uk1
拉格朗日- 赫姆霍兹恒等式
y' nl'
y n'l
lu l'u'
J为拉赫不变量 nuy n'u' y' J
题 例 1：在一直径为30cm的球形玻璃鱼缸内盛满水，鱼缸中
心处有一条小鱼，求缸外观察者看到鱼的位置及放大率！
解： n n n n l' l r
n' 4 ,l 15, r 15代入 3
定义：通过一定光学系统所成的像对光轴的 垂直高度与物本身对光轴的垂直高度的比。
公式：
y'
y
近轴区的放大率
-u
u’
近轴区的放大率----横向放大率
y'
y
y' l'r y l r
n(1 1) n'(1 1)
rl
r l'
物像位置关系式
n l r n' l' r
rl
rl'
l r l' r n' l nl'
n'k 2
应用光学第二章共轴球面系统的物像关系
l ' f (n, n ', l , r )
第4节 近轴光学的基本公式 和他的实际意义
• 物像位置关系式
• 推导出 l ' f (n, n ', l , r )
h n ' u ' nu (n ' n) r
L1’
I1 I1’ L1’ U1’
35.96893
11.06815 7.27365 35.96893 2.79450
34.5908
22.57512 14.66568 34.5908 5.90945
32.22743
35.14835 22.31332 32.22743 9.83503
第3节 球面近轴范围内的成像性质 和近轴光路计算公式
• 折射光线位置：
– L’：折射光线与光轴的交点A’到球面顶点的距离。 – U’：折射光线与光轴的夹角。
• 其他已知量：
–球面半径r； –折射球面前后的折射率n、n’。
O
P
n n’ I r L’ L I’
φ
U C’
A’
U
A
第1节 共轴球面系统中的光路计算公式
• 共轴球面系统的光路计算公式
• 已知：L、U、r、n、n’；求L’、U’。 • 对△APC应用正弦定理得到：
第3节 球面近轴范围内的成像性质 和近轴光路计算公式
起始角度U1 L1 r1 -1° -100 10 -2° -100 10 -3° -100 10
(L1-r1)/r1 sinU1
sinI1 I1
-11 -0.017452
0.19198 11.06815
-11 -0.034899
0.38389 22.57512
第2章 共轴球面系统
2.2 单个折射球面的成像放 大率及拉赫不变量
如果在轴上点A附近从球面上取一小块面积 ds并 把它的细光束像记为ds′ ，当面积足够小时，可 近似认为物和像均为在两球面的切平面上。 结论： 结论：当物体以细光束成像时，只有位于近轴 只有位于近轴 区的物体才能成完善像。 区的物体才能成完善像。 二、单个折射球面成像的放大率及拉赫不变量
y′ nl′ β= = y n′l
lu = l ′u ′ = h
nyu = n′y ′u ′ = J
——拉格朗日赫姆霍兹定理，J为拉赫不变量 拉赫不变量 结论：实际光学系统在近轴区内成像时，对于一 对共轭平面来说，物高、物方孔径角和物方介质 折射率的乘积是一个常数。 阿贝不变量： 1 1 阿贝不变量 1 1
2.2单个折射球面的成像放大率 2.2单个折射球面的成像放大率 及拉赫不变量
主要内容： 垂轴平面物体以细光束经折射球面成像 单个折射球面的近轴光线成像放大率 三种放大率的关系 拉赫不变量
2.2单个折射球面的成像放大率 2.2单个折射球面的成像放大率 及拉赫不变量
一、垂轴平面物体以细光束成像
A’是A的完善像点 是 的完善像点，根据物像之间等光程性，可 知 ∑′ 面是 ∑ 面的细光束像。 根据物像位置关系公式知，B点的像在 ∑′ 面左侧 面左侧. B 结论： 结论：如果物是垂轴平面物体，则它经过单个 折射球面折射后，它的细光束像不再是平面， 而是一个比 ∑′ 面更弯曲的曲面，成像不完善 成像不完善— 成像不完善 —像面弯曲 像面弯曲。 像面弯曲
结论：位于近轴区的轴外物点，利用近轴光线 成像时，符合点对点的理想成像关系。
2.1光线经单个折射球面的折射 2.1光线经单个折射球面的折射
4.物像位置关系公式（ 4.物像位置关系公式（l ′与l ) 物像位置关系公式
工程光学第2章 共轴球面光学系统
10
共轴球面光学系统
§2.4
共轴球面系统的成像
11
1. 过渡公式
共轴球面光学系统
, n3 n2 , , nk nk 1 n2 n1 , u3 u2 , , uk uk 1 u2 u1 , y3 y2 , , yk yk 1 y2 y1
a b 2
单个反射球面成像
1 1 2 l l r f f r 2
b 1
物点位于球心时
a 1
g 1 b
g 1
9
共轴球面光学系统
b l l
a b 2
g 1 b
J uy uy
球面镜的拉赫不变量
结论
a<0，物体沿光轴移动时，像总是以相反方向移动。 通过球心的光线沿原光路反射。 反射球面镜的焦距等于球面半径的1/2。
3、角放大率g
g
u l n n' l n 1 u l n' nl n' b
n
ag b
n
h
I
nuy nuy J
单折射球面光学系统 拉赫不变量
I
y
U
o
U
r
l'
y
-l
7
共轴球面光学系统
结论：
1.
