新北师大版八年级数学上册勾股定理专题训练优质讲义
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勾股定理之阳早格格创做原章时常使用知识面：1、勾股定理：直角三角形二直角边的等于斜边的.如果用字母a,b,c 分别表示直角三角形的二直角边战斜边，那么勾股定理不妨表示为：.2、勾股数：谦脚a 2+b 2=c 2的三个，称为勾股数. 罕睹勾股数有：3、罕睹仄圆数：121112=； 144122=； 169132=； 196142=； 225152=；256162=289172=； 324182=； 361192=； 400202=；441212=； 484222= 529232=； 576242=； 625252=； 676262=；729272=博题归类：博题一、勾股定理取里积1、、正在Rt ▲ABC 中，∠C=︒90,a=5,c=3.，则Rt ▲ABC 的里积S=.2、一个直角三角形周少为12米，斜边少为5米，则那个三角形的里积为： .3、直线l 上有三个正圆形a 、b 、c ，若a 战c 的里积分别为5战11，则b 的里积为4、正在直线l上依次晃搁着七个正圆形(如图所示).已知斜搁置的三个正圆形的里积分别是1、2、3，正搁置的四个正圆形的里积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4等于.5、三条边分别是5,12,13的三角形的里积是.6、如果一个三角形的三边少分别为a,b,c且谦脚：a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,则那个三角形的里积为.7、如图1，︒ACB，BC=8,AB=10,CD是斜边的下，供∠90=CD的少？ABC，AB=8cm，∠90︒=BC=15cm，P是到∆ABC三边距离相等的面，供面P到∆ABC三边的距离.8、有一齐土天形状如图3所示，︒DB，AB=20米，=∠90∠=BC=15米，CD=7米，请估计那块土天的里积.（增加辅帮线构制直角三角形）9、如左图：正在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，供四边形ABCD的里积.10、如图2-3，把矩形ABCD沿直线BD进取合叠，使面C 降正在C′的位子上，已知AB=•3，BC=7，供：沉合部分△EBD的里积11、如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径背中做三个半圆，其里积分别用S1、S2、S3表示，则没有易道明S1=S2+S3 .(1) 如图②，分别以直角三角形ABC三边为边背中做三个正圆形，其里积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么闭系？(没有必道明)(2) 如图③，分别以直角三角形ABC三边为边背中做三个正三角形，其里积分别用S1、S2、S3表示，请您决定S1、S2、S3之间的闭系并加以道明；(3) 若分别以直角三角形ABC三边为边背中做三个正多边形，其里积分别用S1、S2、S3表示，请您预测S1、S2、S3之间的闭系?.博题二、勾股定理取合叠1、如图4，矩形纸片ABCD的边AB=10cm,BC=6cm,E为BC上一面，将矩形纸片沿AE合叠，面B恰佳降正在DC 边上的面G处，供BE的少.直角边的少AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿AD对于合，使它降正在斜边AB 上，且取AE 沉合，供CD 的少？3、如图6，正在矩形纸片ABCD 中，AB=33，BC=6,沿EF 合叠后，面C 降正在AB 边上的面P 处，面D 降正在Q 面处，AD 取PQ 相接于面H ，∠BPE=︒30(1) 供BE 、QF 的少(2) 供四边形QEFH 的里积.博题三、利用勾股定理列圆程供线段的少度 1.△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D 是BC 上一面，且AD ⊥AC ，供BD 的少． 