中考数学锐角三角函数综合练习题含答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图（9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB 和CD （均与水平面垂直），再将集热板安装在AD 上.为使集热板吸热率更高，公司规定：AD 与水平面夹角为1θ，且在水平线上的射影AF 为

1.4m .现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为2θ，并已知1tan 1.082θ=，

2tan 0.412θ=．如果安装工人确定支架AB 高为25cm ，求支架CD 的高（结果精确到1cm ）？ 【答案】

【解析】

过A 作AF CD ⊥于F ，根据锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF 、EF 的值，又可证四边形ABCE 为平行四边形，故有EC=AB=25cm ，再再根据DC=DE+EC 进行解答即可．

2．如图，已知点从

出发，以1个单位长度/秒的速度沿轴向正方向运动，以为顶点作菱形，使点在第一象限内，且；以为圆心，为半径作圆．设点运动了秒，求：

（1）点的坐标（用含的代数式表示）；

（2）当点在运动过程中，所有使与菱形的边所在直线相切的的

值．

【答案】解：（1）过作轴于，

，，

，，

点的坐标为．

（2）①当与相切时（如图1），切点为，此时，

，，

．

②当与，即与轴相切时（如图2），则切点为，，

过作于，则，

，．

③当与所在直线相切时（如图3），设切点为，交于，

则，，

．

过作轴于，则，

，

化简，得，

解得，

，

．

所求的值是，和．

【解析】

（1）过作轴于,利用三角函数求得OD、DC的长，从而求得点的坐标

⊙P与菱形OABC的边所在直线相切，则可与OC相切；或与OA相切；或与AB相切，应分三种情况探讨：①当圆P与OC相切时，如图1所示，由切线的性质得到PC垂直于OC，再由OA=+t，根据菱形的边长相等得到OC=1+t，由∠AOC的度数求出∠POC为30°，在直角三角形POC中，利用锐角三角函数定义表示出cos30°=oc/op，表示出OC，

等于1+t列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；②当圆P与OA，即与x轴相切时，过P作PE垂直于OC，又PC=PO，利用三线合一得到E为OC的中点，OE为OC的一半，而OE=OPcos30°，列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；③当圆P与AB所在的直线相切时，设切点为F，PF与OC交于点G，由切线的性质得到PF垂直于AB，则PF垂直于OC，由CD=FG，在直角三角形OCD中，利用锐角三角函数定义由OC表示出CD，即为FG，在直角三角形OPG中，利用OP表示出PG，用PG+GF表示出PF，根据PF=PC，表示出PC，过C作CH垂直于y轴，在直角三角形PHC中，利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，综上，得到所有满足题意的t的值．

3．如图，某公园内有一座古塔AB，在塔的北面有一栋建筑物，某日上午9时太阳光线与水平面的夹角为32°，此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD．中午12时太阳光线与地面的夹角为45°，此时塔尖A在地面上的影子E与墙角C的距离为15米（B、E、C在

一条直线上），求塔AB 的高度．（结果精确到0.01米）

参考数据：sin32°≈0.5299，cos32°≈0.8480，tan32°≈0.6249，2 1.4142≈．

【答案】塔高AB 约为32.99米.

【解析】

【分析】

过点D 作DH ⊥AB ，垂足为点H ，设AB ＝x ，则 AH ＝x ﹣3，解直角三角形即可得到结论．

【详解】

解：过点D 作DH ⊥AB ，垂足为点H ．

由题意，得 HB = CD = 3，EC = 15，HD = BC ，∠ABC =∠AHD = 90°，

∠ADH = 32°．

设AB = x ，则 AH = x – 3．

在Rt △ABE 中，由 ∠AEB = 45°，得 tan tan451AB AEB EB ∠=︒=

=． ∴ EB = AB = x ．∴ HD = BC = BE + EC = x + 15．

在Rt △AHD 中，由 ∠AHD = 90°，得 tan AH ADH HD ∠=

． 即得 3tan3215x x -︒=

+． 解得 15tan32332.991tan32x ⋅︒+=≈-︒

． ∴ 塔高AB 约为32.99米．

【点睛】

本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

4．在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点()0,0O ，点()3,0A ，点()0,4C ，

连接OB ，以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOCB ，旋转角为()0360αα︒<<︒，得到矩形ADEF ，点,,O C B 的对应点分别为,,D E F .

(Ⅰ)如图，当点D 落在对角线OB 上时，求点D 的坐标；

(Ⅱ)在(Ⅰ)的情况下，AB 与DE 交于点H .

①求证BDE DBA ∆≅∆；

②求点H 的坐标.

(Ⅲ)α为何值时，FB FA =.(直接写出结果即可).

【答案】(Ⅰ)点D 的坐标为5472(

,)2525；(Ⅱ)①证明见解析；②点H 的坐标为(3，258

)；(Ⅲ)60α=︒或300︒.

【解析】

【分析】 (Ⅰ) 过A D 、分别作,AM OB DN OA ⊥⊥，根据点A 、点C 的坐标可得出OA 、OC 的长，根据矩形的性质可得AB 、OB 的长，在Rt △OAM 中，利用∠BOA 的余弦求出OM 的长，由旋转的性质可得OA=AD ，利用等腰三角形的性质可得OD=2OM ，在Rt △ODN 中，利用∠BOA 的正弦和余弦可求出DN 和ON 的长，即可得答案；(Ⅱ)①由等腰三角形性质可得∠DOA=∠ODA ，根据锐角互余的关系可得ABD BDE ∠∠=，利用SAS 即可证明△DBA ≌△BDE ；②根据△DBA ≌△BDE 可得∠BEH=∠DAH ，BE=AD ，即可证明

△BHE ≌△DHA ，可得DH=BH ，设AH=x ，在Rt △ADH 中，利用勾股定理求出x 的值即可得答案；（Ⅲ）如图，过F 作FO ⊥AB ，由性质性质可得∠BAF=α，分别讨论0<α≤180°时和180°<α<360°时两种情况，根据FB=FA 可得OA=OB ，利用勾股定理求出FO 的长，由余弦的定义即可求出∠BAF 的度数.

【详解】

(Ⅰ)∵点()30A ，

，点()04C ，， ∴3,4OA OC ==.

∵四边形OABC 是矩形，

∴AB=OC=4，

∵矩形DAFE 是由矩形AOBC 旋转得到的

∴3AD AO ==.

在Rt OAB ∆中，225OB OA AB +=，