b是有符号数，具体表现为
成像正倒：当b>0时，表明y’、y同号，成正像；否则，成倒像。 成像大小：当|b|＝1时，表明|y’|=|y|，像、物大小一致；|b|>1时， 表明|y’|>|y|，成放大的像；反之，成缩小的像。 成像虚实：当b>0时，表明l’、l同号，物像同侧，虚实相反；否 则，物像异侧，虚实相同。
共轴球面光学系统
§2.4
共轴球面系统的成像
11
1. 过渡公式
共轴球面光学系统
, n3 n2 , , nk nk 1 n2 n1 , u3 u2 , , uk uk 1 u2 u1 , y3 y2 , , yk yk 1 y2 y1
a b 2
单个反射球面成像
1 1 2 l l r f f r 2
b 1
物点位于球心时
a 1
g 1 b
g 1
9
共轴球面光学系统
b l l
a b 2
g 1 b
J uy uy
球面镜的拉赫不变量
结论
a<0，物体沿光轴移动时，像总是以相反方向移动。 通过球心的光线沿原光路反射。 反射球面镜的焦距等于球面半径的1/2。
3、角放大率g
g
u l n n' l n 1 u l n' nl n' b
n
ag b
n
h
I
nuy nuy J
单折射球面光学系统 拉赫不变量
I
y
U
o
U
r
l'
y
-l
7
共轴球面光学系统
结论：
1.
b是有符号数，具体表现为
成像正倒：当b>0时，表明y’、y同号，成正像；否则，成倒像。 成像大小：当|b|＝1时，表明|y’|=|y|，像、物大小一致；|b|>1时， 表明|y’|>|y|，成放大的像；反之，成缩小的像。 成像虚实：当b>0时，表明l’、l同号，物像同侧，虚实相反；否 则，物像异侧，虚实相同。
共轴球面系统的物像关系
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三、角放大率：
u' γ= u tgU ' l γ= = tgU l ' x f γ= = f ' x'
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四、三种放大率之间的关系
β α = or β = α λ γ
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第十一节 物像空间不变式
物像空间不变式代表了实际光学系统在近轴范围 内成像的一种普遍特性
f1 ' f 2 ' f1 f 2 f '= ,f =
通常用φ表示像方焦距的倒数， 通常用φ表示像方焦距的倒数，成为光焦度
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第十六节 理想光学系统中的光路计算公式
h n ' tgU ' ntgU = n ' f' hi +1 = hi di tgU i '
n' n ' u ' nu = h f' hi +1 = hi di ui '
第六节 第七节 第八节 第九节 第十节 第十一节 单个折射球面的主平面和焦点 共轴球面系统主平面和焦点 用作图法求光学系统的理想像 理想光学系统的物像关系式 光学系统的放大率 物像空间不变式
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第二章 共轴球面系统的物像关系
第十二节 第十三节 第十四节 第十五节 第十六节 第十七节 算公式 物方焦距和像方焦距的关系 节平面和节点 无限远物体理想像高的计算公式 理想光学系统的组合 理想光学系统中的光路计算公式 单透镜的主平面和焦点位置的计
J = n'u ' y ' J = nytgU = n ' y ' tgU '
三、角放大率：
u' γ= u tgU ' l γ= = tgU l ' x f γ= = f ' x'
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四、三种放大率之间的关系
β α = or β = α λ γ
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第十一节 物像空间不变式
物像空间不变式代表了实际光学系统在近轴范围 内成像的一种普遍特性
f1 ' f 2 ' f1 f 2 f '= ,f =
通常用φ表示像方焦距的倒数， 通常用φ表示像方焦距的倒数，成为光焦度
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第十六节 理想光学系统中的光路计算公式
h n ' tgU ' ntgU = n ' f' hi +1 = hi di tgU i '
n' n ' u ' nu = h f' hi +1 = hi di ui '
第六节 第七节 第八节 第九节 第十节 第十一节 单个折射球面的主平面和焦点 共轴球面系统主平面和焦点 用作图法求光学系统的理想像 理想光学系统的物像关系式 光学系统的放大率 物像空间不变式
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第二章 共轴球面系统的物像关系
第十二节 第十三节 第十四节 第十五节 第十六节 第十七节 算公式 物方焦距和像方焦距的关系 节平面和节点 无限远物体理想像高的计算公式 理想光学系统的组合 理想光学系统中的光路计算公式 单透镜的主平面和焦点位置的计
J = n'u ' y ' J = nytgU = n ' y ' tgU '
第二章第三节光路计算与近轴光学系统
（2）若β > 0，即 l 与 l’ 同 号，表示物象在折射球面 同侧，物像虚实相反。反 之 l 与 l’ 异号，物像虚实 相同。