博题四、勾股数的应用1、下列是勾股数的一组是（ ）A 4,5,6,B 5,7,12C 12,13,15D 14 ,48,502、一个直角三角形的三边少是没有大于10的三个连绝奇数，则它的周少是.3、下列是勾股数的一组是（ ）A 2,3,4,B 5,6,7,C 9,40,41D 10 24 254、瞅察底下表格中所给出的三个数a,b,c ，其中a,b,c 为正整数，且a<b<c（1）：试找给他们的共共面，并道明您的论断 （2）：当a=21时，供b,c 的值,3,4,5 32+42=525,12,13 52+122=1327,24,25 72+242=2529,40,41 92+402=412…….. …… 21,b,c212+b 2=c 2博题五、勾股定理及顺定理有闭的几许道明1、 正在四边形ABCD 中，∠C 是直角，AB=13,BC=3,CD=4,AD=12 道明：AD ⊥BD3、正在正圆形ABCD 中，E 是BC 的中面，F 为CD 上一面 且CF=41CD 试道明▲AEF 是直角三角形.4、▲ABC 三边的少为a,b, c ，根据下列条件推断▲ABC 的形状：a 2+b 2+c 2+200=12a+16b+20c ；5、试推断，三边少分别为2n 2+2n ，2n+1，2n 2+2n+1（n 为正整数）•的三角形是可是直角三角形？6、如图2-12，△ABC 中，∠C=90°，M 是BC 的中面，MD ⊥AB 于D ．供证：AD 2=AC 2+BD 2．DCB ADF CEBA博题七、最短门路问题1、有一正圆体盒子，棱少是10cm，正在A面处有一只蚂蚁它料到B面处寻食，那么它爬止的最短门路是几？2、有一个少圆体盒子.它的少是70cm，宽战下皆是50cm，正在A面处有一只蚂蚁它料到B面处寻食，那么它爬止的最短门路是几？3、如图所示，一个二级台阶，每一级的少、宽、下分别为60cm、30cm、10cm，A战B是那个A台阶上二个相对于的端面，正在A面处有一只蚂蚁它料到B面处寻食，那么它爬止的最短门路是几？B4、王力的家正在下楼15层，一天他来购竹竿，如果电梯的少、宽、下分别为1.2m,1.2m,1.3m，则他所购的竹竿最大少度是几？5、如图,已知圆锥的母线AS=10㎝，正里展启图的夹角是90°，面C为AS的中面,A处有一只蜗牛念吃到C处的食物,但是它没有克没有及间接爬到C处,只可沿圆锥直里爬止,请您绘出蜗牛爬止的最短路途的图形并供出最短路途.。
北师大版八年级数学上册第一章 勾股定理辅导讲义
：如图，在，按图中所示方法将叠，使点
练习1：如图，
重合，折痕为
5
3
练习2：如图，将长方形
BC＝9，则BF的长为
A．4
命题点3 勾股定理的应用
例题2：如图，一根长
练习1：如图，要制作底边
角形木衣架，则腰
练习2：如图，高速公路的同侧有
AA1＝2 km，BB
庄到P的距离之和最短，则这个最短距离是多少千米？
命题点4 勾股定理与其逆定理的综合运用
例4：如图，在正方形ABCD
拼到如图所示位置(C与
5
A.＋1 B．－
．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖
7．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为
，B
12．将一根长为25 cm
外面的长为h cm，则
三、解答题(共60
13．(10分)如图，在边长为
14．(10分)如图所示，四边形
AC⊥CD.
15．(12分)图1是一面长方形彩旗完全展平时的尺寸图
图1 图2
17．(14分)某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以
周长．。
新北师大版八年级数学上册勾股定理专题训练优质讲义
新北师大版八年级数学上册勾股定理专题训练优质讲义勾股定理是数学中的一个重要定理，它指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
用字母a、b、c表示直角三角形的两直角边和斜边，勾股定理可表示为a²+b²=c²。
满足a²+b²=c²的三个数被称为勾股数，其中常见的有3、4、5和5、12、13等。
在勾股定理与面积的专题中，我们探讨了一些与勾股定理相关的面积问题。
例如，在已知直角三角形两直角边和斜边的长度时，可以使用勾股定理求出该三角形的面积。
又如，在一条直线上有三个正方形，已知其中两个正方形的面积，可以使用勾股定理求出第三个正方形的面积。
此外，在一个直角三角形中，如果已知斜边和另外一条直角边的长度，可以使用勾股定理求出另一条直角边的长度，从而计算出该三角形的面积。
在一些更为复杂的问题中，我们可以通过构造辅助线，将问题转化为已知直角三角形的情形，再使用勾股定理求解。
勾股定理是数学中的基本定理之一，它不仅在几何学中有重要应用，而且在物理学和工程学中也有广泛应用。
因此，掌握勾股定理及其相关知识点，对于提高数学素养和解决实际问题都具有重要意义。
1、在四边形ABCD中，$\angle C$是直角，$AB=13$，$BC=3$，$CD=4$，$AD=12$。
证明：$AD\perp BD$。
解析：根据勾股定理，$AC=\sqrt{BC^2+AB^2}=\sqrt{9+169}= \sqrt{178}$，$BD=\sqrt{CD^2+BC^2}=\sqrt{16+9}= \sqrt{25}=5$。