l l’
可归结为：
β>0，成正立像且物像虚实相反。 β<0，成倒立像且物像虚实相同。
（3）若 |β| > 1，则 |y’| > |y|，成放大像，反 之 |y’| < |y|，成缩小像
B
n
E
n’
y -u
A
-l
h
C u’
A’
O
r
-y’
l’
B’
（一）垂轴放大率
垂直于光轴，大小为 y 的物体经折射球面后成的像大小为 y’，则
y'
y
β 称为垂轴放大率’
y -u
A
-l
h
C u’
A’
O
r
-y’
l’
B’
△ABC ∽ △A’B’C 有：
y' l' r y l r
与大 L 公式计算的结果比较：L’ = 150.7065mm.(1°)
近轴光学的基本公式的推导
对于近轴光而言，AO = -l，OA’ = l’，tgu = u，tgu’ = u’
ni
E
n’
有：lu = l’u’ = h
-u A
h i’
φC
u’
A’
O
r
-l
l’
如将 i l r u 和 l' r(1 i' )
符号规则是人为规定的， 一经定下，就要严格遵 守，只有这样才能导出 正确结果
二、实际光线的光路计算
n
I
E
应用光学第二章球面与共轴球面系统
sin I L r sinU r
n
IE
n′
I′
sin I n sin I n
h
-U
φ
U′
A
O
C
A′
U U I I r
L r r sin I
-L
L′
sinU
说明：
1）L′＝f (U、L、n、n′、r) 2）当L为定值时，L′随U变化而变化，象方光束失去同心性， 成不完善象，形成球差。
d）光线与法线夹角I、I′ 以光线转向法线成的锐角来度量，顺时针为“＋”
逆时针为“－” e）光轴与法线的夹角φ 以光轴转向法线成的锐角来度量，顺时针为“＋”
逆时针为“－” f）折射面的间隔d，一般取“＋” g）所有参量是含符号的量，但图示标为参量的大小。
二、 远轴光的计算公式（实际光线光路计算） 给定n、 n′、r，已知L、U，求解L′、 U′ 其中U、 U′较大，远轴光线成像（大光路）
1
4）三者关系：
nk 2 n1 1 n1 nk
4. 拉赫不变量： J n1u1 y1 nk uk yk
意义： J对整个光学系统的每个折射面的物象空间都是不变量，可用J来
校对光路计算是否正确。
例：厚透镜：
例：一玻璃棒（n=1.5），长500mm，两端面为半球 面，半径分别为50mm和100mm，一箭头高1mm，垂 直位于左端球面顶点之前200mm处的轴线上，求箭头 经玻璃棒成像后像的位置、大小、正倒、虚实。
§ 2－3 共轴球面系统
探讨方法— 将光线的光路计算公式及放大率公式反复应 用于各个折射面，分别求出各面的u、 u′、l 、 l′、 β、α、γ、y、y′J、J′、Q、 Q′。 转面公式— 前后相邻面之间的基本量的转化关系。
应用光学第二章
27.22736 50 77.22736 -50 0.17081 -0.26383 1.5163/1 -0.40004 -50 0.31098 64.31856 -50 14.31856 -15.29727 23.58074 9.83503 18.1185
上面计算了由轴上物点A发出的三条光线
计算结果表明，三条光线通过第一个球面折射后，和光轴的交点 到球面顶点的距离L1’随着U1（绝对值）的增大而逐渐减小：
+
+
d — 由前一面顶点算起到下一面顶点。
d
2 角度：
一律以锐角度量，顺时针转为正，逆时针转为负。 角度也要规定起始(基准)轴： U、U' — 由光轴起转到光线； I、I' — 由光线起转到法线； ψ— 由光轴起转到法线，
-
+
例
Q
P
-I
-I'
-U A
O φ C Uˊ Aˊ
-L
n nˊ
r
L'
应用时，先确定参数的正负号，再推导公式。 算出的结果亦应按照数值的正负来确定光线的相对位 置。 注意 为了使导出的公式具有普遍性，推导公式时，几何 图形上各量一律标注其绝对值，永远为正
3度
第一面 -100 -100 -10 -10 -110 -110 10 10 -0.01745 -0.0349 0.19198 0.38389 1/1.5163 1/1.5163 0.12661 0.25318 10 10 0.04875 0.102965 25.9689 24.59107 10 10 35.9689 34.59107 -5 -5 30.9689 29.59107 11.06815 22.5751 -7.27365 -14.66568 -1 -2 2.7945 5.90942
球面与共轴球面系统
y l r n l
y l r n l
说明：a) β取决于n、 n′、l′、l b) β> 0，l 、l′同号，物象同侧，虚实相反 β< 0，l 、l′异号，物象异侧，虚实相同 c) β> 0，成正象 β< 0，成倒象 d) β> 1，成放大象 β< 1，成缩小象
2. 轴向放大率：光轴上一对共轭点沿轴移动量之间的比值
§ 2－3 共轴球面系统
探讨方法：将光线的光路计算公式及放大率公式反复应用于各个 折射面，分别求出各面的u、 u′、l 、 l′、Q、Q ′、β、α、γ、 y、y′J、J′。 转面公式— 前后相邻面之间的基本量的转化关系。 主要内容：1、结构参量；
sin I L r sin U r
sin I n sin I n
U U I I
L r r sin I sin U
（点成象）
小结：
5、近轴光计算公式：
i lru r
i n i n
u u i i
l r r i u
6、四个常用的推导公式：
h lu lu
Q n(1 1) n(1 1 )