因为$\angle C$是直角，所以$\triangle ABC$和$\triangle ADC$都是直角三角形。
根据勾股定理，$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}= \sqrt{178+16}= \sqrt{194}$。
同时，$AB^2+CD^2=169+16=185<AD^2=194$。
北师大版初二上勾股定理讲义
北师大版初二上勾股定理讲义(总13页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第一章：勾股定理◆探索勾股定理1．勾股定理的探索如图，在单位长度为1的方格纸中画一等腰直角三角形，然后向外作三个外正方形：观察图形可知：(1)各正方形的面积：正方形①的面积S1为1，正方形②的面积S2为1，正方形③的面积S3为2；(2)各正方形面积之间的关系：S1＋S2＝S3；(3)由此得到等腰直角三角形两直角边与斜边之间的关系是：两直角边的平方和等于斜边的平方．【例1】如图，Rt△ABC在单位长度为1的正方形网格中，它的外围是以它的三条边为边长的正方形．回答下列问题：(1)a2＝__________，b2＝__________，c2＝__________；(2)a，b，c之间有什么关系(用关系式表示)2．勾股定理(1)勾股定理的有关概念：如图所示，我们用勾(a)和股(b)分别表示直角三角形的两条直角边，用弦(c)来表示斜边．(2)勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．即：勾2＋股2＝弦2.(3)勾股定理的表示方法：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则a2＋b2＝c2.辨误区应用勾股定理的几个误区(1)勾股定理的前提是直角三角形，对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系．(2)利用勾股定理时，必须分清谁是直角边，谁是斜边．尤其在记忆a2＋b2＝c2时，此关系式只有当c是斜边时才成立．若b是斜边，则关系式是a2＋c2＝b2；若a是斜边，则关系式是b2＋c2＝a2.(3)勾股定理有许多变形，如c是斜边时，由a2＋b2＝c2，得a2＝c2－b2，b2＝c2－a2等．熟练掌握这些变形对我们解决问题有很大的帮助．【例2－1】在△ABC中，∠C＝90°，(1)若a＝3，b＝4，则c＝__________；(2)若a ＝6，c ＝10，则b ＝__________；(3)若a ∶b ＝3∶4，c ＝5，则a ＝__________，b ＝__________.【例2－2】有一飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4 000 m 处，过了20 s ，飞机距离这个男孩头顶5 000 m ，那么飞机每时飞行多少千米？3．勾股定理的验证方法1：用四个相同的直角三角形(直角边为a ，b ，斜边为c )构成如图所示的正方形．由“大正方形的面积＝小正方形的面积＋4个直角三角形的面积”，得(a ＋b )2＝c 2＋4×12ab .化简可得：a 2＋b 2＝c 2.方法2：用四个相同的直角三角形(直角边为a ，b ，斜边为c )构成如图所示的正方形．由“大正方形的面积＝小正方形的面积＋4个直角三角形的面积”，得c 2＝(b －a )2＋4×12ab .化简可得：a 2＋b 2＝c 2.方法3：用两个完全相同的直角三角形(直角边为a ，b ，斜边为c )构成如图所示的梯形．由“梯形面积等于三个直角三角形面积之和”可得： 12(a ＋b )(a ＋b )＝2×12ab ＋12c 2.化简可得：a 2＋b 2＝c 2.说明：勾股定理的验证还有很多方法．在一些几何问题中，利用图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积就不会改变．利用拼图来验证勾股定理,就是根据同一种图形(或两个全等的图形)面积的不同表示方法列出等式，从而推导出勾股定理.【例3】在北京召开的第24届国际数学家大会的会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ，那么(a ＋b )2的值为( )．A ．169B ．144C ．100D ．254．利用勾股定理求长度利用勾股定理求长度，关键是找出直角三角形或构造直角三角形，把实际问题转化为直角三角形问题． 常见的方法有：(1)利用高(作垂线)构造直角三角形；(2)利用已知直角构造直角三角形；(3)利用勾股定理构造直角三角形．已知直角三角形的两边，求第三边，关键是弄清已知什么边，求什么边，用平方和还是用平方差．【例4】如图，校园内有两棵树，相距12 m，一棵树高13 m，另一棵树高8 m，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞多少米？5.利用勾股定理求面积(1)利用勾股定理求面积，关键是注意转化思想的应用．把所求的面积转化到已知的数量关系中去．如求图中阴影部分的面积，可转化为中间正方形的面积，而中间正方形的面积等于右侧直角三角形短直角边的平方，借助于右侧的直角三角形，利用勾股定理解答即可．(2)利用勾股定理求面积，还要注意整体思想的应用．【例5】如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4 m，高3 m，长20 m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积．6．勾股定理与方程相结合的应用(1)在进行直角三角形的有关计算时，一般要运用勾股定理，在运用过程中，有时直接运用，有时是通过勾股定理来列方程求解．具体问题如下：①已知直角三角形的两边，求第三边的长；②说明线段的平方关系；③判断三角形的形状或求角的大小；④解决实际问题．(2)利用勾股定理解决生活中的实际问题时，关键是利用转化的思想把实际问题转化为数学模型(直角三角形)，利用列方程或方程组来解决．(3)勾股定理与代数中的平方差公式相结合，解决此类问题可以先根据勾股定理列出关于两直角边的数量关系式，再通过恒等变形巧妙求解．【例6】如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长m，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为m，当端点B向右移动m时，求滑杆顶端A下滑了多少米？◆中考实战演练1、（山东聊城中考）河坝横断面如右上图所示，堤高6,:1:3BC m BC AC ==，则AB = m 。
北师大版八年级数学上第一章勾股定理复习课件
x (x+1)
3
22
在一棵树的10米高处B有两只猴子， 其中一只猴子爬下树走到离树20米的 池塘A，另一只猴子爬到树顶D后直接 跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过 距离相等，试问这棵树有多高？
D
B.
C
A 23
专题三 折叠
折叠和轴对称密不可分，利用折叠前后 图形全等，找到对应边、对应角相等便可 顺利解决折叠问题
猜想
32=4+5 52=12+13 72=24+25
…… 132=b+c
请你结合该表格及相关知识，求出b、c的值. 即b= 84 ，c=___8_5____
15
例5、如图，四边形ABCD中，AB＝3，
BC=4,CD=12,AD=13, ∠B=90°，求四 边形ABCD的面积
D
13
A
12 3┐
B4 C
2
∴ AB=25.
Ｂ
31
例4:.如图，长方体的长 为15 cm，宽为 10 cm， 高为20 cm，点B离点C 5 cm,一只蚂蚁如果要沿着 长方体的表面从点 A爬 到点B，需要爬行的最短 距离是多少？
5B
C
20
15
A 10
32
E
5B C
20
15
A 10 F
E C5 B
20
A 10
B5 C 10 E 20
35
A
x
1.5米
1.5米
2.2米
2.2米
1.5米
1.5米
Cx
B
X2=1.52+1.52=4.5
AB2=2.22+X2=9.34
AB≈3米
北师大版八年级上册数学《勾股定理的应用》勾股定理研讨说课复习课件
3.如图，某探险队的A组由驻地O点出发，以12km/h的速度前进，同时，B组也由驻地O出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，2h后同时停下来，这时A，B两组相距30km．此时，A，B两组行进的方向成直角吗？请说明理由.
解：因为出发2小时，A组行了12×2=24(km)， B组行了9×2=18(km)， 又因为A，B两组相距30km， 且有242+182=302， 所以A，B两组行进的方向成直角．
5、有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形。在水池的正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺。如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面。请问：这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
如图是学校的旗杆，旗杆上的绳子垂到了地面，并多出了一段，现在老师想知道旗杆的高度，你能帮老师想个办法吗？请你与同伴交流设计方案?