3、四线：截距：顶点到光线与光轴交点的距离（L、L′－物方截距、 象方截距）；r－球面曲率半径； h－入射高度；
4、界面：n 、n′－物象方空间折射率；OE－折射球面 。
三、 符号法则（线段和角度，便于统一计算）
1、线段：规定光线从左向右传播 a）沿轴线段 L、L′、r、d
以O为原点， 与光线传播方向相同，为“＋” 与光线传播方向相反，为“－”
逆时针为“－” 夹角的优先级：“光轴－光线－法线” 3、所有参量是含符号的量，但图示标为参量的大小。
四、 远轴光的计算公式（实际光线光路计算）（点成象）
y l r n l
说明：a) β取决于n、 n′、l′、l b) β> 0，l 、l′同号，物象同侧，虚实相反 β< 0，l 、l′异号，物象异侧，虚实相同 c) β> 0，成正象 β< 0，成倒象 d) β> 1，成放大象 β< 1，成缩小象
2. 轴向放大率：光轴上一对共轭点沿轴移动量之间的比值
§ 2－3 共轴球面系统
探讨方法：将光线的光路计算公式及放大率公式反复应用于各个 折射面，分别求出各面的u、 u′、l 、 l′、Q、Q ′、β、α、γ、 y、y′J、J′。 转面公式— 前后相邻面之间的基本量的转化关系。 主要内容：1、结构参量；
sin I L r sin U r
sin I n sin I n
U U I I
L r r sin I sin U
（点成象）
小结：
5、近轴光计算公式：
i lru r
i n i n
u u i i
l r r i u
6、四个常用的推导公式：
h lu lu
Q n(1 1) n(1 1 )
3、四线：截距：顶点到光线与光轴交点的距离（L、L′－物方截距、 象方截距）；r－球面曲率半径； h－入射高度；
4、界面：n 、n′－物象方空间折射率；OE－折射球面 。
三、 符号法则（线段和角度，便于统一计算）
1、线段：规定光线从左向右传播 a）沿轴线段 L、L′、r、d
以O为原点， 与光线传播方向相同，为“＋” 与光线传播方向相反，为“－”
逆时针为“－” 夹角的优先级：“光轴－光线－法线” 3、所有参量是含符号的量，但图示标为参量的大小。
四、 远轴光的计算公式（实际光线光路计算）（点成象）
第二章 共轴球面系统中的光路计算公式汇总
What’s the use of paraxial optics 1. As a criterion to scale the factual optical system. Paraxial optics is a perfect optical system so it images perfectly.
When object index equals image index
Sometimes, for improving magnification, we can improve object index, like microscope.
l' l
2. The relative expression of object-image size
l'
l '，u' f (n, n' , r , l , u) ?
1. Positional relations of object and image
Definition: Projective height h 光线与球面的交点到光轴的距离，以光轴为计算起点，投射点 在光轴上为正，在光轴下为负。
L2 L1 'd1
1
a
a'
d1
2
b
b'
L1 ' n1
n2 n1 '
L2 n2 '
§2-2 Symbol rules
Why do we need symbol rules?
L
L
L
L
§2-2 Symbol rules
line segment Let: 从左向右为正，从下向上为正。 1. L, L’：由球面顶点算起到物像距，在左为负，在右为正。 2. r：由球面顶点算起到球心，球心在顶点左为负，在右为正。 3. d：由前一面顶点算起到下一面顶点，向左为负，向右为正。
When object index equals image index
Sometimes, for improving magnification, we can improve object index, like microscope.
l' l
2. The relative expression of object-image size
l'
l '，u' f (n, n' , r , l , u) ?
1. Positional relations of object and image
Definition: Projective height h 光线与球面的交点到光轴的距离，以光轴为计算起点，投射点 在光轴上为正，在光轴下为负。
L2 L1 'd1
1
a
a'
d1
2
b
b'
L1 ' n1
n2 n1 '
L2 n2 '
§2-2 Symbol rules
Why do we need symbol rules?
L
L
L
L
§2-2 Symbol rules
line segment Let: 从左向右为正，从下向上为正。 1. L, L’：由球面顶点算起到物像距，在左为负，在右为正。 2. r：由球面顶点算起到球心，球心在顶点左为负，在右为正。 3. d：由前一面顶点算起到下一面顶点，向左为负，向右为正。
第二章共轴球面系统
dx' x' α= = dx x
讨论: ① α恒为正,当物点沿轴向移动时,像点沿轴同 向移动 ②一般α≠ β,即空间物体成像后要变形,如正方 体. ③只有在dl 很小时才适用
3. 角放大率
共轭光线与光轴夹角u ′和u 的比值,称为角放大率.
B' K B K'
H
A F
H'
F'
A'
对共轴理想光学系统性质第三点的解释: 一个共轴理想光学系统,如果已知两对共轭面的位置和放 大率,或者一对共轭面的位置和放大率,以及轴上两对共 轭点的位置,则其他一切物点的像点都可以根据这些已知 的共轭面和点确定
§2.8 理想光学系统的物像关系式
I I' B'
2.近轴光路计算公式 在近轴几何光学中,经常用到以下近似公式(一 级泰勒展开)
sin U ≈ U ≈ tan U
1 1 (sin θ = θ θ 3 + θ 5 ......) 3! 5!
U为物方孔径角,是个很小值(<<1rad),当 U<5°,近似代替误差大约为1%.
代入到(2-1)-(2-3),并用小写字母表示,得到以下公式:
dl ′ α = dl
(1)高斯公式求解:
f' f + =1 l' l
f ' dl ' fdl '2 2 = 0 l l
fl ' α = 2 f 'l
dl ′ nl ′2 n′ 2 = 2 = β α= dl n′l n
2
(2)牛顿公式求解:
xx' = ff '
xdx'+ x' dx = 0
讨论: ① α恒为正,当物点沿轴向移动时,像点沿轴同 向移动 ②一般α≠ β,即空间物体成像后要变形,如正方 体. ③只有在dl 很小时才适用
3. 角放大率
共轭光线与光轴夹角u ′和u 的比值,称为角放大率.
B' K B K'
H
A F
H'
F'
A'
对共轴理想光学系统性质第三点的解释: 一个共轴理想光学系统,如果已知两对共轭面的位置和放 大率,或者一对共轭面的位置和放大率,以及轴上两对共 轭点的位置,则其他一切物点的像点都可以根据这些已知 的共轭面和点确定
§2.8 理想光学系统的物像关系式
I I' B'
2.近轴光路计算公式 在近轴几何光学中,经常用到以下近似公式(一 级泰勒展开)
sin U ≈ U ≈ tan U
1 1 (sin θ = θ θ 3 + θ 5 ......) 3! 5!
U为物方孔径角,是个很小值(<<1rad),当 U<5°,近似代替误差大约为1%.
代入到(2-1)-(2-3),并用小写字母表示,得到以下公式:
dl ′ α = dl
(1)高斯公式求解:
f' f + =1 l' l
f ' dl ' fdl '2 2 = 0 l l
fl ' α = 2 f 'l
dl ′ nl ′2 n′ 2 = 2 = β α= dl n′l n
2
(2)牛顿公式求解:
xx' = ff '
xdx'+ x' dx = 0
第二章 球面和共轴球面系统
2）物体移动有限距离
此时轴向倍率可以表示为：
α＝
l2 '− l1 ' l2 − l1
高斯公式
β1为第一位置处的垂轴放大率；β2为第二位置处的垂轴放大率。
2.2.3 角倍率γ
角放大率γ ：近轴区内，一对共轭光线的像方孔径 角u与物方孔径角u’之比， 即：
2.2.4
三个倍率之间的关系
即轴向放大率与角放大率之积与垂轴放大率相等。 即轴向放大率与角放大率之积与垂轴放大率相等。
2.2.1 垂轴倍率β 2.2.2 轴向倍率α 2.2.3 角倍率γ 2.2.4 三个倍率之间的关系 2.2.5 拉格朗日-赫姆霍兹不变量
2.2.1 垂轴倍率β
定义：像的大小与物的大小比值。 其数学表示形式为：β=y' /y
近轴区有限大小的物体 经过单个折射球面的成像
从图中可见，根据三角形ABC与A’B’C相似有：
现在对于已知的现在对于已知的ll和和uu值无论值无论uu为何值为何值l表明表明轴上点在近轴区成像轴上点在近轴区成像时其像可认为是时其像可认为是完善完善的称为称为高斯像点高斯像点过高斯像点垂直于光轴的面称为过高斯像点垂直于光轴的面称为高斯像面高斯像面构成物像关系的一对点称为构成物像关系的一对点称为共轭点共轭点
2.4 球面反射镜
前面指出，反射定律可认为是折射定律在n’=-n时的 特例，因此，将之前的折射球面的计算公式代以 n’=-n，可以得到相应的反射球面计算公式。 2.4.1 球面反射镜的物像位置公式 2.4.2 球面反射镜的成像倍率 2.4.3 球面反射镜的拉赫不变量
2.4.1 球面反射镜的物像位置公式
以上三式是我们计算单折射球面物像之间关系的基本公式
2.1.3 近轴光的光路计算公式
此时轴向倍率可以表示为：
α＝
l2 '− l1 ' l2 − l1
高斯公式
β1为第一位置处的垂轴放大率；β2为第二位置处的垂轴放大率。
2.2.3 角倍率γ
角放大率γ ：近轴区内，一对共轭光线的像方孔径 角u与物方孔径角u’之比， 即：
2.2.4
三个倍率之间的关系
即轴向放大率与角放大率之积与垂轴放大率相等。 即轴向放大率与角放大率之积与垂轴放大率相等。