A
C
B
5km
12km
2、如图，带阴影的矩形面积是多少？
17厘米
S=17×3=51厘米2
3、一个无盖的长方形盒子的长、宽、高分别是8cm，8cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短行程是多少？
8
12
8
8
8
12
4、如图，一座城墙高11.7m，墙外有一个宽为9m的护城河，那么一个长为15m的云梯能否到达墙的顶端？
经计算AD2+AB2=BD2
AD⊥AB
Ⅱ、李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺。(3)小明随身只有一个长度为20cm的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？
新知归纳
数学思想：
(初中精品)探索勾股定理 讲义 学年北师大版数学八年级上册
C B A 第一章 勾股定理1. 探索勾股定理一．知识过关知识点1 勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果用a,b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a 2 +b 2=c 2.如图所示，△ABC 是直角三角形，期中较短的直角边a 叫做勾，较长的直角边b 叫做股，斜边c 叫做弦。
a cb知识点2 勾股定理的验证勾股定理的验证主要通过构图法完成，这种方法是以数形转换为指导思想，图形拼补为手段，各部分面积之间的关系为依据来实现的。
用面积方法证明勾股定理是最常见的一种方法。
拼图发验证勾股定理的一般步骤：1. 拼出图形2. 写出图形面积的表达式3. 找出等量关系4. 恒等变形5. 推导出勾股定理知识点3 勾股定理的应用利用勾股定理可以解决与直角三角形有关的计算和证明问题。
主要应用如下：1. 已知直角三角形的任意两边长，求第三边长。
2. 已知直角三角形的任意一边长，确定另外两边长的关系。
3. 证明包含平方关系的几何问题。
4. 构造方程计算有关线段的长度问题，解决生产生活中的一些实际问题。
二．利用勾股定理求线段的长例题1.在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=10㎝，AB 边上的高CD=4.8㎝，则Rt △ABC 的周长为 （ ）A. 24㎝B. 30㎝C. 18㎝D. 36㎝分析：现根据勾股定理、三角形的面积公式求出AC 2+BC 2 和2AC ·BC 的值，再根据完全平方公式求出AC+BC 的值，最后根据三角形的周长公式计算即可。
解析：由勾股定理得，AC 2+BC 2=AB 2=100.由三角形的面积公式，可知S △ABC =21AC ·BC=21AC ·CD=24㎝2， 所以2AC ·BC=96，所以（AC+BC ）2=AC 2+BC 2 + 2AC ·BC=196.解得AC+BC=14.所以Rt △ABC 的周长为AC+BC+AB=14+10=24（㎝）. 故选A 。
第一章勾股定理概念及证明同步讲义北师大版数学八年级上册
勾股定理的概念及证明教学目标一、勾股定理的定义【知识点】1、定义：勾股定理即为直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a ，b ，c ，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么222c b a =+。
【例题讲解】★★☆例1.下列说法正确的是（ ） A ．已知a 、b 、c 是三角形的三边长，则222c b a =+ B ．在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方C ．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，则222c b a =+D ．在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，则222c b a =+★☆☆练习1. 如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，则下列结论正确的是( ) A ．AB AC BC =+B ．AB AC BC =C ．222AB AC BC =+D ．222AC AB BC =+★★☆练习2.在△ABC 中，若∠ABC ＝90°，则下列正确的是（ ） A ．BC ＝AB+AC B ．222BC AB AC +＝ C ． 222AB AC BC +＝ D ． 222AC AB BC+＝【例题讲解】★★☆例题2.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AB ＝17，BD ＝15，DC ＝6，则AC 的长为（ ）A ．11B ．10C ．9D ．8练习1.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线．已知AB ＝5，AD ＝3，则BC 的长为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10★☆☆练习2.如图所示，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，且AB ＝4，BD ＝5，则点D 到BC 的距离是（ ）A．3 B．4 C．5 D．6知识点要点总结：运用勾股定理必须在直角三角形中，且必须满足两个直角边的平方和为斜边平方和。
新北师大版八年级数学上册勾股定理培优精编版