2.2.1 垂轴倍率β 2.2.2 轴向倍率α 2.2.3 角倍率γ 2.2.4 三个倍率之间的关系 2.2.5 拉格朗日-赫姆霍兹不变量
2.2.1 垂轴倍率β
定义：像的大小与物的大小比值。 其数学表示形式为：β=y' /y
近轴区有限大小的物体 经过单个折射球面的成像
从图中可见，根据三角形ABC与A’B’C相似有：
现在对于已知的现在对于已知的ll和和uu值无论值无论uu为何值为何值l表明表明轴上点在近轴区成像轴上点在近轴区成像时其像可认为是时其像可认为是完善完善的称为称为高斯像点高斯像点过高斯像点垂直于光轴的面称为过高斯像点垂直于光轴的面称为高斯像面高斯像面构成物像关系的一对点称为构成物像关系的一对点称为共轭点共轭点
2.4 球面反射镜
前面指出，反射定律可认为是折射定律在n’=-n时的 特例，因此，将之前的折射球面的计算公式代以 n’=-n，可以得到相应的反射球面计算公式。 2.4.1 球面反射镜的物像位置公式 2.4.2 球面反射镜的成像倍率 2.4.3 球面反射镜的拉赫不变量
2.4.1 球面反射镜的物像位置公式
以上三式是我们计算单折射球面物像之间关系的基本公式
2.1.3 近轴光的光路计算公式
应用光学第二,三章
f物
2000
tg f物 ＝－ 2000＝－5
tg f目
400
－ω´
y目
f物′ －f目
ω
用眼睛直接观察视角为
:
tg眼＝
y l
使用望远镜观察2km处的物体视角为：tg仪＝
y l
要求都能看清，即tg 仪 ＝tg眼
y y y l 2000 5 l l y l 400
虽然结果相同，但l的意义不明确。
l 1017 1 8.25104 mm
F f′
Δα
206000
即、瞄准误差约为0.825um。
5、显微镜目镜的放大率Г＝10×，它的焦距等于多 少？设物镜的放大率为40×，求显微镜的总倍率。
解：目镜的放大率为
目＝
250 f目
＝10
f目＝25mm
又 总＝物 • 目
总＝ 4010＝ 400
l 如果观察2km处的同一个物体，则视角为：
tg＝ y 0.0003 400 0.00006
l
2000
要求都能看清，也就是要求望远镜的视放大率
＝ tg仪 ＝ tg 0.0003 ＝5 tg眼 tg 0.00006
解法2：利用望远镜原理图及参量关系
tg y目 ＝ y目
f目 400
tg － y物 ＝－ y目
50
l'H
n(r1
r2d r2 ) (n 1)d
40
第三章 眼睛和目视光学系统
1、当进入已经开演的电影院时，看不清周围的人和座位，为什么过一会就能
够看清楚了，当白天走出电影院时，感到光线特别强，这是为什么？
主要原因是因为虹彩扩展和缩小不及时造成的。 基本和眼睛焦距的变化无关。 注意眼睛保护
基于Zemax的应用光学教程 第2章 共轴球面系统成像理论
光学系统
光学系统
子午面
子午面
光轴
轴外物点
光轴
子午面
轴上物点
任意平面
主光线
➢ 轴上物点包含共轴球面系统的对称轴(光轴） ➢ 轴外物点的主光线与光学系统主轴所
构成的平面为子午面。
的所有截平面都称为子午面。
➢ 轴外物点的子午面有且只有一个
➢ 轴上物点的子午面有任意多个
4
南京大学 Nanjing University
2!
4!
6!
当θ很小即近轴条件下，上述级数中θ²以上各项可以忽略，
即有 ≈， ≈ ， ≈ 。
18
南京大学 Nanjing University
近轴光线
★ 近轴条件：sin i tani i
光线在主轴附近很小的区域，
且与主轴夹角较小（<5度）。
★ 实际光线用大写字母，
19
南京大学 Nanjing University
近轴光线
nrl
l
nl n(l r )
像距只与物距有关与角
度无关能成完善像
★ 近轴细光束所成的完善像。——高斯像
★ 高斯像面通过高斯像点且垂直于光轴的平面。
——高斯像面
★ 物像共轭点
20
南京大学 Nanjing University
近轴光线
何为近轴并没有严格的规定，根据实际应用情况而定。
实际非理想情况表现出来的是像差，需要优化设计
表2-1 不同角度的正弦值与其弧度的相对误差
sin
sin
相对误差
θ/°
sin θ
θ/rad
0.5
0.008727
0.008727
光学系统
子午面
子午面
光轴
轴外物点
光轴
子午面
轴上物点
任意平面
主光线
➢ 轴上物点包含共轴球面系统的对称轴(光轴） ➢ 轴外物点的主光线与光学系统主轴所
构成的平面为子午面。
的所有截平面都称为子午面。
➢ 轴外物点的子午面有且只有一个
➢ 轴上物点的子午面有任意多个
4
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2!
4!
6!
当θ很小即近轴条件下，上述级数中θ²以上各项可以忽略，
即有 ≈， ≈ ， ≈ 。
18
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近轴光线
★ 近轴条件：sin i tani i
光线在主轴附近很小的区域，
且与主轴夹角较小（<5度）。
★ 实际光线用大写字母，
19
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近轴光线
nrl
l
nl n(l r )
像距只与物距有关与角
度无关能成完善像
★ 近轴细光束所成的完善像。——高斯像
★ 高斯像面通过高斯像点且垂直于光轴的平面。
——高斯像面
★ 物像共轭点
20
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近轴光线
何为近轴并没有严格的规定，根据实际应用情况而定。
实际非理想情况表现出来的是像差，需要优化设计
表2-1 不同角度的正弦值与其弧度的相对误差
sin
sin
相对误差
θ/°
sin θ
θ/rad
0.5
0.008727
0.008727
工程光学第二章知识点
第二章共轴球面光学系统第一节符号规则●常见的光学系统有多个光学零件组成，每个光学零件往往由多个球面组成●这些球面的球心在一条直线上即为“共轴球面系统”●这条直线称为“光轴”●折射球面的结构参数：曲率半径r、物方折射率n、像方折射率n'●入射光线的参数：物方截距L、物方孔径角U●像方量在相应的物方量字母旁加“ ’ ”区分●光线的传播方向为自左向右●规定符号规则如下：●1）沿轴线段（如L、L’和r）●以顶点为原点，与光线方向相同为正，相反为负●2）垂轴线段（如h、y和y’）●以光轴为基准，光轴以上为正，以下为负●3）光线与光轴的夹角（如U、U’）●光轴转向光线；角量均以锐角计、顺时针为正、逆时针为负●4）光线与法线的夹角（如I、I’、I”）●光线转向法线●5）光轴与法线的夹角（如φ）●光轴转向法线●6）折射面间隔d●前一面顶点到后一面顶点，与光线方向相同为正，相反为负；在折射系统中，d恒为正●物方截距、像方截距、物方孔径角、像方孔径角等物理量是可以有正负的，但作为几何量AO、OA’、∠EAO、∠EA’O等应为正值；在负值物理量前加负号，以保证相应几何量为正●根据物像的位置判断物像的虚实●负（正）物距对应实（虚）物●正（负）像距对应实（虚）像第二节物体经过单个折射球面的成像1，单球面成像的光路计算已知折射球面的结构参数曲率半径r ，物方折射率n ，像方折射率n ’已知入射光线AE 的参数物方截距L ，物方孔径角U （轴上物点）求出射光线参数像方截距L ’，像方孔径角U ’（轴上像点）光路计算2在ΔAEC 中用正弦定律，有 sin sin()I U r L r -=-导出求入射角I 的公式sin sin L r I U r -=（2-1）由折射定律可以求得折射角I ’sin sin n I I n '=='（2-2）由角度关系，可以求得像方孔径角U ’U U I I ''=+-（2-3） 在ΔA ’EC 中应用正弦定律，得像方截距L ’ sin sin I L r r U ''=+' （2-4）式（2-1）至（2-4）就是子午面内实际光线的光路计算公式，利用这组公式可以由已知的L 和U 求L ’和U ’ sin sin L r I U r -= sin sin n I I n '=='U U I I ''=+-sin sin I L r r U ''=+'当物点A 位于轴上无限远处时，相应的L=∞，U=0，则式（2-1）须改变为sin hI r =（2-5）●若L 是定值，L ’是U 的函数，即从同一点发出的光线，孔径角不同，将在像方交在不同的点上 ● 同心光束经过单球面后不再是同心光束●这种误差被称为“球差” ●球差是各种像差中最常见的一种●如果把孔径角U 限制在很小的范围内，光线距光轴很近，称为“近轴光”，U 、U ’、I 和I ’都很小，式（2-1）~（2-4）中的正弦值用弧度来表示 ● 用小写字母u 、u ’、i 、i ’、l 和l ’表示近轴量● l r i u r n ii n u u i i i l r r u -='='''=+-''=+'（2-6）~（2-9） ● 当入射光线平行于光轴时，也以h 作为入射光线的参数，有●h i r =（2-10） ●近轴光线l ’与u 无关，即当物点位置确定后，其像点位置与孔径角u 无关，物点发出的同心光束经折射后在近轴区仍为同心光束 ●在近轴区成的是完善像，这个完善像通常称为“高斯像” ● 近轴区最常用的物像位置公式●n n n n l l r ''--='（2-14） ●已知物点位置l 求像点位置l ’时（或反过来）十分方便 ●1、轴上物点：轴上同一物点发出的近轴光线，经过球面折射以后聚交一点，即轴上物点近轴成像时是符合理想成像条件的。
应用光学总结复习1
R 2
1 r 0.5m R
1 f 0.5m 2
1 1 1 (n 1)( ) f r1 r2
r 750m m 1 r2 187.5m m
一个人的近视程度是－2D，调节范围是8D， 求：远点距离，近点距离，配戴 100度的近 视镜求该镜的焦距及戴上后看清的远点距离 和近点距离。
设h1=10
h1 tanu1 0.2857143 f1
h2 h1 d tanu1 14.28571
h2 tanu2 tanu1 0.2857143 f2
h1 h2 f 35 lF 50 tanu2 tanu2
7 理想光学系统的组合
250 200 250 8 10 200
f 望远镜 f 显微镜
§3-4 眼睛缺陷和目视光学仪器的视度调节
objective eyepiece Fe’
f ’o
-f e
Fe’
Fe’
2．有一放映机，使用一个凹面反光镜进行聚光照明，光
源经过反光镜反射以后成像在投影物平面上。光源长为
10 mm，投影物高为40 mm，要求光源像等于投影物高； 反光镜离投影物平面距离为600 mm，求该反光镜r ?