第一章勾股定理1.1探索勾股定理专题一有关勾股定理的折叠问题1. 如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN长是（）A．3cm B．4cmC．5cm D．6cm2. 如图，EF是正方形两对边中点的连线段，将∠A沿DK折叠，使它的顶点A落在EF上的G 点，求∠DKG的度数．3．已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N．（1）如图①，当AM=BN时，将△ACM沿CM折叠，点A落在弧EF的中点P处，再将△BCN 沿CN折叠，点B也恰好落在点P处，此时，PM=AM，PN=BN，△PMN的形状是_______________．线段AM、BN、MN之间的数量关系是______________________________；（2）如图②，当扇形CEF绕点C在∠ACB内部旋转时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是_______________．试证明你的猜想；（3）当扇形CEF绕点C旋转至图③的位置时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是_______________．（不要求证明）①②③专题二勾股定理的证明4．在教材中，我们通过数格子的方法发现了直角三角形的三边关系，利用四个完全相同的直角三角形拼图的方式验证了勾股定理的正确性．问题1：以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，探究S′+ S″与S的关系（如图1）．问题2：以直角三角形的三边为斜边向外作等腰直角三角形，探究S′+S″与S的关系（如图2）．问题3：以直角三角形的三边为直径向外作半圆，探究S′+ S″与S的关系（如图3）．5.如图，是用硬纸板做成的两种直角三角形各有若干个，图①中两直角边长分别为a和b，斜边长为c；图②中两直角边长为c．请你动脑，将它们拼成能够证明勾股定理的图形．（1）请你画出一种图形，并验证勾股定理．（2）你非常聪明，能再拼出另外一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的图形（无需证明）．1.2一定是直角三角形吗专题判断三角形形状1.已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，则它的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形2. 在△ABC中，a=m2+n2，b=m2-n2，c=2mn，且m＞n＞0，（1）你能判断△ABC的最长边吗？请说明理由；（2）△ABC是什么三角形，请通过计算的方法说明．（1）请你分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含自然数n （n＞1）的代数式表示a，b，c．（2）猜想：以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？请证明你的猜想．1.3勾股定理的应用专题 最短路径的探究1. 编制一个底面周长为a 、高为b 的圆柱形花柱架，需用沿圆柱 表面绕织一周的竹条若干根，如图中的A 1C 1B 1，A 2C 2B 2，…，则 每一根这样的竹条的长度最少是______________.2. 请阅读下列材料：问题：如图（1），一圆柱的底面半径和高均为5dm ，BC 是底面 直径，求一只蚂蚁从A 点出发沿圆柱表面爬行到点C 的最短路线. 小明设计了两条路线：路线1：侧面展开图中的线段AC.如下图（2）所示：设路线1的长度为1l ，则222222212525)5(5π+=π+=+==BC AB AC l ；路线2：高线AB + 底面直径BC ，如上图（1）所示，设路线2的长度为2l ，则225)105()(2222=+=+=BC AB l .0)8(252002522525252222221>-π=-π=-π+=-l l .∴2221l l > ∴21l l >所以要选择路线2较短。
北师大版八年级上册数学《探索勾股定理》勾股定理培优说课教学复习课件
“弦高公式”，它常与勾股定理联合使用．
C
4
B
3.阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为
常用数据： 112=121 122=144 132=169 142=196 152=225 162=256 172=289 182=324 192=361
15 cm 17 cm
64 .cm²
4.求出图中直角三角形第三边的长度.
解:∵在Rt△ADC中,AD=12,AC=13（已知）, ∴由勾股定理,得CD2=AC2-AD2=132-122=52, ∵CD=5.BC=14（已知）, ∴BD=14-5=9. 在Rt△ABD中,由勾股定理,得
AB2=AD2+BD2=122+92=152, ∴AB=15.
课堂小结
如果直角三角形两直角边长分别为a，b，
a2 b2 c2.
你还有其他的方法吗？下
图2
面来继续研究喔！
拓展延伸
1.议一议：观察图3，用数格子的方法判断图中三角形的三边 长是否满足a2+b2=c2. 不满足
图3
2.一个直角三角形的斜边为20 cm，且两直角边长度比为3:4， 求两直角边的长. 两直角边的长分别为12 cm ，16 cm.
巩固新知
1.求下列直角三角形中未知边的长:
常见整数的平方 （大于10）
12
112 = 121 242 = 576
8
17
5
122 = 144 252 = 625 132 = 169 302 = 900
x
142 = 196 402 =
x
152 = 225 1600
解：由勾股定理可得： 82+ x2=172
于是这位中年人不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难 题．他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁 的证明方法．
北师大版八年级上册数学 第一章 勾股定理 讲义
勾股定理知识要点一．勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
在ABC Rt ∆中，,,,90B A C ∠∠︒=∠C ∠的对边分别为c b a ,,， 则有：①222b a c +=；②222b c a -=；③222a c b -=．二．勾股定理的巧妙运用1．面积求值：直角三角形中，如果两直角边为a 、b,斜边为 c ，斜边上的高为h ，那么它们存在这样的关系：ch ab =或c ab h =.2．特殊直角三角形一：如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（反之如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°）2:3:1::=c b a3．特殊三角形二： 在等腰直角三角形中，斜边是等于直角边的2（2:1:1::=c b a三、勾股定理的逆定理：1、如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222a b c +=(c 为最长边)那么这个三角形是直角三角形。
2．勾股数组简介:若a 、b 、c 均为自然数，且无1以外的整数公因式当它们满足关系式222a b c +=时，我们称（a 、b 、c ）为基本勾股数组。
这些勾股数是一定要记住的，以后做题将会好处多多。
ab=3a 30°c=2aabch《经典例题》《基础例题》例1、边的求值：（ a 2 + b 2 = c 2 ，其中C 为斜边）（1）在△ABC 中，∠C ＝90°，若 a ＝5，b ＝12， 则 c ＝ ． （2）在△ABC 中，∠C ＝90°，若c ＝25， a ∶b ＝3∶4，则a ＝ ，b ＝ ．例2、高的求值：（cabh，a 和b 为直角边，c 为斜边，h 为斜边上的高） （1）直角三角形的两直角边为12、16，则斜边上的高等于 。
（2）Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，则AB=10，高CD=__ ___. 例3、一般三角形如何利用勾股定理求值：（1）已知等边△ABC 的边长为10cm ，则它的高为_____ _,面积为_________; （2）△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ）A.42B.32C.42 或32D.37 或 33（3）已知等腰三角形的腰长为10，一腰上的高为6，则以底边为边长的正方形的面积为 。
北师大版八年级上册第一章勾股定理的定义与应用辅导讲义(无答案)
勾股定理 学员姓名： 课时数：2 授课日期/时间：学习目标 1 、能综合运用勾股定理和其逆定理解决实际问题。
2 、会根据题目信息构造直角三角形。
画一个直角边为 3cm 和 4cm 的直角△ABC ，量AB 的长；一个直角边为 5 和 12 的直角△ABC ，量AB 的长发现2243+与25的关系， 22125+和213的关系，对于任意的直角三角形也有这个性质吗？直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边 c 的平方。
（即：222c b a =+） 例1、下列说法正确的是( )A. 若a 、b 、c 是△ABC 的三边,则a 2+b 2=c 2B. 若a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边,则a 2+b 2=c 2C. 若a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边,∠A=90∘,则a 2+b 2=c 2D. 若a,b,c 是Rt △ABC 的三边,∠C=90∘,则a 2+b 2=c 2变式：在Rt △ABC 中，斜边长BC=3，222BC AC AB ++的值为（ ）A. 18B. 9C. 6D. 无法计算练习： 1、如图,△ABC 为直角三角形,斜边AB 长为20cm ,阴影部分是正方形,其面积为1442cm ,则AC 边的长为( )A. 256cmB. 8cmC. 16cmD. 32cm2、在直线l 上依次摆放着三个正方形(如图所示).已知斜放置的正方形的面积是1,正放置的两个正方形的面积依次是1S ,2S 则1S ,2S 1之间的关系( )A. 21S S +=1B. 21S S +>1C. 21S S +<1D. 无法确定3、一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方等于( )A.25B.7C.5D.25或74、等腰三角形底边长为6㎝，地边上的中线长为4㎝，则它的腰长为（ ）㎝。
A.7B.8C.5D.4验证勾股定理⎪⎩⎪⎨⎧→→→→推导出勾股定理恒等变形建立等量关系找出图形面积的表达式步骤：拼出图形定理通过面积转化验证勾股拼图法验证勾股定理例1、将图①沿中间的小正方形的对角线剪开，得到图②所示的梯形，请利用图②面积的两种表示式验证勾股定理。
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勾股定理
本章常用知识点：
1、勾股定理：直角三角形两直角边的 等于斜边的 。
如果用字母a,b,c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么勾股定理可以表示为： 。
2、勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个 ，称为勾股数。
常见勾股数有： 3、常见平方数：
121112=； 144122=； 169132=； 196142=； 225152=；256162=
289172=； 324182=； 361192=； 400202=；441212=； 484222= 529232=； 576242=； 625252=； 676262=；729272=
专题归类：
专题一、勾股定理与面积
1、、在Rt ▲ABC 中，∠C=︒90,a=5,c=3.，则Rt ▲ABC 的面积S= 。
2、一个直角三角形周长为12米，斜边长为5米，则这个三角形的面积为： 。
3、直线l 上有三个正方形a 、b 、c ，若a 和c 的面积分别为5和11，则b 的面积为
4、在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)。
已知斜放置的三个正方形的面积分别是
1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4， 则S 1＋S 2＋S 3＋S 4等于 。
5、三条边分别是5,12,13的三角形的面积是 。
6、如果一个三角形的三边长分别为a,b,c 且满足：a 2
+b 2
+c 2
+50=6a+8b+10c,则这个三角形的面积为 。
7、如图1，︒=∠90ACB ，BC=8,AB=10,CD 是斜边的高，求CD 的长？
l
3
21
S 4
S 3
S 2S 1
7、如下图，在∆ABC 中，︒=∠90ABC ，AB=8cm ，BC=15cm ，P 是到∆ABC 三边距离相等的点，求点P 到∆ABC 三边的距离。
8、有一块土地形状如图3所示，︒=∠=∠90D B ，AB=20米，BC=15米，CD=7
米，请计算这块土地的面积。
（添加辅助线构造直角三角形）
9、如右图：在四边形ABCD 中，AB=2，CD=1，∠A=60°，求四边形ABCD 的面积。
10、如图2-3，把矩形ABCD 沿直线BD 向上折叠，使点C 落
在C ′的位置上，已知AB=•3，BC=7，求：重合部分△EBD 的面积
11、如图①，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，则不难证明S 1=S 2+S 3 .