10 -600
-40
y ' l 'r nl ' n n y l r n' l
(2.10)
h2 h1 d1u1
(2.14)
3 近轴单球面物象基本公式
n' n n'n 位置关系式： ( 2.12 ) l' l r
h lu l u
h n' u' nu n'n ( 2.11) r
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100 10 50 sin(1) 0.191976 1. sin I 2 30.968578 sin(2.7945 ) 0.083826 10 50 1 1.5163 2. sin I1 ' sin I1 0.126608 2 . sin I ' sin I 2 0.127105 2 1.5163 1
A substantial example: Lr 1. sin I sin U r n 2. sin I ' sin I n' 3. U ' I U I ' sin I ' 4. L' r r sin U ' 1. First surface
1. sin I1
光路计算公式
We obtain at last:
L'
U'
Imaging location
Imaging direction
Optical path calculation formula
Transfer surface formula: n，n'，r，L，U
n2 n1 '
U 2 U1 '
L2 L1 'd1
1
a
a'
d1
2
b
b'
L1 ' n1
n2 n1 '
L2 n2 '
§2-2 Symbol rules
Why do we need symbol rules?
L
L
L
L
§2-2 Symbol rules
line segment Let: 从左向右为正，从下向上为正。 1. L, L’：由球面顶点算起到物像距，在左为负，在右为正。 2. r：由球面顶点算起到球心，球心在顶点左为负，在右为正。 3. d：由前一面顶点算起到下一面顶点，向左为负，向右为正。
r1 10
r2 50
d 1 5 n2 1.5163 K9
空气
L1 100 L1 100 L1 100
U1 1 U1 2 U1 3
L1 ' 35.969 L1 ' 34.591 L1 ' 32.227
§2-3 球面近轴范围内的成像性质和近轴光路计算公式
Optical path calculation formula
Known:
n，n'，r，L，U
1. sin I
Lr sinU r n 2. sin I ' sin I n' 3. U ' I U I ' sin I ' 4. L' r r sin U '
L '，U '
L1 100
r1 10
U1 1
n1 1.0 n1 1.0
空气
r2 50
d 1 5 n2 1.5163 K9
空气
2. Transfer surface
U 2 U 1 ' 2.7945
L2 L1 'd 30.968578
3. U1 ' 11.0681 1 7.2736 2.7945 0.126608 4. L1 ' 10 10 35 .968578 sin U 1 '
n' n
适用于反射面
§2-3 球面近轴范围内的成像性质和近轴光路计算公式
A substantial example:
Lr 1. sin I sin U r n 2. sin I ' sin I n'
1 A
2 A’
n1 1.0 n1 1.0
空气
3. U ' I U I ' sin I ' 4. L' r r sin U '
§2-2 Symbol rules
Angle parameters Let:以锐角来度量，顺时针为正，逆时针为负。 1. U, U’：由光轴转向光线。 2. φ：由光轴转向法线。 3. I, I’：由光线转向法线。
§2-2 Symbol rules
For examples:
§2-2 Symbol rules
For examples:
-U’
-U
§2-2 Symbol rules
Reflective state:
I ' I
Snell law:
n sin I n' sin I '
1.
2.
3.
4.
n' n Lr sin I sinU r n sin I ' sin I n' U ' I U I ' sin I ' L' r r sin U '
IF sin I I
Paraxial rays
1 3 1 5 1 7 sin I I I I I 3! 5! 7!
sin I i
Let
sin I ' i ' sin U ' u '
sin U u
i , i ' , u , u ' 5
§2-3 球面近轴范围内的成像性质和近轴光路计算公式
第二章 共轴球面系统的物像关系
Chapter 2: Object-image relations of coaxial spheric system
§2-1 共轴球面系统中的光路计算公式
1 2 3
4
n1 n2
n3 n4
n5 5
7 8 9 10
6
n7
n9 n 8 n10
n11
n6
?
§2-1 共轴球面系统中的光路计算公式
3. Second surface
3. U 2 ' 4.8085 2.7945 7.3024 5.2884 0.127105 4. L2 ' 50 50 18 .952148 sin U 2 '
§2-3 球面近轴范围内的成像性质和近轴光路计算公式
Why?
Optical path calculation formula 1. APC
Lr r sin I sinU
sin I Lr sinU r
2. Snell law
n sin I n' 3. I U I 'U ' sin I '
U ' I U I '
L'r r 4. AP' C sin I ' sinU ' sin I ' L' r r sin U '