D
C
B
A
图3
B
D C
A
图1
D C
B A A
B
C
P
(1) 如图②，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，那么S 1、S 2、S 3之间有什么关系？(不必证明)
(2) 如图③，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，请你确定S 1、S 2、S 3之间的关系并加以证明；
(3) 若分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，请你猜想S 1、S 2、S 3之间的关系?.
专题二、勾股定理与折叠
1、如图4，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm,BC=6cm,E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在DC 边上的点G 处，求BE 的长。
2、有一个直角三角形纸片，两直角边的长
AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿AD 对折，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长？
3、如图6，在矩形纸片ABCD 中，
AB=33，BC=6,沿EF 折叠后，点C 落在AB 边上的点P 处，点D 落在Q 点处，AD 与PQ 相交于点H ，∠BPE=︒30
(1) 求BE 、QF 的长
(2) 求四边形QEFH 的面积。
图4 E G C D
B A E D B
C A
图5
P
H
F
Q
D
A
专题三、利用勾股定理列方程求线段的长度
1.△ABC 中，AB=AC=20，BC=32，D 是BC 上一点，且AD ⊥AC ，求BD 的长．
专题四、勾股数的应用
1、下列是勾股数的一组是（ ）
A 4,5,6,
B 5,7,12
C 12,13,15
D 14 ,48,50
2、一个直角三角形的三边长是不大于10的三个连续偶数，则它的周长是 。
3、下列是勾股数的一组是（ ）
A 2,3,4,
B 5,6,7,
C 9,40,41
D 10 24 25
4、观察下面表格中所给出的三个数a,b,c ，其中a,b,c 为正整数，且a<b<c
（1）：试找给他们的共同点，并证明你的结论 （2）：当a=21时，求b,c 的值
,3,4,5 32
+42
=52
5,12,13 52
+122
=132
7,24,25 72
+242
=252
9,40,41 92
+402
=412
…….. …… 21,b,c
212
+b 2
=c 2
专题五、勾股定理及逆定理有关的几何证明
1、 在四边形ABCD 中，∠C 是直角，AB=13,BC=3,CD=4,AD=12 证明：AD ⊥BD
3、在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 为CD 上一点
且CF=4
1
CD 试说明▲AEF 是直角三角形。
D
C B
A D
F
A
4、▲ABC三边的长为a,b, c，根据下列条件判断▲ABC的形状：a2+b2+c2+200=12a+16b+20c；
5、试判断，三边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1（n为正整数）•的三角形是否是直角三角形？
6、如图2-12，△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，MD⊥AB于D．
求证：A D2=AC2+BD2．
专题七、最短路线问题
1、有一正方体盒子，棱长是10cm，在A点处有一只蚂蚁它想到B点处觅食，那么它爬行
的最短路线是多少？
B
A
2、有一个长方体盒子。
它的长是70cm，宽和高都是50cm，在A点处有一只蚂蚁它想到B 点处觅食，那么它爬行的最短路线是多少？
A
B
3、如图所示，一个二级台阶，每一级的长、宽、高分别为60cm 、30cm 、10cm ，A 和B 是这个台阶上两个相对的端点，在A 点处有一只蚂蚁它想到B 点处觅食，那么它爬行的最短路线是多少？
4、王力的家在高楼15层，一天他去买竹竿，如果电梯的长、宽、高分别为1.2m,1.2m,1.3m ，则他所买的竹竿最大长度是多少？
5、如图,已知圆锥的母线AS =10㎝，侧面展开图的夹角是90°，点C 为AS 的中点,A 处有一只蜗牛想吃到C 处的食物,但它不能直接爬到C 处,只能沿圆锥曲面爬行,请你画出蜗牛爬行的最短路程的图形并求出最短路程.
B
A
B。